2014-2015高考理科数学《双曲线》练习题
[A 组 基础演练·能力提升]
一、选择题
1．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 28－y 2
24＝1 B.
x 212
－
y 214
＝1
C.
x 224
－y 2
8
＝1 D.x 24－y 2
12
＝1 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2
－y 2
3＝λ(λ≠0)，
即
x 2λ
－
y 23λ
＝1，则a 2＝λ，b 2＝3λ.∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c ＝4，∴c 2＝a 2＋b 2＝4λ＝16，
解得λ＝4，∴双曲线方程为x 24－y 2
12
＝1.
答案：D
2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.? ????－22，0 B.? ????
－52，0 C.? ??
??－62，0 D.()－3，0
解析：双曲线方程可化为x 2
－y 2
12＝1，∴a 2＝1，b 2＝1
2，
∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62，∴左焦点坐标为? ????
－62，0.
答案：C
3．(2013年高考北京卷)若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±1
2
x
D ．y ＝±
22
x 解析：由离心率为3，可知c a
＝3，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝2a ，因此双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x ＝±2x ，故选B.
4．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋y2
m
＝1的离心率是( )
A.
3
2
B. 5
C.
3
2
或 5 D.
3
2
或
5
2
解析：因为m是2和8的等比中项，所以m2＝16，所以m＝±4，当m＝4时，圆锥曲线为椭圆x2
＋y2
4
＝1，离心率为
3
2
，当m＝－4时，圆锥曲线为双曲线x2－
y2
4
＝1，离心率为 5.
答案：C
5．已知双曲线
x2
m
－
y2
n
＝1的离心率为3，有一个焦点与抛物线y＝
1
12
x2的焦点相同，那么双曲线
的渐近线方程为( )
A．22x±y＝0 B．x±22y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
解析：由抛物线方程x2＝12y知焦点为F(0,3)，∵双曲线有一个焦点与抛物线焦点相同，∴双曲线的焦点在y轴上，∴n<0，m<0，
∴渐近线方程为y＝±n
m
x，又知e＝3，∴1＋
－m
－n
＝9，∴
n
m
＝
1
8
，∴渐近线方程为y＝±
x
22
，
故选B.
答案：B
6．F1，F2分别是双曲线x2
a2
－
y2
b2
＝1的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于
A、B两点．若△ABF
2
是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )
A．2 B.7
C.13
D.15
解析：由双曲线的性质可知|F1F2|＝2c，|BF1|－|BF2|＝2a，即|BA|＋|AF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，因为△ABF2为等边三角形，所以|AF2|＝|BF2|，∠BAF2＝60°，所以|AF2|＝|AB|＝4a，|AF1|
＝2a，故在△AF1F2中，由余弦定理得cos∠F1AF2＝|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2 2|AF1||AF2|
＝4a2＋16a2－4c2
2×2a×4a
＝
5a2－c2
4a2
＝－
1
2
，
即c2
a2
＝7，所以双曲线的离心率e＝7.
二、填空题
7．(2013年高考陕西卷)双曲线x 2
16－y 2m ＝1的离心率为5
4，则m 等于________．
解析：由题意知m >0，则e 2
＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 16＝25
16
，解得m ＝9.
答案：9
8．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 2
16＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦
点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.
解析：与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－y 2
16λ＝1.由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5∴λ＝1
4
，∴a 2＝1，b 2＝4.又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.
答案：1 2
9．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，左、右顶点分别为A 1和A 2，过焦点
F 2与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若|PA 1→|是|F 1F 2→|和|A 1F 2→
|的等比中项，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意可知|PA 1→
|2＝|F 1F 2→
|×|A 1F 2→
|，即? ??
??b 2
a 2＋(a ＋c )2＝2c (a ＋c )，化简可得a 2＝
b 2
，则e
＝c a ＝c 2
a 2＝a 2＋
b 2
a 2
＝ 2. 答案： 2 三、解答题
10．求适合下列条件的双曲线方程．
(1)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)，? ??
??
94，5.
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)．
解析：(1)设所求双曲线方程为my 2－nx 2＝1(m >0，n >0)，则因为点(3，－42)，? ????
94，5在双曲线
上，
所以点的坐标满足方程，
由此得?
??
32m －9n ＝1，
25m －81
16n ＝1.
解方程组得???
??
m ＝1
16，
n ＝19.
故所求双曲线方程为
y 216
－x 2
9
＝1.
