专题十八 三角函数的图像和性质
【高频考点解读】
1．画出y ＝sin x 、y ＝cos x 、y ＝tan x 的图象、了解三角函数的周期性．
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]、正切函数在???
?－π2，π2上的性质． 【热点题型】
题型一 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
例1、函数y ＝tan ????π4－x 的定义域为( )
A.????
??x ??
x ≠π4，x ∈R B.??????x ??
x ≠－π4，x ∈R C.??????x ??
x ≠k π＋π4，k ∈R ，x ∈R D.????
??x ?? x ≠k π＋3π4，k ∈R ，x ∈R
【提分秘籍】
1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2
(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成、单调增区间是????－π2＋k π，π2＋k π、k ∈Z 不能说它在整个定义域内是增函数、如π4<3π4、但是tan π4>tan 3π4、正切函数不存在减区间．
2．求三角函数的单调区间时、应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式、再根据三角函数的单调区间、求出x 所在的区间、应特别注意、考虑问题应在函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数单调性的不同．
(1)y ＝sin ????ωx －π4；(2)y ＝sin ???
?π4－ωx . 3．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 、而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．
4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|
、y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|
. 【举一反三】
函数f (x )＝2cos ???
?x ＋5π2是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为2π的偶函数
C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
【热点题型】
题型二 三角函数的定义域 值域
例2、 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为________．
(2)已知sin x ＋sin y ＝23、则23
＋sin y －cos 2x 的取值范围是( ) A.????112，73 B.?
???－1，73 C.????112，1 D.???
?112，79
【举一反三】
求函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值．
【热点题型】
题型三 三角函数的单调性
例3、求下列函数的单调区间：
(1)y ＝12sin ???
?π4－2x 3；(2)y ＝－????sin ????x ＋π4. 【提分秘籍】
1．熟练掌握正、余弦函数y ＝sin x 、y ＝cos x 单调区间是迅速正确求解正、余弦型函数的单调区间的关键．特别提醒、当单调区间有无穷多个时、别忘了注明k ∈Z.
2．在求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时、要特别注意A 和ω的符号、若ω<0、则通过诱导公式先将ω化正再求．
【举一反三】
已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)、x ∈R 、其中ω＞0、－π<φ≤π、若f (x )的最小正周期为6π、且当x ＝π2
时、f (x )取得最大值、则( ) A ．f (x )在区间[－2π、0]上是增函数
B ．f (x )在区间[－3π、－π]上是增函数
C ．f (x )在区间[3π、5π]上是减函数
D ．f (x )在区间[4π、6π]上是减函数
【热点题型】
题型四 三角函数的奇偶性与周期性、对称性
例4、 (1)若函数f (x )＝A sin ????π2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0、则( )
A ．f (x －2)一定是奇函数
B ．f (x ＋1)一定是偶函数
C ．f (x ＋3)一定是偶函数
D ．f (x －3)一定是奇函数
(2)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2的最小正周期为( )
A.π4
B.π2
C ．π
D ．2π (3)已知函数f (x )＝2sin 2????π4＋x －3cos 2x －1、x ∈R 、若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点
???
?－π3，0对称、且α∈(0、π)、则α＝( ) A.π3 B.π4 C.π2 D.π6
【提分秘籍】
1．求y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|
. 2．y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称性
对称轴方程ωx ＋φ＝k π＋π2
、k ∈Z 求出x . 对称中心ωx ＋φ＝k π、k ∈Z 求出x 可得中心横坐标．
对于y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴、对称中心横坐标可类似求出．
【举一反三】
设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0、|φ|<π2
)的最小正周期为π、且f (－x )＝f (x )、则( )