三角函数的图像与性质题型归纳总结
题型归纳及思路提示
题型1 已知函数解析式确定函数性质
【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性
例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ）
A.0 B ．
4π C ．2
π
D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()();
y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则
sin()+
();
2
y A x k k Z π
??π=+=∈(2)若是偶函数，则
cos()();
2
y A x k k Z π
??π=+=+
∈(3)若是奇函数，则 cos()();
y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则
tan()().2k y A x k Z π
??=+=
∈(5)若是奇函数，则
.()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ）
A.0 B ．1 C ．1- D ．1
±
2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ）
A 充分不必要条件
B ．必要不充分条
C ．充要条件
D ．无关条件
3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ）
A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0
f =
2.()sin(2)()()2f x x x R f x π
=-∈例设，则是( )
A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π
最小正周期为
的奇函数 D ．2π
最小正周期为的偶函数
2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( )
A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数
2.(0,)2π
π变式下列函数中，既在递增，又是以为周期的偶函数的是( )
A.cos 2y x = B ．|sin 2|y x = C ．|cos 2|y x = D ．|sin |
y x =
二、函数的周期性
3.sin(2)cos(2)66y x x ππ
=++例函数的最小正周期为( )
A.
2π B ．4π
C ．2π
D ．π
【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：
sin()b,cos()b,tan()b
22,,.||||||
y A x y A x y A x ω?ω?ω?πππ
ωωω=++=++=++(1)函数的周期分别为
|sin()|,|cos()|,|tan()|.||y A x y A x y A x πω?ω?ω?ω=+=+=+(2)函数的周期均为
2|sin()b |(b 0),|cos()b |(b 0).||y A x y A x π
ω?ω?ω=++≠=++≠(3)函数的周期均为
1.sin(2)cos(2)63y x x ππ
=+++变式函数的最小正周期和最大值分别为( )
A.,1π B ．,2π C ．2,1π D ．2,2
π
()sin (sin cos ),()f x x x x f x =-变式2.若则的最小正周期是________.
()sin 3|sin 3|()f x x x f x =+变式3.若则是( )
A.3
π
最小正周期为
的周期函数 B ．23
π
最小正周期为
的周期函数 C ．π最小正周期为2的周期函数 D ．非周期函数
三、函数的单调性
.sin(2)([0,])6y x x π
π=-∈例4函数的递增区间是( )
A.[0,]3π B ．7[,]1212ππ C ．5[,]36ππ
D ．5[,]6ππ
【评注】求三角函数的单调区间：
sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>若函数则
22()2
2
322()22
(3)sin()0,0sin()
sin()(4)cos()tan()k x k k Z k x k k Z y A x A y A x y A x y A x y A x π
π
πω?πππ
πω?πω?ωω?ω?ω?ω?-
≤+≤+
∈+≤+≤+∈=+><=---=--=+=+(1)函数的递增区间由决定；
(2)函数的递减区间由决定；
若函数中，可将函数变为则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间；
对于函数和单调性的讨论同上。
31.sin ()[()44y x f x f x ππ
=+-变式函数在,]内单调递增，则可以是( )
A.1 B ．cos x C ．sin x D ．cos x
-
()sin()(0)(42f x x ππ
ωωπω=+>变式2.若在,)上单调递增，则的取值范围是（ ）
A.15[,]24 B ．13[,]24 C ．1
(0,]2 D ．(0,2]
3.()3sin cos()cos()(0)
33
(1)()(2)(),[0,]()22
f x x x x f x f x x f x ππ
ωωωωππ
=+++->∈变式已知函数求的值域；若的最小正周期为，的单调递减区间.
四、函数的对称性（对称轴、对称中心）
.sin(2)3y x π
=+例5函数图象的对称轴方程可能是( )
A.6x π=- B ．12x π=- C ．6x π= D ．12x π
=
【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：
sin (),(,0)();
2
cos (),(,0)();
2
tan (
,0)();2
2
sin()(),=
();
2
:y x x k k Z k k Z y x x k k Z k k Z k y x k Z k y A x b x k k Z x k Z x k π
πππ
πππ
π
π?
