126 习题
6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定；
杆的初始条件为：()()0,00u x u x ==
(),0u x V =
由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a
p i l
π=
=,… ,...3,2,1i ,x 2l
i sin
D x)U ~
i i ==π（ 由归一化条件2
0sin 12l
i i x A D dx l πρ?
?= ??
??
得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l
i sin Al 2x)U ~
i ==
π
ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为
()0
0sin
2l
i i i AVD xdx l πηρ=?2i l AVD i ρπ
= ()00i η=，i=1，3，5，…
由式（８－４０）得()
0sin i i i i
p t p ηη=
，进而有：
t 2l a i sin 2l x i sin i 1a 8Vl t sinp a i 2l i 2l AVD 2l x i sin D )t (U ~
)t ,x (u ,...
3,1i 2
2i i ,...3,1i i i ,...
3,1i i ∑∑∑∞=∞
=∞
===
=πππππρπη
(2)杆的右端突然固定；
杆的初始条件为：()()0,00u x u x ==
(),0u x V =
由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a
p i l
π=
=,… ...5,3,1i ,x 2l
i cos C x)U ~
i
i ==π（ 由归一化条件
1)2cos
(2
=?
dx l
x i C A i l
πρ得Al
C i ρ2=
127
即正则振型为,...5,3,1i ,x 2l
i cos Al 2x)U ~
i ==
π
ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为
?--==l
i i i i i l
AV C dx l x i AVC 02
1
)
1(22cos )0(π
ρπρη
()00i η=，i=1，3，5，…
由式（８－４０）得()
0sin i i i i
p t p ηη=
，进而有：
t
2l a
i sin 2l x i cos i 1)1(a 8Vl t sinp a i 2l i 2l AVD 2l x i sin D )t (U ~
)t ,x (u ,...3,1i 2
2
12i i ,...3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞
=-∞
=∞
=-==
=πππππρπηi
6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。 (1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示；
(2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；
(3) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。 解：
（1） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 0/2
P EA
ε=
杆的初始条件为
()()()0000/2
,0{
/2x
x l u x u x l x l x l
εε≤≤==-≤≤
因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为
()()(
)1,2,sin
1,2,i i i ia P i l
i U x D x i l
a ππ=
=???==???=
题6-2图
将主振型代入归一化条件，得
2
sin1
l
i
i
i
A D x dx
l
D
π
ρ??=
?
??
=
?
得到正则振型
(
)()
~
1,2,
i
i
U x x i
l
π
==???
得到以正则坐标表示的初始条件为
()()
()()
2
0022
2
0sin sin
2
01,2,
l
i i i
i
i l i
Au x D xdx A D
l i
x i
ππ
ηρρε
π
η?
==
==???
?
得到以正则坐标表示的对初始条件的响应
()0cos
i i i
p t
ηη
=
于是杆的自由振动
(),
u x t=()
2
~
022
1,2,1,2,
2
sin sin cos
2
i i i i i
i i
i l i
U t D x A D p t
l i
ππ
ηρε
π
∞∞
=???=???
=
∑∑
=0
22
1,2,
sin
42
sin cos
i
i
i
l i
x p t
i l
π
επ
π
∞
=???
∑
()12
22
1,3,
1
2
sin cos
i
i
pl i i a
x t
EA i l l
ππ
π
-
∞
=???
-
=∑
（2）根据题意，0
t=时杆内的应变
120
2/3/3
P P P
EA EA EA
εεε
===
设
杆的初始条件为
()()
()
1
2
0/3
,0{
/3
x x l
u x u x
l x l x l
ε
ε
≤≤
==
-≤≤
()
2
0/3
3
{
1
/3
3
x x l
l x l x l
ε
ε
≤≤
=
-≤≤
因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为
128
129
()
()()
1,2,sin 1,2,i i i ia P i l
i U x D x
i l
ππ
=
=???==???
将主振型代入归一化条件，得
2
0sin 1l
i i i A D x dx l D πρ?
?
= ??
?
=
?
得到正则振型
(
)()~
1,2,i i U x x i l
π=
=???
得到以正则坐标表示的初始条件为
()()()()
2002200sin sin
30
1,2,l
i i i i i l i Au x D xdx A D l i x i ππ
ηρρεπη?
====???? 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 ()0cos i i i p t ηη= 于是杆的自由振动
(),u x t =()2~
0221,2,1,2,sin sin cos 3i i i i i i i i l i U t D x A D p t l i ππ
ηρεπ∞
∞
=???=???
=∑∑
=
02
21,2,sin
23sin cos i
i i l
i x p t i l
π
εππ∞
=???
∑
22
121sin cos i pl i i a
x t EA i l l
πππ∞==∑
（3） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 0P EA
ε= 杆的初始条件为
()()()
()
00000/4,0{/2/43/43/4x
x l u x u x l x l x l l x l x l
εεε≤≤==-≤≤-≤≤
130 因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为
()
()()
1,2,sin 1,2,i i i ia P i l
i U x D x
i l
ππ
=
=???==???
将主振型代入归一化条件，得
2
0sin 1l
i i i A D x dx l D πρ?
?
= ??
?
=
?
得到正则振型
(
)()~
1,2,i i U x x i l
π=
=???
得到以正则坐标表示的初始条件为
()()()()
20022030sin sin sin 440
1,2,l
i i i i i l i i Au x D xdx A D l i x i πππηρρεπη?
??
==- ???==???? 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 ()0cos i i i p t ηη= 于是杆的自由振动
(),u x t =()2~
0221,2,1,2,3sin sin sin
cos 44i i i i i i i i l i i U t D x A D p t l i πππ
ηρεπ∞
∞
=???=???
??
=- ???
∑∑ =022
1,2,3sin sin
244sin cos i
i i i l i x p t i l
π
πεππ∞=?????
- ?
??∑
()2
4
22
2,6,1014sin
cos i i pl
i i a x t EA i l l
πππ-∞
=???-=∑
6-3 如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力l
F p 0
0=的作用，求分布力突然移去时杆的响应。
解：杆左端固定端，右端为自由端
())sin cos )((,pt B pt A x U t x u +=
题6-3图
131
a
px D a px C x U sin cos
)(+= 边界条件
0)0(=U
0==l
x dx
dU
得固有频率，主振型
a l i p i 2)12(π-=
x l
i D x U i i 2)12(s i n )(π
-= i=1,2,…… )2sin 2cos (2sin
),(,3,1t l
a
i B t l a i A l x i t x u i i i πππ+=
∑
∞
?
?= 杆在x 处的应变
?
=x
dx EA
x l F 0
0εEAl x F 220=
初始条件
??
???===
==?
?0)()0,(2)()0,(03
000x u x u EAl x F x x u x u ε 由0)()0,(0==?
?
x u x u ，得 0=i B
t l
a
i A l x i t x u i i 2cos 2sin
),(,3,1ππ∑
∞
?
?==
再利用三角函数正交性
??==l l
i dx l x i x dx l x i A 0002
2sin )2(sin πεπ?=l dx l
x
i EAl x F 03
02sin 2π
得EA
i l F A i 33016π=
t l a i A l x i t x u i i 2cos 2sin ),(,3,1ππ∑∞
?
