2.2 椭圆
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
思考：(1)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|”改为“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ [提示] (1)点的轨迹是线段F 1F 2.
(2)当距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程
1．思考辨析
(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( ) (2)到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为3的点M 的轨迹为椭圆．( ) (3)椭圆x 225＋y 2
49
＝1的焦点在x 轴上．( )
2．已知椭圆x 2m ＋y 2
16
＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m 等于( )
A ．10
B ．5
C ．15
D ．25
3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )
A.x 2100＋y 236＝1
B.y 2400＋x 2336＝1
C.y 2100＋x 236＝1
D.y 220＋x 2
12
＝1
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．
[跟踪训练]1．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A (0，2)和B ⎝⎛⎭1
2，3，求椭圆的标准方程．
(1)椭圆x 9＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．
(2)已知椭圆x 24＋y 2
3＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，则△PF 1F 2的面积为
________.
[跟踪训练]2．(1)已知P 是椭圆y 5＋x 4＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2
的面积是______________________________．
[探究问题]1.直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．
图2-2-1
2.如图2-2-2，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是什么？为什么？
图2-2-2
(1)已知P 是椭圆x 24＋y 2
8＝1上一动点；O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹方程为______________．
(2)一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.
[跟踪训练]3．(1)已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 4＋y 2
＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．
(2)在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，|AB |＝2，|AC |＝3
2，曲线E 过C 点，动点P 在曲线E 上运动，且|P A |＋|PB |
是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E 的方程．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知A (－5,0)，B (5,0)．动点C 满足|AC |＋|BC |＝10，则点C 的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．直线
C ．线段
D ．点
2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.x 24＋y 2
3＝1 B.x 24＋y 2
＝1 C.y 24＋x 2
3
＝1 D.y 24
＋x 2
＝1 4．已知椭圆x 249＋y 2
24＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________.
5．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.
2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
1．椭圆的简单几何性质
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比c
a
称为椭圆的离心率．
(2)性质：离心率e 的范围是(0,1)．当e 越接近于1时，椭圆越扁；当e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆． 1．思考辨析
(1)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b )的长轴长为a ，短轴长为b .( )
(2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆．( )
(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称．( ) 2．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( )
A ．(－1,0)，(1,0)
B ．(－6,0)，(6,0)
C ．(－6，0)，(6，0)
D ．(0，－6)，(0，6) 3．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A ．5,3,0.8
B ．10,6,0.8
C ．5,3,0.6
D ．10,6,0.6
设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为1
2，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐
标．
[跟踪训练]1．已知椭圆C 1：x 100＋y 64＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点
在y 轴上．
(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．
(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)求经过点M (1,2)，且与椭圆x 212＋y 2
6＝1有相同离心率的椭圆的标准方程.
准方程为( )
A.x 29＋y 216＝1
B.x 225＋y 216＝1
C.x 216＋y 225＝1
D.x 216＋y 2
9
＝1 (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OF A
＝2
3
，则椭圆的标准方程是________．
[探究问题]1点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，怎样求椭圆的离心率？
2．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a,0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距
离为b
7
，求椭圆的离心率e .
已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，则该椭圆的离心率是________.
[跟踪训练]3．(1)椭圆x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ，该椭圆上有一点A ，满足△OAF 是等边三角形(O 为坐
标原点)，则椭圆的离心率是( )
A.3－1 B ．2－3 C.2－1 D ．2－ 2
(2)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，
则椭圆的离心率为________．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长与y 221＋x 2
9＝
1的短轴长相等，则( )
A ．a 2＝15，b 2＝16
B ．a 2＝9，b 2＝25
C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25
D ．a 2＝25，b 2＝9 2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1
2
，则C 的方程是( )
A.x 23＋y 24＝1
B.x 24＋y 23
＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 2
3＝1 3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A.45
B.35
C.25
D.15
4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为1
2
，则m 的值为________．
5．椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )(c >0)，离心率e ＝3
2，焦点到椭圆上点的最短距离
为2－3，求椭圆的方程.
椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 22b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换 成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称 为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足
一.椭圆曲线的介绍 1. 域k(特征0)上的椭圆曲线可看成由下面方程的解全体再加上一个无穷远点：y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2,a,b为k中常数，并且右边判别式Δ=−16(4a3+27b2)不等于0(即为了光滑性要求无重根)。其上的点可以自然地有一个群结构(实数域为例，图自wiki)： 具体说来，取曲线上两个点P,Q,连接P,Q的直线与曲线第三个交点（其存在是因为一元三次方程有两个解在k中，那么由韦达定理第三个也在k中）记为R。不难看出曲线y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2关于x轴对称，R 的对称点就记为P+Q。这样粗糙的讨论可能会有问题，因为可能会出现图中2,3,4的情况，2的情况把Q看成2重点即可，而3的情况迫使我们引入无穷远点0，规定此时和为0,而如果P,Q重合，那么我们就取切线。定义保证如下性质：
随便取一条直线，其与曲线交于三个点P,Q,R（可能有无穷远点，也可能两个点重合），那么P+Q+R=0. 这个定义是“对称”的，可具体写出P+Q的表达式（利用韦达定理）： P，Q不重合时： P，Q重合时： 总之在椭圆曲线上有一个交换群结构，因此我们可以从y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2的一个有理解生成新的有理解，从而得到许多有理解。 椭圆曲线在复数域的图像可以看成复平面模掉一格C/Λ，也就是一个环面： Q上图像可直观想象是实数域的椭圆曲线上的有理点： （图自《数论1 FERMAT的梦想和类域-加藤和也》）
而Qp等非阿局部域及Z/pZ等有限域的情况没有很好的几何图像（当然有限域的平面是有限个点，此时椭圆曲线就是一堆点）。此时不妨就把它看成代数几何意义上的一条曲线。 为了理解为什么椭圆曲线定义成y^2=三次多项式，我们简单讨论一番。 上面已经说过，我们希望找一些好的f，使得f=0即解全体带群结构。而这个群结构的产生巧就巧在定义一个乘法，是把两个东西运算得到一个新东西，总共涉及3个object，而三次方程恰好有三个根，并且两个根加上方程系数完全可以求出第三个根。所以右边就提供了我们一个二元运算。而左边恰好是为了有一个沿x轴的对称（即(x,y)是解，那么(x,-y)也是），相当于提供了一个取逆P→−P,而无穷远点提供给我们一个单位元。 2. 我们需要一些例子。 例子一： y3=x2+6没有整数解 由这个例子可见，一些丢番图方程的求解其实就是求某条椭圆曲线上的整点、有理点问题，而代数数论工具可以应用到求解这类方程上来。
第一节 椭圆 1．椭圆的定义 (1) 第一定义：|)|2(2||||2121F F a a PF PF >=+ （21,F F 为焦点，c F F 2||21=为焦距） 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在． （2）第二定义： )10(,||<<=e e d PF 注：第二定义中焦点与准线应对应 2．椭圆的标准方程（中心在原点，对称轴为坐标原点）(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：1 2 22 2=+b y a x ，其中( > >0，且= 2 a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是 1 2 22 2=+b x a y ，其中a ，b 满足： ． 说明：（1）焦点在22,y x 分母大的对应的坐标轴上； （2）222c b a +=及c b a ,,的几何意义 （3）标准方程的统一形式：),0,0(12 2 n m n m ny mx ≠>>=+ 适用于焦点位置未知的情形 （4）参数方程：?? ?==θ θ sin cos b y a x 3．椭圆的几何性质(对1 2 22 2=+ b y a x ,a > b >0进行讨论) (1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ． (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ； (4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ． (5) 椭圆的准线方程为 ．【课前预习】 1．若方程 11 32 2 =-+ -k y k x 为焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是_______________ 2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是4 3，则此椭圆的标准方程是_____________ 3．若椭圆 12 2 2 =+ m y x 的离心率为2 1，则实数=m ______ 4．已知21,F F 为椭圆14 2 2 =+y x 的左、右焦点，弦AB 过1F ，则AB F 2?的周长为______8 5．已知椭圆 12 16 2 2 y x + =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，N 是MF 1的中点，若6||2=MF ，则 |ON|的长等于 .1 【例题讲解】 例1：根据下列条件求椭圆方程 （1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P （3，0），求椭圆的方程； （2）中心在原点的椭圆，一条准线方程为5=y ，且它的离心率5 5= e ； （3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为5 3 4和 5 3 2，过P 作长轴的垂 线恰好过椭圆的一个焦点；
椭圆及其标准方程 学科：数学 教学内容：椭圆及其标准方程 【基础知识精讲】 1.椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 注意：定义中的常数用2a 表示，｜F 1F 2｜用2c 表示，当2a ＞2c ＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F 1F 2；当2a ＜2c 时，无轨迹.如此，椭圆轨迹一定要有2a ＞2c 这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便. 2.椭圆的标准方程 当焦点在x 轴上时：22a x +22 b y =1(a ＞b ＞0) 当焦点在y 轴上时：22a y +22 b x =1(a ＞b ＞0) 注意：(1)三个量之间的关系：a 2 =b 2 +c 2 (2)由x 2,y 2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x 2的分母大，焦点就在x 轴上，y 2 的分母大，焦点就在y 轴上. (3)在方程Ax 2+By 2 =C 中，只有A 、B 、C 同号时，才可能表示椭圆方程. (4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式. 本节学习方法： 1.求椭圆方程常用待定系数法，定义法，参数法，轨迹法等. 2.利用椭圆的定义和标准方程解决有关问题，一样都转化成某些数值的确定，而这些数值的确定可通过列方程，解方程去解决. 【重点难点解析】 同学们学习“椭圆”应与学习“圆”一样，遵循渐近性，逻辑性.注重数形结合，要紧把握椭圆的定义及其标准方程，需要大伙儿学习本节时，先复习求曲线方程的方法，进行反复的再摸索，再分析再明白得. 例1 求与椭圆92x +4 2 y =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程. 解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程92x +42y =1得C 2 =9-4=5，且焦点在x 轴上，设 所求椭圆方程为22a x +5 22 a y =1 又∵点M(3，-2)在椭圆上
