椭圆及其标准方程
自主预习·探新知
情景引入
椭圆是一种美丽的曲线，它具有形状美和科学美．“神舟”六号载人飞船进入预定轨道绕地球飞行，其运行的轨道就是以地球中心为一个焦点的椭圆，本节我们将学习椭圆的定义及椭圆的方程，这样我们能算出“神舟”六号绕地飞行的轨迹方程． 新知导学 1．椭圆的概念
平面内与两个定点F 1、F 2的距离的__和__等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的__焦点__，__两焦点__间的距离叫做椭圆的焦距．当常数等于|F 1F 2|时轨迹为__线段F 1F 2__，当常数小于|F 1F 2|时，轨迹__不存在__. 2．椭圆的标准方程
当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为__x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)__；当焦点在y 轴上时，椭圆的
标准方程为__y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)__.
其中在椭圆的标准方程中a ，b ，c 的关系为__a 2＝b 2＋c 2__. 预习自测
1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝10，则动点M 的轨迹是( A ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆
D ．线段
[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝10>|F 1F 2|＝6， 由椭圆定义，动点M 轨迹为椭圆．
2．设P 是椭圆x 24＋y 2
3＝1上的任意一点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于
( A ) A ．4 B ．2 C ．23
D ．3 [解析] ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴选A ．
3．椭圆x 2m ＋y 2
4＝1的焦距是2，则m 的值是( C )
A ．5
B ．3或8
C ．3或5
D ．20 [解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1， ∴m ＝5或m ＝3，故选C ．
4．(浙江丽水市2019－2020学年高二质监)椭圆x 22＋y 2
3＝1的焦点坐标是( A )
A ．(0，±1)
B ．(±1,0)
C ．(0，±5)
D ． (±5，0)
[解析] 椭圆x 22＋y 2
3＝1，可得a ＝3，b ＝2，可得c ＝1，所以椭圆的焦点(0，±1)．故选A ．
5．若椭圆x 225＋y 2
16＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是__4__.
[解析] 由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∴|PF 2|＝10－|PF 1|＝10－6＝4.
互动探究·攻重难
互动探究解疑 命题方向❶ 椭圆的定义
典例1 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过B 且与圆A 内切(如图所示)，求圆心P 的轨迹方程．
[规范解答] 设圆P 的半径为r ， 又圆P 过点B ，∴|PB |＝r ，
又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10. ∴两圆的圆心距|P A |＝10－r ， 即|P A |＋|PB |＝10(大于|AB |)．
∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝|AB |＝6，
∴a ＝5，c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. 即点P 的轨迹方程为x 225＋y 2
16＝1.
『规律总结』 1.对椭圆定义的三点说明
(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(3)常数(2a )必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限
制条件．
2．椭圆定义的两个应用
(1)若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)，则动点M 的轨迹是椭圆． (2)若点M 在椭圆上，则|MF 1|＋|MF 2|＝2a . ┃┃跟踪练习1__■
已知△ABC 的周长是8，且B (－1,0)、C (1,0)，则顶点A 的轨迹方程是( A ) A ．x 29＋y 2
8＝1(x ≠±3)
B ．x 29＋y 2
8＝1(x ≠0)
C ．x 24＋y 2
3＝1(y ≠0)
D ．x 23＋y 2
4
＝1(y ≠0)
[解析] ∵|AB |＋|AC |＝8－|BC |＝6>|BC |＝2，
∴顶点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
则a ＝3，b ＝2 2.
又∵A 、B 、C 三点不共线，
∴顶点A 的轨迹方程为x 29＋y 2
8＝1(x ≠±3)．
命题方向❷ 椭圆的标准方程
典例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； (2)焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点．
[思路分析] (1)由焦点坐标知道椭圆焦点在y 轴，c ＝5，由椭圆定义知a ＝13，所以b ＝12. (2)由于不知道焦点在x 轴还是y 轴，所以设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，代入两点坐标，可求得系数．
[规范解答] (1)因为焦点在y 轴上，所以设其标准方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)．
因为2a ＝26,2c ＝10，所以a ＝13，c ＝5. 所以b 2＝a 2－c 2＝144.
