对面积的曲面积分教案 设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
对面积的曲面积分教案设计 课 题 对面积的曲面积分 课 时 1课时 教 学 目 的 和 要 求 教学目的： 使学生理解对面积的曲面积分的定义，了解积分中“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想。基于第一类曲线积分的性质，理解对面积的曲面积分的性质。将对面积的曲面积分的计算概括为“一投二代三换”，使学生掌握对面积的曲面积分的计算方法。 教学要求： 1.了解对面积的曲面积分的概念； 2.理解对面积的曲面积分的性质； 3.掌握对面积的曲面积分的计算方法； 重 点 难 点 对面积的曲面积分的计算 教 学 方 法 讲授（板书） 教 学 内 容 一、概念的引入 前面介绍了第一类曲线积分() , L x y ds ρ ?，物理背景是曲线型构件的质量，在此问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，若求曲面的质量，该怎么做？ 例 1 若曲面∑是光滑的，它的面密度为连续函数() ,, x y z ρ，求它的质量。 解：“分割”：用网格线分割曲面∑为 12 ,,, n S S S ???, “近似”：(),,i i i i S ρξηζ∈?; “求和”：(), 1 , n i i i i i S ρξηζ = ? ∑;
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质 可分为分片光滑的曲面 () =?? f x y z dS ,,
2 21y z x x dydz ++=0,0,0,x z x ≥≥221y y dxdz ++1x z z =++003dx xy =?? 例3 求2z dS ∑??
例1若曲面是光滑的，它的面密度为连续函数，求它的质量。 解：“分割”：用网格线分割曲面为S, S2,K , S n, "近似”：i, i, i S； n “求和”：i, i, i S ; i 1
“取极限”：lim ,, , , S i . i 0 17 1,1 i 1 、对面积的曲面积分 1.定义：设曲面是光滑的，函数f x,y,z在上有界，把 分成n个小块S i （S i同时也表示第个小块曲面的面积），设点i, i, i为S i上任意取定的点， n 作乘积f i, i, i S j,并作和f i, i, i s。如果当各小块曲面的直径的 ，i 1 ， 最大值0时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f x,y,z在曲面上对 面积的曲面积分或第一类曲面积分，记为 f x, y, z dS，即
三换：换面积元dS ; 按照曲面的不同情况分为以下三种: 3.若曲面 ：x x y,z f x,y,z dS f x y, z , y, z J i x ： x ；dydz D yz 四举例 例：求球面x 2 y 2 z 2 a 2在h z a 部分的质量 0 h a ，已知球面上一点的 1 面密度为该点竖坐标的倒数 x, y, z - z 1 解：Q M x, y, z dS dS z 球面 在 xOy 平面的投影：x 2 y 2 a 2 h 2， z a 2 x 2 y 2， h z a ， a 2 h 2 a d 2 aln a 2 2 解：1:x 0, y 0, z 0, y z 1 , 1. 若曲面 ：z f x,y,z dS 2. 若曲面 ：y f x, y, z dS z x,y f x, y, z x, y D xy y x,z f x, y x, z , z D xz 22 一.1 Z x Z y dxdy ; 1 ￡ y ；dxdz ; J 2 2 dS \ 1 Z x z y dxdy Ja 2 y ~2 x dxdy .a 2 Ar dxdy x y 1 dS 2 z D xy ■- a 2 x 2 y 2 , a 2 dxdy D xy -2dxdy y °xyzdS , : x 0, y 0,z 0,x y 1所围立体的边界的曲面。
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第四节 对面积的曲面积分 学习目标 了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量. 内容提要 1.定义 设函数(),,f x y z 在光滑曲面∑上有界，将曲面∑任意分成n 小块 i S ?（i S ?也表示第i 小块曲面的面积），在i S ?上任取一点(,,)i i i i M ξηζ，作乘 积i i i i S f ?),,(ζηξ（1,2, ,i n =），并作和()1 ,,n i i i i i f s ξηζ=??∑，记各小曲面直径 的最大值为λ，如果对曲面的任一分法和点(,,)i i i ξηζ的任意取法，当0λ→时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数(),,f x y z 在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记 =??∑ dS z y x f ),,(0lim →λ1 (,,)n i i i i i f S ξηζ=∑?． 【注】定义中的“i S ?”是面积元素，因此，0i S ?≥． 2.性质 ①关于曲面具有可加性，若12∑=∑+∑，且1∑与2∑没有公共的内点，则 =??∑ dS z y x f ),,(????∑∑+2 1 ),,(),,(dS z y x f dS z y x f ； ②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面∑的面积S ，即 S dS z y x f =??∑ ),,(． 3.对面积的曲面积分的计算 设曲面∑由(),z z x y =给出，∑在xoy 面上的投影区域为xy D ， 函数 (),z z x y =在xy D 上具有连续偏导数，被积函数(,,)f x y z 在∑上连续，则 (,,)(,,(,xy D f x y z dS f x y z x y ∑ =???? ． 同样地
