第1页 共1页 第九章 解直角三角形
★重点★解直角三角形
☆ 内容提要☆
一、三角函数
1．定义：在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= . 1． 特殊角的三角函数值：
0° 30° 45° 60° 90° sin
α
cos
α
tg α / ctg
α /
2． 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cos α;…
3． 三角函数值随角度变化的关系
5．查三角函数表
二、解直角三角形
1． 定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
2． 依据：①边的关系：222c b a =+
②角的关系：A+B=90°
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
1． 俯、仰角： 2．方位角、象限角： 3．坡度：
4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
四、应用举例（略）
仰角 俯角 北 东 西 南 α h l i i=h/l=tg α
中考数学专题复习：解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数 【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为 用字母α表示,则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案 【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （?内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O, 根据网格的特点,CD⊥AB, 在Rt△AOC中,
中考复习分析——解直角三角形 黄金洞民族中小学罗建华 第一部分地位与作用 一．复习定位 解直角三角形这一部分知识是数学中的基本工具之一．解直角三角形不仅在实际问题中有着广泛的应用，而且更为重要的是，它在数学本身也有着极为广泛的应用，凡是有关图形中量的计算问题，以及坐标系里点的坐标的计算，大多数的情况都需借助于构造与解直角三角形．因此解直角三角形的知识是近年各地中考命题的热点之一. （一）试题类型与考法分析 1.考察内容以基础知识与基本技能为主，应用意识进一步增强，联系实际，综合运用知识，技能的要求越来越明显，不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还要求学生根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 2.本章知识是中考常考的内容，尤其是特殊角的三角函数值的有关的计算时必考内容，试题以填空题、计算题为主. 3. 应用解直角三角形的知识解决实际问题是中考的热点，试题以填空题和解答题为主. 4.2013-2015年我州中考试题中“解直角三角形”部分的权重：10~12%左右. 二、中考卷研究 (一)中考对知识点的考查： 2013-2015年我州中考涉及的知识点如下表: 关于锐角三角函数的考纲要求 1.基本要求：通过实例认识锐角的正弦、余弦、正切；知道30°、45°、60°角的三角函数值． 2.略高要求：由某个角的一个三角函数值,会求其余两个三角函数值；会计算含有特殊角的三角函数式的值． 3.较高要求：能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题．。 关于解直角三角形的考纲要求 1.基本要求：知道解直角三角形的含义． 2.略高要求：会解直角三角形；能根据问题的需要合理作出垂线,构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题． 3.较高要求：会解有特殊条件的四边形中的计算问题；会设计简单的测量方案；能综合运用直角三角形的性质解决简单的实际问题． (三)中考热点： 新课标对解直角三角形的要求略有减弱，从前几年各省、市的中考命题来看，运用解直角三角形的知识解决与生活、生产相关联的应用题是中考的热点． 三、中考命题趋势及复习对策
中考解直角三角形 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a 2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 B 弦 c a 勾 A C b 股 勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 有下面关系： a 2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角 2+b2=c 2 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c 满足a 形：勾三、股四、弦五） 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）； （2）若 c 2＝a2＋b2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边）； 若a 2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边） 4. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC中，∠C=90°
小结与复习1 教学目标 1、了解本章的知识结构。 2、回顾勾股定理的证明 教学重难点 重点：勾股定理。 难点：选择适当的知识解决具体问题。 教学过程 一、情境导入 通过本章的学习，你学到了哪些知识？你有哪些收获？ 二、课前热身 同学们交流、讨论、概括出本章所学的主要内容。三、合作探究知识结构 概括 1. 了解勾股定理的历史，经历勾股定理的探索过程； 2. 理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；
3. 能应用直角三角形的边角关系解决有关实际问题． 课堂练习 1. 求下列阴影部分的面积： 2. （1）阴影部分是正方形； （2）阴影部分是长方形； （3）阴影部分是 半圆 3. （第1题） 4. 如图，以Rt △ABC 的三边向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的 关系． （第2题） 5. 已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长． 6. 求下列各式的值． 7. （1） 2cos 30°＋cot 60°－2tan 45°; 8. （2） sin 2 45°＋cos 2 60°; 9. （3） ︒︒+︒+︒60cot 60tan 30cos 30sin 2222 . 学习小结
内容总结 本节课主要复习了两个部分的内容：一部分是本章的知识结构；另一部分是直角三角形中勾股定理及锐角三角函数定义。 方法归纳 在测量时，要以构造直角三角形在实际生活中应用的实例，至少一个。 布置作业 习题：10，11；练习册 小结与复习2 教学目标 1、通过复习，进一步理解勾股定理及三角函数的意义。 2、通过复习，进一步掌握直角三角形的解法。 3、学会运用勾股定理和三角函数解决简单的实际问题。 教学重难点 重点：灵活运用解直角三角形知识解决问题。 难点：选择恰当知识解决具体问题。 教学过程 一、情境导入 三角函数是怎样定义的？如何把梯形分解成三角形？ 二、课前热身 学生交流、讨论上述问题。 三、课堂练习 5. 求下列各直角三角形中字母的值．