?==t l a
i l x i i EA i l F i 2cos 2sin 116,3,13
330πππ∑∞
??==
解二：用直接法。
因为ε=x p dx p x
000=? 其中，l
F p 0
0=
杆的初始条件为 ()()?
==x
x u x u 0
00,EA ε
dx =EAl
x F 22
132 ()()00,0==x u x u
由于此题为一端自由一端固定，则由公式可直接得出杆的固有频率及主振型
(1,3,5......)2()sin (1,3,5......)
2i i i i a
p i l
i U x D x i l ππ
=
===
将主振型代入归一化条件得
得2
(sin
)12l
i i i A D x dx l
D πρ==
?
得到正则振型为
()x l
i Al x U i 2sin 2~
π
ρ=
i=1,3,5… 则得到正则坐标表示的初始条件为
()()xdx l i Al EAl x F A dx U x Au l i l
i 2sin 22~
002000
πρρρη??
===??
?
??-ππρπ
ρi i Al Ei l F 22sin 242
220 i η
()00= i=1,3,5… 以正则坐标表示对初始条件的响应为
(0)cos i i i p t ηη=
得到杆对初始条件的总响应
()()(
)t l
a
i i i Al Ei l F x l i Al x U t x u i i i i 2cos
22sin 242sin 2~
,2220...
5,3,1...
3,2,1πππρπ
ρπ
ρη??? ??-=
=
∑∑
∞
=∞
= 即 t l a
i l x i i
EA l F t x u i 2πcos 2πsin 1π16),(,3,13
30∑∞=?=
6-4 假定一轴向常力F 突然作用于题6-2的等直杆的中点处，初始时刻杆处于静止平衡状态，求杆的响应。
解：()cos
sin p p
U x C x D x a a
=+ 由题意知，边界条件为
()()000
U U l ==
由此解出固有频率(1,2,....)i i a
P i l
π=
=
133
()sin
i i i x
U i D l
π= 将主振型代入归一化条件
20
1l
i
AU
dx ρ=?，得
2
0sin 1l
i i i A D x dx l D πρ?
?
= ??
?
=
?
得到正则振型 (
)()~
1,2,i i U x x i l
π==???
由2
0(,)l
i i
i i p q x t U dx ηη+=?因为()P t P =为集中力，不是分布力
2(,)()()()
()sin
l
l i i i i x
q x t U dx p t x U dx p t U P
Al l
πδξξρ=-==?
?
所以由上式得稳态响应
π()(1cos )(1,2,3...)2i i i a t t i l
πη=-= 0,1,2
π(,)()()(1cos )2i i j i i x i i a
U x t U x t t l l
ππη∞
∞
===
=
-∑
∑
2
2
22
1,3,
2(1)
ππ (,)sin
(1cos )πi i Pl i x i a
u x t t EA i l l
-∞
=-=
?-∑（i=1，2，3…）
6-5 假定题6-3的等直杆上作用有轴向均匀分布的干扰力t l
F ωsin 0
，求该杆的稳态强迫振动。 解：
因为杆是一端固定，可得固有频率和主振型为
()
()()
1,3,52sin 1,3,52i i i ia P i l
i U x D x i l
ππ=
=???==???
将主振型代入归一化条件，得
2
sin1
2
l
i
i
i
A D x dx
l
D
π
ρ??=
?
??
=
?
得到正则振型
(
)()
~
1,3,5
2
i
i
U x x i
l
π
==???
又第i个正则方程为
()
2
,
l
i i i i
p q x t U dx
ηη
+=?
sin sin
2
l F i
t xdx
l l
π
ω
=?
()
2
sin1,3,5
i
D F
t
i
ω
π
=???
所以可得正则坐标的稳态响应为
()()0
22
2
sin
i
i
i
D F
t t
p i
ηω
ωπ
=
-
杆的稳态响应振动为
u（x，t）()
~
1,3,5,
i i
i
U t
η
∞
=???
=∑()
22
1,3,5
4sin1
sin
2
i i
F t i
x
Al l
i p
ωπ
ρπω
∞
=???
=
-
∑
其中,
2
i
i a
p a
l
π
=。
6-6 一根两端自由的等直杆，中央作用有一轴向力
2
1
1
)(??
?
?
?
?
=
t
t
F
t
F，其中F1、t1为常数，假设起初杆处于静止，求杆的响应。
解：()cos sin
p p
U x C x D x
a a
=+
a=
s i n c o s
d U p p p p
C x
D x
d x a a a a
=-+
由题意知，边界条件为
0,0
x x l
dU dU
dx dx
==
==由这些边界条件得
0,
D=sin0
p p
C l
a a
-=，所以
i
p a
l
π
=
134
135
i i p a l
π
=
0,1,2,3i = 所以()cos i i i U x C x l π
= 0,1,2,3i = 由
2
(cos
)1l
i i A C x dx l πρ=?
所以
i C = 0,1,2,3i =所以
()i i U x x l
π=
0,1,2,3
i =
由2
(,)l
i i
i i p q x t U dx ηη+=? 由于2
11
()()t
p t P t =集中力，而非分布力
所以
2
100
1
(,)()()()()()cos l
l
i i i i t q x t U dx p t x U dx p t U C P i t δξξπ=-==?? ()22
21111
()cos ()1,0,2,4,
2i
i i t i t C P C P i t t π=-=，因为是在中央作用力，所以2
l
ξ=
所以 ，由上式求得稳态响应 2
121
1()()cos i i i t t C P i p t ηπ=
当2,4,
i =时，0i p ≠，
()
()()2
2
1
122
2
121
1
()()1sin ()111cos 22cos i t
i i i i i i i i i t C P p t d p t C P t t p t p t p t τ
ηττ
=
--=
---+?
