第四节 对面积的曲面积分
一、填空题
1．分片光滑的有界曲面∑，曲面上任一点(,,)x y z 的面密度为(,,)x y z μ，则曲面的质量 为M =
(,,)d x y z S ∑
μ??，对x 轴的转动惯量x
I =
2
2()(,,)d y z x y z S ∑
μ+??．
2.设光滑曲面∑的方程为(,)z z x y =，它在xOy 面上的投影区域为xy D ，则
(,,)d f x y z S ∑
=??(,,(,d xy
D f x y z x y x y ??（写出计算公式）．
3．设曲面∑为曲面z =
1z =截下的曲面，则d S ∑
=??．
4．（附加题）设∑： 2
2
2
2
x y z R ++=(0)R >，则
222
()d
xy
D f x y z S ∑
++=????
(2d f R x y
yz
D =??
(2d f R y z xz
D =
??
(2d f R z x ，
其中,,xy yz xz D D D ，分别为∑在,,xoy yoz xoz 面的投影．
二、单项选择题
1．∑为球面2222
x y z R ++=(0)R >，则曲面积分222
()d x y z S ∑
++=?? C ．
A ．4πR
B ．42πR
C ．44πR
D ．46πR 提示：2
2
2
2
4
()d d 4πx y z S R S R ++==????∑
∑
.
2．设S ：()2222
0,0x y z a
z a ++=≥>，1
S
是S 在第一卦限中的部分，则有 C ．
A ．1
d 4d S
S x S x S =???? B ．1
d 4d S
S y S x S =??
??
C ．1
d 4d S
S z S x S =???? D ．1
d 4d S
S xyz S xyz S =????
提示：被积函数(,,)f x y z z =在曲面上为正，积分曲面关于xoy 面及yoz 面对称，故
1
1
d 4d 4d S
S S z S z S x S ==??????（轮换对称性）
，其它类似可得. 三、计算题
1．4(2)d 3x y z S ∑
+
+??，∑是平面1234
x y z
++=在第一卦限的部分． 解：如图11-5，()4:42,:1,0,0323
xy y x y
z x D x y ∑=--
+≤≥≥
d d S x y =，
原式d xy
D x y =
??14322=??=
2．2
2
2
()d x y z S ∑
++??，∑
是锥面z =
与平面1z =所围成立体的表面．
解：如图11-6，∑
由1:1z z ∑=
≤≤ 与222:1,1z x y ∑=+≤ 围成，
222()d x y z S ∑
++??1
2
222222
()d ()d x y z S x y z S ∑∑=+++++????
222(d xy
D x y x y =+
??22(d xy
D x y x y +++??
2π
1
2π
1
320000d d d (+1)d θρρθρρρ=+??
?.3)π2
=．
3．计算
2
d x S ∑
??
，其中∑为圆柱面221x y +=在02z ≤≤的部分． 解：如图11-7
，::02,11yz x D z y =≤≤-≤≤∑，如图11-8，
2(,,)f x y z x =为x 的偶函数，积分曲面关于yoz 面对称，
x
y
图11-6
2:1z =∑
z
1:z =∑
O
图11-5
∑∑
z
O 图11-7
y
x
1 z
O
y
yz D
1
2
22
d 2(1d yz
D x S y y z =-????
∑2102d 2d 2πyz D y z z y -===????．
或由轮换对称性222
1d ()d 2x S x y S =
+????∑
∑1d 2S =??∑12π122
=???2π.=
第二十二章 曲面积分 §1 第一型曲面积分 教学目的 掌握第一型曲面积分的定义和计算公式． 教学内容 第一型曲面积分的定义和计算公式． (1) 基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式． (2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式． 教学建议 (1) 要求学生必须熟练掌握用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分的定义和计算公式． (2) 对较好学生要求他们掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式． 教学程序 背景：求具有某种非均匀密度物质的曲面块的质量时，利用求均匀密度的平面块的质量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 一、第一型曲面积分的概念与性质 定义 设S 为空间上可求面积的曲面块，()z y x f ,,为定义在S 上的函数．对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个可求面积的小曲面i S （n i ,,2,1Λ=），i S 的面积记为i S ?，分割T 的细度为 {} 的直径i n i S T ≤≤=1max ，在i S 上任取一点()i i i ζηξ,,（n i ,,2,1Λ=）．若有极限 ()∑=→?n i i i i i T S f 1 ,,lim ζηξ=J ， 且J 的值与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为()z y x f ,,在S 上的第一型曲面积分，记作 ()dS z y x f S ??,, . （1） 第一型曲面积分的性质 (1)线性性:设c fds ??,c gds ??存在,R ∈βα., 则ds f f c )(?? +βα存在,且 ()c c c f f ds fds gds αβαβ+=+???? ??.