π
ω?ω?πω
ω?π==+
∈∈==∈+∈=∈+
-=+++=+∈∈+=(1)函数的对称轴为对称中心(2)函数的对称轴为对称中心(3)函数无对称轴，对称中心(4)函数的对称轴的求法：令得对称中心的求法令()=
(),(,)()cos()(),=();
22:()=(),(,)()
2k k k Z x k Z b k Z k y A x b x k k Z x k Z k k x k k Z x k Z b k Z π?
π?
ω
ω
π?
ω?ω?πω
πππ?π?πω?πωω
--∈∈∈-=+++=∈∈+-+-+=+∈∈∈得对称中心为；
(5)函数的对称轴的求法：令得对称中心的求法令得对称中心为1.sin()(0)()3y x f x π
ωωπ=+>变式已知函数的最小正周期为，则的图象( )
A.(,0)3π关于点对称 B ．4x π
=关于直线对称
C ．(,0)4π关于点对称
D ．3x π
=关于直线对称
.sin()4y x π
=-变式2函数的图象的一个对称中心是( )
A.(,0)π- B ．3(,0)4π- C ．3(,0)4π D ．(,0)2π 223.()sin cos .
55
x x
f x =+变式函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是__________.sin 3cos 0x x a a a =->变式4若函数y 的图象向右平移个单位（）后的图象关于y 轴对称，则的最小值是( )
A.
76
π B ．2π C ．6π D ．
3π
五、三角函数性质的综合
【思路提示】三角函数的性质（奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，对称性尤为重要；
121()()()()(2)22
4
(3)()()sin(),00()[,]f x y f x f x f x T T
T
f x f x A x A f x ωωθθ???=>>（）对称性奇偶性：若函数的图象关于轴对称，则是偶函数；若函数的图象关于原点对称，则是奇函数；
对称性周期性：相邻两条对称轴之间的距离为；相邻两个对称中心的距离为；
相邻的对称中心与对称轴之间的距离为；
对称性单调性：在相邻的对称轴之间，函数单调；
特殊的，若，函数在上单调12120[,]{||,}4
T
max θθθθθθ∈=≥，且设，则
。
6.()sin 2cos 2,0,()(),6117(1)()0;(2)()();(3)()12105
2()[,]()63
(5)(,)().
f x a x b x ab f x f x R f f f f x f x k k k Z a b f x π
πππππ
ππ=+≠≤∈=<++∈例设若对任成立则
不具奇偶性；
(4)的单调递增区间是；
存在经过点的直线与函数的图象不相交.以上结论中正确的是__________________
7.()4cos()sin cos(2)(0)
6
3(1)()(2)()[,].22
f x x x x f x f x π
ωωωπωππ
ω=--+>-例已知函数求的值域；若在区间为增函数，求的最大值
21.()2sin (0),()[,].
43
f x x f x ππ
ωωω=>-
变式已知函数若在上递增，求的取值范围
8.()sin()(0),()()(,)=______.
36363
f x x f f πππππ
ωωω=+>=例若且在上有最小值无最大值，则
题型2 根据条件确定解析式
方向一：“知图求式”，即已知三角函数的部分图象，求函数解析式。 【思路提示】
由图象求得y ＝A sin(ω x ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才
能得到唯一解。依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点（即图象上升时与横轴的交点）为0x ω?+=，第二点（即图象最高点）为2
x π
ω?+=
，第三点（即图象下降时
与横轴的交点）为x ω?π+=，第四点（即图象最低点）为32
x π
ω?+=，第五点（即图象上升时与横轴的交点）为2.x ω?π+=。
.()sin(2)(,)(0)f x A x A R f ??=+∈=例9函数部分图象如下图所示，则（ ）
A.1
2-
B ．1-
C ．32-
D ．3
1.()sin()(0,0)(0)________.
f x A x A f ω?ω=+>>=变式函数部分图象如下图所示，则
2
.()cos()()(0)________.
23
f x A x f f
π
ω?
