第二章导数与微分
一、教学目标与基本要求
1.理解函数在一点的导数的三种等价定义和左、右导数的定义；了解导函数与函数在一点的导数的区别和联系；会用导数的定义求一些极限，证明一些有关导数的命题，验证导数是否存在；了解导数的几何意义及平面曲线的切线和法线的求法。
2.掌握常数、基本初等函数及双曲函数与反双曲函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。
3.理解高阶导数定义；掌握两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式；综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、差、积的高阶导数公式及莱布尼兹公式等，求函数高阶导数。
4.理解隐函数定义并会求隐函数的一阶、二阶导数；掌握反函数的求导法则。
5.掌握参数方程所确定的函数的一、二阶导数的求导公式；会用对数求导法求幂指函数和具有复杂乘、除、乘方、开方运算的函数的导数。
6.理解微分的定义以及导数与微分之间的区别和联系；掌握基本初等函数的微分公式；理解微分形式的不变性；了解微分在近似计算及误差估计中的应用。
7.理解函数在一点处可导、可微和连续之间的关系。
二、教学内容与学时分配
第一节导数的概念，计划3.5学时；第二节函数的和、差、积、商的求导法则，计划1.5学时；第三节反函数的导数、复合函数的求导法则，计划3.5学时；第四节初等函数的导数问题，计划1学时；第五节高阶导数，计划2.5学时；第六节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数，计划3.5学时；第七节函数的微分，计划2.5学时；第八节微分在近似计算中的应用，计划1.5学时；共计20学时。
三、重点与难点
1.导数的概念与几何意义及物理意义；
2.可导与连续的关系；
3.导数的运算法则与基本求导公式；
4.微分的概念与微分的运算法则；
5.可微与可导的关系。
四、内容的深化与拓宽
1.导数概念的深刻背景
2.复合函数的求导法则的应用
3.综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、差、积的高阶导数公式及莱布尼兹公式等，求函数的高阶导数。
4.综合运用导数的几何意义及求导法则，解决几何方面的曲线切线与法线的问题及相关变化率问题。
五、教学手段
以教师讲解为主，辅以学生练习，适当提问增强学生互动，引发学生积极思考。
六、注意内容
1.对导数与微分概念的理解
2.求导及求微分方法的灵活运用
3.对函数在一点处可导、可微和连续之间的关系的理解。
七、参考书目 八、思考题与习题
§2-1 导数的概念
一、导数产生的背景
1.非匀速运动物体的速度问题
2.平面曲线的切线问题 例1. 力学中的线密度问题
非匀速直线问题和曲线的切线的斜率都归结为如下的极限：x
x f x x f x ?-?+→?)
()(lim
000
.这里x ?与
)()(00x f x x f -?+分别是函数y = f (x )的自变量的增量和函数的增量?y 。
二、导数的定义 1.导数定义 2.左、右导数
定理：()()()000f x a f x f x a +-'''=?== 3.导函数 导函数定义
显然导数)(0x f '是导函数)(x f '在0x x =处的函数值，即0
)()(0x x x f x f ='='。
三、求导数举例
1.,y C x R =∈（C 为常数）
()0C '=
2.n
y x =(n 为正整数)
1()n n x nx -'=
一般地，对于幂函数1
)(-='μμμx x
例1. 3
2
()3x x '=
,
21
2121)'()'(
21
1212
1
x x x x x ====--
()11011==?='-x x x (自变量对其本身的导数为1)
3.三角函数 sin y x =
(sin )cos x x '=
同理：(cos )sin x x '=- 4.指数函数 (0,1)x
y a a a =≠>
()ln x x a a a '=
特别的，()x
x
e e '=
例2. (4)4ln 4x x
'=
5.对数函数 ln (0)y x x =>
1(ln )x x
'=
例3. log (0,1,0)a x a a x >≠>，求y ' 解：log a y x =
()00ln 1log log 11lim lim ln ln a a x x x x x x x x a x x a
?→?→???+ ?+?-??==??
a x x a ln 1
)(log =
' 例4. 5
ln 1
)(log 5x x ='
四、 导数的几何意义
例5. 求曲线2
y x =上任意一点处切线的斜率，并求在点()1,1处的切线方程.
