习题
6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x ==
(),0u x V =&
由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a
p i l
π=
=,… ,...3,2,1i ,x 2l
i sin D x)U ~
i
i ==π（ 由归一化条件2
0sin 12l
i i x A D dx l πρ?
?= ??
??
得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l
i sin Al 2x)U ~
i ==
π
ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为
()0
0sin
2l
i i i AVD xdx l πηρ=?&2i l AVD i ρπ
= ()00i η=，i=1，3，5，…
由式（８－４０）得()0sin i i i i
p t p ηη=
&，进而有：
t 2l a i sin 2l x i sin i 1a 8V l t sinp a i 2l i 2l AV D 2l x i sin D )t (U ~
)t ,x (u ,...3,1i 22i i ,...
3,1i i i ,...
3,1i i ∑∑∑∞=∞
=∞
===
=πππππρπη
(2)杆的右端突然固定；
杆的初始条件为：()()0,00u x u x ==
(),0u x V =&
由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a
p i l
π=
=,… ...5,3,1i ,x 2l
i cos C x)U ~
i
i ==π（ 由归一化条件
1)2cos
(2
=?
dx l
x i C A i l
πρ得Al
C i ρ2=
即正则振型为,...5,3,1i ,x 2l
i cos Al 2x)U ~
i ==
π
ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为
?--==l
i i i i i l
AV C dx l x i AVC 0
2
1
)1(22cos )0(π
ρπρη&
()00i η=，i=1，3，5，…
由式（８－４０）得()0sin i i i i
p t p ηη=
&，进而有：
t 2l a
i sin 2l x i cos i
1)1(a 8Vl t sinp a i 2l i 2l AVD 2l x i sin D )t (U ~
)t ,x (u ,...3,1i 2
2
1
2i i ,...3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞
=-∞
=∞
=-==
=πππππρπηi
6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。 (1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示； (2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；
(3) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。 解：
（1） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 0/2
P EA
ε=
杆的初始条件为
()()()0000/2
,0{
/2x
x l u x u x l x l x l
εε≤≤==-≤≤
因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为
()()()1,2,sin
1,2,i i i ia P i l
i U x D x i l
E
a ππρ
=
=???==???=
题6-2图
将主振型代入归一化条件，得
2
sin1
l
i
i
i
A D x dx
l
D
π
ρ??=
?
??
=
?
得到正则振型
(
)()
~
1,2,
i
i
U x x i
l
π
==???
得到以正则坐标表示的初始条件为
()()
()()
2
0022
2
0sin sin
2
01,2,
l
i i i
i
i l i
Au x D xdx A D
l i
x i
ππ
ηρρε
π
η?
==
==???
?
得到以正则坐标表示的对初始条件的响应
()0cos
i i i
p t
ηη
=
于是杆的自由振动
(),
u x t=()
2
~
022
1,2,1,2,
2
sin sin cos
2
i i i i i
i i
i l i
U t D x A D p t
l i
ππ
ηρε
π
∞∞
=???=???
=
∑∑
=0
22
1,2,
sin
42
sin cos
i
i
i
l i
x p t
i l
π
επ
π
∞
=???
∑
()12
22
1,3,
1
2
sin cos
i
i
pl i i a
x t
EA i l l
ππ
π
-
∞
=???
-
=∑
（2）根据题意，0
t=时杆内的应变
120
2/3/3
P P P
EA EA EA
εεε
===
设
杆的初始条件为
()()
()
1
2
0/3
,0{
/3
x x l
u x u x
l x l x l
ε
ε
≤≤
==
-≤≤
()
2
0/3
3
{
1
/3
3
x x l
l x l x l
ε
ε
≤≤
=
-≤≤
因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为
()
()()
1,2,sin 1,2,i i i ia P i l
i U x D x
i l
ππ
=
=???==???
将主振型代入归一化条件，得
2
0sin 1l
i i i A D x dx l D πρ?
?
= ??
?
=
?
得到正则振型
(
)()~
1,2,i i U x x i l
π=
=???
得到以正则坐标表示的初始条件为
()()()()
2002200sin sin
30
1,2,l
i i i i i l i Au x D xdx A D l i x i ππ
ηρρεπη?
====???? 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 ()0cos i i i p t ηη= 于是杆的自由振动
(),u x t =()2~
0221,2,1,2,sin sin cos 3i i i i i i i i l i U t D x A D p t l i ππ
ηρεπ∞
∞
=???=???
=∑∑
=
02
21,2,sin
23sin cos i
i i l
i x p t i l
π
εππ∞
=???
∑
22
121sin cos i pl i i a x t EA i l l
πππ∞==∑
（3） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 0P EA
ε= 杆的初始条件为
()()()
()
00000/4,0{/2/43/43/4x
x l u x u x l x l x l l x l x l
εεε≤≤==-≤≤-≤≤
因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为
()
()()
1,2,sin 1,2,i i i ia P i l
i U x D x
i l
ππ
=
=???==???
将主振型代入归一化条件，得
2
0sin 12l
i i i A D x dx l D Al
πρρ?
?
= ??
?
=
?
得到正则振型
()()~
2sin 1,2,i i U x x i Al l
πρ=
=???
得到以正则坐标表示的初始条件为
()()()()
20022030sin sin sin 440
1,2,l
i i i i i l i i Au x D xdx A D l i x i πππηρρεπη?
??
==- ???==???? 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 ()0cos i i i p t ηη= 于是杆的自由振动
(),u x t =()2~
0221,2,1,2,3sin sin sin
cos 44i i i i i i i i l i i U t D x A D p t l i πππ
ηρεπ∞
∞
=???=???
??
=- ???
∑∑ =0221,2,3sin sin
244
sin cos i
i i i l i x p t i l
π
πεππ∞=?????- ?
?
