高中数学高考总复习双曲线习题及详解
一、选择题
1．(文)(2010·山东潍坊)已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是 ( )
A.17
B.15
C.
17
4
D.
154
[答案] C
[解析] 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则由题意得，a b ＝4，∴a 2c 2－a 2＝16，∴e ＝17
4. (理)(2010·河北唐山)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰
在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为( )
A ．2 B. 5 C. 2
D. 3
[答案] C
[解析] 如图，FM ⊥l ，垂足为M ，
∵M 在OF 的中垂线上，
∴△OFM 为等腰直角三角形，∴∠MOF ＝45°， 即b
a
＝1，∴e ＝ 2. 2．(2010·全国Ⅰ文)已知F 1、F 2为双曲线C x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
[答案] B
[解析] 在△F 1PF 2中，由余弦定理 cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|
＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2
＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|
＝4a 2－4c 22|PF 1||PF 2|＋1＝－2b 2
|PF 1|·|PF 2|＋1， ∵b ＝1，∴|PF 1|·|PF 2|＝4.
3．(文)(2010·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x －2)2
＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )
A.
23
3
2 B ．2或
3 C.3或
62
D.
233或6
2
[答案] A
[解析] 焦点在x 轴上时，由条件知b a ＝13，∴c 2
－a 2
a 2＝13，∴e ＝c a ＝23
3，同理，焦点
在y 轴上时，b
a
＝3，此时e ＝2.
(理)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，
若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A ．4＋2 3 B.－1 C.
3＋1
2
D.3＋1
[答案] D
[解析] 设线段MF 1的中点为P ，由已知△F 1PF 2为有一锐角为60°的直角三角形， ∴|PF 1|、|PF 2|的长度分别为c 和3c . 由双曲线的定义知：(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝
2
3－1＝3＋1.
4．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 2
3n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方
程为( )
A ．x ＝±15
2y B ．y ＝±152x C ．x ＝±
34
y
D ．y ＝±
34
x [答案] D
[解析] 由题意c 2＝3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2， ∴m 2＝8n 2，
∴双曲线渐近线的斜率k ＝±3|n |2|m |
＝±
34
. 方程为y ＝±3
4
x .
5．(文)(2010·湖南师大附中模拟)已知双曲线x 2m －y 2
7＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲
线左支于A 、B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )
A ．8
B ．9
C ．16
D ．20
[答案] B
[解析] 由已知，|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，又|AB |＝4，则|AF 2|＋|BF 2|＝16.
据双曲线定义，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2
＝9，故选B.
(理)(2010·辽宁锦州)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ????－m 2，0，C ????m
2，0(其中
m >0，且m 为常数)，且满足条件sin C －sin B ＝1
2
sin A ，则动点A 的轨迹方程为( )
A.16y 2
m 2－16x
2
3m
2＝1
B.x 216－y
2
16
3＝1 C.16x 2m 216y 23m 2＝1(x >m
4)
D.16x 2m 2－16y 2
3m
2＝1 [答案] C
[解析] 依据正弦定理得：|AB |－|AC |＝12|BC |＝m
2
<|BC |
∴点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支，且a ＝m 4，c ＝m 2，∴b 2＝c 2－a 2
＝3m 216
∴双曲线方程为16x 2m 2－16y 23m 2＝1(x >m
4
6．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点为F 1、F 2，点Q 为双曲线左支上除顶点外的
任一点，过F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是( )
A ．椭圆的一部分
B ．双曲线的一部分
C ．抛物线的一部分
D ．圆的一部分
[答案] D
[解析] 延长F 1P 交QF 2于R ，则|QF 1|＝|QR |. ∵|QF 2|－|QF 1|＝2a ，∴|QF 2|－|QR |＝2a ＝|RF 2|，
又|OP |＝1
2
|RF 2|，∴|OP |＝a .
