习 题
1. 给定 f(t) = rect(t+2) + rect(t-2), 画出下列函数的图形。 (a) f(t)
(b) g(t) = f(t-1) (c) h(t) = f(t)u(t) (d) f(t/2)
2. 设 f(t) 是某一函数，a, t 0, T 为实常数，证明：
(a)
)
()()(
)(000
t t t t f a a
t t f -=-δδ
(b)
)()(1
)()(000a t a f a at t f t t t -=
-δδ
(c)
)
()()(
)(00
nT t nT f T
T
t comb t f t t
t n --+=-∑∞
-∞
=δ
3.
(a) 如 f(t) F(Ω)，证明：
e
e
e
t
j
t
y j t
j t f dy y F F Ω-∞
∞--Ω-Ω-==
*Ω⎰
)(2)()()(π
(b) 用 （a ） 的结果，证明频域卷积定理
)
()(21)()
(21
2
1
Ω*Ω↔
F F
f
f
t t π
4. 求下图中 f(t) 脉冲的傅氏变换。
5. (a) )()()(a H H -Ω=Ω*Ωδ
(b) )
()()(0
Ω
+Ω=
Ω
+Ω*
Ω∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=n H n H n n δ
6. 设e
t
a t f -=)(，证明脉冲序列)
()(nT t nT f n -∑∞
-∞
=δ的傅氏变换等于
aT
aT aT e T e e 22cos 211---+Ω--
7.
(a) 证明
T n n n jnT e
π
δ2),(1000
=
ΩΩ+Ω=Ω∑∑∞
-∞
=∞
-∞=Ω
-
(b) 若f(t) F(Ω)，证明
)
()(0
Ω
+Ω=
∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=Ω
-n F nT f T
n n jnT e
习 题
1. 下列系统中，y(n) 表示输出，x(n) 表示输入，试确定输入输出关系是否线性？是否非移变？
(a) y(n) = 2x(n) +3
(b) y(n) = x 2
(n)
(c) ∑-∞==
n
m m x n y )
()(
2. 确定下列系统是否因果的？是否稳定的？ (a) y(n) = g(n) x(n), g(n) 有界
(b) ∑-
==
n
k n k x n y 0
)
()( n>n 0 (c) y(n) = x(n-n 0)
(d) x(n) = a n
u(n), h(n) = u(n)
(e) x(n) = a n u(n), h(n) = (1/2) n
u(n)
3. x(n) 为输入序列， h(n) 为系统的单位取样响应序列，确定输出序列 y(n)， (a) 如图 p 2.1 (a) 所示 (b) 如图 p 2.1 (b) 所示 (c) 如图 p 2.1 (c) 所示
⎪⎩⎪⎨⎧=0)(a n n h
⎪⎩⎪⎨
⎧=-0)(0βn n x n 的卷积 y(n) = x(n) * h(n)
5. 讨论具有下列单位取样响应的线性时域离散非移变系统。
u n
n
n h ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)( 其中 1-=j
确定其对如下输入序列的稳态响应（n 足够大时的响应）。 x(n) = n{cosn π}u(n)
6. 试确定下列序列的傅氏变换。
(a) x(n) =0.5δ(n+1) + 0.5δ(n-1)
(b) x(n) = a n
u(n) 0 7. 令 x(n) 和 X(e jw ) 表示一个序列及其变换，又假设 x(n) 为实函数和 n<0 时，x(n) = 0， 利用 X(e jw ) 求下面各序列的变换。 (a) kx(n) k 为任意常数 (b) x(n-n 0) n 0 为实整数 (c) g(n) = x(2n) (d) ⎪⎩⎪⎨⎧= )(x n g 8. 试确定 LSI 系统的频率响应 H(e jw ) 及此系统函数倒数 1/ H(e jw ) 的单位取样响应 h ′(n)，若此系统的单位取样响应 )()(21n u n h n ⎪⎭⎫ ⎝⎛= 并证明， h(n)* h ′(n) = δ(n) 9. 研究如图 P2.2 所示方框图组成的系统，其中 g(x) = e j πax2 称为线性调频信号，试证明：输出是输入函数的傅氏变换（标尺有变化），当输入为门函数时，输出是 SinC 函数。 图 P2.2 10. 画出下列 z 变换的零极点图，指出收敛域。 (a) ) ()(21n u n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+δ (b) )(31n u n ⎪⎭⎫ ⎝⎛ F(ax) g*(x) (c) )(31)(21n u n n u n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ 11. 求下列 z 变换的所有可能收敛区间的反变换。 ()2)()1(2 -= -z z z X z 12. 若 X z z ()= -1 1 (a) 若 |z|>1，求 X(n)。 (b) 若 |z|<1，求 X(n)。 13. 有一离散系统如图 P2.3 所示，若 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ <≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-0n n n X n n 2131)( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛0n 0n n h n 0)(21 求 y(n)。 图 P2.3 14. (a) 试证明，若 |a| < 1 及 x(n) = a |n| ，则 a z a z z X a z a -++--= )1()1()(2 2 2 (b) 若 x a (t) = e -a|t| 及 x(n) = x a (nT) X(z)，求 X(e j ΩT )。 15. 若 x(t) 的傅氏变换为 X(j Ω)，且 x(t) 在 |Ω| < π/T 内频带受限，试证明： Ω -Ω= ⎰ ∑∞ ∞ -Ω∞ =-d z z j X nT X e z T j n n ) (21)(0 π 16. 设兔子的寿命为 10 年且雌雄均等，若初始有两只兔子，每年新生兔子是前一年的两倍，求第 n 年兔子的总数。 17. 已知 X(z) = e z + e 1/2 (z ≠0)，求 x(n)。 18. 试确定 F(z) = Z * 是否代表某个序列的 z 变换，阐述理由。 19. 令 x(n) 是一因果序列，即 n<0 时，x(n) =0，又设 x(n) ≠ 0，试证明在 z = ∞ 处 X(z) 没有极点和零点。 20.研究一线性非移变系统，该系统的输入和输出满足差分方程 )1(21 )()(-- =n y n x n y 从下列各项中选取二个满足上系统的单位取样函数。 (a) ) (21n u n ⎪⎭⎫ ⎝⎛- (b) ())(2n u n (c) )(2 1 n u n (d) )(21n u n ⎪⎭⎫ ⎝⎛- (e) )1(21-⎪⎭⎫ ⎝⎛n u n (f) ())1(2---n u n (g) )(21n u n ⎪⎭⎫ ⎝⎛ (h) ) 1(21--⎪⎭⎫ ⎝⎛-n u n (i) )1(21211 --⎪⎭⎫ ⎝⎛--n u n (j) ())1(221 ----n u n 21. 试利用 x(n) 的 z 变换求 n 2 x(n) 的 z 变换。 习 题 1、 计算下列有限长序列 x(n) 的 DFT ，假设长度为 N, (a) x(n) = δ(n) (b) x(n)= δ(n-n 0) 0 < n 0 < N (c) x(n) = a n 0《 n 《 N-1 2、 画出 x 1(n) 和 x 2(n) 的波形 x 1(n)= x((n-2))4R 4(n) x 2(n)= x((-2))4R 4(n) x(n) 的波形如图 P3.1 所示。 x(n) 3、 画出如图 P3.2 所示的两个序列的 6 点圆周卷积。 图 P3.2 4、 如果 )(~n x 是一个周期为 N 的周期序列，则它也是周期为 2N 的周期序列。把 )(~ n x 看作周期为 N 的周期序列，令 )(~1k x 表示其 DFS ，再把 )(~ n x 看作为 2N 的周期序列， 再令 )(~2 k x 表示其 DFS ，试利用 )(~1 k x 确定 ) (~2 k x 。 