?∑
()2
4
22
2,6,1014sin
cos i i pl
i i a x t EA i l l
πππ-∞
=???-=∑
6-3 如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力l
F p 0
0=的作用，求分布力突然移去时杆的响应。
解：杆左端固定端，右端为自由端
())sin cos )((,pt B pt A x U t x u +=
题6-3图
a px
D a px C x U sin
cos
)(+= 边界条件
0)0(=U
0==l
x dx
dU
得固有频率，主振型
a l i p i 2)12(π-=
x l
i D x U i i 2)12(sin )(π
-= i=1,2,…… )2sin 2cos (2sin
),(,3,1t l
a
i B t l a i A l x i t x u i i i πππ+=
∑
∞
?
?= 杆在x 处的应变
?
=x
dx EA
x l F 0
0εEAl x F 220=
初始条件
??
???===
==?
?0)()0,(2)()0,(03
000x u x u EAl x F x x u x u ε 由0)()0,(0==?
?
x u x u ，得 0=i B
t l
a
i A l x i t x u i i 2cos 2sin
),(,3,1ππ∑
∞
?
?==
再利用三角函数正交性
??==l l
i dx l
x i x dx l x i A 0002
2sin )2(sin πεπ?=l dx l x i EAl x F 03
2sin 2π 得EA
i l
F A i 33016π=
t l a i A l x i t x u i i 2cos 2sin ),(,3,1ππ∑∞
??==t l a
i l x i i EA i l F i 2cos 2sin 116,3,13
330πππ∑∞
?
?==
解二：用直接法。
因为ε=x p dx p x
000=? 其中，l
F p 0
0=
杆的初始条件为 ()()?
==x
x u x u 0
00,EA
ε
dx =
EAl x F 220
()()00,0==x u x u &&
由于此题为一端自由一端固定，则由公式可直接得出杆的固有频率及主振型
(1,3,5......)2()sin (1,3,5......)
2i i i i a
p i l
i U x D x i l ππ
=
===
将主振型代入归一化条件得
得2
(sin
)122l
i i i A D x dx l
D Al
πρρ==
?
得到正则振型为
()x l
i Al x U i 2sin 2~
π
ρ=
i=1,3,5… 则得到正则坐标表示的初始条件为
()()xdx l i Al EAl x F A dx U x Au l i l
i 2sin 22~
002000
πρρρη??
===??
?
??-π
πρπ
ρi i Al Ei l F 2
2sin 242
220 i η&()00= i=1,3,5…
以正则坐标表示对初始条件的响应为
(0)cos i i i p t ηη=
得到杆对初始条件的总响应
()()(
)t l
a
i i i Al Ei l F x l i Al x U t x u i i i i 2cos
22sin 242sin 2~
,2
220...
5,3,1...
3,2,1πππρπ
ρπ
ρη??? ??-=
=
∑∑
∞
=∞
= 即 t l a
i l x i i
EA l F t x u i 2πcos 2πsin 1π16),(,3,13
30∑∞=?=Λ
6-4 假定一轴向常力F 突然作用于题6-2的等直杆的中点处，初始时刻杆处于静止平衡状态，求杆的响应。
解：()cos
sin p p
U x C x D x a a
=+ 由题意知，边界条件为
()()000
U U l ==
由此解出固有频率(1,2,....)i i a
P i l
π=
=
()sin
i i i x
U i D l
π= 将主振型代入归一化条件
20
1l
i
AU
dx ρ=?，得
2
0sin 12l
i i i A D x dx l D Al πρρ?
?
= ??
?
=
?
得到正则振型 ()()~
2sin 1,2,i i U x x i Al l
πρ=
=???
由2
(,)l
i i i i
p q x t U
dx ηη+=
?%&&因为()P t P =为集中力，不是分布力 0
2(,)()()()()sin
l
l
i i i i x
q x t U dx p t x U dx p t U P
Al l
πδξξρ=-==?
?%%% 所以由上式得稳态响应2222
2π()sin (1cos )(1,2,3...)2i l P
i i a t t i i a Al l
πηπρ=-= 2222
0,1,21,2,...
22π(,)()()sin sin (1cos )2i i
j i i x l P
i i a
U x t U x t t Al l i a Al l
ππηρπρ∞
∞
===
=?-∑
∑
L
% 22
22
1,3,2(1)
ππ (,)sin
(1cos )πi i Pl i x i a
u x t t EA i l l
-∞
=-=
?-∑L
（i=1，2，3…）
6-5 假定题6-3的等直杆上作用有轴向均匀分布的干扰力t l
F ωsin 0
，求该杆的稳态强迫振动。 解：
因为杆是一端固定，可得固有频率和主振型为
()
()()
1,3,52sin 1,3,52i i i ia P i l
i U x D x i l
ππ=
=???==???
将主振型代入归一化条件，得
2
sin1
2
l
i
i
i
A D x dx
l
D
π
ρ??=
?
??
=
?
得到正则振型
(
)()
~
1,3,5
2
i
i
U x x i
l
π
==???
又第i个正则方程为
()
2
,
l
i i i i
p q x t U dx
ηη
+=?%
&&
sin sin
2
l F i
t xdx
l l
π
ω
=?
()
2
sin1,3,5
i
D F
t
i
ω
π
=???
所以可得正则坐标的稳态响应为
()
()0
22
2
sin
i
i
i
D F
t t
p i
ηω
ωπ
=
-
杆的稳态响应振动为
u（x，t）()
~
1,3,5,
i i
i
U t
η
∞
=???
=∑()
22
1,3,5
4sin1
sin
2
i i
F t i
x
Al l
i p
ωπ
ρπω
∞
=???
=
-
∑
其中,
2
i
i a
p a
l
π
==。
6-6 一根两端自由的等直杆，中央作用有一轴向力
2
1
1
)(??
?
?
?
?
=
t
t
F
t
F，其中F1、t1为常数，假设起初杆处于静止，求杆的响应。
解：()cos sin
p p
U x C x D x
a a
=+
a=
sin cos
dU p p p p
C x
D x
dx a a a a
=-+
由题意知，边界条件为
0,0
x x l
dU dU
dx dx
==
==由这些边界条件得
0,
D=sin0
p p
C l
a a
-=，所以
i
p a
l
π
=
i i p a l
π
=
0,1,2,3i =K 所以()cos i i i U x C x l π
= 0,1,2,3i =K
由
20
(cos
)1l
i i A C x dx l πρ=?