对面积的曲面积分教案 设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
对面积的曲面积分教案设计 课 题 对面积的曲面积分 课 时 1课时 教 学 目 的 和 要 求 教学目的： 使学生理解对面积的曲面积分的定义，了解积分中“分割”，“近似”，“求和”和“取极限”的思想。基于第一类曲线积分的性质，理解对面积的曲面积分的性质。将对面积的曲面积分的计算概括为“一投二代三换”，使学生掌握对面积的曲面积分的计算方法。 教学要求： 1.了解对面积的曲面积分的概念； 2.理解对面积的曲面积分的性质； 3.掌握对面积的曲面积分的计算方法； 重 点 难 点 对面积的曲面积分的计算 教 学 方 法 讲授（板书） 教 学 内 容 一、概念的引入 前面介绍了第一类曲线积分() , L x y ds ρ ?，物理背景是曲线型构件的质量，在此问题中若把曲线改为曲面，线密度改为面密度，若求曲面的质量，该怎么做？ 例 1 若曲面∑是光滑的，它的面密度为连续函数() ,, x y z ρ，求它的质量。 解：“分割”：用网格线分割曲面∑为 12 ,,, n S S S ???, “近似”：(),,i i i i S ρξηζ∈?; “求和”：(), 1 , n i i i i i S ρξηζ = ? ∑;
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质 可分为分片光滑的曲面 () =?? f x y z dS ,,
2 21y z x x dydz ++=0,0,0,x z x ≥≥221y y dxdz ++1x z z =++003dx xy =?? 例3 求2z dS ∑??
第十章曲线积分与曲面积分 一、教学目标及基本要求： 1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2、会计算两类曲线积分 3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。 5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。 6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。 二、教学内容及学时分配： 第一节对弧长的曲线积分2学时 第二节对坐标的曲线积分2学时 第三节格林公式及其应用4学时 第四节对面积的曲面积分2学时 第五节对坐标的曲面积分2学时 第六节高斯公式通量与散度2学时 第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时 三、教学内容的重点及难点： 1、二类曲线积分的概念及其计算方法 2、二类曲面积分的概念及其计算方法 3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式 4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。 5、两类曲线积分的关系和区别 6、两类曲面积分的关系和区别 7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用 五、思考题与习题 第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5 第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数） 第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7 第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8 第五节习题10-5 167页：3（单数）、4 第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数） 第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4 第一节对弧长的曲线积分 一、内容要点 由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量
第八章 曲线积分与曲面积分 8.1对弧长的曲线积分 8.2对坐标的曲线积分 07.1) 设曲线:(,)1((,)L f x y f x y =具有一阶连续偏导数)，过第II 象限内的点M 和第IV 象限内的点N ，T 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的是 （ B ） (A ) (,)T f x y dx ? . (B) (,)T f x y dy ? . (C) (,)T f x y ds ? . (D) (,)(,)x y T f x y dx f x y dy ''+? . 04.1) 设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分 ? -L ydx xdy 2的值为 π2 3 .（利用极坐标将曲线用参数方程表示） 09.1) 已知曲线2:(0L y x x =≤≤，则 L xds ? = 136 10.1)已知曲线L 的方程为1||,y x =-([1,1]),x ∈-起点为(1,0),-终点为(1,0),则曲线积分 2L xydx x dy +=? 0 （直接算或格林） 01.1)计算2 22222()(2)(3)L I y z dx z x dy x y dz = -+-+-? ，其中L 是平面2x y z ++=与 柱面|x |+|y |=1的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向。 解：记S 为平面2x y z ++=上L 所围部分的上侧，D 为S 在xOy 坐标面上的投影。由斯托克斯公式得 (24)(26)(26)S I y z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+-- ??(423)S x y z dS =++??2(6)D x y dxdy =--+??12D dxdy =-??=-24 08.1)计算曲线积分 2sin 22(1)L xdx x ydy +-? ，其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点 (,0)π的一段.（路径表达式直接代入） 8.3格林公式 02.1)设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2 2211()()1L x I y f xy dx y f xy dy y y ????= ++-?????
