第二章导数与微分
微分学是高等数学的重要组成部分，作为研究分析函数的工具和方法，其主要包含两个重要的基本概念导数与微分，其中导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，即变化率问题，而微分刻画了当自变量有微小变化时，函数变化的近似值。
一、教学目标与基本要求
（一）知识
1．记住导数和微分的各种术语和记号；
2．知道导函数与函数在一点的导数的区别和联系；
3．知道导数的几何意义，知道平面曲线的切线和法线的定义；
4．记住常数及基本初等函数的导数公式；
5．知道双曲函数与反双曲函数的导数公式；
6．知道高阶导数的定义；
7．知道隐函数的定义；
8．记住反函数的求导法则；
9．记住参数方程所确定的函数的一、二阶导数的求导公式；
10．知道对数求导法及其适用范围；
11．知道相关变化率的定义及其简单应用；
12．记住基本初等函数的微分公式；
13．知道微分在近似计算及误差估计中的应用；
14．记住两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式。
（二）领会
1．领会函数在一点的导数的三种等价定义和左、右导数的定义；
2．领会函数在某点的导数与曲线在对应点处的切线的斜率之间的关系；
3．领会导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；
4．领会微分的定义以及导数与微分之间的区别和联系；
5．领会微分的运算法则及这些运算法则与相应的求导法则之间的联系；
6．领会微分形式的不变性；
7．领会函数在一点处可导、可微和连续之间的关系；
8．领会导数存在的充分必要条件是左、右导数存在且相等。
（三）运用
1．会用导数描述一些物理含义，如速度、加速度等；
2．会用导数的定义求一些极限，证明一些有关导数的命题，验证导数是否存在；
3．会用导数的几何意义求曲线在某点的切线方程和法线方程；
4．会用导数的定义或导数存在的充要条件讨论分段函数在分段点处的导数是否存在；
5．会用导数的四则运算法则及基本初等函数的求导公式求导数；
6．会求反函数的导数；
7．会求复合函数的导数；
8．会求隐函数的一阶、二阶导数；
9．会求参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；
10．会求函数的高阶导数；
11．会用莱布尼兹公式求函数乘积的高阶导数；
12．会用对数求导法求幂指函数和具有复杂乘、除、乘方、开方运算的函数的导数。
13．会用微分定义和微分法则求微分；
14．会用一阶微分形式不变性求复合函数的微分和导数；
15．会用微分求函数的近似值。
（四）分析综合
1．综合运用基本初等函数的导数公式及各种导法则求初等函数的导数；
2．综合运用函数导数的定义，左、右导数与导数之间的关系以及可导与连续的关系等讨论函数的可导性；
3． 综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、差、积的高阶导数公式及莱布
尼兹公式等，求函数高阶导数；
4． 综合运用导数的几何意义及求导法则，解决几何方面求曲线切线与法线的问题及相
关变化率问题；综合运用微分的定义及几何意义解决近似计算及误差估计问题。
二、教学内容的重点及难点：
1． 导数的概念与几何意义及物理意义； 2． 可导与连续的关系；
3． 导数的运算法则与基本求导公式； 4． 微分的概念与微分的运算法则； 5． 可微与可导的关系。
三、教学内容的深化和拓宽：
1． 导数概念的深刻背景；
2． 复合函数的求导法则的应用；
3． 综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、差、积的高阶导数 公式及莱布尼兹公式等，求函数的高阶导数；
4． 综合运用导数的几何意义及求导法则，解决几何方面的曲线切线与法线 的问题及相关变化率问题。
§2.1 导数的概念
一、内容要点
1． 导数的两个基本实际背景是曲线的切线斜率与变速运动的瞬时速度。 2． 函数在一点处的导数的定义为函数在该点处的关于自变量的变化率，即
x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()()(00000lim lim 0
00)
()(lim
x x x f x f x --=→? 3．单侧导数的定义
1) 函数可导性与连续性的关系：若函数在一点处可导，则函数在该点处连续，反
之不然。
2) 导数的实用举例（扩充）
二、教学要求和注意点
教学要求：
1． 理解导数的概念，理解导数的几何意义与基本物理意义。
2． 理解函数的可导性与连续性之间的关系，即连续是可导的必要面非充分条件。 3． 了解函数可导的充要条件：)(0x f '存在00()()f x f x +-''?=
教学注意点：
1． 要充分认识函数在一点处的导数是函数关于其自变量在该点的变化率：
切线的斜率dx
dy k =；速度dt dx =υ与加速度dt d a υ=；角速度dt
d θ
ω=与角加速度dt
d ωβ=
；电流dt
dQ i =
，等等。
2． 要充分理解函数可导则必然连续，而连续却未必可导。
3． 注意要用函数可导的充要条件：)(0x f '存在00()()f x f x +-''?=来判断 分段函数在分段点处是否可导。
主要内容： 一、 引例
1、 线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点
和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。
设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在
P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。我们不难求得
PQ 的斜率为：
0)
()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即
0)
()(lim
x x x f x f k x x --=→。
若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。
2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？
为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为
0)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用
0)()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当0
t t →时，
0)()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时，
00)()(lim 0
t t t s t s v t t --=→
3、同理可讨论质量非均匀分布的细杆的线密度问题，设细杆分布在],0[x 上的质量m 是x 的函数
)(x m m =，那么在0x 处的线密度为
00)
()(lim 0
x x x m x m x x --=→ρ
二、 导数的定义
综合上几个问题，它们均归纳为这一极限0
0)
()(lim
x x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x 在0x 的增
量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。
定义：设)(x f y =在0x 点的某邻域内有定义，且当自变量在0x 点有一增量x ?（x x ?+0仍在该邻域中）时，函数相应地有增量y ?，若增量比极限：x
y x ??→?0
lim
即0
0)
()(lim
x x x f x f x x --→存在，就称其值为
)(x f y =在0x x =点的导数，记为)(0x f '，0
x x y ='
，
x x dx
dy =或
x x dx
df =。
即0
00)
()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='→等等，这时，也称)(x f y =在0x x =点可导或有导数，导数存在。
注 1：导数的常见形式还有：x
x f x x f x f x ?-?+='→?)