7．(文)(2010·温州市十校)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该
双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(1,2)
C ．(1,1＋2)
D ．(2,1＋2)
[答案] B
[解析] 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A ????－c ，b 2
a ，B ????－c ，－
b 2
a ，E (a,0)，因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝??－c －a ，
b 2a ·????－
c －a ，－b 2a >0，整理得3e
2
＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0，∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1，∴e ∈(1,2)，故选B.
(理)(2010·浙江杭州质检)过双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 引它的渐近线的垂
线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若FM ＝ME ，则该双曲线的离心率为( )
A ．3
B ．2 C. 3
D. 2
[答案] D
[解析] 由条件知l ：y ＝b a x 是线段FE 的垂直平分线，∴|OE |＝|OF |＝c ，又|FM |＝|bc |
a 2
＋b 2
＝b ，
∴在Rt △OEF 中，2c 2
＝4b 2
＝4(c 2
－a 2
)， ∵e ＝c
a
>1，∴e ＝ 2.
8．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2
－y 2
＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.??
??－153，153 B.??
??0，153 C.?
???－153
，0
D.?
?
??－153
，－1
[答案] D
[解析] 直线与双曲线右支相切时，k ＝－
15
3
，直线y ＝kx ＋2过定点(0,2)，当k ＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y ＝－x ＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，
∴－
15
3
a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点， 点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP → 的取值范围为( ) A ．[3－23，＋∞) B ．[3＋23，＋∞) C ．[－7 4，＋∞) D ．[7 4 ) [答案] B [解析] 由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 2 3 y 2＝1. 设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP → ＝(x ＋2，y )， ∵y 2 ＝x 23 －1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2 ＝x 2 ＋2x ＋x 23－1＝4 3 x 2＋2x －1 ＝43(x ＋34)2－7 4 . 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点) ∴OP →·FP →≥3＋2 3.故选B. (理)(2010·新课标全国理)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( ) A.x 2 3－y 2 6＝1 B.x 24－y 2 5＝1 C.x 26－y 2 3＝1 D.x 25－y 2 4 ＝1 [答案] B [解析] 设双曲线的方程为x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1， y 1 )，B (x 2 ，y 2 )则有：??? x 12a 2－y 1 2 b 2＝1x 22a 2 －y 22b 2 ＝1 ，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2，∵k AB ＝y 1－y 2 x 1－x 2 ， 且k AB ＝－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2 ＝5，所以双曲线标准方程 是x 2 4－y 2 5 ＝1，故选B. 10．(文)过椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1的 离心率e 的值是( ) A.5 4 B.52 C.32 D.54 [答案] B [解析] 将x ＝c 代入椭圆方程得，c 2 a 2＋y 2 b 2＝1， ∴y 2 ＝????1－c 2a 2×b 2＝a 2－c 2 a 2× b 2＝b 2a 2b 2，∴y ＝±b 2a . ∴b 2 a ＝14a ，∴ b 2＝14a 2，e 2＝ c 2 a 2＝a 2＋1 4a 2 a 2 ＝54 ， ∴e ＝ 5 2 ，故选B. (理)(2010·福建宁德一中)已知抛物线x 2 ＝2py (p >0)的焦点F 恰好是双曲线y 2a 2－x 2 b 2＝1的一 个焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( ) A. 2 B ．1± 2 C ．1＋ 2 D ．无法确定 [答案] C [解析] 由题意知p 2＝c ，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y 轴， 对双曲线来说，这两个交点连线的长度是2b 2 a ，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p ， ∵p ＝2c ，2b 2a ＝4c ，∴b 2 ＝2ac ， ∴c 2 －a 2 ＝2ac ，∴e 2 －2e －1＝0，解得e ＝1±2， ∵e >1，∴e ＝1＋ 2. 二、填空题 11．(文)(2010·广东实验中学)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2 9＝1右支上的一点，双曲线的一条渐 近线的方程为3x －y ＝0.设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝________. [答案] 5 [解析] 由双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0且b ＝3可得：a ＝1，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|－3＝2，∴|PF 1|＝5. (理)(2010·东营质检)已知双曲线x 2 9－y 2 a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方 程为________． [答案] y ＝±2 3 x [解析] 由题意知9＋a ＝13，∴a ＝4， 故双曲线的实半轴长为a ′＝3，虚半轴长b ′＝2， 从而渐近线方程为y ＝±2 3 x . 