(2)由双曲线的渐近线方程y ＝±2
3x ，
可设双曲线方程为x 29－y 2
4＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点P (6，2)， ∴69－44＝λ，λ＝－13
， 故所求双曲线方程为34y 2－13
x 2
＝1.
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点
M (3，m )在双曲线上．
(1)求双曲线方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→
＝0； (3)求△F 1MF 2面积．
解析：(1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.
∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.
(2)证明：∵MF 1→
＝(－3－23，－m )， ∴MF 2→＝(23－3，－m )．
∴MF 1→
·MF 2→
＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→
＝0.
(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.
∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.
12．(能力提升)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲
线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为1
5
.
(1)求双曲线的离心率．
(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →
，求λ的值．
解析：(1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20
b 2＝1.
由题意有
y 0x 0－a
·
y 0
x 0＋a ＝1
5
， 可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，e ＝c a ＝305
. (2)联立??
?
x 2
－5y 2
＝5b 2
，
y ＝x －c ，
得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.
设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，则?
??
??
x 1
＋x 2
＝5c
2
，x 1x 2
＝35b 2
4.①
设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →
， 即??
?
x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.
又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2
化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②
又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，
所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.
由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， ②式可化为λ2＋4λ＝0， 解得λ＝0或λ＝－4.
[B 组 因材施教·备选练习]
1．过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近
线的交点分别为B ，C ，若A ，B ，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为( )
A. 3
B. 5
C.10
D.13
解析：由题知A 点坐标为(a,0)，
∴过A 且斜率为－1的直线方程为y ＝－x ＋a ，
由??? y ＝－x ＋a ，y ＝b a x
得C ?
??
??a 2
a ＋
b ，ab a ＋b ， 由?
??
y ＝－x ＋a ，y ＝－b
a x
得B ?
??
??a 2
a －
b ，－ab a －b . ∵A 、B 、C 三点横坐标成等比数列，
∴
a 4
a －b
2
＝
a 3a ＋b
，
即b ＝3a ，∴e ＝1＋b 2
a
2＝10，故选C. 答案：C
2．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1、F 2是其焦点，双曲线的离心率是5
4，且PF 1→·PF 2
→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________．
解析：设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则由△PF 1F 2面积为9及PF 1⊥PF 2可得xy ＝18，x 2＋y 2＝4c 2，故(x －y )2＝4c 2－36＝4a 2，又e ＝5
4
，得c ＝5，a ＝4，
∴b ＝3，∴a ＋b ＝7. 答案：7
3．(2014年南昌模拟)已知双曲线C ：x 24－y 2
5＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于两点A 、B ，
|AB |＝5，则满足条件的直线l 的条数为________．
解析：(1)若A 、B 两点都在右支上，当AB 垂直于x 轴时， ∵a 2＝4，b 2＝5，c 2＝9，
∴F (3,0)，∴直线AB 的方程为x ＝3.
由???
x ＝3，x 2
4－y 2
5＝1
得y ＝±5
2
.∴|AB |＝5，满足题意．
(2)若A 、B 两点分别在两支上，∵a ＝2， ∴两顶点间的距离为2a ＝4<5.
∴满足|AB |＝5的直线有两条，且关于x 轴对称． 综上，满足题意的直线有3条． 答案：3
每日一题|小学数学1——6年级天天练 习 姓名：__________ 指导：__________ 日期：__________
2. 一件上衣278元，一条裤子245元妈妈500元钱买这件上衣和这条裤子，够吗？如果不够，还差多少钱？ 3. 直接写出得数。 320+260= 740-160= 516+194= 54÷9= 9×8- 52= 63÷7+32= 三年级 1. 给长6米，宽4米的客厅地面铺地砖。如果用边长是2分米的地砖铺地，一共需要多少块?如果每块地砖5元，一共需要多少元? 2.一辆洒水车每分钟行驶200米，洒水的宽度是8米，洒水车行驶1小时能给多大的地面洒上水? 3. 我校三年级（1）班有4个小组，每个小组有9人，他们在植树节共植树180棵。平均每人植树多少棵？ 四年级 1.李明参加自行车比赛集训，每天骑200千米，骑10小时，一个月一共骑行多少千米?(一个月按30天计算） 2. 小明身上的钱是小华的5倍，小明如果给小华40元，那么两人的钱就一样多。小明和小华原来各有多少元? 3.学校有一块正方形试验田，若将一组对边增加3米，面积比原来增加48平方米，现在试验田的面积是多少平方米?(先图整理，再解答) 五年级
