第四节对面积的曲面积分
4.1学习目标
了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量.
4.2内容提要
1.定义设函数(),,f x y z 在光滑曲面∑上有界，将曲面∑任意分成n 小块i S ?（i S ?也表示第i 小块曲面的面积），在i S ?上任取一点(,,)i i i i M ξηζ，作乘积i i i i S f ?),,(ζηξ（1,2,
,i n =）
，并作和()1,,n
i i i i i f s ξηζ=??∑，记各小曲面直径的最大值为λ，如果对曲面的任一分法和点(,,)i i i ξηζ的任意取法，当0λ→时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数(),,f x y z 在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记
=??∑
dS z y x f ),,(0lim →λ
1
(,,)n
i i i i i f S ξηζ=∑?．
【注】定义中的“i S ?”是面积元素，因此，0i S ?≥． 2.性质
①关于曲面具有可加性，若12∑=∑+∑，且1∑与2∑没有公共的内点，则
=??∑
dS z y x f ),,(????∑∑+2
1
),,(),,(dS z y x f dS z y x f ；
②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面∑的面积S ，即
S dS z y x f =??∑
),,(．
3.对面积的曲面积分的计算
设曲面∑由(),z z x y =给出，∑在xoy 面上的投影区域为xy D ，函数(),z z x y =在xy D 上具有连续偏导数，被积函数(,,)f x y z 在∑上连续，则
(,,)(,,(,xy
D f x y z dS f x y z x y ∑
=????
．
同样地
()
(
):,(,,),,,yz
x x y z D f x y z dS f x y z y z ∑=∑
??=????
，
()
(
):,(,,),,,xz
y y z x D f x y z dS f x y z x z ∑=∑
??=????
． 4.对面积的曲面积分的应用
设曲面∑上任意一点()z y x ,,处的面密度是()z y x ,,ρ，则 ①曲面的质量
()dS z y x m ??∑
=,,ρ．
②曲面的质心()
z y x ,,
()()1
1,,,,,x x x y z dS y y x y z dS m m ρρ∑
∑
=
=
????，()1
,,z z x y z dS m ρ∑
=??．
③曲面的转动惯量
()()22,,x I y z x y z dS ρ∑
=+??，()()22,,y I x z x y z dS ρ∑
=+??，
()()22,,z I x y x y z dS ρ∑
=+??，()()222,,o I x y z x y z dS ρ∑
=++??．
4.3典型例题与方法
基本题型I ：计算对面积的曲面积分 例1填空题
设2
2
2
:4x y z ∑++=，则2
2()______x
y dS ∑
+=??．
解由积分区域的对称性知
222
x dS y dS z dS ∑
∑
∑
==
????
??，于是 22
2222
()()3x y dS x y z dS ∑
∑
+=++????． 而积分在∑上进行，222
4x y z ++=，代入上式得，
故应填128
.3
π 例2选择题
设2222
:(0)x y z a z ∑++=≥，1∑为∑在第一卦限中的部分，则有（） （A ）1
4xdS xdS ∑
∑=????；（B ）1
4ydS xdS ∑
∑=????；
（C ）1
4zdS xdS ∑
∑=????；（D ）1
4xyzdS xyzdS ∑
∑=????．
解因为曲面是上半球面，∑关于yoz 面对称且被积函数
1(,,)f x y z x =，
2(,,)f x y z xyz =都是变量x 的奇函数，于是0xdS xyzdS ∑
∑
==????．类似地，∑关于xoz
面对称且3(,,)f x y z y =是变量
y
的奇函数，于是0ydS ∑
=??．而1
1
0,0xdS xyzdS ∑∑>>????，
故应选（C ）．事实上，由对称性，1
4zdS zdS ∑
∑=????，1
1
zdS xdS ∑∑=????，（C ）正确．
【方法点击】在计算对面积的曲面积分时，应注意下列技巧：
（1）利用对称性，但要注意，曲面∑关于某坐标面对称，被积函数关于相应变量具有奇偶性，两者缺一不可．
（2）利用积分曲面∑的方程化简被积函数． 例3计算曲面积分
(22)x y z ds ∑
++??，
其中∑是平面2220x y z ++-=被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分.
解法一:222,2,2x y z x y z z ''∑=--=-=-.∑在xoy 平面上的投影是三角形，记为
:01,01D x y x ≤≤≤≤-.
