第二章导数与微分 高等数学同济大学第六版

第二章 导数与微分

数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学.

微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.

恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）.

积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容.

第一节 导数概念

从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生：

(1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线；

(3) 求最大值和最小值.

这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念.

本节主要内容

1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线

2 导数的定义

3 左右导数

4 用导数计算导数

5 导数的几何意义

6 函数的可导与连续的关系

讲解提纲：

一、 引例：

引例1：变速直线运动的瞬时速度0

00

()()lim

t t f t f t v t t →-=-；

引例2 平面曲线的切线0

00

()()

lim x x f x f x k x x →-=-.

二、 导数的定义：

x

x f x x f x

y x f x x ?-?+=??='→?→?)

()(lim

lim

)(000

注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值

x

y ??是函数y 在以0x 和x x ?+0为端点的区间上的平均变化率，而导数0

|x x y ='则

是函数y 在点0x 处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 三、左右导数: '0()f x -=

()()

l i m

h f x h f x h -

→+-

'0()f x +=

()()

l i m

h f x h f x h

+

→+-

定理1 函数)(x f y =在点0x 处可导的充要条件是：函数)(x f y =在点0x 处的左、右导数均存在且相等.

四、用定义计算导数:

根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤：

1． 求函数的增量： );()(x f x x f y -?+=?

2． 求两增量的比值： x

x f x x f x y ?-?+=

??)

()(;

3． 求极限 .lim

x

y y x ??='→?

五、导数的几何意义:

函数()y f x =在点0x 处的导数'

0()f x 在几何上表示曲线()y f x =在点

00(,())M x f x 处的切线的斜率，即

'

0()f x t a n

α=， 其中α是切线的倾角。

如果()y f x =在点0x 处的导数为无穷大，这时曲线()y f x =的割线以垂直于x 轴的

直线0x x =为极限位置，即曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处具有垂直于x 轴的切线

0x x =.

六、函数的可导性与连续性的关系

定理2 如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则它在0x 处连续.

注：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.

在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界. 这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.

例题选讲：

导数概念的应用

例1 求函数210y x =在1x =-处的导数. 解：'

(1)(1)

(1)lim

x f x f f x

?→-+?---=?

2

2

10(1)10(1)

lim

x x x

?→-+?--=? 2

010201010l i m

x x x x

?→-?+?-

=?

2

02010l i m

x x x

x ?→-?+?=?

l i m (2010)20

x x ?→=-

+?=-. 例2 试按导数定义观察下列各极限，指出A 表示什么(假设各极限均存在). (1) 000

()()

lim

;x f x x f x A x

?→-?-=? (2) 000()()

lim

h f x h f x h A h

→+--=. 解：（1） 00000

()()

()()

lim

lim []x x f x x f x f x x f x A x

x

?→?→-?--?-==-

?-?

'

0000

[()]()lim ()x f x x f x f x x

-?→+-?-=-=--?；

（2） 000

()()

lim

h f x h f x h A h

→+--=

00000

[()()][()()]

lim

h f x h f x f x h f x h

→+----= 00000

()()

()()

lim

lim

h h f x h f x f x h f x h

h

→→+---=-

'

'

'

000()[()]2()f x f x f x =--=.

用定义计算导数

例3 求函数C x f =)((C 为常数)的导数. 解： '

()()

()lim

lim

0x x f x x f x C C f x x

x

?→?→+?--===??；

例4 设函数,sin )(x x f = 求)(sin 'x 及4

|

)(sin π

=

'x x .

解: '0

()()

()lim

x f x x f x f x x

?→+?-=?=0

sin()sin()

lim

x x x x x

?→+?-?

1l i m

2c o s (

)s i n 2

2

x x x

x x

?→??=?

+? 0s i n ()2l i m c o s ()c o s

2

2

x x x

x x x ?→??=+?=

? 4

|

)(s i n π

=

'x x

＝cos

4

2

π

=

例5 求函数n x y =(n 为正整数)在x a =处的导数. 解： '

()()

()lim

lim

n n

x a

x a

f x f a x a f a x a

x a

→→--==--

1

2

1

1

l i m ()n n n n x a

x ax

a na ----→=+++=

例6 求函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的导数. 解： '

()()

()lim

lim

x h

x

h h f x h f x a

a

f x h

h

+→→+--==

01l i m h

x

h a a h

→-=ln x a a =

例7 求函数 ()1,0log ≠>=a a x y a 的导数

解： '

log ()log ()()()lim lim

a a h h x h x

f x h f x f x h h →→+-+-==

11lim

log lim

log (1)a

a h h x h x

h

h

x

x h x

→→+==?+ 0

l o g (1)

11lim

ln a

h h

x h

x

x a

x

→+=

=

例8 求cos y x =在点1,32π??

???

处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方

程.

解：

切线斜率'3

3

sin sin

3

2

x x y x

π

π

π

=

=

=-=-=-

，

故在1,

32π

??

?

??

处，切线方程为：1)223y x π-=--；

法线斜率：－(1/23

--=

=

法线方程：1)23

3

y x π

-=-

-

左右导数

例9 函数 ??

?=,

,sin )(x x x f

0≥

f

x .

解：当0x =时， '0

()(0)sin (0)lim lim 1x x f x f x f x

x -→-→--===

'00

()(0)

(0)lim lim

10

x x f x f x f x x

+→+→+-===-

由'(0)f -='(0)1f +=知()'01f =

故()'

cos ,01,

01,0

x x f x x x ?

，即()'

cos ,01,

x x f x x

≥?

