平面直角坐标系动点问
题
Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
点的存在性问题（运动性）
1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A （-5,0），B （），D （2，7）， （1）求C 点的坐标；
（2）动点P 从B 点出发以每秒1个单位的速度沿BA 方向运动，同时动点Q 从C 点出发也以每秒1个单位的速度沿y 轴正半轴方向运动（当P 点运动到A 点时，两点都停止运动）。设从出发起运动了x 秒。 ①请用含x 的代数式分别表示P,Q 两点的坐标；
②当x=2时，y 轴上是否存在一点E ，使得△AQE 的面积与△APQ 的面积相等若存在，求E 的坐标，若不存在，说明理由
2、（1）在平面直角坐标系中，如图1，将线段AB 平移至线段CD ，连接AC 、BD 。
x
x
①直接写出图中相等的线段、平行的线段；
②已知A（-3,0）、B（-2，-2），点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，且=5，求点C、D的坐标；
（2）在平面直角坐标系中，如图，已知一定点M（1,0），两个动点E（a，
2a+1）、F（b，-2b+3），请你探索是否存在以两个动点E、F为端点的线段EF
平行于线段OM且等于线段OM。若存在，求以点O、
M、E、F为顶点的四边形的
面积，若不存在，请说明理由。
3、如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒m个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒n个单位长度沿y轴的正方向运动。
（1）若|x+2y-5|+|2x-y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标。
（2）如图，设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由。
（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何请写出你的结论并说明理由。
9、在直角坐标系中，A（-4，0），B（2，0），点C在y轴正半轴上，
18
ABC
S=，
（1）求点C的坐标；
（2）是否存在位于坐标轴上的点P，使得
1
2
APC ABC
S S
=。若存在，请求出P
的坐标，若不存在，说明理由。
10、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-1，0），（3，0），现同
时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点
A、B的对应点C、D，连接AC、BD。
（1）求点C、D的坐标及四边形ABDC的面积；
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA、PB，使
1
2
APB ABDC
S S
=
四
，若存在
这样的点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由。
11、如图，已知长方形ABCO中，边AB=8，BC=4。以O为原点，OAOC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系。
（1）点A的坐标为（0，4），写出B、C两点的坐标；
（2）若点P从C点出发，以2单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O）,点Q从原点O出发，以1单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化若不变，求其值；若变化，求变化的范围。
7.1平面直角坐标系 7.1.1有序数对 教学三维目标 知识与技能： 1.理解有序数对的意义。 2.能用有序数对表示实际生活中物体的位置 过程与方法： 1.学生经历有序数对的学习过程，培养学生的概括能力，发展学生的数感。 2. 体会具体-抽象-具体的数学学习过程 情感态度与价值观： 1.通过在游戏中学习有序数对，培养学生合作交流意识和探索精神. 2.经历用有序数对表示位置的过程，体验数、符号是描述现实世界的重要手段 . 教学重点：有序数对及平面内确定点的方法. 教学难点：利用有序数对表示平面内的点. 教学课型：新授课 教学课时：1课时 教学方法：启发、讨论、交流 教学准备：三角尺粉笔多媒体 教学过程： 一、问题与情境 情景引入：游戏“找朋友” 问题： （1）只给一个数据如“第3列”你能确定好朋友的位置吗？ （2）给两个数据如“第3列第2排”你能确定好朋友的位置吗？为什么？（3）你认为需要几个数据能确定一个位置？
二、合作探究 1.【提出问题】 请在教室找到如下表用数对表示的同学位置： 发现：在教室里排数与列数的先后顺序没有约 定的情况下，不能确定参加数学问题讨论的同学 假设约定“列数在前，排数在后”，你能找到参加数学问题讨论的同学的座位吗？ 思考： （1）（2，4）和（4，2）在同一个位置吗？ （2）如果约定“排数在前，列数在后”，刚才那些同学对应的有序数对会变化吗？ 2. 【师生归纳】 思考：在生活中还有用有序数对表示一个位置的例子吗？ 3. 【例题讲解】 例1：如图，甲处表示2街与5巷的十字路口，乙处表示5街5巷的十字路口，如果用（2,5）表示甲处的位置，那么（2,5）→（3,5）→（4,5）→（5,5）→（5,4）→（5,3）→（5,2）表示从甲处到乙处的一种路线，请你用有序数对写出几种从甲处到乙处的路线。 3街4街5街6街2巷 1巷 1街2街6巷 5巷 4巷 3巷 变式练习：设计一个容易用有序数对描述的图形，并用自己的语言描述这个图形 有序数对： 我们把有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对。 记作（a ，b ）
