第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1 i 1 tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)
性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]
第32卷第2期2010年6月 地球科学与环境学报 Journal of Earth Sciences and Environment Vol.32No.2Jun.2010 收稿日期:2009 07 15 基金项目:国家自然科学基金项目(40672173;40802075) 作者简介:赵超英(1976 ),男,山西平遥人,副教授,工学博士,从事InSAR 理论与数据处理的教学与研究。E mai l:zhaochaoying@https://www.doczj.com/doc/5e16039576.html, 秩亏自由网平差及其通解 赵超英,黄观文 (长安大学地质工程与测绘学院,陕西西安710054) 摘要:通过坐标转换将初始坐标系下的特解转换得到任意坐标系下的通解,研究了秩亏自由网基准转换的实质。结果表明,秩亏自由网平差最优解实质是基于近似值所确定的基准下的最优解,在实际应用中确定合适的基准是关键。以西安地区GP S 沉降监测网为例,不同基准下秩亏解均为该基准下最优解,但只有顾及板块运动的基准才具有物理意义。 关键词:秩亏;自由网平差;基准条件;坐标系;通解 中图分类号:P228.4 文献标志码:A 文章编号:1672 6561(2010)02 0215 03 Rank Defect Free Net Adjustment and Its General Solution ZH AO Chao ying ,H UANG Guan w en (S chool of Ge olog ical E ngineer ing an d Su rv ey ing ,Chang an Unive rsity ,X i an 710054,S haanxi,China) Abstract:T hro ug h transfor ming the par ticular solut ion o f initial coo rdinates to the g ener al solution o f ar bitrar y co or dinate,rank def ect free net adjust ment is analyzed,and the essence of the datum tr ansfor matio n is discussed.T he results sho w t hat the o ptimized solution of rank defect fr ee net adjust ment is t he o ne so lution under t he datum which is calculated by the approx imat ion v alue.In pr act ice,the key problem is to determine t he appro pr iate datum.G PS monito ring netw or k in Xi an is t aken as an example to demonstrate the differ ent o pt imal so lutio ns under differ ent data,w hereas the so lutio ns in plate mo tion ar e physically significant.Key words:rank defect ;fr ee net adjustment;datum condition;co or dinate system;general so lutio n 0 引言 自Messl 提出自由网平差以来[1],其理论研究和应用研究均得到较大的发展,中国学者自20世纪80年代开始对其进行了系统研究 [2 3] 。后来Xu 相继提出了非线性秩亏自由网平差的通解及其应用[4 6],推出不同坐标系以及不同基准下的通解。笔者在介绍秩亏自由网平差通解的基础上,分析了如何将传统自由网平差扩展为各种坐标系、各种基准下的通解。这有助于理解秩亏自由网平差的实质,并在实际应用中通过确定合理的基准从而获取具有物理意义的解。 1 秩亏自由网平差原理 对于非线性大地控制网,观测方程满足 E(L )=F(X ),L =f (X )+ D(L )= 2 0P -1 式中:E ( )为数学期望;D( )为方差; 0为单位权中误差;F ( )、f ( )为非线性函数;X 为初始(任意)坐标系t 维待定坐标向量;L 为n 维观测值向量; 为观测值所含的偶然误差;P 为观测值的权。通常,选定初始坐标系S 0下的一组初始坐标X 0,对观测方程进行线性化得
