●高考明方向
1.能画出 y＝ sinx， y＝cosx， y＝ tanx 的图象，
了解三角函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在 [0,2 π]上的性质 (如单调性、
最大值和最小值，图象与 x 轴的交点等 )，理解正切函数π π
在区间－2，2内的单调性．
★备考知考情
三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014 课标全国Ⅱ 14、北京 14 等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法 .
一、知识梳理《名师一号》 P55
知识点
1
二、例题分析：
（一）三角函数的定义域和值域
例 1．（ 1）《名师一号》 P56对点自测3
函数 y＝lg(sinx)＋cosx－1
2的定义域为 ____________
sinx>0，
解析要使函数有意义必须有1
cosx－2≥0，
sinx>0，2kπ 即1解得ππ cosx≥，－＋ 2kπ≤x≤＋2kπ 233 (k∈Z) ． π ∴2kπ π ∴函数的定义域为 {x|2kπ 例 1．（ 2）《名师一号》 P56高频考点例1(1)函数 y＝sinx－cosx的定义域为 ________． 2 解 :(1) 要使函数有意义，必须有 sinx － cosx ≥0，即 sinx ≥cosx ，同一坐标系中作出 y ＝ sinx ，y ＝ cosx ，x ∈ [0,2 π] 的图象如图所示． 结合图象及正、余弦函数的周期是 2π知， π π＋ 5 π，k ∈Z . 函数的定义域为 x 2k π＋ ≤x ≤2k 4 4 注意：《名师一号》 P56 高频考点 例 1 规律方法 (1) 求三角函数的定义域实质就是解三角不等式 （组） ．一般可用 三角函数的图象或三角函数线 确定 三角不等式的解． 例 2．（ 1）《名师一号》 P56 对点自测 4 πx π 函数 y ＝ 2sin 6 －3 (0≤ x ≤ 9)的最大值与最小值之 和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－ 1－ 3 3 π π π 7π 解: ∵ 0≤x ≤9，∴－ 3≤ 6x －3≤ 6 . π π ∈ － 3，1 . ∴sin x － 3 6 2 ＋y ＝2－ 3. ∴y ∈[ － 3， 2]，∴ y min max 注意：《名师一号》 P56 高频考点 例 1 规律方法 2 求三角函数的值域的常用方法之一： 利用 sinx 和 cosx 的值域 (图像 )直接求； 例 2．（ 2） 8 月月考第 17 题(1) 17．（ 分 12 分）已知函数 f (x) 3cos 2 x 2cos x sin x sin 2 x ． （ I ）当 x [0, ] ，求 f (x) 的 域； 2 f (x) 3cos 2 x 2cos xsin x sin 2 x 1 2cos 2 x sin 2x 2 cos2 x sin 2x ??? 2分 2( 2 sin 2 x 2 cos 2 x) 2 2 2 4 2 sin(2 x 4 ) 2 ???? 3 分 ,5 ]，??4分 x [0, ] ， 2x 4 [ 2 4 4 sin(2 x ) [ 2 ,1]， ??5分 4 2 f (x) [1, 2 2] ， 即 f ( x) 的 域 [1, 2 2] . ??????? 6 分 注意：《名师一号》 P56 高频考点 例 1 规律方法 2 求三角函数的值域的常用方法之二： 化为求 y Asin( x ) b 的值域 如：① y a sin x b cos x 合一变换 y A sin( x) ② y a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x 降幂 y d sin 2 x ecos2 x f 合一变换 y A sin(2 x ) b 注意弦函数的有界性！ 变式 : 《名师一号》 P58 特色专题 典例 1 5 π 若函数 f(x)＝ asinx －bcosx 在 x ＝ 3处有最小值－ 2， 则常数 a ， b 的值是 ( A ．a ＝－ 1， b ＝ 3 C ．a ＝ 3，b ＝－ 1 ) B ． a ＝ 1， b ＝－ 3 D ． a ＝－ 3，b ＝1 解: 函数 f(x)＝asinx －bcosx 的最小值为－ a 2 ＋ b 2. f(x)＝ a 2＋ b 2 －φ sin(x ) 其中 cos φ＝ a 2，sin φ＝ b 2 2 2 ， a ＋ b a ＋b － a 2＋b 2＝－ 2， a ＝－ 3， 则 π 3 1 解得 f 3 ＝ 2 a －2b ＝－ 2， b ＝1. 【名师点评】 解答本题的两个关键：①引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式；②利用正弦函数取最值的方法建立方程组． 例 2．(3) 《名师一号》 P56 高频考点 例 1(2) π 7π 当 x ∈ 6， 6 时，函数 y ＝3－sinx － 2cos 2x 的最小值是 ________，最大值是 ________． 6 π 7π 1 解 : ∵ x ∈ 6， 6 ，∴ sinx ∈ －2，1 . 又 y ＝ 3－ sinx －2cos 2 ＝ － － － 2 1 x 3 sinx 2(1 sin x) 7 ＝2 sinx －4 2＋8. ∴当 sinx ＝ 1 时， y min ＝7 ； 4 8 当 sinx ＝－ 1 2或 sinx ＝1 时， y max ＝ 2. 注意：《名师一号》 P56 高频考点 例 1 规律方法 2 求 三角函数的值域的常用方法之三： 把 sinx 或 cosx 看作一个整体，转换成二次函数求值域． 练习: ( 补充) （ 1）求函数 f ( x ) tan 2 x 1 的值域 2 x 1tan 【答案】 1,1 （ 2）求函数 f ( x ) 2sin 2 x 1 x 0, 的值域 sin 2 x 2 7 【答案】3, 2sin 2x 1 3sin 2 x cosx f ( x)sin 2 x2sin x cosx 3tan2 x113tan x1 2tan x2tan x Q x0, tan x0 2 Q f ( x ) 1 23tan x13 2tan x 注意：求三角函数的值域的常用方法之三： 求三角函数的值域的常用方法： 化为求代数函数的值域 注意约束条件 ----三角函数自身的值域！ 例 2．（4）( 补充 ) 求函数 f ( x )sin x cos x sin x cos x的值域 1 【答案】2,1 2 8 注意：求三角函数的值域的常用方法之四： 《名师一号》 P56问题探究问题3 如何求三角函数的值域或最值？ ③形如 y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c 的三角函数，可先设 t＝sinx±cosx，化为关于 t 的二次函数求值域 (或最值 )． 