椭圆图像及方程
X
方程：
1.焦点在X轴时，标准方程为：
2.焦点在Y轴时，标准方程为：
注：椭圆上任意一点到F1，F2距离的和为2a，F1，F2之间的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²，b是参数。
椭圆的标准方程及性质 椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。 一、椭圆的标准方程 椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1 其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。 二、椭圆的性质 1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。 2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。 3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。 4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。
5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两 个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。 6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆 的弦。 7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。 8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。 三、椭圆的应用 椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。以下 是一些椭圆应用的例子： 1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作 椭圆。 2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。 3. 固定时间下的最短路径问题。 4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。 4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。 5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。 总结：
椭圆总结 一、椭圆的定义：（隐含条件） 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 二、 方程 1、标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -= （一个Rt 三角形） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 2、 一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在 x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。要求能熟练的把一般方程转化成标准方程，并找出a,b,c. 三、性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12 2 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 1、范围：|x|≤a ，|y|≤b ； [] [] 22 121212,*,0PF a c a c PF PF b a F PF F BF ∈-+??∈?? ∈角， 2、对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； 3、顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ； （a 半长轴长，b 半短轴长）； 4、通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=a b 2 2 5、离心率： e=c a = =（焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越扁，0=e 是圆。求离心率只需要a,b,c 的一个关系式即可，常与通径问题相结合。 四、直线与椭圆的位置关系 1、判定：联立方程，判别式法（若直线经过椭圆内定点，直线与椭圆一定相交） 2、弦长公式： AB = 三角形的面积问题可转化为1 **, 2 S AB d =其中AB 为弦长，d 为点到直线距离
椭圆的标准方程 一、高考考点分析与讲解： 1．椭圆定义： 平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ） 的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 的距离叫做椭圆的焦距． 说明：当与两个定点21,F F 的距离之和等于||21F F 的点的轨迹是线 段12F F ；与两个定点21,F F 的距离之和小于||21F F 的点的轨迹不存在． 2．根据定义推导椭圆标准方程： 取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴 设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）. 