一、等差数列选择题
1.在等差数列{}n a 中,10a >,81335a a =,则n S 中最大的是( ) A .21S
B .20S
C .19S
D .18S
2.在等差数列{}n a 中,3914a a +=,23a =,则10a =( ) A .11
B .10
C .6
D .3
3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45
B .50
C .60
D .80
4.已知数列{}n a 为等差数列,2628a a +=,5943a a +=,则10a =( ) A .29
B .38
C .40
D .58
5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11
B .12
C .23
D .24
6.已知数列{}n a ,{}n b 都是等差数列,记n S ,n T 分别为{}n a ,{}n b 的前n 项和,且
713n n S n T n -=,则5
5
a b =( ) A .
34
15
B .
2310
C .
317
D .
62
27
7.已知等差数列{}n a ,其前n 项的和为n S ,3456720a a a a a ++++=,则9S =( ) A .24
B .36
C .48
D .64
8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( ) A .121
B .161
C .141
D .151
9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足212n n n a a a ++=-,534a a =-,则7S =( ) A .7
B .12
C .14
D .21
10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11
2
a =,2n ≥且*n ∈N ,满足120n n n a S S -+=,数列1n S ??
?
???
的前n 项和为n T ,则下列说法中错误的是( ) A .21
4
a =-
B .
648
211S S S =+ C .数列{}12n n n S S S +++-的最大项为
712
D .1121
n n n n n
T T T n n +-=
++ 11.在等差数列{}n a 中,520164a a +=,S ,是数列{}n a 的前n 项和,则S 2020=( ) A .2019
B .4040
C .2020
D .4038
12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且132a a +=,422a a -=,则5S =( )
A .21
B .15
C .10
D .6
13.已知数列{}n a 满足25111,,25
a a a ==且
*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是( ) A .19
B .20
C .21
D .22
14.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若(
)*
111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )
A .0m S <且10m S +>
B .0m S >且10m S +>
C .0m S <且10m S +<
D .0m S >且10m S +<
15.已知递减的等差数列{}n a 满足22
19a a =,则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =( )
A .4或5
B .5或6
C .4
D .5
16.在等差数列{}n a 中,25812a a a ++=,则{}n a 的前9项和9S =( ) A .36
B .48
C .56
D .72
17.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( )
A .3、8、13、18、23
B .4、8、12、16、20
C .5、9、13、17、21
D .6、10、14、18、22
18.等差数列{}n a 中,若26a =,43a =,则5a =( ) A .
32
B .
92
C .2
D .9
19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()1
1213n n n n S S a n +++=+-+,现有如下说法:
①541a a =;②222121n n a a n ++=-;③401220S =. 则正确的个数为( ) A .0
B .1
C .2
D .3
20.已知数列{}n a 中,132a =
,且满足()*
1112,22
n n n a a n n N -=+≥∈,若对于任意*
n N ∈,都有
n a n
λ
≥成立,则实数λ的最小值是( ) A .2
B .4
C .8
D .16
二、多选题21.题目文件丢失!
22.著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记S n 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a =
B .733S =
C .135********a a a a a ++++=
D .
222
122019
20202019
a a a a a +++= 23.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若10a >,717S S =,则( ) A .0d < B .120a > C .13n S S ≤
D .当且仅当0n
S <时,26n ≥
24.等差数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,151115,a S S ==,则以下正确的是( )
A .1d =-
B .413a a =
C .n S 的最大值为8S
D .使得0n S >的最大整数15n =
25.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,且32019
11
111
a a e e +≤++,则( ) A .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≥ B .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≤ C .当数列{}n a 为等比数列时,20210T > D .当数列{}n a 为等比数列时,20210T <
26.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,现有下列4个命题中正确的有( )
A .若100S =,则280S S +=;
B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15
C .若150S >,160S <,则{}n S 中8S 最大
D .若78S S <,则89S S <
27.在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是( )
A .n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈);
B .2n n a a d +-=(d 为常数,
*n N ∈);
C .(
)
*
2120n n n a a a n ++-+=∈N ; D .{}n a 的前n 项和2
1
n S n n =++(*n N ∈).