§8 向量,矩阵范数，矩阵的条件数 一 、 向量、矩阵范数 为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在)(n n n R R ?或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。为此， 这就需要对量空间n R (或n n R ?矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。 (一)向量范数：向量范数是3R 中向量长度概念的推广。 },{1为复数i n n x x x x x C ??????????== 称为n 维复向量空间。 },)({为复数ij n n ij n n a a A A C ??==称为n n ?复矩阵空间。 (2)设n n n C A C x ?∈∈,,称T n H x x x x =≡),,(1 为x 的共轭转置 ， T H A A =称为A 共轭转置矩阵。 在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足 正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。 n R x ∈(或n C x ∈)的某个实值非负函数 x x N ≡)(，如果满足下述条件 (1)正定性 00,0=??=≥x x x (2)齐次性 x ax α=其中R ∈α(或C ∈α) (3)三角不等式 )(,,n n C R y x y x y x ∈∈?+≤+或，称x x N ≡)(是n R 上(或n C )一个向量范数(或为模)。
由三角不等式可推出不等式 (4)y x y x -≤- 下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。 设)(),,(1n n T n C x R x x x ∈∈=或 (1)向量的“∞”范数 i n i x x x N ≤≤∞ ∞=≡1max )( (2)向量的“1”范数 ∑==≡n i i x x x N 1 1 1)( (3)向量的“2”范数 2/11 2 2 /12 2)() ,()(∑===≡n i i x x x x x N (4)向量的能量范数 设n n R A ?∈为对称正定阵 2 /1),()(x Ax x x N R x A A n =≡→∈? 称为向量的能量范数。 设n R x ∈(或n C x ∈)，则)(),(),(12x N x N x N ∞是n R 上(或n C )的向量范数。 证明 只验证三角不等式：对任意n R y x ∈,，则222 y x y x +≤+ 利用哥西不等式：22 ),(y x y x ≤，则有 ),(22 y x y x y x ++=+),(),(2),(y y y x x x ++= 22 2 2 22 2y y x x ++≤222))(y x += 对任何n R y x ∈,则 (1) ∞∞ ≤≤x n x x 2 (2) 212 x n x x ≤≤ (3) ∞∞ ≤≤x n x x 1
第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质； 从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：n n ii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质； 2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1tr(P AP)tr(A)-=；
5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B) 这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。特别当A 和B 为实对称阵或Hermit 矩阵时 0≤|t r(AB)|≤ 定理：设A 和B 为两个n 阶Hermite 阵,且A≥0，
秩亏自由网平差的研究 刘 阳 （江苏师范大学，城建学部，江苏 徐州 ） 摘要：秩亏自由网是因为控制网中没有足够的起始数据, 即缺乏基准的平差问题,因此按间接平差进行平 差时, 其误差方程的系数阵 B 不能满足列满秩的要求, 相应的法方程系数阵T bb N B PB 是秩亏阵. 为了求定未知参数的唯一确定解, 除了遵循最小二乘准则外, 还需增加新的基准约束条件 , 从而得到未知参数的唯一确定解. 本文主要利用MATLAB 从传统的测量平差的观点出发, 来计算例题，分析，和论述亏秩自由网平差 之解的性质,讨论了附加矩阵S 的形式了确定的方式，讨论了秩亏自由网平差之解与传统自由网平差之解的关系, 给出了详细的解答过程，并且比较了俩种方法的各自的优缺点,给出总结。 关键词：秩亏自由网；平差；间接平差 Research Rank Defect Free Network Adjustment Liuyang (School of Urban construction and design, Jiangsu Normal University, 221116) Abstract:Rank Defect Free Network control network because of not enough initial data,That lack of adjustment problems benchmark.Therefore, when carried out by indirect adjustment adjustment, the coefficient matrix B error equation does not meet the requirements of full rank.Corresponding normal equation coefficient matrix is rank deficient matrix.In order to find a unique set of unknown parameters to determine the solution, in addition to following the least squares criterion, the