利用 sin 2x cos2x1转化为二次函数在指定区间 上的值域问题 变式 : 求函数 f ( x )sin x cos x sin x cos x的值域 例 2．（ 5）详见第一章第二讲函数值域 7．数形结合法：例 7(2) 《名师一号》 P14 问题探究问题（ 6） 当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域． ( 补充 ) 如两点间距离、直线斜率等等 求函数y4sin x1 的值域 2cos x4 9 4sin x1sin x1 44 解 : y2g可视作单位圆外一点2cos x 2cosx2 P 2,1与圆 x 2y21上的点cosx,sin x 所连线 4 段斜率的 2倍, 设过点P2,1 的点的直线方程为 1 4 1 k x 2 即 kx y2k y0 4 14 2k435 令1解得 k k 2或 k 1412 答案： 3 , 5 26 注意：求三角函数的值域的常用方法之五： 数形结合法 cosx1 的值域 练习：求函数y x 0, sin x2 10 答案： 0, 4 3 cos x1 ,的值域变式：求函数y x sin x222 答案： 0, 1 2 拓展: 8 月月考第 16题 2 sin( x) 2 x2x 函数 f (x) 2x24的最大值是M ，最小值是cosx m ，则 M m 的值是. 2 sin( x)2x2x sin x cosx 2 x 2 x sin x x f ( x) 2x 41 2 cosx2x2cosx 2 x2cos x ，记 g (x)sin x x ，则 g ( x) 是奇函数且 f (x)1g ( x) ，2x2cos x 所以 f ( x) 的最大值是 M1g(x)max， 最小值是m1g( x) min，因为 g( x) 是奇函数， 所以 g (x)max g (x)min0， 所以 M m1g( x)max1g( x)min 2 . 11 （三）三角函数的周期性、奇偶性、对称性 例 1．（ 1）《名师一号》 P56 对点自测 5 设函数 f(x)＝sin 2x － π ，x ∈R ，则 f(x)是( ) 2 A. 最小正周期为 π的奇函数 B.最小正周期为 π的偶函 数 π D.最小正周期为 π C.最小正周期为 2的奇函数 2的偶函数 答案 B 例 1．（ 2）《名师一号》 P57 高频考点 例 3（2） (2014 新·课标全国卷Ⅰ )在函数① y ＝ cos|2x|，② y ＝ |cosx|， π π ③ y ＝ cos 2x ＋ 6 ，④ y ＝ tan 2x － 4 中，最小正周期为 π的所 有函数为 ( A ．①②③ ) B ．①③④ C ．②④ D ．①③ 解：由于 y ＝ cos|2x|＝ cos2x ，所以该函数的周期为 2π 2 ＝ π；由 函数 y ＝ |cosx|的图象易知其周期为 π；函数 y ＝ cos 2x ＋ π 的周期 2π 6 为 π π π的函 ＝ π；函数 y ＝ tan 的周期为 ，故最小正周期为 2 2x － 4 2 数是①②③，故选 A. 12 注意：《名师一号》 P56问题探究问题1 如何求三角函数的周期？ (1)利用周期函数的定义． (2)利用公式： 2πy＝Asin(ωx＋φ)和 y＝ Acos(ωx＋φ)的最小正周期为|ω|， π y＝tan( ωx＋φ)的最小正周期为|ω|. 例 1．（3） P58 特色专题典例 2 《名师一号》 π 函数f(x) ＝ sin ωx＋3＋ sin ωx( ω>0)相邻两对称轴之间的距离为 2，则ω＝ ________ 【规范解答】相邻两对称轴之间的距离为2，即 T＝4. f(x) ＝ sin ωx＋π ＋ sinωx＝ 1 sinωx＋3cosωx＋ sinωx＝3 3222 3π ，又因为 f(x)相邻两条对称轴之 sin ωx＋2 cosωx＝ 3sin ωx＋6间的距离为 2，所以T ＝ 4，所以2ππ＝4，即ω＝.ω2 注意： 函数 f(x) ＝ A sin( ωx＋φ)，f(x) ＝ A cos( ωx 【名师点评】 ＋φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值 13 是函数的半周期 |π，纵坐标之差的绝对值是 ω| 2A .在解决由三角函 数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来 的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐 标等． 练习 : 《加加练》 P3第11题 例 2．（ 1）《名师一号》P57高频考点例3（1） x＋φ (1)若函数 f(x)＝sin3(φ∈[0,2 π是])偶函数， 则φ＝ () π2π3π5π A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 x＋φ 解：(1)∵ f(x)＝ sin3是偶函数， ∴f(0)＝±1. φφπ ∴sin 3＝±1，∴ 3＝ kπ＋ 2(k∈Z) ． 3π ∴φ＝3kπ＋2 (k∈ Z) ． 3π 又∵φ∈ [0,2 π]，∴当 k＝0 时，φ＝2.故选 C. 14 x ＋φ 变式：若函数 f(x)＝sin 3 (φ∈[0,2 π是])奇函数，则 φ＝？ 例 2．（ 2）《名师一号》 P57 高频考点 例 3（ 3） 4π (3)如果函数 y ＝3cos(2x ＋ φ)的图象关于点 3 ，0 中心对称，那么 |φ|的最小值为 ( ) π π π π A. 6 B. 4 C.3 D.2 解： (3)由题意得 4π 2π 3cos 2× 3 ＋ φ ＝ 3cos 3 ＋ φ＋ 2π ＝ 3cos 2π 2π π ＋ φ ＝ 0，∴ ＋ φ＝ k π＋ ， k ∈ Z. 3 3 2 π π ∴ φ＝ k π－ ， k ∈ Z ，取 k ＝ 0，得 |φ|的最小值为 6 . 6 注意：【规律方法】 (1)若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x ＝0 时， f(x)取得最大或最小值，若 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)为奇函数，则当 x ＝ 0 时， f(x)＝ 0. (2)对于函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点， 对称中心一定是函数的零点， 因此在 判断直线 x ＝ x 0 或点 (x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心 15 时，可通过检验 f(x0)的值进行判 断．《名师一号》 P56 问题探究问题 4 如何确定三角函数的对称轴与对称中心？ 若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数， 则当 x＝0 时， f(x)取得最大值或最小值． 