()(lim
)(000
0；
h
x f h x f x f h )
()(lim
)(000
0-+='→；
h
h x f x f x f h )
()(lim )(000
0--='→；
2：
x
y ??反映的是曲线在],[0x x 上的平均变化率，而0
)(x x dx
dy x f =='是在点0x 的变化率，它反映
了函数)(x f y =随0x x →而变化的快慢程度。
3：这里
x x dx
dy =与
x x dx
df =中的
dx
dy 与
dx
df 是一个整体记号，而不能视为分子dy 或df 与分母dx ，
待到后面再讨论。 4：若极限x
y x ??→?0
lim
即0
0)
()(lim
x x x f x f x x --→不存在，就称)(x f y =在0x x =点不可导。特别地，若
∞=??→?x
y x 0
lim
，也可称)(x f y =在0x x =的导数为∞，因为此时)(x f y =在0x 点的切线存在，它是
垂直于x 轴的直线0x x =。
若)(x f y =在开区间I 内的每一点处均可导，就称)(x f y =在I 内可导，且对I x ∈?，均有一导数值)(x f '，这时就构造了一新的函数，称之为)(x f y =在I 内的导函数，记为)(x f y '=，或y '，
dx
dy ，
dx
x df )(等。
事实上， x
x f x x f y x ?-?+='→?)
()(lim 0
或h
x f h x f y h )
()(lim
-+='→
注 5：上两式中，x 为I 内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而x ?与h 是变量。但在导函数中，x 是变量。
6：)(x f y =在0x x =的导数)(0x f '就是导函数)(x f y '=在0x x =点的值，不要认为是
])([0'x f ；
7：为方便起见，导函数就称为导数，而)(0x f '是在0x 点的导数。 【例1】 设0)0(=f ，证明欲A x
x f x =→)(lim
，那么)0(f A '=。
证明：因为
A x f x f x
x f x f x f x =--?=--→0
)
0()(lim
)(0
)
0()(0
所以)0(f A '=。
【例2】
若)(x f 在0x 点可导，问：
→--+h
h x f h x f )
()(00？
解：
h
h x f x f h
x f h x f h
h x f h x f )
()()
()()
()(000000--+
-+=
--+
)(2)()(000x f x f x f '='+'→。
反过来，亦证明：)(2)
()(000x f h
h x f h x f '→---+。
三、求导数举例
【例3】
求函数c x f =)(（c 为常数）的导数。
解：在c x f =)(中，不论x 取何值，起其函数值总为c ，所以，对应于自变量的增量x ?，有0≡?y
0lim
=???=???
→?x
y x
y x ，即0)(='c 。
注：这里是指c x f =)(在任一点的导数均为0，即导函数为0。 【例4】
求n x x f =)(（n 为正整数）在a x =点的导数。
解：1
1
2
2
1
)(lim lim
)(-----→→=++++=--='n n n n n a
x n
n
a
x na
a
x a
ax
x
a
x a x a f 即1
)(-='n na
a f ，
亦即1
)(-=='n a
x n na
x ，若将a 视为任一点，并用x 代换，即得1)()(-='='n n nx x x f
注：更一般地，μx x f =)(（μ为常数）的导数为1)(-='μμx x f ，由此可见，
x
x 12
1)(=
', )0(1)1(2
≠-
='x x
x
。
【例5】
求x x f sin )(=在a x =点的导数。
解： a a
x a
x a f a
x cos sin sin lim
)(=--='→,即a x a
x cos )(sin ='
=
同理：若视a 为任意值，并用x 代换，使得x x f cos )(='，即x x cos )(sin ='。
注：同理可证：x x sin )(cos -='。 【例6】
求)1,0()(≠>=a a a x f x
的导数。
解：h
a a h
a a
h
x f h x f x f h
h x
x
h
x h h 1lim
lim
)
()(lim
)(0
-?=-=-+='→+→→
a a e
a a a x
a x
a x
a x
a h
ln log 1)
1(log 1
lim
)
1(log lim
1
1
=?