解直角三角形 教学目标： （1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值。 （2）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。（3）能利用已知三角函数值，进行计算和化简。 （4）了解正弦余弦和正切间的关系解决问题。同时能在实际问题中找到直角三角形，利用锐角三角函数解决实际问题。 教学重点：用锐角三角函数解直角三角形。 教学难点：利用锐角三角函数解决实际问题。 教学过程： 一、知识梳理 1、锐角三角函数的定义 2、特殊角的三角函数值
3、解直角三角形 4、在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念 （1 视线 铅垂线 水平线
（2）方位角 （3）坡度：tan α=h/l 5、同角三角函数之间的关系： Sin 2α+cos 2α=1 tan α=a a cos sin 6、互余两角的三角函数关系： sin(900-α)=cos α cos(900-α)=sin α 7、函数的增减性：（00<α<900） （1）sin α,tan α的值都随着α的增大而增大 （2）Cos α的值随着α的增大而减小 二、典型例题 （一）基础检测 1、 [2014·威海] 如图22－1，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( ) 图22－1
A. 3 1010 B .12 C .13 D .10 10 2、已知∠A 为锐角，sinA ＝ 17 15 ，求cosA 、tanA 的值。 3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求∠A 的三角函数值。 （1）a=9 b=12 (2)a=5 b=12 4、在△ABC 中，AB=AC ＝4，BC=6，求∠B 的三角函数值。 5、如图,在Rt △ABC 中,锐角A 的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA 的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 6、(2015·丽水）如图,点A 为∠α边上的任意一点,作AC ⊥BC 于点C ,CD ⊥AB 于点D ,下 列用线段比表示cos α的值,错误．．的是( ) A.BD BC B.BC AB C.AD AC D.CD AC （二）考点分类 类型之一 求三角函数值 例 [2013·四川] 如图23－1所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为 ( ) 图23－1 A.12 B.55 C.1010 D.255 类型之二 特殊锐角的三角函数值的应用 命题角度： 1. 30°、45°、60°的三角函数值； 2. 已知特殊三角函数值，求角度． 例 1 [2012·济宁] 在△ABC 中，若∠A 、∠B 满足⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪cos A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B －222＝0， 则∠C ＝________. 例2（2015•绍兴）计算： 1 ) 21(41)1(45cos 2-+++-︒π 练一练 1、（2015·金华）如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC ， A D α (第6题)
中考专题复习——《解直角三角形》说课稿 授课班级：九（1）班授课时间：2012.3.28 一、内容分析： 本节课设计的总体思路就是通过一个基本模型，延伸到三种的变换形式，从而了解直角三角形的多种变化，并与其他知识相结合，把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的数学问题，培养自主探索的能力，形成解决问题的基本策略与能力，发展应用知识。 “授学生以鱼不如授学生以渔”，通过知识技能的传授，使学生学会化繁为简，把复杂的题目剖析出简单的数学知识。通过多题归一，让学生感知数学建模的思想和过程，了解数形结合的思想方法，培养转化、化归的思想方法，进而获得广泛的数学活动的经验。我制定了如下目标： 知识与技能：能把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的数学问题 过程与方法：通过基本模型，延伸变换形式，让学生感知数学建模的思想和过程 情感态度价值观：培养自主探索的能力，形成解决问题的基本策略与能力，发展应用知识，了解数形结合的思想方法，培养转化、化归、方程的思想方法。 教学重点、难点： 重点：能运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题 难点：提高把实际问题转化为数学问题（解直角三角形）的能力. 二、学情分析： 本节课教学是中考的一轮复习，由于知识学完的时间不长，学生对于这些知识比较熟悉，有一定基础，因此本节课的主要任务是培养自主探索的能力，形成解决问题的基本策略与能力，培养转化、化归、方程的思想方法，并渗透解直角三角形中的“双直角”基本模型，培养学生运用“基本图形”的能力。 三、教法分析： 遵循教师为主导、学生为主体的原则，结合初三学生的求知欲心理和已有的认知水平开展教学，形成学生自动、生生助动、师生互动，教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高、思维的训练。 四、中考分析： 解直角三角形的内容是近几年中考的必考题，题型多样、常与四边形、圆以及一元二次方程等知识综合命题，题型多为简单的中档题，常在涉及实际测算的大题中出现，是中考的热点。 五、教学程序 （一）相关概念：
. 《解直角三角形》专题复习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21 AB=BD=AD 】 4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2 AB AD AC •=2 AB BD BC •=2】 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h •=•） 由上图可得：AB •CD=AC •BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠=斜边的对边A A c b cos =∠=斜边的邻边A A b a tan =∠∠=的邻边的对边A A A a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0. 三、锐角三角函数之间的关系 （1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A （2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA •tan(90°—A)=1； cotA •cot(90°—A)=1； （3）弦切关系 tanA=A A cos sin cotA=A A sin cos （4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) A C B D