则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数） {}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++= 又， a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴， 化简，得 )()(2 2222222c a a y a x c a -=+-， 由定义c a 22>,02 2>-∴c a 令2 22b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+， 两边同除2 2 b a 得 122 22=+b y a x 此即为椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中 22b c a += 注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程 如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将 方程122 22=+b y a x 中的y x ,调换，即可得 12 2 22=+b x a y ，也是椭圆的标准方程 说明：所谓椭圆标准方程，一定指的是 焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在 12222=+b y a x 与122 22=+b x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(12 2n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两 种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如122 22=+b y a x 中，由于b a >，所以在x 轴 上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)． 3 注：①是0a b >>； ②是222a b c =+（要区别与习惯思维下的勾股定理222c a b =+）； ③是定方程“型”与曲线“形”． 例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b y a x )0(>>b a 9 454 ,58 2,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为 19 252 2=+y x ． 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是(0,2)-、 (0,2)，并且椭圆经过点35(,)22 - ；
一.椭圆曲线的介绍 1. 域k(特征0)上的椭圆曲线可看成由下面方程的解全体再加上一个无穷远点：y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2,a,b为k中常数，并且右边判别式Δ=−16(4a3+27b2)不等于0(即为了光滑性要求无重根)。其上的点可以自然地有一个群结构(实数域为例，图自wiki)： 具体说来，取曲线上两个点P,Q,连接P,Q的直线与曲线第三个交点（其存在是因为一元三次方程有两个解在k中，那么由韦达定理第三个也在k中）记为R。不难看出曲线y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2关于x轴对称，R 的对称点就记为P+Q。这样粗糙的讨论可能会有问题，因为可能会出现图中2,3,4的情况，2的情况把Q看成2重点即可，而3的情况迫使我们引入无穷远点0，规定此时和为0,而如果P,Q重合，那么我们就取切线。定义保证如下性质：
随便取一条直线，其与曲线交于三个点P,Q,R（可能有无穷远点，也可能两个点重合），那么P+Q+R=0. 这个定义是“对称”的，可具体写出P+Q的表达式（利用韦达定理）： P，Q不重合时： P，Q重合时： 总之在椭圆曲线上有一个交换群结构，因此我们可以从y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2的一个有理解生成新的有理解，从而得到许多有理解。 椭圆曲线在复数域的图像可以看成复平面模掉一格C/Λ，也就是一个环面： Q上图像可直观想象是实数域的椭圆曲线上的有理点： （图自《数论1 FERMAT的梦想和类域-加藤和也》）
而Qp等非阿局部域及Z/pZ等有限域的情况没有很好的几何图像（当然有限域的平面是有限个点，此时椭圆曲线就是一堆点）。此时不妨就把它看成代数几何意义上的一条曲线。 为了理解为什么椭圆曲线定义成y^2=三次多项式，我们简单讨论一番。 上面已经说过，我们希望找一些好的f，使得f=0即解全体带群结构。而这个群结构的产生巧就巧在定义一个乘法，是把两个东西运算得到一个新东西，总共涉及3个object，而三次方程恰好有三个根，并且两个根加上方程系数完全可以求出第三个根。所以右边就提供了我们一个二元运算。而左边恰好是为了有一个沿x轴的对称（即(x,y)是解，那么(x,-y)也是），相当于提供了一个取逆P→−P,而无穷远点提供给我们一个单位元。 2. 我们需要一些例子。 例子一： y3=x2+6没有整数解 由这个例子可见，一些丢番图方程的求解其实就是求某条椭圆曲线上的整点、有理点问题，而代数数论工具可以应用到求解这类方程上来。
椭圆及其标准方程 学科：数学 教学内容：椭圆及其标准方程 【基础知识精讲】 1.椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 注意：定义中的常数用2a 表示，｜F 1F 2｜用2c 表示，当2a ＞2c ＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F 1F 2；当2a ＜2c 时，无轨迹.如此，椭圆轨迹一定要有2a ＞2c 这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便. 2.椭圆的标准方程 当焦点在x 轴上时：22a x +22 b y =1(a ＞b ＞0) 当焦点在y 轴上时：22a y +22 b x =1(a ＞b ＞0) 注意：(1)三个量之间的关系：a 2 =b 2 +c 2 (2)由x 2,y 2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x 2的分母大，焦点就在x 轴上，y 2 的分母大，焦点就在y 轴上. (3)在方程Ax 2+By 2 =C 中，只有A 、B 、C 同号时，才可能表示椭圆方程. (4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式. 本节学习方法： 1.求椭圆方程常用待定系数法，定义法，参数法，轨迹法等. 2.利用椭圆的定义和标准方程解决有关问题，一样都转化成某些数值的确定，而这些数值的确定可通过列方程，解方程去解决. 【重点难点解析】 同学们学习“椭圆”应与学习“圆”一样，遵循渐近性，逻辑性.注重数形结合，要紧把握椭圆的定义及其标准方程，需要大伙儿学习本节时，先复习求曲线方程的方法，进行反复的再摸索，再分析再明白得. 例1 求与椭圆92x +4 2 y =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程. 解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程92x +42y =1得C 2 =9-4=5，且焦点在x 轴上，设 所求椭圆方程为22a x +5 22 a y =1 又∵点M(3，-2)在椭圆上
