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第六章.微分中值定理

第六章微分中值定理及其应用

§ 1 拉格朗日定理和函数的单调性

教学目标：

1 使学生深刻理解拉格朗日中值定理及其分析意义与几何意义。掌握它的证明方法，了解它在微分中

值定理中的地位。

2 通过知识学习，使学生初步具有应用中值定理进行分析论证的能力，能用以证明某些有关的命题，

特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的办法。

3 使学生学会应用拉格朗日中值定理研究函数在某区间上的某些整体性质，如单调性，有界性等。

4 使学生掌握拉格朗日中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础。

一罗尔定理与拉格朗日定理

数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中

值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。

一．极值概念：

1．回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:

定理 ( Fermat ) 设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导，若点为的极值点，

则必有

1、罗尔中值定理：若函数满足如下条件：

（i）在闭区间[a，b]上连续；

（ii）在开区间（a，b）内可导；

（iii），

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得（ξ）=0

（分析）由条件（i）知在[a，b]上

有最大值和最小值，再由条件（ii）及（iii），应用费马定理便可得到结论。

证明：因为在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：

(i)若M = m , 则在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立。

(ii)若m ＜ M，则因(a)=(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从

而ξ是的极值点，由条件(ii) 在点ξ处可导，故由费马定理推知

=0.

注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少

存在一条水平切线。

注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条

件，定理的结论将不一定成立，见下图：

例

如：

x1=-2:-0.09; x2=-1; x3=-0.99:0.01:1; x4=1:2;

x=[x1,x2,x3,x4];y1=0*x1;y2=NaN;y3=x3.^x3;y4=ones(siz e(x4));

y=[y1,y2,y3,y4]; plot(x,y,'r')

axis([-2,2,-1.2,1.3])

易见，F在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F（2）, 即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在

（-2，2）内存在点ξ, 满足

注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：

x=-0.2:0.005:0.2; y=(x.^4).*((sin(1./x)).^2);

plot(x,y,'r')

axis([-0.2,0.2,-0.001,0.002])

在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件，

显然

在（-1，1）内存在无限多个=使得=0。

2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数 f 满足如下条件：

（i）f 在闭区间[]上连续；

（ii）f 在开区间()内可导；

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得

（分析）罗尔定理是拉格朗日

中值定理：?（a）=?(b)时的特殊情况，应用罗尔定理证明此定理要构造辅助函数，使得

满足罗尔定理的条件

（i）-(iii) 且，

从而推得

证明：作辅助函数

显然，F（a）=F(b)（=0），且F在[a，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点

ξ(a，b)，使得

即

注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理时的特例

注2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在

该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB，我们在证明中引入的辅助函数，正是曲线与

直线AB

之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平

行于新х轴（F（a）=F（b））。

注3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将

一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。

注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特

点，在不同场合灵活采用：

注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：在（a,b）可导可以推出?在

（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数在（a，b）可导且

在a右连续在b左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。

中值定理的简单应用: ( 讲1时 )

3、拉格朗日中值定理的几个重要推论

推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数.

证明：任取两点（设），在区间 [] 上应用拉格朗日中值定理，存在

ξ（）I，使得

推论2 函数和在区间I上可导且

推论3（导数极限定理）设函数在点的某邻域U（）内连续，在U°（）内可导，且极限

存在，则在点可导，且

证明：分别按左右导数来证明上式成立

（1）任取，在[]上满足拉格朗日中值定理条件，则存在

ξ，使得

由于＜ξ＜，因此当时随之有ξ→，对上式两边取极限，使得

（2）同理可得

因为=存在，所以==，从而

即

注1°由推论3可知：在区间I上的导函数在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类

间断点，不可能出现第一类间断点。

注2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。

推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数在闭区间上可导, 且

( 证 )

定理( Darboux ) 设函数在区间上可导且.

若为介于

与之间的任一实数, 则

这就证得在区间I上任何两点之值相等。

可微函数单调性判别法：

1．单调性判法：

定理 1 设函数在区间内可导. 则在内↗(或↘) 在内( 或).