幂的运算知识要点归纳及答案解析 【要点概论】 要点一、同底数幂的乘法特点 +?=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、 多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一特点， 即m n p m n p a a a a ++??=（,,m n p 都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数 与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 m n m n a a a +=?（,m n 都是正整数）. 要点二、幂的乘方法则 ()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘 方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则 ()=?n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘. 要点诠释：（1）公式的推广：()=??n n n n abc a b c (n 为正整数). （2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其 是遇到底数互为倒数时，算法更简便.如：1010 101122 1.22???? ?=?= ? ????? 重点四、注意事项
平面直角坐标系动点问题 1、已知点A 的坐标是（3，0）、AB=5，（1）当点B 在X 轴上时、求点B 的坐标、（2）当AB//y 轴时、求点B 的坐标 2、如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点 1232008P P P P ，，， ，的位置，则点2008P 的横坐标为？ 3、如图6－7，已知A 、B 两村庄的坐标分别为（2，2）、（7，4），一辆汽车在x 轴上行驶，从原点O 出发． （1）汽车行驶到什么位置时离A 村最近？写出此点的坐标． （2）汽车行驶到什么位置时离B 村最近？写出此点的坐标． （3）请在图中画出汽车行驶到什么位置时，距离两村的和最短？
4．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ． (1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积ABDC S 四边形 (2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使PAB S ?＝ABDC S 四边形，若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由． (3)点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：① DCP BOP CPO ∠+∠∠的值不变，②DCP CPO BOP ∠+∠∠的值不变，其中有且只 有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．
(江岸)23．（本题满分12分）如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC 、OA 所在直线为x 轴 和y 轴建立平面直角坐标系，点A (0，a )，C (b ，0) 20b -=． (1) 则A 点的坐标为___________，C 点的坐标为__________； (2) 已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q 点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动，点Q 到达A 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是(1，2)，设运动时间为t (t ＞0)秒．问：是否存在这样的t ，使S △ODP ＝ S △ODQ ，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由； (3) 点F 是线段AC 上一点，满足∠FOC ＝∠FCO ，点G 是第二象限中一点，连OG ，使得∠AOG ＝∠AOF ．点E 是线段OA 上一动点，连CE 交OF 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，OHC ACE OEC ∠+∠∠的值是否会发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． （江汉）28．（本题满分12分）
平面直角坐标系动点问题 （一）找规律 1．如图1，一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ） 图1 A ．（4，0） B ．（5，0） C ．（0，5） D ．（5，5） 图2 2、如图2，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A 1，A 2，A 3，A 4，…表示，则顶点A 55的坐标是（ ） A 、（13，13） B 、（﹣13，﹣13） C 、（14，14） D 、（﹣14，﹣14） 3.如图3，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中点的坐标分别为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…的规律排列，根据这个规律，第2019个点的横坐标为 ． 4．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示。 图3 （1）填写下列各点的坐标：1A （____，____），3A （____，____），12A （____，____）； （2）写出点n A 4的坐标（n 是正整数）； （3）指出蚂蚁从点100A 到101A 的移动方向．
5.观察下列有序数对：（3，﹣1）（﹣5，）（7，﹣）（﹣9，）…根据你发现的规律，第100个有序数对是 ． 6、观察下列有规律的点的坐标： 依此规律，A 11的坐标为 ，A 12的坐标为 ． 7、以0为原点，正东，正北方向为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，一个机器人从原点O 点出发，向正东方向走3米到达A 1点，再向正北方向走6米到达A 2，再向正西方向走9米到达A 3，再向正南方向走12米到达A 4，再向正东方向走15米到达A 5，按此规律走下去，当机器人走到A 6时，A 6的坐标是 ． 8、如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2019次，点P 依次落在点 201921,,,P P P 的位置，则点2019P 的横坐标为 . 9、如图，在平面直角坐标系上有个点P （1，0），点P 第1次向上跳动1个单位至点P 1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P 2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P 第100次跳动至点P 100的坐标是 ．点P 第2019次跳动至点P 2019的坐标是 ． 图4 图5 10、如图5，已知A l （1，0），A 2（1，1），A 3（﹣1，1），A 4（﹣1，﹣1），A 5（2，﹣1），…．则点A 2019的坐标为 ．