=+=-=
变式2部分图象如下图所示，,则
.()sin()(0,0,||)()
f x A x A f x
ω?ω?π
=+>><
例10已知函数部分图象如下图所示，求的解析式。变式1.已知)
(
cos
)
(2?
ω+
=x
x
f（ω，?为常数），如果存在正整数ω和实数?使得函数
()
f x的图象如图所示（图象经过点（1,0）），求ω的值.
1
1
2
y
x
方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值）求函数解析式。
3.()sin()(0,0)R 4
]()2
f x x f x π
ω?ω?ππ
=+>≤<例11已知函数为上的偶函数，点(,0)是其一对称中心，且函数在[0,上单调，求函数的解析式。
.()4sin()(0,0)23
()f x x f x π
π
ω?ω?=+><<变式1已知函数图象的相邻两条对称轴的距离为，且经过点(0,2)，求函数的解析式。
题型3：函数的值域（最值）
【思路提示】求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理：
2222222(1)sin ,sin [1,1];
(2)sin cos sin(),tan ;
(3)sin sin ,sin [1,1];cos sin (),sin [1,1];cos 2sin 2(),sin y a x b at b x t b
y a x b x c a b x c a
y a x b x c at bt c x t y a x b x c at bt a c x t y a x b x c at bt a c x ??=+=+=∈-=++=+++==++=++=∈-=++=-+++=∈-=++=-+++=22
[1,1];
1
(4)cos sin (sin cos )(),sin cos [2,2];
21cos sin (sin cos )(),sin cos [2,2];
2
sin sin (5)csin ccos t t y a x x b x x c a bt a c x x t t y a x x b x x c a bt a c x x t a x b a x b y y x d x d
∈--=+++=++++=∈--=+-+=+++-=∈-++==++与根据正、余弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可
用不等sin cos x x 式法求最值，更可用数形结合法求最值，但都必须要注意、的范围。
12.()sin cos 11
.1 (122)
f x x x A B C D =--例函数的最小值是( )
.()sin cos()3
33.[2,2].[3,3].[1,1].[,]
22
f x x x A B C D π
=-+----变式1函数的值域为（ ）
2.()sin 3sin cos []42
133.1
(13)
2
2
f x x x x A B C D ππ
=+-++变式2函数在区间,上的最大值为（ ）
.()4sin()3sin()36
3.7.23.5.42
f x x x A B C D ππ
=++-+例13函数的最大值为（ ）
22.()cos()2cos 32
x
f x x π=+
+变式1求函数的值域.
.()cos(2)2sin()sin()([,])344122
f x x x x x πππππ
=-++-∈-变式2求函数的值域.
2.()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-例14求函数的最值.
2.()cos sin (||4
f x x x x π
=+≤
变式1求函数)的最小值.
253.()sin cos (0822
f x x a x a x π
=++-≤≤变式2求函数)的最大值.
2.sin cos 0x x a a ++=变式3若有实数解，试确定的取值范围.
2.cos sin 0(0,25
5.(,]
.(1,1].[1,1]
.(1,]
4
4
x x x a a A B C D π
-+=-∞----变式4若关于的方程在]上有解，则的取值范围是（ ）
2.cos sin 0(0,2
x x x a a π
-+≥变式5若关于的不等式在]上恒成立，求的取值范围.
sin 1
.()(0)sin ....x f x x x
A B C D π+=
<<例15对于函数，下列结论中正确的是( )有最大值无最小值有最小值无最大值有最大值和最小值
无最值
3cos .2sin x
y x =
+变式1求函数的值域.
3.tan 2tan 4
2
x y x x π
π
<<
=变式2若
，求函数的最大值.
题型4：三角函数图象变换 【思路提示】
sin sin()(,0)y x y A x b A ω?ω==++>由函数的图象变换为函数的图象.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
1
sin sin()sin()sin()sin()x y A b y x y x y x y A x y A x b ?ω
?ω?ω?ω?=??????→=+?????→=+?????→=+??????→=++变为原来的
向左平移个单位
变为原来的倍向上平移个单位；
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
1
sin sin sin()sin()sin().
x y A b y x x y x y A x y A x b b ?