例1若曲面是光滑的，它的面密度为连续函数，求它的质量。 解：“分割”：用网格线分割曲面为S, S2,K , S n, "近似”：i, i, i S； n “求和”：i, i, i S ; i 1
“取极限”：lim ,, , , S i . i 0 17 1,1 i 1 、对面积的曲面积分 1.定义：设曲面是光滑的，函数f x,y,z在上有界，把 分成n个小块S i （S i同时也表示第个小块曲面的面积），设点i, i, i为S i上任意取定的点， n 作乘积f i, i, i S j,并作和f i, i, i s。如果当各小块曲面的直径的 ，i 1 ， 最大值0时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f x,y,z在曲面上对 面积的曲面积分或第一类曲面积分，记为 f x, y, z dS，即
三换：换面积元dS ; 按照曲面的不同情况分为以下三种: 3.若曲面 ：x x y,z f x,y,z dS f x y, z , y, z J i x ： x ；dydz D yz 四举例 例：求球面x 2 y 2 z 2 a 2在h z a 部分的质量 0 h a ，已知球面上一点的 1 面密度为该点竖坐标的倒数 x, y, z - z 1 解：Q M x, y, z dS dS z 球面 在 xOy 平面的投影：x 2 y 2 a 2 h 2， z a 2 x 2 y 2， h z a ， a 2 h 2 a d 2 aln a 2 2 解：1:x 0, y 0, z 0, y z 1 , 1. 若曲面 ：z f x,y,z dS 2. 若曲面 ：y f x, y, z dS z x,y f x, y, z x, y D xy y x,z f x, y x, z , z D xz 22 一.1 Z x Z y dxdy ; 1 ￡ y ；dxdz ; J 2 2 dS \ 1 Z x z y dxdy Ja 2 y ~2 x dxdy .a 2 Ar dxdy x y 1 dS 2 z D xy ■- a 2 x 2 y 2 , a 2 dxdy D xy -2dxdy y °xyzdS , : x 0, y 0,z 0,x y 1所围立体的边界的曲面。
对面积的曲面积分 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-
第四节 对面积的曲面积分 学习目标 了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量. 内容提要 1.定义 设函数(),,f x y z 在光滑曲面∑上有界，将曲面∑任意分成n 小块 i S ?（i S ?也表示第i 小块曲面的面积），在i S ?上任取一点(,,)i i i i M ξηζ，作乘 积i i i i S f ?),,(ζηξ（1,2, ,i n =），并作和()1 ,,n i i i i i f s ξηζ=??∑，记各小曲面直径 的最大值为λ，如果对曲面的任一分法和点(,,)i i i ξηζ的任意取法，当0λ→时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数(),,f x y z 在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记 =??∑ dS z y x f ),,(0lim →λ1 (,,)n i i i i i f S ξηζ=∑?． 【注】定义中的“i S ?”是面积元素，因此，0i S ?≥． 2.性质 ①关于曲面具有可加性，若12∑=∑+∑，且1∑与2∑没有公共的内点，则 =??∑ dS z y x f ),,(????∑∑+2 1 ),,(),,(dS z y x f dS z y x f ； ②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面∑的面积S ，即 S dS z y x f =??∑ ),,(． 3.对面积的曲面积分的计算 设曲面∑由(),z z x y =给出，∑在xoy 面上的投影区域为xy D ， 函数 (),z z x y =在xy D 上具有连续偏导数，被积函数(,,)f x y z 在∑上连续，则 (,,)(,,(,xy D f x y z dS f x y z x y ∑ =???? ． 同样地
