数字信号处理经典例题解析
1：周期序列某~nco0n，0~6，某n是由某~a(t)co0t理想抽样而得。试求(1)~某n的周期;
(2)某ejF某~njΩ0(3)~某entat=nn；求n(4)
某F某~at解：(1)对于周期性序列某~nco0n因为
2212N=
0/6=1=K所以序列周期N12
(2):由题意知~某n是由某~at理想抽样所得，设抽样间隔为T，抽样输出为某at；易得某F某~atFco0tej0tej0tF[2]
=0+0
由采样序列~某n=某ant，由采样定理知：某ejF~某n=某a/T=1Tk某(2TkT)=
1某(2kT)kT2k2k166[()()]=TkTT=[(2k)(2k)]
66ke~(3)由某a(t)co0t=
j0te2j0tjΩnte=n得:
0n1n1n2
0n其他(4)由(2)得:某=0+0
2：有限长序列某nconR12n求：
6j(1)Rn(e)F[Rn(n)]
(2)某ejF某n，用RN(ej)表示;(3)求(2)中某ejkj212的采样值某
e0k11;(4)某kDFT某n;
kj212(5):求第(3)问中某e的IDFT变换;(6)：求某1ejkj224某eFconR24n的采样值10k23;6(7):求第(6)问中的采样序列某1n;(8):第(2)问中某ejjkj224的采样值某e对应的采样序列。jnR(n)e.
解:(1)Rn(e)F[Rn(n)]=N
n0N11ejNejN/2ejN/2ejN/2j/2j/2j/2=j1eeeeejN/2in(N/2)=j/2 ein(/2)容易看出在主值周期内当0时Rn(ej)N，当
2k(0kN1)时Rn(ej)=0N(2)根据公式
11jjF某nyn某eYe=
22某(ej)Y(ej())d
Fcon[(2k)(2k)]则又由=666k某ejF某nFconR12n
61=
2k[(2k)(2k)]R12(ej())d661=2j()[()()]R(e)d1266j()61=R12(e21)R 12(e2j()6)
kj2212(3)易知某e是对某ej进行间隔为的等间隔采样所得,由
(1)122k(0kN1)时知在主值周期内当0时Rn(ej)N，当NRn(ej)=0
1又因为某e=R12(e2jj()6j()16)所以在主值周期
内)R12(e222ko,k2126126kj21212某e时即k1,11时26，当
kj212k0,2,3,4,5,6,7,8,9,10时某e0;k1,116kj212e即：某
0k0,2,3,4,5,6,7,8,9,10(4)根据DFT变换与序列傅里叶变换的关系：
kj2N其中N为某n的周期某(e)2=某e某k=kNjk1,116kj212所以由(3)得:某kDFT某n某e0k0,2,3,4,5,6,7,8,9,10(亦可根据公式直接求解:某kDFT某n=某(n)en011j2kn12
j2n12j2kn121=(en021111j2n12e)e
jn(k1)1j12n(k1)12(ee)=n0222k1,116
0k0,2,3,4,5,6,7,8,9,10kj212DFT某n;(5)由(3)(4)易得某ej2k12e某nco所以IDFT某nR12n6
j某eFconRn(6)由(1)(2)可得1624
1=R24(e2j()6j()16))R24(e2所以:在主值周期内
kj22424某1e212，22ko,k2246246时即k2,22时
kj2120;当
k0,1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,23时某
ek2,2212kj224e即某
10k0,1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,23(7):
根据DFT变换与序列傅里叶变换的关系
kj2N某(e)2=某e某kkNjkj224某enR24n则1DFTco6所以采样序列
某1nconR24n
kj224（8）易知某e是对某n的N24的DFT变换6所以对应的采样序列某2n某(n)0n11
012n23某ncon由~3：~某a(t)co0t理想采样所得
6~(1)求某kDFS~某n,并求出主值周期内的值
某nR24n，某24k能准确的反应~(2)某24kDFT~某a(t)co0t的
频率成分吗？为什么？
~解:(1)易知某某nR12n以NkDFS~某n为某kDFT~12周期性延
~拓得到，因为某kDFT某nR12n6k1,11
0k0,2,3,4,5,6,7,8,9,106k12l1,l为整数~~所以某kDFS某n
0其他k~主值周期内的值为：某kDFT某nR12n6k1,11
0k0,2,3,4,5,6,7,8,9,10(2):能，（原因自己分析）。
4:求解系统因果解:yn某nyn1,其中某(n)(n)解:对方程两边做Z变换得:
Y(z)某(z)z1Y(z)
所以Yz某(z)1111z1zz1
反Z变换得ynZ11un11z5：(1):求线性卷积:R2nR2n
3R2n(2):求圆周卷积:R2n○
解(1)R2n的支撑区为0,1;则R2nR2n的支撑区为0,2所以
R2nR2nR2(m)R2(nm)
m=
有R20R201m0R(m)R(nm)
2221Rm0(m)R2(0m)1
R21R21R2(m)R2(1m)2
m01R22R22
R(m)R(2m)1
22m011即：R2nR2n20n0,2n1n为其他正整数(2)R2n的线性卷积支撑区长度为N2，由于圆周卷积的周期
L3NN13，根据线性卷积与圆周卷积的关系可得：
~~3R2n=[RR2n○nR22n]R3n
=R2nR2n
1=20n0,2n1n为其他正整数6：画时域抽样8点FFT的流程图。解:见课本图3--5(P109)
7:1(3)中n与3(1)某k满足等式某(k)N（自证）
l(klN),N12。
第一章数字信号处理概述 简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。 在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理 理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字
长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混迭效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。 解 （a ）因为当0)(8=≥ω πωj e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 625161 2==Ω= π
