第二章数列
2.2 等差数列
第2课时等差数列的性质
A级基础巩固
一、选择题
1．设数列{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由a n＋b n所组成的数列的第37项值为() A．0 B．37 C．100 D．－37
解析：设c n＝a n＋b n，则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，故d＝c2－c1＝0，故c n＝100(n∈N*)，从而c37＝100.
答案：C
2．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有() A．a1＋a8＜a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5
C．a1＋a8＞a4＋a5D．a1a8＝a4a5
解析：由等差数列的性质有a1＋a8＝a4＋a5.
答案：B
3．在等差数列{a n}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()
A．30 B．27 C．24 D．21
解析：设b1＝39，b2＝33，b3＝a3＋a6＋a9，则b1，b2，b3成等差数列．
所以39＋b 3＝2b 2＝66，b 3＝66－39＝27.
答案：B
4．下面是关于公差d ＞0的等差数列(a n )的四个命题：
p 1：数列{a n }是递增数列；
p 2：数列{na n }是递增数列；
p 3：数列????
??a n n 是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．
其中的真命题为( )
A. p 1，p 2
B ．p 3，p 4
C ．p 2，p 3
D ．p 1，p 4
解析：因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0，所以数列{a n }是递增数列，故p 1正确．同理知p 4正确．
命题p 2中，因为na n ＝na 1＋n (n －1)d 是n 的二次函数
所以其增减与a 1，d 的大小有关，故错误．
命题p 3中，因为a n n ＝a 1n ＋（n －1）n
d 其增减性与a 1与d 的大小有关，所以p 3错．
答案：D
5．下列说法中正确的是( )
A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列
B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列
C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列
D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a ，2b ，2c 成等差数列
解析：因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ，
所以2b ＋4＝a ＋c ＋4，
即2(b ＋2)＝(a ＋2)＋(c ＋2)，
所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．
答案：C
二、填空题
6．在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________．
解析：由已知得a 3＋a 10＝3.
又数列{a n }为等差数列，
所以a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3.
答案：3
7．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________．
解析：由等差数列的性质可知，a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝(a 3＋a 11)＋(a 5＋a 9)＋a 7＝5a 7＝100，
所以a 7＝20.
所以3a 9－a 13＝2a 9＋a 9－a 13＝(a 5＋a 13)＋a 9－a 13＝a 5＋a 9＝2a 7＝40.
答案：40
8．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点? ??
??a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0
上，则a n ＝________________．
解析：由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n
＝1，所以数列??????a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a n n
＝n ，所以a n ＝n 2.
答案：n 2
三、解答题
9．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝30，a 6＋a 7＋…＋a 10＝80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.
解：法一：因为1＋11＝6＋6，2＋12＝7＋7，…，5＋15＝
10＋10，
所以a 1＋a 11＝2a 6，a 2＋a 12＝2a 7，…，a 5＋a 15＝2a 10.
所以(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)．
所以a 11＋a 12＋…＋a 15＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)－(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝2×80－30＝130.
法二：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 5，a 6＋a 7＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 15也成等差数列，即30，80，a 11＋a 12＋…＋a 15成等差数列．
所以30＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2×80，
所以a 11＋a 12＋…＋a 15＝130.
10．数列{a n }为等差数列，b n ＝? ??
??12a n ，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18
，求{a n }的通项公式． 解：因为b 1＋b 2＋b 3＝? ????12a 1＋? ????12a 2＋? ????12a 3＝218，b 1b 2b 3＝? ??
??12a 1＋a 2＋a 3＝18
， 所以a 1＋a 2＋a 3＝3.
因为a 1，a 2，a 3成等差数列，可设a 1＝a 2－d ，a 3＝a 2＋d ， 所以a 2＝1.
由? ??
??121－d ＋12＋? ????121＋d ＝218， 得2d ＋2－d ＝174，解得d ＝2或d ＝－2.
当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋
2(n －1)＝2n －3；
当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，
a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5.
B 级 能力提升
1．若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14
的等差数列，则|m －n |＝( )
A ．1 B.34 C.12 D.38
解析：设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2，
再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2，
因为a 1＝14，所以d ＝12，
所以a 2＝14＋12＝34，
a 3＝14＋1＝54，
a 4＝14＋32＝74，
所以|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3|＝??????
14×74－34×54＝12.
答案：C
2．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q ＝
______________．
解析：法一：因为a p ＝a q ＋(p －q )d ，
所以q ＝p ＋(p －q )d ，即q －p ＝(p －q )d ，
因为p ≠q ，所以d ＝－1.
所以a p ＋q ＝a p ＋(p ＋q －p )d ＝q ＋q ×(－1)＝0.
法二：因为数列{a n }为等差数列，
所以点(n ，a n )在一条直线上．
不妨设p ＜q ，记点A (p ，q )，B (q ，p )，则直线AB 的斜率
k ＝p －q q －p
＝－1，如图所示，由图知OC ＝p ＋q ，即点C 的坐标为(p ＋q ，0)故a p ＋q ＝0.
答案：0
3．在数列{a n }中，a 1＝1，3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)．
(1)求证：数列????
??1a n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
(1)证明：由3a n a n －1＋a n －a n －1＝0，
得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)． 又因为a 1＝1，
所以数列????
??1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列． (2)解：由(1)可得1a n
＝1＋3(n －1)＝3n －2， 所以a n ＝13n －2
. 又当n ＝1时，a 1＝1，符合上式，
所以数列{a n }的通项公式是a n ＝13n －2
.