椭圆 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数 () 212F F a >的点的轨 迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a ，2a ＞|F1F2|=2c}； 这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。 （ 2 12F F a =时为线段21F F ， 2 12F F a <无轨迹）。 2．标准方程： 222c a b =- ①焦点在x 轴上：122 2 2=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0） ②焦点在y 轴上：122 2 2=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1 x y m n += 或者 mx2+ny2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 （1）椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b （2）椭圆122 2 2=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 （1）椭圆的顶点：A1（-a ，0），A2（a ，0），B1（0，-b ），B2（0，b ） （2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率 （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即a c 称为椭圆的离心率， 记作e （10< 椭圆及其标准方程及几何性质 一. 教学内容： 椭圆及其标准方程及几何性质 二. 重点、难点 1. 椭圆定义及标准方程 定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两点F1F2称为椭圆焦点。两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。 注意： （1）定义用集合语言，平面内点集P={M|MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|}，其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 （2）当2a=|F1F2|时，轨迹是线段F1F2，当2a<|F1F2|时，轨迹不存在。 2. 椭圆的标准方程 （1）方程推导 （2）方程： 注意： （1）推导过程分四步： ①建系； ②写出点集； ③坐标化； ④化简（注意根式的处理和令a2-c2=b2） （2）当且仅当椭圆的中心在原点、焦点在坐标轴上时，椭圆方程才有标准式。 （3）两种方程中总有a>b>0，哪个变量的分母大，焦点就在相应的坐标轴上。 3. 椭圆的几何性质 （1）范围： 由方程 （2）对称性： ①由图得，关于x轴、y轴和原点对称。 ②由方程得同样结论。 （3）顶点（±a，0），（0，±b） 【典型例题】 例1. F1、F2是椭圆4x2+5y2=20的两个焦点，过F1作倾斜角为45°的弦AB，求△F2AB的周长和面积。 解： 例2. 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程。 （1）长轴长是短轴长的两倍，且过点（2，-6）； （2）x轴上一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为6。 分析：解此类问题的基本方法是“待定系数法” 由a=2b及（2，-6）是椭圆上的点，可解得椭圆方程为 例3. 分析：已知椭圆经过两点，求它的标准方程，一般需分焦点在x轴上和焦点在y轴上 时，椭圆焦点在x轴上，当B>A时，椭圆焦点在y轴上，则可避免讨论。 解： 2.2 椭圆 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 思考：(1)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|”改为“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ [提示] (1)点的轨迹是线段F 1F 2. (2)当距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程 1．思考辨析 (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( ) (2)到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为3的点M 的轨迹为椭圆．( ) (3)椭圆x 225＋y 2 49 ＝1的焦点在x 轴上．( ) 2．已知椭圆x 2m ＋y 2 16 ＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m 等于( ) A ．10 B ．5 C ．15 D ．25 3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( ) A.x 2100＋y 236＝1 B.y 2400＋x 2336＝1 C.y 2100＋x 236＝1 D.y 220＋x 2 12 ＝1 (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． 椭圆方程的公式 椭圆方程是数学中一个非常重要的概念，它在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。本文将介绍椭圆方程的公式及其应用。 一、椭圆方程的定义 椭圆方程是一个二元二次方程，其一般形式为： Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 其中A、B、C、D、E、F均为实数，且A、C不同时为0。 二、椭圆方程的标准形式 椭圆方程可以通过变量替换和平移来化为标准形式： (x-x0)^2/a^2 + (y-y0)^2/b^2 = 1 其中(x0,y0)为椭圆中心点坐标，a、b为椭圆长轴和短轴的长度。 三、椭圆方程的参数 椭圆方程的参数包括中心坐标、长轴和短轴长度、离心率等。 1. 中心坐标：椭圆的中心坐标为(x0,y0)。 2. 长轴和短轴长度：长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。 3. 离心率：椭圆的离心率为e，e的值介于0和1之间，表示椭圆长轴与短轴长度之比。 四、椭圆方程的性质 1. 对称性：椭圆方程具有关于x轴和y轴的对称性。 2. 焦点和直径：椭圆方程有两个焦点F1和F2，它们之间的距 离为2c，c^2=a^2-b^2。椭圆的长轴是过焦点F1和F2的直径。 3. 弦和法线：椭圆方程上任意一点P的切线与椭圆长轴的夹角 是β，法线与椭圆长轴的夹角是α。