例10 已知2,0

(),0x x f x x x ?≥=?-

解： '

00()(0)0(0)lim lim 1x x f x f x f x x -→-→----===-

2

'

000

()(0)

(0)l i m l i m l i m 0

x x x f x f x f x x x

+

→+→+→+--==

=

=- 由于''(0)(0),f f -+≠所以'(0)f 不存在。

例11 讨论函数()sin f x x =在0=x 处的连续性与可导性. 解：因为0

lim ()lim sin 0x x f x x →+→+==

lim ()lim (sin )0x x f x x →-→-=-=

(0)s i n 00

f =

= 所以0

lim ()x f x →+=0

lim ()x f x →-=(0)f ，于是()sin f x x =在0=x 处连续

'

()(0)sin 0(0)lim

lim

1x x f x f x f x

x -→-→----===-

'0

()(0)

sin 0

(0)lim

lim

10

x x f x f x f x x

+→+→+--===-

由于''

(0)(0),f f -+≠所以()sin f x x =在0=x 处不可导。

例12 讨论2

1sin ,

0()0,0x x f x x

x ?≠?=??=?

在0=x 处的连续性与可导性.

解：因为2

1lim ()lim sin

0(0)x x f x x f x

→→===

所以函数在0=x 处连续。 又由2

'

1sin 0

()(0)

1(0)lim

lim

lim sin

0x x x x f x f x

f x x

x

x

→→→--====

所以函数在0=x 处可导。 例13设函数()2,

1,

1,

x x f x ax b x ?≤=?

+>?问a ,b 取何值时，()x f 在1x =连续且可导.

解： 2

10

10

(10)lim ()lim 1x x f f x x →-→--===；

10

10

(10)

l i m ()

l i m ()x x f f x ax b a b →+→++==+=+

要使()x f 在1x =连续，必须有(10)(10)f f -=+，这时有 1a b += 又2

'

10

10

()(1)

1

(1)lim

lim

21

1

x x f x f x f x x -

→-→---===--

'101010()(1)

1(1)l i m l i m l i m 1

1

1

x x x f x f a x b a x a

f a x x x +→+→

+→+

-+--==

==--- 要使()x f 在1x =可导，必须有''(0)(0),f f -+=这时有2a =，再由1a b +=有1b =-。 故当2a =，1b =-时，()x f 在1x =连续且可导

注：由上述例题可知，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.

在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年

得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子(如第十一章第一节的Koch 雪花曲线描述的函数)，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界. 这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.

课堂练习

1. 函数)(x f 在某点0x 处的导数)(0x f '与导函数)(x f '有什么区别与联系?

2. 设)(x ?在a x =处连续, ()()()f x x a x ?=-, 求)(a f '. [)(a f '＝()()

()()()()

lim

lim

x a

x a

f x f a x a x a a a x a

x a

??→→----=--

l i m

()()x a

x a ??→==]

3. '0()f x 是否等于'

0[()]f x ？ (不等于)

莱布尼茨 （Friedrich , Leibniz ，1597~1652）

-----博学多才的数学符号大师

出生于书香门第的莱布尼兹是德国一们博学多才的学者。他的学识涉及哲学、历史、语言、数学、生物、地质、物理、机械、神学、法学、外交等领域。并在每个领域中都有杰出的成就。然而，由于他独立创建了微积分，并精心设计了非常巧妙而简洁的微积分符号，从而使他以伟大数学家的称号闻名于世。莱布尼兹对微积分的研究始于31岁，那时他在巴黎任外交官，有幸结识数学家、物理学家惠更斯等人。在名师指导下系统研究了数学著作，1673年他在伦敦结识了巴罗和牛顿等名流。从此，他以非凡的理解力和创造力进入了数学前沿阵地。

莱布尼兹在从事数学研究的过程中，深受他的哲学思想的支配。他的著名哲学观点是单子论，认为单子是“自然的真正原子……事物的元素”，是客观的、能动的、不可分割的精神实体。牛顿从运动学角度出发，以“瞬”（无穷小的“0”）的观点创建了微积分。他说dx 和x 相比，如同点和地球，或地球半径与宇宙半径相比。在其积分法论文中，他从求曲线所围面积积分概念，把积分看作是无穷小的和，并引入积分符号

?

，它是把拉丁文“Summa ”

的字头S拉长。他的这个符号，以及微积分的要领和法则一直保留到当今的教材中。莱布尼兹也发现了微分和积分是一对互逆的运算，并建立了沟通微分与积分内在联系的微积分基本定理，从而使原本各自独立的微分学和积分学成为统一的微积分学的整体。

莱布尼兹是数字史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师。他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动，”正象印度——阿拉伯数学促进算术和代数发展一样，莱布尼兹所创造的这些数学符号对微积分的发展起了很大的促进作用。欧洲大陆的数学得以迅速发展，莱布尼兹的巧妙符号功不可灭。除积分、微分符号外，他创设的符

号还有商“a/b”，比“a:b”，相似“∽”，全等“≌”，并“∪”，交“ ”以及函数和行列式等符号。

牛顿和莱布尼茨对微积分都作出了巨大贡献，但两人的方法和途径是不同的。牛顿是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分的；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上，运用分析学方法引进微积分要领的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣精深；但莱布尼兹的表达形式简洁准确，胜过牛顿。在对微积分具体内容的研究上，牛顿先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹则先有求积概念，后有导数概念。除此之外，牛顿与莱布尼兹的学风也迥然不同。作为科学家的牛顿，治学严谨。他迟迟不发表微积分著作《流数术》的原因，很可能是因为他没有找到合理的逻辑基础，也可能是“害怕别人反对的心理”所致。但作为哲学家的莱布尼兹比较大胆，富于想象，勇于推广，结果造成创作年代上牛顿先于莱布尼兹10年，而在发表的时间上，莱布尼兹却早于牛顿三年。

虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异，但殊途同归。各自独立地完成了创建微积分的盛业，光荣应由他们两人共享。然而在历史上曾出现过一场围绕发明微积分优先权的激烈争论。牛顿的支持者，包括数学家泰勒和麦克劳林，认为莱布尼兹剽窃了牛顿的成果。争论把欧洲科学家分成誓不两立的两派：英国和欧洲大陆。争论双方停止学术交流，不仅影响了数学的正常发展，也波及自然科学领域，以致发展到英德两国之间的政治摩擦。自尊心很强的英国民族抱住牛顿的概念和记号不放，拒绝使用更为合理的莱布尼兹的微积分符号和技巧，致使英国在数学发展上大大落后于欧洲大陆。一场旷日持久的争论变成了科学史上的前车之鉴。

莱布尼兹的科研成果大部分出自青年时代，随着这些成果的广泛传播，荣誉纷纷而来，他也越来越变得保守。到了晚年，他在科学方面已无所作为。他开始为宫廷唱赞歌，为上帝唱赞歌，沉醉于研究神学和公爵家族。莱布尼兹生命中的最后7年，是在别人带给他和牛顿关于微积分发明权的争论中痛苦地度过的。他和牛顿一样，都在终生未娶。1761年11月14日，莱布尼兹默默地离开人世，葬在宫廷教堂的墓地。

戎马不解鞍，铠甲不离傍。

冉冉老将至，何时返故乡？

神龙藏深泉，猛兽步高冈。

狐死归首丘，故乡安可忘！

第二节函数的求导法则

要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一

点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠

实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少

人的思维活动.

-------F. 莱布尼茨

求函数的变化率——导数，是理论研究和实践应用中经常遇到的一个普遍问题. 但根据定义求导往往非常繁难，有时甚至是不可行的. 能否找到求导的一般法则或常用函数的求导公式，使求导的运算变得更为简单易行呢？从微积分诞生之日起，数学家们就在探求这一途径. 牛顿和莱布尼茨都做了大量的工作. 特别是博学多才的数学符号大师莱布尼茨对此作出了不朽的贡献. 今天我们所学的微积分学中的法则、公式，特别是所采用的符号，大体上是由莱布尼茨完成的.

本节主要内容

1 导数的四则运算法则

2 反函数的导数：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

3 复合函数的求导法则

4 初等函数的求导法则：

5 双曲函数与反双曲函数的导数

讲解提纲：

一、 导数的四则运算法则：

定理1 如果函数()u u x =及()v v x =都在点x 具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x 具有导数，且 （1） []'

'

'

()()()()u x v x u x v x +=+；

（2） []'

'

'

()()()()()()u x v x u x v x u x v x =+；

（3） '

''

2

()()()()()

()()u x u x v x u x v x v x v x ??-=????

(()0)

v x ≠ 二、 反函数的导数：

定理2 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

三、复合函数的求导法则

定理3 若函数)(x g u =在点x 处可导, 而)(u f y =在点)(x g u =处可导, 则复合函数)]([x g f y =在点x 处可导, 且其导数为

)()(x g u f dx

dy '?'=

或

dx

du du

dy dx

dy ?

=

注: 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 这一法则又称为链式法则.

复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数的导数时, 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里, 逐层推进求导， 不要遗漏, 也不要重复. 在求导的过程中，始终要明确

所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数. 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去做. 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成.

四、 初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则

五、双曲函数与反双曲函数的导数

例题选讲：

导数的四则运算法则的应用

例1 求322537y x x x =-+-的导数.

解： 'y =32'

(2537)x x x -+-＝3'2'''(2)(5)(3)(7)x x x -+-

22235236103x x x x =?-?+=-+

例2 求3

4cos sin 2

y x x π=+-的导数.

解： '

3

'

2

(4c o s

s i n

)34s i n

2

y x x x x π

=+-=-

例3 求x y tan =的导数; 解： ''

'

'

'

2

sin (sin )cos sin (cos )

(tan )(

)cos cos x x x x x y x x

x

-===

2

2

2

2

2

cos sin 1

sec cos cos x x

x x

x

+=

=

=

例4 求sec y x =的导数;

解： '

'

''

'

2

1(1)cos 1(cos )

(sec )()cos cos x x y x x

x

-?===

2

s i n s e c t a n c o s x x x x

=

=

例5 求(sin cos )x

y e x x =+的导数.

解： '

'

[(sin cos )](sin cos )(cos sin )x

x

x

y e x x e x x e x x =+=++- 2c o s x

e x =

反函数的导数

例6 求函数arctan y x =的导数.

解： '''

2

11(arctan )(tan )

sec y x y y

==

=

但2

2

2

sec 1tan 1y y x =+=+，从而：

'

2

1

(a r c t a

n )1x x

=+

例7 求函数x y a log =的导数. 解： '

'

'

111(log )()

ln ln a y

y

y x a a a

x a

===

=

复合函数的求导法则

例8 求函数1

sin x y e =的导数.

解： 111s i n

s i n s i n ''

'

'111()(s i n

)c o s (

)

x

x

x

y e e

e

x

x x

==?=?? 1s i n

2

11cos

x

e x

x

=-

?

例9

求函数y =. 解：

2

''22'

3

1

)(12

)(12

)

3

y x x -==-?-

=

例10 求函数ln sin y x =的导数.