5、 若 [])()(k X n x DFT =，求证： [])) (()(k x N N n X DFT -= 6、 已知序列 1a 0 n u n x a n <<=),()(，对其 Z 变换在单位园上 N 等分取样，采样值为 W z X k X K N z -==)()(，求有限序列 IDFT[X(k)]。 7、 设 )(~n X 是周期为 N 的周期序列，通过系统 H(z) 以后，求证输出序列 )(~n y 为 W W nK N N K K N k X H N n y --=-∑=)(~)(1)(~10 8、 研究两个周期序列 )(~n x 和 )(~n y 。)(~n x 的周期为 N ，)(~n y 的周期为 M 。序列 )(~ n w 定义为 )()(~)(~n y n x n w += （a ） 试证明 )(~n w 是周期性的，周期为 NM 。 （b ）令 )(~n x 的 DFS 为 )(~k X ，)(~n y 的 DFS 为 )(~k Y ，试用)(~k X 和 )(~k Y 求 )(~ k W 。 9、 x (n) 表示长度为 N 的有限长序列，试证明 )) (()) ((n N x n x N N --= 10、令 X(k) 表示 N 点序列 x(n) 的 N 点 DFT ，试证明 (a) 如果 x(n) 满足关系式 x(n) = -x(N-1-n)， 则 X(0) = 0 (b) 当 N 为偶数时，如果 x(n) = x(N-1-n)，则 0)2( =N x 11、令 X(k) 表示 N 点序列 x(n) 的 N 点 DFT ，X(k) 本身也是一个 N 点序列。如果计算 X(k) 的 DFT 得到一序列 x 1(n)，试用 x(n) 求 x 1(n)。 0 1 2 3 4 5 n x 1(n) 0 1 2 n 12、长度为 8 的有限序列的 8 点 DFT 为 X(k)，如图 P3.3 所示。长度为 16 的一个新 序列定义为 ⎪⎩⎪⎨⎧=为奇数为偶数 n n n x n y 0)2 ()( 试从图 P3.3( b) 的几个图中选出相当于 y(n) 的 16 点 DFT 的略图。 图 P3.3 13、令有一序列 x(n)，其长度有限，Z 变换为 X(z)。而 x 1(n) 表示长为 N 的有限长序列，其 N 点 DFT 为 X 1(k)，如果 X(z) 和 X 1(k) 有 1 N 0,1,k W z X k k N z X -==-=,)()(1 式中 e W k N k N π2=-，试求 x(n) 和 x 1(n) 之间的关系。 14、研究两个 n<0 时等于 0 的有限长序列 x(n) 和 y(n)，且 x(n) = 0 n 》8 时 y(n) = 0 n 》20 时 将每一序列的 20 点 DFT 相乘，然后计算 IDFT y(n)，试指出 Y(n) 的哪些点相当于 x(n) 与 y(n) 线性卷积中的点。 15、如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需 100us ，每次复加 20us ，今用来计算 N = 1024 点的 DFT ，问用直接运算需要多少时间？用 FFT 运算需要多少时间？ 16、设一序列 x(n) 的长度 N 是 2 的整数方，它的 FFT 算法，还可通过下面另一种时间 抽选法表述来实现。 （1） 将 x(n) 分解成两个 N/2 点的序列计算 X(k)，其一是由 x(n) 的偶数点组成，另一是 由 x(n) 的奇数点组成。 ) ()()12()2()(12 2 12 2 k H k G r x r x k X W W W W k N N r rk N k N N r rk N +=++=∑∑-=-= 其中 12, ,1,0)2()(120 2 -==∑-=N k ,r x k G N r rk N W 12, ,1,0)12()(12 02-=+=∑-=N k ,r x k H N r rk N W G(k) 和 H(k) 分别是 x(n) 的偶数点和奇数点的 DFT 。 （2）G(k) 和 H(k) 是周期为 N/2 的周期序列，它满足下列关系 )())()2(k H 2N H(k ,k G N k G =+=+ （3）X(k) 可表达为前后两部分 2N , 0,1,k ,k H k G k X W k N =+=)()()( 2N ,0,1,k ,k H k G k N X W k N =-=+)()()2( 证明上述结论的正确性，并据此画出 8 点 FFT 时间抽选法流图。 17、画出一个 N=16 点的时间抽选法 FFT 信号流图。设输入序列为 x(n)，其为倒序，输出 序列为 X(k)，其为正序。 18、证明 x(n) 的IDFT 有以下算法 )]} ([{*1)]([)(*k X DFT N k X IDFT n x == 19、设 x(n) 是一个 M 点 0《 n 《 M-1 的有限长序列，其 Z 变换为 ∑-=-= 1 )()(M n n Z n x z X 今欲令 X(Z) 在单位圆上 N 个等距离点上的采样 X(Z k ) 为 1 N ,0,1,k z z X X e z Z k N k z k k -==== π 2) ()( 问在 （a ）N 《 M （b ） N>M 两种情况下，如何用一个 N 点 FFT 算出全部 X(Z k ) 值来。 20、计算实序列的 DFT ，讨论几种减少计算量的途径。 （a ）令 x(n) 是 N 点实序列，令 X(k)表示其离散傅氏变换，它的实部和虚部分别以 X R (k) X I (k) 表示，因此， X(k) = X R (k) + X I (k) 试证明如果 x(n) 为实序列，则 X R (k) 为偶序列，X I (k) 为奇序列。即 X R (k) = X R ((N-k))N R N (k) 以及X I (k) = -X I ((N-k))N R N (k) （b ）研究两个分别具有 DFT 变换 X 1(k) 和 X 2(k) 的实序列 x 1(n) 和 x 2(n)，令 g(n) 是一个复序列，定义 g(n) = x 1(n) + jx 2(n)，G(k) 为其 DFT 变换，令 G OR (k)、G ER (k)、G OI (k)、 G BI (k) 分别表示 G(k) 的实部的奇数部分、实部的偶数部分、虚部的奇数部分和虚部的偶数部分。试利用G OR (k)、G ER (k)、G OI (k)、 G BI (k) 来表示 X 1(k) 和 X 2(k)。 （c ）假设 x(n) 是一个 N 点的实序列，且 N 可以被 2 整除。令 x 1(n) 和 x 2(n) 为两个 N/2 点序列，其定义为 1)12()(1)2()(2 1-=+=-==2N ,0,1,2,n n x n 2N ,0,1,2,n n x n x x 试利用 X 1(k) 和 X 2(k) 求 X(k)。 21、Chirp-Z 变换算法的一个用途是使频谱的谐振峰变尖。一般来说，如果我们在 Z 平面内靠近极点的一条周线上计算序列的 Z 变幻，则可指望观察到谐振。在应用 Chirp-Z 变换算法时，或在计算 DFT 时，被分析的序列必须是有限时宽的。否则必须将序列截断。截断序列的 Z 变换只有零点（除 z=0，z=∞ 外），而原始变换的序列却有极点。试证明，在有限时宽序列的变换中仍可以看到谐振型响应。 （a ） 令 x(n) = u(n)，画出它的 Z 变幻的零极点略图。 （b ）令 ⎩⎨⎧-≤<=others 1N n 0 n x 01)(ˆ 即 )(ˆn x 等于从 N 点以后截断的 x(n)，画出 )(ˆn x 的 Z 变换 )(ˆz X 的极点零点略图。 （c ）画出 )(ˆe jw X 随 ω 变化的略图，并在图中画出 N 增加时对 )(ˆe jw X 的影响。 22、在下列说法中选择正确的结论。Chirp-Z 变换可以用来计算一个有限时宽序列 h(n) 在 Z 平面实 Z 轴上诸点 {Z k } 的 Z 变换 H(z)，使 （a ）1a ,a 1,N ,0,1,k a z k k ±≠-==为实数 , （b ） ,≠-==a ,a 1,N ,0,1,k ak z k 为实数 （c ）（a ）和 （b ）两者都行。 （d ）（a ）和 （b ） 两者都不行，即 Chirp-Z 变换不能计算 H(z) 在 z 为实数时的取样。 23、我们希望利用一个单位取样响应长度为 50 个取样的有限冲击响应滤波器来过滤一串很长的数据。