数字信号处理经典习题(北理工826必备)(附答案)
第一章数字信号处理概述 简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。 在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理 理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1 8 c 因此 Hz T f c c 6251612==Ω= π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为T π，因此对T 8π没有影响，故整个系 统的截止频率由)(ω j e H 决定，是625Hz 。 （b ）采用同样的方法求得kHz T 201=，整个系统的截止频率为
Hz T f c 1250161 == 二、离散时间信号与系统频域分析 计算题： 1 （ 2 （2）)(*n x （共轭） 解：DTFT )(**])([)(*)(*ωωω j n n jn jn e X e n x e n x n x -∞ -∞ =∞ -∞ =-=== ∑ ∑ 2．计算下列各信号的傅里叶变换。
一. 填空题 1、一线性时不变系统，输入为 x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为 2y(n) ；输入为x（n-3）时，输出为 y(n-3) 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率 f max 关系为： fs>=2f max 。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的 N 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的现象。 6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是 (N-1)/2 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用x m (n)表示，其数学表达式为x m (n)= x((n-m)) N R N (n)。 13．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基2-FFT流图。 14.线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。 15.用DFT近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有混叠失真、泄漏、栅栏效应和频率分辨率。 16.无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，串联型和并联型四种。 17.如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要5μs，每次复数加需要1μs，则在此计算机上计算210点的基2 FFT需要10 级蝶形运算，总的运算时间是______μs。 二．选择填空题 1、δ(n)的z变换是 A 。
数字信号处理经典例题解析 1：周期序列某~nco0n，0~6，某n是由某~a(t)co0t理想抽样而得。试求(1)~某n的周期; (2)某ejF某~njΩ0(3)~某entat=nn；求n(4) 某F某~at解：(1)对于周期性序列某~nco0n因为 2212N= 0/6=1=K所以序列周期N12 (2):由题意知~某n是由某~at理想抽样所得，设抽样间隔为T，抽样输出为某at；易得某F某~atFco0tej0tej0tF[2] =0+0 由采样序列~某n=某ant，由采样定理知：某ejF~某n=某a/T=1Tk某(2TkT)= 1某(2kT)kT2k2k166[()()]=TkTT=[(2k)(2k)] 66ke~(3)由某a(t)co0t= j0te2j0tjΩnte=n得: 0n1n1n2 0n其他(4)由(2)得:某=0+0 2：有限长序列某nconR12n求： 6j(1)Rn(e)F[Rn(n)]
(2)某ejF某n，用RN(ej)表示;(3)求(2)中某ejkj212的采样值某 e0k11;(4)某kDFT某n; kj212(5):求第(3)问中某e的IDFT变换;(6)：求某1ejkj224某eFconR24n的采样值10k23;6(7):求第(6)问中的采样序列某1n;(8):第(2)问中某ejjkj224的采样值某e对应的采样序列。jnR(n)e. 解:(1)Rn(e)F[Rn(n)]=N n0N11ejNejN/2ejN/2ejN/2j/2j/2j/2=j1eeeeejN/2in(N/2)=j/2 ein(/2)容易看出在主值周期内当0时Rn(ej)N，当 2k(0kN1)时Rn(ej)=0N(2)根据公式 11jjF某nyn某eYe= 22某(ej)Y(ej())d Fcon[(2k)(2k)]则又由=666k某ejF某nFconR12n 61= 2k[(2k)(2k)]R12(ej())d661=2j()[()()]R(e)d1266j()61=R12(e21)R 12(e2j()6) kj2212(3)易知某e是对某ej进行间隔为的等间隔采样所得,由 (1)122k(0kN1)时知在主值周期内当0时Rn(ej)N，当NRn(ej)=0 1又因为某e=R12(e2jj()6j()16)所以在主值周期 内)R12(e222ko,k2126126kj21212某e时即k1,11时26，当 kj212k0,2,3,4,5,6,7,8,9,10时某e0;k1,116kj212e即：某 0k0,2,3,4,5,6,7,8,9,10(4)根据DFT变换与序列傅里叶变换的关系：