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数， 则当 x＝0 时， f(x)＝ 0. 如果求 f(x)的对称轴， π 只需令ωx＋φ＝2＋ kπ(k∈Z) ，求 x. ( 补充 ) 结果写成直线方程！ 如果求 f(x)的对称中心的横坐标， 只需令ωx＋φ＝ kπ(k∈Z) 即可． ( 补充 ) 结果写点坐标！ 同理对于y＝Acos(ωx＋φ)，可求其对称轴与对称中心，对于 y＝Atan( ωx＋φ)可求出对称中心． 练习1：《名师一号》P58特色专题典例3 已知f(x) ＝ sinx＋3cosx(x ∈ R)，函数y＝ f( x＋φ) π |φ|≤ 2 为偶 函数，则φ的值为________． 【规范解答】先求出 f(x＋φ)的解析式，然后求解． 16 π ∵ f(x)＝ sinx ＋ 3cosx ＝ 2sin x ＋ 3 . π ∴ f(x ＋ φ)＝ 2sin x ＋ φ＋ 3 . π π ∵函数 f (x ＋ φ)为偶函数，∴ φ＋ ＝ ＋ k π， k ∈ Z ， 3 2 π 即 φ＝ 6＋ k π(k ∈ Z) ． π 又∵ |φ|≤ ，∴ 2 π φ＝ 6. 练习 2：《计时双基练》 P247 第 3 题 （四）三角函数的单调性 例 1．（ 1）《名师一号》 P56 对点自测 6 下列函数中，周期为 π，且在 π π ， 上为减函数的是 () 4 2 A ． y ＝ sin 2x ＋ π B ． y ＝ cos 2x ＋ π 2 2 C ． y ＝ sin x ＋ π D ． y ＝ cos x ＋ π 2 2 解析 由函数的周期为 π，可排除 C ， D. π π 上为减函数，排除 B ，故选 A. 又函数在 ， 4 2 练习 1：《计时双基练》 P247 第 7 题 17 函数 y cos 2x 的单调递减区间为 4 练习 2: 《加加练》 P1 第 11题 （ 2）《名师一号》 P57 高频考点 例 2 π 已知函数 f(x)＝ 4cos ωx·sin ωx＋ 4 (ω>0) 的最小正周期为 π. (1)求 ω的值； π (2)讨论 f(x)在区间 0， 2 上的单调性． π 解 ： (1)f(x) ＝ 4cos ωx·sin ωx＋ 4 ＝ 2 2 sin ωx·cos ωx＋ 2 2 cos 2ωx＝ 2(sin2 ωx＋ cos2ωx )＋ 2＝2sin 2ωx＋ π ＋ 2. 4 因为 f(x)的最小正周期为 π，且 ω>0. 2π 从而有 2ω＝ π，故 ω＝ 1. (2)由 (1) 知， f( x) ＝2sin 2x ＋ π＋ 2. 4 π π π 5π 若 0≤ x ≤ ，则 ≤ 2x ＋ ≤ 4 . 2 4 4 π π π π 当 4≤ 2x ＋ 4≤ 2，即 0≤ x ≤ 8时， f(x)单调递增； π π 5π π π 当 2≤ 2x ＋ 4≤ 4 ，即 8≤ x ≤ 2时， f(x)单调递减． 18 π 综上可知， f(x)在区间0，8上单调递增， π π 在区间8，2上单调递减． 注意：《名师一号》 P56 问题探究问题 2 如何求三角函数的单调区间？ (1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式 先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减” ． (2)求形如 y＝ Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 例 2．《名师一号》 P58 特色专题典例4 (2014 ·全国大纲卷 )若函数 f(x)＝ cos2x＋asinx 在区π π 间6，2是减函数，则 a 的取值范围是 ________． 【规范解答】先化简，再用换元法求解． 2 19 π π 令 t ＝ sinx ，∵ x ∈ 6 ， 2 ， ∴ t ∈ 1 ， 1 . 2 1 ∴ g(t)＝ 1－ 2t 2＋ at ＝－ 2t 2＋ at ＋ 1 2 a ≤ 1 ，∴ a ≤ 2. 2× －2 2 ∴ a 的取值范围为 (－∞， 2]． 课后作业 一、计时双基练 P247 基础 1-11 、 课本 P56 变式思考 1 二、计时双基练 P247 培优 1-4 课本 P56 变式思考 2、3 预习 第五节 练习： 1、设函数 f(x)＝2sin( x ＋ )．若对任意 x ∈R ，都有 2 5 f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则 |x 1－ x 2 |的最小值为 ( ) A ．4 B ． 2 C ． 1 1 D. 分析： ∵ f(x)的最大值为 2，最小值为－ 2， 2 20 三角函数图像与性质经典题型 题型1：三角函数的图象 例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ） 解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所 以排除A 、C ，当x ∈（0， 2 π ）时，y ＝－xc os x ＜0。 题型2：三角函数图象的变换 例2．试述如何由y =31sin （2x +3 π ）的图象得到y =sin x 的图象。 解析：y =31sin （2x +3π））（纵坐标不变倍 横坐标扩大为原来的3 πsin 312+=?????????→?x y x y sin 313 π =????????→?纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=?????????→?横坐标不变 倍 纵坐标扩大到原来的 例3．（2003上海春，15）把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 π 个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲 线方程是（ ）A ．（1－y ）sin x +2y －3=0B ．（y －1）sin x +2y －3=0C ．（y +1）sin x +2y +1=0 D ．－(y +1)sin x +2y +1=0 解析：将原方程整理为：y = x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π 个单位和1个单位，因此可得 y = ) 2 cos(21π -+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0. 题型3：三角函数图象的应用 例4．（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +?）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线 y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。 