28.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d .已知a 3=12,S 12>0,a 7<0,则( ) A .a 6>0 B .24
37
d -
<<- C .S n <0时,n 的最小值为13
D .数列n n S a ??
?
???
中最小项为第7项 29.已知数列{}n a 是递增的等差数列,5105a a +=,
6914a a ?=-.12n n n n b a a a ++=??,数列{}n b 的前n 项和为n T ,下列结论正确的是( )
A .320n a n =-
B .325n a n =-+
C .当4n =时,n T 取最小值
D .当6n =时,n T 取最小值
30.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若90a <,100a >,则下列结论正确的是( ) A .109S S >
B .170S <
C .1819S S >
D .190S >
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一、等差数列选择题 1.B 【分析】
设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+,可得关系139
2
a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】
设等差数列的公差为d .由81335a a =得,()()1137512a d a d +=+,整理得,1392
a d =-. 又10a >,所以0d <,因此
222120(20)2002222n d d d d
S n a n n dn n d ??=
+-=-=-- ??
?, 所以20S 最大. 故选:B. 2.A 【分析】
利用等差数列的通项公式求解1,a d ,代入即可得出结论. 【详解】
由3914a a +=,23a =, 又{}n a 为等差数列, 得39121014a a a d +=+=,
213a a d =+=,
解得12,1a d ==, 则101+92911a a d ==+=; 故选:A. 3.C 【分析】
利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】
{}n a 是等差数列,3944a a a +=+,4844a a a ∴+=+,84a =
1158158()15215
156022
a a a S a +??=
===
故选:C 【点睛】
本题考查等差数列性质及前n 项和公式,属于基础题 4.A 【分析】
根据等差中项的性质,求出414a =,再求10a ; 【详解】
因为{}n a 为等差数列,所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选:A. 5.C 【分析】
由题设求得等差数列{}n a 的公差d ,即可求得结果. 【详解】
32153S a ==,25a ∴=, 12a =,∴公差213d a a =-=, 81727323a a d ∴=+=+?=,
故选:C. 6.D 【分析】
利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】
由713n n S n T n
-=,
()
()1955199195519992791622923927
2
a a a a a a S
b b b b b b T ++?-======++?. 故选:D 7.B 【分析】
利用等差数列的性质进行化简,由此求得9S 的值. 【详解】
由等差数列的性质,可得345675520a a a a a a ++++==,则54a =
19592993622
a a a
S +=
?=?= 故选:B 8.B 【分析】
由条件可得127a =,然后231223S a =,算出即可. 【详解】
因为31567a a a +=+,所以15637a a a =-+,所以1537a d =+,所以1537a d -=,即
127a =
所以231223161S a == 故选:B 9.C 【分析】
判断出{}n a 是等差数列,然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】
∵212n n n a a a ++=-,∴211n n n n a a a a +++-=-,∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-,∴354a a +=,∴173577()7()
1422
a a a a S ++===. 故选:C 10.D 【分析】
当2n ≥且*
n ∈N 时,由1n n n a S S -=-代入120n
n n a S S -+=可推导出数列1n S ??????
为等差数列,确定该数列的首项和公差,可求得数列1n S ??
????
的通项公式,由221a S S =-可判断A
选项的正误;利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误;求出n T ,可判断D 选项的正误.
当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-, 由120n n n a S S -+=可得11111
2020n n n n n n
S S S S S S ----+=?
-+=, 整理得
1
112n n S S --=(2n ≥且n +∈N ). 则1n S ??
????
为以2为首项,以2为公差的等差数列
()12122n n n S ?=+-?=,12n S n ∴=. A 中,当2n =时,221111
424
a S S =-=
-=-,A 选项正确; B 中,1n S ??
????