. WORD 格式整理. . 习题及答案4 一、填空题（每空1分, 共10分） 1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。 2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。 3．对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。 4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。 5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。 6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)= 。 7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。 二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1．δ(n)的Z 变换是 （ ）A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π 2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ）的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ ） A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ） 4．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT 的是 （ ） A.时域为离散序列，频域为连续信号 B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即可完全不失真恢复原信号 （ ）A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统 （ ）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n) 7．一个线性时不变离散系统稳定的充要条件是其系统函数的收敛域包括 （ ） A. 实轴 B.原点 C.单位圆 D.虚轴 8．已知序列Z 变换的收敛域为｜z ｜>2，则该序列为 （ ）A.有限长序列 B.无限长序列 C.反因果序列 D.因果序列
测控2007级《数字信号处理》试题(A) 解 答 一、（12分）已知一信号的最高频率分量的频率1000m f H z =，若采用FFT 算法作频谱分 析，且频率分辨率50f Hz ∆≤，试确定： ⑴ 信号的采集时间长度T 1； ⑵ 信号的采样间隔T 2； ⑶ 信号的采样点数N 1； ⑷ 频率分辨率提高一倍的采样点数N 2。 解： ⑴ 由分辨率的要求确定信号的采集时间长度： 1110.022050 T s ms f ≥ ===∆ ⑵ 信号的采样间隔应满足： 23 110.522110 m T m s f ≤ = =⨯⨯ ⑶ 采样点数应满足： 3 122110 4050 m f N f ⨯⨯≥ = =∆ ⑷ 频率分辨率提高一倍的采样点数应满足： 3 222110 80/2 25 m f N f ⨯⨯≥= =∆ 二、（8分）试判断系统 [()]()()T x n x n x n =+- 是否为： ⑴ 线性系统；⑵ 移不变系统；⑶ 因果系统；⑷ 稳定系统。 解：⑴ 满足叠加原理 ∴ 是线性系统。 ⑵ ∴ 是移变系统。 ⑶ 当0n <时，()x n -为未来输入，输出取决于未来输入。 ∴ 是非因果系统。 12112212[()()][()()][()()] [()][()]T ax n bx n a x n x n b x n x n aT x n bT x n +=+-++-=+[()]()(())()()()()()[()]() T x n m x n m x n m x n m x n m y n m x n m x n m T x n m y n m -=-+--=-+-+-=-+---≠-
一.填空题 1、一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为 2y(n) ；输入为x（n-3）时，输出为y(n-3) 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率f max关系为：fs>=2f max。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X （K）是关于X（e jw）的N 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的混叠 现象。 6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是(N-1)/2 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较 窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用x m(n)表示，其数学表达式为x m(n)= x((n-m))N R N(n)。 13．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基2-FFT流图。 14.线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。 15.用DFT近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有混叠失真、泄漏、栅栏效应和频率分辨率。 16.无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，串联型和并联型四种。 17.如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要5μs，每次复数加需要1μs，则在此计算机上计算210点的基2 FFT需要10 级蝶形运算，总的运算时间是______μs。 二．选择填空题 1、δ(n)的z变换是 A 。 A. 1 B.δ(w) C. 2πδ(w) D. 2π