弦是连接椭圆上任意两点的线段，弦的中垂线与长轴的夹角是β/2，法线与弦的夹角是α-β/2。 五、椭圆方程的公式 1. 椭圆方程的离心率公式： e=sqrt(1-b^2/a^2) 2. 椭圆焦点的坐标公式： F1(x0-c,y0)，F2(x0+c,y0) 3. 椭圆长轴和短轴长度公式： a^2=c^2+b^2 b^2=a^2-c^2 4. 椭圆周长公式： C=4aE(e) 其中E(e)是第二类椭圆积分，可以用级数或逼近公式计算。 5. 椭圆面积公式： S=πab 六、椭圆方程的应用 椭圆方程在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用，以下是一些例子： 1. 圆轨道的近似：当椭圆的离心率e足够小时，它近似为一个圆，因此可以用椭圆方程来描述圆形轨道。 2. 卫星轨道：卫星在地球周围的轨道通常是椭圆形的，因此可以用椭圆方程来描述卫星轨道。 【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： ●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两 焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121 F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性： 【说明】： 1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且a 2= b 2+ c 2. 2. 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。 (三) ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点， 12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan 2 PF F S b θ ∆=。 (四)通径 ：如图：通径长 ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ， (五)点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔22 00 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系： ●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122 22 =+b y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方 程组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定： x 椭圆的标准方程及性质 1． 椭圆的两种定义： (1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ， 212F F a <无轨迹）.其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距. (2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e d PF =，0＜e ＜1的常数 }. 2． 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）.其中22b a c -= （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）.其中22b a c -= 3.椭圆一般方程 两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便. 4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则c 相同。与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为122 2 2=+++m b y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。 5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e 相同。与椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设 为 ， 6：椭圆12222=+b y a x 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的区别和联系 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 离心率 )10(<<= e a c e 准线方程 c a x 2 ±= c a y 2 ±= 焦半径 01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -= x y O F F P A A B 1112 1 2 2 2M M K K 2．2 椭 圆 2．2.1 椭圆及其标准方程 1.了解椭圆的实际背景，理解从具体情境中抽象出椭圆的过程． 2.掌握椭圆的 定义与标准方程． 3．通过对椭圆及其标准方程的学习，了解用坐标法研究曲线的基本步骤． , [学生用书 P24]) 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹． (2)焦点：两个定点F 1，F 2. (3)焦距：两焦点间的距离|F 1F 2|. (4)几何表示：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (常数)且2a ＞|F 1F 2|. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( ) (2)椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( ) (3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a 2＝b 2＋c 2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案：D 3．已知两焦点坐标分别为(2，0)和(－2，0)，且经过点(5，0)的椭圆的标准方程为( ) A ．x 216＋y 2 25 ＝1 B ．x 225＋y 2 16 ＝1 C ．x 225＋y 2 21＝1 D ．x 29＋y 2 25 ＝1 答案：C 4．椭圆x 225＋y 2 169 ＝1的焦点坐标是________． 答案：(0，±12) 5．下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)． ①已知定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)距离相等的点的轨迹为椭圆； ④若点P 到定点F 1(－4，0)，F 2(4，0)的距离的和等于点M (5，3)到定点F 1(－4，0)，F 2(4，0)的距离的和，则点P 的轨迹为椭圆． 解析：①因为2＜2，所以点P 的轨迹不存在；②因为|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；④因为点M (5，3)到定点F 1(－4，0)，F 2(4，0)的距离的和为410＞8，所以点P 的轨迹为椭圆．故填②④. 