三角函数的图像与性质题型归纳总结
题型归纳及思路提示 题型 1 已知函数解析式确定函数性质
【思路提示】一般所给函数为 y ＝A sin( ω x ＋φ)或y ＝A cos( ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根 据
y ＝ sin x ，y ＝ cos x 的整体性质求解。
一、函数的奇偶性
例1 f (x )＝sin (x )(0≤ < )是R 上的偶函数，则
等于( )
B ．
C ．
D ．
42
A 充分不必要条件
B ．必要不充分条
C ．充要条件
变式 3.设f (x) sin( x )，其中 0，则 f (x)是偶函数的充要条件是( )
A. f (0) 1 B ． f (0) 0 C ． f '(0) 1 D ． f '(0) 0
例2.设f (x) sin(2 x )(x R)，则 f(x)是( )
2
A. 最小正周期为 的奇函数 B ． 最小正周期为 的偶函数 C ．最小正周期为 的奇函数 D ． 最小正周期为 的偶函数
22
结论： (1) 若y Asin( x )是奇函数，则
k (k Z);
(2) 若 y Asin( x )是偶函数，则 k + (k
2 Z); (3) 若 y Acos(x
)是奇函数，则
k
2(k
Z);
(4) 若 y Acos( x
)是偶函数，则
k (k Z);
(5) 若 y A tan(x )是奇函数，则 k
2 (k Z).
变式 1.已知 a R ， 函数 f (x) sin x | a | 为奇函数，
则 a 等
于
B ． 1
C ．
1 D ． 1
【评注】由 y sin x 是奇函数， y cosx 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要
变式 2.设 R ，则 “ 0”是“f(x) cos(x )(x
R)为偶函数 ” 的( )
D ．无关条件
若函数 y Asin( x )(A 0, 0)则
变式1.若f(x) sin 2 x 1(x R)，则f (x)是( )
A. 最小正周期为 的奇函数 B ． 最小正周期为 的偶函数
二、函数的周期性
A. B ． C ． 2 D
24
评注】关于三角函数周期的几个重要结论：
(1) 函数 y Asin( x ) b, y Acos( x ) 的周期分别为 |2 |,|2
三、函数的单调性
例 4.函数y sin( 2x)(x
6
A. [0, ] B ．[ ,7 ]
3 12 12
【评注】求三角函数的单调区间：
[3,56 ] D ．[56
C ． 最小正周期为 2 的奇函数
D ． 最小正周期为 2 的偶函数
变式2.下列函数中，
既在 (0, 2)递增，
又是以 为周期的偶函数的是 ( )
A. y cos2x B ．
y |sin2x| C ．
y |cos2x| D ． y
|sin x|
例3.函数 y sin(2 x
)cos(2 x
)的最小正周期为 ( )
66
(2) 函数 y | Asin( x ) |, y | Acos( x )|,y | Atan( x ) | 的周期均为 (3) 函数 y | A sin( x b |(b 0), y | A cos( x ) b |(b 0)的周期均为 ||
2
||
变式1.函数
y sin(2 x 6) cos(2 x )的最小正周期和最大值分别为 ( ) A. ,1 B
． 2 ,1 D ． 2 , 2 变式 2. 若f(x) sin x(sin x cosx),则f ( x)的最小正周期是
变式 3. 若f(x) sin3x |sin3x|则f(x)是( ) A. 最小正周期为 的周期函数 3 B ． 最小正周期为 2
的周期函数 3
C ． 最小正周期为 2 的周期函数
D ． 非周期函数
b, y A tan(
[0, ])的递增区间是 ( )
(1) 函数的递增区间由 2k (2) 函数的递减区间由 2k (3) 若函数 y 则 y Asin( (4) 对于函数 2 )中 A A sin( x Acos( x ) 和 y 0,
0， 2k (k
2 3 2k (k
2
可将函数变为 Z ) 决
定；
Z ) 决定； x )的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间； A tan( x ) 单调性的讨论同上。 y A sin( x ) 变式1.函数y sinx f (x)在[ 4 3 3
] 内单调递增，则 f ( x)可以是 ( ) 4 A.1 B ． cosx C ． sinx cosx 变式 2. 若f(x) sin( x 4)(
A. [1,5] B ． [1,3] A. [2,4] B ．[2,4] 0)在 ( ,
2
1 (0,21] D
) 上单调递增，则 的取值范围是(
． (0, 2]
变式3.已知函数 f (x) 3sin
x cos( x
3) cos( x 3)( 0)
(1)求f ( x)的值域；(2) 若f (x)的最小正周期为
,x [0, ]，f (x)的单调递减区间 .