初三数学：《解直角三角形》知识点总结 知识点在不断更新的同时也需要及时的归纳总结，才能更好的掌握，接下来精品学习网初中频道给大家整理解直角三角形知识点整理，供大家参考阅读。 1解直角三角形 一、锐角三角函数 (一)、锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：(1)正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即 sin A=ca,(2)余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即 cos A=cb,(3)正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即 tan A=ba，(4)锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切,记作cotA即 aAAAb的对边的邻边cot锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：(1)锐角A必须在直角三角形中，且(2)在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则，不存在上述关系 2注意:锐角三角函数的定义应明确
(1)ca，cb，ba，ab四个比值的大小同△ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A取固定值时，它的四个三角函数也是固定的;(2)sinA不是sinA的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样;(3)利用三角函数定义可推导出三角函数 的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等;(二)、同角三角函数的关系(1)平方关系：122sinCOS(2)倒数关系：tana cota=1(3) 商数关系：sincoscot,cossintan注意：(1)这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。(2)sinsin22是的简写，读作“sin的平方”，不能将22sin 写成sin前者是a的正弦值的平方，后者无意义;(3)这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同， 如1cottan,1223030cossin22，而1cossin22就不一定成立。 (4)同角三角函数关系用于化简三角函数式。(三)余角的函数关系式任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它 3的余角的正弦值 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。即
解直角三角形 一、本章知识要点： 1、锐角三角函数的概念； 2、解直角三角形。 二、本章教材分析： （一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤： 1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。 2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为,同时也说明了锐 角的度数变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由到。这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。 3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。 4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学生熟练掌握。同时要强 调三角函数的实质是比值。防止学生产生sinX=60°,sinX=等错误，要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。如果学生产生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。 5.在总结规律的基础上，要求学生对特殊角的函数值要记准、记牢,再通过有关的练习加以巩固。在解三角形的过程中，需要会求一般锐角的三角函数值，并会由已知的三角函数值求对应的角度。为此，教材中安排介绍了查三角函数表的方法，学生在查表过程中容易出错，尤其是在查余弦、余切表时，特别是在查表前，应适当讲一下锐角三角函数值的变化规律。 6.从定义总结同角三角函数关系式：在学生熟练掌握定义的基础上，师生共同来发现如下的同角三角函数关系式，培养学生分析问题、总结规律、发现问题的习惯和能力。 例如： sinA=sinB= cosA=cosB=
解直角三角形考点全梳理 考点1 锐角三角函数的定义 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边. 例题1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为（） A ．B．m•cosαC．m•sinαD．m•tanα 变式1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin ∠BCD的（） （第一题图）（第二题图）（第三题图） A ． B ． C ． D ． 变式2如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sin A 的式子为（） A ． B ． C ． D ． 变式3如图，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（） A．a•（cosα﹣cosβ）B ．C．a cos αD．a•cosα﹣a sinα•a•tanβ考点2 网格中的锐角三角函数值计算解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度. 例题2如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（） A ． B ． C ． D ． 变式4如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是． 变式5如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为． 变式6如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为．