12．(2010·惠州市模考)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2 ＝8x 焦点重合， 则此双曲线的渐近线方程是________． [答案] y ＝±3 3 x [解析] y 2＝8x 焦点是(2,0)， ∴双曲线x 2 a 2－y 2＝1的半焦距c ＝2， 又虚半轴b ＝1， 又a >0，∴a ＝22－12＝3， ∴双曲线渐近线的方程是y ＝±3 3 x . 13．(2010·北京东城区)若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线 上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率的取值范围是________． [答案] 1 ?? ?? |PF 1|－|PF 2|＝2a |PF 1|＝3|PF 2|， ∴? ???? |PF 1|＝3a |PF 2|＝a ， ∵|PF 1|≥|AF 1|，∴3a ≥a ＋c ， ∴e ＝c a ≤2，∴1 14．下列有四个命题： ①若m 是集合{1,2,3,4,5}中任取的一个值，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx －y ＝0，则双曲线的离心率小于4的概率为3 5 . ②若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线 y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2； ③将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6y ＝sin ???? 2x －π6的图象； ④在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 2 2；类 比到空间，若三棱锥S －ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S －ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 2 2 . 其中真命题的序号为________．(把你认为是真命题的序号都填上) [答案] ①②④ [解析] ①设双曲线方程为m 2x 2 －y 2 ＝1， ∵a 2 ＝1m 2，b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2 ＝m 2＋1m 2∴e ＝c a ＝m 2＋1<4，∴m <15 ∴m 取值1、2、3 故所求概率为3 5 ，故①正确． ②根据双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，可得b a ＝3，因此离心 率e ＝c a ＝a 2＋ b 2a ＝a 2＋(3a )2a ＝2，②正确； ③函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位得y ＝cos2(x －π6)＝cos(2x －π3)＝sin[π2＋(2x －π 3)] ＝sin(2x ＋π 6 )的图象，③错误； ④将三棱锥S －ABC 补成如图的长方体，可知三棱锥S －ABC 外接球的直径就等于该长方体的体对角线的长，则R ＝a 2＋b 2＋c 2 2 ，④正确． 三、解答题 15．(文)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0) (1)求双曲线方程； (2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF → |，求直线l 的方程． [解析] (1)由题意可设所求的双曲线方程为 x 2 a 2－y 2 b 2 1(a >0，b >0) 则有e ＝c a ＝2，c ＝2，∴a ＝1，则 b ＝ 3 ∴所求的双曲线方程为x 2 －y 2 3 ＝1. (2)∵直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0) ∴l 的斜率k 一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2) 令x ＝0得M (0,2k ) ∵|MQ →|＝2|QF → |且M 、Q 、F 共线于l ∴MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF → 当MQ →＝2QF → 时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ∴Q ??? ?－43，2 3k ， ∵Q 在双曲线x 2 －y 2 3 ＝1上， ∴169－4k 2 27＝1，∴k ＝±212， 当MQ →＝－2QF → 时， 同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得， 16－4k 2 31，∴k ＝±32 5 则所求的直线l 的方程为： y ＝± 212(x ＋2)或y ＝±35 2 (x ＋2) (理)(2010·湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围． [解析] (1)设双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1， 由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22得，b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 2 3－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2 ＝1中得， (1－3k 2 )x 2 －62kx －9＝0. 由直线l 与双曲线交于不同的两点得 ?? ? 1－3k 2 ≠0 Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0 ， ∴k 2≠1 3k 2<1① 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2 由OA →·OB → >2得，x A x B ＋y A y B >2， x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2 ＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋9 3k 2 －1>0， 解此不等式得1 3 由①②得13 3 . 故k 的取值范围为????－1，－33∪????33 ，1. 16．(2010·江苏苏州模拟)已知二次曲线C k 的方程：x 29－k ＋y 2 4－k ＝1. (1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件； (2)若双曲线C k 与直线y ＝x ＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程； (3)m 、n 为正整数，且m ＝0？若存在，求m 、n 的值；若不存在，说明理由． [解析] (1)当且仅当? ???? 