解析：根据图象得A =2，T = 27π－（－2π）=4π，∴ω=21，∴y =2sin （2 x +?），又由图象可得相位移为－2π，∴－2 1? = － 2 π，∴?= 4π.即y =2sin （21x +4π）。根据条件3=2sin （4 21π+x ），∴421π+x =2k π+ 3π(k ∈Z )或 4 21π+x =2k π+32 π（k ∈Z ），∴x =4k π+ 6 π （k ∈Z ）或x =4k π+ 65π（k ∈Z ）。∴所有交点坐标为（4k π+3,6 π）或（4k π+3,65π ）（k ∈Z ）。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 题型4：三角函数的定义域、值域 例5．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域；（2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤c os x ≤1，（2）要使sin （c os x ）＞0，这里的c os x 以它的值充当角。 解析：（1）0≤c os x ＜1?2k π－ 2π≤x ≤2k π+2π，且x ≠2k π（k ∈Z ）∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－2 π ，2 k 三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 技术报告模板 计划类别： 项目编号： XX市科技计划项目 验收材料 项目（课题）名称： 项目主持人： 课题承担单位：（盖章）起止时间： 目录 一、科技计划项目（课题）任务书 二、项目 ( 课题 )自验收意见 三、项目（课题）研究工作报告 四、项目（课题）研究技术报告 五、项目（课题）取得的经济效益、社会效益与生态效益 六、项目（课题）其它有关材料 银川市应用研究开发、成果转化计划项目报告（提纲） 一、项目（课题）研究工作报告： 工作总结报告要着重阐述任务的提出、目的意义及该成果从立项到完成计划任务的整个工作过程及结果，主要包括以下内容：（应用研究开发项目不写 6、10 项内容；成果转化项目不写 5、 7、 9 项内容） 1、立项背景、意义与技术来源；（包括目前国内同类开发的现状和市场状况） 2、项目（课题）的目标、任务及主要技术（性能、性状、工艺参数等）经济 （投入产出比、性能价格比、成本、开发内容、规模等）考核指标； 3、项目中课题（子课题）设置与任务分解； 4、项目（课题）各项技术经济指标执行完成情况：包括各项目标、任务完成情况、 解决的关键技术、及其整体水平、配套性以及课题实施过程中建成的试验基地、中试线、 生产线等情况； 5、项目（课题）研究过程中主要关键技术的突破和创新情况：包括取得的重大科 技成果和主要创新点，获得的专利和各种奖励等情况； 6、成果应用、转化及产业化情况以及所取得的直接和间接经济、社会和生态效益； 7、成果转化和推广应用的条件及前景； 8、经费决算和经费使用说明，及购置仪器、设备等固定资产情况； 9、组织管理做法与经验； 10、总结科技工作面向经济、社会发展、促进成果转化及产业化的措施、组织管理、 人员配置经验； 11、存在的主要问题、改进意见及进一步深入研究、推广的设想等。 二、项目（课题）研究技术报告： 技术研究报告应反映技术研究工作的全貌，主要阐明采用的技术原理、技术路线、 方法、技术关键、技术特征、所达到的技术指标、总体性能指标与国内外同类先进技术 比较情况，技术的先进性、创新性、成熟性、科学性等，主要包括以下内容：（应用研 究开发项目不写4、 5 项内容；成果转化项目不写 2 项内容） 1、研究设计依据与总体设计方案； 2、试验材料、方法与结果： ——工业、社会发展项目需阐明主要工艺、标准、技术参数、装备水平、检测手段、原材料来源及消耗情况、环保、安全及卫生状况等； ——农业项目需阐明试验设计、使用材料性能、试验方法、试验对比数据、结论等；3、达到的主要技术、经济指标：主要技术指标与国内外同类技术先进水平的比较， 技术的成熟性、科学性、创新性和先进性，对社会经济发展和科技进步的作用、意义。 4、项目（课题）目标、任务及各项技术经济指标的完成情况。 主要对照计划任务书，指出并评价项目（课题）实施过程中科技成果在生产中的推 广应用程度、规模、覆盖面和经济效益情况； 5、示范推广中核心技术与成果的集成创新和消化、吸收再创新。 主要指科技成果在推广实施过程中，通过消化、吸收、使原有技术本身和推广措施 取得的再创新，及配套技术与核心技术组装、集成形成的新的技术体系。 . 三角函数的图像与性质练习题 正弦函数、余弦函数的图象 A组 1.下列函数图象相同的是() A. y= sin x 与 y=sin(x+ π) B.y= cos x 与 y= sin - C.y= sin x 与 y=sin( -x) D.y=- sin(2π+x )与 y= sin x 解析 :由诱导公式易知 y= sin- = cos x,故选 B . 答案 :B 2.y= 1+ sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y= 2 交点的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 解析 :作出 y= 1+ sin x 在 [0,2 π]上的图象 ,可知只有一个交点. 答案 :B 3.函数y= sin(-x),x∈[0,2π]的简图是() 解析 :y=sin( -x)=- sin x,x∈ [0,2 π]的图象可看作是由y= sin x,x∈ [0,2 π]的图象关于 x 轴对称得到的 ,故选B. 答案 :B 4.已知cos x=- ,且x∈[0,2π],则角x等于() A. 或 B.或 C.或 D.或 解析 :如图 : 由图象可知 ,x=或. 答案 :A 5.当x∈[0,2π]时,满足sin-≥ -的x的取值范围是() A. B. C. D. 解析 :由 sin -≥ - ,得cos x≥ - . 画出 y=cos x,x∈ [0,2 π],y=- 的图象 ,如图所示 . ∵cos = cos =- ,∴当 x∈ [0,2 π]时 ,由 cos x≥- ,可得 x∈. 答案 :C 6.函数y= 2sin x与函数y=x图象的交点有个. 解析 :在同一坐标系中作出函数 y= 2sin x与 y=x 的图象可见有3个交点. 答案 :3 7.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈ [0,2 π]的 x 的区间是. 解析 :画出 y= cos x,x∈ [0,2 π]上的图象如图所示 . cos x>0 的区间为 答案 : 8.下列函数的图象:①y= sin x-1;② y=| sin x|;③y=- cos x;④ y=;⑤y=-.其中与函数y= sin x 图象形状完全相同的是.