=+=+=→→-=β
ββββββ
令
所以a a a x x ln )(='。
注：特别地，x x e e =')(。 【例7】
求)1,0(log )(≠>=a a x
x f a 的导数。
解：h
x h
h x
h x h x f h x f x f a h a a h h )1(log lim
log )(log lim
)
()(lim
)(0
+=-+=-+='→→→
a
x e x
x
h x
a h x
a h ln 1log 1)1(log 1lim
=
=
+
?=→。
注 1：等最后讲到反函数求导时，可将x a log 作为x a 的反函数来求导； 2：一般地说，求导有四步：
一、给出x ?； 二、算出y ?； 三、求增量比x
y ??；
四、求极限。 3、x
x 1)(ln =
'。
【例8】
讨论x x f =)(在0=x 处的导数。
解：考虑h h
h h
f h f h h h sgn lim lim
)
0()0(lim
→→→==-+，由§1.4例4知h h sgn lim 0
→不存在，故x 在0
=x 点不可导。
然而，1sgn lim 0
0-=-→h h 及1sgn lim 0
0=+→h h ，这就提出了一个单侧导数的问题，一般地，若
h
x f h x f h )
()(lim
000
0-++→，即0
00
)
()(lim
0x x x f x f x x --+→[h
x f h x f h )
()(lim
000
0-+-→即
00
)
()(l i m
0x x x f x f x x ---→]存在，就称其值为)(x f 在0x x =点的右（左）导数，并记为
))(()(00x f x f '
'
-+，即0
00
000
00)
()(lim
)
()(lim
)(0x x x f x f h x f h x f x f x x h --=-+='+→+→+
[0
00
000
00)
()(lim
)
()(lim
)(0x x x f x f h
x f h x f x f x x h --=-+='
-→-→-]。
定理1：)(x f 在0x x =点可导?)(x f 在0x x =点的左导数和右导数均存在，且相等，即 )()(00x f x f '
='+-。
注1：[例8])(x f 的左导数为-1，右导数为1。因为11≠-，所以在0=x 点不可导； 2：[例8]也说明左可导又右可导，也不能保证可导； 3：左、右导数统称为单侧导数；
4：若)(x f 在),(b a 内可导，且在a x =点右可导，在b x =点左可导，即),(a f '+)(b f '
-存在，就
称)(x f 在],[b a 上可导。
四、 导数的几何意义
由前面的讨论知：：函数)(x f y =在0x x =的导数)(0x f '就是该曲线在0x x =点处的切线斜率k ，即)(0x f k '=，或αα,t a n )(0='x f 为切线的倾角。从而，得切线方程为
))((000x x x f y y -'=-。若∞=')(0x f ，2
π
α=
?或2
π
-
?切线方程为：0x x =。过切
点),(00y x P ，且与P 点切线垂直的直线称为)(x f y =在0P 点的法线。如果)(0x f '0≠，法线的斜率为)
(10x f '-
，此时，法线的方程为：)()
(1000x x x f y y -'-
=-。
如果)(0x f '=0，法线方程为0x x =。
【例9】 求曲线3
x y =在点),(00y x P 处的切线与法线方程。 解：由于202
333)(0
x x
x x x x x =='
==，所以3
x y =在),(00y x P 处的切线方程为：
)(302
00x x x y y -=- 当00≠x 时，法线方程为： )(3102
0x x x y y --
=-
当00=x 时，法线方程为： 0=x 。
五、
函数的可导性与连续性之间的关系
定理2：如果函数)(x f y =在0x x =点可导，那么在该点必连续。 证明：由条件知：)(lim
00
x f x y
x '=??→?是存在的，其中)()(,00x f x f y x x x -=?-=?， 由§1、5定理1(i)α+'=???)(0x f x
y
（α为无穷小）x x x f y ?+?'=??α)(0
显然当0→?x 时，有0→?y ，所以由§1、9定义1＂，即得函数)(x f y =在0x x =点连续，证毕。
注 1：本定理的逆定理不成立，即连续未必可导。 反例：x y =在0=x 点连续，但不可导。 【例10】 求常数b a ,使得??
?<+≥=0
0)(x b
ax x e x f x
在0=x 点可导。
解：若使)(x f 在0=x 点可导，必使之连续，故)0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==-
→+
→
100=?+?=?b b
a e 。
又若使)(x f 在0=x 点可导，必使之左右导数存在，且相等，由函数知，左右导数是存在的，且
a x e
b ax f x =--+='-
→-0)(lim
)0(0
10
lim
)0(00
0==--='+
→+e x e e f x
x
所以若有1=a ，则)0()0(+-'='f f ，此时)(x f 在0=x 点可导，所以所求常数为 1==b a 。
§2.2 函数的和、差、积、商的求导法则
一、内容要点
1． 函数的线性组合、积与商的求导法则
υββυ'±'='±u a au )( υυυ'+'='u u u )( 2
)(υ
υυυ'
-'='u u u ； 2． 反函数的导数
1． 复合函数的求导法则
dx
du du
dy dx
dy ?