《解直角三角形》专题复习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示:【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21 AB=BD=AD 】 4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】 5、射影定理:在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项. 即:【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2 AB AD AC •=2 AB BD BC •=2】 6、等积法:直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h •=•) 由上图可得：AB •CD=AC •BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中,∠C=90° c a sin =∠=斜边的对边A A c b cos =∠=斜边的邻边A A b a tan =∠∠=的邻边的对边A A A a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1,0≤cos α≤1,tan α≥0,cot α≥0。 三、锐角三角函数之间的关系 (1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A （2）倒数关系(互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA •tan(90°—A ）=1; cotA •cot （90°—A)=1； （3)弦切关系 tanA=A A cos sin cotA=A A sin cos （4）互余关系（互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等） sinA=cos(90°—A ）,cosA=sin （90°—A ） tanA=cot(90°—A)，cotA=tan （90°—A ） A C B D
九年级中考数学知识点总结--解直角三角形 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余。 表示为：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。表示为：∵∠C=90°∠A=30°∴BC= 2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。表示为：∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点 ； ∴ CD= 2 1 AB=BD =AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ∙=2 ，AB AD AC ∙=2， AB BD BC ∙=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ∙CD=AC ∙BC 锐角三角函数的概念 1、 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠=斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A a b cot =∠∠= 的对边的邻边A A A 2、锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、锐角三角函数的取值范围：0 sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0. A C B D
锐角三角函数之间的关系 （1）平方关系 1cos sin 22=+A A （2）弦切关系tanA=A A cos sin 特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 60° 说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。解直角三角形的理论依据：以上. 对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角、坡度. 补充：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。 典型例题： 仰角 俯角 北 东 西 南 α h l i i=h/l=tg α
解直角三角形】专题复习(知识点+考点+ 测试) 解直角三角形》专题复 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余。几何表示：因为 ∠C=90°，所以∠A+∠B=90°。 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。几何表示：因为∠C=90°，且∠A=30°，所以BC=AB。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。几何表示：因为∠ACB=90°，D为AB的中点，所以CD=AB=BD=AD。 4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方。几何表示：在Rt△ABC中，因为∠ACB=90°，所以 a²+b²=c²。
5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角 边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。即：因为∠ACB=90°，CD⊥AB，所 以CD²=AD•BD，AC²=AD•AB，BC²=BD•AB。 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以 斜边上的高。（a•b=c•h）由上图可得：AB•CD=AC•BC。 二、锐角三角函数的概念 在△ABC中，∠C=90°，锐角A的正弦、余弦、正切、 余切分别为sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a。 锐角三角函数的取值范围：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1， tanα≥0，cotα≥0. 三、锐角三角函数之间的关系 1）平方关系：同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1，即sin²A+cos²A=1.
2）倒数关系：互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数，即tanA•tan(90°—A)=1，cotA•cot(90°—A)=1. 3）弦切关系：tanA= sinA/cosA，cotA=cosA/sinA。 4）互余关系：互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等，即sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)， tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)。 四、特殊角的三角函数值 角度（°）sinα cosα tanα cotα 30° 1/2 √3/2 √3/3 √3 45° √2/2 √2/2 1 1 60° √3/2 1/2 √3 1/√3 90° 1 0 不存在 0