(填序号 ) 三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z) 3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. 柴油机 ******************************************************************************************************** *** ※功率说明 额定功率它适用于替代市电在变化的负载下无时间限制地供电。对于变化的 负载而言，平均每12 工作小时有一个小时可以有10%的超载能力，但每年超载运行 累计不超过25 小时。每 250 工作小时变化的负载不可超过额定功率的70%，每年在100%额定功率下运行累计不可超过500 小时。 备用功率相当于在正常电源中断时运行连续发电的功率。它适用于在建立良 好电网的地区，市电断电的情况下，在变化的负载下提供备用功率。此功率没有超 载能力。每年在 100%额定功率下运行累计不可超过 25 小时。每年累计运行时间不可超 过 200 小时，发动机最多使用 80%的负载因素。 ※功率修正 发动机功率依据ISO3046 标准大气条件， 100kpa 大气压， 25℃进气温度及30%相对温度来设定。如果现场条件与标准条件不同，则必须按照相应的发动机功率修正 程序修正发动机的输出功率。 修正程序考虑到海拔高度、相对温度和环境温度等负面影响，来降低相对于标准大气状态下的发动机最大 输出功率。若不修正，可能导致排气温度升高、排烟量增加及涡轮增压器转速升高。 ※负载承受特性 机组在突然加载时，发动机必须有足够的频率恢复能力。频率下降反应主要取决 于涡轮增压器的惯性，其次是燃油系统。 ※冷却系统 大皇冠柴油发电机组标准配置采用自带风扇闭式循环液体冷却方式。其冷却系统 循环回路包括水泵、发动机缸体与盖内的水管、节温器、节温器体与水泵间的旁通 管、散热水箱、管路和软管扩机油冷却器。 对于非标准机组，如分体散热水箱型机组，水箱散热器由热交换器代替，同时还有补充水箱和远程冷却 风扇等，如远程冷却风扇安装位置相对较高，还应增加过渡水箱，以防止热交换器因内压大而损坏。 HBT-S 阀系列拖泵主要技术参数 ] 理论泵送排 出口压 最大输送 力 砼缸径 电机（柴油 量 m3/h 距离 m 主机质 MPa ×行程 机） 外形尺寸 mm 拖泵型号 量 kg 高 低 mm 功率 kw 高压 低压 水平 垂直 压 压 HBT60S1413-90 40 60 13 1000 240 195×1400 90 6300×2040×2050 6500 HBT60S1816-110 43 71 16 1200 280 200×1800 110 6500×2040×2050 7100 HBT80S1813-110 114 13 1000 240 110 HBT60S1413-112R 37 13 1000 240 195×1400 112 6300×2040×2490 7000 HBT60S1816-133R 44 68 16 1200 280 133 7250 HBT60S1816-161R 44 72 16 1200 280 200×1800 161 6415×2045×2490 7300 HBT80S1813-161R 71 124 13 1000 280 161 HBT80S2118-161R 86 18 1400 320 200×2100 161 7090×2045×2490 7500 [HBT-Z 闸阀系列拖泵主要技术参数 ] 最大输送 理论泵送 出口压力 砼缸径× 电机（柴油机） 主机质量 kg 拖泵型号 排量 m3/h Mpa 距离 m 外型尺寸 mm 行程 mm 功率 kw 水平 垂直 HBT60Z1407-75 69 7 580 120 75 6370×2045×2065 5600 HBT60Z1407-112 69 7 580 200×1400 112 6030×2045×2559 6500 120 [HBT-D 蝶阀系列拖泵主要技术参数 ] 理论泵送排量 出口压 最大输送距 拖泵型号 m3/h 力 Mpa 离 m 砼缸径×行程 电机功率 主机质量 mm kw 外型尺寸 mm 高压 低压 高 低 水平 垂直 kg 压 压 HBT40D1206-55 40 6 500 100 195×1200 55 6035×2005×20724500 函数图像及性质知识点总结和经典题型 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2．三角函数的单调区间： 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； x y sin =的递增区间是)(Z k ∈，递减区间是)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是)(Z k ∈， 3．对称轴及对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； tan y x =无对称轴，对称中心为k 2 (,0)π ； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心及零点相联系，对称轴及最值点联系。 4．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是，频率是，相位是?ω+x ，初 相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象及直线 B y =的交点都是该图象的对称中心。 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点 2 ； ②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点 2 ； ③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π ω (ω>0)来确定ω； ④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定 φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始及x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φ ω (即 令ωx ＋φ＝0，x ＝－φ ω )确定φ. 5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0)???