need to add a new benchmark constraints, resulting in a unique solution to determine the unknown parameters. The main advantage of MATLAB article from the traditional viewpoint of Surveying Adjustment,Analysis of the nature of the calculation examples, and discusses the loss of rank free net adjustment of the solution,Additional discussion of the form of the S matrix determined, discusses the relationship between solutions of rank defect free network adjustment of the solution with the traditional free network adjustment, the process gives a detailed answer, and compare the two methods of their advantages and disadvantages.Gives summary. Key words: Rank-defect free net adjustment; adjustment; condition comparison 引言 在现代测量数据处理过程中，秩亏自由网平差在近几十年得到了广泛应用，是重要的数据处理方法之一，特别是在变形监测、最优化设计中，秩亏自由网平差都展现出其优势。
秩亏自由网平差的应 用
秩亏自由网平差的应用 一、问题及解决方案 水利工程布设控制网是为测量工作提供依据，在精度上起到控制作用。平面、高程控制网的建立通常情况下需要起算基准。 按规划设计阶段的《水利水电工程测量规范》第2.1.4条要求，建立基本平面控制网时，在长度小于60km的测区或任何长度的狭长带状测区时，可不进行高斯投影，采用任意平面直角坐标系统。第3.1.1条要求，建立基本高程控制网时，对远离国家水准点的地区，引测有困难时，可采用独立高程系统[1]。 也有这种情况：由于时间紧急、未曾获得国家系统数据，而需要先进场开展测量工作。此时，在没有起算数据的情况下，通常的做法是假设起算数据，但这样会导致观测精度相同而平差成果精度却不均匀：即离假设已知点越远，其精度越差。 解决方案：考虑使用秩亏自由网进行严密平差来建立基本平面、高程控制网，使精度均匀，误差按权分配。 二、秩亏自由网平差 1、秩亏自由网
我们知道，间接平差中观测误差方程为[2] ： nxl V =^ uxl nxu x B -nxl l (1) 法方程表示为： ^ uxl uxu x N -uxl f = 0 （2） 式中 uxu N =B T PB ，f = B T P l 。 由于缺乏起算基准，误差方程系数矩阵B 非满秩：R （B ）= t < u ；法方程系数矩阵N 也非满秩：R （N ）= t < u 。 秩亏数d = u – t 等于控制网必要起算数据个数。在常用网中，对于水准网 d = 1；对于边角网 d = 3；对于测角网 d = 4。 为改善奇异性，为平差参数 ^ uxl x 附加d 个基准条件： dxu S T ^ uxl x = 0 （3） 且线性无关，与法方程也线性无关，即： uxd uxu S N = 0，R （S ）=d 。 由此秩亏自由网平差模型为： nxl V = ^ uxl nxu x B - nxl l dxu S T ^ uxl x = 0 （4） V T PV = Min 法方程表示为：
第五专题矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质； 从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义： n n ii i i1i1 tr(A)a == ==λ ∑∑，etrA=exp(trA) 性质： 1. tr(A B)tr(A)tr(B) λ+μ=λ+μ，线性性质；
2. T tr(A )tr(A)=； 3. tr(AB)tr(BA)=； 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）； 9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)
地质工程与测绘学院 实习报告 课程名称：近代测量数据处理与应用 实习名称：秩亏自由网平差程序设计上机实习班级： 学号： 姓名： 指导教师： 实习时间：2013年10月28日
一、 实习目的 1. 理解秩亏自由网平差的函数模型和随机模型； 2. 理解广义逆、最小范数逆、伪逆的概念 3. 学会如何求解最小范数逆和伪逆； 4. 理解秩亏自由网平差数据的处理的一般过程。 5. 加强程序的理解力、使用给定的程序处理数据； 二、 实验基本原理 误差方程 ?? ? ??=-=-?∧ ???P l D l X A V n u u n n 1 21110)(σ 由最小二乘原理min =PV V T ，可得 1 n n n u 1 u u u ???∧ ??=n T l P A X N 由于R(N)=R （A ）=t
2) 伪逆解法 采用满秩分解法求解伪逆 三、 程序操作流程 Pl A N X T +=?)()(N N N NN N N T T T -+=