为等差数列,显然有
648
211S S S =+,B 选项正确; C 中,记()()
1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=
+-++, ()()()
1123111
212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++,
()()()
1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=
--=-<++++,故{}n b 为递减数列, ()1123max 1117
24612
n b b S S S ∴==+-=
+-=,C 选项正确; D 中,
12n n S =,()()2212
n n n T n n +∴==+,()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=?++?++=+--+++++222
122212n n n n n n T =-++=+-≠,D 选项错误.
故选:D . 【点睛】
关键点点睛:利用n S 与n a 的关系求通项,一般利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?
-≥?来求解,在变形
过程中要注意1a 是否适用,当利用作差法求解不方便时,应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 11.B 【分析】
由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+,则
()15202020
202016202010102
a a a a S +=
?=?+可得答案.
等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+
()12020
202052016202010104101040402
a a a a S +=
==?=+?? 故选:B 12.C 【分析】
根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组,求解出1,a d 的值,再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】 因为1342
22a a a a +=??
-=?,所以1222
22a d d +=??=?,所以101a d =??=?,
所以5154
550101102
S a d ?=+=?+?=, 故选:C. 13.B 【分析】
由等差数列的性质可得数列1n a ??
????
为等差数列,再由等差数列的通项公式可得
1n
n a ,进
而可得1
n a n
=,再结合基本不等式即可得解. 【详解】
因为*
121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,所以12
211n n n a a a ++=+, 所以数列1n a ??
????
为等差数列,设其公差为d ,
由25111,25
a a a ==可得25112,115a a a ==?, 所以11
11
2
1145d a d a a ?+=????+=???,解得1111
a d ?=???=?,
所以
()1111n n d n a a =+-=,所以1n a n
=,
所以不等式100n n a a +≥即100
n a n
+
≥对任意的*n N ∈恒成立,
又10020n n +
≥=,当且仅当10n =时,等号成立, 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选:B. 【点睛】
关键点点睛:解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 14.D 【分析】
由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】
由题意,1110,0m m a a a a ++>+<, 所以1()02m m m a a S +=>,111(1)()
02
m m m a a S ++++=<. 故选:D. 15.A 【分析】
由22
19a a =,可得14a d =-,从而得2922
n d d
S n n =
-,然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】
解:设递减的等差数列{}n a 的公差为d (0d <),
因为2219a a =,所以22
11(8)a a d =+,化简得14a d =-,
所以221(1)9422222
n n n d d d d
S na d dn n n n n -=+=-+-=-, 对称轴为92
n =
, 因为n ∈+N ,
02
d
<, 所以当4n =或5n =时,n S 取最大值, 故选:A 16.A 【分析】
根据等差数列的性质,由题中条件,得出54a =,再由等差数列前n 项和公式,即可得出结果. 【详解】
因为{}n a 为等差数列,25812a a a ++=, 所以5312a =,即54a =,
所以()199998
3622
a a S +?===. 故选:A . 【点睛】
熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 17.C 【分析】
根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字. 【详解】
在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,
则171,25a a ==,则71251
4716
a a d --=
==-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21. 故选:C 18.A 【分析】
由2a 和4a 求出公差d ,再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】
设公差为d ,则42363
4222a a d --=
==--, 所以5433322
a a d =+=-=. 故选:A 19.D 【分析】
由()
1
1213n n n n S S a n +++=+-+得到()
1
1132n n n a a n ++=-+-,再分n 为奇数和偶数得
到21262k k a a k +=-+-,22165k k a a k -=+-,然后再联立递推逐项判断. 【详解】
因为()1
1213n n n n S S a n +++=+-+,
所以()
1
1132n n n a a n ++=-+-,
所以()212621k k a a k +=-+-,()221652k k a a k -=+-, 联立得:()212133k k a a +-+=, 所以()232134k k a a +++=, 故2321k k a a +-=,
从而15941a a a a ===???=,
22162k k a a k ++=-,222161k k a a k ++=++,
则222121k k a a k ++=-,故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++,
()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++,
()()20
1411820622
k k =+?=-=
=
∑1220,
故①②③正确. 故选:D 20.A 【分析】 将11122
n n n a a -=
+变形为11221n n n n a a --=+,由等差数列的定义得出2
2n n n a +=,从而得
出()
22n
n n λ+≥,求出()max
22n n n +??????的最值,即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时,111
22
n n n a a -=
+,所以11221n n n n a a --=+,而1123a = 所以数列{
}
2n
n a 是首项为3公差为1的等差数列,故22n
n a n =+,从而2
2n n
n a +=
. 又因为
n a n λ
≥恒成立,即()22n
n n λ+≥恒成立,所以()max
22n n n λ+??≥????. 由()()()
()()()()
1
*121322,221122n n n
n n n n n n n n n n n +-?+++≥??∈≥?