ω > C型钢规格型号及技术参数 尺寸面积重量重心（ mm ）CM 2Kg/m CM H B C t A m ex ey 804510 2.00 3.57 2.80 1.71 3.75 804510 2.30 4.05 3.18 1.70 3.75 804510 2.50 4.36 3.42 1.70 3.75 804510 2.75 4.73 3.72 1.70 3.75 804510 3.00 5.10 4.01 1.69 3.75 1005015-20 2.00 4.47 3.51 1.86 5.00 1005015-20 2.30 5.08 3.99 1.85 5.00 1005015-20 2.50 5.48 4.30 1.85 5.00 1005015-20 2.75 5.97 4.69 1.85 5.00 1005015-20 3.00 6.45 5.07 1.84 5.00 1205015-20 2.00 4.87 3.82 1.71 6.00 1205015-20 2.30 5.54 4.35 1.71 6.00 1205015-20 2.50 5.98 4.70 1.71 6.00 1205015-20 2.75 6.52 5.12 1.70 6.00 1205015-20 3.007.05 5.54 1.70 6.00 1406015-20 2.00 5.67 4.45 1.987.00 1406015-20 2.30 6.46 5.07 1.977.00 1406015-20 2.50 6.98 5.48 1.977.00 1406015-20 2.757.62 5.98 1.977.00 1406015-20 3.008.25 6.48 1.967.00 1606015-20 2.00 6.07 4.76 1.858.00 1606015-20 2.30 6.92 5.43 1.858.00 1606015-20 2.507.48 5.87 1.858.00 1606015-20 2.758.17 6.42 1.848.00 1606015-20 3.008.85 6.95 1.848.00 1607015-20 2.00 6.47 5.08 2.248.00 1607015-20 2.307.38 5.79 2.238.00 1607015-20 2.507.98 6.27 2.238.00 1607015-20 2.758.72 6.85 2.238.00 1607015-20 3.009.457.42 2.228.00 1807015-20 2.00 6.87 5.39 2.119.00 1807015-20 2.307.84 6.16 2.119.00 1807015-20 2.508.48 6.66 2.119.00 1807015-20 2.759.277.28 2.109.00 1807015-20 3.0010.057.89 2.109.00 2007515-20 2.007.47 5.86 2.1910.00 2007515-20 2.308.53 6.70 2.1810.00 2007515-20 2.509.237.25 2.1810.00 2007515-20 2.7510.107.93 2.1810.00 2007515-20 3.0010.958.60 2.1710.00 2507515-20 2.008.47 6.65 1.9412.50 2507515-20 2.309.687.60 1.9412.50 2507515-20 2.5010.488.23 1.9312.50 2507515-20 2.7511.479.01 1.9312.50 2507515-20 3.0012.459.78 1.9312.50 3008015-20 2.512.59.61 1.8915.00 3008015-20314.6411.49 1.8915.00 30010015-20 2.7514.5411.41 1.9015.00 30010015-20315.8412.43 1.9015.00弯心断面参数 CM CM 4CM 3CM CM 4CM CM 3CM 3 e0Ix Wx rx ly ry Wymax Wymin 3.9331.988.53 2.9910.08 1.68 5.91 3.61 3.8935.789.54 2.9711.18 1.66 6.56 4.00 3.8638.1810.18 2.9611.85 1.65 6.97 4.23 3.8341.0310.94 2.9412.63 1.637.44 4.51 3.8043.7011.65 2.9313.33 1.627.87 4.75 4.3869.6213.92 3.9516.44 1.928.86 5.23 4.3478.3515.67 3.9318.35 1.909.91 5.83 4.3283.921 6.78 3.9119.55 1.8910.57 6.21 4.2890.6318.13 3.9020.96 1.8711.34 6.65 4.259 7.0319.41 3.8822.27 1.8612.077.06 4.11106.9417.82 4.6917.57 1.9010.27 5.34 4.08120.5820.10 4.6619.62 1.8811.49 5.96 4.05129.3321.55 4.6520.91 1.8712.26 6.35 4.02139.8923.31 4.6322.43 1.8513.17 6.80 3.99150.0225.00 4.6123.85 1.8414.027.23 4.77173.0424.72 5.5328.65 2.2514.497.12 4.73195.7027.96 5.5032.11 2.231 6.28 7.97 4.71210.3330.05 5.4934.31 2.2217.41 8.51 4.68228.1030.59 5.4736.92 2.2018.77 9.16 4.64245.2835.04 5.4539.40 2.1820.069.76 4.54236.5629.57 6.2429.96 2.2216.177.22 4.50267.8133.48 6.2233.60 2.2018.168.09 4.48288.0536.01 6.2135.90 2.1919.438.64 4.45312.6639.08 6.1938.64 2.1720.959.30 4.41336.5242.07 6.1741.24 2.1622.409.92 5.42261.5232.69 6.3643.42 2.5919.409.12 5.38296.413 7.05 6.344 8.82 2.5721.8510.24 5.3531 9.0539.88 6.3252.26 2.5623.4210.96 5.32346.6643.33 6.3056.38 2.5425.3111.81 5.29373.5046.69 6.2960.32 2.5327.1212.63 5.19343.9038.217.0845.14 2.5621.359.24 5.15390.0943.347.0550.76 2.5424.0610.38 5.13420.1146.687.0454.34 