高二数学 等差数列的概念及其性质
【基础知识回顾】
1.数列
数列的通项公式：???≥-===-)2()1(111n S S n S a a n n
n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++=Λ321 2.等差数列
1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
2) 等差数列的判定方法:
（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
3) 等差数列的通项公式：
如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。
说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。
4) 等差数列的前n 项和：① 2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2
)1(1-+= 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。
5) 等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2
b a A +=或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
6) 等差数列的性质：
（1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=[来源:Z*xx*https://www.doczj.com/doc/d812839530.html,]
（2）对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，
则q p m n a a a a +=+。2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =+ 也就是：ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a ，如图所示：444484444764443
44421Λn n a a n a a n n a a a a a a ++---11
2,,,,,,12321 （3）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。如下
图所示：
4444444444484444444444476443
4421Λ4434421Λ444344421Λk k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++
例7.等差数列{a n }中，已知113
a =，6113a =，a n =33，则n 为（ ） (A)48 (B)49 (C)50 (D)51
例12.已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++=L ,则有( )
1101()0A a a +> 2100()0B a a +< 399()0C a a += 51()51D a =
例13. 已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 232
-=， 求证:数列{}n a 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式
.解：12311=-==S a ,
当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足
∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n
∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n
【考点例题解析】
考点1计算求值
例1．在数列{an}中，a 1=2，2a n +1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
例2.已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )
( )
A 15
B 30
C 31
D 64
变式
1．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）
A ．92
B ．47
C ．46
D ．45
2. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（
） A.d ＞38 B.d ＜3 C. 38≤d ＜3 D.38
＜d ≤3
考点2等差数列性质
例1.等差数列{}n a 中，已知3
1a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51
例2.等差数列{an}中，a1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和Sn=100,则n=（ ）
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
例3.设Sn 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935
,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．
21
变式
1.已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )
A ．α1＋α101＞0
B ．α2＋α100＜0
C ．α3＋α99＝0
D ．α51＝51
2.如果
1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）
1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a
考点3前N 项和
例1.等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=L ，98n n n a a a q --+++=L ，则其前n 项和n S = ．
例2.等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，若2462,10,S S S ==则等于（ ）
A ．12
B ．18
C ．24
D ．42
例3.若等差数列共有12+n 项()*
N n ∈，且奇数项的和为44，偶数项的和为33， 则项数为 （ ）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
变式
1.设等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=
2.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n n S T ，，已知73n n
S n T n =+，则55a b 等于（ ）
Ａ．7 Ｂ．2
3 Ｃ．278 Ｄ．214
考点4.综合 例1.设等差数列{an}的首项a1及公差d 都为整数，前n 项和为Sn.
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an ｝的通项公式；
(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an ｝的通项公式.
例2.已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为
'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。 (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)设
1n n n a a 3b +=
,n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；
变式
1、设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77=S ，
7515=S ，n T 为数列??????n S n 的前n 项和，求n T 。
2、已知
{}n a 是等差数列，21=a ，183=a ；{}n b 也是等差数列，4a 22=-b ，3214321a a a b b b b ++=+++。 （1）求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S 的公式；
（2）数列{}n a 与{}n b 是否有相同的项？ 若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。
【课后作业】
1、等差数列}{n a 的前三项依次为x ，12+x ，24+x ，则它的第5项为（ ）
A 、55+x
B 、12+x
C 、5
D 、4
2、设等差数列}{n a 中，17,594==a a ,则14a 的值等于（ ）
A 、11
B 、22
C 、29
D 、12
3、设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，
则111213a a a ++=( )
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75
4、若等差数列}{n a 的公差0≠d ，则 （ ）
（A ） 5362a a a a > （B ） 5362a a a a <
（C ） 5362a a a a = （D ） 62a a 与53a a 的大小不确定
5、 已知{}n a 满足，对一切自然数n 均有1n n a a +>，且2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）
Ａ．0λ> Ｂ．0λ< Ｃ．0λ= Ｄ．3λ>-
6、等差数列{}d a a a d a a n 成等比数列，则若公差中，5211,,,0,1≠=为 （ ）
(A) 3 (B) 2 (C) 2- (D) 2或2-
7、在等差数列{}n a 中，)(,q p p a q a q p ≠==，则=+q p a
A 、q p +
B 、)(q p +-
C 、0
D 、pq
8、设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是
A 、1
B 、2
C 、4
D 、8
9、已知为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于（ ）
A. -1
B. 1
C. 3
D.7
10、已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝
A.－2
B.－12
C.1
2 D.2
11、在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S9等于 （ ）
A ．18
B 27
C 36
D 9
12、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）
A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
13、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ， 则=n 。
14、数列{}n a 是等差数列，它的前n 项和可以表示为 （ ）
A. C Bn An S n ++=2
B.