要求利用重叠保留法通过 DFT 来实现这种滤波器。为做到这一点，（1）输入各段必须重叠 v 个样值；（2）必须从每一段产生的输出中取出 M 个样值，使这些从每一段得到的样值连接在一起时，得到的序列就是所要求的滤波输出。设输入的各段长度为 100 个样值，而 DFT 的长度为 128 个点，且设循环卷积的输出序列标号从 0 到 127 点。 (a) 求 v (b) 求 M (b) 求取出的 M 个点之起点与终点标号，即从循环卷积的 128 点中取出哪些点去和前一段 的点衔接起来。 24、给定序列 {h(nT), n=-3,-2,…..,4,5, T = 0.15秒}，如何用 FFT 计算其频普，要求分辨力大于 2 弧度/秒。 25、计算 },)({1.0 0t t f e t ≥=-当 的频谱，比较计算 {e nT 1.0-中 T = 0.75 秒和 n=0,1,2,….} 的频谱，是否有明显的混叠失真吗？ 26、求 {e nT 1.0-中 T = 0.75 秒和 n=0,1,2,….7} 的 DFT ，它是上题结果的最佳近似吗？ 习 题 1、 求模拟系统 ) 1(2 )(e H j a Ω -=Ω+σ 对 C π σ2= 的限带输入的数字仿真器。 2、 模拟一个微分器，其系统函数为 Ω =Ωj H a )(，求数字仿真器的 h(n) 及 H(z)。 3、 一个采样数字处理低通滤波器如图 P4.1 所示。H(z) 的截止频率为 w c = 0.2π，整个系 统相当于一个模拟低通滤波器，今采样频率为 f s = 1KHz ，问等效模拟低通滤波器的截止频率f c 为多少？ 若采样频率分别该为 fs = 5KHz ，200Hz ，而 H(z) 不变，问这时等效低通滤波器的截止频率又为多少？ 4、 )3)(1(3 )(++= s s s H a ，试用脉冲响应不变法及双线性交换法将以上模拟系统函数变 为数字系统函数 H(z)，采样周期为 T = 0.5。 y a (t) 5、 1 3 2 2 3 ) ( 2+ + + = s s s s H a ，采样周期T = 0.1，重复第4题。 6、 1 1 ) ( 2+ + = s s s H a ，采样周期T = 2，重复第4 题。 7、用脉冲不变法将以下H a(s) 转换为H(z)，采样周期为T0。 （1） b a s H a s s a2 2 ) ( ) ( + + = + （2） ) (0 ) ( 2 s s H A s a- = （3） ) (0 ) ( s s H m a A s - = m 为任意正整数。 8、设采样频率为f s = 6.28318KHz，用脉冲响应不变法设计一个三阶Butterworth 数字低通滤波器，截止频率为f0 = 1KHz，并画出该低通滤波器并联结构图。 9、用双线性变换法设计一个三阶Butterworth 数字低通滤波器，采样频率为f s = 1.2KHz，截止频率为f c = 400Hz。 10、用双线性变换法设计一个三阶Butterworth 数字低通滤波器，采样频率为f s= 6KHz，截止频率为f c = 1.5kHz（不计3KHz 以上的频率分量）。 11、用双线性变换法设计一个三阶Butterworth 数字低通滤波器，采样频率为f s = 720Hz，上下边带截止频率分别为f1 = 60Hz，f2 = 300Hz。 12、若u a(t)是模拟网络H a(s) 的阶跃响应，u d(n) 是数字网络H(z) 的阶跃响应。如果已知 H a(s) 及u a(t)；令u d(n) = u a(nt)，这样来设计H(z) 就称为阶跃不变法。试用阶跃不变法确定H(z) 与H a(s) 的关系，并与脉冲不变法比较。 13、命h a(t)、u a(t) 和H a(s) 分别表示一个时域连续非移变滤波器的冲激响应、阶跃响应和系统函数。令h(n)、u d(n) 和H(z) 分别表示一个时域离散线性非移变数字滤波器的单位取样响应、阶跃响应和系统函数。 （1）如果h(n) = h a(nT)，是否 ∑ -∞ = = n k a d kT n h u) ( ) ( ? （2）如果u d(n) = u a(nT)，是否h(n) = h a(nT) ? 14、假设某时域连续滤波器是一个低通滤波器，又知 ) 1 1 ( ) ( - + = z z z H H a ，于是数字滤波 器的通带中心位于（1）w = 0 （低通） （2）w = π（高通） （3） 除 0 或 π 以外某一频率（带通） 请选择正确答案。 习 题 1、 用矩形窗设计一个线性相移高通滤波器 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≤≤-=--w w e e H c c a w j w d w 0 w n πππ0)()( （a ） 求 h(n) 的表达试，确定 a 和 N 的关系。 （b ）问有几种类型分别属于哪一种线性相移滤波器。 （c ）若该用升余弦窗设计，求出 h(n) 的表达式。 2、 线性相移高通滤波器的特性为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-<≤+<<≤≤--=----ππππππ πππw w 0 w j w j w w w e w e e H c c c a w j c a w j w d ,0)()()( 重复上题 （a ）（b ）（c ）三个问题。 3、用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-<≤≤-≤-=-πw w 0 w w w w w w w w e e H c c 0c c jwa w d 00,0)( （a ） 设计 N 为奇数时的 h(n)。 （b ）设计 N 为偶数时的 h(n)。 （c ）若改用改进的升余弦窗设计，求以上两种形式的 h(n) 表达式。 4、如果一个线性相位带通滤波器的频响为 e H e H w j B jw B w ) ()()(ϕ= 试证明 （a ）一个线性相位带阻滤波器的构成如, []πϕ≤≤=-w 0 w e H e H w j B jw r ) ()()(1 （b ）试用 h B (n) 表示 h r (n)。 5、用矩形窗设计一个线性相位正交变换网络 π<<-=-w 0 j e e H jwa w d )( （a ）求 h(n) 表达式。 （b ）N 为奇数好？还是 N 为偶数好？还是性能一样好？为什么？ （c ）若用 Kaiser 窗设计，求 h(n) 表达式。 6、用矩形窗设计一个线性相位数字微分器 π<<-=-w 0 jw e e H jwa w d )( 重复上述 （a ）（b ）（c ）三个问题。 7、一 FIR 低通滤波器的频率幅度响应为 ⎩⎨⎧≤≤≤=πw w w w w H c c d 01)( 其中 w c = 2π×500Hz ，设取样率为 2KHz ，单位取样响应长度为 30ms ，用矩形窗设计一 数字滤波器，并画出其机构图。 8、用频率采用法设计一低通滤波器， N = 15，幅度取样值为 ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧====132,3,k 1,14k 0k H k ,05.01 （a ）设计取样值的相位 φ(k)，并求 h(n) 及 H(e jw ) 的表达试。 （b ）用横截型及采样型两种结构实现这一滤波器，画出结构图。 （c ）比较两种结构所用的乘法与加法数。 9、试证明用窗函数法设计 FIR 滤波器时，对于所求的频率响应，矩形窗能提供一种最小均方误差意义下的最好的逼近。 10、试证明在求解 FIR 滤波器时， )(ˆe jw H 的极值数 N0 约束条件为 20N N ≤ N 为偶数，偶对称时。 210-≤N N N 为奇数，奇对称时。 20N N ≤ N 为奇数，偶对称时。 习 题 1、 用直接型以及正准型结构实现以下传递函数，即 （1） 2346 2238 .0)(2 3 2 3++++++=z z z H z z z z （2） z z z z z z H 3 2 1 21 3315.025)(-----+++-+-= （3） 3282)(2 --+-= z z z H z 2、 用级联型结构实现以下传递函数，即 )81.02728.11)(5.01() 4142.11)(1(5)(2 1 1 2 11z z z z z z z H ------+--+--= 问一共能构成几种级联型网络。 