9－k >0 4－k >0，即k <4时，方程表示椭圆． 当且仅当(9－k )(4－k )<0，即4 y ＝x ＋1x 2 9－k ＋y 2 4－k ＝1化简得， (13－2k )x 2＋2(9－k )x ＋(9－k )(k －3)＝0 ∵Δ≥0，∴k ≥6或k ≤4(舍) ∵双曲线实轴最长，∴k 取最小值6时，9－k 最大即双曲线实轴最长， 此时双曲线方程为x 23－y 2 2 ＝1. 解法二：若C k 表示双曲线，则k ∈(4,9)，不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2 5－a 2＝1， 联立????? y ＝x ＋1x 2 a 2－y 2 5－a 2＝1消去y 得， (5－2a 2)x 2－2a 2x －6a 2＋a 4＝0 ∵C k 与直线y ＝x ＋1有公共点， ∴Δ＝4a 4 －4(5－2a 2 )(a 4 －6a 2 )≥0， 即a 4－8a 2＋15≥0，∴a 2≤3或a 2≥5(舍)， ∴实轴最长的双曲线方程为x 23－y 2 2 ＝1. 解法三：双曲线x 29－k ＋y 2 4－k ＝1中c 2＝(9－k )＋(k －4)＝5，∴c ＝5，∴F 1(－5，0)， 不妨先求得F 1(－5，0)关于直线y ＝x ＋1的对称点F (－1,1－5)， 设直线与双曲线左支交点为M ，则 2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝|MF 2|－|MF |≤|FF 2| ＝(－1－5)2＋(1－5)2＝2 3 ∴a ≤3，∴实轴最长的双曲线方程为x 23－y 2 2 ＝1. (3)由(1)知C 1、C 2、C 3是椭圆，C 5、C 6、C 7、C 8是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点 设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，m ∈{1,2,3}，n ∈{5,6,7,8} 则根据椭圆、双曲线定义及PF 1→·PF 2→ ＝0(即PF 1⊥PF 2)，应有 ??? d 1 ＋d 2＝29－m |d 1 －d 2 |＝29－n d 12 ＋d 22 ＝20 ，所以m ＋n ＝8. 所以这样的C m 、C n 存在，且??? ?? m ＝1n ＝7 或??? ?? m ＝2n ＝6 或??? ?? m ＝3n ＝5 . 17．(文)(2010·全国Ⅱ文)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)相交 于B 、D 两点，且BD 的中点为M (1,3)． (1)求C 的离心率； (2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切． [解析] (1)由题意知，l 的方程为：y ＝x ＋2， 代入C 的方程并化简得， (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1·x 2＝－4a 2＋a 2b 2b 2－a 2 由M (1,3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，故12×4a 2 b 2－a 2＝1 即b 2＝3a 2② 故c ＝a 2＋b 2＝2a ， ∴C 的离心率e ＝c a ＝2. (2)由②知，C 的方程为3x 2－y 2＝3a 2， A (a,0)，F (2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a 2 2<0， 故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a ， |BF |＝(x 1－2a )2＋y 12＝(x 1－2a )2＋3x 12－3a 2＝a －2x 1， |FD |＝(x 2－2a )2 ＋y 22 ＝(x 2－2a )2 ＋3x 22 －3a 2 ＝2x 2－a ， |BF |·|FD |＝(a －2x 1)(2x 2－a ) ＝－4x 1x 2＋2a (x 1＋x 2)－a 2 ＝5a 2 ＋4a ＋8. 又|BF |·|FD |＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17， 解得a ＝1，或a ＝－95 故|BD |＝2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝6 连结MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3， 从而MA ＝MB ＝MD ，∠DAB ＝90°， 因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切， 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切． (理)(2010·广东理)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1， －y 1)是双曲线上不同的两个动点． (1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程； (2)若过点H (0，h )(h >1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2.求h 的值． [分析] (1)由条件写出直线A 1P 与A 2Q 的方程，两式相乘后消去x 1，y 1得交点E 的方程； (2)l 1，l 2与E 只有一个交点，写出l 1与l 2的方程与曲线E 的方程联立，运用Δ＝0求解． [解析] (1)由条件知|x 1|>2，∵A 1、A 2为双曲线的左、右顶点∴，A 1(－2，0)，A 2(2，0)． A 1P y ＝y 1－0x 1＋2(x ＋2)，A 2Q y ＝－y 1－0x 1－2(x －2)， 两式相乘得y 2 ＝－y 12x 12－2 (x 2 －2)，① 而点P (x 1，y 1)在双曲线上，所以x 12 2－y 12＝1， 即y 12 x 12－2＝1 2，代入①式，整理得， x 22 ＋y 2 ＝1. ∵|x 1|>2，∴点A 1(－2，0)，A 2(2，0)均不在轨迹E 上，又双曲线的渐近线方程为y ＝± 2 2 x ，故过点(0,1)和A 2(2，0)的直线与双曲线仅有一个交点A 2(2，0)，故点(0,1)不在轨迹E 上，同理点(0，－1)也不在轨迹E 上，∴轨迹E 的方程为x 2 2 ＋y 2＝1(x ≠±2，且x ≠0)． (2)设l 1 y ＝kx ＋h ，则由l 1⊥l 2知，l 2 y ＝－1 k x ＋h . 将l 1 y ＝kx ＋h 代入x 22 y 2 ＝1得 x 2 2 ＋(kx ＋h )2＝1，即(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0， 由l 1与E 只有一个交点知，Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0， ∴1＋2k 2＝h 2. 同理，由l 2与E 只有一个交点知，1＋2·1k 2＝h 2 ， 消去h 2得1 k 2＝k 2， 即k 2 ＝1，从而h 2 ＝1＋2k 2 ＝3，即h ＝ 3. 又分别过A 1、A 2且互相垂直的直线与y 轴正半轴交于点(0，2)，∴h ＝2符合题意，综上知h ＝2或 3. 