1.一块地2公顷，其中种西红柿，种黄瓜，剩下的种青菜，种青菜的面积是多少公顷? 2.一个圆形养鱼池周长是11 3.04米，中间有一个圆形小岛，半径是6米，这个养鱼池的水域面积是多少平方米? 3.两根铁丝长分别是18分米、30分米，现在要将它们截成相等的小段，每根都不得有剩余，最少可以截成多少段? 六年级 1. 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14) 2. 一堆由苹果和梨子组成的水果，苹果的质量和梨子的质量之比是4：3，现加入8斤梨子，水果的总质量变为64斤，求加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比为多少？ 参考答案 一年级 1.6+6=12（粒）12+12=24（粒）
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
高一数学每日一练 命题人： 时间：2014年12月5日 姓名： 1、已知函数)2(-x f 是偶函数，当212->>x x 时，2121[()()]()0f x f x x x -->恒成立，设)1(),2(),3(f c f b f a =-=-=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c << 2．下列函数中在［１，２］上有零点的是（ ） A.543)(2+-=x x x f B.55)(3+-=x x x f C.63ln )(+-=x x x f D.63)(-+=x e x f x 3、函数1241++=+x x y 的值域是 . 4．已知函数)(x f y =是Ｒ上的奇函数，其零点1x ，2x ……2007x ，则 200721x x x +++ ＝ 。 高一数学每日一练 命题人： 时间：2014年12月6日 姓名： 1．若210,5100==b a ，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 2．设，用二分法求方程 内近似解的 过程中得 则方程的根落在区间（ ） A ． B ． C ． D ．不能确定 3、当0>x 时，函数x a y )8(2-=的值恒大于1，则实数a 的取值范围是_ _____. 4．函数的零点个数为 。 5．已知函数，则函数的零点是__ __． ()833-+=x x f x ()2,10833∈=-+x x x 在()()(),025.1,05.1,01<> 圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y (2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =， ||||1BF AB =，则C 的方程为（ ） A.1222=+y x B. 12322=+y x C.13422=+y x D.14 522=+y x 答案： B 解答： 由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又Θ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则 m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 2 1 = ，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程122 22=+b y a x ，得32=a ， 22 22=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12 32 2=+ y x . (2019全国1)16.已知双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的 两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则C 的离心率为 . 答案： 2 解答： 由112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r 知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥uuu r uuu r ，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=?，221()1tan 602b e a =+=+?=. 2020届高三数学小题狂练十 姓名 得分 1．方程2lg(1)1lg(1)x x ++=-的解是 . 2．已知复数i z 24-=（i 为虚数单位），且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围为 . 3．曲线x x f ln )(=在e x =处的切线方程为 . 4．随机向一个正三角形内丢一粒豆子，则豆子落在此三角形内切圆内的概率为 . 5．若双曲线122=-y x 右支上一点(,)A m n 到直线x y =的距离为2，则m n += . 6．函数5x y x a += -在(1,)-+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 7．ABC ?中，AP 为BC 边上的中线，||3AB =u u u r ，2-=?，则||AC =u u u r . 8．直线AB 过抛物线2y x =的焦点F ，与抛物线相交于A ，B 两点，且|AB |=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 . 9．设数列{}n a 的通项为210n a n =-（n ∈N *），则=+++||...||||1521a a a . 10．已知函数()cos f x x =（(,3)2x π π∈） ，若方程a x f =)(有三个不同的实根，且三根从小到大依次构成等比数列，则a 的值为 . 11．若函数()f x 满足(2)()1f x f x +=-+，且(1)2007f =-，则(2015)f = . 12．对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．那么 ]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++Λ= . 2017年高考数学空间几何高考真题 2017年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．