所以
i C =
0,1,2,3i =K 所以
()i i U x x l
π
= 0,1,2,3i =K 由20
(,)l
i i i i p q x t U dx ηη+=
?%&& 由于2
11
()()t p t P t =集中力，而非分布力 所以 21001
(,)()()()()()cos l
l
i i i i t q x t U dx p t x U dx p t U C P i t δξξπ=-==??%%% ()2221111()cos ()1,0,2,4,2i
i i t i t C P C P i t t π=-=L ，因为是在中央作用力，所以2
l ξ= 所以 ，由上式求得稳态响应 2
121
1()()cos i i i t t C P i p t ηπ=
当2,4,i =L 时，0i p ≠，
()
()()2
2
1
122
2
121
1
()()1sin ()111cos 22cos i t
i i i i i i i i i t C P p t d p t C P t t p t p t p t τ
ηττ
=
--=
---+?
当0i =时，0i p =，
21
13
211211
04
12
1
10()()3()12t t t P t dv dt Al
t t P P t t v dt Al Al t P t t vdt Al
ρρρηρ=====
??
所以
2
120,1,20,1,21
2
1
2
20,1,211(,)()()cos
()cos 2(1)cos i i i i j j i j
j i i t U x t U x t C x C P i l p t Pt i x Alt p l
πηππ
ρ∞
∞
==∞
==
=?-=
∑
∑
∑
L
L
L
%
()()4121
2,4,4
1
222
12122,4,1
(,)()()12111cos 22cos 12i i
i i
i i i i i i t P t U x t U x t Al t
P t C C P t t p t p t Al p t ηρρ∞
=∞==+=+---+∑∑L
L %
6-7 一根等直圆轴的两端连接着两个相同的圆盘，如题6-7图所示，已知轴长l ，轴及圆盘对轴中心线的转动惯量分别为I s 及I 0，求系统扭转振动的频率方程。
解：2
2
222x
a t ??=??θθ （ρG a =2
） 设)sin cos )((),(t B t A x U t x ωωθ+= 代入运动微分方程得
0)()(22
22
=+x U a
dx x U d ω
上式的解可表示为a
x
D a
x
C x U ωωsin
cos )(+=
其边界条件
当x =0时， )0()2(0U K dx
dU
I I G s θ-=+ 当x =l 时， )()
2(0l U K dx
dU
I I G s θ-=+ U （0）=U( l )
1) ()( 2
tan 2200-=∴a
l I I a l I I a
l s s ωωω , 其中 ρG a =2
6-8 题6-8图中的等直圆轴一端固定，另一端和扭转弹簧相连，已知轴的抗扭刚度为GJ p ，质量密度为ρ，长度为l ，弹簧的扭转刚度为θk ，求系统扭转的频率方程。 解：
一维振动波方程为x a t 22
222??=??θθ （ρ
G a =2
）
设)sin cos )((),(t B t A x U t x ωωθ+= 代入运动微分方程得：
题6-8图
题6-7图
(ω为波动频率)
上式的解可表示为a
x
D a
x
C x U ωωsin
cos )(+= （a ）
其边界条件为 ：
在x = 0 处 0)(=x U ， （b ） 在l x =处 )(l U k dx
dU
GJ F
θ-= （c ） 将（a ）代入（b ）得：0=C x a
D x U ω
sin )(= （d ）
将（d ）代入（c ）得：l a
D k l a a D
GJ F ω
ωω
θsin cos -= 得关于频率ω的频率方程为a
l l k GJ a l
p tan ωωθ-
= , 其中 ρG a =2
6-9 写出题6-9图所示系统的纵向振动频率方程，并写出主振型的正交性表达式。
解：⑴ 该题中杆的振动方程为：
..].........sin cos )[(),(pt B pt A x U t x u +=<1>
其中)/()........./sin()/cos()(2ρE a a px D a px C x U =+= 由于边界条件中U （0）=0
代入U （x ）中得C=0
再将U （x ）代入<1>中 ，由<1>知：
l
x x
u =??=
)sin cos (sin pt B pt A a
pl
a pD + )sin cos (sin
22
2pt B pt A a
pl
D p t u
l
x +-=??= 再由边界知：
EA l
x l
x l
x t
u m x ku x
u ===??--=??2
2)(
2cos sin sin p p p p EAD
l mDp l kD l a a a a
=- 得：a
p
EA k mp a pl =-)(tan 2
0)()(22
22=+x U a
dx x U d ω题6-9图
即：
k
mp EA a pl p a -=2tan ⑵ 已知方程
)(22x u
EA x t
u A ????=??ρ
AU p x
U
EA x 2)d d (d d 1ρ-=><代入该式中得
将 22,,j j i i p U p U 及另一特解取一特解
><-=2.......)d d (d d
2i i i U A p x
U EA x ρ得：
由><2乘并对杆积分得dx U U A p dx dx
dU EA dx d
U j l i i i l
j
??