Bn An S n +=2 C. C Bn An S n ++=2()0≠a D. Bn An S n
+=2()0≠a
15、已知数列
{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。 （1）求
{}n a 的通项n a ；（2）求{}n a 前n 项和n S 的最大值。
等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 . （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． ` （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 ？ （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座28）—数列概念及等差数列 一．课标要求： 1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数； 2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式； 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系。 二．命题走向 数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。 预测07年高考： 1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题。 三．要点精讲 1．数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当
等差等比数列的性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间 项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
等差数列的定义及性质 ?等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a n+1-a n=d。 ?等差数列的性质： （1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则a m＝a n+(m-n)d； （4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a s+a t=a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a s+a t=2a p； （5）若数列｛a n｝，｛b n｝均是等差数列，则数列｛ma n+kb n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。 （6） （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）仍为等差数列，公差为
?对等差数列定义的理解： ①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同 一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． ②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数 列；当d<0时，数列为递减数列； ④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据； ⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。 等差数列求解与证明的基本方法： (1)学会运用函数与方程思想解题； (2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键； (3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，a n，S n，知道其中任意三 个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1. 准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解 决等差数列的相关问题 2. 通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生 对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力 3?激情参与、惜时高效，禾U 用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值 【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用 【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用 【学法指导】 1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法 ； 2.完成教材助读设置的问题，然后结 合课本的基础知识和例题，完成预习自测； 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑” 一、知识温故 1?数列有几种表示方法？ 2?数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？ 教材助读 1?一般地，如果一个数列从第 ________ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ___________ ，公差通常用字母 ___________________________ 表示。 2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a 与b 的等差数列即 3. 如果数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则a 2 a 1 a 5 a 1 4.通项公式为a n =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗? ,a 3 a 1 a 4 a 1 1. 等差数列a 2d , a ,a 2d ?' A . a n a (n 1)d B. C . a n a 2(n 2)d D. 2.已知数列｛, a n } 的通项公式为 a n A . 2 B. 3 C. 2 3. 已知a 1 b - 1 ?的通项公式是（ a (n 3)d a 2nd 2n ，则它的公差为（ D. 3 ，则a 与b 的等差中项为 【预习自测】 a n a n
等差数列 一、等差数列的定义以及证明方法： 1、定义：若数列{a n }中，对于任意两项a n ，a n -1均有：a n -a n -1=d （d 为常数），则数列{a n }为等差数列. 注意一些等差数列的变形形式，如： 111n n d a a +-=（d 为常数，此时，数列{1 n a }为等差数列） d =(d 为常数，此时，数列??为等差数列) …… 2、证明方法： （1）定义法：若数列{a n }中，对于任意两项a n ，a n -1均有：a n -a n -1=d （d 为常数），则数列{a n }为等差数列. （2）等差中项法：2a n+1=a n +a n+2 （3）通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n =pn+q 的一次函数，则数列{a n }为等差数列. （4）若数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ，则数列{a n }为等差数列. 【例题1】【2013年，北京高考（文）】给定数列a 1，a 2，a 3，……，a n ，……，对i =1，2，……，n-1，该数列的前i 项的最大值记为A i ，后n –i 项a i+1，a i +2，……，a n 的最小值记为B i ，d i =A i –B i . (I)设数列{a n }为3，4，7，1，求d 1，d 2，d 3的值. (II)设d 1，d 2，……，d n -1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，a 3，……，a n -1是等差数列.