双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 54 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y 解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==54 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -Q 在双曲线上 ∴(2 2 33 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且 点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 解：直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离12 2 d a b = +， 同理得到点（-1，0）到直线l 的距离22 2 d a b = +， 数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）② 9.6 双曲线 一、选择题 1．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正 三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12 D.3＋1 解析 (数形结合法)因为MF 1的中点P 在双曲线上， |PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ， 所以e ＝c a ＝2 3－1＝3＋1，故选D. 答案 D 【点评】 本题利用双曲线的定义列出关于a 、c 的等式，从而迅速获解. 2. 已知双曲线C ：22x a -2 2y b =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上， 则C 的方程为（ ） A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220 y =1 D.220x -2 80y =1 答案 A 3．设双曲线x 2a 2－y 2 9＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 解析 双曲线x 2a 2－y 2 9 ＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a ＝2. 4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ， B 两点，|AB |为 C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )． A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2 b 2＝1 可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2 a ＝2×2a ，∴ b 2＝2a 2， c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝c a ＝ 3. 答案 B 5．设F 1、F 2是双曲线x 2 3 －y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为 2时，1PF ·2PF 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 解析 设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4， S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y 0|＝2|y 0|＝2，|y 0|＝1，x 2 03 －y 20＝1，x 20＝3(y 2 0＋1)＝6， 1PF ·2PF ＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 2 0－4＝3. 答案 B 6．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的 距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )． A ．2 3 B ．2 5 C ．4 3 D ．4 5 解析 由题意得????? a ＋p 2＝4， －p 2 ＝－2， －1＝ －2 ·b a ???? p ＝4，a ＝2，b ＝1 ? c ＝a 2＋b 2＝ 5.∴双曲线的焦距2c ＝2 5. 高中数学-双曲线典型例题 一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 例1 讨论19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 解：（1）当9 ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为：()16014162 2<<=+--λλ λy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。 例3 已知双曲线116 92 2=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF ∴362212221=-+PF PF PF PF ∴10022 21=+PF PF ∵()100441222221=+==b a c F F ∴ο9021=∠PF F （2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索． 四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。 例 4 已知1F 、2F 是双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足ο9021=∠PF F ，求21PF F ?的面积． 分析：利用双曲线的定义及21PF F ?中的勾股定理可求21PF F ?的面积． 解：∵P 为双曲线14 22 =-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点． ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ο9021=∠PF F ∴在21F PF Rt ?中，202 2122 21==+F F PF PF 高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 2014-2015高考理科数学《双曲线》练习题 [A 组 基础演练·能力提升] 一、选择题 1．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 28－y 2 24＝1 B. x 212 － y 214 ＝1 C. x 224 －y 2 8 ＝1 D.x 24－y 2 12 ＝1 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2 －y 2 3＝λ(λ≠0)， 即 x 2λ － y 23λ ＝1，则a 2＝λ，b 2＝3λ.∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c ＝4，∴c 2＝a 2＋b 2＝4λ＝16， 解得λ＝4，∴双曲线方程为x 24－y 2 12 ＝1. 答案：D 2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.? ????－22，0 B.? ???? －52，0 C.? ?? ??－62，0 D.()－3，0 解析：双曲线方程可化为x 2 －y 2 12＝1，∴a 2＝1，b 2＝1 2， ∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62，∴左焦点坐标为? ???? －62，0. 答案：C 3．(2013年高考北京卷)若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±2x C ．y ＝±1 2 x D ．y ＝± 22 x 解析：由离心率为3，可知c a ＝3，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝2a ，因此双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选B. 4．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋y2 m ＝1的离心率是( ) A. 3 2 B. 5 C. 3 2 或 5 D. 3 2 或 5 2 解析：因为m是2和8的等比中项，所以m2＝16，所以m＝±4，当m＝4时，圆锥曲线为椭圆x2 ＋y2 4 ＝1，离心率为 3 2 ，当m＝－4时，圆锥曲线为双曲线x2－ y2 4 ＝1，离心率为 5. 答案：C 5．已知双曲线 x2 m － y2 n ＝1的离心率为3，有一个焦点与抛物线y＝ 1 12 x2的焦点相同，那么双曲线 的渐近线方程为( ) A．22x±y＝0 B．x±22y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 解析：由抛物线方程x2＝12y知焦点为F(0,3)，∵双曲线有一个焦点与抛物线焦点相同，∴双曲线的焦点在y轴上，∴n<0，m<0， ∴渐近线方程为y＝±n m x，又知e＝3，∴1＋ －m －n ＝9，∴ n m ＝ 1 8 ，∴渐近线方程为y＝± x 22 ， 故选B. 答案：B 6．F1，F2分别是双曲线x2 a2 － y2 b2 ＝1的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于 A、B两点．若△ABF 2 是等边三角形，则该双曲线的离心率为( ) A．2 B.7 C.13 D.15 解析：由双曲线的性质可知|F1F2|＝2c，|BF1|－|BF2|＝2a，即|BA|＋|AF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，因为△ABF2为等边三角形，所以|AF2|＝|BF2|，∠BAF2＝60°，所以|AF2|＝|AB|＝4a，|AF1| ＝2a，故在△AF1F2中，由余弦定理得cos∠F1AF2＝|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2 2|AF1||AF2| ＝4a2＋16a2－4c2 2×2a×4a ＝ 5a2－c2 4a2 ＝－ 1 2 ， 即c2 a2 ＝7，所以双曲线的离心率e＝7. 新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 第二章 圆锥曲线与方程 一、选择题 1．设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，故选D. 2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边 上，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．6 C ．4 3 D ．12 解析：选C 由于△ABC 的周长与焦点有关，设另一焦点为F ，利用椭圆的定义，|BA |＋|BF |＝23，|CA |＋|CF |＝23，便可求得△ABC 的周长为4 3. 3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)，故甲是乙的必要条件． 反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的． 这是因为：仅当2a ＞|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ；当2a ＜|AB |时，P 点无轨迹，故甲不是乙的充分条件． 综上，甲是乙的必要不充分条件． 4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6 ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D ．(－6，－2)∪(3，＋∞) 解析：选D 由a 2 ＞a ＋6＞0，得????? a 2－a －6＞0，a ＋6＞0，所以??? a ＜－2或a ＞3，a ＞－6， ，所以a ＞3或－6＜a ＜－2. 5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( ) A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 2 12＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 2 48＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，得c ＝ 3. 由2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，得 a ＝2 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝9. 故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 2 12 ＝1. 高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（） A．x=0 B． C．D． 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为． 3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是 4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程． 5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为． 二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为． 2、设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为． 