五、导数存在的必要条件
定理：若()f x 在点0x 可导的必要条件是它在点0x 连续。
另一方面，如果函数在某一点连续，却不一定在该点处可导。见下例： 例6. y x =在点0x =连续，但不可导。
例7. 1sin , 0
() 0 , 0
n
x x y n N x
x ?≠?=∈??=?讨论在点0x =连续性和可导性。 例8. 已知, 0
, 0
a bx x y e x x +≤?=?->?在0x =可导，求,a
b 之值。
§2-2 函数的和、差、积、商的求导法则
求导法则：
1.()()()
()()u x v x u x v x '''±=±
例1. 2
sin cos 1,y x x x y '=+-+求。
例2. 设1
011n n n n y a x a x a x a --=++++L ，求y '。
通常，多项式的导数仍是多项式，其次数降低一次，系数相应改变。 2.)()()()())()((x v x u x v x u x v x u '+'='
例3. 设u C =(C 为常数)，()v v x =可导，则(())()()(())(())C v x C v x C v x C v x ''''=+=。 通常，常数因子可以提到导数符号外面。
例4. 设b ax y +=，则()()()()y ax b ax b a x a '''''=+=+==。 即线性函数的导数为一个常数. 直线的切线就是它本身。 例5. y x y a '=求,log 。
例6. 已知(1)(2)(3)y x x x =---，求3
x y ='
。
3.)0)((,)()
()()()()()(2≠'-'='???
? ??x v x v x v x u x v x u x v x u 例7. cot y x =，求y '。
例8. 设函数()v x 可导，且()0v x ≠，证明)()
()(12x v x v x v '-='
???
? ??。
例9. x
y e -=，求y '。 例10. sec y x =，求y '。 一般地，
（1）若函数()(),u x v x 均可导, 则∑∑=='='n
i i n
i i x u x u 11)())((或∑∑===n
i i n
i i
x x u x u x 1
1d )(d )(d d （2）)()()()())()((x v x u x v x u x v x u '+'=' 或
（3）)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='
???
? ??
§2-3 反函数的导数、复合函数的求导法则
一、反函数的导数
定理：设单调函数()x y ?=在区间I 内可导，()0x ?'≠，则它的反函数()y f x =在相应的某区间J 内单调、可导，且)
(1
)(y x f ?'=
'。 该定理说明：一个函数单调、连续、可导，则它的反函数存在，且单调、连续、可导。 例1. ()arcsin 11y x x =-<<，求y '。 例2. ()arccos 11y x x =-<<，求y '。 例3. 设arctan y x = (,)x ∈-∞∞，求'y 。 二、复合函数的导数
定理：设()u x ?=在点x 处可导，()y f u =在对应点()()
u u x ?=处也可导，复合函数()()y f
x ?=在
()U x 内有定义，则()()y f x ?=在点x 处是可导的，且
)())(()))(((x x f x f ???''='或
x
u
u y x y d d d d d d = 例4. sin y ax =, 求y '。 例5. 5y e x =-，求y '。
∑∏=='='n
i n i n i i x u x u x u x u x u 1
211
)
()()()())((ΛΛ∑∏===n
i n i n i i x u x
x u x u x u x u x
1
211
)(d )
(d )( )()(d d
ΛΛ
例6. 证明：()
()1
ln , 0x x x
'=≠
例7.
ln(y x =，求y '。
例8. 2
sin 2x y =，求y '。 例
9. y =
y '。 例10.
设|1,'y x y =>求。 例11. 设2
1cos ln
,(1,1),1x y x y x +??
'=∈- ?-??