椭圆的一般式方程 椭圆是一个重要的几何图形，它是几何学中最常见的图形之一，具有极其重要的应用。椭圆的一般式方程为： $$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$$ 椭圆可以用一般式方程来描述，用关于x和y的二次多项式表示，即y的平方项和xy项的系数分别为正值。这样的一般式方程描述了一个椭圆，具体的系数a，b，c，d，e，f的符号决定了椭圆的形状。 一般式方程可以用来求解椭圆的长轴长b、短轴长c，以及中心点(x_0,y_0)的坐标等。例如，如果一个椭圆的一般式方程为 $$2x^2+3xy-3y^2+6x+3y+8=0$$ 那么，椭圆的长轴长b=√13，短轴长c=√10，中心点 (x_0,y_0)=(-3,-1)。 对于一般式方程，椭圆的形状是由系数a、b、c、d、e、f决定的，其中a、c不能同时为0，而且bc>0。若a=0，则方程有一条对称轴，这就是所谓的“双曲线”，如： $$3y^2+2x+3y+1=0$$ 若a 0，则椭圆的形状受椭圆的系数a、b、c的符号及大小的影响，可能为拱形、心形、钝边椭圆、圆形等。 椭圆是一个重要的几何图形，它可以作为科学研究和工程设计中最重要的数学工具，而椭圆的一般式方程可以帮助我们更加全面、精确地描述椭圆的形状，大大提高了椭圆的应用。比如，在能量收集、卫星轨迹、以及空间力学等方面椭圆都有着非常广泛的应用。
椭圆的一般式方程的另一个重要的应用是在统计学中，可以使用此方程来表示一组数据的回归曲线，即最佳拟合椭圆，这也是一种重要的统计分析方法。 此外，椭圆的一般式方程还可以用来解决数学问题，比如两台车就绪始同一点出发，经过一个固定的时间，交会路上的一点。由此可以构造出两个椭圆，联立椭圆方程可以得到交会点的坐标，从而解决数学问题。 综上所述，椭圆的一般式方程在几何学、统计学、以及数学问题解决等领域具有极其重要的应用，并且一般式方程可以更加全面、精确地描述椭圆的形状，大大提高了椭圆的应用。
第一部分 椭圆相关知识点讲解 一．椭圆的定义及椭圆的标准方程： 1.椭圆的定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 2.椭圆的标准方程 （1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中 222b a c -= （2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中 222b a c -=； 二．点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221 x y a b +< 三．椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其 中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤ 离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大， 椭圆越扁。⑥通径2 2b a 三．直线与椭圆的位置关系 （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；
（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0?>b a 的区别和联系 6.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB 12x -。 7.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆122 22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0 202y a x b ；
椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便. 2.椭圆的标准方程 当焦点在x轴上时：+ =1(a＞b＞0) 当焦点在y轴上时：+ =1(a＞b＞0) 注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2 (2)由x2,y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上. (3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程. (4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式. 典型例题 例1 求与椭圆+ =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程. 解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程+ =1得C2=9-4=5，且焦点在x轴上，设所 求椭圆方程为+ =1 又∵点M(3，-2)在椭圆上 ∴+ =1，得a4-18a2+45=0 ∴a2=15或a2=3＜5=C2(舍) ∴所求椭圆方程为+ =1 解法二：(定义法)椭圆两焦点为F1(- ，0)，F2( ，0)，点M(3，-2)到这两个焦点距离之和是2a，即 2a=｜M1F1｜+｜M1F2｜= + =2 ∴a2=15 b2=a2-c2=15-5=10