四、函数的对称性(对称轴、对称中心)
例 5. 函数 y sin(2 x
)图象的对称轴方程可能是 ( )
A.
x B ． x C ． x D ． x
6 12 6 12
【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：
变式1.已知函数 y sin( x 3)(
0)的最小正周期为 ，则f (x)的图象 ( )
A. 关于点 ( ,0) 对称
3
B ． 关于直线 x 对称
4
C ．关于点 ( ,0)对称
4 D ． 关于直线 x 对称
3
变式 2.函数 y sin(x )的图象的一个对称中心是 ( )
A. ( ,0) B ． ( 33
3
,0) C ． (3 ,0) D ． 44 (2,0)
2x 2x
变式3.函数f (x) sin 2x cos 2x 的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是 ________________ .
55
变式4.若函数y sinx 3 cosx 的图象向右平移 a 个单位( a 0)后的图象关于 y 轴对称，则 a 的最小值是 ( )
A. 7 B ． C ． D ． 6263
五、三角函数性质的综合
思路提示】三角函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，对称性尤为重要；
(1) 函数 y sin x 的对称轴为 x k (k Z ), 对称中心
2
(k ,0)( k Z );
(2) 函数
y
cos x 的对称轴为 x k
(k Z), 对称中心 (k
2 ,0)( k Z );
(3) 函数 y
tan x 无对称轴，对称中心 k
( , 0)( k Z );
对称中心的求法 : 令 x
k (k
Z )
得 x = k
k
x k (k Z),得x= 2 (k Z);
2
k
(k Z ), 对称中心为 ( ,b)(k Z)；
(5) 函数 y Acos( x
) b 的对称轴的求法：令
k
x k (k Z ), 得 x= (k Z );
对称中心的求法 : 令 x
k 2 (k Z )
得
k
x= 2 (k Z), 对称中心为
2
,b)(k Z )
2
(4) 函数 y Asin( x
) b 的对称轴的求法：令
1)对称性 奇偶性：若函数 f ( x)的图象关于 y 轴对称，则 f (x)是偶函数；
若函数 f ( x)的图象关于原点对称，则 f (x)是奇函数；
相邻的对称中心与对称轴之间的距离为 ；
4
(3) 对称性 单调性：在相邻的对称轴之间，函数
f (x)单调；
特殊的，若 f(x) Asin( x),A 0， 0函数f ( x)在[ 1, 2]上单调 ，且0 [ 1, 2]
设 max{| 1 |, 2} ，则 T 。
4
例6.设f (x) asin2x b cos2x, ab 0,若f(x) f( ) 对任x R 成立,则
11 7
(1)f( ) 0;(2) f( ) f( );(3) f (x)不具奇偶性；
12 10 5
2
(4) f (x)的单调递增区间是 [k
, k 2 ](k Z)；
63
(5) ________________________________________存在经过点 (a,b)的直线与函数 f (x)的图象不相交 . 以上结论中正确的是 _____________ .
例
7.
已知函数
f (x) 4cos( x )sin x cos(2 x )( 0)
6
3 (1)求f (x)的值域；(2)若f ( x)在区间 [ 3
, ]为增函数，求 的最大值 .
(2) 对称性 周期性：相邻两条对称轴之间的距离为
T
；相邻两个对称中心的距离为 T ； 22
2
的取值范围.变式1.已知函数 f (x) 2sin x( 0),若f (x)在［ , ］上递增，求
43
题型 2 根据条件确定解析式 方向一：“知图求式”，即已知三角函数的部分图象，求函数解析式。 思路提示】
由图象求得 y ＝A sin （ ω x ＋φ） （ A >0，ω>0）的解析式一般不唯一，只有限定 φ 的取值范
围，才能得到唯一解。依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点
例8.若f (x) sin( x 3)(
0),f(6)
f （ ）且在 （ , ）上有最小值无最大
值，则
即图象上升时