求。 例12. 设()y f x =可导，写出下列函数关于x 的导数 1)()()()sin '=cos y f x y f x f x '= 2)()
()
() f x f x y e
y e
f x ''==
3)()()()
'()
ln 0 '()
f x y f x f x y f x =>= 4)()()sin sin cos y f x y f x x ''== 5)()
() x
x x y f e y f e e ''==
6)()1ln ''(ln )
y f x y f x x
== 例13. 证明：在(),a a -内可导的奇(偶)函数的导数是偶(奇)函数.
§2-4 初等函数的导数问题
一、
常用的基本初等函数的求导公式
122()0; ();(sin )cos ; (cos )sin ;(tan )sec ; (cot)csc ;
(sec )sec tan ; (csc )csc cot ;()ln ; x x c x x x x x x x x x x x x x x x a a x μμμ-''==''==-''==-''==-'= ();11(ln ) ; (log );ln x x a e e x x x x a
'=''=
=
22
(arcsin )11); (arccos ) (11) ;
11
(arctan ) (,) ; (arccot ) (,). 11x x x x x x x x x x
''=
-<<=-<<''=∈-∞+∞=-∈-∞+∞++ 二、函数的和、差、积、商的求导法则 设()(),u u x v v x ==都可导，则
（1）(()())()()u x v x u x v x '''±=±
（2）(())()()(())(())C v x C v x C v x C v x ''''=+= （3）)()()()())()((x v x u x v x u x v x u '+'='
（4）)0)((,)()()()()()()(2≠'-'='???
? ??x v x v x v x u x v x u x v x u 三、复合函数的求导法则
设()u x ?=在点x 处可导，()y f u =在对应点()()
u u x ?=处也可导，复合函数()()y f
x ?=在
()U x 内有定义，则()()y f x ?=在点x 处是可导的，且
)())(()))(((x x f x f ???''='或
x
u
u y x y d d d d d d =
。
§2-5 高阶导数
一、高阶导数的概念
n 阶导数概念
()f x 在区间I 上n 阶连续可导
无穷次连续可导
例1. 求幂函数n
y x =，n N ∈的高阶导数 例2. ()n
y ax b =+的高阶导数
例3. 多项式1
011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++L 的高阶导数。
例4. 求x
y e =的各阶导数。 例5. 求x
y a =的各阶导数。 例6. 求ln y x =的各阶导数。
例7. 求1
y x
=
的高阶导数。 例8. 求sin ,cos y x y x ==的各阶导数。
例9. lnsin y x =,求22d d x
y
。
例10. sin x
y e
=，求y ''。
例11. 试从3
22)
'('
'd d ,1d d y y y x y y x -==导出。 二、高阶导数的运算法则
设()(),f x g x 有直到n 阶的导数，则 (1)()
()()(()())
()()n n n f x g x f x g x ±=±
(2)莱布尼兹公式()
()()0!
(()())
()(),!()!
n
n k n k k k
n n k n f x g x C f x g x C k n k -=?==-∑其中。
例12. 求1001002156d dx x x ??
?++??
。
例13. 设2
sin y x x =,求()
80y
。
例14. 证明()arcsin f x x =满足下式2
(2)
(1)2()(1) ()(21)()()0n n n x f x n xf x n f x ++--+-=。
§2-6 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数
一、隐函数的求导法则
如果由方程(),0F x y =确定隐函数()y f x =可导，则将()y f x =代入方程中，得到
()(),0F x f x ≡对此方程两边关于x 求导：
0),(d d
=y x F x
然后，从这个式子中解出y '，就得到隐函数的导数。
例1. 求由方程0),(=+-=y
x
e e xy y x F ()0x ≥所确定的隐函数的导数y '，并求0
='
x y 。
例2. 求椭圆22
221x y a b
+=在点00(,)x y 处的切线方程。
二、参数方程求导法则 参数方程求导法则：
设() ()x x t t I y y t =?∈?=?
