《解直角三角形（1）》参考教案
【教学目标】
1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；
2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；
3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。
【重点难点】：
重点：直角三角形的解法．
难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
【教学准备】
幻灯片
【教学过程】：
一、引入
1、已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（如图）．你能求出斜面钢条的长度和倾角a 吗？
变：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α
（如图）．
你能求出斜面钢条的长度和设计高度h吗？
2、如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
在例题中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角.
二、新课
1、像这样，在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.
问：在三角形中共有几个元素？
问：直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)三边之间关系：a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)
(2)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
(3)边角之间关系
2、例1：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°， ∠A=50 °，AB=3．求∠B 和a ，b （边长保留2个有效数字）
3、练习1 :P19 课内练习 1、2
4、例2：（引入题中）已知平顶屋面的宽度L 为10m ，坡顶的设计高度h 为3.5m ，（或设计倾角a ）（如图）．你能求出斜面钢条的长度和倾角a ．(长度精确到0.1米,角度精确到1度)
的邻边的对边正切函数：斜边
的邻边余弦函数：斜边的对边
正弦函数：A A A A A A A ∠∠=∠=∠=
tan cos sin
《解直角三角形》教案 教学目标 1、知识与技能：掌握几个特殊角的三角函数值，熟悉运用解直角三角形的依据，了解仰角、俯角、坡度角以及方位角，熟练掌握解直角三角形． 2、过程与方法：通过对直角三角形相关知识点的总结，加以运用到实例里，加深学生的理解． 3、情态与价值：在对直角三角形知识的掌握基础上，能够熟练的运用解决解直角三角形问题，获得数学学习的成就感，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识． 教学重点 如何更好地加强学生对解直角三角形的理解． 教学过程 一、知识点回顾 特殊角的三角函数值： 几个特殊关系： (1)1cos sin 22=+A A ，A A A cos sin tan =； (2)若 90=∠+∠ B A ，则B A cos sin =，1tan tan =?B A ． 二、解直角三角形： 1、定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫解直角三角形． 2、解直角三角形的依据：Rt ∠ABC 中， 90=∠C ，三边分别为a 、b 、c (1)三边之间的关系：222c b a =+(勾股定理) (2)两锐角之间的关系： 90=∠+∠B A
(3)边角之间的关系：b a A c b A c a A ===tan cos sin ，，； a b B c a B c b B ===tan cos sin ，，. 三、例题解析 例1 如课本第18页图1-14是某市“平改坡”工程中一种坡屋的设计图.已知原平屋顶的宽度l 为10m ，坡屋顶高度h 为3.5m .求斜面钢条a 的长度和坡角α(长度精确到0.1m ，角度精确到1°). 例2如课本第18页图1-15，在Rt △ACB 中，∠C =90°，∠A =50°，AB =3.求∠B 和a ，和b (边长精确到0.1). 例3 水库堤坝的横断面是梯形(如课本第20页图1-16).测得BC 长为6m ，CD 长为60m ，斜坡CD 的坡比为1:2.5，斜坡AB 的坡比长为1:3.求： (1)斜坡CD 的坡角∠D 和坝底AD 的宽(角度精确到1＇，宽度精确到0.1m ). (2)若堤坝长150m ，则建造这个堤坝需要多少土石方(精确到1m 3)？ 例4 体育项目400m 栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m .规定相邻两栏架的路 程为45m .在弯道出货，以跑道离内测线0.3m 处的弧线(如课本第21页图1-17中虚线)的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程，已知跑道的内测线半径为36m .问：在设定A 栏架后，B 栏架里A 栏架的距离是多少(结果精确到0.1m )？ 例5 某海防哨所O 发现在它的呗偏西30°，距离哨所500m 的A 处有一艘船向正东方向航行，经过3分钟后到达哨所东北方向的B 处.求船从A 处到B 处的航速(精确到1km /h ). 例6 如课本第24页图1-21，测得两楼之间的距离为32.6m ，从楼顶A 观测点D 的俯角为35°12＇，点C 的俯角为43°24＇.求这两栋楼的高度(精确到0.1m ).