当0i =时，0i p =，
21
13
211211
04
12
1
10()()3()12t t t P t dv dt Al
t t P P t t v dt Al Al t P t t vdt Al
ρρρηρ===
==
?? 所以
2
120,1,2
0,1,2
1
2
1
2
20,1,2
11(,)()()cos
()cos 2(1)cos i i i i j j i j
j i i t U x t U x t C x C P i l p t Pt i x Alt p l
πηππ
ρ∞
∞
==∞
==
=?-=
∑
∑
∑
136 ()()4121
2,4,
4
1
222
12122,4,1
(,)()()
12111cos 22cos 12i i i i
i i i i i i t P t U x t U x t Al t
P t C C P t t p t p t Al p t ηρρ∞
=∞==+=+---+∑∑
6-7 一根等直圆轴的两端连接着两个相同的圆盘，如题6-7图所示，已知轴长l ，轴及圆盘对轴中心线的转动惯量分别为I s 及I 0，求系统扭转振动的频率方程。
解：2
2
222x
a t ??=??θθ （ρG a =2
） 设)sin cos )((),(t B t A x U t x ωωθ+= 代入运动微分方程得
0)()(22
2
2
=+x U a
dx x U d ω
上式的解可表示为a
x
D a
x
C x U ωωsin
cos )(+=
其边界条件
当x =0时， )0()2(0U K dx
dU
I I G s θ-=+ 当x =l 时， )()
2(0l U K dx
dU
I I G s θ-=+ U （0）=U(l )
1) ()( 2
tan 2200-=∴a
l I I a l I I a l s s ωωω , 其中 ρG a =2
6-8 题6-8图中的等直圆轴一端固定，另一端和扭转弹簧相连，已知轴的抗扭刚度为GJ p ，质量密度为ρ，长度为l ，弹簧的扭转刚度为θk ，求系统扭转的频率方程。 解：
一维振动波方程为x a t 22
222??=??θθ （ρ
G a =2
）
设)sin cos )((),(t B t A x U t x ωωθ+= 代入运动微分方程得：
题6-8图
题6-7图
137
(ω为波动频率)
上式的解可表示为a
x
D a
x
C x U ωωsin
cos )(+= （a ）
其边界条件为 ：
在x = 0 处 0)(=x U ， （b ） 在l x =处 )(l U k dx
dU
GJ F
θ-= （c ） 将（a ）代入（b ）得：0=C x a
D x U ω
sin )(= （d ）
将（d ）代入（c ）得：l a
D k l a
a
D
GJ F ω
ω
ω
θsin
cos
-=
得关于频率ω的频率方程为a
l l k GJ a l
p tan ωωθ-
= , 其中 ρG a =2
6-9 写出题6-9图所示系统的纵向振动频率方程，并写出主振型的正交性表达式。
解：⑴ 该题中杆的振动方程为：
..].........sin cos )[(),(pt B pt A x U t x u +=<1>
其中)/()........./sin()/cos()(2ρE a a px D a px C x U =+= 由于边界条件中U （0）=0
代入U （x ）中得C=0
再将U （x ）代入<1>中 ，由<1>知：
l
x x
u =??=
)sin cos (sin pt B pt A a
pl
a pD + )sin cos (sin
22
2pt B pt A a
pl
D p t u
l
x +-=??= 再由边界知：
EA
l
x l
x l
x t
u m x ku x
u ===??--=??2
2)(
2cos sin sin p p p p EAD
l mDp l kD l a a a a
=- 得：a
p
EA k mp a pl =-)(tan 2
0)()(22
22=+x U a
dx x U d
ω题6-9图
138 即：
k
mp EA
a pl p a -=
2tan ⑵ 已知方程
)(22x u
EA x t
u A ????=??ρ
AU p x
U
EA x 2)d d (d d 1ρ-=><代入该式中得
将 22,,j j i i p U p U 及另一特解取一特解
><-=2.......)d d (d d
2i i i U A p x
U EA x ρ得：
由><2乘并对杆积分得dx U U A p dx dx
dU EA dx d
U j l i i i l
j
??
-=020)(ρ
所以><-=-??3...............)(0200dx U U A p dx dx
dU dx dU EA dx dU EA U j l i i j
l i l
i j ρ
由l
x l x l
x t
u
m x ku x
u
EA
===??--=??2
2)(
得：
)
()()
(2l U k mp dx x dU EA
l
x -==ij
j j i j l
i ij
j i j l
i j i j l
i j l
i j i j
j i j l
i j l
i j i i p l U l kU dx U EAU l U l m U dx U U A l U l kU dx U EAU dx U U A l U l m U p j i l U l kU dx U EAU dx U U A l U l m U p U δδρρρ2'0
'0
'0
'0
2'0
'0
2)()(5)()(5).....()(])()([,4).....()(])()([30
)0(=+><=+>
<+=+>
<+=+><=??????得将上式代入两式相减得：互换
得代入及
所以，其解为正交。
139
6-10 试求具下列边界条件等截面梁的横向弯曲振动频率方程及主振型∶ (1) 两端固定；一端固定、一端简支；一端简支、一端自由。 6-11 求下列情况中常力F 突然移去时等截面简支梁的自由振动∶ (1) 常力F 作用于x = a 处，如题图6-11(a)所示；
(2) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于梁的四分之一点及四分之三点处，如题图6-11(b)所示。
6-12 假定上题的简支梁承受强度为p 0的均匀分布力，求分布力突然移去时梁的响应。 6-13 一简支梁在t = 0时除两端点外梁上所有点都得到横向速度v ，求梁的响应。 6-14 一常力F 突然加在简支梁的中点，求梁的响应。 6-15 一简支梁在距左端
3l 和3
2l 处作用有两个横向干扰力t F ωsin 0，求梁的稳态响应。 6-16 一简支梁在左半跨上作用有强度为t p ωsin 0的分布力，求梁中央处的振幅。 6-17 试求简支梁在正弦分布的横向干扰力t l
x
p t x p ωπsin sin
),(0=作用下的稳态响应。
6-18 简支梁受分布干扰力t p t x p ωsin ),(0=作用，求梁的稳态响应。 6-19 简支梁受分布干扰力t p l
x
t x p ωsin ),(0=
的作用，求梁的稳态响应。 6-20 一简支梁在x = l 端的支座有t b t y l ωsin )(=的横向运动，求梁的稳态响应。
6-21 如题6-21图所示，等截面悬臂梁的自由端有一弹性支撑，其弹簧刚度为k ，求频率方程和主振型的正交性条件。
6-22 试求两端附有集中质量m 的自由等截面梁的频率方程及主振型正交性条件。 6-23 如题6-23图所示，简支梁上附有两个相等的集中质量m ，m 值等于全梁质量的一半，试用瑞利法求系统的基频，并用里兹法求基频和第二阶固有频率。
6-24 如题6-24图所示，一根矩形截面杆一端固定一端自由，其长度为l ，厚度为b ，横截面积
题6-21图 题6-23图
题6-11图
140 A 按直线规律变化∶??
?
??+=l x A x A 1)(0，其中0A 为自由端的截面积，试用里兹法求纵向振动的第一及第二阶固有频率。假设基频函数
2211)(l x x -=ψ 33
21)(l
x x -=ψ
6-25 两端固定的等截面梁，中央有一集中质量m ，如题6-25图所示，设振型函数
??
? ??
-=x l Y x Y π2cos 1)(0，用瑞利法求梁横向振动的基频。
6-26 题6-26图所示为一等截面悬臂梁，(1) 选基础函数
21)(??
?