3、 用级联型及并联型实现以下传递函数： （1） )5.0)(1(5.25.33)(2 2 3-+-+-= z z z z H z z z （2） )7071.0)(14142.1(8284.24)(2 2 3++-+-= z z z z H z z z 4、设滤波器的差分方程为 )2(81 )1(43)1(31)()(---+-+ =n y n y n x n x n y 试用直接型、正准型及全部一阶节的级联型、并联型结构实现。 5、求图 P6.1 所示结构的差分方程及传递函数。 图 6、图 P6.2 画出的几个网络，试求每一个网络的转置网络，且证明在每一种情况下原网络与转置网络的传递函数相同。 (a) rcos θ x(n) (b) (a) 图 P6.2 7、 已知滤波器单位取样响应为 ⎩⎨⎧≤≤= others 5n 0 n h n 0)(2 .0 求横截型结构。 8、用横截型和级联型网络实现下面传递函数。 )1)(4142.11()(1 2 1 z z z z H ---++-= 9、试问用什么结构可以实现以下单位取样响应： )7(5)3(3)()(-+--=n n n n h δδδ 10、FIR 数字滤波器的 h(n) 是圆周偶对称的，即 N = 6 h(0) = h(5) = 1.5 h(1) = h(4) = 2 h(2) = h(3) = 3 求滤波器的卷积结构。 11、FIR 数字滤波器的 h(n) 是圆周奇对称的，即 N = 7 h(0) = -h(6) = 3 h(1) = -h(5) = -2 h(2) = -h(4) = 3 h(3) = 0 求滤波器的卷积结构,试问这两题结构能否少用乘法器？ 12、用频率采样结构实现传递函数 z z z z H 1 6 31325)(------= 采样点 N = 6，修正半径 r = 0.9。 13、FIR 数字滤波器 N = 5 )4()1()()(-+--=n n n n h δδδ 计算一个 N = 5 的频率采样结构，修正半径 r = 0.9。 习 题 1、（a ）将下列十进制数分别用 8 位（其中数据 7 位符号 1 位）的原码、补码、反码定点表示。 x 1 = 0.4375， x 2 = -0.4375， x 3 = 0.8515625， x 4 = -0.8515625 （b ）若以下二进制数分别是原码、补码、反码时，请算出其所表示的十进制数 x 1 = 0△1001， x 2 = 0△1101， x 3 = 1△1000， x 4 = 1△1011 2、负分数的补码可表示为 (x)2 = 1△b 1b 2 …… b L （a ）证明 ∑=-+-=L n n n b x 110 2 ) (1 （b ）证明负分数的补码代表的十进制数 (x)10 的动态范围为：-1 到（1-2-L ）。 3、（a ）十进制数 143 和 –143，应用 2 的补 16 位（包括符号位）定点数表示。 （b ）16位（包括符号位） 2 补定点数所能代表的十进制数的范围是多少？ 4、用 32 位浮点制表示数，其中 16 位存储指数，24 位存储尾数，尾数和指数的符号位分别用 1 位表示。若尾数和指数分别用原码、补码、反码表示，它们能代表的十进制数的范围是多少？ 5、一个十进制数 x ，若 |x|<1 经下列处理 ⎩⎨⎧<-≥=0x x 1x x x 20 并用 （L+1）位（其中 L 位表数据）原码表 x 0，就可得到 x 的补码表示，补码加法按如 下步骤进行： （1） 所有的数都当作 （L+1） 位不带符号位的二进制数看待。 （2） 加法只是简单的二进制加法。 （3） 符号位的进位丢掉，即若和值大于 2，丢掉进行。因此它是按模 2 加法作加法的。 （a ）试利用上面的方法，写出两个数 x 1 和 x 2 作补码加法的完整表示式，这里 |x 1|<1, |x 2|<1。研究所有可能的情况，即 x 1 和 x 2 各都可正可负，|x 1| 可比 |x 2| 大，也可比 |x 2| 小。 （b ）试证明 x 1 和 x 2 作补码加法，等价于函数 f[x 1 + x 2]。f[ ] 如图 P7.1 所示。 （c ）假设 x1 = 5/8，x2 = 3/4 和 x3 = -1/2，求各个数的补码表示，按 （x1+x2）+x3 的顺序将它们的补码数加起来。注意加法（x1+x2）中出现溢出，但最后结果仍是正确的。试证明，一般说来三个或三个以上的补码数累加求和过程中，可能多次出现益处，但如果正确和值的绝对值小于 1，最后的结果就是对的。 6、（a ）对问题1.(a) 中的定点数用 4 位数据截尾和舍入表示。 （b ）计算它们相应的截尾和舍入误差。 7、设输入序列 x(n) 通过一量化器 Q[.] 的输入输出关系如图 P7.2 所示，设量化器输出 )(ˆn x 的形式为 )()( )(ˆn e n x n x += 式中 e(n) 是一平稳随机过程，它在 ⎭⎝ 之间有均匀分布的一阶概率密度，它 的各取样间互不相关，它与 x(n) 也独立无关。 令 x(n) 是均值为零，方差为 σ 2 x 的平稳白色噪声过程。 （a ）求 e(n) 的平均值、方差和自相关序列。 （b ）求信号量化噪声比 σ σ 22e x （c ）把量化的信号 )(ˆn x ，用一个单位取样响应 ())(2 1)(n u n h a a n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+= - 的数字滤 波器滤波，试确定输出端上量化噪声产生的噪声方差，和输出端的信噪比。 8、一输入序列 {x(k)}，对于一切 k|x(k)| < 1，被编码为 4 位（其中一位为符号位）补码。此已量化序列经过下列传输函数表示的数字滤波器 z z z z H 2 1 1 18.09.014.01)(---+--= （a ）求输入量化产生的稳态输出噪声功率。 （b ）若在 （a ）间中需要减少输出功率 50%，求必要的量化位数。 （c ）若量化用 16 位，计算输出噪声功率。 9、研究下列传输函数 z z z z H 2 1 1 18.09.014.01)(---+--= （a ）画出 H(z) 的幅频特性。 （b ）若系数舍入成 4 位的定点表示，计算传输函数系数量化后的极点和它的幅频特性。 10、一个二阶 IIR 网络的传输函数 )7.01)(9.01(34.04.0)(1 1 1 z z z z H ------= 用 6 位字长的定点制运算，尾数作舍入处理。 （a ）分别计算直接型、级联型、和并联型结构的输出舍入噪声。 （b ）比较以上不同结构，哪一种运算精度高，哪一种最差？ 11、一个数字滤波器其传输函数如下 2 1 2 2 12)(b z b z z H z z ++++= 其中 r 2 2b , r b =-=21 （a ）用典型的级联型结构实现，试求灵敏度 S b1(z) 和 S b2(z)。 （b ）假设它是用定点运算实现，而且系数采用舍入量化方式。试计算量化台阶为 0.05， 0.7《r 《0.95 时的统计字长 L(w)，假定 △M max (w) = 0.02zx 1 = 2。 12、设有一数字均衡器的传输函数为 8 1 012 12 01)(=++++=i i i i i a a z a z a z z z H 其中 a 0i 和 a 1i 给在下表中 （a ）用三个典型的级联节实现。 （b ）确定最佳信噪比时的衰减系数，假定节的顺序按照上表中的网络系数安排的。 13、研究一个如下形式的一阶系统 )()1()(n x n ay n y +-= 设所有变量和系数都表示成原码形式，乘法的结果作截尾，因此实际的差分方程是 )()]1(ˆ[)(ˆn x n y a Q n y +-= 式中 Q[ ] 表示原码截尾。 试研究对于所有的 n ，能否存在形式为 )1(ˆ)(ˆ-=n y n y 的零输入极限环。证明若理想系统是稳定的，则不存在零输入极限环，该结果对补码截尾是否正确？ 14、研究图 P7.14 的二阶系统 )]2()1()([)(-+-+=n by n ay n x f n y 其中支路传输比 f[ ]，该函数表示补码加法。 （a a-b 平面上画出在线性条件下的稳定区域。 （b ）假定 x(n) = 0，a 和 b 满足什么条件下能保证不出现溢出（即 y(n) < 1） ？在 a-b 平面上将相应的不溢出区画上影线。 13.下列关于冲激响应不变法描述错误的是 ( C A.S 平面的每一个单极点 s=sk 变换到 Z 平面上 z= e skT 处的单极点 B.如果模拟滤波器是因果稳定的，则其数字滤波器也是因果稳定的 C.Ha(s和 H(z的部分分式的系数是相同的 D.S 平面极点与Z 平面极点都有 z= e s kT 的对应关系 14．