∴所求椭圆方程为+ =1 例2 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1( ，1)，P2(- ， - )，求椭圆的方程. 解：设椭圆方程为mx2+ny2=1,(m＞0，n＞0) 由题意有 解得m= ，n= ∴所求椭圆方程为+ =1 说明：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)可免讨论焦点的位置，而且计算简便. 例3 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程. 解：设两个焦点为F1F2，且｜PF1｜= ，｜PF2｜= 由椭圆定义知2a=｜PF1｜+｜PF2｜=2 ∴a= 而｜PF1｜＞｜PF2｜知PF2与焦点所在的对称轴垂直. ∴Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2= = ∴∠PF1F2= 2C=｜PF1｜cos = ∴b2=a2-c2= 故所求方程为+ y2=1或x2+ =1
椭圆的标准方程及性质 1． 椭圆的两种定义： (1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ， 212F F a <无轨迹）.其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距. (2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的 轨迹，即点集M ={P | e d PF =，0＜e ＜1的常数}. 2． 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）.其中22b a c -= （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）.其中22b a c -= 3.椭圆一般方程 两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2 =1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便. 4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则c 相同。与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为122 2 2=+++m b y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。 5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e 相同。与椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设 为 ， 6：椭圆12222=+b y a x 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的区别和联系 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 122 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 离心率 )10(<<= e a c e 准线方程 c a x 2 ±= c a y 2 ±= 焦半径 01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -= x y O F F P A A B 1112 1 2 2 2M M K K
椭圆公式定理大全 椭圆是一种二维图形，其形状类似于拉伸的圆形。在椭圆中，存在一些重要的定理和公式，可以帮助我们理解和处理椭圆的性质和特征。下面将介绍一些椭圆的重要定理和公式。 1.椭圆的定义： 椭圆可以通过以下定义来描述：在平面上选取两个定点F1和F2，并选取一个距离为2a的两个定点间的连线作为主轴，则椭圆是平面上到这两个定点的距离之和等于常数2a的所有点的轨迹。 2.椭圆的标准方程： 椭圆的标准方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆中心的坐标，a和b是椭圆的半长轴和半短轴的长度。 3.椭圆的焦点： 椭圆的焦点是定义中提到的两个定点F1和F2，它们与椭圆的几何性质密切相关。 4.椭圆的半长轴和半短轴： 椭圆的半长轴是主轴的长度的一半，表示为a；半短轴是次轴的长度的一半，表示为b。半长轴和半短轴的关系可以表示为b²=a²-c²，其中c 是焦点距离中的一半。 5.椭圆的离心率：
椭圆的离心率e定义为焦点与椭圆中心之间的距离与半长轴的比值，即e=c/a。离心率可以用来衡量椭圆的扁平程度，当e=0时，椭圆变为圆形。 6.椭圆的直径和焦距： 椭圆的直径是椭圆上任意两个点之间的最长距离，它恰好等于2a；焦距是椭圆中心到焦点的距离，等于2c。 7.椭圆的周长和面积： 椭圆的周长可以用以下公式表示：C = 4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第二椭圆积分，是一个无法用常规数学表达式表示的函数。椭圆的面积可以用以下公式表示：S = πab。 8.椭圆的焦截式方程： 椭圆的焦截式方程可以表示为x²/a²+y²/b²=1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。 9.椭圆的参数方程： 椭圆的参数方程可以表示为x = h + a cosθ，y = k + b sinθ，其中θ是参数。 10.椭圆的极坐标方程： 椭圆的极坐标方程可以表示为r = (a(1-e²))/(1-e cosθ)，其中r 和θ分别是极坐标系中的半径和角度，a和e是椭圆的参数。
椭圆知识点总结 椭圆学问点总结1 学问点一椭圆的定义 平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的集合叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 依据椭圆的定义可知：椭圆上的点M满意集合，，且都为常数。 当即时，集合P为椭圆。 当即时，集合P为线段。 当即时，集合P为空集。 学问点二椭圆的标准方程 (1)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。 (2)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。 学问点三椭圆方程的一般式 这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较便利，在此供应出来，作为参考： (其中为同号且不为零的常数，)，它包含焦点在轴或轴上两种情形。方程可变形为。 当时，椭圆的焦点在轴上;当时，椭圆的焦点在轴上。 一般式，通常也设为，应特殊留意均大于0，标准方程为。 学问点四椭圆标准方程的求法 1.定义法 椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的