??=l x x ψ，
3
222)(??? ??-??? ??=l x l x x ψ用里兹法求第一及第二阶固有频率，并与精确值比较；(2) 分别取)(1x ψ及)(2x ψ作振型函数，用瑞利法求梁的基频，并与(1)的结果比较。
题6-26图
题6-25图
题6-24图
第6章--弹性体的一维振动题解
126 习题 6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0 ,00u x u x == (),0u x V =& 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π==,… ,...3,2,1i ,x 2l i sin D x)U ~ i i ==π（ 由归一化条件 2 0sin 12l i i x A D dx l πρ? ?= ?? ??得2 i D Al ρ= 即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l i sin Al 2x)U ~ i == π ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ()0 0sin 2l i i i AVD xdx l πη ρ=?&2i l AVD i ρπ = ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得()0sin i i i i p t p ηη = &，进而有： t 2l a i sin 2l x i sin i 1a 8V l t sinp a i 2l i 2l AV D 2l x i sin D )t (U ~ )t ,x (u ,...3,1i 2 2i i ,... 3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞=∞ =∞ === =πππππρπη (2)杆的右端突然固定；
127 杆的初始条件为：()()0 ,00u x u x == (),0u x V =& 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π==,… ...5,3,1i ,x 2l i cos C x)U ~ i i ==π（ 由归一化条件1)2cos (2 =? dx l x i C A i l πρ得Al C i ρ2= 即正则振型为,...5,3,1i ,x 2l i cos Al 2x)U ~ i == π ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ?--==l i i i i i l AV C dx l x i AVC 0 2 1 )1(22cos )0(π ρπρη& ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得()0sin i i i i p t p ηη = &，进而有： t 2l a i sin 2l x i cos i 1)1(a 8Vl t sinp a i 2l i 2l AVD 2l x i sin D )t (U ~ )t ,x (u ,...3,1i 2 2 1 2i i ,...3,1i i i ,...3,1i i ∑∑∑∞ =-∞ =∞ =-== =πππππρπηi 6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。 (1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示； (2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；
第十章参考标准 为了方便现场诊断查找使用，我们把收集到的各类有代表性的诊断标准，按照国际标准化组织、国际电工委员会、相关国家标准和诊断对象分类列出，同时把属于同类设备的有关标准排列在一起，它们在数值上可能有些差异，我们可以根据诊断对象的具体情况参照选用。在每个标准后面，以“注”的形式简要说明了该标准的主要特点、约束条件及应用范围。 第一节国际标准化组织（ISO）的相关标准文件 一、可予采用的国际标准 ISO 1925机械振动——平衡——名词术语 ISO 1940（全部）机械振动——刚性转子的平衡品质要求 ISO 2017-1机械振动与冲击——弹性安装系统——第一部分：主动与被动隔离的应用 ISO 2041振动与冲击——名词术语 ISO 2954旋转与往复机器的机械振动——对振动烈度测量仪的要求 ISO 5348 机械振动与冲击——加速度计的机械安装 ISO 7919（全部），非往复机械的振动——在转轴上的测量及评价准则 ISO 8528-9由往复式内内燃机驱动的交流发电机组——第九部分：机械振动的测量与评定 ISO 8569机械振动与冲击——振动与冲击对室内敏感设备影响的测量与评价 ISO 10816（全部），机械振动——在非旋转部件上测量和评价机器的机械振动 ISO 11342：1998，机械振动——挠性转子机械平衡的方法与准则 ISO 13372，机器的状态监测及诊断——名词术语 ISO 13373-1，机器的状态监测及诊断——振动状态监测与诊断——第一部分：总则 ISO 13379，机器的状态监测及诊断——数据解释及诊断技术的一般指南ISO 14694，工业风机——平衡品质与振动水平技术要求
汽轮发电机组振动特性及处理对策 ——云南电力试验研究院（集团）公司穆钢 前言 汽轮发电机组振动状况对于机组的安全运行有至关重大的影响，轻则产生噪音（旋转机械的谐波干扰），影响机组的安全使用寿命；重则破坏机组的正常运行，损坏机组部件危及安全生产；更为严重者，可能会造成整个机组的灾难性破坏。汽轮发电机组振动状况是国家综合工业实力的表征；机械制造技术水平的重要标志；发电企业生产管理水平的重要体现。 汽轮发电机组振动处理经历过三个阶段：原始型-经验型-故障诊断型。 汽轮发电机组振动是一项复杂的工程技术问题，其难点在于：同一振动现象，所产生的原因却各不相同，就当代的技术水平而言，还不能确定机组振动在现象-产生原因-处理措施三个方面完全意义上的一一对应关系；同一振动原因对于不同的机组，处理对策却各不相同。 汽轮发电机组各种各样的振动原因，可归纳为三个方面的问题 （1）干扰力和干扰力矩的作用； （2）轴承油膜的不稳定和汽隙中的压力不稳定； （3）转子-轴承-基础系统中，支承系统的弹性变形和不稳定性。 在分析、处理机组振动故障的过程中，能否正确判断影响机组振动诸因素中的关键因素是属于哪一个方面的问题，是否有一个正确的原则性判论，是成功的处理机组振动故障的关键之所在。 转子振动的基本特性 一、临界转速 与转子固有频率相对应的转速，称为转子的临界转速。 数学表达式： ω= √K / M K：转子的刚度；
M：转子的质量。 表达式表明： 转子的结构和质量决定之后，其自由振动的固有频率就确定了，转子有一系列的固有频率，同理，转子就有一系列的临界转速。 二、共振 转子以转速n旋转时，由于不平衡质量所产生的惯性离心力也以转速n的频率施加于转子本身，使转子受到周期性的干扰力。 当干扰力对转子的作用频率与转子的固有振动频率相同时，即ω =ωn ，称为共振。 机组发生共振时，振幅激剧增加振动强烈，当改变转速时，共振引起的振动将随之减小或消失。 工作转速避开共振转速的安全裕量： 柔性转子 1.4 n1< n < 0.7n2 ; 刚性转子 n1=（1.25～1.8）n 。 三、正进动、反进动 考虑静弯曲（偏心矩e）时的单轮盘转子在x、y方向上的振动微分方程式： M d2x +k x x = Meω2 cosωt dt2 M d2y +k y x = Meω2 sinωt dt2 上式是二阶非齐次方程，其通解为： x=c 1cosω 1 t+c 2 sinω 1 t+A x cosωt y=c 1sinω 1 t+c 2 cosω 1 t+A y sinωt 式中的前二项是对应齐次方程（无阻尼情况下）的通解，在有阻尼情况下，这二项将迅速消失，在外干扰力作用下的振动，实际上只有第三项，即: x = A x cosωt
习题 6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == (),0u x V = 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π= =,… ,...3,2,1i ,x 2l i sin D x)U ~ i i ==π（ 由归一化条件2 0sin 12l i i x A D dx l πρ? ?= ?? ?? 得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l i sin Al 2x)U ~ i == π ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ()0 0sin 2l i i i AVD xdx l πηρ=?2i l AVD i ρπ = ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得() 0sin i i i i p t p ηη= ，进而有： t 2l a i sin 2l x i sin i 1a 8V l t sinp a i 2l i 2l AV D 2l x i sin D )t (U ~ )t ,x (u ,...3,1i 22i i ,... 3,1i i i ,... 3,1i i ∑∑∑∞=∞ =∞ === =πππππρπη (2)杆的右端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == (),0u x V = 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π= =,… ...5,3,1i ,x 2l i cos C x)U ~ i i ==π（ 由归一化条件 1)2cos (2 =? dx l x i C A i l πρ得Al C i ρ2=
