椭圆的标准方程及性质(总4页)
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椭圆的标准方程及性质
1． 椭圆的两种定义：
(1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）.其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距.
(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e d
PF =，0＜e ＜1的常数
}.
2． 标准方程：
（1）焦点在x 轴上，中心在原点：122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）.其中
22b a c -=
（2）焦点在y 轴上，中心在原点：122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）.其中
22b a c -= 3.椭圆一般方程
两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便. 4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点，则c 相同。与椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为
12
222=+++m
b y m a x )(2
b m ->，此类问题常用待定系数法求解。 5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e 相同。与椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 共焦点的椭
圆方程可设为 ，
6：椭圆12222=+b y a x 与 122
22=+b
x a y )0(>>b a 的区别和联系
标准方程
122
22=+b y a x )0(>>b a 122
22=+b
x a y )0(>>b a 图形
性质
焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F
),0(1c F -，),0(2c F
焦距
c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤
对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称
顶点 )0,(a ±，),0(b ±
),0(a ±，)0,(b ±
轴长
长轴长=a 2，短轴长=b 2
x y O F F P
A A
B 1112
1
2
2
2M M K K
离心率
)10(<<=
e a
c
e 准线方程 c a x 2
±=
c
a y 2
±=
焦半径
01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -=
7．性质：对于椭圆122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握：
1.范围；②对称轴、对称中心；③顶点；④焦点、焦距；⑤准线方程；⑥离心率. 焦半径c a PF c a PF -=+=min max
,. 2.焦准距c b p 2=；两准线间的距离c a 22=；通径长22b a
⨯.半通径.
3.最大角()12122max FPF FB F ∠=∠
4.
8.点),(00y x P 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a
x 的位置关系:
当122
22
>+b
y a x 时,点P
在椭圆外; 当12222>+b
y a x 时,点P 在椭圆内; 当122
22=+b
y a x 时,点P 在椭圆上;
9.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔
10.弦长公式
11．对椭圆方程
2
2
221x y
a b +=作三角换元可得椭圆的参数方程：⎩⎨⎧θ
=θ=sin cos b y a x ，θ为参数． 12．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：
13对椭圆：122
22=+b x a y ，则k AB =2020
a x
b y -．
第三章：直线与方程的知识点
倾斜角与斜率
1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.
2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点
1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式21
21
y y k x x -=
-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.
注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题. 两条直线平行与垂直的判定
1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：
（1）12//l l 12k k =；（2）12l l ⊥121k k ⋅=-.
2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；…. 直线的点斜式方程
1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.
2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.
3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.
4. 注意：
y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.
直线的两点式方程
1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为
11
2121
y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x y
a b
+
=. 3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.
4. 线段12P P 中点坐标公式1212
(
,)22
x x y y ++. 直线的一般式方程
1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方
程A C
y x B
B
=--
，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.
2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直
线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.
3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.
如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222
A B C A B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B
A B ⇔≠.
两条直线的交点坐标
1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组111222
0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨
++=⎩. 若方程组有惟一解，则
两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；
若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.