秩亏自由网平差的应用 一、 问题及解决方案 水利工程布设控制网是为测量工作提供依据，在精度上起到控制作用。平面、高程控制网的建立通常情况下需要起算基准。 按规划设计阶段的《水利水电工程测量规范》第2.1.4条要求，建立基本平面控制网时，在长度小于60km 的测区或任何长度的狭长带状测区时，可不进行高斯投影，采用任意平面直角坐标系统。第3.1.1条要求，建立基本高程控制网时，对远离国家水准点的地区，引测有困难时，可采用独立高程系统[1]。 也有这种情况：由于时间紧急、未曾获得国家系统数据，而需要先进场开展测量工作。此时，在没有起算数据的情况下，通常的做法是假设起算数据，但这样会导致观测精度相同而平差成果精度却不均匀：即离假设已知点越远，其精度越差。 解决方案：考虑使用秩亏自由网进行严密平差来建立基本平面、高程控制网，使精度均匀，误差按权分配。 二、秩亏自由网平差 1、秩亏自由网 我们知道，间接平差中观测误差方程为[2]： nxl V =^uxl nxu x B -nxl l (1) 法方程表示为： ^ uxl uxu x N -uxl f = 0 （2） 式中 uxu N =B T PB ，f = B T P l 。 由于缺乏起算基准，误差方程系数矩阵B 非满秩：R （B ）= t < u ；法方程系数矩阵N 也非满秩：R （N ）= t < u 。 秩亏数d = u – t 等于控制网必要起算数据个数。在常用网中，对于水准网 d = 1；对于边角网 d = 3；对于测角网 d = 4。 为改善奇异性，为平差参数 ^uxl x 附加d 个基准条件： dxu S T ^ uxl x = 0 （3） 且线性无关，与法方程也线性无关，即：
MATLAB设计任何网形的秩亏自由网平差和拟稳平差程序设计长安大学王省超2015.5 程序介绍：程序适合于任何网形的水准网平差，原始数据输入到连个excel表格 程序界面： 原始数据录入表格： （1）DH表 （2）GXLB表
程序代码： function xsz=XSZ(num1,num2)%函数功能提取误差系数A [m1,n1]=size(num1); [m2,n2]=size(num2); n=0; for i=1:m1 %用来判断参数个数if num1(i,2)==1 n=n+0; else n=n+1; end end xsz=zeros(m2,n); %建立系数阵，全为零 for i=1:m2 %提取系数阵 q=num2(i,1); z=num2(i,2); xsz(i,z)=1; xsz(i,q)=-1; end end %---------------常数项L-------------------------------------------------------------- function l=L(num1,num2) [m1,n1]=size(num1); [m2,n2]=size(num2); l=zeros(m2,1); for i=1:m2 %计算l q=num2(i,1); z=num2(i,2); l(i,1)=num2(i,4)-num1(z,4)+num1(q,4); end l=l*1000; %把l从米换算为毫米 end %-------------求平差权阵P------------------------------------------------------------ function p=P1(num1,num2) [m1,n1]=size(num1); [m2,n2]=size(num2); p=zeros(m2,m2); for i=1:m2 p(i,i)=1/num2(i,5); end
自由网平差 班级：测绘0911 学号：姓名：日期： 一、实验分析 （1）实验的目的 1.熟悉广义逆的概念和计算 当观测值之间不存在着函数相关，是满秩的，以间接平差为例，在求解 NX=BTPl的时候，N=BTPB，其秩R(N)=R(BTPB)=R(B)=t，N为非奇异的，存在凯利逆，所以法方程存在唯一的解，称为经典自由网平差，而当网中不设起始数据或不存在必要的起始数据，而且又设网点坐标为待平差参数，误差方程系数阵列亏，这样的平差称为秩亏自由网平差，而这里就引入了广义逆的概念，广义逆是对任何矩阵定义的一种逆矩阵，设A为n*m阵，秩R(A)=γ<=min（m，n），满足方程AGA=A，的G定义为A的广义逆，G为m*n阵，记为A-不唯一，称为A-型广义逆。（仅当A为m=n阶非奇异方阵时，A-1=A-,唯一） 2.了解秩亏自由网平差的原理和方法 秩亏自由网平差的原理: 误差方程式为V=BX-l，权阵P为D=σ02Q=σ02P-1 平差原则： V T PV=min，X T X=min 法方程及其解为 NX=B T Pl X=N M-B T Pl=N(NN)-B T Pl 因N+也满足最小范数逆的两个条件，故N+∈Nm-,其解也可以用N+表达，即有 X=N+B T Pl=N(NN)-N(NN)-NB T Pl, 单位权方差估值仍为σ02=V T PV/f=V T PV/(n-R(B)) X的协因数阵为 Q XX=Nm-B T PQPB(Nm-)T=N(NN)-N(NN)-N=N+ 或者Q XX=N+ B T PQPBN+=N+NN+=N+ 法方程系数阵N的伪逆N+就是参数估值X的协因数阵。由误差方程式，顾及 Q XV=Q-BQ XX B T=Q-BN+B T 秩亏自由网平差的方法: 第一步：求得误差方程：V=BX-l 第二步：组成法方程:NX=B T Pl 第三步：计算N(NN)-和Nm-=N(NN)- 第四步：计算X=Nm-B T l