振动常用术语 1. 机械振动 物体相对于平衡位置所作的往复运动称为机械振动。简称振动。 例如，机器箱体的颤动、管线的抖动、叶片的摆动等都属于机械振动。 振动用基本参数、即所谓“振动三要素” —振幅、频率、相位加以描述。 3. 振幅 3.1 振幅 振幅是物体动态运动或振动的幅度。 振幅是振动强度和能量水平的标志，是评判机器运转状态优劣的主要指标。 3.2 峰峰值、单峰值、有效值 振幅的量值可以表示为峰峰值（pp）、单峰值（p）、有效值（rms）或平均值（ap）。峰峰值是整个振动历程的最大值，即正峰与负峰之间的差值；单峰值是正峰或负峰的最大值；有效值即均方根值。 只有在纯正弦波(如简谐振动)的情况下，单峰值等于峰峰值的1/2，有效值等于单峰值的0.707倍，平均值等于单峰值的0.637倍；平均值在振动测量中很少使用。它们之间的换算关系是：峰峰值＝2×单峰值＝2×21/2×有效值。此换算关系并无多大的实用价值，只是说明振幅在表示为峰峰值、峰值、有效值时，数值不同、相差很大。 3.3 振动位移、振动速度、振动加速度 振幅分别用振动位移、振动速度、振动加速度值加以描述、度量，三者相互之间可以通过微分或积分进行换算。在振动测量中，除特别注明外，习惯上，振动位移的量值为峰峰值，单位是微米[μm]或密耳[mil]；振动速度的量值为有效值，单位是毫米/秒[mm/s]或英寸/秒[ips]；振动加速度的量值是单峰值，单位是重力加速度[g]或米/秒平方[m/s2]，1[g] = 9.81[m/s2]。 可以认为，在低频范围内，振动强度与位移成正比；在中频范围内，振动强度与速度成正比；在高频范围内，振动强度与加速度成正比。因为频率低意味着振动体在单位时间内振动的次数少、过程时间长，速度、加速度的数值相对较小且变化量更小，因此振动位移能够更清晰地反映出振动强度的大小；而频率高，意味着振动次数多、过程短，速度、尤其是加速度的数值及变化量大，因此振动强度与振动加速度成正比。 也可以认为，振动位移具体地反映了间隙的大小，振动速度反映了能量的大小，振动加速度反映了冲击力的大小。 在实际应用中，大型旋转机械的振动用振动位移的峰峰值[μm]表示，用装在轴承上的非接触式电涡流位移传感器来测量转子轴颈的振动；一般转动设备的振动用振动速度的有效值[mm/s]表示，用手持式或装在设备壳体上靠近轴承处的磁电式速度传感器或压电式加速度传感器（如今主要是加速度传感器）来测量；齿轮和滚动轴承的振动用振动加速度的单峰值[g]表示，用加速度传感器来测量。
第五章 晶格振动习题和答案 1．什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似称为间谐近似。在间谐近似下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的振动。每个谐振子的振动模式称为间正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。原子的振动，或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性迭加。 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等3N 。 2．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？ [解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频略较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。 3． 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ [解答] 频率为ω的格波的（平均）声子数为 1 1)(/-= T k B e n ωω 因为光学波的频率0ω比声学波的频率A ω高，（1/0-T k B e ω ）大于（1/-T k B A e ω ），所以在温度一定情况下， 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。 4． 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？ [解答] 设温度H T 〉L T ，由于（1/-H B T k e ω ）大于（1/-L B T k e ω ），所以对同一个振动模式，温度 高时的声子数目多于温度低时的声子数目。 5． 高温时，频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？ [解答] 温度很高时，T k e B T k B /1/ωω +≈ ，频率为ω的格波的（平均）声子数为 ω ωω T k e n B T k B ≈-= 1 1)(/ 可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。 6． 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？ [解答] 晶格振动谱的测定中，光波的波长与格波的波长越接近，光波与声波的相互作用才越显著。喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说，该波长属于长波长范围。因此，喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用。长光学波声子的波矢很小，相应的动量q 不大。而能产生倒逆散射的条件是光的入射
摘要 近年来，地下结构在能源、交通、通讯、城市建设和国防工程等方面获得广泛应用。随着工农业生产的发展和城市化程度的不断提高，地下结构的重要性也日益明显。长期以来，人们普遍认为地下结构的数量较少，地下结构的抗震性能又优于地面建筑，因此，地震对地下结构所造成的危害较地面建筑要小。但近年来，随着地下结构震害的频繁发生，因此本文就地下结构的振动特性进行了浅略的探讨。 文章涉及到了地震对于地下结构的迫害及其震害特性，介绍了目前地下结构的抗震研究和抗震分析方法，并结合相关规范探讨了地下结构的抗震计算方法。
目录 第一章绪论 (1) 1.1引言 (1) 1.2地震对地下结构的破坏及其震害特点 (1) 1.3地下结构抗震研究 (2) 第二章地下结构振动特性 (4) 2.1地下结构动力反应特点 (4) 2.2地下结构动力分析方法简介 (4) 2.3地下结构抗震分析的基本方法 (5) 第三章地下结构抗震计算方法 (9) 3.1现行地下结构抗震设计方法 (9) 3.1.1 地震系数法 (9) 3.1.2 不考虑相互作用的拟静力法 (10) 3.1.3 考虑相互作用的拟静力法 (11) 3.1.4 动力有限元法 (13) 3.1.5 各种设计方法的比较 (13) 3.2 总结 (13)
第一章绪论 1.1引言 近几十年来,地下结构在城市建设、交通运输、国防工程、水利工程等各个领域得到了越来越广泛的应用，尤其是在城市交通领域，以地下铁道为骨干的大运量快速公共交通系统已经成为城市客运交通问题重要的解决途径，我国的地铁建设得到了迅猛的发展，我国已经进入了地铁工程建设的高峰时期。以北京为例，目前北京市地铁线路总长142 km(包括地面轨道线路)，按照北京市轨道交通建设规划，至2015年，北京市累计开通线路总长将达到561 km；远期规划地铁线路共22条，总里程为1100 km[3-5]。与此同时，近20年来，除地铁工程之外的其他地下结构也得到了极大规模的发展，其中包括铁路公路隧道、国防和人民防空工程、大型水电站地下厂房洞室结构、矿山井巷、地下商业街和地下车库等。在我国，随着城市化水平的快速提高，城市人口、城市规模和生态环境面临着巨大的压力，而地下空间的开发和利用正是缓解地上空间各种压力的直接而有效的途径。事实表明，已经建成的各种地下结构与地下空间在缓解地面交通压力、改善人居环境等方面起到了巨大的作用，对城市和社会的发展做出了巨大的贡献。我国地下空间、地下结构开发利用的潜力还很大，在21世纪，地下结构、地下空间工程建设将得到更大程度的发展。 同时我国又是多地震国家，大部分地区为地震设防区，随着地下结构建设规模的不断提高，地下结构的抗震设计及其安全性评价日益受到重视。例如，拟建中的京沪高速铁路穿越长江的沉管隧道，管段之间的接头部位以及沉管与竖井的联接部位是抗震设计的重点；南水北调中线穿越黄河工程就位于高烈度地震区内，而且要穿过液化土层，同时地下结构一旦发生震害，修复困难，增加了问题的复杂性，这些使地下结构的抗震设计的研究成为十分必要。 1.2地震对地下结构的破坏及其震害特点 二十世纪，全球发生过许多地震，对地下结构造成了不同程度的损害。下面对己有震害的调查及资料分析，地下结构的损害，归纳其震害特点有以下几点: (l)穿越断层和破碎带的隧道和地下建筑会遭到严重破坏，靠近断层处的衬砌在与隧道轴垂直的平面内会发生较大的横向和竖向的错位;