ω
ω
ωω?ω?ω?ω?=?????→??????→=+?????→
=+??????→=++变为原来的
向左平移个单位
变为原来的倍向上平移个单位
平移口诀：左加右减，上加下减（不要管、、的正负,注意先弄清楚由谁平移到谁）。
例16.把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（ ）
.y cos(2y sin 23
55..121255..66
2.()sin(),()cos(),()22
.().()y .()2
.x x A B C D f x x g x x f x A g x B g x C g x D g π
π
π
π
π
ππ
π
=+==+=-变式1为得到函数)的图象，只需将函数的图象（ ）
向左平移
个单位向右平移
个单位向左平移个单位
向右平移个单位
变式已知则的图象（ ）
与的图象相同与的图象关于轴对称是由的图象向左平移个单位得到的是由()2
x π
的图象向右平移
个单位得到的
2111
.()sin 2sin cos cos sin()(0),(,).
22262
(1);
1
(2)()()2()[0,]4
f x x x f x y
g x g x ππ????π?π
=+-+<<=例17函数求的值将的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，
求函数在上的最大值和最小值.
变式1.已知向量()()=sin ,1,=3cos ,
cos 2>02A m x n A x x A ??
???
，函数()=f x m n 的最大值为6，（1）求A （2）将函数()=y f x 的图像向左平移12
π
个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()=y g x 的图像，求()g x 在50,24π??????
上的值域.
一
个人懂你，就是时时关心你；就是刻刻在乎你；就是凡事想着你。懂你的人，会想着你的冷暖，想着你的忧乐，想着你是否安好。
懂你，是心灵的一种呵护，是生命的一种温度，是彼此间的一种温馨。
因为有人懂你，你流在眼角的泪水有人擦；因为有人懂你，你欢笑时有人陪你笑；因为有人懂你，你寂寞时有人陪；因为有人懂你，你有难时有人帮；因为有人懂你，你痛苦时有人安慰。
懂你的人是你的知己，甚至比知己更知己。知己也只能是无话不说，心心相印，情同手足，休戚与共。
而懂你的人则更进一层，如若懂得，你的一个眼神，便能会意；你的一个暗示，便能心领；你任何一个神情，便会心有灵犀。
懂你的人，会对你心领神会，了如指掌，会对你的了解犹如了解自己。
懂，是世界上最温情的语言。浅浅的微笑，却包含着深深的喜欢；淡淡的祝福，却包含着浓浓的情意；短短的问候，却包含着长长的思念。
有时只说了只言片语，却胜似万语千言；有时只是一个眼神，一个动作，却能让你心间温暖如春。
懂你的人，最懂你的苦衷，最懂你的心累，最懂你的真诚，最懂你的内心世界。因为懂得，所以心相同；因为懂得，所以才心疼；因为懂得，所以才感动！
懂你，是一种深深的理解；懂你，是一种默默的喜欢；懂你，是一种暖暖的陪伴。
有一个懂你的人，真的就是一种幸福。你不会十全十美，他也不会十全十美，但两个都不完美的人却能撞出心灵的火花，却能达到无与伦比的默契，却能达成无法形容的融合，该是怎样的互懂？！
最懂你的人，也许会一直默默的陪伴在你的身边；也许会在天涯海角；但他总会在心里默默的守护你，总会在心里默默祈祷你幸福安康！
人与人之间最美是懂得，同事之间，只有互懂，才能互相理解；朋友之间，只有互懂，才能互相担待；夫妻之间，只有互懂，才能融洽度日；知己之间，只有互懂，才能长久长远；人与人之间，只有互懂，才能结识、结缘！
互懂，说起来容易做起来难！父母与子女之间，如果能互懂，就没有不孝和刁难；夫妻之间，如果能互懂，就没有争吵和硝烟；朋友同事之间，如果能互懂，就没有是非和埋怨；
官场之间，如果能互懂，就没有争斗和谗言；人与人之间，如果能互懂，就没有愧疚和不安。其实，懂，应该是相互的。