双曲线及其标准方程习题
一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )
1. 命题甲:动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|-|PB|│=2a(a >0);命题乙; P 点轨迹是双曲线,则命题甲是命题乙的 [ ] A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分也非必要条件
2.
若双曲线的一个焦点是,,则等于 . . . .2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22--
-3325833258
3.
点到点,与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于,则点的轨迹方程是 . .
. .
P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25
=12
2
2
2
-----x x x x 222225612511
4.
k 5+y 6k
=1[ ]
A B C D 2
<是方程表示双曲线的 .既非充分又非必要条件 .充要条件
.必要而非充分条件 .充分而非必要条件
x k 25--
5. 如果方程x 2
sin α-y 2
cos α=1表示焦点在y 轴上的双曲线,那么角α的终边在 [ ] A .第四象限 B .第三象限 C .第二象限 D .第一象限 6.
下列曲线中的一个焦点在直线上的是 . .. .4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1
C x 16=1
D +x 16
=1
22
22
---x x y y 2222925925
7. 若a ·b <0,则ax 2
-ay 2
=b 所表示的曲线是 [ ] A .双曲线且焦点在x 轴上 B .双曲线且焦点在y 轴上 C .双曲线且焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上 D .椭圆 8.
以椭圆的焦点为焦点,且过,点的双曲线方程为
. .. .x x y y y 2222296109251150+y 25
=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1
C x 3=1
D x 2
=1
2
2222----
9.
到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨
迹方程是 . .
. .
x x x x x 2222225251697+y 9
=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7
=1D y 9
=12
2
2
2
2
----
10.
直线与坐标轴交两点,以坐标轴为对称轴,以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 . .. .或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1
C y 84=1
D y 84=1y 84
=1
22
222
------x x x x x 22222841610016100
11.
以坐标轴为对称轴,过,点且与双曲线有相等焦
距的双曲线方程是 .或
.或.或
.或A(34)y 20
=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20
=1x 15
=1D y 5
=1x 10
=122
2
2
2
2
2
2
2
x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------
12.
与双曲线共焦点且过点,的双曲线方程是 . .. .x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]
A y 20=1
B y 5=1
C y 16=1
D y 9=1
2
22
22
13. 已知ab <0,方程y=-2x +b 和bx 2
+ay 2
=ab 表示的曲线只可能是图中的 [
]
14.
已知△一边的两个端点是、,另两边斜率的积是,那么顶点的轨迹方程是 . .. .ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49
=1
C =1
D 5y 147
=1
2
2
2
2---,x 3
5
5147514749492222y y x
二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 )
1.
已知双曲线的焦距是,则的值等于 .
x k 21+-y 5=18k 2
2.
设双曲线
,与恰是直线在轴与轴上的截距,那么双曲线的焦距等于 .
x a 2
2
-
-y b
=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0
x y 2
2
双曲线的标准方程及其简单的几何性质
1.平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A .双曲线 B .一条直线 C .一条线段 D .两条射线 2.已知方程x 21+k -y 2
1-k =1表示双曲线,则k 的取值范围是( )
A .-1 B .k >0 C .k ≥0 D .k >1或k <-1 3.动圆与圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都相外切,则动圆圆心的轨迹为( ) A .双曲线的一支 B .圆 C .抛物线 D .双曲线 4.以椭圆x 23+y 2 4=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( ) A.x 23 -y 2 =1 B .y 2 -x 23=1 C.x 23-y 2 4 =1 D.y 23-x 2 4 =1 5.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 6.已知双曲线的两个焦点为F 1(-5,0)、F 2(5,0),P 是此双曲线上的一点,且PF 1⊥PF 2, |PF 1|·|PF 2|=2,则该双曲线的方程是( ) A.x 22-y 2 3=1 B.x 23-y 22=1 C.x 24 -y 2 =1 D .x 2 -y 2 4 =1 7.已知点F 1(-4,0)和F 2(4,0),曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6,则曲线方程为( ) A.x 29-y 27=1 B.x 29-y 27=1(y >0) C.x 29-y 27=1或x 27-y 29=1 D.x 29-y 2 7 =1(x >0) 8.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2,在左支上过F 1的弦AB 的长为5,若2a =8,那么△ABF 2的周长是( ) A .16 B .18 C .21 D .26 9.