第三章 弹性体的振动 §3.1 弦的振动 3.1.1 用动力学基本定律建立弦振动基本方程 在前二章里，对弹性体动力学的一般规律、基本原理和基本方程作了介绍。但不同的弹性体有其本身的力学特性，采用不同的简化假设，建立的基本方程是不相同的。因而，它们的解法也不完全一样。除了共同的动力学特性外，还有一些独特的特性，必须分别加以讨论。 弹性体按其构型可分为： （1）一维构型，它的截面尺寸比长度小得多。它有两类，一类是弦、杆、轴；一类是各种梁。 （2）二维构型，它的厚度比其它尺寸小得多。它有膜、平面应力板、弯曲板与壳等。 （3）三维构型，三向尺寸相当。它是各类实体结构。 最简单的弹性体动力学问题是弦的横向振动（图3.1）。受常张力作用的弦是一种一维弹性体。从弦上取出一个微分长度来分析，当它发生横向位移，由于张力作用产生有恢复力，它等于 x T dx ),(t x w e df dx x w T df x e 2 2??= （3.1） 图3.1 弦的横向振动 设弦的长度密度为，则在振动时的惯性力是 m dx t w m df y 2 2???= （3.2） ·1·
根据动力学的基本定律，弦横向振动的基本方程是 02 22 2=+?????f t w m x w T x （3.3） 其中是作用在弦上的横向分布载荷。 ),(t x f 3.1.2 用能量变分原理建立弦振动基本方程 弦横向振动有三种能量： （1）弦的位能 i U dx x w x w T U x L i ????= ∫210 （3.4） （2）弦的动能T dx t w t w m T L ????= ∫210 （3.5） （3）弦的外力功 e W L L L x L e w fwdx w x w T fwdx W 00 00 ||τ+=??+= ∫∫ （3.6） 其中τ=??x w T x 是张力的垂直分量。弦的哈密尔登作用量为 dt W U T L e i t )(0 +?= ∫ 由哈密尔登作用量原理给出 0}|]2121[{00 =++?????????=∫∫∫dt w dx fw x w x w T t w t w m Ldt L x L t t τδδ （3.7） 上式给出能量泛函的极值条件。经过变分运算可推出基本方程和自然边界条件。动能作用量的变分等于 dx w t w m wdx t w m dxdt x w t w m t t L t L }|{)(02 20 000 δδδ??+???=????∫∫∫∫ 和位能作用量的变分等于 dt w t w T wdx x w T dxdt x w x w T L x x L t x t L }|{020 000δδ??+??? =????∫∫∫∫ 于是，代入哈密尔顿作用量变分原理得 ||)(}{0000222200 =??+???++?????∫∫∫∫ dx w t w m dt w x w T wdxdt f t w m x w T t L L x t x t L δδτδ （3.8） ·2·
第八章 弹性体振动 §8-1 概述 任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成，也就是说这些零部件都是弹性体。但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。因此对工程上常用的连续弹性体(如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统)进行振动分析求出它们的固有频率和主振型，计算他们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。 多自由度系统(离散系统)和弹性体(连续系统)是对同一个客观事物(机器零部件)的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。 x x ) a ) b (( 图8-1 多自由度系统和弹性体的动力学模型 从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。如图8-1(a )所示它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。这样就形成了具有n 个集中质量(m 1、m 2、…m n )和n －1个弹簧(k 1、k 2、…、k n －1)所组成的n 个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移y i (t)表示。弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成如图8-1(b )所示。当一个零件的分段数n →∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x 也从一个离散值(x 1、x 2、…x n )变为连续函数。因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x 和时间t 所表达的二元函数y (x ,t )来表示。这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。 从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。 从振动特性来看，多自由系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。 在本章中，我们只研究弹性体的最简单情况，即等截面的杆、轴的振动，而且假设弹性体的质量和刚度均匀分布，在振动过程中弹性体不产生裂纹，即要求广义坐标的变化是连续的。此外，我们的讨论只局限在线性范围内，即认为弹性体的应力应变关系服从虎克定律，而且是均质各向同性的。
一维晶格振动的局域模研究 戚云泽 ( 大庆师范学院物理与电气信息工程学院, 级物理教育班黑龙江大庆163712) 摘要: 近年来, 纳米材料和单分子操纵技术越来越受到人们的关注。经过原子、分子操纵, 实现在纳米尺度上对材料进行加工, 完成单原子、单分子电子器件的制作, 一直是人们追求的目标。随着单分子操纵技术的不断发展, 人们对单个分子进行操作的梦想已经成为了现实。我们已经能够由不同于以往的从下到上的思想用一个个的原子逐步构建我们所需要的原子器件。这也使得经过改变材料的微观结构对材料的各种基本性质进行调控成为可能。对材料性质的认识和调控离不开对小尺度材料的晶格振动、声子结构和电子结构的研究。本文主要对一维原子链的晶格振动进行了细致的研究。 关键字: 一维原子链, 杂质, 晶格振动、局域模 作者简介: 戚云泽( 1989--) , 男, 黑龙江省鹤岗市人, 大庆师范学院物电学院学生, 0 引言 研究材料的晶格振动, 首先就要研究最简单的情况——完整晶格中的晶格振动情况。 晶体内的原子并不是处在自己的平衡位置上固定不动的, 而是围绕其平衡位置做振动。由于晶体内原子间存在着相互作用力, 各个院子的振动也并非是孤立的, 而是相互联系的, 因此在晶体中形成了各种模式的波。由于晶格的周期性条件, 模式所取的能量值不是连续的而是分立的。对于这些分立的振动模式, 可用一系列孤立的简谐振子来描述。和光子的情形相似, 这些谐振子的能量量子ω 称为声子, 其中ω是振动模式的角频率。 1一维单原子链中的晶格振动
晶格具有周期性。因而, 晶格的振动模具有波得形式, 称为格波。格波和一般的连续介质波具有共同的波的特征, 但也有它不同的特点。 图1-1所示的单原子链能够看作是一个最简单的晶格, 在平衡时相邻原子距离为a( 即晶格常数为a) , 每个原胞内含有一个原子, 都具有相同的质量m, 原子限制在沿链的方向运动。由于热运动各原子离开它的平衡位置, 用μn 代表第n 个原子离开平衡位置的位移, 第n 个原子和第n+1个原子间的相对位移是μμn n _1+, 下面先求由于原子间的相互作用, 原子所受的恢复力与相对位移的关系。 图1-1 一维单原子链 设在平衡位置是, 两原子间的相互作用势能为U( a) ; 原子偏离平衡位置时, 两原子间距离变为r=a+δ, δ为相对位移从μμn n _1+, 势能变为U( a+δ) , 我们把U( a+δ) 在平衡位置附近用泰勒级数展开, 得到: ......2221)()()(2 +???? ????? ??++=+=δδδr d U d dr dU a a a U a U r U ( 1-1) 其中U( a) 为常数, 0=??????dr dU a ( 因为r=a 是为平衡位置, U 处于最低点) 。