平面直角坐标系 漂市一中钱少锋 二、知识要点梳理 知识点一：有序数对 比如教室中座位的位置，常用“几排几列”来表示，而排数和列数的先后顺序影响座位的位置，因此用有顺序的两个数a与b组成有序数时，记作(a，b)，表示一个物体的位置。我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作: (a,b)． 要点诠释： 对“有序”要准确理解，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，表示不同位置。 知识点二：平面直角坐标系以及坐标的概念 1.平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1)。 注：我们在画直角坐标系时，要注意两坐标轴是互相垂直的，且有公共原点，通常取向右与向上的方向分别为两坐标轴的正方向。平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的。 2.点的坐标
点的坐标是在平面直角坐标系中确定点的位置的主要表示方法，是今后研究函数的基础。在平面直角坐标系中，要想表示一个点的具体位置，就要用它的坐标来表示，要想写出一个点的坐标，应过这个点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a，垂足N在y轴上的坐标是b，我们说点A的横坐标是a，纵坐标是b，那么有序数对（a,b）叫做点A的坐标.记作:A(a,b).用(a，b)来表示，需要注意的是必须把横坐标写在纵坐标前面，所以这是一对有序数。 注：①写点的坐标时，横坐标写在前面，纵坐标写在后面。横、纵坐标的位置不能颠倒。 ②由点的坐标的意义可知：点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|示点到x轴的距离。 知识点三：点坐标的特征 l.四个象限内点坐标的特征： 两条坐标轴将平面分成４个区域称为象限，按逆时针顺序分别叫做第一、二、三、四象限，如图2．这四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）． 2.数轴上点坐标的特征： x轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a,0）； y轴上的点的横坐标为0，可表示为(0,b)． 注意：x轴，y轴上的点不在任何一个象限内，对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，在坐标轴上。坐标轴上的点不属于任何一个象限，这一点要特别注意。
幂的运算的重难点解析 幂的运算有加减、乘除、乘方的运算类型，运算时幂的运算总是转化成指数的运算。如果把运算中加减看作第一级运算；乘除看作第二级运算；乘方看作第三级运算；那么幂的运算 降一级 指数的运算，比如同底数幂的乘法除法降一级 指数的加减法 ，幂的乘方降一级 指数的乘法 ，掌握了这一规律，各条运算性质就容易记忆，且不会相互混淆. 幂幂的运算中的方法与技巧 类型 一：熟练使用 公式，正确进 行各种计算 注意：运算时首先确定所含运算类型，理清运算顺序，用准运算法则 （1）（-5）5×（-5）3 （2）x m-1 · x m+1 （3）-x 2 ·x 3 (4) 7×73×72 （5）4)(p p -?- （6）4 3)10( （7） －（2a 2）3 （8） （-43 2 ) a （9） 4 3 32??????????? ?? （10）[（x 2）3]7 ； （11）412÷43 （12）(－21)4÷(－2 1 )2（次数较低的幂要算出最后结果） （13）(－3a )5÷(－3a ) （14）(－xy )7÷(－xy )2 （利用积的乘方化到最后） （15）3 2m +1 ÷3m -1 （16）643)2()2()2(b a b a b a -÷-?- 类型二：逆用公式进行计算 逆向公式①n m n m a a a ?=+ ②n m n m a a a ÷=- ③()() m n n m mn a a a == 例1.已知2m =4，2n =16.求①2m+n 的值．②2m-n 的值．③m 32的值．④n m +32 的值 解析：①已知2m =4，2n =16.而求2m+n 的值,?运用公式a m+n ＝a m ·a n 可以把.2m+n 转化为2m ·2n
平面直角坐标系提升练习 热身题：如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的线路移动． （1）a= ，b= ，点B的坐标为； （2）当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； （3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时， 求点P移动的时间． 题型一:已知面积求点的坐标 1．已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3） … （1）在坐标系中描出各点，画出△ABC．（2）求△ABC的面积； （3）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等， 求点P的坐标． 2、已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）． （1）求△ABC的面积是多少 （2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且S △ACP =2S △ABC ，求点P的坐标 / （3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且S △BCQ =2S △ABC ，求点Q的坐标