答案：②④ 求椭圆的标准方程[学生用书P25] (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52 ，－3 2，求它的标准方程； (2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程． 【解】 (1)法一：因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由椭圆的定义知 2a ＝ ⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭ ⎫－322 ＋ ⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭ ⎫－322 ＝210， 所以a ＝10. 又因为c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. 因此，所求椭圆的标准方程为x 210＋y 2 6＝1. 法二：设标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b 2＝1， a 2－ b 2＝4， 解得⎩ ⎪⎨⎪⎧a 2 ＝10，b 2＝6. 知识点总结 圆知识点一、椭圆及其标准方程 1、椭圆的定义：平面内与两定点Fl, F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PFl| + |PF2|=2a, 2a> |FlF2h2c)；这里两个定点Fl, F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。(时为线段，无轨迹)。 2、标准方程： ①焦点在x轴上：(a>b>0)；焦点F (c, 0)②焦点在y 轴上： (a>b>0)；焦点F (0, c)注意：①在两种标准方程中，总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：或者mx2+ny2=l二、椭圆的简单几何性质： 1、范围(1)椭圆(a>b>0)横坐标-aWxWa ,纵坐标- bWxWb (2)椭圆(a>b>0)横坐标-bWxWb,纵坐标- aWxWei 2、对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3、顶点(1)椭圆的顶点：Al (-a, 0) , A2 (a, 0) , Bl (0, -b) , B2 (0, b) (2)线段A1A2, B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4、离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，记作e （）,是圆；e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆；e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。 （2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e, （0 圆锥曲线与方程 椭 圆 知识点 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义:平面内与两定点F １,F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M ＝{P| |ＰF 1｜+|PF 2｜=２a,2a ＞|F 1Ｆ2|=2c}; 这里两个定点F 1,Ｆ2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2ｃ。 (212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹)。 2．标准方程:2 22c a b =- ①焦点在x 轴上：122 22=+b y a x （a>ｂ＞0); 焦点F(±c,0) ②焦点在y 轴上：122 22=+b x a y （a>b>0); 焦点Ｆ（0, ±ｃ) 注意：①在两种标准方程中,总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n + = 或者 ｍx 2+ｎｙ2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 (1）椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0) 横坐标-a ≤x ≤ａ ,纵坐标-ｂ≤x ≤b (2)椭圆122 22=+b x a y (ａ＞b>0) 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴ｙ轴都是对称的,这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3．顶点 (1)椭圆的顶点：A 1（-a,0），A 2（ａ，0),Ｂ1(0，－b)，B 2(０,b) (2)线段A １Ａ2,B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率 (1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比 22c a ,即a c 称为椭圆的离心率，记作e （10< 椭圆及其标准方程 .椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离之和等于常数(大于｜1F｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 注意：定义中的常数用2a表示，｜1F｜用2c表示，当2a＞2c＞时，轨迹为椭圆，当2a2c 时，轨迹为线段1F；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便. .椭圆的标准方程 当焦点在轴上时：(＞＞) 当焦点在轴上时：(＞＞) 注意：()三个量之间的关系： ()由的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，的分母大，焦点就在轴上，的分母大，焦点就在轴上. ()在方程中，只有、、同号时，才可能表示椭圆方程. ()当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式. 典型例题 例求与椭圆共焦点，且过点(，)的椭圆方程. 解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程得，且焦点在轴上，设所求椭圆方程为 又∵点(，)在椭圆上 ∴，得-18a ∴或＜(舍) ∴所求椭圆方程为 解法二：(定义法)椭圆两焦点为( ，)，( ，)，点(，)到这两个焦点距离之和是2a，即 2a｜1F｜｜1F｜ ∴ ∴所求椭圆方程为 例已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点( ，)，( ，)，求椭圆的方程. 解：设椭圆方程为,(＞，＞) 由题意有 解得， ∴所求椭圆方程为 说明：设椭圆方程为(＞，＞)可免讨论焦点的位置，而且计算简便. 例已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程. 解：设两个焦点为1F，且｜｜，｜｜ 由椭圆定义知2a｜｜｜｜∴ 而｜｜＞｜｜知与焦点所在的对称轴垂直. ∴△2F中，∠1F ∴∠1F 2C｜｜ ∴ 故所求方程为或 .(代入法)与椭圆有关的轨迹问题：常用的方法有定义法，坐标转移法，交轨法，点差法. 例已知圆：与圆，动圆与相内切，且与相外切，求动圆圆心的轨迹方程.椭圆及其标准方程及几何性质
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