2(22)2163x D
D
x y z ds z dxdy ∑
'++=++==??????. 解法二
2
1
2(22)22
232
2x y z ds dS ∑
∑
??++==+= ? ?
??
????. 【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里，因为积分曲面是一个三角
形，最后用到了三角形的面积公式.
例4计算22()I x y dS ∑
=
+??,∑为立体122≤≤+z y x 的边界. 【分析】]根据积分曲面∑的方程，确定投影区域，计算曲面面积微元dS ，将曲面积
分转化为投影区域上的二重积分进行计算．
解设2
1∑+∑=∑,1∑为锥面22y x z +=
,10≤≤z ，在1∑上，
dS ==dxdy 2，
图4-1
2∑为1=z 上122≤+y x 部分，在2∑上，dS dxdy =，
21,∑∑在xOy 面的投影区域为22
:
1D x y +
≤，所以
=I
1
22()x y dS ∑+??+2
22()x y dS ∑+?? 21
2
2
31
1)()(1(12
D
x y dxdy d d π
π
θρρ=+=+=
+????.
例5计算
??∑
dS z 2，其中∑为42
2=+y x 介于6,0==z z 之间的部分.
【分析】积分曲面∑如图11-13所示，此积分为对面积的曲面积分，积分曲面∑关于xoz 面，yoz 面对称，被积函数是偶函数，则有
??∑
dS z
2
=??∑1
24dS z ，故可利用对称性解之.
解设214:y x -=
∑,其在yoz 面的投影域为?
?
?≤≤≤≤602
0:z y D yz ， ??∑
dS z 2=??∑1
2
4dS z =4π288424422
2
60
22
2=-=-?
???dy y
dz z dzdy y
z yz
D .
图4-2
【注】该题不能将积分曲面∑向xoy 面作投影，因为投影为曲线，不是区域. 基本题型II ：对面积的曲面积分的应用 例6求物质曲面2
21:()(01)2
S z x y z =
+≤≤的质量，其面密度((,,))z x y z S ρ=∈. 解S 在xoy
平面上的投影区域222
:D x y +≤.
于是，所求质量为222211()dS (22D M x y x y ∑
=
+=+???? 例7试求半径为R 的上半球壳的质心，已知其各点的密度等于该点到铅锤直径的距离． 解以球心为原点，铅锤直径为
z 轴建立直角坐标系，则球面方程为2222x y z R ++=，
且任意点(,,)M x y z
处的密度为μ=
设球壳的质心坐标为(,,)x y z ，由对称性知，
0x y ==．
z dS
z dS
μμ∑
∑
=
????，
其中∑
为上半球面z =
，dS ==
，
于是球壳的质量为 其中D 为∑在xoy 面上的投影域：222x y R +≤．利用极坐标计算上述二重积分，得
而
故423243132
R
R z R
πππ==，于是半球壳的质心坐标为4(0,0,)3R π． 4.4教材习题解答
1. 有一个分布着质量的曲面∑，在点),,(z y x 处它的面密度),,(z y x u ，用对面积的
曲面积分表示这曲面对于x 轴转动惯量。
解：假设),,(z y x u 在曲面∑上连续，应用元素法，在曲面上任取一直径很小的曲面块
dS ，设),,(z y x 使曲面块dS 内的一点，则由曲面块dS 很小，),,(z y x u 的连续性可知，
曲面块dS 的质量近似等于dS z y x u ),,(，这部分质量可近似看作集中在点),,(z y x 上，该点到x 轴的距离等于2
2
y x +，于是曲面对于x 轴的转动惯量为：
dS z y x u y z dI x ),,()(22+=，所以转动惯量为：??∑
+=dS z y x u z y I x ),,()(22
2．按对面积的曲面积分的定义证明公式
??????∑∑∑
+=1
2
),,(),,(),,(dS z y x f dS z y x f dS z y x f ，其中∑由1∑
和
2∑组成
证明：因为),,(z y x f 在曲面上对面积的积分存在，所以不论把曲面∑怎样分割，积分和总保持不变，因此在分割曲面∑时，可以永远把1∑和2∑的边界曲线作为分割线，从而保证i S ?整个位于1∑上，于是∑上的积分和等于1∑上的积分和加上2∑上的积分和，即 令各小块的直径的最大值趋向于0，去极限得到：
??????∑∑∑
+=1
2
),,(),,(),,(dS z y x f dS z y x f dS z y x f
3.当∑时xoy 面内的一个闭区域D 时，曲面积分
??∑
dS z y x f ),,(和二重积分有什么关系。
解：当∑时xoy 面内的一个闭区域D 时，∑在xoy 上的投影区域即为D ，∑上的
),,(z y x f 恒为)0,,(y x f ，并且0==y x z z ，所以????∑
∑
=dxdy y x f dS z y x f )0,,(),,(，
即曲面积分与二重积分相等。
4.计算曲面积分
()dS z y x f ??