3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0） 和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l 的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（） A． B．C．D． 3、焦点三角形 1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为． 2、．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积． 3、已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求： （1）双曲线的渐近线方程； （2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积． 4、直线与双曲线的位置关系 已知过点P（1，1）的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k= ＿＿＿＿ 5、综合题型 双曲线基础练习题 1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ） A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 19 16.2 2=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ） A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116 92 2=-y x 3．双曲线19 162 2=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4．双曲线19 162 2=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0） 5．方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得： A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 19 162 2=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ） A ． 116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和19 162 2=+-y x C. 191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和125 162 2=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ） A ．1222=-y x B ．122=+-y x C ．122=-y x D. 122 2=+-y x 8．P 为双曲线19 162 2=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 36 9．双曲线19 162 2=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0） 10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ） 《双曲线》典型例题12例 典型例题一 例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 ∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2 =-- λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223， ，∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明：（1）注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 典型例题三 例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 二、双曲线 1、（21）（本小题满分14分）08天津 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是()0,3 1 - F，一条渐近线的方程是0 2 5= -y x. （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）若以()0≠k k为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐 标轴围成的三角形的面积为 2 81 ，求k的取值范围. （21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分． （Ⅰ）解：设双曲线C的方程为 22 22 1 x y a b -=（0,0 a b >>）．由题设得 229 a b b a ?+= ? ? = ? ? ，解得 2 2 4 5 a b ?= ? ? = ?? ，所以双曲线方程为 22 1 45 x y -=． 的方程为y kx m =+（0 k≠）．点 11 (,) M x y， 22 (,) N x y的坐标满足方程组（Ⅱ）解：设直线l 22 1 45 y kx m x y =+ ? ? ? -= ?? 将①式代入②式，得 22 () 1 45 x kx m + -=，整理得222 (54)84200 k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2 50 4k -≠，且222 (8)4(54)(420)0 k m k m ?=-+-+>．整理得22 540 m k +->．③ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标 00 (,) x y满足 12 02 4 254 x x km x k + == - ， 002 5 54 m y kx m k =+= - ． 从而线段MN的垂直平分线方程为 22 514 () 5454 m km y x k k k -=-- -- ． 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为 2 9 (,0) 54 km k - ， 2 9 (0,) 54 m k - ．由题设可得22 19981 |||| 254542 km m k k ?= -- ．整理得 22 2 (54) || k m k - =，0 k≠． 将上式代入③式得 22 2 (54) 540 || k k k - +->，整理得22 (45)(4||5)0 k k k --->，0 k≠． 