已知双曲线与椭圆x 29+y 225=1共焦点,它们的离心率之和为14 5,双曲线的方程是( ) A.x 212-y 24=1 B.x 24-y 212=1 C .-x 212+y 24=1 D .-x 24+y 2 12=1 10.焦点为(0,±6)且与双曲线x 22-y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是( ) A.x 212-y 2 24=1 B.y 212-x 224=1 C.y 224-x 2 12 =1 D.x 224-y 2 12 =1 11.若0 b 2=1有( ) A .相同的实轴 B .相同的虚轴 C .相同的焦点 D .相同的渐近线 12.中心在坐标原点,离心率为5 3的双曲线的焦点在y 轴上,则它的渐近线方程为( ) A .y =±54x B .y =±45x C .y =±43x D .y =±3 4 x 13.双曲线x 2b 2-y 2 a 2=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为( ) A .2 B. 3 C. 2 D.32 14.双曲线x 29-y 2 16=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) A. 3 B .3 C .4 D .2 二、填空题 15.双曲线的焦点在x 轴上,且经过点M (3,2)、N (-2,-1),则双曲线标准方程是________. 16.过双曲线x 23-y 2 4=1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________. 17.如果椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a -y 2 2=1的焦点相同,那么a =________. 18.双曲线x 24+y 2 b =1的离心率e ∈(1,2),则b 的取值范围是________. 19.椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a 2-y 2 =1焦点相同,则a =________. 20.双曲线以椭圆x 29+y 2 25=1的焦点为焦点,它的离心率是椭圆离心率的2倍,求该双曲线的 方程为________. 双曲线及其标准方程习题答案 一、单选题 1. B 2. C 3. A 4. D 5. B 6. C 7. B 8. B 9. C 10. A 11. C 12. A 13. B 14. D 二、填空题1. 10 2. 234 双曲线的标准方程及其简单的几何性质(答案) 1、[答案] D 2、[答案] A [解析] 由题意得(1+k )(1-k )>0,∴(k -1)(k +1)<0,∴-1 3、[答案] A [解析] 设动圆半径为r ,圆心为O , x 2+y 2=1的圆心为O 1,圆x 2+y 2-8x +12=0的圆心为O 2, 由题意得|OO 1|=r +1,|OO 2|=r +2, ∴|OO 2|-|OO 1|=r +2-r -1=1<|O 1O 2|=4, 由双曲线的定义知,动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支. 4、[答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y 轴上,且a =1,c =2, ∴b 2 =3,双曲线方程为y 2 -x 2 3 =1. 5、[答案] C [解析] ab <0?曲线ax 2+by 2=1是双曲线,曲线ax 2+by 2=1是双曲线?ab <0. 6、[答案] C [解析] ∵c =5,|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2, ∴(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|=4c 2,∴4a 2=4c 2-4=16,∴a 2=4,b 2=1. 7、[答案] D [解析] 由双曲线的定义知,点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点, 实轴长为6的双曲线的右支,其方程为:x 29-y 2 7 =1(x >0) 8、[答案] D [解析] |AF 2|-|AF 1|=2a =8,|BF 2|-|BF 1|=2a =8, ∴|AF 2|+|BF 2|-(|AF 1|+|BF 1|)=16,∴|AF 2|+|BF 2|=16+5=21, ∴△ABF 2的周长为|AF 2|+|BF 2|+|AB |=21+5=26. 9、[答案] C [解析] ∵椭圆x 29+y 225=1的焦点为(0,±4),离心率e =4 5, ∴双曲线的焦点为(0,±4),离心率为145-45=105=2, ∴双曲线方程为:y 24-x 2 12 =1. 10、[答案] B [解析] 与双曲线x 22-y 2=1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22-y 2 =λ(λ≠0), 又因为双曲线的焦点在y 轴上, ∴方程可写为y 2-λ-x 2 -2λ =1. 又∵双曲线方程的焦点为(0,±6),∴-λ-2λ=36.∴λ=-12. ∴双曲线方程为y 212-x 2 24=1. 11、[答案] C [解析] ∵0 12、[答案] D [解析] ∵c a =53,∴c 2a 2=a 2+b 2 a 2=259,∴ b 2a 2=169,∴b a =43,∴a b =3 4 . 又∵双曲线的焦点在y 轴上,∴双曲线的渐近线方程为y =±a b x ,∴所求双曲线的渐近线方程为y =±3 4x . 13、[答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直,则渐近线方程为:y =±x , ∴b a =1,∴b 2a 2=c 2-a 2 a 2=1,∴c 2=2a 2,e =c a = 2. 14、[答案] C [解析] ∵焦点坐标为(±5,0),渐近线方程为y =±43x ,∴一个焦点(5,0)到渐近线y =43x 的距离为4. 15、[答案] x 273-y 275 =1 [解析] 设双曲线方程为:x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0) 又点M (3,2)、N (-2,-1)在双曲线上,∴??? 9a 2-4b 2 =14a 2 -1 b 2 =1 ,∴??? a 2= 73 b 2 =7 5 . 16、[答案] 83 3 [解析] ∵a 2=3,b 2=4,∴c 2=7,∴c =7, 该弦所在直线方程为x =7,由????? x =7x 23-y 24=1 得y 2=163,∴|y |=433,弦长为83 3 . 17、[答案] 1 [解析] 由题意得a >0,且4-a 2=a +2,∴a =1. 18、[答案] -12 2 ∈(1,2),∴-12 62 [解析] 由题意得4-a 2=a 2+1,∴2a 2=3,a =62 . 