双曲线（简答题：较难）
1、（本小题满分12分）
已知双曲线：的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为
．
（1）求双曲线的方程；
（2）斜率为且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点，已知，若证明：过、、三点的圆与轴相切．
2、双曲线（，）的右焦点为．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程；
（2）以原点为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为，过作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率．
3、已知椭圆的方程为，双曲线的一条渐近线与轴所成的夹角为
，且双曲线的焦距为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别为椭圆的左，右焦点，过作直线 (与轴不重合)交椭圆于，两点，线段
的中点为，记直线的斜率为，求的取值范围.
4、已知双曲线的两个焦点为、点在双曲线C 上．
（1）求双曲线的方程；
（2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为求直线的方程．
5、已知椭圆的方程为，双曲线的一条渐近线与轴所成的夹角为
，且双曲线的焦距为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别为椭圆的左，右焦点，过作直线 (与轴不重合)交椭圆于，两点，线段
的中点为，记直线的斜率为，求的取值范围.
6、已知，曲线上任意一点满足；曲线上的点在轴的右边且到的距离与它到轴的距离的差为1．
（1）求的方程；
（2）过的直线与相交于点，直线分别与相交于点和．求
的取值范围．
7、设圆的圆心为，直线过点且不与轴、轴垂直，且与圆于，
两点，过作的平行线交直线于点.
（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求与的面积之和的取值范围.
8、过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长
交抛物线于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）
D．
A．B．C．
9、如图，曲线由曲线和曲线
组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点．
（1）若，求曲线的方程；
（2）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；
（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求的面积的最大值．
10、已知命题：直线与抛物线（）没有交点；已知命题：方程
表示双曲线；若为真，为假，试求实数的取值范围.
11、在平面直角坐标系中，已知，，，，，若实数使得（为坐标原点），求点的轨迹方程，并讨论点的轨迹类型．
12、已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点在双曲线上，，为左、右焦点，且，试求的面积．
13、双曲线的中心在原点，右焦点为,渐近线方程为.
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线交于两点，问：当为何值时，以为直径的圆过原点.
14、如图为双曲线的两焦点，以为直径的圆与双曲线交于
是圆与轴的交点，连接与交于，且是的中点，
（1）当时，求双曲线的方程；
（2）试证：对任意的正实数，双曲线的离心率为常数．
15、已知点M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2，记动点P的轨迹为W．
⑴求W的方程；
⑵若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值．
16、已知方程表示焦点在轴上的双曲线．
（1）求的取值范围；
（2）当时，直线与双曲线右支交于不同的两点，求的取值范围．
17、已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点在双曲线上，为左，右焦点，且，试求△的面积.
18、已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点，点
在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2）求证：；
（3）求△的面积．
19、双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点. （1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率.
20、已知,,点满足，记点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）若直线过点且与轨迹交于、两点.
（i）无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值. （ii）在（i）的条件下，求面积的最小值.
21、已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支相
交于两点，若，且，则双曲线的离心率（）
A．B．C．D．
22、（2015秋?友谊县校级期末）已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．
23、已知双曲线的虚轴长为2，离心率为，为双曲线的两个焦点．（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线上有一点，满足，求的面积．
24、已知曲线的方程为．
（1）当时，是否存在以为中点的弦，若存在，求出弦所在直线的方程；若不存在，请说明理由．
（2）讨论曲线所表示的轨迹形状；
（3）若时，直线与曲线相交于两点，且，求曲线的方程．
25、已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．点
在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2）求证：；
（3）求的面积．
26、已知双曲线的焦距为，离心率为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线与双曲线交于不同的两点，如果能都在以点
为圆心的同一个圆上，求实数的取值范围．
27、已知经过点的双曲线C的渐近线方程为，直线与双曲线右支交于P，Q 两点．
（1）求的取值范围；
（2）若，且曲线C上存在点，满足，求点坐标
28、如图所示，直线与双曲线及其渐近线依次交于、、、四点，记
．
（Ⅰ）若直线的方程为，求；
（Ⅱ）请根据（Ⅰ）的计算结果猜想的关系，并证明之．
29、（本小题满分14分）
设双曲线C：（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（，0），离心率， A、B是双曲线
上的两点，AB的中点M（1，2）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求直线AB方程；
（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
30、（12分）已知双曲线的两个焦点为、点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点Q （0,2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程．
31、（12分）已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点
在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．
32、（本题满分12分）
如图所示，和两点分别在射线（点，分别在第一，四象限）上移动，且为坐标原点，动点满足．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
33、（本题满分12分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问6分）已知△的两个顶点的坐标分别是
，且所在直线的斜率之积等于．
（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种曲线；
（Ⅱ）当时，过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为
（不重合）试问：直线与轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由．
34、（本小题12分）已知B（-2,0），C（2,0）是ABC的两个顶点，且满足，（Ⅰ）求顶点A的轨迹方程
（Ⅱ）过点C作倾斜角为的直线交点A的轨迹于E、F两点，求|EF|
35、（本小题满分12分）已知双曲线：的一条渐近线为，右焦点
到直线的距离为．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）斜率为且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点，已知，若，证明：过、、三点的圆与轴相切．
36、如图，已知曲线，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与
都有公共点，则称为“型点”.
（1）证明：的左焦点是“型点”；
（2）设直线与有公共点，求证：，进而证明原点不是“型点”；
（3）求证：内的点都不是“型点”.