第四节 对面积的曲面积分 一、填空题 1．分片光滑的有界曲面∑，曲面上任一点(,,)x y z 的面密度为(,,)x y z μ，则曲面的质量 为M = (,,)d x y z S ∑ μ??，对x 轴的转动惯量x I = 2 2()(,,)d y z x y z S ∑ μ+??． 2.设光滑曲面∑的方程为(,)z z x y =，它在xOy 面上的投影区域为xy D ，则 (,,)d f x y z S ∑ =??(,,(,d xy D f x y z x y x y ??（写出计算公式）． 3．设曲面∑为曲面z = 1z =截下的曲面，则d S ∑ =??． 4．（附加题）设∑： 2 2 2 2 x y z R ++=(0)R >，则 222 ()d xy D f x y z S ∑ ++=???? (2d f R x y yz D =?? (2d f R y z xz D = ?? (2d f R z x ， 其中,,xy yz xz D D D ，分别为∑在,,xoy yoz xoz 面的投影． 二、单项选择题 1．∑为球面2222 x y z R ++=(0)R >，则曲面积分222 ()d x y z S ∑ ++=?? C ． A ．4πR B ．42πR C ．44πR D ．46πR 提示：2 2 2 2 4 ()d d 4πx y z S R S R ++==????∑ ∑ . 2．设S ：()2222 0,0x y z a z a ++=≥>，1 S 是S 在第一卦限中的部分，则有 C ． A ．1 d 4d S S x S x S =???? B ．1 d 4d S S y S x S =?? ?? C ．1 d 4d S S z S x S =???? D ．1 d 4d S S xyz S xyz S =???? 提示：被积函数(,,)f x y z z =在曲面上为正，积分曲面关于xoy 面及yoz 面对称，故
第十章 曲线积分与曲面积分 (第六部分)曲面积分习题解答 一、对面积的曲面积分 1.计算曲面积分??∑ + +dS y x z )342(，其中∑为平面14 32=++z y x 在第一卦限中的部分． 分析 因为∑： 14 32=++z y x ，可恒等变形为∑：y x z 34 24--=，又因被积函数 y x z 3 42+ +与∑形式相同，故可利用曲面方程来简化被积函数，即将434 2=++y x z 代 入，从而简化计算。 解 平面∑方程的为)3 21(4y x z -- =（如图）， ∑在xoy 面上的投影区域xy D ： 0,0,13 2≥≥≤+y x y x ；34,2-=??-=??y z x z ，面积元素 dxdy dxdy y z x z dS 36112 2 =??? ? ????+??? ????+= 从而 ????? =+ +∑ xy D dxdy dS y x z 3 61 4)3 4 2( 614322 1 3614=???= . 2. 计算曲面积分??∑ +dS y x |)|(，其中∑为1||||||=++z y x . 解 由对称性可知， 0=??∑ x d S ，由轮换对称性和代入技巧知， ??????∑ ∑∑ =++= dS dS z y x dS y 31 |)||||(|31||，再由曲面积分的几何意义知，34238=? =??∑ dS ，所以，33 4|)|(= +??∑ dS y x . y
二、对坐标的曲面积分 1.计算曲面积分??∑ dydz x 2．其中∑为球面2222R z y x =++在第一卦限部分的上侧。 分析 由于∑不是封闭曲面，且只是对坐标z y ,的曲面积分，故直接计算即可。 解 因∑：222z y R x --=取前侧，且∑在yoz 面上的投影区域为 0 ,0 , :222≥≥≤+z y R z y D yz . 于是得 ??∑ dydz x 2 dydz z y R yz D ??--= )(2 2 2 ???-θ=πR rdr r R d 0 2 22 0 )( 402228 1 41212R r r R R π=??????-π=. 2. 计算曲面积分?? ∑ ++= ydzdx xdydz zdxdy I ．其中∑是柱面12 2=+y x 被平面0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧。 分析 本题为计算对坐标的组合积分，但由于∑不是封闭曲面，且其中的三个曲面积分化为二重积分计算又比较容易（因为∑为柱面，在xoy 坐标面上的投影0=dxdy ），故直接计算即可。 解 因∑在xoy 坐标面上的投影0=dxdy ，所以0=??∑ zdxdy ； 又∑在yoz 、zox 坐标面上的投影区域为： 30 ,10 :≤≤≤≤z y D yz ； 30 ,10 :≤≤≤≤z x D zx . ??∑ ++=ydzdx xdydz zdxdy I ????∑ ∑ += ydzdx xdydz ???? -+-= zx yz D D dzdx x dydz y 2211 ?? -=3 0 1 0 212dz dx x 3412?π?=π=2 3 . 3. 计算曲面积分??∑ ++-+=dxdy z y dzdx z y x dydz xz I )2()(2222．其中∑为上半球体 222a y x ≤+，2220y x a z --≤≤的表面外侧。 分析 由于∑为封闭曲面，所以可采高斯公式计算。