3、等差数列的通项公式： （1）等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d 累加法和逐项法：对于形如() 1n n a a f n --=的形式，我们一般情况下，可以考虑使用逐项法或者累加法，从而达到求a n 的目的. 变形形式： a n =a m +(n-m )d 由以上公式可以得到：n m a a d n m -= - （2）等差数列通项公式的一些性质： ①若实数m,n,p,q 满足：m+n=p+q ，则：n m p q a a a a +=+；特别的，若m+n=2p ，则： 2n m p a a a +=； ②若数列{a n }为等差数列，则下标成等差数列的新数列仍然成等差数列； ③若数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等差数列，则数列{pa n +qb n }还是等差数列； ④当d >0时，{a n }为递增数列；当d =0时，数列{a n }为常数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列； 【例题1】【2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末考试，3】在等差数列{}n a 中,首项 01=a ,公差,0≠d 若7321a a a a a k ++++=Λ,则k =（ ） A . 22 B . 23 C . 24 D. 25 【变式训练】【2015届吉林省东北师大附中高三上学期第三次摸底考试，3】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若151,15a S ==，则6a 等于 （ ） A .8 B .7 C .6 D .5 4、等差数列的求和问题：——方法：倒序相加 ()()()111111222 n n n n n n S a a a a n d na d -= +=++-=+???? （1）在等差数列{a n }中，k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列；或者：()233k k k S S S -=； （2）奇偶项问题： 在等差数列中，若项数为偶数项，即：当n=2m （n,m ∈N*）时，有：S 偶-S 奇=md ， 1 = m m S a S a +奇偶；
等比数列与等差数列概念及性质对比 1．数列的定义 顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列． 数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的． 数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．2．等差数列的定义 顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列． 这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质． 3．等差数列的通项公式 等差数列的通项公式是：a n= a1＋（n－1）d ．① 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将a n看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具． 从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系． 4．等差中项 A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是： 2b a A + =，或2 A=a＋b． 显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或 2b a A + =）是判断三数a，A，b成等差数列 的一个依据，并且，2 A=a＋b（或 2b a A + =）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项． 值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或 2b a A + =）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b 与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a不是同一个数列． 5．等差数列前n项的和
课题§6.2.1 等差数列的概念说课稿 尊敬的各位领导各位老师 大家上午好！ 今天我说课内容是选自人教版数学（基础模块）下册第六章第二节《等差数列的概念》，本节是第一课时。下面我将从说教材、说学生、说教法与学法、说教学过程设计等方面来对本节课进行说明。 一、教材分析 1.教材的地位与作用 等差数列是数列这一章的重要内容之一，它在实际生活中有广泛的应用。本节内容是学生在学习了数列的有关概念的基础上，对数列的知识进一步深入学习和拓展。同时等差数列的学习也为今后继续学习等比数列提供了学习对比的依据。所以，本节课在知识结构上起着承上启下的作用。 2、教学目标 根据教学大纲与学生的实际情况我制定如下教学目标： 【知识目标】 a.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。 b. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题。 【能力目标】 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力；提高学生分析问题解决问题的能力。 【情感目标】 a．让学生体验从特殊到一般的认知规律，培养学生勇于创新的
科学精神。 b. 让学生养成细心观察、认真分析问题的良好的思维习惯。 3.教学重难点 【教学重点】 等差数列的概念和通项公式。 【教学难点】 等差数列的通项公式推导过程及灵活应用。 二、学情分析 中职学生数学基础比较薄弱，但作为高中生他们本身具备一定的观察，思考，分析能力。前面已对数列的知识有了初步的接触与认识，对数学公式运用已具备一定的技能，针对学生的这些情况我在教学中从学生的生活经验和已有的知识背景出发，充分调动学生的积极性，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位。 三、教法与学法 【教法分析】 本节课我采用启发式、小组探究法以及讲练结合的教学方法。通过问题激发学生求知欲，在教师的启发引导下，使学生主动参与数学实践活动，让学生去分析、探索，得到结论。从而使学生既获得知识又发展智能。通过讲练结合法可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 【学法分析】 在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去观察分析，探索新知。同时鼓励学生大胆质疑，学会探究，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学过程设计
等差数列的概念教案 【教学目标】 知识与技能： 1、理解等差数列的定义，能根据定义判断一个数列是否为等差数列； 2、了解公差的概念，会求一个给定等差数列的首项与公差； 3、理解等差中项的概念，会利用等差中项解决相应的简单的等差数列问题。 过程与方法： 1、通过对情景问题的分析理解和归纳概括，了解等差数列的简单产生过程； 2、通过解决基本等差数列问题的过程，加深对等差数列概念、公差、等差中项的理解； 情感态度与价值观： 1、通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察能力、分析探索能力激发学生积极思考，追求新知的创新意识； 2、通过解决等差数列概念的基本问题，培养学生分析问题解决问题的能力，提高学生的运算能力。 【教学重点】 1、理解等差数列的定义，理解等差中项的概念； 2、了解公差的概念，根据给定的等差数列求公差。 【教学难点】探索等差数列定义的形成过程。 【教学方法】情境教学法、自主探究法、讲练结合法 【教学用具】黑板电子白板
【教学课型】新授课 【教学设想】本课教学，重点是等差数列的概念，在讲概念时，通过创设情境引导学生分析出等差数列的特点，从而引出等差数列的定义，进一步引导学生通过定义来判断一个数列是否是等差数列。整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主，真正体现课堂教学中学生的主体作用。 【教学准备】 1、教师认真备课、制作课件、布置预习内容； 2、学生认真阅读课本内容，标出关键词以及不理解的地方，完成预习内容，做好上课准备。 【教学过程】 教学 环节 课前 预习学习内容 阅读书本P7-9内容，在等差数列定义中的关 键词下面用彩笔画线在现实生活中，我们会遇到下面的特殊数列。 活动一 情境1：我们经常这样数数，从0开始，每隔5 数一次，可以得到数列：0,5,,,,,…。 创设 情境2：2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会 情境