+-+?≥??N 得2n = 所以()()2
max
2222222n n n +?+??
==????,所以2λ≥,即实数λ的最小值是2 故选:A
二、多选题 21.无
22.ABD 【分析】
根据11a =,21a =,21n n n a a a ++=+,计算可知,A B 正确;根据12a a =,
342a a a =-,564a a a =-,786a a a =-,,201920202018a a a =-,累加可知C 不正
确;根据2121a a a =,222312312()a a a a a a a a =-=-,2
33423423()a a a a a a a a =-=-,244534534()a a a a a a a a =-=-,
,2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-,
累加可知D 正确. 【详解】
依题意可知,11a =,21a =,21n n n a a a ++=+,
312112a a a =+=+=,423123a a a =+=+=,534235a a a =+=+=,645358a a a =+=+=,故A 正确; 7565813a a a =+=+=,所以
712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=,故B 正确;
由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,786a a a =-,,201920202018a a a =-,
可得
13572019a a a a a ++++
+=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =,
故C 不正确;
2121a a a =,222312312()a a a a a a a a =-=-,2
33423423()a a a a a a a a =-=-,244534534()a a a a a a a a =-=-,
,2
20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-,
所以
2222
2
12342019
a a a a a ++++
+122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =,
所以
222
122019
20202019
a a a a a +++=,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式,考查了累加法,属于中档题. 23.AB 【分析】
根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】
因为等差数列中717S S =, 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=,
又10a >,
所以12130,0a a ><,
所以0d <,12n S S ≤,故AB 正确,C 错误;
因为125251325()
2502
a a S a +==<,故D 错误, 故选:AB 【点睛】
关键点睛:本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=,结合10a >,进而得到
12130,0a a ><,考查学生逻辑推理能力.
24.BCD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1
2
15d a =-??=?,再逐
项判断即可得解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,
由题意,11154111051122
15
a d a d a ???
+
=+???=?,所以1215d a =-??=?,故A 错误; 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-,所以413a a =,故B 正确; 因为()()2
211168642
n n n a n d n n n S -=+
=-+=--+,
所以当且仅当8n =时,n S 取最大值,故C 正确; 要使()2
8640n S n =--+>,则16n <且n N +∈, 所以使得0n S >的最大整数15n =,故D 正确. 故选:BCD. 25.AC 【分析】 将
3201911111a a e e +≤++变形为32019
1111
01212
a a e e -+-≤++,构造函数()11
12
x
f x e =
-+,利用函数单调性可得320190a a +≥,再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由
3201911111a a e e +≤++,可得32019111101212a a e e -+-≤++,令()11
12
x f x e =-+, ()()1111101111
x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++,
所以()11
12
x
f x e =
-+是奇函数,且在R 上单调递减,所以320190a a +≥, 所以当数列{}n a 为等差数列时,()
320192*********
a a S +=
≥;
当数列{}n a 为等比数列时,且3a ,1011a ,2019a 同号,所以3a ,1011a ,2019a 均大于零, 故()2021
202110110T a =>.