3、如图，在平面直角坐标系2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． （1）直接写出点B和点C的坐标B（，）、C（，）； （2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围； （3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S △APD =S ABOC ，若存在，请 求出t值，若不存在，请说明理由． 】 3、点P（x，y）在第一象限，且x+y=8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S． （1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围； （2）当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少 （3）当S=12时，求点P的坐标； （4）△OPA的面积能大于24吗为什么 { 4、如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0 （1）求a、b、c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
平面直角坐标系教案（1） 【教学目标】 1、认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系； 2、在给定的直角坐标系中，能由点的位置写出点的坐标（坐标都为整数）； 3、渗透数形结合的思想； 4、通过介绍数学家的故事，渗透理想和情感的教育． 【重点难点】 重点：认识平面直角坐标系。 难点：根据点的位置写出点的坐标。 【教学准备】 教师：收集有关法国数学家笛卡儿的有关资料（也可以将有关的直角坐标系制作成课件）。【教学过程】 一、情境导入 1、在一条笔直的街道边，竖着一排等距离的路灯，小华、小红、小明的位置如图1所示，你能根据图示确切地描述他们三个人的位置关系吗？ 在学生进行叙述后，教师可以抓住以什么为“基准”，并借助于数轴来处理这个问题，从而进入课题． 设计意图：学生可以以其中的一人为基准进行描述，其目的是为数轴上的点的坐标的确定做准备。 2、如果我们画一条数轴，取小红的位置为原点，取向右的方向为正方向，取两盏路灯间的距离为一个单位长度，那么小华的位置（A）就可以用－3来表示，小明的位置（B）就可以用6来表示（如图2).此时，我们说点A在数轴上的坐标是－3，点B在数轴上的坐标是6．这样数轴上的点的位置与坐标之间就建立了对应关系．
设计意图：将数轴上点的坐标的概念学习置于具体的问题情境中。 问题：(1)在上述情境中，如果小兵位于小明左侧的第二盏路灯处，你能说出小兵在数轴上对应的点的坐标吗？ (2)如果小兵站在一个长方形的操场上，你用什么方法可以确定小兵的位置？ (3)如果小兵站在一个大操场上，你用什么方法可以确定小兵的位置？ 设计意图：三个问题的安排有一定的层次性，为下一步引出平面直角坐标系作铺垫。 二、探究新知 1、平面直角坐标系的引入 对于上述第(2)个问题，我们可以用图3来表 示：这时，小兵(P)的位置就可以用两个数来表 示．如点P离AB边1 cm，离AD边1. 5 cm，如 果1 cm代表20 m，那么小兵离AB边20 m，离AD 边30 m. 对于上述第(3)个问题，我们是否也可以借助 于这样的一些线来确定小兵的位置呢？我们在小兵所在的平面内画上一些方格线（如图4)，利用上节课所学的知识，就可以解决这个问题了． （然后由学生回答这个问题的解决过程） 受上述方法的启发，为了确定平面内点的位置，我们可以画一些纵横交错的直线，便于标记每一条直线的顺序，我们又可以以其中的两条为基准（如图5).
7.1．1有序数对 【教学目标】 1、理解有序数对的意义。 2、能用有序数对表示实际生活中物体的位置 3、经历用有序数对表示位置的过程，体验数、符号是描述世界的重要手段，体验数形结合思想 【教学重点】利用有序数对准确地表示出一个点的位置 【教学难点】有序数对中有序的理解 教学过程 一、导入新知 问题：如果老师要提问同学（下面为某教室平面图） 1、只给一个数据“第3列”，你能确定回答问题的同学的位置吗？ 2、给两个数据“第3列第2排”，你能确定该同学的位置吗？ 3、你认为在平面中需要几个数据才能确定一个位置？ 二、探究新知 通过找“列数”和“排数”的交叉点，我们就能找个具体的位置。 问题1、（约定“列数”在前，“排数”在后） （1） 请在教室内找到下表用数对表述的位置。 （2）观察上面四组数对以及他们所对应的位置，思考：1，3和3，1表示的是不是同一位置？ 归纳：有顺序的两个数a 与b 组成的数对，如果约定了前面的数表示“列数”，后面的数
表示“排数”，那么a与b组成的数对就表示一个确定的位置。我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。像表格中的数对可以记作（1，3）、（5，2）（3，6）。 问题2：利用有序数对可以准确表示一个位置，你能举出生活中用有序数对表示地理位置的例子吗？ 三、应用新知 游戏情境：下面我们通过游戏来加强同学们对有序数对的了解。约定“列数”在前，“排数”在后，请找出与以下有序数对相对用的同学（1，5)），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（7，3），看看叫什么名字？ 练习1、根据左下图例子（3，2），口答其他圆点的有序数对？ 练习2、如右下图，红马的位置是（2，1），你能表示出红帅、红车、红炮的位置吗？ 练习3、如果将一张“12排10号”的电影票记为（12，10），那么（10，12）的电影票表示的位置是，“6排25号”简单记为 练习4、下列数据不能确定物体位置的是（） A、希望路25号 B、北偏东30° C、东经118°，北纬40° D、西南方向50米处 四、总结提升：本节课主要学习了有序数对 1、什么叫做有序数对？ 2、注意的问题：（1）表示平面内的点的位置可以用有序数对；（2）有序数对用符号表示时，中间用逗号隔开，外边必须加小括号。 五、精留作业 课本65页第1题 课本68页第1题
幂的运算 一、知识网络归纳 二、学习重难点 学习本章需关注的几个问题： ●在运用n m n m a a a +=?（m 、n 为正整数），n m n m a a a -=÷（0≠a ，m 、n 为正整数且m ＞n ），mn n m a a =)(（m 、n 为正整数），n n n b a ab =)(（n 为正整数），)0(10≠=a a ，n n a a 1 = -（0≠a ，n 为正整数）时，要特别注意各式子成立的条件。 ◆上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母，它还可以表示一个单项式，甚至还可以表示一个多项式。换句话说，将底数看作是一个“整体”即可。 ◆注意上述各式的逆向应用。如计算20052004425.0?，可先逆用同底数幂的乘法法则将20054写成442004?，再逆用积的乘方法则计算 11)425.0(425.02004200420042004==?=?，由此不难得到结果为1。 ◆通过对式子的变形，进一步领会转化的数学思想方法。如同底数幂的乘法