，若
d d ()()d d y x y t x t t t ''==，存在，且()0x t '≠，则()d d ()d d d d y
y y t t x x x t t
'==' 例3. 求椭圆cos sin x a t y b t
=??
=?，在2t π
=时的切线方程。
例4. 星形线2
223
3
3
x y a +=的参数方程为3
3
cos ([0,]),2sin x a t
t y a t
π?=?∈?=??求d d y x 。 三、取对数求导法
对()y f x =两边同时取对数后对方程两边关于x 求导，常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数。 例5. 求sin x
y x =的导数。
例6.
设32
cos y x x =
，求y '。 例7.
设y =y '。 四、隐函数、参数方程确定的函数的高阶导数
例8. 设2
2
4x xy y ++=，求22d d y
x
。
例9. x y
xy e
+=，求y ''。
例10. 设22d tan(), d y
y x y x
=+求。
例11. 设233ln(1)d , d arctan x t y
x y t t
?=+?
=-?求。 例12. 设22(sin )d , (1sin )d x a t t y
y a t x =-??=-?
求。
例13. 已知22()d ()(),()
d x x t y
x t y t y y t x =??=?，，均有二阶导数求。
§2-7 函数的微分
一、函数的微分 1.微分的概念
()f x 在点0x 处可微定义
2.可微与可导的关系
定理：()f x 在点0x 可微?()f x 在0x 可导, 且()0A f x '=。 也就是说, ()f x 在点0x 处可微性与可导性是等价的, 且()f x 可微, 则()()0y f x x o x '?=?+?，故()0dy f x x '=?。 例1. y x =，求dy 。
该例说明:自变量的增量就是自变量的微分，函数的微分可以写成：
()dy f x dx '= 或 ()()df x f x dx '=
此外,当x 为自变量时,还可记2
2
x dx ?=，n
n
x dx ?=等。 微商
3.微分的几何意义
二、基本初等函数的微分公式和微分的运算法则 1.微分的基本公式
2.函数和、差、积、商的微分法则
)0()()()()(2
≠-=+==±=±v v
udv vdu v u d udv
vdu uv d cdu
cu d dv du v u d 3.一阶微分形式不变性(复合函数微分法则)
当u 为中间变量时的微分形式与u 为自变量时的微分的形式相同,均为()dy f u du '=，这种性质称为函数的一阶微分形式不变性。
例2. 求3
y x =在2x =处的微分, 以及当0.1x ?=时在2x =处的微分。
例3. 已知()y f x =的反函数是()x y ?=，()f x 在I 内单调、可导, 且()0f x '≠,则y
x
y d d )(=
'?存在, )
(1d d 1d d )( x f x
y y x y '===
'?(作为商来看)。 例4. 设2
d 4, d y x y y x
=-求
。
例5. 设()d , (),(), ()
d x x t y
x t y t y y t x =?''?=?存在求。
§2-8 微分在近似计算中的应用
()f x 在处的导数存在，且很小时，有()0y f x x '?≈? （1）
即000000()()()()()() f x x f x y f x x f x x f x f x x ''+?-=?≈?+?≈?或＋ （2） 令0x x x =+?，即0x x x ?=-，则有))(()()(000x x x f x f x f -'≈＋ （3） 例1. 利用微分计算0330sin 0
'的近似值
一些常用的近似计算公式（假定x 是较小的数值）
1;x
n
≈+
(2)sin ;x x ≈（x 用弧度作单位表示） (3)tan ;x x ≈（x 用弧度作单位表示） (4)1;x e x ≈+
(5)ln(1)x x +≈。
利用微分估计间接测量误差：
绝对误差、相对误差、绝对误差限、相对误差限概念
例2. 设测得圆钢截面的直径60.03D mm =，测量D 的绝对误差限0.05D mm δ=，利用公式24
D A π
=计
算圆钢截面积时，试估计面积的误差？