2.2 等差数列概念、通项公式、性质 第1课时 等差数列的概念及通项公式 题型一 等差数列的概念 例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，…. 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列 题型二 等差中项 例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列． 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 题型三 等差数列通项公式的求法及应用 例3 在等差数列{a n }中， (1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10. 跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项； (2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 等差数列的判定与证明 典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1. (1)证明：数列???? ??a n 3n 是等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式． 典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式． 【课堂练习】 1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13 的等差数列 C ．公差为－13 的等差数列 D ．不是等差数列 5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92 B ．47 C ．46 D ．45 1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)?{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)?{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)?{a n }是等差数列． 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可． 2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量. 【巩固提升】 一、选择题 1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52 B ．62 C ．－62 D ．－52 3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( )
2.2等差数列的概念及通项公式 【基础练习】 1.写出数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数 (1).1，3，5，7 (2).2，4，6，8 (3).4，7，10，13 (4).101，51，103，5 2 2.如果12+=n a n ，则____12=-a a ，____23=-a a ，____1=-+n n a a .根据其特点，你得出的结论是_____________. 3.某货运公司的一种计费标准是：1公里以内收费5元，以后每1公里收2.5元，如果运输某批货物80公里，那么需支付_______元运费. 4.已知数列{}n a 满足11=a ，11+=+n n a a ，求=n a _______. 5. .已知数列{}n a 满足11=a ， 1111=-+n n a a ，求n a . 【巩固练习】 1.已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 ( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 使首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （ ） A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 3.如果数列}{n a 是等差数列，则 （ ） A.5481a a a a +<+ B.5481a a a a +=+ C.5481a a a a +>+ D.5481a a a a = 4.在首项为81，公差为－7的等差数列{a n }中，最接近零的是第 （ ） A ．11项 B ．12项 C ．13项 D ．14项 5.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113 a a - 的值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6.等差数列{}n a 中，p a q =，q a p =（p q ≠），那么p q a +=
等差数列基础习题选（附有详细解答） 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11 A．25 B．24 C．20 D．19 A．5B．3C．﹣1 D．1 A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D． A．﹣1 B．1C．3D．7
14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（） A．B．C．D． 15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（） A．6B．7C．8D．9 16．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（） A．30 B．35 C．36 D．24 17．（2012?营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是A．5B．6C．5或6 D．6或7 A．58 B．88 C．143 D．176 A．﹣1 B．0C．1D．2 2 A．6B．7C．8D．9 2 A．4或5 B．5或6 C．4D．5 A．12 B．10 C．8D．4 A．230 B．140 C．115 D．95 A．5B．25 C．50 D．100 25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（） A．1B．2C．3D．4 A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项 二．填空题（共4小题）
台州市高三期未统考参考答案（文） 一、1—5 CAADD 6—10 CBBBC 二、11．21 12．3 π 13．3 14．20 三、15．(1)由题意得x x f 2sin 3)(=，则T π=；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 (2)由222,22k x k k Z π π ππ-+≤≤+∈，解得,44k x k k Z π π ππ-+≤≤+∈， 则()f x 的单调递增区间是,44k k k Z ππππ??-++∈???? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分 16． (1)由题意得2214a a a =,则()()21113a d a a d +=+, 解得21a d d = , ∵0d ≠ ∴1a d =；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 (2)∵101109101102 s a d ?=+=, ∵1a d = , ∴12a d == , ∴2n a n = ┅┅14分 17．（1）∵⊥1BB 面A 1B 1C 1D 1，⊥1DD 面A 1B 1C 1D 1，∴BP 在面A 1B 1C 1D 1的射影是B 1D 1，又∵1111C A D B ⊥ ∴PB ⊥A 1C 1；… 7分 （2）连结BC 1，PC 1，BC 1//AD 1，则1PBC ∠或其补角为PB 与AD 1所成的角，又2 22cos 1212121=?-+=∠BC BP PC BC BP BPC ，所以41π =∠PBC ；…14分 18．(1) P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3240x-5000 ([]1,20x N x ∈∈且)┅6分 (2) P ’(x)=-30x 2+90x+3240=-30(x+9)(x-12) ([]1,20x N x ∈∈且)┅9分 当1 等差数列的概念、性质 教学目标 教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系； 教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。 知识梳理 1. 等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。用递推关系系表示为()1n n a a d n N ++-=∈或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式 若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d =+- 3. 