-=020)(ρ
所以><-=-??3...............)(02
00dx U U A p dx dx
dU dx dU EA dx dU EA U j l i i j l i l
i j ρ
由l
x l
x l
x t
u m x ku x
u
EA
===??--=??2
2)(
得：
)
()()(2l U k mp dx
x dU EA
l
x -==ij
j j i j l
i ij
j i j l
i j i j l
i j l
i j i j
j i j l
i j l
i j i i p l U l kU dx U EAU l U l mU dx U U A l U l kU dx U EAU dx U U A l U l mU p j i l U l kU dx U EAU dx U U A l U l mU p U δδρρρ2'0
'0
'0
'0
2'0
'0
2)()(5)()(5).....()(])()([,4).....()(])()([30
)0(=+><=+>
<+=+>
<+=+><=??????得将上式代入两式相减得：互换
得代入及
所以，其解为正交。
6-10 试求具下列边界条件等截面梁的横向弯曲振动频率方程及主振型∶ (1) 两端固定；一端固定、一端简支；一端简支、一端自由。 6-11 求下列情况中常力F 突然移去时等截面简支梁的自由振动∶ (1) 常力F 作用于x = a 处，如题图6-11(a)所示；
(2) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于梁的四分之一点及四分之三点处，如题图6-11(b)所示。
6-12 假定上题的简支梁承受强度为p 0的均匀分布力，求分布力突然移去时梁的响应。 6-13 一简支梁在t = 0时除两端点外梁上所有点都得到横向速度v ，求梁的响应。 6-14 一常力F 突然加在简支梁的中点，求梁的响应。 6-15 一简支梁在距左端
3l
和
3
2l
处作用有两个横向干扰力t F ωsin 0，求梁的稳态响应。 6-16 一简支梁在左半跨上作用有强度为t p ωsin 0的分布力，求梁中央处的振幅。 6-17 试求简支梁在正弦分布的横向干扰力t l
x
p t x p ωπsin sin
),(0=作用下的稳态响应。
6-18 简支梁受分布干扰力t p t x p ωsin ),(0=作用，求梁的稳态响应。 6-19 简支梁受分布干扰力t p l
x
t x p ωsin ),(0=
的作用，求梁的稳态响应。 6-20 一简支梁在x = l 端的支座有t b t y l ωsin )(=的横向运动，求梁的稳态响应。 6-21 如题6-21图所示，等截面悬臂梁的自由端有一弹性支撑，其弹簧刚度为k ，求频率方程和主振型的正交性条件。
6-22 试求两端附有集中质量m 的自由等截面梁的频率方程及主振型正交性条件。 6-23 如题6-23图所示，简支梁上附有两个相等的集中质量m ，m 值等于全梁质量的一半，试用瑞利法求系统的基频，并用里兹法求基频和第二阶固有频率。
6-24 如题6-24图所示，一根矩形截面杆一端固定一端自由，其长度为l ，厚度为b ，横截面积
题6-21图 题6-23图
题6-11图
A 按直线规律变化∶??
?
??+
=l x A x A 1)(0，其中0A 为自由端的截面积，试用里兹法求纵向振动的第一及第二阶固有频率。假设基频函数
2211)(l x x -=ψ 33
21)(l
x x -=ψ
6-25 两端固定的等截面梁，中央有一集中质量m ，如题6-25图所示，设振型函数
??
? ??
-=x l Y x Y π2cos 1)(0，用瑞利法求梁横向振动的基频。
6-26 题6-26图所示为一等截面悬臂梁，(1) 选基础函数
21)(??
?
??=l x x ψ，
3
222)(??? ??-??? ??=l x l x x ψ用里兹法求第一及第二阶固有频率，并与精确值比较；(2) 分别取)(1x ψ及)(2x ψ作振型函数，用瑞利法求梁的基频，并与(1)的结果比较。
题6-26图
题6-25图
题6-24图
第6章--弹性体的一维振动题解
126 习题 6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0 ,00u x u x == (),0u x V =& 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π==,… ,...3,2,1i ,x 2l i sin D x)U ~ i i ==π（ 由归一化条件 2 0sin 12l i i x A D dx l πρ? ?= ?? ??得2 i D Al ρ= 即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l i sin Al 2x)U ~ i == π ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ()0 0sin 2l i i i AVD xdx l πη ρ=?&2i l AVD i ρπ = ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得()0sin i i i i p t p ηη = &，进而有： t 2l a i sin 2l x i sin i 1a 8V l t sinp a i 2l i 2l AV D 2l x i sin D )t (U ~ )t ,x (u ,...3,1i 2 2i i ,... 3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞=∞ =∞ === =πππππρπη (2)杆的右端突然固定；
127 杆的初始条件为：()()0 ,00u x u x == (),0u x V =& 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π==,… ...5,3,1i ,x 2l i cos C x)U ~ i i ==π（ 由归一化条件1)2cos (2 =? dx l x i C A i l πρ得Al C i ρ2= 即正则振型为,...5,3,1i ,x 2l i cos Al 2x)U ~ i == π ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ?--==l i i i i i l AV C dx l x i AVC 0 2 1 )1(22cos )0(π ρπρη& ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得()0sin i i i i p t p ηη = &，进而有： t 2l a i sin 2l x i cos i 1)1(a 8Vl t sinp a i 2l i 2l AVD 2l x i sin D )t (U ~ )t ,x (u ,...3,1i 2 2 1 2i i ,...3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞ =-∞ =∞ =-== =πππππρπηi 6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。 (1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示； (2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；
习题 6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == (),0u x V = 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π= =,… ,...3,2,1i ,x 2l i sin D x)U ~ i i ==π（ 由归一化条件2 0sin 12l i i x A D dx l πρ? ?= ?? ?? 得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l i sin Al 2x)U ~ i == π ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ()0 0sin 2l i i i AVD xdx l πηρ=?2i l AVD i ρπ = ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得() 0sin i i i i p t p ηη= ，进而有： t 2l a i sin 2l x i sin i 1a 8V l t sinp a i 2l i 2l AV D 2l x i sin D )t (U ~ )t ,x (u ,...3,1i 22i i ,... 3,1i i i ,... 3,1i i ∑∑∑∞=∞ =∞ === =πππππρπη (2)杆的右端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == (),0u x V = 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π= =,… ...5,3,1i ,x 2l i cos C x)U ~ i i ==π（ 由归一化条件 1)2cos (2 =? dx l x i C A i l πρ得Al C i ρ2=