《周国标师生交流讲席010》 向量和矩阵的范数的若干难点导引(二) 一． 矩阵范数的定义 引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。 最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m n A C ?∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉 直”的变换），所以，直观上可用mn C 上的向量范数来作为m n A C ?∈的矩阵范数。比如 在1l -范数意义下，111 ||||||m n ij i j A a === ∑∑( ) 12 tr()H A A =； （） 在2l -范数意义下，1 2 211||||||m n F ij i j A a ==??= ??? ∑∑， （） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius 范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。 那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。 定义1 设m n A C ?∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满 足以下条件： （1）非负性：||||0A ≥； （1a ）正定性：||||0m n A O A ?=?= （2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈； （3）三角不等式：||A ||||||||||||, m n A B A B B C ?+≤+?∈ 则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。进一步，若对,,m n n l m l C C C ???上的同类广义矩阵 范数||||?，有 （4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n l B C ?∈， 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。
§8-2 秩亏自由网平差 2学时 在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。 在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为 11 1 ?????-=n t t n n l x B V （8-2-1） 式中系数阵B 为列满秩矩阵，其秩为t B R =)( 。在最小二乘准则下得到的法方程为 0?1 1 =-???t t t t bb W x N （8-2-2） 由于其系数阵的秩为 t B R PB B R N R T bb ===)()()(，所以bb N 为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆bb N 1-，因此具有唯一解，即 W N x bb 1?-= （8-2-3） 当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u ，误差方程为 11 1 ?????-=n u u n n l x B V （8-2-4） 式中 d t u += d 为必要的起算数据个数。尽管增加了d 个参数，但B 的秩仍为必要观测个数，即 u t B R <=)( 其中B 为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d 。 组成法方程 0?1 1 =-???u u u u W x N （8-2-5） 式中 Pl B W PB B N T u T u u ==??1 ，，且u t B R PB B R N R T <===)()()(，所以N 也为秩亏阵，秩亏数为： t u d -= （8-2-6）
秩亏自由网平差（水准网） 1．实验目的 1.掌握秩亏自由网平差的函数模型及原理； 2.提高编制程序、使用相关软件的能力； 3.熟练使用秩亏自由网准则处理测量数据。 2．实验地点 辽宁工程技术大学计算机实验室 3．实验原理 秩亏自由网平差模型式（1-1-1），即 ?? ???==-=min ??min ?x x PV V l x B V T T （1-1-1） 式中：t n t r B R ><=,)(。在min =PV V T 下，由误差方程式可组成法方程为 Pl Βx ΝΤ=? （1-1-2） 因秩t r B R PB B R N R T <===)()()(。N 为奇异，且式为相容方程组，x ?不唯一，为求其最优解，引入最小范数准则min ??=x x T ，即求得法方程（1-1-2）的最小范数解 Pl B N x T m -=? （1-1-3） -=-)(NN N N m （1-1-4） 因N 阵对称，故最小范数逆可按式（1-1-4）计算，则上式为 Pl B NN N x T -=)(? （1-1-5） 式（1-1-3）、（1-1-5）为秩亏自由网平差模型（1-1-1）的最优解，N 的最小范数逆不唯一， 可以在满足式（1-1-3）的条件下任意选择，但其解x ?唯一。 4．精度评定 单位权方差估值仍为 )(?2 B R n PV V f PV V T T -==σ （1-1-6） 其中：f 为平差自由度，即平差问题的多余观测数。 x ?的协因数由式（1-1-3）和式（1-1-5）得 +----===N NN N NN N N PQB B N Q T m T m x x )()()(?? （1-1-7）