《解直角三角形（1）》参考教案 【教学目标】 1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形； 2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力； 3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。 【重点难点】： 重点：直角三角形的解法． 难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 【教学准备】 幻灯片 【教学过程】： 一、引入 1、已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（如图）．你能求出斜面钢条的长度和倾角a 吗？ 变：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α （如图）． 你能求出斜面钢条的长度和设计高度h吗？ 2、如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
在例题中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角. 二、新课 1、像这样，在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形. 问：在三角形中共有几个元素？ 问：直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)三边之间关系：a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) (2)锐角之间关系∠A+∠B=90°． (3)边角之间关系 2、例1：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°， ∠A=50 °，AB=3．求∠B 和a ，b （边长保留2个有效数字） 3、练习1 :P19 课内练习 1、2 4、例2：（引入题中）已知平顶屋面的宽度L 为10m ，坡顶的设计高度h 为3.5m ，（或设计倾角a ）（如图）．你能求出斜面钢条的长度和倾角a ．(长度精确到0.1米,角度精确到1度) 的邻边的对边正切函数：斜边 的邻边余弦函数：斜边的对边 正弦函数：A A A A A A A ∠∠=∠=∠= tan cos sin
小结与复习1 教学目标 1、了解本章的知识结构。 2、回顾勾股定理的证明 教学重难点 重点：勾股定理。 难点：选择适当的知识解决具体问题。 教学过程 一、情境导入 通过本章的学习，你学到了哪些知识？你有哪些收获？ 二、课前热身 同学们交流、讨论、概括出本章所学的主要内容。三、合作探究知识结构 概括 1. 了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程； 2. 理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；
3. 能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题． 课堂练习 1. 求下列阴影部分的面积： 2. （1）阴影部分是正方形； （2）阴影部分是长方形； （3）阴影部分是 半圆 3. （第1题） 4. 如图，以Rt △ABC 的三边向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的 关系． （第2题） 5. 已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长． 6. 求下列各式的值． 7. （1） 2cos 30°＋cot 60°－2tan 45°; 8. （2） sin 2 45°＋cos 2 60°; 9. （3） ︒︒+︒+︒60cot 60tan 30cos 30sin 2222 . 学习小结
内容总结 本节课主要复习了两个部分的内容：一部分是本章的知识结构；另一部分是直角三角形中勾股定理及锐角三角函数定义。 方法归纳 在测量时，要以构造直角三角形在实际生活中应用的实例，至少一个。 布置作业 习题：10，11；练习册 小结与复习2 教学目标 1、通过复习，进一步理解勾股定理及三角函数的意义。 2、通过复习，进一步掌握直角三角形的解法。 3、学会运用勾股定理和三角函数解决简单的实际问题。 教学重难点 重点：灵活运用解直角三角形知识解决问题。 难点：选择恰当知识解决具体问题。 教学过程 一、情境导入 三角函数是怎样定义的？如何把梯形分解成三角形？ 二、课前热身 学生交流、讨论上述问题。 三、课堂练习 5. 求下列各直角三角形中字母的值．
解直角三角形教案5篇 解直角三角形教案篇一 一、教学目标 （一）学问教学点 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． （二）力量训练点 通过综合运用勾股定理，直角三角形的”两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培育学生分析问题、解决问题的力量．（三）德育渗透点 渗透数形结合的数学思想，培育学生良好的学习习惯． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的敏捷运用． 3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边． 三、教学过程 （一）明确目标 1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ （1）边角之间关系 假如用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成。 （2）三边之间关系 a2+b2=c2（勾股定理） （3）锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．（二）整体感知 教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数学问，对其加以复习稳固．同时，本课又为以后的应用举例打下根底，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的学问来解决的．综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课． （三）重点、难点的学习与目标完成过程 1．我们已把握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生也许了解解直角三角形的概念，同时又陷入思索，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热忱． 2．教师在学生思索后，连续引导“为什么两个已知元素中至少有一
按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。 1.3解直角三角形 教学目标： 1、进一步掌握解直角三角形的方法； 2、比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题； 3、培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。 教学重点：解直角三角形在测量方面的应用； 教学难点：选用恰当的直角三角形，解题思路分析。 教学过程 一、给出仰角、俯角的定义 在本章的开头，我们曾经用自制的测角仪测出视线(眼睛与旗杆顶端 的连线)与水平线的夹角，那么把这个角称为什么角呢? 如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看， 视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。 二、例题讲解 例1．如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的 C处，用1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电 线杆AB的高度。 分析：因为AB＝AE＋BE，AE＝CD＝1.20米，所以只要求出BE的长度，问题就得到解决,在△BDE中,已知DE＝CA＝22.7米，∠BD E＝22°，那么用哪个三角函数可解决这个问题呢?显然正切或余切都能解决这个问题。 例2．如图，A、B是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼 不能到达，由于建筑物密集，在A楼的周围没有开阔地带，为测量B楼的 高度，只能充分利用A楼的空间，A楼的各层都可到达且能看见B楼，现 仅有测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰 角、俯角或两视线的夹角)。