∑
,,，其中∑为抛物面()222y x z +-=在xoy 面上方的部
分，()z y x f ,,分别如下：
（2）()2
2
,,y x z y x f +=;（3）()z z y x f 3,,=．
解（2）
()dS z y x f ??
∑
,,=()dxdy z z y x y x D xy
2
2221+++??，其中xy D 为∑在xoy 面上
的投影区域，即
()02:22=≤+z y x D xy .
于是
()dS z y x f ??
∑
,,=()πρρρρθπ
30
14941)(4122
2202222=+=+++????d d dxdy y x y x xy
D .
（3）
()dS z y x f ??∑
,,
=
()
()πρρρ
ρθπ10
1114123)(41232
2
2
20
2
222=
+-=++--?
???d d dxdy y x y x xy
D .
5.计算
()
d S y x
??∑
+22
，其中∑是：
（1）锥面22y x z +=
及平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面.
（2）锥面)(32
2
2
y x z +=被平面0=z 和3=z 所截部分。
解（1）设∑中属于锥面部分为1∑，上底面部分为2∑，而1∑与2∑在xoy 面上的投影区域均为
()01:22=≤+z y x D xy ，所以
()
d S y x
??∑
+22
=()()dS y x dS y x ????∑∑+++2
1
2222
（2）所截的锥面为：)3:(32222≤++=y x D y x z xy ，
所以
π9)(2)(22
22
=+=
+????∑
xy
D dxdy y x
dS y x
6.计算下列对面积的曲面积分： （1）
4(2)3z x y dS ∑
++??，其中∑为平面1234x y z
++=在第一卦限中的部分. 解4
423
z x y =--
，3dS dxdy ==
（2）
2
(22)xy x x z dS ∑
--+??，其中∑为平面226x y z ++=在第一卦限中的部分. 解4
423
z x y =--
，3dS dxdy == （3）
()x y z dS ∑
++??，其中∑为球面2
222x
y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分.
解z =
dS =
（4）()xy yz zx dS ∑
++??
，其中∑
为锥面z =被柱面222x y ax +=所截得的有限部分.
解dS == 7.求抛物面壳2
21()(01)2
z x y z =
+≤≤的质量，此壳的面密度为z μ=.
解dS =，2
2
:2xy D x y +≤ 8.求面密度为0μ的均匀球壳()02
2
2
2
≥=++z a z y x 对于z 轴的转动惯量.
解由公式()
()
dxdy z z y x
dS y x
I y x D z xy
2
222
022
1+++=
+=
????∑
μμ
对面积的曲面积分教案 设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
对面积的曲面积分教案设计 课 题 对面积的曲面积分 课 时 1课时 教 学 目 的 和 要 求 教学目的： 使学生理解对面积的曲面积分的定义，了解积分中“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想。基于第一类曲线积分的性质，理解对面积的曲面积分的性质。将对面积的曲面积分的计算概括为“一投二代三换”，使学生掌握对面积的曲面积分的计算方法。 教学要求： 1.了解对面积的曲面积分的概念； 2.理解对面积的曲面积分的性质； 3.掌握对面积的曲面积分的计算方法； 重 点 难 点 对面积的曲面积分的计算 教 学 方 法 讲授（板书） 教 学 内 容 一、概念的引入 前面介绍了第一类曲线积分() , L x y ds ρ ?，物理背景是曲线型构件的质量，在此问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，若求曲面的质量，该怎么做？ 例 1 若曲面∑是光滑的，它的面密度为连续函数() ,, x y z ρ，求它的质量。 解：“分割”：用网格线分割曲面∑为 12 ,,, n S S S ???, “近似”：(),,i i i i S ρξηζ∈?; “求和”：(), 1 , n i i i i i S ρξηζ = ? ∑;
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质 可分为分片光滑的曲面 () =?? f x y z dS ,,
2 21y z x x dydz ++=0,0,0,x z x ≥≥221y y dxdz ++1x z z =++003dx xy =?? 例3 求2z dS ∑??