就是将乘法运算转化为指数的加法运算，同底数幂的除法就是将除法运算转化为指数的减法运算，幂的乘方就是将乘方运算转化为指数的乘法运算等。 ◆在经历上述各个式子的推导过程中，进一步领悟“通过观察、猜想、验证与发现法则、规律”这一重要的数学研究的方法，学习并体会从特殊到一般的归纳推理的数学思想方法。 一、同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 公式表示为：()m n m n a a a m n +?=、为正整数 2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 () m n p m m p a a a a m n p ++??=、、为正整数 注意点： （1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数. （2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算. 例题： 例1：计算列下列各题 （1） 34a a ?； （2） 23b b b ?? ； （3） ()()()2 4 c c c -?-?- 简单练习： 一、选择题 1. 下列计算正确的是( ) A.ａ2+ａ3=ａ5 B.ａ2·ａ3=ａ5 C.3m +2m =5m D.ａ2+ａ2=2ａ4 2. 下列计算错误的是( ) A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2 B.ａm +ａm =2ａm C.3m +2m =5m D.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m 3. 下列四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ 5 ④ p 2+p 2+p 2=3p 2 正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4. 下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是( ) A.100×102=103 B.1000×1010=103 C.100×103=105 D.100×1000=104 二、填空题 1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。 2、 b 2·b ·b 7 =________。 3、103·_______=1010 4、(-ａ)2·(-ａ)3·ａ5 =__________。 5、ａ5·ａ( )=ａ2·( ) 4=ａ18 6、(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5 =__________。 中等练习： 1、 (-10)3·10+100·(-102 )的运算结果是( ) A.108 B.-2×104 C.0 D.-104
点的存在性问题（运动性）1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-5,0），B（5.0），D（2，7），（1）求C点的坐标； （2）动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动，同时动点Q从C 点出发也以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴方向运动（当P点运动到A点时，两点都停止运动）。设从出发起运动了x秒。 ①请用含x的代数式分别表示P,Q两点的坐标； ②当x=2时，y轴上是否存在一点E，使得△AQE的面积与△APQ的面积相等？若存在，求E的坐标，若不存在，说明理由？ 2、（1）在平面直角坐标系中，如图1，将线段AB平移至线段CD，连接AC、BD。 ①直接写出图中相等的线段、平行的线段； ②已知A（-3,0）、B（-2，-2），点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，且=5，求点C、D的坐标； （2）在平面直角坐标系中，如图，已知一定点M（1,0），两个动点E（a，2a+1）、F（b，-2b+3），请你探索是否存在以两个动点E、F为端点的线段EF平行于线段OM且等于线段OM。若存在，求以点O、M、E、F为顶点的四边形的面积，若不存在，请说明理由。 3、如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒m个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒n个单位长度沿y轴的正方向运动。 （1）若|x+2y-5|+|2x-y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标。 （2）如图，设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角平分线相交于点P，问：点A、B 在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若
发生变化，请说明理由。 （3）如图，延长BA 至E ，在∠ABO 的内部作射线BF 交x 轴于点C ，若∠EAC 、∠FCA 、∠ABC 的平分线相交于点G ，过点G 作BE 的垂线，垂足为H ，试问∠AGH 和∠BGC 的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由。 9、在直角坐标系中，A （-4，0），B （2，0），点C 在y 轴正半轴上，18ABC S =V ， （1）求点C 的坐标； （2）是否存在位于坐标轴上的点P ，使得12 APC ABC S S =V V 。若存在，请求出P 的坐标，若不存在，说明理由。 10、在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（-1，0），（3，0），现同时将点A 、B 分 别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A 、B 的对应点C 、D ，连接AC 、BD 。 （1）求点C 、D 的坐标及四边形ABDC 的面积； （2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA 、PB ，使12 APB ABDC S S =V 四，若存在这样的点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由。 11、如图，已知长方形ABCO 中，边AB=8，BC=4。以O 为原点，OAOC 所在的直线为y 轴和x 轴建立直角坐标系。 （1）点A 的坐标为（0，4），写出B 、C 两点的坐标； （2）若点P 从C 点出发，以2单位/秒的速度向CO 方向移动（不超过点O ）,点Q 从原点O 出发，以1单位/秒的速度向OA 方向移动（不超过点A ），设P 、Q 两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ 的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。
平面直角坐标系 二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点： 平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。 三、各象限的角平分线上的点的坐标特点： 第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同； 第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。 四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点： 关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数 关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数 关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数 五、特殊位置点的特殊坐标： 七、用坐标表示平移：见下图 例1、平面点的坐标是（） A 一个点 B 一个图形 C 一个数对 D 一个有序数对 学生自测 1．在平面要确定一个点的位置，一般需要________个数据； 在空间要确定一个点的位置，一般需要________个数据． 2、在平面直角坐标系，下列说法错误的是（） A 原点O不在任何象限 B 原点O的坐标是0 C 原点O既在X轴上也在Y轴上 D 原点O在坐标平面 知识二、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标 点在x轴上，坐标为（x,0）在x轴的负半轴上时，x<0, 在x轴的正半轴上时，x>0 点在y轴上，坐标为（0,y）在y轴的负半轴上时，y<0, 在y轴的正半轴上时，y>0 第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同(即在y=x直线上)；坐标点（x，y）xy>0 第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反(即在y= -x直线上)；坐标点（x，y）xy<0 平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。
例1 点P 在x 轴上对应的实数是-3，则点P 的坐标是 ，若点Q 在y 轴上 ，对应的实数是3 1，则点Q 的坐标是 ， 例2 点P （a-1，2a-9）在x 轴上，则P 点坐标是 。 学生自测 1、点P(m+2,m-1)在y 轴上,则点P 的坐标是 . 2、已知点A （m ，-2），点B （3，m-1），且直线AB ∥x 轴，则m 的值为 。 3、 已知:A(1,2),B(x,y),AB ∥x 轴,且B 到y 轴距离为2,则点B 的坐标是 . 4．平行于x 轴的直线上的点的纵坐标一定（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．相等 D ．互为相反数 (3)若点(a ,2)在第二象限,且在两坐标轴的夹角平分线上,则a= . (3)已知点P （3-x ，1）在一、三象限夹角平分线上，则x= . 5．过点A （2，-3）且垂直于y 轴的直线交y 轴于点B ，则点B 坐标为（ ）． A ．（0，2） B ．（2，0） C ．（0，-3） D ．（-3，0） 6．如果直线AB 平行于y 轴，则点A ，B 的坐标之间的关系是（ ）． A ．横坐标相等 B ．纵坐标相等 C ．横坐标的绝对值相等 D ．纵坐标的绝对值相等 知识点三：点符号特征。 点在第一象限时，横、纵坐标都为 ，点在第二象限时，横坐标为 ，纵坐标为 ，点有第三象限时，横、纵坐标都为 ，点在第四象限时，横坐标为 ，纵坐标为 ；y 轴上的点的横坐标为 ，x 轴上的点的纵坐标为 。 例1 .如果a －b ＜0,且ab ＜0,那么点(a ，b)在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限, D 、第四象限. 例2、如果x y ＜0，那么点P （x ，y ）在（ ） (A) 第二象限 (B) 第四象限 (C) 第四象限或第二象限 (D) 第一象限或第三象限学生自测 1.点Ｐ的坐标是（２，－３），则点Ｐ在第 象限． 2、点P （x ，y ）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则P 点的坐标是 。 3．点 A 在第二象限 ，它到 x 轴 、y 轴的距离分别是3、2，则A 坐标是 ； 4. 若点Ｐ（x ，y ）的坐标满足xy ﹥０，则点Ｐ在第 象限； 若点Ｐ（x ，y ）的坐标满足xy ﹤０，且在x 轴上方，则点Ｐ在第 象限． 若点P （a ，b ）在第三象限，则点P ＇（－a ，－b ＋1）在第 象限； 5．点(x ，1-x )不可能在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6．（本小题12分）设点P 的坐标（x ，y ），根据下列条件判定点P 在坐标平面的位置： （1）0xy =；（2）0xy >；（3）0x y +=．