2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离
1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y
，则两点间的距离为：12||PP . 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；
点到直线的距离及两平行线距离 1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=
的距离公式为d =
2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的
距离公式d =
，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即
002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=
的距离为d =
=
椭圆的标准方程及性质 椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。 一、椭圆的标准方程 椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1 其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。 二、椭圆的性质 1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。 2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。 3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。 4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。
5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两 个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。 6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆 的弦。 7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。 8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。 三、椭圆的应用 椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。以下 是一些椭圆应用的例子： 1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作 椭圆。 2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。 3. 固定时间下的最短路径问题。 4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。 4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。 5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。 总结：
椭圆总结 一、椭圆的定义：（隐含条件） 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 二、 方程 1、标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -= （一个Rt 三角形） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 2、 一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在 x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。要求能熟练的把一般方程转化成标准方程，并找出a,b,c. 三、性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12 2 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 1、范围：|x|≤a ，|y|≤b ； [] [] 22 121212,*,0PF a c a c PF PF b a F PF F BF ∈-+??∈?? ∈角， 2、对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； 3、顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ； （a 半长轴长，b 半短轴长）； 4、通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=a b 2 2 5、离心率： e=c a = =（焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越扁，0=e 是圆。求离心率只需要a,b,c 的一个关系式即可，常与通径问题相结合。 四、直线与椭圆的位置关系 1、判定：联立方程，判别式法（若直线经过椭圆内定点，直线与椭圆一定相交） 2、弦长公式： AB = 三角形的面积问题可转化为1 **, 2 S AB d =其中AB 为弦长，d 为点到直线距离
【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程： ●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性： ●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤， b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2
离心率 ①(01)c e e a = << ，②21()b e a =-③2 22b a c -= （离心率越大，椭圆越扁） 1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且a 2= b 2+ c 2. 2. 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。 (三)焦点三角形的面积公式：122tan 2 PF F S b θ ?=如图： ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点， 12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan 2 PF F S b θ ?=。 (四)通径 ：如图：通径长 2 2b MN a = ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a ， (五)点与椭圆的位置关系： （1）点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系： ●设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆122 22=+b y a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程 组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； M N F x y