C． D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中，E为棱CD的中点，则（） A．A 1E⊥DC 1 B．A 1 E⊥BD C．A 1 E⊥BC 1 D．A 1 E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A．60 B．30 C．20 D．10 5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π 1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1 =1，则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为（） A． B．C．D． 二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为． 全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 （高考江西卷（理）） 过点引直线l 与曲线y A,B 两点,O 为坐标原 点,当?AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ） A ．y E B B C CD =+ +3 B ．3 C ．3 ± D ． B 2 （福建数学（理）试题）双曲线2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ） A ． 25 B ． 45 C D C 3 （广东省数学（理）卷）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2, 在双曲线C 的方程是 （ ） A ．2214x = B ．221 45x y -= C ．22 125x y -= D ．22 12x =*B 4 （高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>) 则C 的 渐近线方程为 （ ） A ．1 4y x =± B ．13 y x =± C ．12 y x =± D ．y x =±*C 5 （高考湖北卷（理））已知04 π θ<<,则双曲线22 122: 1cos sin x y C θθ-=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等*D 6 （高考四川卷（理））抛物线2 4y x =的焦点到双曲线2 2 13 y x -=的渐近线的距离是 （ ） A ． 12 B C ．1 D B 7 （浙江数学（理）试题）如图,21,F F 是椭圆14 :22 1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是 （ ） A ．2 B ．3 C ． 2 3 D ． 2 6 *D 8 （天津数学（理）试题）已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线 22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △ AOB 则p = （ ） A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ．3*C 9 （大纲版数学（理））椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 （ ） A ．1324 ?????? ， B ．3384 ?????? ， C ．112?? ???? ， D ．314?? ???? ，*B 10（大纲版数学（理））已知抛物线2 :8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直 线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k = （ ） A ． 1 2 B ． 2 C D ．2*D 11（高考北京卷（理））若双曲线22 221x y a b -=,则其渐近线方程为 （ ） 安徽小题狂练1 1、已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{1，3，4}，则()U C A B U 等于 A 、{3} B 、{5} C 、{1，2，4，5} D 、{1，2，3，4} 2、复数 42(,,12i s yi x y R i i +=+∈-为虚数单位，则x+y 等于 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3、双曲3x 2 －4y 2 ＝12的焦距等于 A 、 2 B 、2 C 、3 D 、10 4、已知e 1，e 2是两夹角为120°的单位向量，a ＝3e 1＋2e 2，则｜a ｜等于 A 、4 B 、 C 、3 D 、 5、给出如图所示的流程图，那么输出的数是 A 、2450 B 、2550 C 、5150 D 、4900 6、设f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()22x f x x b =++（b 为常数），则f （－1）等于 A 、－3 B 、－1 C 、1 D 、3 7、设变量x,y 满足约束条件0121x y x y x y -≥?? +≤??+≥? ，则目标函数z=3x+y 的最大 值为 A 、2 B 、3 C 、1 D 、 52 8、一个简单组合体的三视图及尺寸如右图所示（单位：mm ），则该组合体的体积为 A 、32 B 、48 C 、56 D 、64 9、从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择4个，则4个点构成平行四边形的概率等于 A 、 115 B 、215 C 、15 D 、13 10、已知定义在实数集R 上的函数f(x)满足f （1）＝1，且f （x ）的导数'()f x 在R 上恒有'()f x ＜ 1()2 x R ∈，则不等式2 2 1()2 2 x f x < + 的解集为 A 、（1,+∞） B 、（,1-∞-） C 、（－1,1） D 、（,1-∞-）∪（1,+∞） 11、函数2 3log (32)y x x =--的定义域是＿＿＿＿＿ 12、若直线y ＝3x ＋2过圆x 2＋4x ＋y 2＋ay ＝0的圆心，则a ＝＿＿＿＿ 江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（ ） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1- 高三理科数学小题狂做（5） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知集合{}0,1,2A =，{} ,,z z x y x y B ==+∈A ∈A ，则B =（ ） A ．