解： ''

'

1c o s

(l n s i n )

(s i n

)c o t s i n s i n

x y x x x

x

x ==?== 例11 求函数 3

x

y e =的导数.

解： 3

3

3

''3'2()()3x x x y e e x x e ==?= 例12 求函数ln cos()x y e =的导数. 解： ''

'

1(l n c o s ())[c o s (

)]

c o s (

)

x x

x

y e e e == s i n ()t a n ()c o s (

)

x

x x x

x

e e e e e -=

=- 例13 设 ()sin cos ,f x x x =- 求 .6f π??

' ???

解： ()'

'(sin cos )cos sin f

x x x x x =-=+

cos sin 6662f πππ??

'=+=

?

??

例14设 1sin cos 2

ρθθθ=+

,求 4

d d π

θρθ

=

.

解： '

'

11(sin cos )sin cos sin 2

2

ρθθθθθθθ=+=+-

1s i n c o s 2

θθθ=+

4

d d π

θρθ

=

=

1sin

cos

)2

4

4

4

4

2

π

π

π

π

+

=

+

例15 已知()f x 可导，求函数2

()y f x =的导数.

解： '2'

'2

[()]

2()

y f x x f x == 例16 求导数: 2

2

(sin )(cos )y f x f x =+ 且 ()x f 可导. 解： '

2

2'

[(s i n )(c o s )]y f x f

x =+ '

2

'

2

2s i n

c o s (s i n

)

2c o s s i n (c o s

)

x x f

x x x f x =- '

2'

2

2s i n 2[(s i n )(c o s )]

x f x f x =- 双曲函数与反双曲函数的导数

例17 求函数h y s x =的导数. 解： '

'

'

(h )(

)

2

2

x

x

x x

e e

e e

y s x chx ---+====

课堂练习

1. 求下列函数的导数:

(1) arcsin y =

(2)

y =

2. 若()u f 在0u 不可导, ()x g u =在0x 可导, 且(),00x g u = 则()[]x g f 在0x 处（ ）. (1) 必可导; (2) 必不可导; (3) 不一定可导.

3. 设()()()F x g x x ?=，()x ?在x a =处连续但是不可导，'()g a 存在，则()0g a =是

()F x 在x a =处可导的（ ）条件.

(1) 充要; (2) 必要非充分; (3) 充分非必要. （4）非充分非必要 4. 直线l 与x 轴平行且与曲线x y x e =-相切，则切点为（ ）

（1）(1,1) （2）(1,1)- （3）(0,1) （4）(0,1)-

第三节 高阶导数

根据本章第一节的引例1知道，物体作变速直线运动，其瞬时速度)(t v 就是路程函数)(t s s =对时间t 的导数，即

)()(t s t v '=. 根据物理学知识，速度函数)(t v 对于时间t 的变化率就是加速度)(t α，即)(t α是)(t v 对于时间t 的导数，

.])([)()(''='=t s t v t α

于是，加速度)(t α就是路程函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称为)(t s 对t 的二阶导数，记为

)(t s ''. 因此，变速直线运动的加速度就是路程函数)(t s 对t 的二阶导数，即

).()(t s t ''=α

本节主要内容

1 高阶导数的定义

2 计算高阶导数的方法

3 高阶导数的运算法则

4莱布尼茨公式

讲解提纲：

一、 高阶导数的概念

定义1 如果函数)(x f 的导数)(x f '在点x 处可导, 即

x

x f x x f x f x ?'-?+'=''→?)

()(lim

))((0

存在, 则称))((''x f 为函数)(x f 在点x 处的二阶导数, 记为

.)(,

),(2

2

2

2

dx

x f d dx

y d y x f 或

''''

类似地，二阶导数的导数称为三阶导数, 记为

33

,

),(dx

y d y x f ''''''，或

3

3

)(dx

x f d .

一般地,

)(x f 的1-n 阶导数的导数称为)(x f 的

n 阶导数,记为

.)(,

),()

()

(n n

n

n

n n dx

x f d dx

y d y

x f

或

注: 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, )(x f 称为零阶导数; )(x f '称

为一阶导数.

二、求高阶导数的方法：

求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常

利用已知的高阶导数公式, 通过导数的四则运算, 变量代换等方法, 间接求出指定的高阶导

数（间接法）. 三、莱布尼茨公式 ()

(

)(

1)

'(2)''

(1)

()

2!

n n n n n n uv u

v nu

v u v --

-=++

+ ()

()

()

(1)

(1)!

n k k n n n n k u

v

u v k -

--++++

例题选讲：

高阶导数的概念

例1设2y ax bx c =++，求y ''.

解： '2y a x b

=+ 2y a ''=

例2设6(10)y x =+, 求(2)y '''.

解： 5

6(10)y x '=+， 4

30(10)y x

''=+， 3

120(10)

y x '''=+ 3

(2)120(210)y '''=+=207360 例3设sin y x ω=的2阶导数.

解： c o s y x ωω'=， 2

s i n y x ωω''=- 例4证明: 函数 22x x y -=满足关系式 .013

=+''y y

解：

'

y --=

=

2y x x

''=-

33

2

2

11(2)

y x x =-

-- 于是 .013

=+''y y 例5求x

y e =的n 阶导数.

解： '

,x

y e = x

y e ''=， x

y e '''=， (4)

x

y

e =

一般地，可得

()(

)()

n x n x y e e ==

例6求幂函数,y x μμ=为任意常数的n 阶求导公式. 解： 1,y x μμ-'=

2

(1)y x

μμμ-''=-，

3(1)(2)y x μμμμ-'''=--

一般地有 ()(1)(2)(1)n n y n x μμμμμ-=---+

例7求ln(1)y x =+的n 阶导数. 解： l n (1)y x =+， 11y x

'=+， 2

1(1)

y x ''=-+

3

12(1)

y x ?'''=

+， (4)4

123

(1)

y x ??=-

+

一般地， ()()

1(1)!