下面关于 IIR 滤波器设计说法正确的是( C A. 双线性变换法的优点是数字频率和模拟频率成线性关系 B. 冲激响应不变法无频率混叠现象 C. 冲激响应不变法不适合设计高通滤波器 D. 双线性变换法只适合设计低通、带通滤波器 15.以下关于用双线性变换法设计 IIR 滤波器的论述中正确的是( B 。 A.数字频率与模拟频率之间呈线性关系 B.总是将稳定的模拟滤波器映射为一个稳定的数字滤波器 C.使用的变换是 s 平面到 z 平面的多值映射 D.不宜用来设计高通和带阻滤波器 16.以下对双线性变换的描述中不正确的是 ( D 。 A.双线性变换是一种非线性变换 B.双线性变换可以用来进行数字频率与模拟频率间的变换C.双线性变换把 s 平面的左半平面单值映射到 z 平面的单位圆内 D.以上说法都不对17．以下对双线性变换的描述中正确的是 ( B 。 A．双线性变换是一种线性变换B．双线性变换可以用来进行数字频率与模拟频率间的变换 C．双线性变换是一种分段线性变换 D．以上说法都不对 18．双线性变换法的最重要优点是：；主要缺点是 A 。 A. 无频率混叠现象；模拟域频率与数字域频率间为非线性关系 B. 无频率混叠现象；二次转换造成较大幅度失真 C. 无频率失真；模拟域频率与数字域频率间为非线性关系 D. 无频率失真；二次转换造成较大幅度失真 19．利用模拟滤波器设计法设计 IIR 数字滤波器的方法是先设计满足相应指标的模拟滤波器，再按 某种方法将模拟滤波器转换成数字滤波器。双线性变换法是一种二次变换方法，即它 C 。 A. 通过付氏变换和 Z 变换二次变换实现 B. 通过指标变换和频谱变换二次变换实现 C. 通过二次变换，使得变换后 S 平面与 Z 平面间为一种单值映射关系 D. 通过模拟频率变换和数字频率变换二次变换实现 20．下列对 IIR 滤波器特点的论述中错误的是( C 。 A．系统的单位冲激响应 h(n是无限长的 B.结构必是递归型的C.肯定是稳定的 D.系统函数 H(z在有限 z 平面（0<|z|<∞）上有极点 21．在数字信号处理中通常定义的数字频率ω是归一化频率，归一化因子为 C 。 A．采样周期B. 模拟采样角频率 C. 模拟采样频率 D. 任意频率 22．信号数字频谱与模拟频谱间的一个显著区别在于数字频谱具有 A 。 A．周期性 B. 更大的精确度 C. 更好的稳 习 题 1. 给定 f(t) = rect(t+2) + rect(t-2), 画出下列函数的图形。 (a) f(t) (b) g(t) = f(t-1) (c) h(t) = f(t)u(t) (d) f(t/2) 2. 设 f(t) 是某一函数，a, t 0, T 为实常数，证明： (a) ) ()()( )(000 t t t t f a a t t f -=-δδ (b) )()(1 )()(000a t a f a at t f t t t -= -δδ (c) ) ()()( )(00 nT t nT f T T t comb t f t t t n --+=-∑∞ -∞ =δ 3. (a) 如 f(t) F(Ω)，证明： e e e t j t y j t j t f dy y F F Ω-∞ ∞--Ω-Ω-== *Ω⎰ )(2)()()(π (b) 用 （a ） 的结果，证明频域卷积定理 ) ()(21)() (21 2 1 Ω*Ω↔ F F f f t t π 4. 求下图中 f(t) 脉冲的傅氏变换。 5. (a) )()()(a H H -Ω=Ω*Ωδ (b) ) ()()(0 Ω +Ω= Ω +Ω* Ω∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =n H n H n n δ 6. 设e t a t f -=)(，证明脉冲序列) ()(nT t nT f n -∑∞ -∞ =δ的傅氏变换等于 aT aT aT e T e e 22cos 211---+Ω-- 7. (a) 证明 T n n n jnT e π δ2),(1000 = ΩΩ+Ω=Ω∑∑∞ -∞ =∞ -∞=Ω - (b) 若f(t) F(Ω)，证明 ) ()(0 Ω +Ω= ∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =Ω -n F nT f T n n jnT e 习 题 1. 下列系统中，y(n) 表示输出，x(n) 表示输入，试确定输入输出关系是否线性？是否非移变？ (a) y(n) = 2x(n) +3 (b) y(n) = x 2 (n) (c) ∑-∞== n m m x n y ) ()( 2. 确定下列系统是否因果的？是否稳定的？ (a) y(n) = g(n) x(n), g(n) 有界 (b) ∑- == n k n k x n y 0 ) ()( n>n 0 (c) y(n) = x(n-n 0) (d) x(n) = a n u(n), h(n) = u(n) (e) x(n) = a n u(n), h(n) = (1/2) n u(n) 3. x(n) 为输入序列， h(n) 为系统的单位取样响应序列，确定输出序列 y(n)， (a) 如图 p 2.1 (a) 所示 (b) 如图 p 2.1 (b) 所示 (c) 如图 p 2.1 (c) 所示 数字信号处理习题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 ==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)???? ? ?-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω=73π, 所以3 14 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期 T =14。 （2） 因为ω=81, 所以ωπ 2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他 2 n 0n 3，h(n)其他 3n 0n/2设x(n) 例、???≤≤-=???≤≤= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转) 数字信号处理期末试卷(含答案) 数字信号处理期末试卷 一、填空题：（每空1分，共18分） 1、数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率fs的归一化，其值是连续Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为 Ω=2tan(ωT/2)。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤 波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为 Ω=2fsarctan(ω/fs)。 2、双边序列z变换的收敛域形状为圆环或空集。 3、某序列的DFT表达式为X(k)=∑x(n)Wkn，由此可以看出，该序列时域的长度为N，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是2π/M。 4、线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为 H(z)=(8(z^2-z-1))/(2z^2+5z+2)，则系统的极点为z=1/2，z=-2； 系统的稳定性为不稳定。系统单位冲激响应h(n)的初值h(0)=4；终值h(∞)不存在。 5、如果序列x(n)是一长度为64点的有限长序列(0≤n≤63)，序列h(n)是一长度为128点的有限长序列(0≤n≤127)，记 y(n)=x(n)*h(n)（线性卷积），则y(n)为64+128-1=191点的序列，如果采用基2FFT算法以快速卷积的方式实现线性卷积， 则FFT的点数至少为256点。 6、用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为 Ω=2fsarctan(ω/fs)。 7、当线性相位FIR数字滤波器满足偶对称条件时，其单 位冲激响应h(n)满足的条件为h(n)=h(N-1-n)，此时对应系统的频率响应H(ejω)=H(ω)ejφ(ω)，则其对应的相位函数为φ(ω)=- N/2ω。 