所以所求椭圆方程为y 2169＋x 2
144
＝1.
(2)设所求椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，
依题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
3A ＋4B ＝1，
12A ＋B ＝1，
解得⎩⎨⎧
A ＝115
，
B ＝1
5，
所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 2
5
＝1.
『规律总结』 1.利用待定系数法求椭圆的标准方程步骤： (1)定位，确定焦点在哪个轴上；
(2)定量，依据条件及a 2＝b 2＋c 2确定a 、b 、c 的值； (3)写出标准方程．
2．求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为x 2m ＋y 2
n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，
再根据条件确定m 、n 的值．
3．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，将点的坐标代入解方程组求得系数． ┃┃跟踪练习2__■
根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)经过点P (1，3
2)，两焦点间的距离为2，焦点在x 轴上；
(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点． [解析] (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1，(a >b >0)，
∵焦点在x 轴上，2c ＝2，∴a 2＝b 2＋1，
又椭圆经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，∴1b 2＋1＋94b 2＝1，解之得b 2＝3，∴a 2＝4. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)∵椭圆
9x 2＋4y 2＝36
的焦点为(0，±5)，则可设所求椭圆方程为x 2m ＋y 2
m ＋5
＝1(m >0)，
又椭圆经过点(2，－3)，则有4m ＋9
m ＋5＝1，
解得m ＝10或m ＝－2(舍去)，
即所求椭圆的方程为x 210＋y 2
15＝1.
命题方向❸ 椭圆的焦点三角形
典例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上一点P ，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝θ，求△
F 1PF 2的面积． [规范解答]
由椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，而在△F 1PF 2中，由余弦定理得， |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos θ ＝|F 1F 2|2＝4c 2，
∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos θ＝4c 2， 即4a 2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)
∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin θ＝b 2·sin θ1＋cos θ
＝b 2tan θ
2.
『规律总结』 1.椭圆定义的应用 (1)实现两个焦点半径之间的相互转化．
(2)将两个焦点半径之和看成一个整体，求解定值问题． 2．椭圆定义解题的整体思想
对于椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2，求其三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知∠F 1PF 2，可利用S ＝1
2ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋
|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出|PF 1|和|PF 2|，这样可以减少运算量． ┃┃跟踪练习3__■
设P 是椭圆x 225＋4y 2
75＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．
[解析] 由余弦定理得cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 22|PF 1||PF 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2－25
2|PF 1||PF 2|，
∴|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2－25
＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－25 ∴3|PF 1|·|PF 2|＝(2×5)2－25＝75， ∴|PF 1|·|PF 2|＝25，
∴S △PF 1F 2＝1
2|PF 1||PF 2|sin60°
＝12·25·32 ＝2534
.