1.结合实际工作，综合论述开展设备监测诊断工作的八个固定工作程序。 开展设备监测诊断工作的八个固定工作程序为： （1）定监测对象 （2）定监测参数 （3）定监测仪器和设备 （4）定监测点 （5）定监测周期 （6）定监测标准 根据不同的设备，参照国内外已发布的通用标准，或结合实际工作经验制定适合本单位特点的判别标准。 通常情况下，判别标准有三类：一是绝对标准、二是相对标准、三是类比判断标准。 （7）定监测规程 （8）定监测人员 2.在振动监测中，振动传感器的选择十分重要。阐述选择振动传感器应注意的问题。 （1） 测量范围 测量范围又称量程，是保证传感器有用的首要指标，因为超量程测量不仅意味着测量结果的不可靠，而且还可能造成传感器的损坏。 （2） 频响范围 所选传感器的工作频响范围应覆盖整个需要测试的信号频段并略有超出，也就是说应使传感器工作在线性区：其下限频率低于所测信号的低频段，上限频率高于所测信号的高频段。 （3） 信噪比 一般而言，总是希望传感器的灵敏度尽量高，以便检测微小信号，但外界噪声的混入也相应地影响增大，因此要求传感器的信噪比要高，以便在充分放大被测信号的同时，能最有效地抑制噪声信号。 （4） 稳定性 对于长期工况监测，尤其是在线式测量的传感器，要求时间稳定性好，信号漂移越小越好。对于水下、高温等特殊工作环境，还应考虑传感器的环境稳定性。 此外，传感器的工作方式、外形尺寸、重量等也是需要考虑的因素。 3.分析旋转机械转子不平衡故障原因，如何综合分析诊断转子不平衡故障？ 转子质量偏心及转子部件缺损是导致转子不平衡的两种因素。转子质量偏心是由于转子的制造误差、装备误差、材质不均匀等原因造成。转子部件缺损是指转子在运行中由于腐蚀、磨损或受疲劳应力作用，使转子叶轮、叶片局部损坏、脱落等原因造成。转子轴系允许最大不平衡量的计算方法： G —平衡等级 m —允许不平衡量 U-不平衡量 M-转子质量 r-平衡半径 计算: e=G/ω 不平衡量：U=M.e 允许的最大不平衡质量：m=U/r M r m M U e == =G/ω U=M.e m=U/r 对转子不平衡故障进行综合分析应把握以下特征： （1）振动的时域波形为正弦波；
第30卷第1期2008年3月湖北大学学报(自然科学版)Journal of Hubei University (Natural Science )Vol.30 No.1 Mar.,2008 收稿日期:2006206202 作者简介:雷辉(19812 ),男,硕士生文章编号:100022375(2008)0120029205 用ANSYS 软件分析压电陶瓷的振动状态 雷辉,周双娥 (湖北大学数学与计算机学院,湖北武汉430062) 摘 要:近年来,压电陶瓷的应用日趋广泛.但是由于压电陶瓷片的边界条件和应力状况比较复杂,利用 传统实验手段对其研究不仅耗时费力,而且其结果具有很强的局部性,因此利用大型通用仿真软件ANSYS 8.0来进行计算机仿真.通过对压电陶瓷片中的耦合效应进行计算机模拟分析,得出压电陶瓷的振动状态图.实验结果表明ANSYS 8.0在处理压电耦合场这方面有很强的处理能力,大大简化了建模和计算,强大的后处理功能更是让研究者能够很直观地获得数据结果和模拟图像. 关键词:仿真;压电陶瓷;振动状态 中图分类号:TP302 文献标志码:A 1 引言 计算机仿真技术是以多种学科和理论为基础,以计算机及其相应构件为工具,通过虚拟试验的方法来分析和解决问题的一门综合性技术[1].近年来,压电陶瓷的应用日趋广泛,而在实际应用中,特别是将压电陶瓷技术应用于混凝土结构的监测中,由于压电陶瓷片的边界条件和应力状况比较复杂,利用传统实验手段对其研究不仅耗时费力 ,而且其结果具有很强的局部性[2].因此利用计算机仿真技术对压电陶瓷进行研究具有较好的理论与实际意义.本文中利用大型通用有限元分析软件ANS YS 8.0,对压电陶瓷片中的耦合效应进行模拟分析,并得出其模态和谐振态,实验表明ANS YS 8.0能很好地解决压电陶瓷片的压电耦合问题. 图1 处理器模型2 ANSYS 仿真原理 ANS YS 软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大 型通用有限元分析软件,由世界上最大的有限元分析软件公司之一 的美国ANS YS 开发,它能与多数CAD 软件接口,实现数据的共享 和交换.20世纪90年代该软件开始在我国的机械制造、航空航天、 汽车交通、铁道、石油化工、能源等领域得到应用,为各领域中产品 设计、科学研究作出了很大的贡献[3]. ANS YS 软件使用统一的集中式数据库来存储所有模型数据和求解结果(见图1)[4].模型数据(包括实体模型和有限元模型、材料 等)通过前处理器写入数据库;载荷和求解结果通过求解器写入数据库;后处理结果通过后处理器写入数据库. 3 处理过程 3.1 定义材料参数 材料参数包括定义单元类型,这里选取了solid226,并在它的option 选项里选择压
126 习题 6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == (),0u x V = 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π= =,… ,...3,2,1i ,x 2l i sin D x)U ~i i ==π（ 由归一化条件2 sin 12l i i x A D dx l πρ? ?= ??? ? 得i D = 即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l i sin Al 2 x)U ~ i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ()0 0sin 2l i i i A V D xdx l πη ρ=? 2i l A V D i ρπ = ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得()0sin i i i i p t p ηη= ，进而有： t 2l a i sin 2l x i sin i 1a 8Vl t sinp a i 2l i 2l AVD 2l x i sin D )t (U ~ )t ,x (u ,... 3,1i 2 2 i i ,... 3,1i i i ,...3,1i i ∑ ∑ ∑ ∞ =∞ =∞ == = = πππππρπη (2)杆的右端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == (),0u x V = 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π= =,…
第五章晶格振动习题和答案 1．什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答]为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似称为间谐近似。在间谐近似下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的振动。每个谐振子的振动模式称为间正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。原子的振动，或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性迭加。 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等3N 。 2．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？ [解答]长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频略较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。 3．温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ [解答]频率为ω的格波的（平均）声子数为 1 1 )(/?=T k B e n ωω?因为光学波的频率0ω比声学波的频率A ω高，（1/0?T k B e ω?）大于（1/?T k B A e ω?） ，所以在温度一定情况下，一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。 4．对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？ [解答]设温度H T 〉L T ，由于（1/?H B T k e ω?）大于（1/?L B T k e ω?） ，所以对同一个振动模式，温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目。 5．高温时，频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？ [解答]温度很高时，T k e B T k B /1/ωω??+≈，频率为ω的格波的（平均）声子数为 ω ωω??T k e n B T k B ≈?=11 )(/可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。 6．喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？ [解答]晶格振动谱的测定中，光波的波长与格波的波长越接近，光波与声波的相互作用才越显著。喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说，该波长属于长波长范围。因此，喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用。长光学波声子的波矢很小，相应的动量q ?不大。而能产生倒逆散射的条件是光的入射