2.4 晶格振动与声子 绝热近似下，固体的运动近似地简化为两个相对较小的子系统：电子和核（或原子实）的运动问题。前面对电子体系的运动状态作了讨论，现在对第二个问题，即核（或原子实）子系统的运动作一简要回顾。如2.1中所述，对给定的电子系 状态n ，原子实系统 感受到的 有效势场 ()()() N LL n V V E =+R R R ， 原子实间的库伦相互作用() LL V R + 依赖于核构型的电子能() n E R 描述原子实系统运动的哈密顿方程为： ()()()()() 2 2 12I n LL S I I X E V X E X M ??-?++=??∑R R R R R （2.4-1） 2.4.1 简谐近似和正则振动模 上述方程涉及大量粒子的运动，数学上很难求解。需要一个好的近似作为讨论的出发点。我们感兴趣的是：有效势有极小值（即具有稳定平衡构形），原子偏离平衡位置不太远的情形。 设晶体包含N 个原胞，每个原胞有υ个原子，采用周期性边界条件。 第n 个原胞中，第α个原子的平衡位置为 n n R R R αα=+， n R 和R α分别为原胞（代表点）位置和原子α在原胞中相对代表点的位置。 原子相对平衡位置的瞬时位移的直角坐标分量为()n i s t α （1,2,3i =）。 将有效势场() N V R 在平衡核构形{}0n R α=R 处作泰勒展开： ()() 201......2N N N n i n i n in i n i n i V V V s s S S αααααα''''''''' ?=++??∑R R （2.4-2） 取常数项为零，一次项在平衡构型下恒等于零，展开式中第一个不为零的项就是二次项。考虑原子实围绕平衡位置作小振动的情形，高次项可忽略，这就是所谓的 简谐近似。可以证明，由这样的简谐势联系在一起的N υ个粒子构成
第五章 晶格振动习题和答案 1．什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似称为间谐近似。在间谐近似下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的振动。每个谐振子的振动模式称为间正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。原子的振动，或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性迭加。 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等3N 。 2．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？ [解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频略较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。 3． 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ [解答] 频率为ω的格波的（平均）声子数为 1 1)(/-= T k B e n ωω 因为光学波的频率0ω比声学波的频率A ω高，（1/0-T k B e ω ）大于（1/-T k B A e ω ），所以在温度一定情况下， 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。 4． 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？ [解答] 设温度H T 〉L T ，由于（1/-H B T k e ω ）大于（1/-L B T k e ω ），所以对同一个振动模式，温度 高时的声子数目多于温度低时的声子数目。 5． 高温时，频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？ [解答] 温度很高时，T k e B T k B /1/ωω +≈ ，频率为ω的格波的（平均）声子数为 ω ωω T k e n B T k B ≈-= 1 1)(/ 可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。 6． 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？ [解答] 晶格振动谱的测定中，光波的波长与格波的波长越接近，光波与声波的相互作用才越显著。喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说，该波长属于长波长范围。因此，喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用。长光学波声子的波矢很小，相应的动量q 不大。而能产生倒逆散射的条件是光的入射
第三章 弹性体的振动 §3.1 弦的振动 3.1.1 用动力学基本定律建立弦振动基本方程 在前二章里，对弹性体动力学的一般规律、基本原理和基本方程作了介绍。但不同的弹性体有其本身的力学特性，采用不同的简化假设，建立的基本方程是不相同的。因而，它们的解法也不完全一样。除了共同的动力学特性外，还有一些独特的特性，必须分别加以讨论。 弹性体按其构型可分为： （1）一维构型，它的截面尺寸比长度小得多。它有两类，一类是弦、杆、轴；一类是各种梁。 （2）二维构型，它的厚度比其它尺寸小得多。它有膜、平面应力板、弯曲板与壳等。 （3）三维构型，三向尺寸相当。它是各类实体结构。 最简单的弹性体动力学问题是弦的横向振动（图3.1）。受常张力作用的弦是一种一维弹性体。从弦上取出一个微分长度来分析，当它发生横向位移，由于张力作用产生有恢复力，它等于 x T dx ),(t x w e df dx x w T df x e 2 2??= （3.1） 图3.1 弦的横向振动 设弦的长度密度为，则在振动时的惯性力是 m dx t w m df y 2 2???= （3.2） ·1·
根据动力学的基本定律，弦横向振动的基本方程是 02 22 2=+?????f t w m x w T x （3.3） 其中是作用在弦上的横向分布载荷。 ),(t x f 3.1.2 用能量变分原理建立弦振动基本方程 弦横向振动有三种能量： （1）弦的位能 i U dx x w x w T U x L i ????= ∫210 （3.4） （2）弦的动能T dx t w t w m T L ????= ∫210 （3.5） （3）弦的外力功 e W L L L x L e w fwdx w x w T fwdx W 00 00 ||τ+=??+= ∫∫ （3.6） 其中τ=??x w T x 是张力的垂直分量。弦的哈密尔登作用量为 dt W U T L e i t )(0 +?= ∫ 由哈密尔登作用量原理给出 0}|]2121[{00 =++?????????=∫∫∫dt w dx fw x w x w T t w t w m Ldt L x L t t τδδ （3.7） 上式给出能量泛函的极值条件。经过变分运算可推出基本方程和自然边界条件。动能作用量的变分等于 dx w t w m wdx t w m dxdt x w t w m t t L t L }|{)(02 20 000 δδδ??+???=????∫∫∫∫ 和位能作用量的变分等于 dt w t w T wdx x w T dxdt x w x w T L x x L t x t L }|{020 000δδ??+??? =????∫∫∫∫ 于是，代入哈密尔顿作用量变分原理得 ||)(}{0000222200 =??+???++?????∫∫∫∫ dx w t w m dt w x w T wdxdt f t w m x w T t L L x t x t L δδτδ （3.8） ·2·