数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解： ()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+- 2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪ =≤≤⎨⎪⎩ 其它 （1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。 解： （1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2） ()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+- （3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 （5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。 3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1）3()cos()7 8x n A n π π=-，A 是常数； （2）1 ()8 ()j n x n e π-=。 解： （1）3214 , 73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w w π π==，这是无理数，因此是非周期序列。 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()n m y n x m ==∑。 解： （1）令：输入为0()x n n -，输出为 '000' 0000()()2(1)3(2) ()()2(1)3(2)() y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--= 故该系统是时不变系统。 12121212()[()()] ()()2((1)(1))3((2)(2)) y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+-
1设序列x(n)={4，3，2，1} ， 另一序列h(n) ={1，1，1，1}，n=0,1,2,3 （1）试求线性卷积 y(n)=x(n)*h(n) （2）试求6点圆周卷积。 （3）试求8点圆周卷积。 解：1．y(n)=x(n)*h(n)={4,7,9,10,6,3,1} 2．6点圆周卷积={5,7,9,10,6,3} 3．8点圆周卷积={4,7,9,10,6,3,1,0} 2二．数字序列 x(n)如图所示. 画出下列每个序列时域序列： (1) x(n-2); (2)x(3-n); (3)x[((n-1))6],(0≤n ≤5); (4)x[((-n-1))6],(0≤n ≤5); n 1 2 3 4 0.5 x(3-n) x[((n-1))] n 4 3 2 1 0.5 n 1 2 3 4 0.5 x[((-n-1))6] 3．已知一稳定的LTI 系统的H(z)为) 21)(5.01() 1(2)(111------=z z z z H 试确定该系统H(z)的收敛域和脉冲响应h[n]。 解0.5 2Re Im 系统有两个极点，其收敛域可能有三种形式，|z|<0.5, 0.5<|z|<2, |z|>2 因为稳定，收敛域应包含单位圆，则系统收敛域为：0.5<|z|<2 1 1111213 /25.013/4)21)(5.01()1(2)(--------=---=z z z z z z H )1(23 2)()5.0(34)(--+=n u n u n h n n
4．设x(n)是一个10点的有限序列 x （n ）={ 2,3,1,4,-3,-1,1,1,0,6}，不计算DFT ，试确定下列表达式的值。 (1) X(0), (2) X(5), (3) ∑=9 0)(k k X ,（4） ∑=-9 5 /2)(k k j k X e π 解：（1） （2） （3） （4） 5． x(n)和h(n)是如下给定的有限序列 x(n)={5, 2, 4, -1, 2}， h(n)={-3, 2, -1 } (1) 计算x(n)和h(n)的线性卷积y(n)= x(n)* h(n)； (2) 计算x(n)和h(n)的6 点循环卷积y 1(n)= x(n)⑥h (n)； (3) 计算x(n)和h(n)的8 点循环卷积y 2(n)= x(n)⑧h (n)； 比较以上结果，有何结论？ 解：（1） 5 2 4 -1 2 -3 2 1 5 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 - 6 -12 3 -6 -15 4 -3 13 -4 3 2 14 ][]0[1 9 0===∑=n N n x X W 12 ][][]5[1 19 180510 -=-= ==⎩⎨⎧-=∑∑====奇 偶 奇数 偶数n n n n n n x n x X n n W 20 ]0[*10][] [101]0[9 9 ===∑∑==x k X k X x k k 0 ]8[*10][] [101]))210[((] []))[((2 )10/2(9 2 )10/2(9 10)/2(===-⇔ --=-=-∑∑x k X e k X e x k X e m n x k j k k j k m N k j N πππ
习 题 1-1 有一个连续信号)2cos()(ψπ+=ft t x a ，式中Hz f 20=，2 π ψ= ， （１） 求出)(t x a 的周期； （２） 用采样间隔s T 02.0=对)(t x a 进行采样，写出采样信号)(ˆt x a 的表达式； （３） 画出对应)(ˆt x a 的时域离散信号（序列）)(n x 的波形，并求出)(n x 的周期。 解：（1）)(t x a 的周期是 s f T a 05.01 == （2）∑∞ -∞ =-+=n a nT t fnT t x )()2cos()(ˆδψπ ∑∞ -∞ =-+= n nT t nT )()40cos(δψπ （3）)(n x 的数字频率为 πω8.0=， 2 5 2= ω π 周期5=N 。 )28.0cos()(ππ+=n n x ，画出其波形如题1-1图所示。 题1-1图 1-2 设)sin()(t t x a π=，()()sin()a s s x n x nT nT π==，其中s T 为采样周期。 （1）)(t x a 信号的模拟频率Ω为多少？ （2）Ω和ω的关系是什么？ （3）当s T s 5.0=时，)(n x 的数字频率ω为多少？ 解：（1）)(t x a 的模拟频率s rad /π=Ω。 （2）Ω和ω的关系是：s T ⋅Ω=ω。 （3）当s T s 5.0=时，rad πω5.0=。 1-3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1）)8 7 3 cos()(π π- =n A n x ，A 为常数；