[l n (1)](

1)(1)

n n

n

n

n y x x --=+=-+ 例8 设22x y x e =, 求(20)y .

解： 设2x u e =，2v x =，则

()22k k x u e =，

2v x '=， 2v ''=， ()0k v =(3,4,

20k = 代入莱布尼茨公式，得 (20)

22(20)

20

2

219

218

2

2019()

22022

22

2!

x

x x

x

y

x e

e

x e

x e ?==?+

??+? 202

2

2(2095)

x e

x x =++ 例9 设()f x ''存在，求2()y f x =的二阶导数 解： 22()y x f x ''=

222

2()4()y f x x f x '''''=+

课堂练习

1. 求函数cos y x x =的二阶导数.

2.设函数10x y =，求()

(0)n y

.

3. 设2,

0()ln(1),

ax bx c x f x x x ?++<=?

+≥?，在点0x =处有二阶导数，试确定,,a b c 的值.

第四节 隐函数的导数 对数求导法

参数方程表示的函数的导数

本节主要内容

1 隐函数的导数

2 对数求导法

3 由参数方程所确定的函数的导数

4 极坐标表示的曲线的切线

5 相关变化率

讲解提纲：

一、隐函数的导数

假设由方程0),(=y x F 所确定的函数为)(x y y =，则把它代回方程0),(=y x F 中，得到恒等式

0))(,(≡x f x F

利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x 求导，再解出所求导数dx

dy ，这就

是隐函数求导法.

二、 对数求导法：形如)()(x v x u y =的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x 求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法. 三、参数方程表示的函数的导数

设??

?==)

()(t y t x ψ?，)(t x ?=具有单调连续的反函数)(1x t -=?, 则变量y 与x 构成复合函数

关系)].([1x y -=?ψ 且

.dt

dx dt dy

dx

dy

= 四、 极坐标表示的曲线的切线

设曲线的极坐标方程为

)(θr r =.

利用直角坐标与极坐标的关系 θcos r x =，θsin r y =，可写出其参数方程为

?

?

?==θθθ

θsin )(sin )(r y r x ， 其中参数为极角θ. 按参数方程的求导法则，可得到曲线)(θr r =的切线斜率为 θ

θθθθθθθθ

θs i n )(c o s )(c o s )(s i n )(r r r r x y dx

dy y -'+'=

''==

'.

五、相关变化率： 设)(t x x =及)(t y y =都是可导函数, 如果变量x 与y 之间存在某种关系, 则它们的变化率

dt

dx 与

dt

dy 之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率称为相关变

化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率.

例题选讲：

隐函数的导数

例1 求方程0y

e e xy -+= 所确定的隐函数y 的导数 解：我们把方程两边分别对x 求导数，注意()y y x = 方程左边对x 求导得

()y

y

d dy dy

e e xy e

y x

dx

dx

dx

-+=++

方程右边对x 求导得 (0)0

'= 由于等式两边对x 的导数相等，所以 0y d y d y e y x d x

d x

++=

从而

,(0)

y

y

d y y x

e dx

x e =-

+≠+ 例2求由下列方程所确定的函数的二阶导数.

1sin 02

x y y -+

=

解：应用隐函数的求导方法得 11c o s 0

2y y y

''-+?= 于是 2

2c o s

y y '=

-

上式两边再对x 求导，得

23

2sin 4sin (2cos )(2cos )

y y y

y y y '-?-''==--

例3 求方程

2

2

1169

x

y

+

=在点M 处的切线方程.

解：由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为

2x k y ='=

椭圆方程的两边分别对x 求导，有

2089

x y y '+?=

从而 916x y y

-'=

当2x =时，y =

24x k y ='==-于是所求的切线方程为

2)4y x -=-

-

即

40

y +-=

例4 求由方程57

230y y x x ---=所确定的隐函数在0x =处的导数 解： 方程的两边分别对x 求导，有

46

521210y y y x ''+--= 由此得

6

4

12152

x

y y +'=

+

因为当0x =时，从原方程得0y =，所以 012

x y ='=

对数求导法

例5 设 sin (0),x y x x => 求 y '.

解： 这函数是幂指函数，为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得 l n s i n l n y x x =? 上式两边对x 求导，有

11cos ln sin y x x x y x '=+? 于是， 1

(c o s l n s i n )

y y x x x x

'=+

?=s i n

x x 1

(c o s l n s i n )

x x x x

+

? 例6

设y =

, 求 y '.

解：先在两边取对数（假定4x >），得 1l n [l n (1)

l n (

2)l n (3)l n (

4)]

2

y x x x x =

-

+----- 上式两边对x 求导，有

111111

()21234y y x x x x '=+------

于是 1

111()212

3

4

y y x x x x '=

+

-

-

----

当1x <时，

))

y =

当23x <<时，

y =

用同样的方法可得与上面相同的结果。

参数方程表示的函数的导数

例7 求椭圆方程 cos sin x a t y a t

=??=? 在4t π

=的切线方程.

解： 当4

t π

=时，椭圆上的相应点0M 的坐标是：

0c o s 4

2

x a π==

0s i n 4

2

y b π==

曲线在点0M 的切线的斜率为：

4

4

4

(sin )cos (cos )sin t t t dy b t b t b dx

a t a t

a

π

π

π

=

=

=

'=

=

=-

'

-

代入点斜式方程即得椭圆在点0M 处的切线方程：

(2

2

b y x a

-=-

-

化简后得

0ba ay +-=

例8 求由摆线表示的参数方程

?