高中数学-双曲线选择题练习 1、双曲线=1左支上一点P到左焦点的距离为14，则P到右准线的距离是 ( ) (A) (B) (C)12 (D) 2、a、b、c、p分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距、焦准距（焦点到相应准线的距离），则p= (A) 3、方程mx2＋ny2＋mn=0(m 6、双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为 ( ) (A) (B) (C) (D) 7、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 ( ) (A)-y2=1和-=1 (B)-y2=1和y2-=1 (C)y2-=1和x2-=1 (D)-y2=1和-=1 8、与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ( ) （A）8 （B）4 （C）2 （D）1 9、以为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程为 ( ) （A）（B） （C）（D） 10、双曲线kx2+4y2=4k的离心率小于2，则k的取值范围是 ( ) （A）（-∞,0）（B）(-3,0) （C）(-12,0) （D）(-12,1) 11、已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5 12、已知双曲线b2x2－a2y2 = a2b2的两渐近线的夹角为2，则离心率e为( ) (A)arcsin(B)(C)(D)tg2 13、一条直线与双曲线两支交点个数最多为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 14、双曲线顶点为（2，－1），（2，5），一渐近线方程为3x－4y＋c = 0，则准线方程为 (A) (B) (C) (D) 15、与双曲线=1(mn<0)共轭的双曲线方程是 ( ) (A) (B) (C) (D) 16、下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是 (A) 17、过点(3,0)的直线l与双曲线4x2-9y2=36只有一个公共点,则直线l共有 高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 双曲线（简答题：较难） 1、（本小题满分12分） 已知双曲线：的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为 ． （1）求双曲线的方程； （2）斜率为且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点，已知，若证明：过、、三点的圆与轴相切． 2、双曲线（，）的右焦点为． （1）若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程； （2）以原点为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为，过作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率． 3、已知椭圆的方程为，双曲线的一条渐近线与轴所成的夹角为 ，且双曲线的焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别为椭圆的左，右焦点，过作直线 (与轴不重合)交椭圆于，两点，线段 的中点为，记直线的斜率为，求的取值范围. 4、已知双曲线的两个焦点为、点在双曲线C 上． （1）求双曲线的方程； （2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为求直线的方程． 5、已知椭圆的方程为，双曲线的一条渐近线与轴所成的夹角为 ，且双曲线的焦距为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别为椭圆的左，右焦点，过作直线 (与轴不重合)交椭圆于，两点，线段 的中点为，记直线的斜率为，求的取值范围. 6、已知，曲线上任意一点满足；曲线上的点在轴的右边且到的距离与它到轴的距离的差为1． （1）求的方程； （2）过的直线与相交于点，直线分别与相交于点和．求 的取值范围． 7、设圆的圆心为，直线过点且不与轴、轴垂直，且与圆于， 两点，过作的平行线交直线于点. （1）证明为定值，并写出点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求与的面积之和的取值范围. 8、过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长 交抛物线于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（） D． A．B．C． 9、如图，曲线由曲线和曲线 组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点． （1）若，求曲线的方程； （2）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上； （3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求的面积的最大值． 10、已知命题：直线与抛物线（）没有交点；已知命题：方程 表示双曲线；若为真，为假，试求实数的取值范围. 高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种 高中数学练习精选双曲线的标准方程 4 高二数学双曲线同步练习 一、选择题 1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 2．方程1112 2=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1- 4 7．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线122 22=-b y a x 有（ ） A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴 C ．相同的渐近线 D ． 相同的焦点 8．过双曲线19 162 2=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ?（F 2为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22 C ．14 D ．12 9．已知双曲线方程为14 2 2=- y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共 点，则L 的条数共有 （ ） A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 10．给出下列曲线：①4x +2y －1=0; ②x 2 +y 2 =3; ③ 12 22 =+y x ④ 12 22 =-y x ，其中与直线 y=－2x －3有交点的所有曲线是 （ ） A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④ 二、填空题 11．双曲线17 92 2=-y x 的右焦点到右准线的距离为 __________________________． 12．与椭圆125 162 2=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为 310的双曲线方程为 ____________． 13．直线1+=x y 与双曲线 13 22 2=-y x 相交于B A ,两点，则AB =__________________．高中数学双曲线抛物线知识点总结
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