=
；
2． 小结基本求导法则与导娄公式：
1） 常数和基本初等函数的导数公式； 2） 函数的和、差、积、商的求导法则； 3） 反函数的求导法则； 4） 复合函数的求导法则。
二、教学要求和注意点
教学要求：
1． 掌握函数的线性组合、积与商的求导法则与复合函数的链式法则。 教学注意点： 1． 牢记
c s c ,s e c ,c o t ,t a n ,c o s ,1,,x x x x x nx e x x
μ arcsin x ，arccos x ，arctan x ，arccot x ，sinh x ，cosh x
等15个初等函数的导数，必须做到“倒背如流”。 2． 在求导法则中，复合函数在链式求导法则是中心，应用时一要弄清函数的复合关系，
做到不遗漏，不重复；二是在每步求导时要弄清关于哪一个变量求导（即使这个变量不明显出现），熟练掌握的关键是多做练习。
主要内容：
定理 1：若函数)(x u 和)(x v 在点0x 都可导，则)()()(x v x u x f ±=在0x 点也可导，且 )()()(000x v x u x f '±'='。 证明：0
0000)]
()([)]()([lim
)
()(lim
0x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x -±-±=--→→
=0
00
0)()(lim
)
()(lim
x x x v x v x x x u x u x x x x --±--→→=)()(00x v x u '±'
所以)()()(000x v x u x f '±'='。
注 1：本定理可推广到有限个可导函数上去。 2：本定理的结论也常简记为v u v u '±'='±)(。
定理2：若)(x u 和)(x v 在0x x =点可导，则)()()(x v x u x f =在0x 点可导，且有
)()()()()(00000'+'='x v x u x v x u x f 。
证明：0
000
0)
()()()(lim
)
()(lim
x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x --=--→→
=0
0000)
()()()()()()()(lim
x x x v x u x v x u x v x u x v x u x x --+-→
=0
0000)()()
(lim )()
()(lim
x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x --+--→→
=0
000
0)()(lim
)()(lim )
()(lim
0x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x x x --+--→→→
=)()()()(0000x v x u x v x u '+'
即 )()()()()(00000x v x u x v x u x f '+'='。
注 1：若取c x v ≡)(为常数，则有：u c cu '=')(； 2：本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如： w uc w v u vw u uvw '+'+'=')(
s u v w s w uv ws v u vws u uvws '+'+'+'=')(等。
定理3：若)(),(x v x u 都在0x x =点可导，且0)(0≠x v ，则)
()()(x v x u x f =
在0x 点也可导，且
)
()
()()()()(02
00000x v x v x u x v x u x f '-'=
'。
证明：)
()()()()()()(lim
)
()()
()
(lim
)
()(lim
00000
000
00
x v x v x x x v x u x v x u x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x x x --=--
=--→→→
=])
()(1)()()
()
(1)
()([
lim 00
000
00
x v x v x x x v x v x u x v x x x u x u x x -----→
=)
(1)
()()
(1)(02
0000x v x v x u x v x u '-'
=
)
()
()()()(02
0000x v x v x u x v x u '-'
即)
()
()()()()(02
00000x v x v x u x v x u x f '-'=
'
注1：本定理也可通过)
(1)()(x v x u x f ?
=，及])
(1[
x v 的求导公式来得；
2：本公式简化为2
)(v
v u v u v
u
'-'=
'；
3：以上定理1~3中的0x ，若视为任意，并用x 代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数公
式。
【例1】
设x
x x x f 22)(-
+=，求)(x f '。
解： 3
1)2
1(212
21)2(
)2()()22()(x
x
x
x x x
x x x f ?
-
-?
+
='-'+'='-
+='
3
111x
x
+
+
=。
【例2】
设x xe x f x ln )(=，求)(x f '。
解：)(ln ln )(ln )()ln ()('+'+'='='x xe x e x x e x x xe x f x x x x
x
xe
x xe x e x
x
x
1ln ln ?
++=
)ln ln 1(x x x e x ++=。
【例3】
x
c x x x
c x x x x
x tan csc )(csc ,
sin
1)tan (,
tan sec )(sec ,cos
1)(tan 2
2
?-='-
='?='=
'
反函数的导数
定理1：设)(x f y =为)(y x ?=的反函数，若)(y ?在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ?，
则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且)
(1
)(00y x f ?'=
'。
证明：0
000
0)
()(1
lim
)
()(lim
)
()(lim
y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→????
)
(1
)
()(lim
1
00
00
y y y y y y y ???'=
--=
→
所以 )
(1
)(00y x f ?'='。
注1：00
y y x x →?
→，因为)(y ?在0y 点附近连续，严格单调；
2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)
(1
)(y x f ?'=
'或
)
(
1dy dx dx
dy =，其中
dy
dx
dx dy ,
均为整体记号，各代表不同的意义；
3：)(x f '和)(y ?'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。 【例1】
求x y arcsin =的导数，
解：由于]1,1[,
arcsin -∈=x x y ，是]2
,
2
[,
sin π
π-
∈=y y x 的反函数，由定理1得：
2
2
11sin
11cos 1)(sin 1
)(arcsin x
y
y
y x -=-=='
=
'。
注1：同理可证：2
2
2
11)tan (,11)(arctan ,11)(arccos x
x arcc x
x x
x +-
='+=
'--
='；
2：2
tan arctan arccos arcsin π
=+=+x arcc x x x 。
【例2】
求x y a log =的导数)1,0(≠>a a 。
解：利用指数函数的导数，自己做。
二复合函数的求导公式
复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。
定理2（复合函数求导法则）：如果)(x u ?=在0x x =点可导，且)(u f y =在)(00x u u ?== 点也
可导，那么，以)(u f y =为外函数，以)(x u ?=为内函数，所复合的复合函数))((x f y ?=在
0x x =点可导，且
)()(000
x u f dx
dy x x ?''==，或)()(]))(([000x u f x f x x ??''='=
证明： 0
0000
0)
()()()(lim
))
(())((lim
x x x x u u u f u f x x x f x f x x x x --?
--=--→→???? =0
00
0)
()(lim
)()(lim
0x x x x u u u f u f x x u u --?--→→??=)()(00x u f ?'?'
所以)()(,]))(([00x u f x f ??''=?'。
注 1：若视0x 为任意，并用x 代替，便得导函数：
)())(())
((x x f dx x df ???'?'=，或)())((]))(([x x f x f ???'?'=' 或
dx
du du
dy dx
dy ?=
。
2：))((x f ?'与]))((['x f ?不同，前者是对变量)(x u ?=求导，后者是对变量x 求导，注意区别。 3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。
4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如： )())(()))(((])))((([x h x h g x h g f x h g f '?'?'='等。 【例3】
求x
y 1arctan
=的导数。
解：x
y 1arctan =可看成u arctan 与x
u 1=
复合而成，
2
11)(arctan u
u +='，2
1)1(x
x
-
='， 2
2
2
11)1()
1
(11)1(arctan x
x
x
x
y +-
=-
?+='='?。
【例4】 求μ
x y =（μ为常数）的导数。
解：x
e
x y ln μμ
==是u
e y =，x v v u ln ,=?=μ复合而成的。
所以1
11)(ln )()()(-?=??