?

?-=-=)cos 1()

sin (t a y t t a x 所表示的函数)(x y y =的二阶导数.

解：

s i n c o t (1c o s )2dy dy

a t t

dt dx dx a t dt

===-

2

2

2

111

(c o t )2(1c o s )2s i n

2d y

d

t d x t d x d t a t dt =

?=-?- 2

1

,(2,)(1c o s )

t n n Z a t π=-≠∈- 例9 如果不计空气的阻力，则抛射体的运动轨迹的参数方程为

??

???-==,

21,221gt t v y t v x 求时刻t 抛射体的运动速度的大小和方向.

解：先求速度的大小：

由于速度的水平分量为

1dx v dt =，

铅直分量为

2dy v gt dt

=- 所以抛射体运动速度的大小为

2

v =

=

再求速度的方向，也就是轨迹的切线方向

设α是切线的倾角，则根据导数的几何意义，得

2

1t a n dy

v gt dy

dt dx dx v dt

α-=== 所以，在抛射体刚射出时（即0t =）

201

t a n

t v

v α== 当2v t g

=

时，

2t a n 0

v t g

α==， 这时，运动方向是水平的，即抛射体达到最高点。 相关变化率

例10 一气球从离开观察员500米处离地面沿直上升, 其速率为140米/分. 当气球高度为500米时, 观察员视线的仰角增加率是多少?

解：设气球上升ts （秒）后，其高度为h ，观察员视线的仰角为α，则

t a n 500

h α=

其中α，h 都与t 存在函数关系。上式对t 求导

2

1s e c 500d dh dt

dt

αα?=?

已知

140/m in dh m dt

=，又当500h m =时，2

tan 1,sec 2x α==，代入上式

1

2140500

d dt

α?

=

? 所以 70

0.14(500

d dt α==rad/min)

即观察员视线的仰角增加率是0.14(rad/min)

极坐标表示的曲线的切线

例11 一长为5米的梯子斜靠在墙上. 如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁，试求梯子下端离墙3米时，梯子上端向下滑落的速率.

例12 河水以秒米/83的体流量流入水库中, 水库形状是长为4000米, 顶角为?120的水槽, 问水深20米时, 水面每小时上升几米?

课堂练习

1. 求由2

2

1x y -=所确定的函数的二阶导数

2

2

dx

y d .

2.1,.y y xe y '=-求

3．落在平静水面上的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是6m/s ，问在2s 末扰动水面面积的增大率为多少？

解： 记波得半径为()r r t =，相应圆面积为()S S t =，则2S r π=，两边同时对t 求导

2d S d r

r

d t

d t π=

当2t =时，6212,6dr

r dt

=?== 代入上式有：

2

2

2126144(/

)

t dS m s dt

ππ==??= 即2s 末扰动水面面积的增大率为2

144(/)m s π

第五节 函数的微分

在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量x 有微小变化时，求函数)(x f y =的微小改变量

)()(x f x x f y -?+=?.

这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数)(x f ，差值

)()(x f x x f -?+却是一个更复杂的表达式，不易求出其值. 一个想法是：我们设法将y ?表

示成x ?的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题. 微分就是实现这种线性化的一种数学模型.

本节主要内容

1 微分的定义

2 可微的条件

3 基本微分公式

4 微分的四则运算法则

5 微分的几何意义

6 复合函数的微分法

7 微分近似计算公式

8 误差计算

讲解提纲：

一、 微分的定义：

定义1 设函数)(x f y =在某区间内有定义, 0x 及x x ?+0在这区间内, 如果函数的增

量)()(00x f x x f y -?+=?可表示为

)(x o x A y ?+??=? (1)

其中A 是与x ?无关的常数, 则称函数)(x f y =在点0x 可微, 并且称x A ??为函数)(x f y =在点0x 处相应于自变量改变量x ?的微分, 记作dy , 即

x A dy ??= (2) 二、函数可微的条件：

函数)(x f y =在点0x 可微的充分必要条件是函数)(x f y =在点0x 可导，且当)(x f y =在点0x 可微时，其微分一定是：

dx x f dy )('= (3)

)

(x f dx

dy '= (4)

即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商. 因此，导数又称为“微商”. 三、 微分的几何意义：

在直角坐标系中，函数()y f x =的图形是一条曲线，对于某一固定的0x 值，曲线上有一个固定的点00(,)M x y ，当自变量x 有微小增量x ?时，就得到曲线上另一点

00(,)N x x y y +?+?。过点00(,)M x y 和0x x +?分别作平行于x 轴和y 轴的直线相交于

Q 点，则： MQ x =?； Q N y

=? 过点00(,)M x y 作曲线的切线M T ，它的倾角为α，则

'

0t a n ()Q P M Q x f x α=?=??，

即 d y Q P =

由此可见，对于可微函数()y f x =而言，当y ?是曲线()y f x =上的点的纵坐标

的增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。当x

?-比x

?

?很小时，y dy

小得多，因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

1．基本初等函数的微分公式

由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式。为了便于对照，列表于下：

2函数的和、差、积、商的微分法则

由函数的和、差、积、商的求导法则，可推得相应得微分法则。为了便于对照，列成下表（表中(),()

==都可导）。

u u x v v x

第二章 导数与微分习题汇总

第二章 导数与微分 【内容提要】 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-．若0→?x 时，极限x y x ??→?0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数， 记为 )(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或 0|d d x x x y =或0|d d x x x f = +→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??+ →?0 lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。 -→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??- →?0 lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。 2．导数的意义 导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。 3．可导与连续的关系 定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。 4．导数的运算 定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u '±'='±)( 定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u uv '+'=')( 定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则 2v v u v u v u ' -'= ' ?? ? ??