学科核心素养 椭圆的其他方程形式
(1)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )． 方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )包含椭圆的焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况，方程可变形为x 21A ＋y 21B ＝1.①当1A >1B ，即B >A 时，表示焦点在x 轴上的椭圆；②当1A <1
B ，即
B C ≠0时，方程 Ax 2＋By 2＝C 可以变形为x 2C A ＋y 2 C B ＝1，由此可看出方 程Ax 2＋By 2＝C 表示椭圆的充要条件是ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B .此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为椭圆的一般方程． (3)共焦点的椭圆系方程．与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2 b 2＋λ＝ 1(a >b >0，λ>－b 2)；与椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y 2a 2＋λ＋x 2 b 2＋λ ＝1(a >b >0，λ>－b 2)． 典例4 (1)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，求k 的取值范围； (2)椭圆8k 2x 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，7)，求k 的值． [思路分析] 将椭圆的方程化为标准方程，运用题设中给出的条件求解． [规范解答] (1)原方程可化为x 22＋y 2 2 k ＝1. 因为方程表示焦点在y 轴上的椭圆，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k >0， 2k >2， 解得0 所以k 的取值范围是(0,1)． (2)原方程可化为x 21k 2 ＋y 2 －8k ＝1. 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －8 k >0，－8k >1 k 2， －8k －1k 2 ＝7， 解得⎩⎨⎧ k <0， k <－18， k ＝－1或k ＝－1 7 . 所以k 的值为－1或－1 7 . 『规律总结』 由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围)，在求解这类问题时，必须先确定焦点位置，从而可得a 2，b 2的值．当焦点不确定时，应注意分类讨论，分别求值．另外，应注意当a 2＝b 2时，方程表示圆，应排除这种情况． ┃┃跟踪练习4__■ 若方程x 2k －3＋y 25－k ＝1表示椭圆，求k 的取值范围． [解析] 依题意，得⎩⎪⎨⎪ ⎧ k －3>0，5－k >0， k －3≠5－k . 解得3 所以k 的取值范围是(3,4)∪(4,5)． 易混易错警示 典例5 △ABC 的三边a 、b 、c (a >b >c )成等差数列，A 、C 两点的坐标分别是(－1,0)、(1,0)，求顶点B 的轨迹方程． [错解] 设点B 的坐标为(x ，y )． ∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，即|BC |＋|BA |＝2|AC |，∴|BC |＋|BA |＝4. 根据椭圆的定义易知， 点B 的轨迹方程为x 24＋y 2 3 ＝1. [辨析] 错误的原因是忽略了题设中的条件a >b >c ，使变量x 的范围扩大，从而导致错误．另外一处错误是当点B 在x 轴上时，A 、B 、C 三点不能构成三角形． [正解] ∵a >c ，即(x －1)2＋y 2>(x ＋1)2＋y 2，解得x <0.又点B 不在x 轴上，∴x ≠－2. 故所求的轨迹方程为x 24＋y 2 3 ＝1(－2 『规律总结』 要认真审题，弄清已知条件，注意是否存在隐含条件，不能扩大或缩小变量x 或y 的取值范围． 课堂达标·固基础 1．(2019－2020学年辽宁葫芦岛协作校考试)若椭圆x 249＋y 2 32＝1上的一点M 到其左焦点的距 离是6，则点M 到其右焦点的距离是( D ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 [解析] 由椭圆的方程可知a ＝7，点M 到两个焦点的距离之和为2a ＝14. 因为点M 到其左焦点的距离是6，所以点M 到其右焦点的距离是14－6＝8.故选D ． 2．设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( A ) A ．10 B ．8 C ．5 D ．4 3．(2020·山西太原市高二期末)椭圆x 225＋y 2 16＝1的焦距为( C ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．9 [解析] 因为椭圆的方程为x 225＋y 2 16＝1，所以a 2＝25，b 2＝16，因此c 2＝a 2－b 2＝9，所以c ＝ 3，所以焦距为2c ＝6.故选C ． 4．已知椭圆x 216＋y 2 9＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点， 则△ABF 2的周长是__16__. 5．焦点在坐标轴上，且经过A (－2，2)和B (3，1)两点，求椭圆的标准方程． [解析] 设椭圆方程为x 2m 2＋y 2 n 2＝1，(m ≠n )， 则⎩⎨⎧ 2m 2 ＋4 n 2＝1，3m 2 ＋1 n 2 ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝103， n 2＝10， ∴椭圆的标准方程为3x 210＋y 2 10 ＝1. 课时作业·练素能 A 级 基础巩固 一、选择题 1．设F 1、F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( D ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 [解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝ 6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2. 2．过点(－3,2)且与x 29＋y 2 4＝1有相同焦点的椭圆的方程是( A ) A ．x 215＋y 2 10＝1 B ．x 2225＋y 2 100＝1 C ．x 210＋y 2 15 ＝1 D ．x 2100＋y 2 225 ＝1 [解析] 将点(－3,2)代入验证，只有A 的方程满足，故选A ． 3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( D ) A ．x 24＋y 2 2＝1 B ．y 24＋x 2 2＝1 C ．y 216＋x 2 4 ＝1 D ．