椭圆的标准方程 一、高考考点分析与讲解： 1．椭圆定义： 平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ） 的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 的距离叫做椭圆的焦距． 说明：当与两个定点21,F F 的距离之和等于||21F F 的点的轨迹是线 段12F F ；与两个定点21,F F 的距离之和小于||21F F 的点的轨迹不存在． 2．根据定义推导椭圆标准方程： 取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴 设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）. 则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数） {}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++= 又， a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴， 化简，得 )()(2 2222222c a a y a x c a -=+-， 由定义c a 22>,02 2>-∴c a 令2 22b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+， 两边同除2 2 b a 得 122 22=+b y a x 此即为椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中 22b c a += 注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程 如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将 方程122 22=+b y a x 中的y x ,调换，即可得 12 2 22=+b x a y ，也是椭圆的标准方程 说明：所谓椭圆标准方程，一定指的是 焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在 12222=+b y a x 与122 22=+b x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(12 2n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两 种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如122 22=+b y a x 中，由于b a >，所以在x 轴 上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)． 3 注：①是0a b >>； ②是222a b c =+（要区别与习惯思维下的勾股定理222c a b =+）； ③是定方程“型”与曲线“形”． 例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b y a x )0(>>b a 9 454 ,58 2,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为 19 252 2=+y x ． 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是(0,2)-、 (0,2)，并且椭圆经过点35(,)22 - ；
椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23- ,2 5） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b y a x )0(>>b a 9 454 ,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为 19 252 2=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知， 22)225()23(2++-=a ＋22)22 5 ()23(-+- 102 11023+= 102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为 6 102 2=+x y 另法：∵ 42 222-=-=a c a b ∴可设所求方程14 2 2 22=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程 (3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： . 椭圆的标准方程及性质椭圆的两种定义：1． y?? F2a?F FF的点的轨迹，即点，(1)平面内与两定点的距离的和等于定长212PMM FF2a?FF FPFPFaFaMP，|+|时为线段|=2|}，2＞集|={；| |（1221122121 A2FF2a?FF. ，其中两定点叫焦点，定点间的距离叫焦距无轨迹）. xA O FFKK212111221的正常数的点的(2)平面 内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1PF?ePM. ＜={1的常数| ，0＜轨迹，即点集e?d 2．标准方程：22yx22ccFxabF b??ac 0＞0）；焦点）（－，0）， .（（1）焦点在（轴上，中心在原点：其中＞，1??2122ba22xy22ccFyabF1??，.（（0＞，＞0）；焦点其中（）焦点在（20轴上，中心在原点：，－））ba?c?2122ba 3.椭圆一般方程22BAABxAAxByABB时＜轴上，=1 （当＞0，，＞0时，椭圆的焦点在两种标准方程可用统一形式表示：≠+＞y. 焦点在，已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便轴上）．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异42222yxxy211????)(m??b)0?b?(a共焦点的椭圆方程可设为相同。与椭圆，共焦点，则c2222m?mbaba?此类问题常用待定系数法求解。22yx1??)0b?(a?共焦点的椭圆方程可设e相同。与椭圆共5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程离 心率，则22ba，为 2222xyxy1??1??)?0(a?b与6：椭圆的区别和联系 2222bbax??1??1(a?b?0(a?b?)0)标准方程2222abab 图形 F(?c,0)F(c,0)F(0,?c)F(0,c)，，焦点2121FF?2cc2F?F焦距2121x?by?b?a?xay，，范围 一.椭圆曲线的介绍 1. 域k(特征0)上的椭圆曲线可看成由下面方程的解全体再加上一个无穷远点：y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2,a,b为k中常数，并且右边判别式Δ=−16(4a3+27b2)不等于0(即为了光滑性要求无重根)。其上的点可以自然地有一个群结构(实数域为例，图自wiki)： 具体说来，取曲线上两个点P,Q,连接P,Q的直线与曲线第三个交点（其存在是因为一元三次方程有两个解在k中，那么由韦达定理第三个也在k中）记为R。不难看出曲线y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2关于x轴对称，R 的对称点就记为P+Q。