=??='?'?'='='μμ
μ
μ
μμμμx
x
x
x
e x v e x y u
。
这就验证了前面§2、1的[例4]。
由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间
变量，而直接写出结果。
【例5】2
1x y -=
，求y '。
解：2
2
2
21
2
21)1(112
1])1[()1(x
x x x
x x y --
='-?-?
='-='-='。
【例6】x
e y sin 1-=，求y '。 解： x
x e
x e
e
y x
x
x
s i n 1)s i n 1(21)s i n 1()(s i n 1s i n 1s i n 1-'
-?
?
='-?='='--- x
x
e
x
x x
x e
s i n 1s i n 1s i n 1c o s 2
1s i n 1c o s 2
1----
=--?
=。
【例7】))1cos(2arcsin(2-=x y ，求y '。 解：))1cos(2()]
1cos(2[11
))1cos(2(arcsin(2
2
2
2'---=
'-='x x x y
=
)1()]1sin([2)
1(cos 411
2
22
2
'-?--?--x x x
=)
1(cos 41)1sin(42)
1(cos 41)1sin(22
2
2
2
2
2
----
=?----x x x x x x 。
【例8】))2
tan ln(ln(ln x y =，求y '。
解：)2
tan
(ln 2tan ln 1)2
tan
ln(ln 1))2tan
(ln(ln )2tan
ln(ln 1'?
=
'?=
'x x x x x y
)2(2
c o s
12
t a n
12
t a n
ln 1)2
tan
ln(ln 1
)2
(tan
2
tan
1
2
tan
ln 1
)2
tan
ln(ln 12
'??
?
?
=
'??
?=
x
x x x x x x x x 2
t a n
ln ln 12
tan
ln 1sin 12
tan
ln ln 12
tan
ln 12
tan
12
cos
1212
x x x
x x x x ?
?
=
?
?
?
?
=
。
【例9】])()[(2
1)(2
1)2
(
'-'=
'-=
'-='---x
x x
x x
x
e
e e
e e
e x h s
][2
1)]
1([21
x
x x
x
e
e e
e --+=
--=
，
即chx x h s ='。同理，shx x h c ='。
【例10】)1ln(2x x y ++=，求y '。 解：)1(11])1[ln(2
2
2
'++?++
=
'++='x x x
x x x y
)1(11211[1122
2
'+++
++
=
x x x x
)(11)122
11(112
22'=+=
++++
=a r s h x x
x
x x
x 。
同理： )(1
1)1(ln(2
2
'=-=
'-+archx x x x 。
初等函数的求导公式 1、 常数和基本初等函数的求导公式：
（1）0)(='c （2）1)(-='μμμx x （3）x x cos )(sin =' （4）x x sin )(cos -=' （5）x x 2sec )(tan =' （6）x x 2
csc )(cot -=' （7）x x x tan sec )(sec ?=' （8）x x x cot csc )(csc ?-=' （9）a a a x x ln )(=' （10）x
x e e =')( （11）a
x x a
ln 1)(log =
' （12）x
x 1)(ln =
'
（13）2
11)(arcsin x
x -=
' （14）2
11)(arccos x
x --
='
（15）2
11)(arctan x
x +=' （16）2
11)cot (x
x arc +-='
（17）chx shx =')( （18）shx chx =')(
（19）x
ch thx 2
1)(=
'
（20）1
1))1(ln()(2
2
+=
'++='x x x arcshx
（21）1
1))1(ln()(2
2
-=
'-+
='x x x arcchx
（22）2
11)11ln
2
1
()(x
x
x arcthx -='-+='
2、 函数的四则运算的求导法则： 设)(),(x v v x u u ==，则
(i)v u v u '±'='±)( (ii)u c cu '=')( (iii)v u v u uv '+'=')( (iv)2
)(v
v u v u v u
'-'=
' )0(≠v
3、 复合函数的求导法则：
设))(()
(),(x f y x u u f y ??=?==的导数为：
d x d u
d u d y d x
d y ?=
或 )())((]))(([x x f x f ???'?'=' 或
dx
x d du
u df dx
x df x u )()())
(()
(????=
=
§ 2.3 高阶导数
一、内容要点
1． 高阶导数的定义；
2． 一些特殊函数的高阶导数公式；
3． 两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式。 二、教学要求和注意点
教学要求：
1．了解和会求高阶导数；
2．知道莱布尼兹求导公式：∑=-=
n
k k k n k n
n v
u
C
uv 0
)
()
()
()(
教学注意点：
要求学生记住高阶导数
);2
cos()
(cos );2
sin()
(sin ;)
()
()
()
(ππn x x n x x e e n n x n x
+
=+
==
n
n n n n
n x
n x x
n x
)!