{}0,1,2,3,4B ．{}0,1,2C ．{}0,2,4D ．{}1,2 2、复数 11i i +-（i 是虚数单位）的虚部为（ ） A ．i B ．2i C ．1D ．2 3、抛物线24y x =-的准线方程为（ ） A ．1y =-B ．1y =C ．1x =-D ．1x = 4、已知向量a ，b 满足()5,10a b +=-，()3,6a b -=，则a ，b 夹角的余弦值为（ ） A ．1313- B ．1313 C ．21313- D ．21313 5、下列说法中正确的是（ ） A ．“()00f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件 B ．若:p 0R x ?∈，2 0010x x -->，则:p ?R x ?∈，210x x --< C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“若6 π α= ，则1sin 2α= ”的否命题是“若6πα≠，则1 sin 2 α≠ 6、若实数x ，y 满足2211y x y x y x ≥-?? ≥-+??≤+? ，则2z x y =-的最小值为 （ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 7、执行如图所示的程序框图，输出2015 2016 s =，那么判断框内应填（ ） A ．2015?k ≤ B ．2016?k ≤ C ．2015?k ≥ D ．2016?k ≥ 8、在C ?AB 中，2AB =，C 3A =，C B 边上的中线D 2A =，则C ?AB 的面积为（ ） A ． 64B ．15C ．3154D ．3616 9、已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．46+ B ．66+ 第 1 页 共 1 页 2020年高考数学导数压轴题每日一题 例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（新课标Ⅱ卷） (1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. 例1 (1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )?f ′(x )＝e x －1x ＋m ?f ′(0)＝e 0－10＋m ＝0?m ＝1， 定义域为{x |x >－1}， f ′(x )＝e x －1x ＋m ＝e x (x ＋1)－1x ＋1， 显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)， 则g ′(x )＝e x －1x ＋2 (x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)?h ′(x )＝e x ＋1(x ＋2)2 >0， 所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根， 又g ′(－12)＝1e －132 <0，g ′(0)＝1－12>0， 所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间??? ?－12，0内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1t ＋2＝0????－12 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 原创理科数学专题卷 专题 圆锥曲线与方程 考点40：椭圆及其性质(1-5题，13,14题) 考点41：双曲线及其性质（6-10题，15题） 考点42：抛物线及其性质（11,12题） 考点43：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题） 考点44：圆锥曲线的综合问题（16题，17-22题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试 考点40 易 椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为（ ） A. 2212x += B. 22 12x y += C. 22142x y += D. 22142y x += 2．【2017课标3，理10】 考点40 易 已知椭圆C ：22 2 21x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的 圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．13 3．【来源】重庆市第一中学2016-2017学年高二月考 考点40 中难 已知椭圆 2 21(0)1 x y m m +=>+的两个焦点是12,F F ， E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，当12EF EF +取得最小值时椭圆的离心率为（ ） A. 2 3 4．【来源】湖南省湘潭市2017第三次高考模拟 考点40 难 如图， 12,A A 为椭圆22 195 x y +=长轴的左、右端点， O 为坐标原点， ,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则 2019高考数学选择填空狂练之一集合与简易逻辑（理） 1．[2018·盱眙中学]已知全集{} 1,2,3,4,5,6 U=，集合{} 235 A=,,，集合{} 1346 B=,,,，则集合()U A B= Ie（） A．{}3B．{} 25,C．{} 146 ,,D．{} 235 ,, 2．[2018·洪都中学]已知全集U=R，集合{} 01234 A=,,,,，{} 20 B x x x =>< 或，则图中阴影部分表示的集合 为（） A．{} 0,1,2B．{} 1,2C．{} 3,4D．{} 0,3,4 3．[2018·八一中学]集合{} 26 y y x x ∈=-+∈ N N ,的真子集的个数是（） A．9 B．8 C．7 D．6 4．[2018·洪都中学]已知集合{} 12 A x x =-≤<，{} B x x a =<，若A B≠? I，则实数a的取值范围为（） A．12 a -<≤B．1 a>-C．2 a>-D．2 a≥ 5．[2018·唐山摸底]命题“0 x ?>， 1 ln1 x x ≥-”的否定是（） A． x?≤， 1 ln1 x x ≥-B． x?>， 1 ln1 x x <- C． x?>， 1 ln1 x x ≥-D． x?≤， 1 ln1 x x <- 一、选择题 6．[2018·静宁县一中]已知a 、b 都是实数，那么>”是“ln ln a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．