晶格振动与声子 2010-04-24 16:38:01| 分类：微电子物理| 标签：|字号大中小订阅 （什么是声学波？什么是光学波？什么是声子？） 作者：Xie M. X. (UESTC，成都市) （1）格波： 晶格振动(Crystal lattice vibration) 就是晶体原子在格点附近的热振动，这是个力学中的小振动问题, 可用简正振动和振动模来描述。由于晶格具有周期性，则晶格的振动模具有波的形式，称为格波。一个格波就表示晶体所有原子都参与的一种振动模式。格波可区分为声学波和光学波两类——两种模式。 声学波是晶格振动中频率比较低的、而且频率随波矢变化较大的那一支格波；对于波矢比较小的长声学波，与弹性波一致，它表示着原胞中所有原子的一致运动[相位和振幅都相同]；声学波的能量虽然较低，但是其动量却可能很大，因此在对于载流子的散射与复合中，声学波声子往往起着交换动量的作用。 光学波是复式晶格振动中频率比较高的、而且频率随波矢变化较小的那一支格波；对于长光学波，它表示着相位相反的两种原子的振动，即表示着两种格子的相对振动[但质心不变]。光学波声子具有较高的能量，而高能量声子的动量往往很小，所以光学波声子在与载流子的相互作用中往往起着交换能量的作用。 （2）声子： 格波的能量是量子化的: 频率ω的格波具有谐振子一样的分离能量：E = ( n + 1/2 ) ?ω, n = 0,1,2,2,…。则当格波与载流子相互作用时, 格波能量的改变只能是?ω的整数倍; 该晶格振动能量?ω的量子即称为声子（Phonon ）。当格波能量减少?ω时, 就说晶格放出一个声子; 如格波能量增加?ω时, 就说晶格吸收一个声子. 因此晶格与载流子的相互作用可看成是格波对载流子的散射(碰撞)。 由于晶格振动有声学波和光学波两种模式，所以相应的就有两种声子——声学波声子和光学波声子。一个格波,即一种振动模,就称为一种声子；当这种振动模处于(nq+1/2) ?ωq 本征态时，就说有nq个声子, nq是声子数。晶格中共有3Nr个格波,即有3Nr种声子;共有3支声学波声子和(3r－3)支光学波声子；又可有纵向声子和横向声子。 声子本身不导电，但是它能够传热，并且还对载流子产生散射作用——声子散射。晶体的比热、热导、电导等都与声子有关。 用声子可以简明地描述晶格振动,它反映的是晶体原子集体运动状态的激发单元（元激发），因此声子是固体中的一种典型的元激发。声子是Bose子, 则每一个晶格振动的状态可被很多声子所占据；而声子的数目仅与晶格振动的能量有关(决定于温度)，一个晶格振动模式平均的声子占据数目为nj(q) = {exp[?ωj(q) /kT]－1}-1 . 因此,系统中声子的数目随着温度的上升而增加。由于声子的动量q不确定（q和q+ Gn表示相同的晶格振动状态，Gn是倒格子矢量），而且系统中的声子数不守恒(与温度有关), 因此,声子并不是真实的粒子, 而是所谓“准粒子”。 光学波的能量较高（最高能量的格波量子——声子，称为拉曼声子），但是较高能量光学波的动量却很小，因此在载流子的散射和复合过程中往往起着交换能量的作用。晶体中声子的相互作用，有一种过程是两个声子碰撞而产生第三个声子的过程，但声子的动量没有发生变化，即有? q1 + ? q2 = ? q3 （q1、q2和q3分别是第一、第二和第三个声子的动量），这种碰撞就常常简称为正规过程（Normal process）或者N过程。因为正规碰撞过程只改变动量的分布，而不影响热流的方向，故对热阻没有贡献。
第八章 弹性体振动 §8-1 概述 任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成，也就是说这些零部件都是弹性体。但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。因此对工程上常用的连续弹性体(如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统)进行振动分析求出它们的固有频率和主振型，计算他们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。 多自由度系统(离散系统)和弹性体(连续系统)是对同一个客观事物(机器零部件)的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。 x x ) a ) b (( 图8-1 多自由度系统和弹性体的动力学模型 从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。如图8-1(a )所示它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。这样就形成了具有n 个集中质量(m 1、m 2、…m n )和n －1个弹簧(k 1、k 2、…、k n －1)所组成的n 个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移y i (t)表示。弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成如图8-1(b )所示。当一个零件的分段数n →∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x 也从一个离散值(x 1、x 2、…x n )变为连续函数。因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x 和时间t 所表达的二元函数y (x ,t )来表示。这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。 从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。 从振动特性来看，多自由系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。 在本章中，我们只研究弹性体的最简单情况，即等截面的杆、轴的振动，而且假设弹性体的质量和刚度均匀分布，在振动过程中弹性体不产生裂纹，即要求广义坐标的变化是连续的。此外，我们的讨论只局限在线性范围内，即认为弹性体的应力应变关系服从虎克定律，而且是均质各向同性的。
第三章 晶格振动与晶体的热力学函数 一、 填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。 4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T 的关系为U~T 2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 。 11.导体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 和 价电子热运动动能 。 12. 某二维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ω ，准动量为 q 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 3 ) 2(V π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：2 )2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3 c )2(V π，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。
一维晶格振动的局域模研究 戚云泽 ( 大庆师范学院物理与电气信息工程学院, 级物理教育班黑龙江大庆163712) 摘要: 近年来, 纳米材料和单分子操纵技术越来越受到人们的关注。经过原子、分子操纵, 实现在纳米尺度上对材料进行加工, 完成单原子、单分子电子器件的制作, 一直是人们追求的目标。随着单分子操纵技术的不断发展, 人们对单个分子进行操作的梦想已经成为了现实。我们已经能够由不同于以往的从下到上的思想用一个个的原子逐步构建我们所需要的原子器件。这也使得经过改变材料的微观结构对材料的各种基本性质进行调控成为可能。对材料性质的认识和调控离不开对小尺度材料的晶格振动、声子结构和电子结构的研究。本文主要对一维原子链的晶格振动进行了细致的研究。 关键字: 一维原子链, 杂质, 晶格振动、局域模 作者简介: 戚云泽( 1989--) , 男, 黑龙江省鹤岗市人, 大庆师范学院物电学院学生, 0 引言 研究材料的晶格振动, 首先就要研究最简单的情况——完整晶格中的晶格振动情况。 晶体内的原子并不是处在自己的平衡位置上固定不动的, 而是围绕其平衡位置做振动。由于晶体内原子间存在着相互作用力, 各个院子的振动也并非是孤立的, 而是相互联系的, 因此在晶体中形成了各种模式的波。由于晶格的周期性条件, 模式所取的能量值不是连续的而是分立的。对于这些分立的振动模式, 可用一系列孤立的简谐振子来描述。和光子的情形相似, 这些谐振子的能量量子ω 称为声子, 其中ω是振动模式的角频率。 1一维单原子链中的晶格振动
晶格具有周期性。因而, 晶格的振动模具有波得形式, 称为格波。格波和一般的连续介质波具有共同的波的特征, 但也有它不同的特点。 图1-1所示的单原子链能够看作是一个最简单的晶格, 在平衡时相邻原子距离为a( 即晶格常数为a) , 每个原胞内含有一个原子, 都具有相同的质量m, 原子限制在沿链的方向运动。由于热运动各原子离开它的平衡位置, 用μn 代表第n 个原子离开平衡位置的位移, 第n 个原子和第n+1个原子间的相对位移是μμn n _1+, 下面先求由于原子间的相互作用, 原子所受的恢复力与相对位移的关系。 图1-1 一维单原子链 设在平衡位置是, 两原子间的相互作用势能为U( a) ; 原子偏离平衡位置时, 两原子间距离变为r=a+δ, δ为相对位移从μμn n _1+, 势能变为U( a+δ) , 我们把U( a+δ) 在平衡位置附近用泰勒级数展开, 得到: ......2221)()()(2 +???? ????? ??++=+=δδδr d U d dr dU a a a U a U r U ( 1-1) 其中U( a) 为常数, 0=??????dr dU a ( 因为r=a 是为平衡位置, U 处于最低点) 。