《周国标师生交流讲席010》 向量和矩阵的范数的若干难点导引(二) 一． 矩阵范数的定义 引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的，在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”，比如矩阵序列的收敛，解线性方程组时的误差分析等，具体的情况在这里不再复述。 最容易想到的矩阵范数，是把矩阵m n A C ?∈可以视为一个mn 维的向量（采用所谓“拉 直”的变换），所以，直观上可用mn C 上的向量范数来作为m n A C ?∈的矩阵范数。比如 在1l -范数意义下，111 ||||||m n ij i j A a === ∑∑( ) 12 tr()H A A =； （1.1） 在2l -范数意义下，1 2 211||||||m n F ij i j A a ==??= ??? ∑∑， （1.2） 注意这里为了避免与以后的记号混淆，下标用“F ”，这样一个矩阵范数，称为Frobenius 范数，或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。 那么是否矩阵范数就这样解决了？因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来，矩阵之间有乘法运算，它在定义范数时应予以体现，也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。 定义1 设m n A C ?∈，对每一个A ，如果对应着一个实函数()N A ，记为||||A ，它满 足以下条件： （1）非负性：||||0A ≥； （1a ）正定性：||||0m n A O A ?=?= （2）齐次性：||||||||||,A A C ααα=∈； （3）三角不等式：||A ||||||||||||,m n A B A B B C ?+≤+?∈ 则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。进一步，若对,,m n n l m l C C C ???上的同类广义矩阵 范数||||?，有 （4）（矩阵相乘的）相容性：||A ||||||||||||AB A B ≤， n l B C ?∈， 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。 我们现在来验证前面（1.1）和（1.2）定义的矩阵范数是否合法？我们这里只考虑（1.2）,把较容易的（1.1）的验证留给同学们， 三角不等式的验证。按列分块，记1212(,, ,),(,,,)n n A a a a B b b b ==。 2 22112||)(,),(),(||||||F n n F b a b a b a B A +++=+ 2 222222211||||||||||||n n b a b a b a ++++++= ()()2 2 121222||||||||||||||||n n a b a b ≤++ ++ ()()()2 2 2 2 122121222122||||||||2||||||||||||||||||||||||n n n n a a a b a b b b =+ +++ +++ + 对上式中第2个括号内的诸项，应用Cauchy 不等式，则有 222||||||||2||||||||||||F F F F F A B A A B B +≤++2 (||||||||)F F A B =+ （1.3） 于是，两边开方，即得三角不等式。
矩阵范数的意义 几何方法是一种数学思维方法。函数和几何是数学的两条主要主线。我们学习各种函数及其性质，比如微积分、复变函数、实变函数、泛函等。而几何是函数形象表达，函数是几何的抽象描述，几何研究“形”，函数研究“数”，它们交织在一起推动数学向更深更抽象的方向发展。 函数图象联系了函数和几何，表达两个数之间的变化关系，映射推广了函数的概念，使得自变量不再仅仅局限于一个数，也不再局限于一维，任何事物都可以拿来作映射，维数可以是任意维，传统的函数图象已无法直观地表达高维对象之间的映射关系，这就要求我们在观念中，把三维的几何空间推广到抽象的n维空间。 由于映射的对象可以是任何事物，为了便于研究映射的性质以及数学表达，我们首先需要对映射的对象进行“量化”，取定一组“基”，确定事物在这组基下的坐标，事物同构于我们所熟悉的抽象几何空间中的点，事物的映射可以理解为从一个空间中的点到另一个空间的点的映射，而映射本身也是事物，自然也可以抽象为映射空间中的一个点，这就是泛函中需要研究的对象——函数。 从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射，可以用一个矩阵来表达，矩阵被看线性作映射，线性映射的性质可以通过研究矩阵的性质来获得，比如矩阵的秩反映了线性映射值域空间的维数，可逆矩阵反映了线性映射的可逆，而矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，向量的“长度”缩放的比例。 并不是只有线性空间才有范数的定义，任意空间都可以引入范数，这样的空间称为赋范空间，使得这个空间可以被度量，如希尔伯特空间。 范数是把一个事物映射到非负实数，且满足非负性、齐次性、三角不等式，符合以上定义的都可以称之为范数，所以，范数的具体形式有很多种（由内积定义可以导出范数，范数还也可以有其他定义，或其他方式导出），要理解矩阵的算子范数，首先要理解向量范数的内涵。矩阵的算子范数，是由向量范数导出的，由形式可以知： 或方阵