37、（本题满分16分）本题共有3个小题，第一小题3分，第二小题6分，第三小题7分
如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点；
（1）若，求曲线的方程；
（2）对于（1）中的曲线，若过点作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点A、B，求三角形的面积；
（3）如图，若直线（不一定过）平行于曲线的渐近线，交曲线于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线的另一条渐近线上。
38、已知抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点，
（1）当时，求抛物线的方程；
（2）若双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程和准线的方程.
39、如图，已知双曲线＝1（a>0，b>0），定点（c是双曲线的半焦距），双曲线虚轴的下端点为B.过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足
（O为原点），且三点共线．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若a＝2，过点B的直线l交双曲线的左、右支于M、N两点，且△OMN的面积S△OMN＝，求l 的方程．
40、在平面直线坐标系XOY中，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足，其中，且.
（1）求点C的轨迹方程.
（2）设点C的轨迹与双曲线（）相交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过原点，求证：是定值.
（3）在（2）条件下，若双曲线的离心率不大于，求该双曲线实轴的取值范围.
41、在直角坐标系中，点到两点的距离之和为4，设点的轨迹为,直线
与轨迹交于两点.
（1）求出轨迹的方程;
（2）若，求弦长的值.
42、已知双曲线C的离心率为，实轴长为2；
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A,B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值.
43、已知双曲线过点（3，－2）且与椭圆有相同的焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点M在双曲线上，为左、右焦点，且，试求的面积.
44、在平面直线坐标系XOY中，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足，其中，且.
（1）求点C的轨迹方程.
（2）设点C的轨迹与双曲线（）相交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过原点，求证：是定值.
（3）在（2）条件下，若双曲线的离心率不大于，求该双曲线实轴的取值范围.
45、已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过双曲线右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于，求．
46、如图,设有双曲线,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.
(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积.
(2)若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积又是多少?
(3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论.
47、已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求
证:.
48、已知双曲线C：（a>b>0)的一个焦点为，离心率为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若动点P(x0,y0)为双曲线外一点，且点P到双曲线C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。
49、已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
50、如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆
均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求的方程；
(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你
的结论.
51、如图,设有双曲线,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上．
(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;
(2)若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积又是多少?
(3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论．
52、已知双曲线的两个焦点为、点在双曲线C 上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为
求直线l的方程．
53、设双曲线C：（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（，0），离心率， A、B是双曲线上的两点，AB的中点M（1，2）.
（1）求双曲线C的方程；
（2）求直线AB方程；
（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
54、已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点，点是椭圆上不同于的任意一点，设直线的斜率分别为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当，在焦点在轴上的椭圆上求一点Q，使该点到直线（的距离最大。
（3）试判断乘积“（”的值是否与点（的位置有关，并证明你的结论；
55、的内切圆与三边的切点分别为,已知，内切圆圆心
,设点A的轨迹为R.
（1）求R的方程；
（2）过点C的动直线m交曲线R于不同的两点M,N，问在x轴上是否存在一定点Q（Q不与C重合），使恒成立，若求出Q点的坐标，若不存在，说明理由.
56、已知双曲线＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．
57、椭圆以双曲线的实轴为短轴、虚轴为长轴，且与抛物线交于
两点.
（1）求椭圆的方程及线段的长；
（2）在与图像的公共区域内，是否存在一点，使得的弦与的弦相互垂直平分于点？若存在，求点坐标，若不存在，说明理由.
58、已知椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，双曲线＝1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1.又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如图)．
(1)当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；
(2)当＝λ，求λ的最大值．
59、拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知拋物线与双曲线的一个交点为，求拋物线与双曲线方程．
60、已知双曲线＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．
61、如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。
（1）求轨迹的方程；
（2）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。
62、已知中心在原点的双曲线的右焦点为，实轴长.
（1）求双曲线的方程
（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点，且为锐角(其中为原点)，求的取值范围.
63、是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．
（1）焦点在轴上的双曲线渐近线方程为；
（2）点到双曲线上动点的距离最小值为．
64、过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为__________．
65、我们把离心率为e＝的双曲线(a>0，b>0)称为黄金双曲线．如图，是双曲线的实轴顶点，是虚轴的顶点，是左右焦点，在双曲线上且过右焦点，并且轴，给出以下几个说法：
①双曲线x2－＝1是黄金双曲线；
②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③如图，若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④如图，若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确的是()
A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④
66、在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.
67、已知双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),离心率e=,顶点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)如图,P是双曲线C上一点,A、B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限.若
=λ,λ∈.求△AOB的面积的取值范围.
68、平面内与两定点、（）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上
、两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系．
69、已知定点A(－2,0)和B(2,0)，曲线E上任一点P满足|PA|－|PB|＝2.
（1）求曲线E的方程；
（2）延长PB与曲线E交于另一点Q，求|PQ|的最小值；
（3）若直线l的方程为x＝a(a≤)，延长PB与曲线E交于另一点Q，如果存在某一位置，使得从PQ的中点R向l作垂线，垂足为C，满足PC⊥QC，求a的取值范围。
70、已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).
(1)求双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.
(3)求△F1MF2的面积.
参考答案
1、（1）；（2）证明见解析.
2、（1）；（2）.
3、（1）；（2）.
4、（1）（2）与
5、（1）；（2）.
6、（1）的方程为，的方程为．（2）
7、（1）.（2）
8、D
9、（Ⅰ）和（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）
10、或或.