方法之一,当问题是以实际问题给出时，肯定要留意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。 例1、在△ABC中，A、B、C所对三边分别为，且B(1,0)C(1,0)，求满意，且成等差数列时，顶点A的曲线方程。 变式练习1.在△ABC中，点B(6,0)、C(0,8)，且成等差数列。 (1)求证：顶点A在一个椭圆上运动。 (2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。 2.待定系数法 首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来，然后结合问题的条件，建立参数满意的等式，求得的值，再代入所设方程，即肯定性，二定量，最终写方程。 例2、已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，=3b，求椭圆的标准方程。 例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆方程。 变式练习2.求适合以下条件的椭圆的方程; (1)两个焦点分别是(3,0)，(3,0)且经过点(5,0). (2)两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12. 3.已知椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程。 4.求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆标准方程。
椭圆的普通方程 椭圆是一种基本的曲线，它与圆形相似，但有很大的不同。椭圆是二维平面中最常见的曲线，它使用普通方程来描述。椭圆的普通方程有多种不同的形式，其中最简单的形式是标准椭圆方程：（x2/a2）+（y2/b2）=1 其中，a和b分别指椭圆的长轴和短轴。显然，当a = b，等式可以简化为： x2/a2 + y2/a2=1 这是一个圆的方程，a圆的半径。 如果要表示一个实际的椭圆，标准椭圆方程是不够的，我们需要添加一个额外的偏移量，使椭圆移动到新的位置。例如，要描述一个椭圆，可以使用如下方程： （x-h）2/a2 +（y-k）2/b2=1 其中，x-h和y-k表示椭圆的偏移量。h和k分别指定椭圆的中心的 x y标。 此外，椭圆还可以以非标准形式表示，这种形式也称为双曲椭圆方程，它的形式为： （x2/a2）-（y2/b2）=1 双曲椭圆的 a b 与标准椭圆的 a b同，但是 x向和 y向的系数不同。双曲椭圆是一种特殊的椭圆，它的长轴和短轴都不受限制。 椭圆是一种复杂的曲线，其形状受椭圆的参数（a、b、h、k）的影响。椭圆的普通方程提供了一种有效的方法来描述和分析椭圆的特
性。人们通过改变椭圆的参数来控制其外观，用于绘制各种形状的图形。由于椭圆的普通方程比较容易理解和求解，因此它被广泛应用于工程、科学和数学中。 椭圆的普通方程在很多领域都有用处，例如，在电力系统中，可以使用椭圆方程来描述电流和电压的关系。此外，它还被用于最小化函数，用于求解线性和非线性方程组，以及用于绘制受力分析图以及椭圆面积的计算。因此，椭圆的普通方程对工程、科学和数学都有重要的作用。 椭圆的普通方程也可以用来解决许多实际问题，例如，用椭圆方程可以设计各种装饰物，比如椭圆形的画框和壁画。此外，椭圆方程还可以用来计算椭圆形面积以及椭圆周长。 可以看出，椭圆的普通方程是一种非常重要的工具，它可以用来解决很多有趣的实际问题。它可以用来描述椭圆的特性和形状，以及应用于工程、科学和数学方面的实际问题。
圆锥曲线与方程 椭 圆 知识点 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义:平面内与两定点F １,F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M ＝{P| |ＰF 1｜+|PF 2｜=２a,2a ＞|F 1Ｆ2|=2c}; 这里两个定点F 1,Ｆ2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2ｃ。 (212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹)。 2．标准方程:2 22c a b =- ①焦点在x 轴上：122 22=+b y a x （a>ｂ＞0); 焦点F(±c,0) ②焦点在y 轴上：122 22=+b x a y （a>b>0); 焦点Ｆ（0, ±ｃ) 注意：①在两种标准方程中,总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n + = 或者 ｍx 2+ｎｙ2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 (1）椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0) 横坐标-a ≤x ≤ａ ,纵坐标-ｂ≤x ≤b (2)椭圆122 22=+b x a y (ａ＞b>0) 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴ｙ轴都是对称的,这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3．顶点 (1)椭圆的顶点：A 1（-a,0），A 2（ａ，0),Ｂ1(0，－b)，B 2(０,b) (2)线段A １Ａ2,B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭
圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率 (1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比 22c a ,即a c 称为椭圆的离心率，记作e （10<