8、巴特沃什滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器是三 种常用低通原型模拟滤波器。 《数字信号处理》习题及答案 试题1 一、境空题（本题满分30分，共含4道小堰，短空2分） 1.两个有限长序列x：（n），04n433和Xz（n），04n436,做线性卷积后结果的长度是jp， 若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n江至生为线性卷积结果。 2. DFT是利用町：的对称性、可约性和周期性一三个固有特性来实现FFT快速运算的。 3. HR数字波波器设计指标一般由M、巴q、之和9」等四项组成。（巴。町33） 4.FIR一字疹豉器有窗函数法和频率抽样设计法两种设计方法,茸结构有横截型 （卷枳型/直接型）、级联型和频率抽样型（线性相位型）等多种结构。 二、判断题（本题满分16分，共含8道小踞，每小跪2分，正确打V，错误打x） 1.相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。（X） 2. Chirps变换的频率采样点数M可以不等于时域采样点数N。（V） 3.按频率抽取基2 FFT首先将序列x（n）分成奇数序列和偶数序列。（X ） 4.冲激响应不变法不适于设计数字带阻波波器。（J） 5.双线性变换法的模拟角频率。与数字角频率3成线性关系。（X） 6.巴特天思波波器的幅度特性必在一个频带中（通常或阻带）具有等波纹特性。（X） 7.只有FIR波波器才能做到线性相位，对于HR滤波器做不到线性相位。（X） 8.在只要求相同的幅频特性时，用IIR速波器实现其阶数一定低于FIR阶数。（J） 三、综合题 若x(n)={3，2，1，2，1，2}，0 数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解： ()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+- 2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪ =≤≤⎨⎪⎩ 其它 （1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。 解： （1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2） ()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4) x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+- （3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 （4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 （5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。 3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1）3()cos()7 8x n A n π π=-，A 是常数； （2）1 ()8 ()j n x n e π-=。 解： （1）3214 , 73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w w π π==，这是无理数，因此是非周期序列。 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()n m y n x m ==∑。 解： （1）令：输入为0()x n n -，输出为 '000' 0000()()2(1)3(2) ()()2(1)3(2)() y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--= 故该系统是时不变系统。 12121212()[()()] ()()2((1)(1))3((2)(2)) y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+- 数字信号处理习题及答案 三、计算题 1、已知10),()(<<=a n u a n x n ,求)(n x 的Z 变换及收敛 域。（10分） 解：∑∑∞ =-∞ -∞ =-= =0 )()(n n n n n n z a z n u a z X 1 111 )(-∞ =--==∑az z a n n ||||a z > 2、设)()(n u a n x n = )1()()(1--=-n u ab n u b n h n n 求)()()(n h n x n y *=。（10分） 解：[]a z z n x z X -= ℘=)()(， ||||a z > []b z a z b z a b z z n h z H --=---= ℘=)()(， ||||b z > b z z z H z X z Y -= =)()()( ， ||||b z > 其z 反变换为 [])()()()()(1n u b z Y n h n x n y n =℘=*=- 3、写出图中流图的系统函数。(10分) [] )())(()(21*k R k N W k W j N N --= 所以用DFT 求出)(k W 后，再按以上公式即可求得)(1k X 与)(2k X 。 5、已知滤波器的单位脉冲响应为)(9.0)(5n R n h n =求出系统函数，并画出其直接型结构。（10分） 解： ｘ（ｎ） 1 -z 1-z 1-z 1-z １ 9 .0 2 9.0 3 9.0 4 9.0 ｙ（ｎ） ６、略。 ７、设模拟滤波器的系统函数为 31 11342)(2+- +=++=s s s s s H a 试利用冲激响应不变法，设计IIR 数字滤波器。 数字信号处理习题库选择题附加答案选择填空 第1章选择题 1．信号通常是时间的函数，数字信号的主要特征是：信号幅度取 ；时间取 B 。 A.离散值；连续值 B.离散值；离散值 C.连续值；离散值 D.连续值；连续值 2．数字信号的特征是（ B ） A．时间离散、幅值连续B．时间离散、幅值量化 C．时间连续、幅值量化D．时间连续、幅值连续 3．下列序列中属周期序列的为（ D ） A．x(n) = δ(n)B．x(n) = C．x(n) = R4(n)D．x(n) = 1 4．序列x(n)=sin的周期为（ D ） A．3B．6 C．11 D．∞ 5. 离散时间序列x(n)=cos(-)的周期是( C ) A. 7B. 14/3 C. 14 D. 6．以下序列中（ D）的周期为5。 A．B. C. D. 7．下列四个离散信号中，是周期信号的是（C ）。A．sin100n B. C. D. 8．以下序列中 D 的周期为5。 A. B. C. D. 9．离散时间序列x(n)=cos的周期是( C ) A.5 B.10/3 C.10 D.非周期 10.离散时间序列x(n)=sin（）的周期是( D ) A.3 B.6 C.6π D.非周期 11.序列x(n)=cos的周期为( C ) A.3 B.5 C.10 D.∞ 12．下列关系正确的为（ C ） A．u(n)= (n)B．u(n)= (n) C．u(n)= (n)D．u(n)= (n) 13．设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条为（ C ） A．当n>0时，h(n)=0B．当n>0时，h(n)≠0 C．当n2/fhB.Ts>1/fh C.TsΩcC.Ωs2Ωc 34．.要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条的哪几条( D )。(Ⅰ)原信号为带限 (Ⅱ)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率 (Ⅲ)抽样信号通过理想低通滤波器 A.Ⅰ、Ⅱ B.Ⅱ、Ⅲ C.Ⅰ、Ⅲ D.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 35．若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时，输出为 y(n)=R2(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时，输出为( D ) A．