2.5325.7911.11 5.09456.7750.757.0258.64 2.5127.8711.98 5.06492.4754.727.0062.74 2.5029.8712.81 5.40459.6345.967.8555.19 2.7225.2510.39 5.37521.9352.197.8261.13 2.7028.4811.68 5.34562.5156.257.8166.58 2.6930.5512.51 5.31612.1861.227.7971.59 2.6733.0513.51 5.28660.6666.077.7777.03 2.6535.4614.46 4.93776.4562.129.5859.02 2.6430.4310.62 4.90882.8370.639.5566.46 2.6234.3211.95 4.87952.2976.189.5371.22 2.6136.8212.80 4.841037.5083.009.5176.95 2.5939.8413.82 4.811120.9089.679.4982.43 2.5742.7414.80 4.4621588.59105.911.3893.48 2.7648.0815.30 4.541889.75125.9811.36109.92 2.7456.0018.16 6.001982.84132.1811.67176.71 3.4867.7023.91 6.102154.38143.6211.66191.18 3.4773.2025.87 三角函数图像及性质练习题 1.已知4k <-，则函数cos 2(cos 1)y x k x =+-的最小值是（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．21k + Ｄ．21k -+ 2.已知f (x )的图象关于y 轴对称,且它在［0,+∞)上是减函数,若f (lg x )＞f (1),则x 的取值范围是( ) A.( 10 1 ,1) B.(0, 101)∪(1,+∞) C.( 10 1,10) D.(0,1)∪(10,+∞) 3.定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π ］ 时，f （x ）=sin x ，则f （ 3 π 5）的值为( ) A.－ 21 B.2 1 C.－23 D.23 4.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则( ) A.f （sin 6π）＜f （cos 6π ） B.f （sin1）＞f （cos1） C.f （cos 3π2）＜f （sin 3 π2） D.f （cos2）＞f （sin2） 5.关于函数f （x ）=sin 2x －( 32)|x |+21 ，有下面四个结论，其中正确结论的个数为 ( ) ． ①()f x 是奇函数 ②当x ＞2003时，1 ()2 f x > 恒成立 ③()f x 的最大值是23 ④f （x ）的最小值是12- A.1 B.2 C.3 D.4 6.使)tan lg(cos θθ?有意义的角θ是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第一、二象限的角 D.第一、二象限或y 轴的非负半轴上的角 7 函数lg(2cos y x =的单调递增区间为 ( ) ． A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈ B ．11 (2,2)()6 k k k Z ππππ++ ∈ C ．(2,2)()6 k k k Z π ππ- ∈ D ．(2,2)()6 k k k Z π ππ+∈ 8．已知函数()sin()(0,)f x x x R ωφω=+>∈,对定义域内任意的x ，都满足条件(6)()f x f x +=,若 sin(3),sin(3)A x B x ωφωωφω=++=+-,则有 ( ) ． A. A>B B. A=B C.A 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数 不同标准主要技术参数对照表项目 标准 GB/T9711.2-1999 GB/T9711.1-1997 SY/T5037-2000 材质L245MB-L555MB （形变 热处理245～360优质非 合金钢；415～555特殊 质量合金钢）； L360QB—L555QB（淬火 加回火特殊质量合金 钢）； L245NB-L415NB（正火或 形变正火245～360优质 非合金钢；415特殊质量 合金钢） L175-L555 碳素结构钢 管体外径60＜D≤610±0.5㎜或 ±0.75%D（取较大值） 但最大为±3㎜；610＜D ≤1430,±0.5%D,最大 为±4㎜,D＞1430契约D＜508㎜时,偏差± 0.75%D；D≥508～ 914㎜时,偏差±1%D （不扩径；冷扩径＋ 0.75%、－0.25%）。 大于914㎜不扩径± 1.0%；冷扩径＋6.35 ㎜、—3.2㎜ D＜508㎜时,偏差 ±0.75%D；D≥508 ㎜,偏差±1%D 管端外径60＜D≤610±0.5㎜或 ±0. 5%D（取较大值） 但最大为±1.6㎜；610 ＜D≤1430,±1.6㎜,D ＞1430契约D≤273.1㎜±0.41.59 323.9㎜≤D≤508㎜ ±0.792.38 D＞508㎜±0.792.38 D＞508㎜的冷扩径 焊接钢管±2.38㎜ D＜508㎜时,偏差 ±0.75%D或±2.5 ㎜取小值；D≥508 ㎜,偏差±0.5%D 或±4.5㎜,取小 值 不直度≤0.2%,局部应≤4mm/m 不得超过管长的 0.2% 不得超过钢管长度的0.2% 圆度60＜D≤610管体≤2%, 管端≤1.5%；610＜D≤ 1430；D/T≤75时,管体 1.5%（最大为15㎜）管 端≤1%；D/T＞75时,管 体≤2%；管端≤1.5%；D ＞1430管体同上；管端： 契约。D＞508㎜时,±1%D D≤508㎜时与管端 外径相同 钢管最大外径不 得比标称外径大 1%,最小外径不得 比标称外径小1%。 三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结 知识点讲解 1.“五点法”作图原理 在确定正弦函数])2,0[(sin π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是 )0,2(),1,2 3(),0,(),1,2(),0,0(ππ ππ-. 在确定余弦函数])2,0[(cos π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是 )1,2(),0,2 3(),1,(),0,2(),1,0(ππ ππ-. 2. 3.)sin(?+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ?的图像与性质 （1）最小正周期：w T π2= . （2）定义域与值域：)sin(?+=wx A y ，）?+=wx A y cos(的定义域为R ，值域为[-A ,A ]. （3）最值 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ， ?? ???-∈+-=+∈+=+; )(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππ ?ππ? ②对于）?+=wx A y cos(， ? ? ?-∈+=+∈=+;)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值 当ππ?π? （4）对称轴与对称中心. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ， ? ????? ? +==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2 000000x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为 时，，即当的对称轴为时，，即当??π???ππ? ②对于）?+=wx A y cos(， ??? ?? ? ?+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2)cos(1 )cos()(0000 00x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当??ππ???π? 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置. （5）单调性. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ， ?? ??? ?∈++∈+?∈++-∈+. )](223,22[)](22,22[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx ππππ?ππππ? ②对于）?+=wx A y cos(， ? ? ??∈+∈+?∈+-∈+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间； Z k k k wx Z k k k wx πππ?πππ? （6）平移与伸缩 由函数x y sin =的图像变换为函数3)3 2sin(2++=π x y 的图像的步骤； 方法一：)3 22 (π π + →+ →x x x .先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想 欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形. ?????→?=个单位 向左平移的图像3 sin π x y 的图像)3 sin(π + =x y 12 ????????→所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 的图像)3 2sin(π + =x y 2?????????→所有点的纵坐标变为原来的倍 横坐标不变 的图像)3 2sin(2π +=x y ?????→?个单位 向上平移33)3 2sin(2++=πx y 方法二：)3 22(π π+→+→x x x .先周期变换，后相位变换，再振幅变换. 的图像x y sin =1 2 ????????→所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 ?????→?=个单位 向左平移的图像6 2sin π x y 三角函数的图象与性质练习题 一、选择题 1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 2．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点? ?? ?? 4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 3．已知函数y ＝sin πx 3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 4．已知在函数f (x )＝3sin πx R 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x ) 的最小正周期为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D ) 6．给出下列命题： ①函数y ＝cos ? ???? 23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α π4) D．y＝cos 2x ＝2cos2x B．y＝2sin2x C．y＝1＋sin(2x＋ 【本讲教育信息】 一.教学内容： 三角函数的图象与性质 二.教学目的： 了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝A sin（ωx＋φ），y＝A cos（ωx ＋φ）的周期为。 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，并能根据图象理解正弦函 数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－，）上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等）。 了解三角函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y＝A sin（ωx+φ）的简图，能由正弦曲线y＝sin x通过平移、伸缩变换得到y＝A sin（ωx+φ）的图象。 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 三.教学重点：三角函数的性质与运用 教学难点：三角函数的性质与运用。 四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是， 的递增区间是， 3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象 与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8.求三角函数周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。三角函数图像与性质知识点总结和经典题型
三角函数的图像与性质
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