第一章 解直角三角形 复习 教学目标： 1、复习巩固所学的锐角三角函数与直角三角形及其应用等有关知识、方法； 2、发展学生的数学应用意识，培养分析问题和解决问题的能力。 教学重点：锐角三角函数的概念、计算和解直角三角形。 教学难点：解直角三角形的实际应用 教学过程： 一、知识梳理 引导学生回忆本章所学知识，用图表的方式加以梳理概括。 着重说明以下几点： 1、本章的重点是锐角的三角函数的概念、计算以及解直角三角形的一般方法。 2、注意对锐角三角函数概念的理解，要准确记忆30°、45°、60°角的三角函数值，有关锥度、坡度、方向角、仰角、俯角等概念的理解与应用。 二、例题教学： 例1、如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB=Rt ∠， CD ⊥AB ，D 为垂足， CD=5，BD=2， 求：(1) tanA; (2)cos ∠ACD;(3)AC 的长。 注意：角之间的转化，如∠ACD=∠B ，∠A=∠BCD 。 例2、在△ABC 中，∠C=90°，AB= ,3D 为AC 上一点，且∠DBC=30°，COS ∠ABC=53 . 求BC 和AD 的长。 注意：求AD 的长的关键在于求BC ，因此解此类问题应从两Rt △的公共边入手。 例3 、已知：△ABC 中，∠A=30°，∠C-∠B=60°，AC=22 ，求△ABC 的面积。 注意：画CD ⊥AB ，将解一般三角形问题转化为解直角三角形问题；在本题中，求公共直边CD 成为求解的关键。 例4．北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距离A 地40海里的B 处训练。突然接到基地命令，要该舰前往C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治。已知C 岛在A 的北偏东方向60°，且在B 的北偏西45°方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院?(精确到0.1小时) 例5．如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB ，已知距电线杆水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡的坡度i ＝2:1，坝高CF 为2米， 在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽为2米的人行道．请问： 在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)。 三、练习 1．甲、乙两船同时从港口O 出发，甲船以16.1海里／小时的速度向东偏南32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两个小时，甲船到达A 处并观测到B 处的乙船恰好在其 正西方向，求乙船的速度(精确到0.1海里/小时) 2．如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南 偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心、500m 为半径的圆形区域为居民区。取MN 上的另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°。已知MB ＝400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区。 D C A B
教案 九年级数学下册 解直角三角形及其应用 试讲人： 课程名称：解直角三角形及其应用 教学目标： （1） 掌握直角三角形的边角关系； （2） 会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． （3） 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步分析问 题、解决问题的能力． 教学重点： （1） 直角三角形的解法。 （2） 三角函数在解直角三角形中的灵活运用。 教学过程 一、 复习 （1） 回顾锐角三角函数的定义 （2）300、450、600 角的正弦值、余弦值和正切值如下表: 二、 讲授新课 问题1在下图的Rt△ABC 中， （1） 根据∠A=60°，斜边AB=6，试求出这个直角三角形的其他元素？ 因为∠A+∠B=90°且∠A=60° 所以∠B=30° 因为cos 30°=AB BC 所以23=6 BC 即BC=3 3 AC=3(在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半) （2） 根据AC=3，斜边AB=6，试求出这个直角三角形的其他元素？ 因为AB AC =1:2 所以∠B=30°(在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半) 解：因为∠A+∠B=90°且∠B=30° ∠A=60° 由勾股定理AC 2+BC 2=AB 2 可得 32+BC 2=62
即BC=33 总结：在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可求出其余的元素。 问题2 （1）在△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠B＝40°，解这个直角三角形(精确到0.1) 。 （3）在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b=11,求∠A、∠B、c边． 总结：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫解直角三角形． 问题3 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分线AD=43，解这个直角三角形。 （2）如图，在上海黄埔江东岸，矗立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”，某校学生在黄埔江西岸B处，测得塔尖D的仰角为45°，后退400m到A点测得塔尖D的仰角为30°，设塔底C及 A、B在同一直线上，试求该塔的高度． 随堂练习题; (1)如图，海岛A四周45海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航 行18海里到C，见岛A在北偏西45˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
浙教版九年级下册数学第一章解直角 三角形含答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（） A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.300a元 2、如图，已知AD∥BC，AB⊥AD，点E、F分别在射线AD、BC上，若点E与点B 关于AC对称，点E点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则下列结论错误的是（） A.tan∠ADB= ﹣ 1 B.∠DEF=67.5° C.∠AGB=∠BEF D.cos∠AGB= 3、如图，在△ABC 中，BC＝6，∠A＝60°.若⊙O 是△ABC 的外接圆，则⊙O 的半径长为（） A. B. C. D.