第四节对面积的曲面积分 4.1学习目标 了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量. 4.2内容提要 1.定义设函数(),,f x y z 在光滑曲面∑上有界，将曲面∑任意分成n 小块i S ?（i S ?也表示第i 小块曲面的面积），在i S ?上任取一点(,,)i i i i M ξηζ，作乘积i i i i S f ?),,(ζηξ（1,2,,i n =L ），并作和 ()1 ,,n i i i i i f s ξηζ=??∑，记各小曲面直径的最大值为λ，如果对曲 面的任一分法和点(,,)i i i ξηζ的任意取法，当0λ→时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数(),,f x y z 在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记 =??∑ dS z y x f ),,(0lim →λ 1 (,,)n i i i i i f S ξηζ=∑?． 【注】定义中的“i S ?”是面积元素，因此，0i S ?≥． 2.性质 ①关于曲面具有可加性，若12∑=∑+∑，且1∑与2∑没有公共的内点，则 =??∑ dS z y x f ),,(????∑∑+2 1 ),,(),,(dS z y x f dS z y x f ； ②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面∑的面积S ，即 S dS z y x f =??∑ ),,(． 3.对面积的曲面积分的计算 设曲面∑由(),z z x y =给出，∑在xoy 面上的投影区域为xy D ，函数(),z z x y =在xy D 上具有连续偏导数，被积函数(,,)f x y z 在∑上连续，则 (,,)(,,(,xy D f x y z dS f x y z x y ∑ =???? ． 同样地 () ( ):,(,,),,,yz x x y z D f x y z dS f x y z y z ∑=∑ ??=???? ，
第二十二章曲面积分 教学目的：1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明确它们的联系；2.掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。 教学重点难点：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。 教学时数：18学时 § 1 第一型曲面积分 一. 第一型面积分的定义: 1. 几何体的质量: 已知密度函数 , 分析平面区 域、空间几何体的质量定义及计算 2. 曲面的质量: 3. 第一型面积分的定义: 定义及记法., 面积分 . 4. 第一型面积分的性质: 二. 第一型面积分的计算: 1. 第一型曲面积分的计算: Th22.2 设有光滑曲面.为上的连续函数,则. 例4 计算积分, 其中是球面被平面 所截的顶部 . P281
§2 第二型曲面积分 一. 曲面的侧: 1. 单侧曲面与双侧曲面: 2. 双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向 量为, 则上侧法线方向对应第三个分量, 即选“+”号时，应有，亦即法线方向与轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向闭合曲面分内侧和外侧. 二. 第二型曲面积分: 1. 稳流场的流量: 以磁场为例. P284 2. 第二型曲面积分的定义: P284 . 闭合曲面上的积分及记法. 3. 第二型曲面积分的性质: 线性 , 关于积分曲面块的可加性. 4. 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系: 设为曲面的指定法向, 则 . 三. 第二型曲面积分的计算: Th22.2 设是定义在光滑曲面
D 上的连续函数, 以的上侧为正侧( 即), 则有 . 证P 类似地, 对光滑曲面D, 在其前侧上的积分 . 对光滑曲面D, 在其右侧上的积分 . 计算积分时, 通常分开来计算三个积分 , , . 为此, 分别把曲面投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算. 投影域的侧由曲面的定向决定. 例1 计算积分,其中是球面在 部分取外侧. P287 例2 计算积分，为球面取外侧.