126 习题 6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == (),0u x V = 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π= =,… ,...3,2,1i ,x 2l i sin D x)U ~i i ==π（ 由归一化条件2 sin 12l i i x A D dx l πρ? ?= ??? ? 得i D = 即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l i sin Al 2 x)U ~ i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ()0 0sin 2l i i i A V D xdx l πη ρ=? 2i l A V D i ρπ = ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得()0sin i i i i p t p ηη= ，进而有： t 2l a i sin 2l x i sin i 1a 8Vl t sinp a i 2l i 2l AVD 2l x i sin D )t (U ~ )t ,x (u ,... 3,1i 2 2 i i ,... 3,1i i i ,...3,1i i ∑ ∑ ∑ ∞ =∞ =∞ == = = πππππρπη (2)杆的右端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == (),0u x V = 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π= =,…
第五章晶格振动习题和答案 1．什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答]为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似称为间谐近似。在间谐近似下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的振动。每个谐振子的振动模式称为间正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。原子的振动，或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性迭加。 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等3N 。 2．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？ [解答]长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频略较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。 3．温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ [解答]频率为ω的格波的（平均）声子数为 1 1 )(/?=T k B e n ωω?因为光学波的频率0ω比声学波的频率A ω高，（1/0?T k B e ω?）大于（1/?T k B A e ω?） ，所以在温度一定情况下，一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。 4．对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？ [解答]设温度H T 〉L T ，由于（1/?H B T k e ω?）大于（1/?L B T k e ω?） ，所以对同一个振动模式，温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目。 5．高温时，频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？ [解答]温度很高时，T k e B T k B /1/ωω??+≈，频率为ω的格波的（平均）声子数为 ω ωω??T k e n B T k B ≈?=11 )(/可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。 6．喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？ [解答]晶格振动谱的测定中，光波的波长与格波的波长越接近，光波与声波的相互作用才越显著。喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说，该波长属于长波长范围。因此，喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用。长光学波声子的波矢很小，相应的动量q ?不大。而能产生倒逆散射的条件是光的入射
Lattice vibrational modes and Raman scattering spectra of strained phosphorene Ruixiang Fei and Li Yang Citation: Applied Physics Letters 105, 083120 (2014); doi: 10.1063/1.4894273 View online: https://www.doczj.com/doc/d75402660.html,/10.1063/1.4894273 View Table of Contents: https://www.doczj.com/doc/d75402660.html,/content/aip/journal/apl/105/8?ver=pdfcov Published by the AIP Publishing Articles you may be interested in Direction dependent thermal conductivity of monolayer phosphorene: Parameterization of Stillinger-Weber potential and molecular dynamics study J. Appl. Phys. 117, 214308 (2015); 10.1063/1.4922118 Silicon nanocrystals with high boron and phosphorus concentration hydrophilic shell—Raman scattering and X-ray photoelectron spectroscopic studies J. Appl. Phys. 115, 084301 (2014); 10.1063/1.4866497 Vibrational mode and dielectric function spectra of BGaP probed by Raman scattering and spectroscopic ellipsometry J. Appl. Phys. 109, 053504 (2011); 10.1063/1.3549806 Raman scattering on quadrupolar vibrational modes of spherical nanoparticles J. Appl. Phys. 104, 073519 (2008); 10.1063/1.2981083 Raman spectra of P 4 at low temperatures J. Chem. Phys. 119, 5918 (2003); 10.1063/1.1602062
126 习 题 6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π= =,… 由归一化条件2 0sin 12l i i x A D dx l πρ? ?= ?? ?? 得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l i sin Al 2x)U ~ i == π ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得() 0sin i i i i p t p ηη=，进而有： (2)杆的右端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π==,… 由归一化条件 1)2cos (2 =? dx l x i C A i l πρ得Al C i ρ2= 即正则振型为,...5,3,1i ,x 2l i cos Al 2x)U ~ i == π ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得() 0sin i i i i p t p ηη= ，进而有： 6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。 (1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示； (2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；