第四节 对面积的曲面积分 一、填空题 1．分片光滑的有界曲面∑，曲面上任一点(,,)x y z 的面密度为(,,)x y z μ，则曲面的质量 为M = (,,)d x y z S ∑ μ??，对x 轴的转动惯量x I = 2 2()(,,)d y z x y z S ∑ μ+??． 2.设光滑曲面∑的方程为(,)z z x y =，它在xOy 面上的投影区域为xy D ，则 (,,)d f x y z S ∑ =??(,,(,d xy D f x y z x y x y ??（写出计算公式）． 3．设曲面∑为曲面z = 1z =截下的曲面，则d S ∑ =??． 4．（附加题）设∑： 2 2 2 2 x y z R ++=(0)R >，则 222 ()d xy D f x y z S ∑ ++=???? (2d f R x y yz D =?? (2d f R y z xz D = ?? (2d f R z x ， 其中,,xy yz xz D D D ，分别为∑在,,xoy yoz xoz 面的投影． 二、单项选择题 1．∑为球面2222 x y z R ++=(0)R >，则曲面积分222 ()d x y z S ∑ ++=?? C ． A ．4πR B ．42πR C ．44πR D ．46πR 提示：2 2 2 2 4 ()d d 4πx y z S R S R ++==????∑ ∑ . 2．设S ：()2222 0,0x y z a z a ++=≥>，1 S 是S 在第一卦限中的部分，则有 C ． A ．1 d 4d S S x S x S =???? B ．1 d 4d S S y S x S =?? ?? C ．1 d 4d S S z S x S =???? D ．1 d 4d S S xyz S xyz S =???? 提示：被积函数(,,)f x y z z =在曲面上为正，积分曲面关于xoy 面及yoz 面对称，故
第四节对面积的曲面积分 4.1学习目标 了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量. 4.2内容提要 1.定义设函数(),,f x y z 在光滑曲面∑上有界，将曲面∑任意分成n 小块i S ?（i S ?也表示第i 小块曲面的面积），在i S ?上任取一点(,,)i i i i M ξηζ，作乘积i i i i S f ?),,(ζηξ（1,2,,i n =L ），并作和 ()1 ,,n i i i i i f s ξηζ=??∑，记各小曲面直径的最大值为λ，如果对曲 面的任一分法和点(,,)i i i ξηζ的任意取法，当0λ→时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数(),,f x y z 在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记 =??∑ dS z y x f ),,(0lim →λ 1 (,,)n i i i i i f S ξηζ=∑?． 【注】定义中的“i S ?”是面积元素，因此，0i S ?≥． 2.性质 ①关于曲面具有可加性，若12∑=∑+∑，且1∑与2∑没有公共的内点，则 =??∑ dS z y x f ),,(????∑∑+2 1 ),,(),,(dS z y x f dS z y x f ； ②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面∑的面积S ，即 S dS z y x f =??∑ ),,(． 3.对面积的曲面积分的计算 设曲面∑由(),z z x y =给出，∑在xoy 面上的投影区域为xy D ，函数(),z z x y =在xy D 上具有连续偏导数，被积函数(,,)f x y z 在∑上连续，则 (,,)(,,(,xy D f x y z dS f x y z x y ∑ =???? ． 同样地 () ( ):,(,,),,,yz x x y z D f x y z dS f x y z y z ∑=∑ ??=???? ，
第四节 对面积的曲面积分 4.1 学习目标 了解对面积的曲面积分的概念、 性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法， 会用曲面积 分求一些几何量与物理量 . 4.2 内容提要 1.定义 设函数f x, y,z 在光滑曲面 上有界，将曲面 任意分成n 小块 s ( S i 也表示第i 小块曲面的面积)，在 S i 上任取一点 M i ( i , i , J ，作乘积f( i , i , i ) S i n (i 1,2,L ,n )，并作和 f i , i , i s i ，记各小曲面直径的最大值为 ，如果对曲 i 1 面的任一分法和点(i , i , i )的任意取法，当 0时，上述和式的极限都存在且相等，则 称此极限值为函数 f x,y,z 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记 n f(x, y,z)dS lim 0 i 1 f ( i , i , i ) S ? 【注】定义中的“ S i ”是面积元素，因此， S i 0 . 2?性质 f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS ; 1 2 ②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面 的面积S ，即 f (x, y, z)dS S . 3.对面积的曲面积分的计算 在xoy 面上的投影区域为 D xy ,函数z z x, y 在 ①关于曲面具有可加性，若 1 2，且1与2没有公共的内点，则 设曲面 由z z x, y 给出, D xy 上具有连续偏导数，被积函数 f (x, y,z)在 上连续，则 f (x, y,z)dS f(x, y,z(x,y)h 1 dxdy 同样地 D xy :x x y,z f (x, y, z)dS D yz x y,z , y,z dydz ,