第四节 对面积的曲面积分 4.1 学习目标 了解对面积的曲面积分的概念、 性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法， 会用曲面积 分求一些几何量与物理量 . 4.2 内容提要 1.定义 设函数f x, y,z 在光滑曲面 上有界，将曲面 任意分成n 小块 s ( S i 也表示第i 小块曲面的面积)，在 S i 上任取一点 M i ( i , i , J ，作乘积f( i , i , i ) S i n (i 1,2,L ,n )，并作和 f i , i , i s i ，记各小曲面直径的最大值为 ，如果对曲 i 1 面的任一分法和点(i , i , i )的任意取法，当 0时，上述和式的极限都存在且相等，则 称此极限值为函数 f x,y,z 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记 n f(x, y,z)dS lim 0 i 1 f ( i , i , i ) S ? 【注】定义中的“ S i ”是面积元素，因此， S i 0 . 2?性质 f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS ; 1 2 ②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面 的面积S ，即 f (x, y, z)dS S . 3.对面积的曲面积分的计算 在xoy 面上的投影区域为 D xy ,函数z z x, y 在 ①关于曲面具有可加性，若 1 2，且1与2没有公共的内点，则 设曲面 由z z x, y 给出, D xy 上具有连续偏导数，被积函数 f (x, y,z)在 上连续，则 f (x, y,z)dS f(x, y,z(x,y)h 1 dxdy 同样地 D xy :x x y,z f (x, y, z)dS D yz x y,z , y,z dydz ,
第十章 曲线积分与曲面积分 一、 一、 重点 两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用 二、 二、 难点 对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。 三、 三、 内容提要 1． 1． 曲线（面）积分的定义： （1） （1） 第一类曲线积分 ∑?=→??n i i i i L S f ds y x f 00),(lim ),(ηξλ（存在时） i S ?表示第i 个小弧段的长度，（i i ηξ,）是i S ?上的任一点小弧段的最大长度。 实际意义： 当f(x,y)表示L 的线密度时，?L ds y x f ),(表示L 的质量；当f(x,y) ≡1时，? L ds 表示L 的弧长，当f(x,y)表示位于L 上的柱面在点（x,y ）处的高时， ?L ds y x f ),(表示此柱面的面积。 （2） （2） 第二类曲线积分 ]),(),([lim 10i i i n i i i i L y Q x P Qdy Pdx ?+??+∑?=→ηξηξλ (存在时) 实际意义： 设变力F =P(x,y) i +Q(x,y) j 将质点从点A 沿曲线L 移动到B 点，则F 作的功为： ??+=?=L L Qdy Pdx S d F W ρρ，其中S d ρ=（dx,dy ）事实上，?L Pdx ，?L Qdy 分别是F ρ在沿X 轴方向及Y 轴方向所作的功。 （3） （3） 第一类曲面积分 ∑??=→∑??n i i i i i S f ds z y x f 10),,(lim ),,(ζηξλ (存在时) i S ?表示第i 个小块曲面的面积，（i i i ζηξ,,）为i S ?上的任一点，λ是n 块小曲面的最大直径。 实际意义： 当f(x,y ，z)表示曲面∑上点（x,y,z ）处的面密度时， ??∑ds z y x f ),,(表示曲面∑的质量，当f(x,y,z) ≡1时，??∑ ds 表示曲面∑的面积。 （4） （4） 第二类曲面积分 ∑??=→∑?+?+??++n i xy i i i i zx i i i i yz i i i i S R S Q S P Rdxdy Qdzdx Pdydz 10))(,,())(,,())(,,(lim ζηξζηξζηξλ（存在时） 其中yz i S )(?，zx i S )(?，xy i S )(?分别表示将∑任意分为n 块小曲面后第I 块i S ?在yoz 面，zox 面，xoy 面上的投影，dydz ，dzdx ，dxdy 分别表示这三种投影元素; （i i i ζηξ,,）为i S ?上的任一点，λ是n 块小曲面的最大直径。 实际意义： 设变力),,(z y x =P(x,y ，z) +Q(x,y,z) + R(x,y,z) 为通过曲面∑的流体（稳定