高数第三章一元函数的导数和微分

第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题

二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）

的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】

三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解

闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解

(完整版)第二章.导数和微分答案解析

第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y =

高等数学第2章 导数与微分

第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取

比值 0) ()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0 000) ()(tan x x x f x f x x y y --= --= ?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00) ()(lim 0x x x f x f x x --→. 令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x --→ 成为 x y x ??→?0lim 或x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000. 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,

高数第二章导数与微分知识点与习题

高数第二章导数与微分知识点总结 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x - --?→→+?--==?-. 0 '00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x + ++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001 ()()'() y f x x x f x -=- -. 2．基本公式 （1）'0C = （2）' 1 ()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1 (log )'(0,1)ln a x a a x a = >≠

（5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11）2 1(arcsin )'1x x = - （12）2 1(arccos )'1x x =- - （13）21(arctan )'1x x = + （14）2 1 (arccot )'1x x =-+ （15222 2 1[ln()]'x x a x a + += + 3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则 ()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2 '' ()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则 设(),()y f u u x ?==，则(())y f x ?=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ???=. 例5 求函数2 1 sin x y e =的导数. （3）反函数的求导法则 设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则 11 '()'()'(()) g y f x f g y = =. （4）隐函数求导 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法' ''x y F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数

2第二章 导数与微分答案

第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y .

导数与微分练习题答案

高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)

高等数学导数与微分练习题

作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin = ； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。

(完整版)第二章导数与微分(答案)

x 第二章导数与微分 (一) f X 0 X f X 0 I x 0 X 3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ） 5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ） C . a 6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ） A . 8 B . 12 C . -6 D . 6 8.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ） A . e f x B f X r e f f X ￡ ￡ f X 丄 2 x C . e f x f x D . e f x 9.若 f x ax e , x 0 在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x, (A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到 X o x 时，相应函数的改变量 f x 0 x B . f x 0 x C . f x 0 X f X 0 f X 。 x 2 .设f x 在x o 处可，则lim f X 0 B . X o C . f X 0 D . 2 f X 0 A .必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C .充分必要条件 既不充分也不必要条件 4.设函数y f u 是可导的，且u x 2 ，则 d y ( C ) x 2 B . xf x 2 C . 2 2 2xf x D . x f x D .有定义

10?若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ） A ?一定都没有导数 B ?—定都有导数 C .恰有一个有导数 D ?至少一个有导数 11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fx g x 在 x o 处(D ) 13 . y arctg 1 ，贝U y x A .一定都没有导数 B . 一定都有导数 C .至少一个有导数 D .至多一个有导数 12.已知F x f g x ，在 X X 。处可导，则（A ） g x 都必须可导 B . f x 必须可导 C . g x 必须可导 D . x 都不一定可导

第二章导数与微分 高等数学同济大学第六版

第二章 导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节 导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 本节主要内容 1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 3 左右导数 4 用导数计算导数 5 导数的几何意义 6 函数的可导与连续的关系 讲解提纲： 一、 引例： 引例1：变速直线运动的瞬时速度0 00 ()()lim t t f t f t v t t →-=-；

高等数学考研大总结之四导数与微分知识讲解

第四章 导数与微分 第一讲 导数 一，导数的定义： 1函数在某一点0x 处的导数：设()x f y = 在某个()δ,0x U 内有定义,如果极限 ()()0 lim 00→??-?+x x x f x x f (其中()() x x f x x f ?-?+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ?)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/ x f ,若记()()00,x f x f y x x x -=?-=?则 ()0/ x f =()()0 00lim x x x x x f x f →--=0lim →???x x y 解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。 即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值 越大,则函数在该点附近变化的速度越快。 ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/ x f ,0/x x y =,0x x dx dy =。 ⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。 ⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即：①对于点0x 处的自变量增量x ?,求出函数的增量（差分）y ?=()()00x f x x f -?+②求函数增量y ?与自变量增 量x ?之比x y ??③求极限0 lim →???x x y 若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极限不 存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。 ⑸在求极限的过程中, 0x 是常数, x ?是变量, 求出的极限值一般依赖于0x ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。 ⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。 2 单侧导数：设函数()x f 在某个(]00,x x δ-（或[)δ+00,x x ）有定义，并且极限

导数与微分总结

arccos求导 1基础总结 1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是： 2、导数的多种变式定义： 要注意细心观察发现，是描述趋近任意x时的斜率。而可以刻画趋近具体x0时的斜率。 3、 若x没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率----导数。 4、可导与连续的关系： 导数的实质是定义在某点的左右极限。既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存在的。如： 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义： 。定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！ 由此引发了一些容易误判的血案： 例如： 定义解决时候一定要注意中的到底是神马。比如求上图中,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！ 由此也可以知道，这个函数是不存在导数的，也不存在左导数，只存在右导数。