例1若曲面是光滑的，它的面密度为连续函数，求它的质量。 解：“分割”：用网格线分割曲面为S, S2,K , S n, "近似”：i, i, i S； n “求和”：i, i, i S ; i 1
“取极限”：lim ,, , , S i . i 0 17 1,1 i 1 、对面积的曲面积分 1.定义：设曲面是光滑的，函数f x,y,z在上有界，把 分成n个小块S i （S i同时也表示第个小块曲面的面积），设点i, i, i为S i上任意取定的点， n 作乘积f i, i, i S j,并作和f i, i, i s。如果当各小块曲面的直径的 ，i 1 ， 最大值0时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f x,y,z在曲面上对 面积的曲面积分或第一类曲面积分，记为 f x, y, z dS，即
三换：换面积元dS ; 按照曲面的不同情况分为以下三种: 3.若曲面 ：x x y,z f x,y,z dS f x y, z , y, z J i x ： x ；dydz D yz 四举例 例：求球面x 2 y 2 z 2 a 2在h z a 部分的质量 0 h a ，已知球面上一点的 1 面密度为该点竖坐标的倒数 x, y, z - z 1 解：Q M x, y, z dS dS z 球面 在 xOy 平面的投影：x 2 y 2 a 2 h 2， z a 2 x 2 y 2， h z a ， a 2 h 2 a d 2 aln a 2 2 解：1:x 0, y 0, z 0, y z 1 , 1. 若曲面 ：z f x,y,z dS 2. 若曲面 ：y f x, y, z dS z x,y f x, y, z x, y D xy y x,z f x, y x, z , z D xz 22 一.1 Z x Z y dxdy ; 1 ￡ y ；dxdz ; J 2 2 dS \ 1 Z x z y dxdy Ja 2 y ~2 x dxdy .a 2 Ar dxdy x y 1 dS 2 z D xy ■- a 2 x 2 y 2 , a 2 dxdy D xy -2dxdy y °xyzdS , : x 0, y 0,z 0,x y 1所围立体的边界的曲面。
对面积的曲面积分 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-
第四节 对面积的曲面积分 学习目标 了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量. 内容提要 1.定义 设函数(),,f x y z 在光滑曲面∑上有界，将曲面∑任意分成n 小块 i S ?（i S ?也表示第i 小块曲面的面积），在i S ?上任取一点(,,)i i i i M ξηζ，作乘 积i i i i S f ?),,(ζηξ（1,2, ,i n =），并作和()1 ,,n i i i i i f s ξηζ=??∑，记各小曲面直径 的最大值为λ，如果对曲面的任一分法和点(,,)i i i ξηζ的任意取法，当0λ→时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数(),,f x y z 在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记 =??∑ dS z y x f ),,(0lim →λ1 (,,)n i i i i i f S ξηζ=∑?． 【注】定义中的“i S ?”是面积元素，因此，0i S ?≥． 2.性质 ①关于曲面具有可加性，若12∑=∑+∑，且1∑与2∑没有公共的内点，则 =??∑ dS z y x f ),,(????∑∑+2 1 ),,(),,(dS z y x f dS z y x f ； ②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面∑的面积S ，即 S dS z y x f =??∑ ),,(． 3.对面积的曲面积分的计算 设曲面∑由(),z z x y =给出，∑在xoy 面上的投影区域为xy D ， 函数 (),z z x y =在xy D 上具有连续偏导数，被积函数(,,)f x y z 在∑上连续，则 (,,)(,,(,xy D f x y z dS f x y z x y ∑ =???? ． 同样地
第四节 对面积的曲面积分 一、填空题 1．分片光滑的有界曲面∑，曲面上任一点(,,)x y z 的面密度为(,,)x y z μ，则曲面的质量 为M = (,,)d x y z S ∑ μ??，对x 轴的转动惯量x I = 2 2()(,,)d y z x y z S ∑ μ+??． 2.设光滑曲面∑的方程为(,)z z x y =，它在xOy 面上的投影区域为xy D ，则 (,,)d f x y z S ∑ =??(,,(,d xy D f x y z x y x y ??（写出计算公式）． 3．设曲面∑为曲面z = 1z =截下的曲面，则d S ∑ =??． 4．