§2 第二型曲面积分 教学目的：掌握第二型曲面积分的定义和计算公式． 教学内容：曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式． (1) 基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式． (2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系． 教学建议： (1) 本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲 面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性． (2) 本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类 曲面积分的联系，可对较好学生要求他们掌握． 教学程序： 曲面的侧 双侧曲面的概念、曲面的侧的概念 背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 一 第二型曲面积分的概念与性质 定义 设函数P ，Q ，R 与定义在双侧曲面S 上的函数．在S 所指定的一侧作分割T 它把S 分成n 个小曲面n S S S ,,21 （n i ,,2,1 =），分割T 的细度{}的直径i n i S T ≤≤=1max ，以yz i S ?， zx i S ?，xy i S ?分别为i S 在三个坐标上的投影区域的面积，它们的符号由i S 的方向来确定．如i S 的法线正向与z 轴正向成锐角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy i S ?为正，反之，如i S 的法线正向与z 轴正向成钝角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy i S ?为负 （n i ,,2,1 =）．在每个小曲面i S 任取一点()i i i ζηξ,,，若极限 ()∑=→?n i i i i i T yz S P 1 ,,lim ζηξ +()∑=→?n i i i i i T zx S Q 1 ,,lim ζηξ +()∑=→?n i i i i i T xy S R 1 ,,lim ζηξ 存在且与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为函数P ，Q ，R d 曲面S 所指定的一侧的第二型曲面积分，记为 ()()()??++S dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,, (1) 上述积分(1)也可写作 ()??S dydz z y x P ,,+()??S dzdx z y x Q ,,+()??S dxdy z y x R ,, 第二型曲面积分的性质 （1） 若??++S i i i dxdy R dzdx Q dydz P （n i ,,2,1 =）都存在，i c （n i ,,2,1 =），为常数， 则有 dxdy R c dzdz Q c dydz P c n i i i n i i i S n i i i ?? ? ??+??? ??+??? ??∑∑?? ∑===111 =∑??=++n i S i i i i dxdy R dzdx Q dydz p c 1
曲线积分与曲面积分单元练习题 一、 填空题： 1．设L 为12 2 =+y x 上点)0,1(到)0,1(-的上半弧段，则 2d L s ? = π2； 2．?+C ds y x z 2 2= 285π ，其中C 是曲线?? ? ??===t z t y t x sin 2cos 2介于0=t 到π=t 一段； 3．L 为逆时针方向的圆周:4)3()2(2 2 =++-y x ,则 =-?L xdy ydx π8-； 4．设C 是由ｘ轴、ｙ轴与直线ｘ＋ｙ＝１围成的区域的正向边界，则 ?=-C xdy ydx 1-； 5． 第一类曲面积分 ??∑ dS =的面积∑； 6． 设曲面∑为：2 2 2 2 x y z a ++=，则 2 22()x y z dS ∑ ++=??44a π； 7．设∑：2 222a z y x =++．则 dS z ??∑ 2 =434a π； 8．格林(Green)公式指出了下列两类积分：_平面上第二类曲线积分和二重积分之间关系。 高斯(Gauss)公式指出了下列两类积分：空间上的第二类曲面积分与三重积分__之间关系。 二、计算题： 1．计算 ? L ds y ，其中L 是抛物线2x y =上自点（0，0）到（1，1）的一段弧。 解 12 1 55|)41(1214110 23 21 2 -=+=+? x dx x x 。 2．计算? L xyds ，其中L 为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：)0(22 2≥=+y x y x 。 解2sin )cos 1(0 =+= ? ?π tdt t xyds L 3．已知平面曲线弧段L 是圆 4 2 2 =+y x 上从点 ()0,2到()2,0的有向弧段，试计算 ?=L xydx I . 解 ()t d t t I cos 2sin 2cos 220 ? π = dt t t ?π-=20 2sin cos 83 8 -=