焦点为(0,±4),离心率e =c a =45,∴双曲线的离心率e 1=2e =8 5 , ∴c 1a 1=4a 1=85,∴a 1=52,∴b 21=c 21-a 2 1=16-254=394,∴双曲线的方程为y 2254-x 239 4=1. 20、[答案] y 2 254 - x 2394 =1 [解析] 椭圆x 29+y 2 25=1中,a =5,b =3,c 2 =16, 双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 (1) 虚轴长为12,离心率为 54 ; (2) 焦距为26,且经过点M (0,12); (3) 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线,且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y 解:(1)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2b=12,c e a ==54 。 ∴b=6,c=10,a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 (2)∵双曲线经过点M (0,12), ∴M (0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y 轴上,且a=12。 又2c=26,∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (3)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -Q 在双曲线上 ∴(2 2 33 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路:解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是e 、a 、b 、c 四者的关系,构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ,直线l 过点(a ,0)和(0,b ),且 点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=,级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式,且a >1,得到点(1,0)到直线l 的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(-1,0)到直线l 的距离22 2 d a b = +, 双曲线及其标准方程习题 一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 ) 1. 命题甲:动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|?|PB|│=2a(a ?0);命题乙; P 点轨迹是双曲线,则命题甲是命题乙的 [ ] A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分也非必要条件 2. 3. 4. 5. 如果方程x 2 sin ??y 2cos ?=1表示焦点在y 轴上的双曲线,那么角?的终边在 [ ] A .第四象限 B .第三象限 C .第二象限 D .第一象限 6. 7. 若a ·b ?0,则ax 2 ?ay 2 =b 所表示的曲线是 [ ] A .双曲线且焦点在x 轴上 B .双曲线且焦点在y 轴上 C .双曲线且焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上 D .椭圆 8. 9. 10. 11. 12. 13. 已知ab ?0,方程y=?2x ?b 和bx 2 ?ay 2 =ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ] 14. 二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 ) 1. 2. 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 1.平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A .双曲线 B .一条直线 C .一条线段 D .两条射线 2.已知方程x 21+k -y 2 1-k =1表示双曲线,则k 的取值范围是( ) A .-1 高中数学-双曲线典型例题 一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 例1 讨论19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. 解:(1)当9 ∴5=λ或30=λ(舍去) ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明:以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉. (3)设所求双曲线方程为:()16014162 2<<=+--λλ λy x ∵双曲线过点()223,,∴1441618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ(舍) ∴所求双曲线方程为18 122 2=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。 例3 已知双曲线116 92 2=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ,点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ,求21PF F ∠的大小. 解:∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF ∴362212221=-+PF PF PF PF ∴10022 21=+PF PF ∵()100441222221=+==b a c F F ∴ο9021=∠PF F (2)题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢?请读者试探索. 四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。 例 4 已知1F 、2F 是双曲线14 22 =-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足ο9021=∠PF F ,求21PF F ?的面积. 分析:利用双曲线的定义及21PF F ?中的勾股定理可求21PF F ?的面积. 解:∵P 为双曲线14 22 =-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点. ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ο9021=∠PF F ∴在21F PF Rt ?中,202 2122 21==+F F PF PF x y o x y o x y o x y o 高二数学双曲线同步练习 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 ( ) A .椭圆 B .线段 C .双曲线 D .两条射线 2.方程1112 2=-++k y k x 表示双曲线,则k 的取值范围是 ( ) A .11<<-k B .0>k C .0≥k D .1>k 或1- 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 一、选择题 1.平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A .双曲线 B .一条直线 C .一条线段 D .两条射线 2.已知方程x 21+k -y 2 1-k =1表示双曲线,则k 的取值范围是( ) A .-1 双曲线专题 一、学习目标: 1.理解双曲线的定义; 2.熟悉双曲线的简单几何性质; 3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目. 二、知识点梳理 定 义 1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长(小于 2 1F F )的点的轨迹 2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e e (>1)的点的轨迹 标准方程 -2 2a x 22 b y =1()0,0>>b a -22a y 22 b x =1()0,0>>b a 图 形 性质 范围 a x ≥或a x -≤,R y ∈ R x ∈,a y ≥或a y -≤ 对称性 对称轴: 坐标轴 ;对称中心: 原点 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 顶点 坐标 ()0,1a A -,()0,2a A ()b B -,01,()b B ,02 ()a A -,01,()a A ,02()0,1b B -,()0,2b B 焦点 ()0,1c F -,()0,2c F ()c F -,01,()c F ,02 轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2 离心率 1>= a c e ,其中22b a c += 准线 准线方程是c a x 2 ±= 准线方程是c a y 2 ±= 三、课堂练习 1、双曲线方程为22 21x y -=,则它的右焦点坐标为( ) A 、2,02?? ? ??? B 、5,02?? ? ??? C 、6,02?? ? ??? D 、 ( )3,0 1.解析:C 2.设椭圆C 1的离心率为,焦点在x 轴上且长轴长为26,若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两 个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2的标准方程为( ) A . ﹣=1 B . ﹣=1 C . ﹣ =1 D . ﹣ =1 2.解析A :在椭圆C 1中,由,得 椭圆C 1的焦点为F 1(﹣5,0),F 2(5,0), 曲线C 2是以F 1、F 2为焦点,实轴长为8的双曲线, 故C 2的标准方程为: ﹣ =1, 故选A . 3.已知F 1、F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=( ) A.14 B.35 C.34 D.45 3.解析C :依题意得a =b =2,∴c =2. ∵|PF 1|=2|PF 2|,设|PF 2|=m ,则|PF 1|=2m . 又|PF 1|-|PF 2|=22=m . ∴|PF 1|=42,|PF 2|=2 2. 又|F 1F 2|=4,∴cos ∠F 1PF 2= 42 2+ 22 2-42 2×42×22 =3 4 .故选C. 4.已知双曲线的两个焦点为F 1(﹣,0)、F 2(,0),P 是此双曲线上的一点,且PF 1⊥PF 2,|PF 1|?|PF 2|=2,则该双曲线的方程是( ) A.﹣=1 B. ﹣=1 C.﹣y 2=1 D.x 2﹣=1 高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1.已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x﹣4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,则动圆圆心M的轨迹方程是() A.x=0 B. C.D. 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在 x轴上,虚轴长为12,离心率为; (2)顶点间的距离为6,渐近线方程为. 3、与双曲线有相同的焦点,且过点的双曲线的标准方程是 4、求焦点在坐标轴上,且经过点A(,﹣2)和B(﹣2,)两点的双曲线的标准方程. 5、已知P是双曲线=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为. 二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点,P为该双曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为. 2、设F1,F2是双曲线C:(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为. 3、双曲线的焦距为2c,直线l过点(a,0) 和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(﹣1,0)到直线l 的距离之和.则双曲线的离心率e的取值范围是() A. B.C.D. 3、焦点三角形 1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点,F为双曲线的右焦点,已知A(3,1),则|PA|+|PF|的最小值为. 2、.已知F1,F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点,P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=120°,求△F1PF2的面积. 3、已知双曲线焦点在y轴上,F1,F2为其焦点,焦距为10,焦距是实轴长的2倍.求: (1)双曲线的渐近线方程; (2)若P为双曲线上一点,且满足∠F1PF2=60°,求△PF1F2的面积. 4、直线与双曲线的位置关系 已知过点P(1,1)的直线L与双曲线只有一个公共点,则直线L的斜率k= ____ 5、综合题型高中数学双曲线抛物线知识点总结
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