R2(n)-R2(n-2)B．R2(n)+R2(n-2) C．R2(n)-R2(n-1)D．R2(n)+R2(n-1) 36．若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时，输出为 y(n)=R3(n)，计算当输入为u(n)-u(n-4)-R2(n-1)时，输出为( D 第一章 数字信号处理概述 判断说明题： 1．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。 （ ） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 2．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信 号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（ ） 答：错。受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、离散时间信号与系统频域分析 计算题： 1．设序列)(n x 的傅氏变换为 )(ω j e X ，试求序列)2(n x 的傅里叶变换。 解： 由序列傅氏变换公式 DTFT ∑∞ -∞ =-= =n n j j e n x e X n x ωω )()()]([ 可以得到 DTFT 2 )()2()]2([n j n n jn e n x e n x n x ' -∞ -∞ ='-∑∑'= = ωω 为偶数 )()(2 1 )(2 1 )(21)(21)(21)]()1()([2 122)2(2)2 (2 2ωωπω ωπω ωωj j j j n j n n jn n j n n e X e X e X e X e n x e n x e n x n x -+=+= +=-+=++-∞ -∞=∞-∞=--∞ -∞=∑∑∑ 2．计算下列各信号的傅里叶变换。 （a ）][2n u n - （b ）]2[)41(+n u n （c ）]24[n -δ 解：（a ）∑∑-∞ =--∞ -∞ == -= 2][2)(n n j n n j n n e e n u X ωωω ω ωj n n j e e 2 111)2 1(0-= =∑∞ = （b ）∑∑∞ -=--∞ -∞==+=2)4 1(]2[41)(n n j n n j n n e e n u X ωωω）（ ωω ωj j m m j m e e e -∞ =---==∑4 1116)41(20 )2(2 （c ）ω ωωδω2]24[][)(j n n j n j n e e n e n x X -∞ -∞ =--∞ -∞ ==-= = ∑ ∑ 7．计算下列各信号的傅立叶变换。 （1）{})2()3()21 (--+n u n u n （2）) 2sin()718cos(n n +π 数字信号处理第三版习题答案 数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是一门研究如何对数字信号进行处理和分析的学科。它在现代通信、音频处理、图像处理等领域有着广泛的应用。为了更好地理解和掌握数字信号处理的知识，许多人选择了《数字信号处理（第三版）》这本经典教材。本文将为大家提供一些《数字信号处理（第三版）》习题的答案，以帮助读者更好地学习和巩固所学知识。 第一章：离散时间信号和系统 1.1 习题答案： a) 离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而连续时间信号是在连续时间上取值的信号。 b) 离散时间系统是对离散时间信号进行处理的系统，而连续时间系统是对连续时间信号进行处理的系统。 c) 离散时间信号可以通过采样连续时间信号得到。 1.2 习题答案： a) 线性系统满足叠加性和齐次性。 b) 时不变系统的输出只与输入的时间延迟有关，与输入信号的具体形式无关。 c) 因果系统的输出只与当前和过去的输入有关，与未来的输入无关。 第二章：离散时间信号的时域分析 2.1 习题答案： a) 离散时间信号的能量是信号幅值的平方和，而功率是信号幅值的平方的平均值。 b) 离散时间信号的能量和功率可以通过计算信号的幅值序列的平方和和平方的 平均值得到。 2.2 习题答案： a) 离散时间信号的自相关函数是信号与其自身经过不同时间延迟的乘积的和。 b) 离散时间信号的自相关函数可以用于确定信号的周期性和频率成分。 第三章：离散时间信号的频域分析 3.1 习题答案： a) 离散时间信号的频谱是信号在频率域上的表示，可以通过对信号进行傅里叶变换得到。 b) 离散时间信号的频谱可以用于分析信号的频率成分和频谱特性。 3.2 习题答案： a) 离散时间信号的频谱具有周期性，其周期等于采样频率。 b) 离散时间信号的频谱可以通过对信号进行离散傅里叶变换得到。 第四章：离散时间系统的频域分析 4.1 习题答案： a) 离散时间系统的频率响应是系统在不同频率下的输出与输入之比。 b) 离散时间系统的频率响应可以通过对系统的冲激响应进行傅里叶变换得到。 4.2 习题答案： a) 离散时间系统的频率响应可以用于分析系统的频率选择性和频率特性。 b) 离散时间系统的频率响应可以通过对系统的差分方程进行离散傅里叶变换得到。 通过以上习题的答案，我们可以更加深入地理解和掌握《数字信号处理（第三版）》中所介绍的内容。数字信号处理作为一门重要的学科，对于现代科技的发 《数字信号处理》复习题 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分） 1。在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为Ωs，信号最高截止频率为Ωc，则折叠频率为( D)。 A。Ωs B。Ωc C. Ωc/2 D。Ωs/2 2。若一线性移不变系统当输入为x(n）=δ(n）时输出为y（n）=R3(n），则当输入为u(n)-u(n—2)时输出为（C）。A。R3(n) B。R2（n） C. R3（n)+R3(n-1） D. R2(n）+R2（n-1) 3. 一个线性移不变系统稳定的充分必要条件是其系统函数的收敛域包含( A）。 A。单位圆 B. 原点 C。实轴 D. 虚轴 4. 已知x(n)=δ（n)，N点的DFT[x(n)］=X(k），则X（5）=( B）。 A. N B。1 C。0 D。—N 5. 如图所示的运算流图符号是( D)基2 FFT算法的蝶形运算流图符号。 A。按频率抽取 B. 按时间抽取 C. 两者都是D。两者都不是 6。直接计算N点DFT所需的复数乘法次数与（B)成正比。 A。N B。N2 C。N3 D。Nlog2N 7. 下列各种滤波器的结构中哪种不是I I R滤波器的基本结构( D）. A。直接型B。级联型 C. 并联型D。频率抽样型 8。以下对双线性变换的描述中正确的是( B）。 A。双线性变换是一种线性变换 B。双线性变换可以用来进行数字频率与模拟频率间的变换 C。双线性变换是一种分段线性变换 D. 以上说法都不对 9。已知序列Z变换的收敛域为|z|〉1，则该序列为（B)。 A. 有限长序列B。右边序列 C. 左边序列D。双边序列 10. 序列x（n)=R5(n），其8点DFT记为X(k）,k=0,1,…，7，则X(0)为（D）。 A。2 B。3 数字信号处理题库(附答案) 数字信号处理复习题 一、 选择题 1、某系统)(), ()()(n g n x n g n y =有界，则该系统（ A ）。 A.因果稳定 B.非因果稳定 C.因果不 稳定 D. 非因果不稳定 2、一个离散系统（ D ）。 A.若因果必稳定 B.若稳定必因果 C. 因果与稳定有关 D.因果与稳定无关 3、某系统),()(n nx n y =则该系统（ A ）。 A.线性时变 B. 线性非时变 C. 非线 性非时变 D. 非线性时变 4.因果稳定系统的系统函数)(z H 的收敛域是 （ D ）。 A.9.0 A.因果稳定 B.非因果稳定 C.因果不 稳定 D.非因果不稳定 8.序列),1()(---=n u a n x n 在)(z X 的收敛域为（ A ）。 A.a z < B. a z ≤ C. a z > D. a z ≥ 9.序列),1()21()()31()(---=n u n u n x n n 则)(z X 的收敛域为 （ D ）。 A.2 1 第9章自测练习题及其参考解答本章练习题根据硕士研究生入学试题汇集，供读者复习和检查学习效果。 