证明：必要性

充分

性在I 上递增。例设讨论它的单调区间。

解

x=-1:0.01:1; y=x.^3-x; g=3*x.^2-1;

plot(x,y,'r',x,g,'b')

axis([-1,1,-1,0.6])

例 2 求函数

的单调区间。

f='2*x^3-9*x^2+12*x-3';

dfdx=diff(f,'x')

dfdx = 6*x^2-18*x+12

s='6*x^2-18*x+12'，

x0=solve(s)

s =6*x^2-18*x+12

x0 = 1, 2

clf,

x=-1:1/20:5;y=2*x.^3-9*x.^2+12*x-3;

plot(x,y)

定理2 设函数在区间内可导. 则在内严格↗( 或严格↘)

ⅰ）对有( 或;

ⅱ）在内任子区间上例证明不等式

证明：设

时

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。（） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。（） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。（） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。（） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。（） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。（） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。（） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。（） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。（） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。（） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。（）

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章

第六章微分中值定理及其应用一、填空题 1．若0,0>>b a 均为常数，则=??? ? ? ?+→x x x x b a 3 2 lim ________。 2．若2 1 sin cos 1lim 0 =-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。 3．曲线x e y =在0=x 点处的曲率半径=R _________。 4．设2442 -+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________。 5．= -+→x e x x x 10 )1(lim ___________。 6．设) 4)(1()(2 --=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根，它们分别位于________ 区间； 7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的 __________=ξ； 8．函数3 )(x x f =与2 1)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ； 10．函数 2 )(x e x f x =的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33 -=的极大值点是______，极大值是

_______。 12．设x xe x f =)(，则函数) () (x f n 在=x _______处取得极小值_________。 13．已知bx ax x x f ++=23 )(，在1=x 处取得极小值2-，则=a _______，=b _____。 14．曲线2 2)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点，则 =k ________。 15．设)2,1()1()(Λ=-?=n x n x f n ，n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值，则=∞ →n n M lim ___________。 16．设)(x f 在0 x 可导，则0)(0 ='x f 是)(x f 在点0 x 处取得极值的______条件； 17．函数x bx x a x f ++=2 ln )(在1=x 及2=x 取得极值，则 ___ ___,==b a ； 18. 函数 3 2 2 3 )(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数x x x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在?? ??? ?2,0π上的最大值为______，最小值为_____； 21. 设点 ) 2,1(是曲线 b a x y +-=3)(的拐点,则 ______ _____,==b a ; 22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为

北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案习题

习题4.5 x (,3 2 )3 2 (3 2 ,0) 0(0, 3 2 ) 3 2 (3 2 ,+) f0+00+ f拐点拐点拐点x(,0) -∞0(0,1)1(1,2)2(2,) +∞y'0++0 y''++ y 极小值拐点极大值 ()() ()() 2 22222 22 222 32 1.() ()212,()12(2)4 3 642320,0,. 2 x x x x x x x x f x xe f x e x e e x f x e x x xe e x x xe x x - ------- = ''' -=-=--- =-+=-+==± 求函数的凸凹性区间及拐点. 解= 23 2 1 ,(,). 3 2(2)0,0,2. 220, 1. y x x x y x x x x x y x x =-∈-∞∞ '=-=-== ''=-== 作下列函数的图形： 2.

222223.,(,).2(2)(2)0,0,2;(2)(22)(42)0,2 2. x x x x x x x x y x e x y xe x e e x x e x x x y e x x e x e x x x --------'=∈-∞+∞=-=-=-==''=--+-=-+==± x (,0)-∞ (0,22)- 22- (22,2)- 2 (2,22)+ 22+ (22,)++∞ y ' - + + - - y '' + + - - 0 + y ? 极小值 ? 拐点 ? 极大值 ? 拐点 ? 22231 4.,0. 11 10, 2 1;. y x x x x y x x x y x =+≠-'=-==''=±=