等差中项 如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项 4. 通项公式的变形 对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有： ()11p a a p d =+- ()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>= 5. 等差数列与函数的关系 由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。 6. 等差数列的性质及应用 （1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+= （2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数） （3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数） （4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数） （5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈ （6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列 （7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列 典例讲练 类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解 例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n = A.672 B.673 C.662 D.663 解析：由题意得()()1111334,n a a n d n n =+-=-+-?=-令2015n a =，解得673n = 答案：B 练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n = A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A 练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n = A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B 例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-6 解析：由题意知670,0a a ≥< 所以有 1152350 62360a d d a d d +=+≥+=+<解得 2323,456 d d Z d -≤<-∈∴=- 答案：C 练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D 练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 数列概念及等差数列 一．课标要求： 1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数； 2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式； 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系。 二．命题走向 数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。 预测2013年高考： 1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题。 三．要点精讲 1．数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为的项叫第项（也叫通项）记作； 数列的一般形式：，，，……，，……，简记作。 （2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如，数列①的通项公式是= （7，），数列②的通项公式是=（）。 说明：①表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式； ②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= =；③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 等差数列的性质、求和知识点及训练 重点：掌握等差数列的通项公式、求和公式以及等差中项的求法 难点:对等差数列的综合考察 一知识梳理 1.定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列 {} n a 是等差数列) 2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法 （1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列 {} n a 是等差数列) 2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）通常把题中条件转化成只含1a 和d 的等式！ 8.等差数列的性质： （1）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （2）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有 2m n p a a a +=. (3) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （公差为md ） 图示： m m m m m m S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++ 等差数列的性质以及常见题型 上课时间： 上课教师： 上课重点：掌握等差数列的常见题型，准确的运用等差数列的性质 上课规划：掌握等差数列的解题技巧和方法 一 等差数列的定义及应用 1.已知数列{}n a 的通项公式为23+-=n a n ，试问该数列是否为等差数列。 2.已知：z y x 1 ,1,1成等差数列，求证：z y x y x z x z y +++,,也成等差数列。 思考题型;已知数列{}n a 的通项公式为qn pn a n +=2（,,R q p ∈且p,q 为常数）。 （1)当p 和q 满足什么条件时，数列{}n a 是等差数列 （2)求证：对于任意实数p 和q ，数列{}n n a a -+1是等差数列。 二 等差数列的性质考察 （一）熟用d m n a d n a a m n )()1(1-+=-+=，m n a a d m n --= 问题 （注意：知道等差数列中的任意项和公差就可以求通项公式） 1、等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则=9a . 2、等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = . 3、已知等差数列{}n a 中， 26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = . 4、一个等差数列中15a = 33，25a = 66，则35a =________________． 5、已知等差数列{}n a 中，q a p =，p a q =，则____=+q p a ． （二)公差d 的巧用 （注意：等差数列的项数） 1、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差等于_____ 2、等差数列123,,, ,n a a a a 的公差为d ，则数列1235,5,5, ,5n a a a a 是（ ） A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为5d 的等差数列 C ．非等差数列 D ．以上都不对 3、等差数列{}n a 中，已知公差12 d =，且139960a a a ++ +=，则12100a a a ++ += A ．170 B ．150 C ．145 D ．120 4.已知y x ≠，且两个数列y a a a x m ,,,,21???与y b b b x n ,,,,21???各自都成等差数列， 则 121 2b b a a --等于 （ ） A n m B 11++n m C m n D 1 1++m n 5.一个首项为23，公差为整数的等差数列中，前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差d 为（ ） A -2 B -3 C -4 D -5人教版高数必修五第4讲：等差数列的概念、性质（教师版）
数列概念及等差数列
等差数列的性质、求和知识点及训练
等差数列的性质以及常见题型
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