这样粗糙的讨论可能会有问题，因为可能会出现图中2,3,4的情况，2的情况把Q看成2重点即可，而3的情况迫使我们引入无穷远点0，规定此时和为0,而如果P,Q重合，那么我们就取切线。定义保证如下性质： 随便取一条直线，其与曲线交于三个点P,Q,R（可能有无穷远点，也可能两个点重合），那么P+Q+R=0. 这个定义是“对称”的，可具体写出P+Q的表达式（利用韦达定理）： P，Q不重合时： P，Q重合时： 总之在椭圆曲线上有一个交换群结构，因此我们可以从y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2的一个有理解生成新的有理解，从而得到许多有理解。 椭圆曲线在复数域的图像可以看成复平面模掉一格C/Λ，也就是一个环面： Q上图像可直观想象是实数域的椭圆曲线上的有理点： （图自《数论1 FERMAT的梦想和类域-加藤和也》） 而Qp等非阿局部域及Z/pZ等有限域的情况没有很好的几何图像（当然有限域的平面是有限个点，此时椭圆曲线就是一堆点）。此时不妨就把它看成代数几何意义上的一条曲线。 为了理解为什么椭圆曲线定义成y^2=三次多项式，我们简单讨论一番。 上面已经说过，我们希望找一些好的f，使得f=0即解全体带群结构。而这个群结构的产生巧就巧在定义一个乘法，是把两个东西运算得到一个新东西，总共涉及3个object，而三次方程恰好有三个根，并且两个根加上方程系数完全可以求出第三个根。所以右边就提供了我们一个二元运算。而左边恰好是为了有一个沿x轴的对称（即(x,y)是解，那么(x,-y)也是），相当于提供了一个取逆P→−P,而无穷远点提供给我们一个单位元。 2. 我们需要一些例子。 例子一： y3=x2+6没有整数解 由这个例子可见，一些丢番图方程的求解其实就是求某条椭圆曲线上的整点、有理点问题，而代数数论工具可以应用到求解这类方程上来。 椭圆的标准方程与几何性质 一、知识梳理 1、椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 思考：若与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（小于或等于||21F F ）的点的轨迹又是如何？ 2．标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在坐标原点的椭圆的标准方程为122 22=+b y a x ; （2）焦点在y 轴上，中心在坐标原点的椭圆的标准方程为122 22=+b x a y . 3、重要关系： 2 2 2 a b c =+。（注意大小关系） 4、椭圆的几何性质 由椭圆方程122 22=+b y a x (0>>b a ) 研究椭圆的性质。 （1）范围：a x a ≤≤-,b y b ≤≤-（椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中） （2）对称性：图形关于原点对称．原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴． 长轴与短轴长分别为b a 2,2。b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。 椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(21a A a A -，),0(),,0(21b B b B -。 【小秘书】 （1）求椭圆方程的方法：除了定义外，常用待定系数法； （2）当椭圆的焦点位置不确定时，可设方程为22 1x y m n +=（,0m n >），避免讨论和繁杂的计算。 （3）要重视椭圆定义解题的重要作用，要注意归纳提炼，优化解题过程。 【例1】求满足下列各条件的椭圆的标准方程.： 椭圆的定义与性质 1．椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距． (2)第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e (0 1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)动点P 到两定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (4)已知点F 为平面内的一个定点，直线l 为平面内的一条定直线．设d 为平面内一动点P 到定直线l 的距离，若d ＝5 4 |PF |，则点P 的轨迹为椭圆．( ) [解析] (1)错误，|PA |＋|PB |＝|AB |＝4，点P 的轨迹为线段AB ；(2)正确，根据椭圆的第一定义知PF 1 ＋PF 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，故△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确，根据椭圆的第二定义． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材习题改编)焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为10 5 ，则m ＝________. [解析] 由题设知a 2 ＝5，b 2 ＝m ，c 2 ＝5－m ，e 2 ＝c 2a 2＝5－m 5＝(105)2＝2 5 ，∴5－m ＝2，∴m ＝3.[答案] 3 3．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____． [解析] 椭圆的焦点在y 轴上，且c ＝6,2a ＝20，∴a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝64，故椭圆方程为x 264＋y 2 100＝1. [答案] x 264＋y 2 100 ＝1 4．(2014·无锡质检)椭圆x 24＋y 2 3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大 时，△FAB 的面积是________． [解析] 直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8， 此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △FAB ＝1 2 ×2×3＝3.[答案] 3 5．(2014·江西高考)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是 线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 椭圆及其标准方程及几何性质 一. 教学内容： 椭圆及其标准方程及几何性质 二. 重点、难点 1. 椭圆定义及标准方程 定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两点F1F2称为椭圆焦点。两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。 注意： （1）定义用集合语言，平面内点集P={M|MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|}，其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 （2）当2a=|F1F2|时，轨迹是线段F1F2，当2a<|F1F2|时，轨迹不存在。 2. 椭圆的标准方程 （1）方程推导 （2）方程： 注意： （1）推导过程分四步： ①建系； ②写出点集； ③坐标化； ④化简（注意根式的处理和令a2-c2=b2） （2）当且仅当椭圆的中心在原点、焦点在坐标轴上时，椭圆方程才有标准式。 （3）两种方程中总有a>b>0，哪个变量的分母大，焦点就在相应的坐标轴上。 3. 椭圆的几何性质 （1）范围： 由方程 （2）对称性： ①由图得，关于x轴、y轴和原点对称。 ②由方程得同样结论。 （3）顶点（±a，0），（0，±b） 【典型例题】 例1. F1、F2是椭圆4x2+5y2=20的两个焦点，过F1作倾斜角为45°的弦AB，求△F2AB的周长和面积。 解： 例2. 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程。 （1）长轴长是短轴长的两倍，且过点（2，-6）； （2）x轴上一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为6。 分析：解此类问题的基本方法是“待定系数法” 由a=2b及（2，-6）是椭圆上的点，可解得椭圆方程为 例3. 分析：已知椭圆经过两点，求它的标准方程，一般需分焦点在x轴上和焦点在y轴上 时，椭圆焦点在x轴上，当B>A时，椭圆焦点在y轴上，则可避免讨论。 解： 椭圆及其标准方程 椭圆是数学中的一个重要概念，指的是平面上一组点，到两个固定 点（称为焦点）的距离之和是常数的点的集合。它是圆锥曲线之一， 在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。本文将介绍椭圆及 其标准方程。 一、椭圆 椭圆是一个常出现于生活中的几何形状，比如篮球、鸡蛋等，都是椭 圆形状。在代数学中，一个在平面内有两个固定焦点F1和F2的点P，使得PF1+PF2=2a（a>0），则称这个点P在以F1和F2为焦点、2a为 长轴的椭圆上。椭圆也可以看成一个斜着的圆，所以我们也可以称其 为“斜圆”。 二、标准方程 椭圆的标准方程表示为： （x^2/a^2）+（y^2/b^2）=1 其中，a和b分别代表长轴和短轴的长度。这个方程的中心在坐标系原点，椭圆的形状和位置通过a和b的取值来确定。如果a>b，那么椭圆 的长轴与x轴平行；如果b>a，那么椭圆的长轴与y轴平行；如果a=b，那么椭圆就是一个圆。 三、椭圆的性质 1. 椭圆中任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。 2. 椭圆中心为坐标系原点O，且椭圆的长轴与x轴夹角为α，则椭圆上任何一点P(x,y)的斜率为k=tan(α±β)或k=tan(β-α)，其中β为焦点在椭圆中心连线与x轴正半轴的夹角。 3. 椭圆上任意一条弦都不超过椭圆的长轴长度2a。 4. 椭圆的离心率e满足e=c/a，其中c为两个焦点之间的距离。 4. 椭圆的离心率大小决定了椭圆的胖瘦。当离心率越小，椭圆越圆；当离心率越大，椭圆越瘦长。 五、应用 椭圆在数学、物理、工程中都有广泛应用。比如说，在天文学中，行星绕太阳运动的轨迹就是一个椭圆；在航空、航天中，椭圆形状的轨道是探测器、卫星等航天器的常用轨道；在通讯中，椭圆抛物线天线是一种常用的天线，特点是既可以做发射天线，也可以做接收天线。 结语：椭圆是一种非常有趣的几何图形，它具有很多独特的性质和应 几点补充： 1、一般方程：2 2 1(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠且1112 2=+⇒B y A x .由一般式如何求a,b 及确定焦点的位置？ 2、椭圆的参数方程：122 22 =+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θ θ sin cos b y a x 3、统一定义：椭圆是平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线l ()F l ∉的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹，其中定点F 是焦点，定直线l 是准线，常数e 是离心率. 4、2 2 1a b a c e -== , b a =.离心率越大,椭圆越扁长. ¤求椭圆的方程 1．离心率2 1 = e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 . 2．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________． 3．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于 ． 4．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率3 2 = e ，短轴长为58，求椭圆的方程． 5.设12,F F 是椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右两个焦点，若椭圆上的点3(1,)2A 到12,F F 两点的距离之和等于4， 写出椭圆C 的方程和焦点坐标 ¤椭圆的标准方程 7.椭圆5522 =+ky x 的一个焦点是（0，2） ，那么k 等于 。 8、若椭圆 22 12x y m +=的离心率为12，则m= ¤椭圆的第一定义与焦点三角形 9.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2 213 x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上， 则△ABC 的周长是 10.在平面直角坐标系xoy 中,已知△ABC 的顶点 (4,0),(4,0)A C -，顶点 B 在椭圆 22 1259 x y +=上，则s i n s i n s i n A C B += 。 11.已知12,F F 是椭圆C ： 22 1259 x y +=左右两个焦点，若P 为椭圆的的一点，且12PF PF ⊥，求12F PF ∆的面积。 12.已知椭圆的方程为22 143 x y +=，点P 在椭圆上，12,F F 是椭圆的两个焦点，且01260F PF ∠=，求三角形12PF F ∆的面积。 ¤中点弦问题 13.过椭圆 14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使得弦被M 点平分，求此弦所在的直线方程. 14.焦点在x 轴上的椭圆与直线 2 3 21+-=x y 交于点A,B,且AB 中点为M(1,1),求椭圆的离心率. ¤轨迹问题 直接法 定义法 相关点法 设参消参法 交轨法 15.△ABC 周长为16cm ,BC=6cm ,固定点B,C,建立适当的坐标系,求点A 的轨迹方程. 16.已知动圆M 和圆C 1：(x+1)2+y 2=36内切，并和圆C 2：(x-1)2+y 2=4外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。 17.点P 是圆F 1:()8122=++y x 上任意一点,点F 2(1,0) , P F 2的中垂线交线段PF 1 于点M,求点M 的轨迹方程. 椭圆的标准方程与性质 教学目标： 1 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点： 在高考中所占分数：13分 考查出题方式：解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有：求曲线方程，弦长，面积，对称关系，范围问题，存在性问题。 涉及到的基础知识 1．引入椭圆的定义 在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： 有以下3种情况 (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 题型总结 类型一 椭圆的定义及其应用 例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 【解析】根据CD 是线段MF 的垂直平分线.