x 216＋y 2 4 ＝1 [解析] 解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ，故选D ． 解法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 16m ＝14n ＝1 ，∴⎩⎨⎧ m ＝1 16 n ＝1 4 ， 故选D ． 4．已知椭圆x 225＋y 2 9＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为 坐标原点，那么线段ON 的长是( B ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．32 [解析] 设椭圆左焦点F ，右焦点F 1，∵2a ＝10，|MF |＝2，∴|MF 1|＝8，∵N 为MF 中点，O 为FF 1中点，∴|ON |＝1 2 |MF 1|＝4. 5．(2019－2020学年房山区期末检测)“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充 要条件是( A ) A ．m ＞n ＞0 B ．n ＞m ＞0 C ．mn ＞0 D ．mn ＜0 [解析] 若方程表示椭圆，则m ，n ≠0，则方程等价为x 21m ＋y 2 1n ＝1，若方程表示焦点在y 轴上 椭圆，则等价为1n ＞1 m ＞0，解得：m ＞n ＞0，故选A ． 6．(2019－2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 2 20＝1 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则△MF 1F 2的面积为( D ) A ．53 B ．103 C ．215 D ． 415 [解析] 设M (m ，n )，m ，n ＞0，则m ∈(0,6)，n ∈(0，25)， 椭圆C ：x 236＋y 2 20＝1的a ＝6，b ＝25，c ＝4. 设F 1，F 2分别为椭圆C 的左右焦点， 由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|＞|MF 2|，|F 1F 2|＝2c ＝8， 因为|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝12，所以|MF 1|＞6，|MF 2|＜6， △MF 1F 2为等腰三角形，只能|MF 2|＝2c ＝8，则|MF 2|＝4， 由勾股定理得|MF 2|2＝(4－m )2＋n 2＝16， 又m 236＋n 2 20 ＝1，联立并消去n 得 m 2－18m ＋45＝0，且m ∈(0,6)，解得m ＝3，则n ＝15. 则△MF 1F 2的面积为1 2×8×15＝415.故选D ． 二、填空题 7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__x 24＋y 2 3 ＝1__. [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2 c ＝1 . 故 b 2＝a 2－ c 2＝3，所以椭圆方程为 x 24＋y 2 3 ＝1. 8．(福州市2019－2020学年高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面 积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为__22__. [解析] 由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc ＝1，因为a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋1 b 2≥2，所以a ≥2，故长轴长的最小值为22，答案为2 2. 三、解答题 9．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)； (2)a ：c ＝13：5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. [解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋ 32＋(2－2)2＝8， 所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上， 所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2 12 ＝1. (2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝13 5，所以c ＝5， 所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定， 所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2 144 ＝1. 10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －1 2) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分 线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程． [解析] 如图所示，由题意知， |P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2， ∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |， ∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆， ∴a ＝1，c ＝12，b 2＝3 4 . ∴动点P 的轨迹方程为x 2 ＋y 234 ＝1，即x 2＋4 3y 2＝1. B 级 素养提升 一、选择题 1．已知椭圆x 225＋y 2 9＝1，F 1、F 2分别在其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N 是 MF 1的中点，则|ON |的长为( D ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [解析] 由椭圆定义得|MF 2|＋|MF 1|＝2a ＝10， 因为|MF 1|＝2，所以|MF 2|＝8. 因为N 是MF 1的中点，所以|ON |＝ |MF 2| 2 ＝4.故选D ． 2．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( D ) A ．x 225＋y 2 9＝1 B ．y 225＋x 2 9＝1(y ≠0) C ．x 216＋y 2 9 ＝1(y ≠0) D ．x 225＋y 2 9 ＝1(y ≠0) [解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D ． 3．(多选题)若方程x 2a 2＋y 2 a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围可以是 ( AD ) A ．a >3 B ．a <－2 C ．－2