曲线积分和曲面积分的计算
第21章 曲线积分和曲面积分的计算 教学目的： 教学重点和难点： §1 第一类曲线积分的计算 设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为 ()()() ()0x x t y y t t t T z z t =?? =≤≤?? =? 则()()()() ,,,,T l t f x y z ds f x t y t z t =???? 。 特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ?=，()a x b ≤≤，那么有 ((,) , ()b l a f x y ds f x x ?=? ?。 例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π ≤≤t 0。求22()l x y ds +?。 例：设l 是曲线x y 42 =上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第 一类曲线积分l yds ?。 例：计算积分2l x ds ?，其中l 是球面2 222 a z y x =++被平面0=++z y x 截 例：求()l I x y ds =+?，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直
§2 第一类曲面积分的计算 一 曲面的面积 （1）设有一曲面块S ，它的方程为 () ,z f x y =。(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则该曲面块的面积为 xy S σ=??。 （2）若曲面的方程为 () ()() ,,,x x u v y y u v z z u v =?? =?? =?, 令 222 u u u E x y z =++， u v u v u v F x x y y z z =++，2 22 v v v G x y z =++， 则该曲面块的面积为 S ∑ =。 例：求球面2 222x y z a ++=含在柱面()2 20x y ax a +=>内部的面积。 例：求球面2222 x y z a ++=含在柱面() 2 20x y ax a +=>内部的面积。 二 化第一类曲面积分为二重积分 （1）设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数。曲面S 的方程为(),z f x y =。(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则 ()( ),,,,,xy S x y z dS x y f x y σφφ=????????。
曲面积分
第二十二章曲面积分 一．填空题（每题2分） 1.为球面,则= 2. 为球面,则 3. 若是柱面外侧,则 4. 若是球面在第一卦限部分,则曲面积分 其中是常量 5.设是由与所围立体的表面积外侧,则积分 6.记均匀半球面:形状构件的重心为,则 7.设关于面积的曲面积分: ,其中是球面 ,其中是曲面,则 8.设数量场,则 9.若是某二元函数的全微分,则 10.是光滑闭曲面的外法向量的方向余弦,又所围的空间闭区域为,设函数在上具有二阶连续偏导数,则由高斯公式有:
= 答案: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二.选择题(每题2分) 1.设是上半球面,则关于面积的曲面积分 为( ) A. B. C. D. 2.设是锥面被平面截得的部分(包括原点)的外侧, 则当时,( ) A. B. C. D. 3.设是上半球面的上侧,则下面四个二重积分表达式中不等于关于坐标的曲面积分的为( ) A. B. C. D. 其中分别是球面在平面的投影区域. 4.设,其中是上半球面,
,其中是下半球面的外侧, 则( ) A. B. C. D. 5. 设是平面被圆柱面截出的有限部分,则曲面部分 的值() A. B. C. D. 6.设:,为在第一卦限中的部分,则有( ) A. B. C. D. 7. 若是平面在第一卦限的部分,方向向上,则曲面积分( ) A. B. C. D. 8. 若是曲线,从轴正向看去,是顺时针方向的,则曲线积分 ( ) A. B. C. D. 9. 若是平面上方的抛物面,且,则曲面积分 的物理意义为( )
A.表示面密度为1的曲面的质量 B.表示面密度为1的曲面对轴的转动惯量 C.表示面密度为的曲面对轴的转动惯量 D.表示体密度为1的流体通过曲面指定侧的流量 10. 由分片光滑的封闭曲面所围成立体的体积( ) A. B. C. D. 答案: ABBCA CDCBA 三.计算题（每题5分） 1.计算曲面积分，其中为球面 解：球面方程为与，上半球面记为，下半球面记为，则根据对面积的曲面积分的性质有＝ 对右边的两个积分分别积分，因为，在平面上的投影区域都是 ，所以＝ ＝ 因此＝ 2.计算，其中为平面在第一卦限的上侧. 解:因为的方程为,在平面上的投影区域都是 :,,,