椭圆的性质与方程 椭圆是数学中一个重要的概念，它具有许多独特的性质和特点。本 文将详细探讨椭圆的性质以及与之相关的方程。在文章中，我们将从 以下几个方面进行论述：椭圆的定义、椭圆的基本性质、椭圆的标准 方程、椭圆的离心率以及椭圆的焦点与直径等。 一、椭圆的定义 椭圆可以定义为平面上到两个固定点的距离之和等于常量的点的集合。这两个固定点称为椭圆的焦点，而常量称为椭圆的长轴长度。椭 圆的形状是闭合曲线，它在长轴上取得最大值，在短轴上取得最小值。 二、椭圆的基本性质 1. 椭圆是一个凸曲线，具有中心对称性。其对称中心位于椭圆的中 心点，即长轴和短轴的交点。 2. 椭圆的长轴和短轴之比称为离心率，记为e。离心率确定了椭圆 的扁平程度，范围在0和1之间。当离心率等于0时，椭圆退化为一个点；当离心率等于1时，椭圆退化为一个线段。 3. 椭圆上的任意一点到焦点的距离之和与椭圆的长轴长度相等。这 一性质称为椭圆的焦距性质，是椭圆独特的特点之一。 三、椭圆的标准方程
椭圆的标准方程可以表示为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。 根据标准方程，我们可以确定椭圆的位置、形状以及大小。 四、椭圆的离心率 椭圆的离心率e可以通过以下公式计算：e = c/a，其中c为椭圆的 焦距，a为长轴长度的一半。离心率可以反映椭圆的扁平程度，当离心 率接近于0时，椭圆趋近于一个圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋 近于一条线段。 五、椭圆的焦点与直径 椭圆的焦点是椭圆上所有点到两个焦点距离之和等于椭圆长轴长度 的一半。焦点在椭圆的中心线上，且与中心线的距离等于椭圆的离心率。椭圆的直径是通过椭圆中心的两个焦点的直线。 综上所述，椭圆具有独特的性质与方程。通过椭圆的定义、基本性质、标准方程、离心率以及焦点与直径的理解，我们可以更好地理解 椭圆的几何特性和运用。椭圆在数学、物理学等领域中有广泛的应用，深入研究椭圆的性质对于进一步探索这些领域的数学模型和问题具有 重要意义。 通过本文的阐述，希望读者对椭圆的性质与方程有了更加全面的理解。椭圆作为数学中的一个重要概念，其独特的几何特性和运用将在 不同领域中不断展现出新的价值和意义。
椭圆方程公式 椭圆方程: 1. 一般式：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 2. 另一般式：$$\frac{\left( x-x_{0} \right)^2}{a^2}+\frac{\left( y-y_{0} \right)^2}{b^2}=1$$ 关于椭圆方程，我们有以下两种叫法： 1. 一般式： 这是用于描述椭圆形状的一般式，其最基本的特征就是椭圆可以被描绘成以原点为中心，半轴$a$和$b$长度分别为椭圆的长短半轴的一个等式，即：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 其中$a$和$b$应满足$a>b$。由此可以看出，椭圆的两个半轴$a$和$b$长短是决定椭圆形状的两个重要参数。 2. 另一般式： 此时也可以用另一种方式来描述椭圆的形状，即：$$\frac{\left( x-x_{0} \right)^2}{a^2}+\frac{\left( y-y_{0} \right)^2}{b^2}=1$$ 其中 $x_0$,$y_0$表示椭圆中心的位置，而$a$和$b$仍然分别为椭圆的长短半轴。但由于半轴$a$和$b$可能不在坐标轴上，因此原本的$x$和 $y$也需要各自减去$x_0$和$y_0$部分，从而形成另一个一般式，即上述的另一般式。
从上述的椭圆方程形式可以得出以下几条重要结论： 1. 椭圆的半轴$a$和$b$是椭圆形状的重要参数； 2. $a>b$时，方程定义的图形被称为椭圆； 3. $a = b$时，方程定义的图形被称为圆； 4. $a < b$时，方程定义的图形被称为抛物线； 5. 一般式和另一般式只是椭圆方程形式的不同表达方式，二者只是参数的变形而已，数学上的内容是一样的。 另外，椭圆函数也有着广泛的应用。比如： 1. 图形学中，椭圆可以用来作为图像的背景，以及设计特殊的标志； 2. 椭圆的函数方程还应用在无线电传播的工程里，用来表示无线信号在传播过程中的损耗； 3. 椭圆的经验公式应用在气象学中，用来描述污染物在空中扩散； 4. 椭圆也为古典力学服务，用来描述天体运动的轨道； 5. 在几何学中，椭圆常常作为特殊的线和面，可以用来构造出各种有趣的几何图形。
椭圆的基本知识 一、基本知识点 知识点一：椭圆的定义：椭圆三定义,简称和比积 1、定义1:(和）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距，定值为＿___＿_＿＿。 2、定义2：（比)到定点和定直线的距离之比是定值的点的轨迹叫做椭圆。定点为焦点,定直线为准线，定值为＿＿____。 3、定义3:(积）到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆。两定点是长轴端点，定值为)01(12 ＜＜m e m --=。 知识点二:椭圆的标准方程 1、当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为_____________＿_，其中2 2 2 b a c -=。 2、当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程为_＿＿___＿＿＿______,其中2 2 2 b a c -=。 知识点三:椭圆的参数方程 )0(122 22＞＞b a b y a x =+的参数方程为＿＿＿_＿__＿__＿_____。 知识点四：椭圆的一些重要性质 (1)对称性:椭圆的标准方程是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心就是椭圆的中心。 (2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足b y a x ≤≤,。 (3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点为椭圆的顶点; ②椭圆)0(122 22＞＞b a b y a x =+与坐标轴的四个顶点分别为_＿__＿＿＿＿_______＿_＿＿ __＿__＿_＿。 ③椭圆的长轴和短轴。 (4)离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示，记作a c a c e ==22。 ②因为0＞＞c a ，所以e 的取值范围是10＜＜e 。 （５）焦半径：椭圆上任一点),(00y x P 到焦点的连线段叫做焦半径。对于焦点在x 轴上的椭圆，左焦半径01ex a r +=,右焦半径02ex a r -=。 （6)准线方程：c a x 2 ±=