1()1()(ln ;!)1()
1
(1
)
(1
)
(--=
-=
-+是有用的。
主要内容：
前面讲过，若质点的运动方程)(t s s =，则物体的运动速度为)()(t s t v '=，或dt
ds t v =
)(，而加
速度)(t a 是速度)(t v 对时间t 的变化率，即)(t a 是速度)(t v 对时间t 的导数：
)(
)(dt
ds dt
d dt
dv t a =
?=
=αα或))(()(''='=t s t v α，
由上可见，加速度α是)(t s 的导函数的导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下列定义：
定义：若函数)(x f y =的导函数)(x f '在0x 点可导，就称)(x f '在点0x 的导数为函数)(x f y =在点
0x 处的二阶导数，记为)(0x f ''，即)()
()(lim 00
00
x f x x x f x f x x ''=-'-'→，
此时，也称函数)(x f y =在点0x 处二阶可导。
注1：若)(x f y =在区间I 上的每一点都二次可导，则称)(x f 在区间I 上二次可导，并称I
x x f ∈''),(为)(x f 在I 上的二阶导函数，简称二阶导数；
2：仿上定义，由二阶导数)(x f ''可定义三阶导数)(x f '''，由三阶导数)(x f '''可定义四阶导数
)()
4(x f
，一般地，可由1-n 阶导数)()
1(x f
n -定义n 阶导数)()
(x f
n ；
3：二阶以上的导数称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为：)(0)
(x f
n ，)(0)
(x y
n ，
x x n
n
dx
y d =或
x x n
n
dx
f d =与n
n
n n dx
y d x y
x f
),
(),()
()
(或
n
n
dx
f d ；
4：开始所述的加速度就是s 对t 的二阶导数，依上记法，可记2
2
dt
s d =α或)(t s ''=α；
5：未必任何函数所有高阶都存在；
6：由定义不难知道，对)(x f y =，其导数（也称为一阶导数）的导数为二阶导数，二阶导数的
导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数，一般地，1-n 阶导数的导数为n 阶导数，否则，
因此，求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导方法就可以了。
【例1】c bx ax y ++=2
，求)
4(,,y y y '''''。
解：0,
022)
4(=='''?=''?+='y
y a y b
ax y 。
【例2】x e y =，求各阶导数。 解：x
e y ='，x e y =''，x e y ='''，x e y =)
4(，显然易见，对任何n ，有x
n e y
=)
(，
即x
n x
e e =)()
(。
【例3】x y sin =，求各阶导数。 解：)2
sin(cos ,
sin π
+
=='=x x y x y )2
2s i n ()s i n (s i n π
π?+=+=-=''x x x y
)2
3s i n ()2
s i n ()2
s i n (c o s π
ππ
π
?+=++
=+
-=-='''x x x x y
)2
4s i n ()2s i n (s i n )4(π
π?+=+==x x x y
…… 一般地，有)2
sin()
(π
n
x y
n +=，即 )2
s i n ()
(s i n )
(π
n
x x n +=。
同样可求得 )2
c o s ()(c o s )
(π
n
x x n +=。
【例4】)1ln(x y +=，求各阶导数。
解：)1ln(x y +=，x
y +='11，2
)
1(1x y +-
=''，3
)
1(21x y +?=
'''，
4
)4()
1(321x y +??-
=，……
一般地，有 n
n n x n y
)
1()!1()
1(1
)
(+--=-
即 n
n n x n x )
1()!1()
1())1(ln(1
)
(+--=+-。
【例5】μ
x y =，μ为任意常数，求各阶导数。 解：μx y =，2
1
)1(,---=''='μμμμμx
y x y ，3
)2)(1(---='''μμμμx
y ，
4
)
4()3)(2)(1(----=μμμμμx
y
，
一般地， n
n x n y -+---=μμμμμ)1()2)(1()
(
即 n
n x
n x -+---=μμμμμμ)1()2)(1()()
( 。
(i)
当k =μ为正整数时，
a)k n <时，n k n k x n k k k k x -+---=)1()2)(1()()( ； k n =时，)!(!)()(n k x k k ==； k n >时，0)()(=n k x ；
(ii)当μ为正整数时，必存在一自然数k ，使得当k n >，)()(n x μ在0=x 处不存在。
如：,2
123,2
3,2
121
23
-
=
''=
'=x
y x y x y 然而，2
1-
x
在0=x 处是无意义，即说明
21
2
3x y =
'在0=x 处无导数，或y ''在0=x 处不存在。
【例6】x e y x cos =，求y '''。
解： )s i n (c o s )s i n (c o s x x e x e x e y x x x -=-+='，
)s i n 2()c o s s i n ()s i n (c o s x e x x e x x e y x x x -=--+-=''，
)c o s (s i n 2)c o s s i n (2x x e x e x e y x x x +-=+-='''。
注：高阶导数有如下运算法则： (1))()()]()([)()()(x v x u x v x u n n n ±=±， (2)v u v u v u v u uv v u v u v u uv v u v u uv '''+'''+'''+'''='''''+''+''='''+'='33)(,2)(,)(，
……，
+++''+'+=---)
()
()
2(2)
1(1)
0()
()
()]
()([k k n k n n n n n n n v
u
C v u
C v u
C v
u
x v x u
+)
()
0(n v
u 。其中v v u u
==)
0()
0(,。 Leibinz 公式
【例7】上例中，求)
5(y
。
解： )(c o s )()(c o s
)(c o s )()c o s (25)4(15)5()5()5('''''+'+?==x e C x e C x e x e y x
x x x )
5()
4(4535)
(cos )
(cos )()(cos )(x e x e C x e C x x x +'+'''''+
=)sin (cos 5sin 10)cos (10)sin (5cos x e x e x e x e x e x e x
x
x
x
x
x
-+++-+-+ =]sin cos 5sin 10cos 10sin 5[cos x x x x x x e x
-++--
第二章 导数与微分 【内容提要】 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-．若0→?x 时，极限x y x ??→?0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数， 记为 )(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或 0|d d x x x y =或0|d d x x x f = +→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??+ →?0 lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。 -→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??- →?0 lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。 2．导数的意义 导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。 3．可导与连续的关系 定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。 4．导数的运算 定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u '±'='±)( 定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u uv '+'=')( 定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则 2v v u v u v u ' -'= ' ?? ? ??