……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 七年级下册幂的运算常考题型 一．填空题（共27小题） 1．（2014?汉沽区一模）计算（2ab2）3的结果等于_________． 2．（2006?杭州）计算：（a3）2+a5的结果是_________． 3．已知（a﹣3）a+2=1，则整数a=_________． 4．若a m=2，a n=3，则a2m+n=_________． 5．若3m?32n=81，则m+2n=_________． 6．已知3m=a，81n=b，那么3m﹣4n=_________． 7．已知：（x+2）x+5=1，则x=_________． 8．若（x﹣1）x+1=1，则x=_________． 9．多项式﹣5（ab）2+ab+1是_________次_________项式． 10．（﹣x）10÷（﹣x）5÷（﹣x）÷x=_________． 11．若52x+1=125，则（x﹣2）2012+x=_________． 12．a m?a n=a m+n也可以写成以a m+n=a m?a n（m、n是正整数），请你思考：已知a m=8，a n=32，则a m+n=_________．13．已知a3n=4，则a6n=_________． 14．若x2=24，则x=_________． 15．（2008?清远）计算：（π﹣3）0+2﹣1=_________． 16．如果2x=5，2y=10，则2x+y﹣1=_________． 17．=_________；4101×0.2599=_________． 18．（2014?鄞州区模拟）计算2x2?（﹣3x3）的结果是_________． 19．如果x n﹣2?x n=x2，则n=_________． 20．若2×8n×16n=222，则n=_________． 21．若x m=5，x n=7，则x2m+n=_________． 22．计算（﹣x）2?（﹣x）3?（﹣x）4=_________．
第六章平面直角坐标系 一、基础知识 1：有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对（ordered pair）,记作（a,b） 利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。 常见的确定平面上的点位置常用的方法 （1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。 （2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。 2：直线上点的位置：在一条直线上规定了原点，正方向和单位长度，就得到一个数轴，这时，数轴上的点就可以用一个数表示，这个数叫做点的坐标。 3：平面直角坐标系：平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系（rectangular coordinate system）.水平的数轴称为x轴（x-axis）或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴（y-axis）或纵轴，取向上方向为正方向；两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 点的坐标：我们用一对有序数对表示平面上的点，这对数叫坐标。表示方法为（a,b）.a是点对应横轴上的数值，b是点在纵轴上对应的数值。 建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。 4.由坐标确定点的方法:要确定由坐标（a,b）所表示的点P的位置，先在x轴上找到表示a的点，过这点做x轴的垂线，再在y轴上找到表示b的点，过这点作y轴的垂线，两条垂线的交点为P. 5由点求坐标的方法：先由已知点P分别向x轴和y轴作垂线，设垂足分别为A和B，再求出A在x 轴上的坐标a和B在y轴上的坐标b,则P的坐标为P(a,b). 6关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标：关于x轴对称的点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，其横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于原点对称的点，其横坐标，纵坐标均互为相反数。设点P(a,b),它关于x轴对称的点的坐标为（a,-b）,关于y轴对称点的坐标为（-a,b），关于原点对称点的坐标为（-a,-b）.反之亦成立。 7用坐标表示地理位置的过程 （1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； （2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； （3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 8用坐标表示平移的方法 规律：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）（或（x-a ，y ）；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）（或（x ，y-b ）． 二、精典题 一.选择部分 1点P（m，1）在第二象限内，则点Q（-m，0）在（） （A）x轴正半轴上（B）x轴负半轴上（C）y轴正半轴上（D）y轴负半轴上 2.（2008年南昌）若点A(2、n)在x轴上则点B(n-2 ，n+1)在（）
平面直角坐标系 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么你的位置可以表示成（ ） A ．（5，4） B ．（4，5） C ．（3，4） D ．（4，3） 小华小军 小刚 （第1题图） （第2题图） 2．如图，下列说法正确的是（ ） A ．A 与D 的横坐标相同。 B ． C 与 D 的横坐标相同。 C ．B 与C 的纵坐标相同。 D ．B 与D 的纵坐标相同。 3．若x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则点P 的坐标为（ ） A ．（3，0） B ．（3，0）或（–3，0） C ．（0，3） D ．（0，3）或（0，–3） 4．如果点P （5，y ）在第四象限，则y 的取值范围是（ ） A ．y ＜0 B ．y ＞0 C ．y ≤0 D ．y ≥0 5．线段CD 是由线段AB 平移得到的。点A （–1，4）的对应点为C （4，7），则点B （– 4，– 1）的对应 点D 的坐标为（ ） A ．（2，9） B ．（5，3） C ．（1，2） D ．（– 9，– 4） 6．