（附加题）设∑： 2 2 2 2 x y z R ++=(0)R >，则 222 ()d xy D f x y z S ∑ ++=???? (2d f R x y yz D =?? (2d f R y z xz D = ?? (2d f R z x ， 其中,,xy yz xz D D D ，分别为∑在,,xoy yoz xoz 面的投影． 二、单项选择题 1．∑为球面2222 x y z R ++=(0)R >，则曲面积分222 ()d x y z S ∑ ++=?? C ． A ．4πR B ．42πR C ．44πR D ．46πR 提示：2 2 2 2 4 ()d d 4πx y z S R S R ++==????∑ ∑ . 2．设S ：()2222 0,0x y z a z a ++=≥>，1 S 是S 在第一卦限中的部分，则有 C ． A ．1 d 4d S S x S x S =???? B ．1 d 4d S S y S x S =?? ?? C ．1 d 4d S S z S x S =???? D ．1 d 4d S S xyz S xyz S =???? 提示：被积函数(,,)f x y z z =在曲面上为正，积分曲面关于xoy 面及yoz 面对称，故
第四节对面积的曲面积分 4.1学习目标 了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量. 4.2内容提要 1.定义设函数(),,f x y z 在光滑曲面∑上有界，将曲面∑任意分成n 小块i S ?（i S ?也表示第i 小块曲面的面积），在i S ?上任取一点(,,)i i i i M ξηζ，作乘积i i i i S f ?),,(ζηξ（1,2,,i n =L ），并作和 ()1 ,,n i i i i i f s ξηζ=??∑，记各小曲面直径的最大值为λ，如果对曲 面的任一分法和点(,,)i i i ξηζ的任意取法，当0λ→时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数(),,f x y z 在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记 =??∑ dS z y x f ),,(0lim →λ 1 (,,)n i i i i i f S ξηζ=∑?． 【注】定义中的“i S ?”是面积元素，因此，0i S ?≥． 2.性质 ①关于曲面具有可加性，若12∑=∑+∑，且1∑与2∑没有公共的内点，则 =??∑ dS z y x f ),,(????∑∑+2 1 ),,(),,(dS z y x f dS z y x f ； ②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面∑的面积S ，即 S dS z y x f =??∑ ),,(． 3.对面积的曲面积分的计算 设曲面∑由(),z z x y =给出，∑在xoy 面上的投影区域为xy D ，函数(),z z x y =在xy D 上具有连续偏导数，被积函数(,,)f x y z 在∑上连续，则 (,,)(,,(,xy D f x y z dS f x y z x y ∑ =???? ． 同样地 () ( ):,(,,),,,yz x x y z D f x y z dS f x y z y z ∑=∑ ??=???? ，
第四节 对面积的曲面积分 4.1 学习目标 了解对面积的曲面积分的概念、 性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法， 会用曲面积 分求一些几何量与物理量 . 4.2 内容提要 1.定义 设函数f x, y,z 在光滑曲面 上有界，将曲面 任意分成n 小块 s ( S i 也表示第i 小块曲面的面积)，在 S i 上任取一点 M i ( i , i , J ，作乘积f( i , i , i ) S i n (i 1,2,L ,n )，并作和 f i , i , i s i ，记各小曲面直径的最大值为 ，如果对曲 i 1 面的任一分法和点(i , i , i )的任意取法，当 0时，上述和式的极限都存在且相等，则 称此极限值为函数 f x,y,z 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记 n f(x, y,z)dS lim 0 i 1 f ( i , i , i ) S ? 【注】定义中的“ S i ”是面积元素，因此， S i 0 . 2?性质 f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS ; 1 2 ②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面 的面积S ，即 f (x, y, z)dS S . 3.对面积的曲面积分的计算 在xoy 面上的投影区域为 D xy ,函数z z x, y 在 ①关于曲面具有可加性，若 1 2，且1与2没有公共的内点，则 设曲面 由z z x, y 给出, D xy 上具有连续偏导数，被积函数 f (x, y,z)在 上连续，则 f (x, y,z)dS f(x, y,z(x,y)h 1 dxdy 同样地 D xy :x x y,z f (x, y, z)dS D yz x y,z , y,z dydz ,