第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y =
第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取
比值 0) ()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0 000) ()(tan x x x f x f x x y y --= --= ?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00) ()(lim 0x x x f x f x x --→. 令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x --→ 成为 x y x ??→?0lim 或x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000. 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,
高数第二章导数与微分知识点总结 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x - --?→→+?--==?-. 0 '00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x + ++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001 ()()'() y f x x x f x -=- -. 2．基本公式 （1）'0C = （2）' 1 ()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1 (log )'(0,1)ln a x a a x a = >≠
（5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11）2 1(arcsin )'1x x = - （12）2 1(arccos )'1x x =- - （13）21(arctan )'1x x = + （14）2 1 (arccot )'1x x =-+ （15222 2 1[ln()]'x x a x a + += + 3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则 ()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2 '' ()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则 设(),()y f u u x ?==，则(())y f x ?=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ???=. 例5 求函数2 1 sin x y e =的导数. （3）反函数的求导法则 设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则 11 '()'()'(()) g y f x f g y = =. （4）隐函数求导 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法' ''x y F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数
第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y .
高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)
x 第二章导数与微分 (一) f X 0 X f X 0 I x 0 X 3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ） 5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ） C . a 6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ） A . 8 B . 12 C . -6 D . 6 8.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ） A . e f x B f X r e f f X ￡ ￡ f X 丄 2 x C . e f x f x D . e f x 9.若 f x ax e , x 0 在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x, (A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到 X o x 时，相应函数的改变量 f x 0 x B . f x 0 x C . f x 0 X f X 0 f X 。 x 2 .设f x 在x o 处可，则lim f X 0 B . X o C . f X 0 D . 2 f X 0 A .必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C .充分必要条件 既不充分也不必要条件 4.设函数y f u 是可导的，且u x 2 ，则 d y ( C ) x 2 B . xf x 2 C . 2 2 2xf x D . x f x D .有定义
10?若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ） A ?一定都没有导数 B ?—定都有导数 C .恰有一个有导数 D ?至少一个有导数 11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fx g x 在 x o 处(D ) 13 . y arctg 1 ，贝U y x A .一定都没有导数 B . 一定都有导数 C .至少一个有导数 D .至多一个有导数 12.已知F x f g x ，在 X X 。处可导，则（A ） g x 都必须可导 B . f x 必须可导 C . g x 必须可导 D . x 都不一定可导
第二章 导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节 导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 本节主要内容 1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 3 左右导数 4 用导数计算导数 5 导数的几何意义 6 函数的可导与连续的关系 讲解提纲： 一、 引例： 引例1：变速直线运动的瞬时速度0 00 ()()lim t t f t f t v t t →-=-；
arccos求导 1基础总结 1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是： 2、导数的多种变式定义： 要注意细心观察发现，是描述趋近任意x时的斜率。而可以刻画趋近具体x0时的斜率。 3、 若x没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率----导数。 4、可导与连续的关系： 导数的实质是定义在某点的左右极限。既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存在的。如： 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义： 。定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！ 由此引发了一些容易误判的血案： 例如： 定义解决时候一定要注意中的到底是神马。比如求上图中,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！ 由此也可以知道，这个函数是不存在导数的，也不存在左导数，只存在右导数。
5、反函数的导数与原函数的关系： 有这样一条有趣的关系：函数的导数=对应的反函数的导数的倒数。 注意，求反函数时候不要换元。因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变，但是与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算。结果显然是错误的。举例子： 求的导数。显然反函数（不要换元）是。反函数的导数是。反函数导数的倒数是，因此， 再如，求的导数。 解：令函数为，则其反函数为，导数的倒数为。但是必须消去。因此变形得 (注意到在定义域内cosy恒为正，因此舍掉负解) 6、复合函数求导法则： 只要父函数和子函数随时能有定义，就拆着求就可以了。 7、高阶导数： 如果f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。 ; ;其余的也记不住，自己慢慢推导。 ; 二项式定理中有：；类似的，乘法的n阶导数也有： 。这个是要熟练记忆的。 8、隐函数，参数方程的导数，相关变化率 建议隐函数，参数方程的导数，以及求导数的相关变化率时使用形式求解。只有这样才能准确，安全，方便。 举例：求（隐函数f(x,y)=0）中y对x的导数 解：两边求导，，解完以后发现效果还不错。如果直接用什么y’神马的净是错误，所以不要直接用口算，用dy/dx方法求解。
1基础总结 1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是：0lim x y x ?→?? 2、导数的多种变式定义： 00000()()()() lim =lim lim x x x x f x f x y f x x f x x x x x ?→?→→-?+?-=??- 要注意细心观察发现，0 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?是描述趋近任意x 时的斜率。而 00 ()() lim x x f x f x x x →--可以刻画趋近具体x0时的斜率。 3、 若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率——导数。 4、可导与连续的关系：
导数的实质是定义在某点的左右极限。既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存在的。如： (),0f x x x =< 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义： 0()()()(0) lim lim x x f x x f x f x x f x x ?→?→+?-+?-=??。定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！ 由此引发了一些容易误判的血案： 例如： 定义解决时候一定要注意0 00 ()() lim x x f x f x x x →--中的0()f x 到底是神马。比如求上图 中01 ()() lim x f x f x x x + →-- ,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！
学科：数学 教学内容：导数与微分单元达纲检测 【知识结构】 【内容提要】 1．本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用． 2．导数的概念． 函数y=f(x)的导数f ′(x)，就是当△x →0时，函数的增量△y 与自变量△x 的比x y ??的极限，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??=→?→?) ()(lim lim )('00 函数y=f(x)在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率． 3．函数的微分