VIB07--FFT机械状态振动分析仪 一、产品概述 Route Based Data Collection & Trending 设备状态巡检和趋势分析 VIB07多功能型机械振动分析仪是检修人员开展工厂设备状态监测(CBM)，实现设备预测维修(PdM)最可靠的点检采集仪器，是设备可靠性管理和TPM的利器。它操作简单，特别适合于设备点检和检维修人员，同样也适合现场生产操作者用于测量、记录和跟踪设备状态，发现异常，并能够对常见的机器振动故障进行诊断和趋势监测。Create the Value of Maintenance 创造维修的价值 VIB07多功能型机械振动分析仪是一款具有极高性价比的“傻瓜型”仪器，它基于专家经验，满足现实的需要，在确保状态信息完整有效的同时，将振动监测和分析变成容易的工作。多参数多频谱监测保证覆盖和灵敏响应旋转机器可能发生的振动故障, 展示机器的振动特征。每个测量参数明确一致，简单和容易理解。 The Mode of CBM 基于状态的维修模式 VIB07是设备维护人员得心应手的便利仪器。手持式的外观体现了优异的人机工程学设计，传感器，电缆，仪器及接口的每一个细节都经过精心考虑，满足现场环境下的可靠和耐用要求。仪器操作通过简洁
的按键和显示屏图标界面完成。高分辨率高亮背光LCD显示清晰，荧光按键使其能在黑暗环境下使用。锂离子充电电池保证连续使用30小时以上。仪器可自由切换中英双语版本。 二、主要性能指标 技术指标 显示 LCD液晶带背光，160x160pixels 传感器 类型：加速度传感器，灵敏度：100mv/g 振动测量 加速度0-20 g 峰值Peak（10-20,000Hz） 速度0-200 mm/s 有效值RMS（10~1,000Hz） 位移0-2000μm 峰-峰P-P（10~1,000Hz） 轴承状态 BG值0-5 g 有效值RMS（1k~20kHz） BV值0-50 mm/s 有效值RMS（1k~20kHz） 包络解调ENV 0-5g 有效值RMS（0-1,000Hz），滤波范围（1-20kHz）振动单位m/s2，g，mm/s，ips，um，mil 幅值类型有效值RMS，峰值P，峰峰值P-P
126 习 题 6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。 解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π= =,… 由归一化条件2 0sin 12l i i x A D dx l πρ? ?= ?? ?? 得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2l i sin Al 2x)U ~ i == π ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得() 0sin i i i i p t p ηη=，进而有： (2)杆的右端突然固定； 杆的初始条件为：()()0,00u x u x == 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i a p i l π==,… 由归一化条件 1)2cos (2 =? dx l x i C A i l πρ得Al C i ρ2= 即正则振型为,...5,3,1i ,x 2l i cos Al 2x)U ~ i == π ρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为 ()00i η=，i=1，3，5，… 由式（８－４０）得() 0sin i i i i p t p ηη= ，进而有： 6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。 (1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示； (2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；
一维晶格振动的局域模研究 戚云泽 （大庆师范学院 物理与电气信息工程学院，2008级物理教育班 黑龙江 大庆163712） 摘 要：近年来，纳米材料和单分子操纵技术越来越受到人们的关注。通过原子、分子操纵，实现在纳米尺度上对材料进行加工，完成单原子、单分子电子器件的制作，一直是人们追求的目标。随着单分子操纵技术的不断发展，人们对单个分子进行操作的梦想已经成为了现实。我们已经可以由不同于以往的从下到上的思想用一个个的原子逐步构建我们所需要的原子器件。这也使得通过改变材料的微观结构对材料的各种基本性质进行调控成为可能。对材料性质的认识和调控离不开对小尺度材料的晶格振动、声子结构和电子结构的研究。本文主要对一维原子链的晶格振动进行了细致的研究。 关键字：一维原子链，杂质，晶格振动、局域模 作者简介：戚云泽（1989--），男，黑龙江省鹤岗市人，大庆师范学院物电学院学生， 0 引言 研究材料的晶格振动，首先就要研究最简单的情况——完整晶格中的晶格振动情况。 晶体内的原子并不是处在自己的平衡位置上固定不动的，而是围绕其平衡位置做振动。由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个院子的振动也并非是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体中形成了各种模式的波。由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。对于这些分立的振动模式，可用一系列孤立的简谐振子来描述。和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子ω 称为声子，其中ω是振动模式的角频率。 1 一维单原子链中的晶格振动 晶格具有周期性。因而，晶格的振动模具有波得形式，称为格波。格波和一般的连续介质波具有共同的波的特征，但也有它不同的特点。 图1-1所示的单原子链可以看作是一个最简单的晶格，在平衡时相邻原子距离为a （即晶格常数为a ），每个原胞内含有一个原子，都具有相同的质量m ，原子限制在沿链的方向运动。由于热运动各原子离开它的平衡位置，用μn 代表第n 个原子离开平衡位置的位移，第n 个原子和第n+1个原子间的相对位移是μ μn n _1+，下面先 求由于原子间的相互作用，原子所受的恢复力与相对位移的关系。
第3章弹性体振动学简介 在以上的讨论中，我们都包含着这样的假定：振动系统的质量是集中于一点的，即质量块的密度分布是均匀的；弹簧的压缩与伸长也是均匀的。当然，涉及的其他参量，例如摩擦阻尼的分布同样也应是均匀的。总而言之，描述系统的参量都作为同空间分布无关的集总参数处理的。这种系统，我们称之为集总参数系统②。在这种情况下，整个系统的运动只要 一个时间变量‘就可以完全描述。采取这种简化的方法处理问题，可以避免繁杂的数学运算，并可获得研究物体振动的一些基本规律。这在本章的开头就已经加以说明。 事实上，物体的大小是有限的，而且在一般情况下，其线度大多数都和声波的波长可以比拟。这时，“质点”的假定就不再成立。在许多情况下，质量在空间均有一连续的空间分布，甚至在空间某一部分的质量本身还具有弹性和阻尼，这种系统称为分布参数系统。具有这种性质的物体称为弹性体。例如，扬声器的纸盆与传声器的振膜，它们的质量在空间都是 连续分布的，而且质量的每一部分又具有弹性与阻尼的特性。描述这类物体的振动，如果只用时间一个变量，显然是不够的，还必须引入空间位置的变量。这时变量就将多达四个，即空间位置变量X、y、Z和时间变量‘，因此，问题的求解也比较复杂。 作为研究问题的理论基础，对于几何形状比较简单的弹性体，例如，弦、棒、膜等的分析研究。分析它们的振动规律，不仅具有重要的理论意义，而且对于实际问题的理解也是十分重要的。在录音中经常要遇到的各种乐器，从弦乐器、吹奏乐器直至打击乐器，无不涉及弹，r生体的振动问 本节不可能进行详细讨论，只想从物理意义上作某些介绍，以求有一概念 性的了解。需要深入了解的读者可参阅有关文献。 3.1 张紧的弦 所有的弦乐器，不论它是拉弦乐器、拨弦乐器还是敲弦乐器，几乎都是依靠张紧的弦振动发声的。一般地说，弦的振动方式有两种：一种是振动的方向与振动的传播方向(即与弦的方向)相一致，这种振动叫做纵振动；另一种是振动方向与振动的传播方向相垂直，这种振动称为横振动。尽管弦振动包含着这两种不同的振动形式，但在实际问题中，往往横振动 具有更加重要的意义。例如，对于拉弦乐器来说，重要的是应使其产生横振动，而应尽可能避免纵振动的产生。纵振动产生的音，比长度相同的弦的横振动产生的音要高得多。在演奏拉弦乐器时，如果同时激发了这两种振动方式，所发出的声音将会给人以一种很不愉快的感觉。初学小提琴者奏出的那种令人难受的声音就是一个典型的例子。 对于截面积与密度均匀、两断固定并张紧的弦而言，其振动方程是： (3．1．1) 31‘ C a2‘