4、把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为（） A.120° B.135° C.145° D.150° 5、如图，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图像经过点 ，与交于点，若点为的中点，且的面积为12，则的值为（） A.16 B.24 C.36 D.48 6、如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于 （）米． A.asin40° B.acos40° C.atan40° D. 7、tan45°的值为（） A. B.1 C. D.
8、下列各式中，正确的是（） A.cosA﹣1＞0 B. =cosA﹣1 C. cosA==30° D.cos45°=sin45° 9、如图，秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米（左右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为 （） A.π米 B.2π米 C. 米 D. 米 10、一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，最小三角形的面积为 S ，把较大两个三角形纸片按图2方式放置，图2中的阴影部分面积为S2，1 若S2＝2S1，则矩形的长宽之比（） A.2 B. C. D. 11、 如图，在矩形ABCD中，AB=3，作BD的垂直平分线EF，分别与AD，BC交于点E、F，连接BE，DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为（）
28．2．1 解直角三角形 教学目标 1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点) 教学过程 一、情境导入 B,世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为塔 A B C 身中心线与垂直中心线夹角为∠，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点.在Rt△ ABC C BC AB 中，∠＝90°，＝5.2m，＝54.5m，求∠的度数． A 在上述的Rt△ ABC 二、合作探究 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 探究点一：解直角三角形 【类型一】利用解直角三角形求边或角 已知在Rt△ ABC C A B 中，∠＝90°，∠、∠、∠的对边分别为，， C a b c ，按下列条件解直角三角形． a B A (1)若＝36，∠＝30°，求∠的度数和边、的长； b c a b A B (2)若＝62，＝66，求∠、∠的度数和边的长． c 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt△ ABC B a A 中，∵∠＝30°，＝36，∴∠＝90°－∠＝60°， B a c a cos B 361 B c ∵cos＝，即＝ b B c ＝＝243，∴＝sin·＝×243＝123； 2 3 2 a b 3 中，∵＝62，＝66，∴tan＝＝，∴∠＝30°， (2)在Rt△ ABC a b A A 3
B c a ∴∠ ＝60°，∴ ＝2 ＝12 2. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含 所求元素与两个已知元素的关系式求解． 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 C FD AB CF F 一副直角三角板如图放置，点 在 的延长线上， ∥ ，∠ ＝∠ ACB E A AC ＝90°，∠ ＝30°，∠ ＝45°， ＝12 2，试求 的长． CD B BM FD M BM CM 解析：过点 作 ⊥ 于点 ，求出 与 的长度，然后在△ 中可求 EFD EDF 出∠ ＝60°，利用解直角三角形解答即可． B BM FD 解：过点 作 ⊥ 于点 ，在△ M ACB ACB 中，∠ ＝90°，∠ ＝45°， A AC CM 2 ＝12 2，∴ ＝ ＝12 2.∵ ∥ ，∴ ＝sin45° ＝ 12 2× ＝12， BC AC AB CF BM BC 2 BM BM ＝ ＝12.在△ EFD F E EDF MD 中，∠ ＝90°，∠ ＝30°，∴∠ ＝60°，∴ ＝ tan60° CD CM MD ＝4 3，∴ ＝ － ＝12－4 3. 方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学 的三角函数的关系进行解答． 【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题 3 如图，在△ ABC C A 中，已知∠ ＝90°，sin ＝ ， 为边 上一点，∠ D AC 7 BDC DC ABC ＝45°， ＝6.求△ 的面积． BC k AB k BC CD k 解析：首先利用正弦的定义设 ＝3 ， ＝7 ，利用 ＝ ＝3 ＝6，求得 k AB AC 值，从而求得 的长，然后利用勾股定理求得 的长，再进一步求解． BC AB 3 中，sin ＝ ＝ ，设 ＝3 ，则 ＝7 ( C 解：∵∠ ＝90°，∴在 Rt △ ABC A BC k AB k k 7 ＞0)，在 Rt △ BCD BCD BDC CBD 中，∵∠ ＝90°，∴∠ ＝45°，∴∠ ＝∠ ＝45°， BDC
浙教版九年级下册第一单元解直角三角形知识点+习题 知识梳理 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ⇒ BC= 2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ⇒ CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD •=2 ⇒ AB AD AC •=2 CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即 b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A