函数y=f(x)的微分，即dy=f ′(x)dx ． 微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即dx dy x f = )('． 函数值的增量△y 也可以用y 的微分近似表示，即△y ≈dy 或△y ≈f ′(x)dx 。 4．求导数的方法 (1)常用的导数公式 c ′=0(c 为常数)； )()'(1 Q m mx x m m ∈=-； (sinx)′=cosx ； (cosx)′=－sinx ； x x e e =)'(， a a a x x ln )'(=； x x 1)'(ln = ， e x a x a log 1)'(log =。 (2)两个函数四则运算的导数： (u ±v)′=u ′±v ′； (uv)′=u ′v+uv ′ )0(' ''2 ≠-= ?? ? ??v v uv v u v u 。 (3)复合函数的导数 设y=f(u)，)(x u ?=， 则)(')(''''x u f u y y x u x ??=?=． 5．导数的应用
第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。
8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y '
4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y ''
第二章 导数与微分 1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设 2002 00(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-? 2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim （0'()f x -）； ⑵ ()=→?x x f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()() =--+→h h x f h x f h 000lim （02'()f x ）. 3. 求下列函数的导数： ⑴ ='=y x y ,4则3 4x ⑵ ='=y x y ,32则132 3 x - ⑶ ='=y x y ,1 则32 12x -- ⑷ = '=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方 上点?? ? ??=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程为1)223y x π- =-- 2(1)03 y +-+=
法线方程为1)23y x π- =- 化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数?????=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续 因为 20001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x ?→?→?→?+?-==?=??? 所以函数在0x =处可导. 6. 已知()()()()是否存在？ 又及求 0 ,0 0 , 0 2f f f x x x x x f '''???<-≥=-+ 2 ' 00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h + →+→++-=== '0 0(0)(0)(0)lim lim 1h h f h f h f h h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在 7. ()(). , 0 sin x f x x x x x f '?? ?≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;
第二章 导数与微分总结 一、导数与微分概念 1．导数的定义 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。如果极限 ()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0 x x y =' ， 0x x dx dy =，()0 x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在， 则称函数()x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 ()()() 000 lim x x x f x f x f x x --='→ 我们也引进单侧导数概念。 右导数：()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。 切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()()()01 0000≠'-'- =-x f x x x f x f y
第二章导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容分布图示 ★引言★变速直线运动的瞬时速度
★平面曲线的切线★导数的定义★几点说明 ★利用定义求导数与求极限（例1、例2）★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★左右导数★例8 ★例9 ★导数的几何意义★例10 ★例11 ★导数的物理意义★可导与连续的关系 ★例12 ★例13 ★例14 ★例15 ★内容小结★课堂练习 ★习题 2 - 1 ★返回 内容要点： 一、引例：引例1: 变速直线运动的瞬时速度；引例2: 平面曲线的切线 二、导数的定义： 注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值是函数在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是函数在点处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤： 1．求函数的增量： 2．求两增量的比值： ; 3．求极限 三、左右导数 定理1函数在点处可导的充要条件是：函数在点处的左、右导数均存在且相等. 四、用定义计算导数 五、导数的几何意义 六、函数的可导性与连续性的关系 定理2如果函数在点处可导，则它在处连续. 注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不
高数第二章导数与微分知识点总结 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x - --?→→+?--==?-. 0'00000 ()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x + ++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001 ()()'() y f x x x f x -=- -. 2．基本公式 （1）'0C = （2）' 1 ()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1 (log )'(0,1)ln a x a a x a = >≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =-
考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结 导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。下面文都考研数学老师给出该章的知识点总结，供广大考生参考。 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'000000 ()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---?→→+?--==?-. 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001()()'() y f x x x f x -=--. 2．基本公式 （1）'0C = （2）'1()a a x ax -=
（3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1(log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11 ）(arcsin )'x =（12 ）(arccos )'x = （13）21(arctan )'1x x =+ （14）21(arccot )'1x x =-+ （ 15[ln(x += 3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则 ()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2 ''()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则 设(),()y f u u x ?==，则(())y f x ?=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ???=. 例5 求函数21 sin x y e =的导数. （3）反函数的求导法则 设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则 11'()'()'(()) g y f x f g y ==. （4）隐函数求导 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法'''x y F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数
第二章 导数与微分 2.1导数的概念 01.1)设f (0)=0，则f (x )在点x =0可导的充要条件为 （ B ） （A ）01lim (1cosh)h f h →-存在 （B ）01 lim (1)h h f e h →-存在 （C ）01lim (sinh)h f h h →-存在 （D ）01 lim [(2)()]h f h f h h →-存在 03.3) 设f (x )为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g ) ()(= (A) 在x =0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x =0. (C) 在x =0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x =0. [ D ] 03.4) 设函数)(1)(3 x x x f ?-=，其中)(x ?在x =1处连续，则0)1(=?是f (x )在x =1处可 导的 [ A ] (A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件. (C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 05.12)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞ →，则f (x )在),(+∞-∞内 [ C ] (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 05.34) 以下四个命题中，正确的是 [ C ] (A ) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (B) 若)(x f 在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (C) 若)(x f '在（0，1）内有界，则f (x )在（0，1）内有界. (D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. (取f (x )= x 1 ，x x f =)(反例排除) 06.34) 设函数()f x 在x =0处连续,且()22 lim 1n f h h →=,则 （ C ） (A )()()' 000f f -=且存在(B)()()'010f f -=且存在 (C)()()' 000f f +=且存在 (D)()()' 010f f +=且存在 07.1234) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： （ D ）（反例：()f x x =） (A ) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →--存在，则(0)f '存在