第三章微分中值定理导数的应用

第三章微分中值定理导数的应用教学目的与要求 1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3．用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 4．握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5．道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6．了解方程近似解的二分法及切线法。一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 1．罗尔定理如()x f 满足：（1）在 []b ,a 连续. （2）在 ()b ,a 可导. （3）()()b f a f = 则至少存在一点()b ,a ∈ξ 使()0f /=ξ 例设()()()()1x 31x 21x x x g -++=，则在区间（-1，0）内，方程()0x g /= 有2个实根；在（-1，1）内()0x g //=有2个根例设()x f 在[0，1]可导，且()()01f 0f ==，证明存在()1,0∈ η，使()()0f f /=ηη+η。证：设()()x xf x F =在[a,b]可导，()()1F 0F = ∴ 存在()1,0∈η使()0F /=η 即()()0f f /=ηη+η 例设()x f 在[0，1]可导，且()()01f 0f ==, 证明存在η ()()0F F /=η+η 。解: 设()()x f e x F x =，且()()1F 0F = 由罗尔定理

存在η 使()0F /=η 即()()0f e f e /=η+ηηη，亦即()()0f f /=η+η 例习题6 设()()()x g e x f x F =（复合函数求导） 2、拉格朗日中值定理如()x f 满足：①在[a,b]连续；②在（a,b ）连续，则存在()b ,a ∈ξ 使()()()()a b f a f b f /-ξ=-。推论：⑴ 如果在区间I 上()0x f /≡，则()c x f = ⑵ 如果在区间I 上())0(0x f /<>， ()x f 在Ｉ单增（减）例对任意满足1x <的x ，都有4x arcsin 21x 1x 1arctg π=++- 设 ()x arcsin 21x 1x 1arctg x f ++-= ∵ ()()0x 1121x 12x 1x 121x 1x 111x f 22/=-++-?+-?+-+= 0x 121x 12x 1x 12x 1212 22=-++?-+?+?-= ∴ ()c x f = ∵ ()4 0f π= ∴ ()4 x f π= 例设()0x >，证明()x x 1ln x 1x <+<+ 求导证明作业：见各章节课后习题。

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

第四章微分中值定理与导数的应用

第四章微分中值定理与导数的应用第一节中值定理（2课时）要求：理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理。重点：理解中值定理及简单的应用。难点：中值定理证明的应用。一、罗尔(Rolle)定理罗尔定理如果函数)(x f 满足条件（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；（3）)()(b f a f =．则在开区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)(='ξf ．几何解释设曲线? AB 的方程为))((b x a x f y ≤≤=，罗尔定理的条件的几何表示，?AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，结论是曲线弧? AB 上至少有一点C ，使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路，ξ应在函数取最值点处找．例1．验证罗尔定理对函数34)(2+-=x x x f 在]3,1[上的正确性．证明因为函数)3)(1(34)(2--=+-=x x x x x f 在闭区间]3,1[上连续，可导．

)2 (2 4 2 ) (- = - = 'x x x f 且0 )3( )1(= =f f 函数) (x f在区间]3,1[上满足罗尔定理条件，所以在区间)3,1(内存在ξ使得 )2 (2 ) (= - = 'ξ ξ f，于是)3,1( 2∈ = ξ．故确实在区间)3,1(内至少存在一点2 = ξ使得0 )2(= 'f，结论成立．二、拉格朗日中值定理（微分中值定理）几何分析拉格朗日中值定理设函数) (x f满足条件（1）在闭区间] , [b a上连续；（2）在开区间) , (b a内可导．则在区间) , (b a内至少存在一点) (b a< <ξ ξ，使得等式 ) )( ( ) ( ) (a b f a f b f- ' = -ξ成立．推论1如果函数) (x f在区间I上的导数恒为零，那么函数) (x f在区间I上是一个常数（它的逆命题也成立）．例2．试证 2 cot arctan π = +x arc x) (+∞ < < -∞x．证明构造函数x arc x x f cot arctan ) (+ =，因为函数) (x f在) , (+∞ -∞上可导，且 1 1 1 1 ) ( 2 2 = + - + = ' x x x f 由推论得()arctan cot f x x arc x C =+=，(,) x∈-∞+∞，

第六章微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用引言在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理教学章节：第六章微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程：一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。