5、反函数的导数与原函数的关系： 有这样一条有趣的关系：函数的导数=对应的反函数的导数的倒数。 注意，求反函数时候不要换元。因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变，但是与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算。结果显然是错误的。举例子： 求的导数。显然反函数（不要换元）是。反函数的导数是。反函数导数的倒数是，因此， 再如，求的导数。 解：令函数为，则其反函数为，导数的倒数为。但是必须消去。因此变形得 (注意到在定义域内cosy恒为正，因此舍掉负解) 6、复合函数求导法则： 只要父函数和子函数随时能有定义，就拆着求就可以了。 7、高阶导数： 如果f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。 ; ;其余的也记不住，自己慢慢推导。 ; 二项式定理中有：；类似的，乘法的n阶导数也有： 。这个是要熟练记忆的。 8、隐函数，参数方程的导数，相关变化率 建议隐函数，参数方程的导数，以及求导数的相关变化率时使用形式求解。只有这样才能准确，安全，方便。 举例：求（隐函数f(x,y)=0）中y对x的导数 解：两边求导，，解完以后发现效果还不错。如果直接用什么y’神马的净是错误，所以不要直接用口算，用dy/dx方法求解。

第2章 导数与微分总结

1基础总结 1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是：0lim x y x ?→?? 2、导数的多种变式定义： 00000()()()() lim =lim lim x x x x f x f x y f x x f x x x x x ?→?→→-?+?-=??- 要注意细心观察发现，0 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?是描述趋近任意x 时的斜率。而 00 ()() lim x x f x f x x x →--可以刻画趋近具体x0时的斜率。 3、 若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率——导数。 4、可导与连续的关系：

导数的实质是定义在某点的左右极限。既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存在的。如： (),0f x x x =< 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义： 0()()()(0) lim lim x x f x x f x f x x f x x ?→?→+?-+?-=??。定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！ 由此引发了一些容易误判的血案： 例如： 定义解决时候一定要注意0 00 ()() lim x x f x f x x x →--中的0()f x 到底是神马。比如求上图 中01 ()() lim x f x f x x x + →-- ,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！

导数与微分单元归纳

学科：数学 教学内容：导数与微分单元达纲检测 【知识结构】 【内容提要】 1．本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用． 2．导数的概念． 函数y=f(x)的导数f ′(x)，就是当△x →0时，函数的增量△y 与自变量△x 的比x y ??的极限，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??=→?→?) ()(lim lim )('00 函数y=f(x)在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率． 3．函数的微分

函数y=f(x)的微分，即dy=f ′(x)dx ． 微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即dx dy x f = )('． 函数值的增量△y 也可以用y 的微分近似表示，即△y ≈dy 或△y ≈f ′(x)dx 。 4．求导数的方法 (1)常用的导数公式 c ′=0(c 为常数)； )()'(1 Q m mx x m m ∈=-； (sinx)′=cosx ； (cosx)′=－sinx ； x x e e =)'(， a a a x x ln )'(=； x x 1)'(ln = ， e x a x a log 1)'(log =。 (2)两个函数四则运算的导数： (u ±v)′=u ′±v ′； (uv)′=u ′v+uv ′ )0(' ''2 ≠-= ?? ? ??v v uv v u v u 。 (3)复合函数的导数 设y=f(u)，)(x u ?=， 则)(')(''''x u f u y y x u x ??=?=． 5．导数的应用

导数与微分导数概念

第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。

8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y '

4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y ''

第二章导数与微分试题及答案

第二章 导数与微分 1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设 2002 00(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-? 2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim （0'()f x -）； ⑵ ()=→?x x f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()() =--+→h h x f h x f h 000lim （02'()f x ）. 3. 求下列函数的导数： ⑴ ='=y x y ,4则3 4x ⑵ ='=y x y ,32则132 3 x - ⑶ ='=y x y ,1 则32 12x -- ⑷ = '=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方 上点?? ? ??=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程为1)223y x π- =-- 2(1)03 y +-+=

法线方程为1)23y x π- =- 化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数?????=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续 因为 20001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x ?→?→?→?+?-==?=??? 所以函数在0x =处可导. 6. 已知()()()()是否存在？ 又及求 0 ,0 0 , 0 2f f f x x x x x f '''???<-≥=-+ 2 ' 00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h + →+→++-=== '0 0(0)(0)(0)lim lim 1h h f h f h f h h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在 7. ()(). , 0 sin x f x x x x x f '?? ?≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;

高等数学导数与微分练习题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin =； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1( +=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程?? ?-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二 阶导数22dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 （2）解：2 sin cos )sin (x x x x x x y -= '='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。 （4）解：][1 ])[ln(222 222'++++= '++='a x x a x x a x x y ])(21 1[1222 222'+++++=a x a x a x x

第二章导数与微分总结

第二章 导数与微分总结 一、导数与微分概念 1．导数的定义 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。如果极限 ()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0 x x y =' ， 0x x dx dy =，()0 x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在， 则称函数()x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 ()()() 000 lim x x x f x f x f x x --='→ 我们也引进单侧导数概念。 右导数：()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。 切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()()()01 0000≠'-'- =-x f x x x f x f y

第二章导数与微分教学文案

第二章导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容分布图示 ★引言★变速直线运动的瞬时速度

★平面曲线的切线★导数的定义★几点说明 ★利用定义求导数与求极限（例1、例2）★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★左右导数★例8 ★例9 ★导数的几何意义★例10 ★例11 ★导数的物理意义★可导与连续的关系 ★例12 ★例13 ★例14 ★例15 ★内容小结★课堂练习 ★习题 2 - 1 ★返回 内容要点： 一、引例：引例1: 变速直线运动的瞬时速度；引例2: 平面曲线的切线 二、导数的定义： 注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值是函数在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是函数在点处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤： 1．求函数的增量： 2．求两增量的比值： ; 3．求极限 三、左右导数 定理1函数在点处可导的充要条件是：函数在点处的左、右导数均存在且相等. 四、用定义计算导数 五、导数的几何意义 六、函数的可导性与连续性的关系 定理2如果函数在点处可导，则它在处连续. 注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不