可推断出,进而可以知 道 结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P 的轨迹 【答案】根据题意知,CD 是线段MF 的垂直平分线. , (定值),又显然 , 根据椭圆的定义可推断 出点P 轨迹是以F 、O 两点为焦点的椭圆.所以A 选项是正确的 练习１：已知F 1，F 2是椭圆C ：22 221x y a b +=(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭 圆C 上的一点，且 PF → 1⊥2PF ，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________． 【解析】由题意的面积 ∴ 故答案为： 【答案】3 练习2：已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 2 9＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) 椭圆的标准方程与其几何性质 1. 椭圆定义： 〔1〕第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时,P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时,P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时,P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 〔2〕椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是〔0，－2〕和〔0,2〕且过〔23- ,2 5〕 (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 解：〔1〕因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 12 2 22=+b y a x )0(>>b a 9 454 ,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a 所以所求椭圆标准方程为 9 252 2=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为 122 22=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知， 22)225()23(2++-=a ＋22)22 5 ()23(-+- 102 11023+= 102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为6 102 2=+x y 另法：∵42 222-=-=a c a b ∴可设所求方程142 222=-+a x a y ，后将点〔23-,2 5 〕的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程 (3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： 椭圆及其标准方程 椭圆是平面上的一个几何图形，它由到两个给定点的距离之和等于常数的点构成。这两个点通常被称为焦点，相应的常数被称为焦距。椭圆是一个非常重要的几何图形，出现在许多数学和科学领域中，如天文学、工程学和物理学等。 一个椭圆可以通过其标准方程来描述。椭圆的标准方程是一个关于x 和y的二次方程，它在平面上表示一个椭圆。标准方程的形式为：(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1 其中（h，k）是椭圆的中心点坐标，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴长度。半长轴是椭圆上离中心最远的点到中心的距离，半短轴是椭圆上离中心最近的点到中心的距离。 椭圆的形状由半长轴和半短轴的比例确定。当a>b时，椭圆的形状更接近于一个圆，当a=b时，椭圆变成一个圆，当a Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 其中A、B、C、D、E和F是任意实数，且A和C不能同时为零。这是一个二次曲线的一般方程，当方程表示一个椭圆时，A和C满足A和C的符号相同。 椭圆在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。在天文学中，行星和卫星的轨道通常被建模为椭圆。在工程学中，椭圆被用于设计喷泉和游泳池的形状，以及船体和飞机的外形设计。在物理学中，椭圆被用于描述电磁波的传播和光学系统中的电子轨道。此外，椭圆还在数学分析和微积分中起到了重要的作用。 总之，椭圆及其标准方程是一种重要的几何图形，它在数学和科学领域中具有广泛的应用。通过了解椭圆的性质和方程，我们可以更好地理解和应用这个几何图形。 椭圆的标准方程及性质 1． 椭圆的两种定义： (1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ， 212F F a <无轨迹）.其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距. (2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e d PF =，0＜e ＜1的常数 }. 2． 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）.其中22b a c -= （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）.其中22b a c -= 3.椭圆一般方程 两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便. 4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则c 相同。与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为122 2 2=+++m b y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。 5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e 相同。与椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设 为 ， 6：椭圆12222=+b y a x 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的区别和联系 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 离心率 )10(<<= e a c e 准线方程 c a x 2 ±= c a y 2 ±= 焦半径 01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -= x y O F F P A A B 1112 1 2 2 2M M K K椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质
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