（2）) 81 ()(π-=n j e n x 。 解： （1）πω7 3 = ，3142=ωπ，这是有理数，因此是周期序列，周期是14=T ； （2）81=ω，πω π 162=，这是无理数，因此是非周期序列。 1-4 研究一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为指数序列)()(n u a n h n =，10< ==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ) 5 4sin( )8 sin( )4() 51 cos()3() 54sin()2()8sin()1(n n n n n π ππ π - ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω= 73π, 所以314 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω= 81, 所以ω π2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0ϕ+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0 2 n 0n 3，h(n)其他03 n 0n/2设x(n) 例、⎩⎨ ⎧≤≤-= ⎩⎨⎧≤≤= }2 3 ,4,7,4，23{0,h(n)*答案：x(n)= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转) 解得y (n )={2,7,19,28,29,15} ③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+= }{1,4,6,5,2答案：x(n)= 数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础 2。1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a （j Ω)还原,其中 ⎪⎩ ⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ 3032 1 )(，，j H a 现有两个输入，x 1（t ） =cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。试问输出信号y 1(t )，y 2(t ）有无失真？为什么？ 分析:要想时域采样后能不失真地还原出原信号,则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。 解:已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t ）=cos2πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 621 =< =Ωh ,所以y 1(t ）无失真； 因为x 2（t )=cos5πt ,而频谱中最高角频率ππ π32 652 => =Ωh ，所以y 2(t )失真。 2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000π t ,求： （1） 该信号的最小采样频率； （2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析:利用信号的采样定理及采样公式来求解. 错误!采样定理 采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频 率f m 的两倍，即 f s ≥2f m ○，2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s === 解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是 f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz,f 3=6000Hz ∴信号的最高频率f m =6000Hz 由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz (2）由于采样频率f s =5kHz,则采样后的输出信号 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪ ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝ ⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s 522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见,采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分， 即 kHz f f f kHz f f f s s 25000200052150001000512211======，， 若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号,则恢复后的模拟信号 第一章数字信号处理概述简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 2． 答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。 在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。 第二章离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。 解 （a ）因为当0)(8=≥ω πωj e H rad 时，在数 — 模变换中 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 因此 Hz T f c c 625161 2==Ω= π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为T π，因此对T 8π 没有影响， 故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定，是625Hz 。 （b ）采用同样的方法求得kHz 201=，整个系统的截止频率为 二、离散时间信号与系统频域分析 计算题： 1．设序列)(n x 的傅氏变换为 )(ωj e X ，试求下列序列的傅里叶变换。 （1）)2(n x （2）)(*n x （共轭） 解：（1）)2(n x 由序列傅氏变换公式 DTFT ∑∞ -∞ =-= =n n j j e n x e X n x ωω)(()]([) 可以得到 DTFT 2 )()2()]2([n j n n jn e n x e n x n x ' -∞ -∞ ='-∑∑'= = ωω 为偶数 （2）)(*n x （共轭） 1.教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解： ()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+- 2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪ =≤≤⎨⎪⎩ 其它 （1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。 解： （1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2） ()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+- （3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 （4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 （5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。 3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1）3() cos()78 x n A n π π=-，A 是常数； （2）1 ()8 ()j n x n e π-=。 解： （1）3214,73 w w ππ= =，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； 第一章 数字信号处理概述 判断说明题： 1．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （ ） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 2．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信 号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（ ） 答：错。受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、离散时间信号与系统频域分析 计算题： 1．设序列)(n x 的傅氏变换为 )(ω j e X ，试求序列)2(n x 的傅里叶变换。 解： 由序列傅氏变换公式 DTFT ∑∞ -∞ =-= =n n j j e n x e X n x ωω )()()]([ 可以得到 DTFT 2 )()2()]2([n j n n jn e n x e n x n x ' -∞ -∞ ='-∑∑'= = ωω 为偶数 )()(2 1 )(2 1 )(21)(21)(21)]()1()([2 122)2(2)2 (2 2ωωπω ωπω ωωj j j j n j n n jn n j n n e X e X e X e X e n x e n x e n x n x -+=+= +=-+=++-∞ -∞=∞-∞=--∞ -∞=∑∑∑ 2．计算下列各信号的傅里叶变换。 （a ）][2n u n - （b ）]2[)41(+n u n （c ）]24[n -δ 解：（a ）∑∑-∞ =--∞ -∞ == -= 2][2)(n n j n n j n n e e n u X ωωω ω ωj n n j e e 2 111)2 1(0-= =∑∞ = （b ）∑∑∞ -=--∞ -∞==+=2)4 1(]2[41)(n n j n n j n n e e n u X ωωω）（ ωω ωj j m m j m e e e -∞ =---==∑4 1116)41(20 )2(2 （c ）ω ωωδω2]24[][)(j n n j n j n e e n e n x X -∞ -∞ =--∞ -∞ ==-= = ∑ ∑ 7．计算下列各信号的傅立叶变换。 （1）{})2()3()21 (--+n u n u n （2）) 2sin()718cos(n n +π 第一章 1-1 有一个连续信号)2cos()(ψπ+=ft t x a ，式中Hz f 20=，2 π ψ= ， （１） 求出)(t x a 的周期； （２） 用采样间隔s T 02.0=对)(t x a 进行采样，写出采样信号)(ˆt x a 的表达式； （３） 画出对应)(ˆt x a 的时域离散信号（序列）)(n x 的波形，并求出)(n x 的周期。 解：（1）)(t x a 的周期是 s f T a 05.01 == （2）∑∞ -∞ =-+=n a nT t fnT t x )()2cos()(ˆδψπ ∑∞ -∞ =-+= n nT t nT )()40cos(δψπ （3）)(n x 的数字频率为 πω8.0=， 2 5 2= ω π 周期5=N 。 )28.0cos()(ππ+=n n x ，画出其波形如题1-1图所示。 题1-1图 1-2 设)sin()(t t x a π=，()()sin()a s s x n x nT nT π==，其中s T 为采样周期。 （1）)(t x a 信号的模拟频率Ω为多少？ （2）Ω和ω的关系是什么？ （3）当s T s 5.0=时，)(n x 的数字频率ω为多少？ 解：（1）)(t x a 的模拟频率s rad /π=Ω。 （2）Ω和ω的关系是：s T ⋅Ω=ω。 （3）当s T s 5.0=时，rad πω5.0=。 1-3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1）)8 7 3 cos()(π π- =n A n x ，A 为常数； （2）) 81 ()(π-=n j e n x 。 解： （1）πω73= ，3142=ωπ，这是有理数，因此是周期序列，周期是14=T ； （2）81=ω，πω π 162=，这是无理数，因此是非周期序列。 1-4 研究一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为指数序列)()(n u a n h n =，10<
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