一维晶格振动的局域模研究 戚云泽 （大庆师范学院 物理与电气信息工程学院，2008级物理教育班 黑龙江 大庆163712） 摘 要：近年来，纳米材料和单分子操纵技术越来越受到人们的关注。通过原子、分子操纵，实现在纳米尺度上对材料进行加工，完成单原子、单分子电子器件的制作，一直是人们追求的目标。随着单分子操纵技术的不断发展，人们对单个分子进行操作的梦想已经成为了现实。我们已经可以由不同于以往的从下到上的思想用一个个的原子逐步构建我们所需要的原子器件。这也使得通过改变材料的微观结构对材料的各种基本性质进行调控成为可能。对材料性质的认识和调控离不开对小尺度材料的晶格振动、声子结构和电子结构的研究。本文主要对一维原子链的晶格振动进行了细致的研究。 关键字：一维原子链，杂质，晶格振动、局域模 作者简介：戚云泽（1989--），男，黑龙江省鹤岗市人，大庆师范学院物电学院学生， 0 引言 研究材料的晶格振动，首先就要研究最简单的情况——完整晶格中的晶格振动情况。 晶体内的原子并不是处在自己的平衡位置上固定不动的，而是围绕其平衡位置做振动。由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个院子的振动也并非是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体中形成了各种模式的波。由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。对于这些分立的振动模式，可用一系列孤立的简谐振子来描述。和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子ω 称为声子，其中ω是振动模式的角频率。 1 一维单原子链中的晶格振动 晶格具有周期性。因而，晶格的振动模具有波得形式，称为格波。格波和一般的连续介质波具有共同的波的特征，但也有它不同的特点。 图1-1所示的单原子链可以看作是一个最简单的晶格，在平衡时相邻原子距离为a （即晶格常数为a ），每个原胞内含有一个原子，都具有相同的质量m ，原子限制在沿链的方向运动。由于热运动各原子离开它的平衡位置，用μn 代表第n 个原子离开平衡位置的位移，第n 个原子和第n+1个原子间的相对位移是μ μn n _1+，下面先 求由于原子间的相互作用，原子所受的恢复力与相对位移的关系。
第3章弹性体振动学简介 在以上的讨论中，我们都包含着这样的假定：振动系统的质量是集中于一点的，即质量块的密度分布是均匀的；弹簧的压缩与伸长也是均匀的。当然，涉及的其他参量，例如摩擦阻尼的分布同样也应是均匀的。总而言之，描述系统的参量都作为同空间分布无关的集总参数处理的。这种系统，我们称之为集总参数系统②。在这种情况下，整个系统的运动只要 一个时间变量‘就可以完全描述。采取这种简化的方法处理问题，可以避免繁杂的数学运算，并可获得研究物体振动的一些基本规律。这在本章的开头就已经加以说明。 事实上，物体的大小是有限的，而且在一般情况下，其线度大多数都和声波的波长可以比拟。这时，“质点”的假定就不再成立。在许多情况下，质量在空间均有一连续的空间分布，甚至在空间某一部分的质量本身还具有弹性和阻尼，这种系统称为分布参数系统。具有这种性质的物体称为弹性体。例如，扬声器的纸盆与传声器的振膜，它们的质量在空间都是 连续分布的，而且质量的每一部分又具有弹性与阻尼的特性。描述这类物体的振动，如果只用时间一个变量，显然是不够的，还必须引入空间位置的变量。这时变量就将多达四个，即空间位置变量X、y、Z和时间变量‘，因此，问题的求解也比较复杂。 作为研究问题的理论基础，对于几何形状比较简单的弹性体，例如，弦、棒、膜等的分析研究。分析它们的振动规律，不仅具有重要的理论意义，而且对于实际问题的理解也是十分重要的。在录音中经常要遇到的各种乐器，从弦乐器、吹奏乐器直至打击乐器，无不涉及弹，r生体的振动问 本节不可能进行详细讨论，只想从物理意义上作某些介绍，以求有一概念 性的了解。需要深入了解的读者可参阅有关文献。 3.1 张紧的弦 所有的弦乐器，不论它是拉弦乐器、拨弦乐器还是敲弦乐器，几乎都是依靠张紧的弦振动发声的。一般地说，弦的振动方式有两种：一种是振动的方向与振动的传播方向(即与弦的方向)相一致，这种振动叫做纵振动；另一种是振动方向与振动的传播方向相垂直，这种振动称为横振动。尽管弦振动包含着这两种不同的振动形式，但在实际问题中，往往横振动 具有更加重要的意义。例如，对于拉弦乐器来说，重要的是应使其产生横振动，而应尽可能避免纵振动的产生。纵振动产生的音，比长度相同的弦的横振动产生的音要高得多。在演奏拉弦乐器时，如果同时激发了这两种振动方式，所发出的声音将会给人以一种很不愉快的感觉。初学小提琴者奏出的那种令人难受的声音就是一个典型的例子。 对于截面积与密度均匀、两断固定并张紧的弦而言，其振动方程是： (3．1．1) 31‘ C a2‘
第三章晶格振动与晶体的热力学函数 一、填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V的ZnS晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T3。 4. 某三维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T的关系为U~T2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于晶格振动能。 11.导体中与温度有关的内能来源于晶格振动能和价电子热运动动能。 12. 某二维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学
波；另有 2N 支光学波。 14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ωη ，准动量为 q ρ η 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 3 )2(V π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 2 ) 2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间 中的波矢密度为：π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3 c ) 2(V π，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。
习 题 1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 m g k δ= 其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知 δ=3 24mgh EJ = 则 k =3 24E J h 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 " m x k x =- 所以固有频率3 n 24mh EJ p = 1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ 2 a θ＝h α 2F cos α＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 82 2 cos sin 1212 2 -=-≈?-=== =αθ αθ 题1-1图 题1-2图 θ F sin α 2 θ α h mg θ
其中 12 c o s s i n ≈≈θ α α h l ga p h a mg ml n 2 2 2 2 2 30 412 1==?+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π 2π22 2 = == 1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。即为 2 1211k k k k k += '，212132 k k k k k k ++='，4 241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++= ) (42412132314 214324212 k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++= 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。 解： 111/l GJ k = （1） 22 2/l GJ k = （2） 33 3/l GJ k = （3） )/(23323223l J l J J GJ k += （4） ) (/)()4)(3)(2(1/)(233211322133212 2312 l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知 ）由（ 题1-3图 题1-4图