[2018·大同中学]已知a ，b ∈R ，下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ） A ．1a b >- B ．1a b >+ C ．a b > D ．22a b > 8．[2018·静宁县一中]下列说法错误的是（ ） A ．对于命题:p x ?∈R ，210x x ++>，则0:p x ??∈R ，2 010x x ++≤ B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 C ．若命题p q ∧为假命题，则p ，q 都是假命题 D ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠” 9．[2018·甘肃模拟]{} 1381x A x =≤≤，(){} 22log 1B x x x -=>，则A B =I （ ） A ．(]2,4 B ．[]2,4 C ．()(],00,4-∞U D ．()[],10,4-∞-U 10．[2018·辽宁联考]已知集合{}12A x a x a =-≤≤+，{}35B x x =<<，则能使A B ?成立的实数a 的取值 范围是（ ） A ．{}34a a <≤ B ．{}34a a << C ．{}34a a ≤≤ D ．? 11．[2018·曲靖一中]命题p ：“0a ?>，不等式22log a a >成立”；命题q ：“函数 ()212 log 21y x x =-+的单调递增区间是(],1-∞”，则下列复合命题是真命题的是（ ） A ．()()p q ?∨? B ．p q ∧ C ．()p q ?∨ D ．()()p q ∧? 每日一练6.18 1．已知函数()f x 满足()12f =，()() () 111f x f x f x ++=-， 则()()()()1232007f f f f ????L 的值为 。-3 2．若圆0422 2 2 =-+-+m mx y x 与圆084422 2 2 =-+-++m my x y x 相切，则实数m 的 取值集合是 _________}2,0,2 5 ,512{-- 3.已知()x f ＝x 3-3ax ，R x ∈。 （1）若当x=1时，()x f 取得极值，求证：对任意x 1，x 2()1,1-∈都有()()421<-x f x f ； （2）若()x f 是[)+∞,1上的单调函数，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若x 01≥，()10≥x f 有()[]00x x f f =，求证：()00x x f = 解：（1）∵()x f '＝3x 2 -3a ，x=1是y=()x f 的一个极值点 ∴()1f '＝3-3a=0 ∴()x f '＝3x 2 -3 ()x f ＝x 3-3x ∵当-1≤x ≤1时, ()x f '≤0 ∴()x f 在[]1,1-上是减函数 ∴当x ∈[]1,1-时，()x f 的最大值为()1-f ＝1，最小值为()1f ＝-2 ∴对任意x 1，x 2()1,1-∈时都有()()()()41121<--<-f f x f x f 。 （2）()x f '＝3x 2 -3a 若()x f 在[)+∞,1上是减函数，则3x 2 -3a ≤0在[)+∞,1上恒成立， 即a ≥x 2在[)+∞,1上恒成立，此时a 不存在 若()x f 在[)+∞,1上是增函数，则3x 2 -3a ≥0在[)+∞,1上恒成立， 即a ≤x 2在[)+∞,1上恒成立，∴a ≤1。 （3）若()100≥>x x f ，由（2）知()[]()00x f x f f > ∵()[]00x x f f = ∴()00x f x >这与假设矛盾。 若()100≥>x f x ，由（2）知()()[]00x f f x f > ∵()[]00x x f f = ∴()00x f x <这与假设矛盾，因此()00x x f = 每日一练6.19 1. 已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 面积的最小值为 ____________。当2 1 -=k 时，OAB S ?有最小值4 2.两圆1)1(22=+-y x 和1)1(2 2=-+y x 3.已知4()log (41)x f x kx =++()k R ∈是偶函数． (1) 求k 的值； (2) 证明：对任意实数b ，函数()y f x =的图象与直线b x y +=2 1 最多只有一个交点； (3)设?? ? ? ?- ?=a a x g x 342log )(4，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围． .解：(1) 由题设()()f x f x -=，即44log (4 1)log (41)x x kx kx -+-=++ 整理得 kx kx x x x ++=-+)14(log 4 14log 44, 44log (41)(1)log (41)x x k x kx +-+=++，解得2 1-=k . (2)由(1)得41()log (41)2 x f x x =+- . 令b x x x +=-+2121)14(log 4，得4144x b x +=?． 假设方程有两个不相同的实根x 1、x 2，则 1 1 4414x b x ?=+， ① 2 2 4414x b x ?=+，② ②-①得 )44(4441 2 1 2 x x b x x -=-． 因为21 44 x x ≠，所以4b =1，即b =0， 代入①或②不成立，假设错误，命题成立． （注：本小题也可利用函数单调性质求解如下： 对于22 4414 x b x ?=+，若0b =，则414x x +=，矛盾；若0b ≠，则1 441 x b = -， 当0b <时，40x <，方程4144x b x +=?无解； 当0b >时，1 4041 x b = >-，由指数函数的性质可知，x 的值存在且唯一， 所以4144x b x +=?有唯一解，命题成立． (3) 由()()f x g x =得 4414log (41)log 22 3x x x a a ??+-=?- ?? ? ， 即2 414(2)3 4x x x a +=-，4412(2)3 x x x a +=?-，整理得0123 42)1(2=---x x a a 令2x t =，则0t > 由题设，方程24(1)103 a a t t ---=只有一个正实根. ① 当a =1时，方程4103t --=无正实根； ② 当a ≠1时，若0)1(49162=-+=?a a ，解得4 3 =a 或a=-3. 而 43=a 时，t=-2；a=-3时，t =21 >0 ． 若0)1(49162>-+=?a a ，即a <-3或43>a ，则应有t 1t 2=1 1--a <0，所以a >1．高考数学一轮复习专题突破训练圆锥曲线
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