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（– 1，– 1）、（– 1，2）、（3，– 1），则第四个顶点的 坐标为（ ） A ．（2，2） B ．（3，2） C ．（3，3） D ．（2，3） 二、填空题（每小题3分，共12分） 7．如图是小刚画的一张脸，他对妹妹说“如果我用（1，3）表示左眼，用（3，3）表示右眼，那么嘴的 位置可以表示成 。 8．点A 在x 轴上，位于原点的右侧，距离坐标原点5个单位长度，则此点的坐标为 ；点B 在 y 轴上，位于原点的下方，距离坐标原点5个单位长度，则此点的坐标为 ；点C 在y 轴左侧，在x 轴下方，距离每个坐标轴都是5个单位长度，则此点的坐标为 。 （第7题图） （第10题图） 9．小华将直角坐标系中的猫的图案向右平移了3个单位长度，平移前猫眼的坐标为（– 4，3）、（– 2，3）， 则移动后猫眼的坐标为 。 10．如图，小强告诉小华图中A 、B 两点的坐标分别为（– 3，5）、（3，5），小华一下就说出了C 在同一坐 标系下的坐标 。 三、解答题（每小题10分，共30分） 11．如图，这是某市部分简图，请以火车站为坐标原点建立平面直角坐标系，并分别写出各地的坐标。
《幂的运算》提高练习题 一、选择题 1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（） A、﹣299 B、﹣2 C、299 D、2 2、当m是正整数时，下列等式成立的有（） （1）a2m=（a m）2；（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=（﹣a m）2；（4）a2m=（﹣a2）m． A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 3、下列运算正确的是（） A、2x+3y=5xy B、（﹣3x2y）3=﹣9x6y3 C 、D、（x﹣y）3=x3﹣y3 4、a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（） A、a n与b n B、a2n与b2n C、a2n+1与b2n+1 D、a2n﹣1与﹣b2n﹣1 5、下列等式中正确的个数是（） ①a5+a5=a10；②（﹣a）6（﹣a）3a=a10；③﹣a4（﹣a）5=a20； ④25+25=26． A、0个 B、1个 C、2个 D、3个二、填空题 6、计算：x2x3=_________；（﹣a2）3+（﹣a3）2= _________． 7、若2m=5，2n=6，则2m+2n=_________． 三、解答题 8、已知3x（x n+5）=3x n+1+45，求x的值。 9、若1+2+3+…+n=a， 求代数式（x n y）（x n﹣1y2）（x n﹣2y3）…（x2y n﹣1）（xy n）的值．10、已知2x+5y=3，求4x32y的值．
11、已知25m210n=5724，求m、n． 12、已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值． 13、若x m+2n=16，x n=2，求x m+n的值． 14、比较下列一组数的大小．8131，2741，96115、如果a2+a=0（a≠0），求a2005+a2004+12的值． 16、已知9n+1﹣32n=72，求n的值． 18、若（a n b m b）3=a9b15，求2m+n的值． 19、计算：a n﹣5（a n+1b3m﹣2）2+（a n﹣1b m﹣2）3（﹣b3m+2）
1 2 345 6 7 654 321 纵排 横排 有序数对 【教学目标】 1、理解有序数对的意义。 2、能用有序数对表示实际生活中物体的位置 3、经历用有序数对表示位置的过程，体验数、符号是描述世界的重要手段，体验数形结合思想 【教学重点】利用有序数对准确地表示出一个点的位置 【教学难点】有序数对中有序的理解 教学过程 一、自主学习 问题：如果老师要提问同学（下面为某教室平面图） 1、只给一个数据“第3列”，你能确定回答问题的同学的位置吗？ 2、给两个数据“第3列第2排”，你能确定该同学的位置吗？ 3、你认为在平面中需要几个数据才能确定一个位置？ 二、合作探究 通过找“列数”和“排数”的交叉点，我们就能找个具体的位置。 问题1、（约定“列数”在前，“排数”在后） （1） 请在教室内找到下表用数对表述的位置。 数对 列数 排数 列数 排数 1，3 3，1 4，6 6，4 2，5 5，2 3，6 6，3 （2）观察上面四组数对以及他们所对应的位置，思考：1，3和3，1表示的是不是同一位置？ 归纳：有顺序的两个数a 与b 组成的数对，如果约定了前面的数表示“列数”，后面的数表示“排数”，那么a 与b 组成的数对就表示一个确定的位置。我们把这种有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b ）。像表格中的数对可以记作（1，3）、（5，2）（3，6）。 问题2：利用有序数对可以准确表示一个位置，你能举出生活中用有序数对表示地理位置的例子吗？ 三、巩固训练， 游戏情境：下面我们通过游戏来加强同学们对有序数对的了解。约定“列数”在前，“排数”在后，
B A 请找出与以下有序数对相对用的同学 （1，5)），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（7，3），看看叫什么名字？ 练习1、根据左下图例子（3，2），口答其他圆点的有序数对？ 练习2、如右下图，红马的位置是（2，1），你能表示出红帅、红车、红炮的位置吗？ 练习3、如果将一张“12排10号”的电影票记为（12，10），那么（10，12）的电影票表示的位置是 ，“6排25号”简单记为 练习4、下列数据不能确定物体位置的是（ ） A 、希望路25号 B 、北偏东30° C 、东经118°，北纬40° D 、西南方向50米处 四、课堂小结：本节课主要学习了有序数对 1、什么叫做有序数对？ 2、注意的问题：（1）表示平面内的点的位置可以用有序数对；（2）有序数对用符号表示时，中间用逗号隔开，外边必须加小括号。 平面直角坐标系（1） 【教学目标】 1、掌握平面直角坐标系的有关概念；了解点的坐标的意义 2、根据点的位置写出点的坐标，能建立平面直角坐标系，并根据坐标找点； 3、通过建立平面直角坐标系的过程，进一步渗透数形结合的思想 【教学重点】平面直角坐标系和点的坐标 【教学难点】在平面直角坐标系中根据点的位置写出点的坐标，由坐标描出点 教学过程 一、自主学习 问题:(1)什么是数轴，画出数轴. (2)指出课本图6.1.2中A 、B 点所表示的数是什么?并在数轴上描出“-3 ”表示的点在数轴上的位置.