【知识梳理】 一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的 边AB 记为c ，叫做斜边． 锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c ∠= =的对边斜边； 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A b A c ∠= =的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边． 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ， ， ，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上 省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外， 、 、 常写成 、 、 ． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°<∠A<90°间变化时，， ，tanA ＞0． 锐角三角函数 B C a b c
课题：书法---写字基本知识 课型：新授课 教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。2、了解我国书法发展的历史。3、掌握基本笔画的书写特点。 重点：基本笔画的书写。 难点：运笔的技法。 教学过程： 一、了解书法的发展史及字体的分类： 1、介绍我国书法的发展的历史。 2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。 二、讲解书写的基本知识和要求： 1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正） 2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。 三、基本笔画书写 1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。 2、教师边书写边讲解。 3、学生练习，教师指导。（姿势正确） 4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。 5、学生练习，教师指导。（发现问题及时指正） 四、作业：完成一张基本笔画的练习。 板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸 我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。 课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1 课型：新授课 教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。 重点：正确书写6个字。 难点：注意字的结构和笔画的书写。 教学过程： 一、小结课堂内容，评价上次作业。 二、讲解新课： 1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。 2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。（老师读，学生读，加深理解。） 3、书写教学“杏花春雨江南”6个字。 杏：上大下小，上面要写得大，大在哪里？（大在撇捺）写的时候撇捺要舒展，象燕子张开的翅膀；下面的“口”要写得小，左右两竖要内斜，稍扁；“木”的竖写在竖中线上。 花：也是上下结构，草字头两竖要内斜；下面单人旁起笔对准上面的左竖，竖弯钩起笔对准上面的右竖；竖弯钩要舒展，（用红笔描竖弯钩，并在旁边书写一个大的竖弯钩）要求弯处圆转，不能僵硬（书写僵硬的竖弯钩，并在旁边打×）。春：上部三横都是短横，收笔处不要顿；撇画最长，捺画从哪里起笔？从第三横下面起笔，不能碰到撇；下面“日”的两竖要竖直，不能斜。 雨：旁边两竖要内斜，上横短，中竖写在竖中线上；从下面看，哪一笔最低？钩最低，中竖最短；四个点都是斜点。 江：左右结构，左窄右宽左边三点水第二点略向外展；右边“工”字上横是短横，下横是长横；中竖略斜。 南：上横短；下边两竖内斜；框架中两横都是短的，中间一竖悬针；三个竖画左、中差不多长，右竖钩最低；横折钩要写出弯势。 4、学生练习，教师巡回指导。 三、讲评：
解直角三角形的应用是九年级数学上学期第二章第四小节的内容．本小节的学习重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题． 1、仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【例1】如图，，FB// AC，从A看D的仰角是______；从B看D的俯角是______；从A 看B的______角是______；从D看B的______角是______． 【难度】★
【答案】；；仰；；仰；． 【解析】考查仰角、俯角的基本定义． 【例2】升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为30°．若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．（用含根号的式子表示） 【难度】★ 【答案】． 【解析解：如图所示，AB为旗杆，CD为某同学． 则，，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解． 【例3】如图，两建筑物水平距离为a米，从点A测得点C的俯角为，测得点D的俯角为，则较低建筑物CD的高为（） A．a米B．（）米 C．米D．米 【难度】★ 【答案】D 【解析】过C作CE⊥AB，垂足为E． 由题意有：，，
在中，， ∴ 在中，， ∴ ∴ 【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对俯角的理解． 【例4】如图，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得顶部A的仰角为30°、45°，已知CD = 30米，求铁塔的高．（结果保留根号） 【难度】★★ 【答案】． 【解析】解：由题意可得：，． 设，则， 在中，， ∴，解得：． 【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解． 【例5】如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m，请问：这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m） 【难度】★★ 【答案】277.1米． 【解析】解：由题意可得：，， 在中，， ∴，∴． 在中，， ∴，∴． ∴ 【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角、俯角的理解和运用．