9.1 自测练习题 一、填空题 1．已知一离散系统的输入为x(n)，输出y(n)=x(n-1)+3x(n-2)，则可以判断该系统具有____________，__________，____________的系统特性。 2．用F s=120Hz的采样频率对含有频率40Hz的余弦信号的实连续信号x(t)进行采样，并利用N=1024点DFI'分析信号的频谱，则可计算出频谱的峰值出现在第______条谱线。 3．已知4阶线性相位FIR系统函数H(z)的一个零点为z1=2-2j，则系统的其他零点为_______________________________________。 4．序列x(n)=cos(0.15πn)+2sin(0.25πn)的周期为__________。 5．已知5点的有限序列x(n)={1，2，4,-2,-1}，则x(n)的自相关函数R x(n)为__________。 6．当用窗口法设计线性相位FIR滤波器时，如何控制滤波器阻带衰减_________。 7．IIR数字滤波器可否设计为因果稳定的具有线性相位的离散系统?_________。 8．已知离散系统LTI系统的单位阶跃响应为y(n)={1,2,3,2}，当系统的输入为x(n)=δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)时，该系统的零状态响应为_________。 9．已知序列x(n)={2,3,4,5,6}，X(e jω)=FT[x(n)]。X(e jω)在{ω=2πk/4;k=0,1,2,3}的4点取样值为X(k)，则IDFT[X(k)]=______________。 10、可以从，和三个角度用三种表示方式来描述一个线性时不变离散时间系统。 二、简答题 1．试用数学公式描述线性系统。 2．时间窗的引入对分析原始数字信号的频谱带来什么影响？怎样才能减小这种影响？ 3．何谓IIR、FIR滤波器？它们各自采用什么方法实现？ 4．若某函数x(t)的频谱X(f)如图9-1(a)所示，则以T为采样周期对x(t)进行采样，得到采样后的函数频谱为X’(f)，如图9-1(b)所示。试问采样周期为多少？为使采样后的X’(f)一个周期与采样前的X(f)相等效，应怎样做。 (a) (b) 图9-1 数字信号处理课后答案 1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解： 2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪ =≤≤⎨⎪⎩ 其它 （1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。 解： （1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2） （3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 （4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 （5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。 3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1）3()cos()7 8x n A n π π=-，A 是常数； （2）1 ()8 ()j n x n e π-=。 解： （1）3214 , 73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w w π π==，这是无理数，因此是非周期序列。 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()n m y n x m ==∑。 解： （1）令：输入为0()x n n -，输出为 '000' 0000()()2(1)3(2) ()()2(1)3(2)() y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--= 故该系统是时不变系统。 故该系统是线性系统。 （3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。 令输入为1()x n n -，输出为'10()()y n x n n n =--，因为 故延时器是一个时不变系统。又因为 故延时器是线性系统。 （5） 2()()y n x n = 数字信号处理试题和答案 一. 填空题 1、一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为2y(n) ；输入为x（n-3）时，输出为y(n-3) 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率f max关系为：fs>=2f max。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的N 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的 现象。 6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是(N-1)/2 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 4、序列x1（n）的长度为4，序列x2（n）的长度为3，则它们线性卷积的长度是，5点圆周卷积的长度是。 A. 5, 5 B. 6, 5 C. 6, 6 D. 7, 5 5、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构是 C 型的。 A. 非递归 B. 反馈 C.递归 D. 不确定 6、若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是对称的，长度为N，则它的对称中心是 B 。 A. N/2 B.（N-1）/2 C. （N/2）-1 D. 不确定 7、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= D 。 A. 2π B. 4π C. 2 D. 8 习题解答 4.1 根据给定的模拟滤波器的幅度响应平方，确定模拟滤波器的系统函数 H(s)。 (1) 2 6 1 |()|164H j Ω= +Ω (2) 22 222 16(25)|()|(49)(36) H j -ΩΩ=+Ω+Ω 分析：在模拟滤波器设计中，由各种逼近方法确定了幅度响应，通过下列步骤求出滤波器的系统函数H(s)。更进一步，通过脉冲响应不变法或双线性变换法，可以得到数字滤波器的传输函数 H(z)。 （1）考虑s j =Ω，将幅度响应表达式整理为s 为变量的表达式，求 ()()a a H s H s - 表达式的零极点； （2）为了系统稳定，选择左半平面的极点构成 H(s)； （3）如果没有特殊要求，可以选择取 ()()a a H s H s -以虚轴为对称轴的对称零点的任意一半（应是共轭对）作为 H a (s) 的零点。但如果要求是最小相位延时滤波器，则应取左半平面零点作为 H a (s) 的零点。 （4）对比()a H s 和()a H j Ω 的低频特性或高频特性，从而确定增益常数K 0。 解：（1）由于2 )(Ωj H a 是非负有理函数，它在Ωj 轴上的零点是偶次的，所以满足幅度平方函数的条件，先求 23 2 1 ()()() 164()22 H s H s H j a a a s s -=Ω= +-Ω=- 其极点为 0.5 0.250.4330.5 0.250.433 j j --±± 我们选出左半平面极点s=0.5和 0.250.433j -± 为)(s H a 的极点，并设增益常数为0K ，则得)(s H a 为： 00 2()(0.5)(0.250.433)(0.250.433)(0.5)(0.50.25) K K H s a s s j s j s s s ==++-+++++ 按着()a H s 和()a H j Ω的低频特性或高频特性的对比可以确定增益常数。在这里我们采用北京邮电大学数字信号处理习题库选择题附加答案重点
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