故选:AC 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列,考查逻辑推理能力,转化与化归的数学思想,属于中档题 26.BC 【分析】
根据等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,逐项判断,即可得答案. 【详解】
A 选项,若101109
1002
S a d ?=+
=,则1290a d +=, 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确; B 选项,若412S S =,则()5611128940a a a a a a ++
++=+=,
又因为10a >,所以前8项为正,从第9项开始为负, 因为()
()116168916802
a a S a a +=
=+=, 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确; C 选项,若()115158151502
a a S a +=
=>,()
()116168916802a a S a a +=
=+<, 则80a >,90a <,则{}n S 中8S 最大.故C 正确;
D 选项,若78S S <,则80a >,而989S S a -=,不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选:BC . 【点睛】
本题考查等差数列性质的应用,涉及等差数列的求和公式,属于常考题型. 27.AC 【分析】
直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列. 【详解】
A 选项中n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈),数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式,所以是等差数列,故正确,
B 选项中2n n a a d +-=(d 为常数,*n N ∈),不符合从第二项起,相邻项的差为同一个常数,故错误;
C 选项中()
*
2120n n n a a a n ++-+=∈N ,对于数列{}n a 符合等差中项的形式,所以是等差
数列,故正确;
D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++(*n N ∈),不符合2
n S An Bn =+,所以{}n a 不
为等差数列.故错误. 故选:AC 【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义的应用,如何去判断数列为等差数列,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型. 28.ABCD 【分析】
S 12>0,a 7<0,利用等差数列的求和公式及其性质可得:a 6+a 7>0,a 6>0.再利用a 3=a 1+2d =12,可得24
7
-
<d <﹣3.a 1>0.利用S 13=13a 7<0.可得S n <0时,n 的最小值为13.数列n n S a ??
????
中,n ≤6时,n n S a >0.7≤n ≤12时,n n S a <0.n ≥13时,n n S a >0.进而判断
出D 是否正确. 【详解】
∵S 12>0,a 7<0,∴
()
67122
a a +>0,a 1+6d <0.
∴a 6+a 7>0,a 6>0.∴2a 1+11d >0,a 1+5d >0, 又∵a 3=a 1+2d =12,∴24
7
-<d <﹣3.a 1>0. S 13=
()
113132
a a +=13a 7<0.
∴S n <0时,n 的最小值为13.
数列n n S a ??
????
中,n ≤6时,n n S a >0,7≤n ≤12时,n n S a <0,n ≥13时,n n S a >0.
对于:7≤n ≤12时,
n
n
S a <0.S n >0,但是随着n 的增大而减小;a n <0, 但是随着n 的增大而减小,可得:n
n S a <0,但是随着n 的增大而增大.
∴n =7时,n
n
S a 取得最小值.
综上可得:ABCD 都正确. 故选:ABCD . 【点评】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于
难题. 29.AC 【分析】
由已知求出数列{}n a 的首项与公差,得到通项公式判断A 与B ;再求出n T ,由{}n b 的项分析n T 的最小值. 【详解】
解:在递增的等差数列{}n a 中, 由5105a a +=,得695a a +=,
又6914a a =-,联立解得62a =-,97a =, 则967(2)
3963
a a d ---=
==-,16525317a a d =-=--?=-. 173(1)320n a n n ∴=-+-=-.
故A 正确,B 错误;
12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---
可得数列{}n b 的前4项为负,第5项为正,第六项为负,第六项以后均为正. 而5610820b b +=-=>.
∴当4n =时,n T 取最小值,故C 正确,D 错误.
故选:AC . 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式,考查数列的求和,考查分析问题与解决问题的能力,属于中档题. 30.ABD 【分析】
先根据题意可知前9项的和最小,判断出A 正确;根据题意可知数列为递减数列,则
190a >,又181919S S a =-,进而可知1516S S >,判断出C 不正确;利用等差中项的性质
和求和公式可知()0117917917
217
172
2
a a a S a <+??=
=
=,()1191019
1019219
1902
2
a a a S a +??=
=
=>,故BD 正确. 【详解】
根据题意可知数列为递增数列,90a <,100a >,
∴前9项的和最小,故A 正确;
()117917917
217
1702
2a a a S a +??===<,故B 正确; ()11910191019
219
1902
2
a a a S a +??=
=
=>,故D 正确;
190a >, 181919S S a ∴=-, 1819S S ∴<,故C 不正确.
故选:ABD . 【点睛】
本题考查等差数列的综合应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.