第19讲 解直角三角形
重难点1 解直角三角形
(2018·眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则tan ∠AOD＝2．
【思路点拨】 设以BC 为顶点的小正方形为EKBC ，连接BE ，BE 与CD 相交于点 F.由题意易得BF ＝CF ，△ACO∽△BKO .由相似三角形的对应边成比例，易得KO∶CO＝1∶3，即可得OF∶CF＝OF∶BF＝1∶2.在Rt △OBF 中，即可求得tan ∠BOF 的值，继而求得答案．
方法指导在网格中求某个角的锐角三角函数值，如果这个角是以格点为顶点的直角三角形的一个内角，可利用锐角三角函数的定义直接求解；若不是，则可利用相等的角转化或通过添加辅助线的方法，使这个角成为直角三角形的内角，再利用勾股定理和相似算出直角三角形的边长或对应边的比值，最后根据锐角三角函数的定义求解．
(2018·上海)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，tan ∠ABC＝3
4.
(1)求边AC 的长；
(2)设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求AD
BD
的值．
【思路点拨】 (1)过点A 作AE⊥BC，解Rt △ABE 求出AE ，BE ，再根据勾股定理，即可在Rt △AEC 中求出AC 的长；(2)作DF 垂直平分BC ，则BF ＝12BC ，解Rt △BDF 求出DF ，再利用勾股定理求出BD ，进而求出AD ，则AD
BD 的值
即可求出．
【自主解答】 解：(1)过点A 作AE⊥BC 于点E. 在Rt △ABE 中，tan ∠ABC＝AE BE ＝3
4，AB ＝5.
∴AE＝3，BE ＝4，
∴CE＝BC －BE ＝5－4＝1.
在Rt △AEC 中，根据勾股定理，得AC ＝32
＋12
＝10.
(2)作DF 垂直平分BC ，垂足为F ，则BD ＝CD ，BF ＝CF ＝5
2.
∵tan ∠DBF＝DF BF ＝3
4
，
∴DF＝158
.
在Rt △BFD 中，根据勾股定理，得BD ＝（52）2＋（158）2＝258
. ∴AD＝5－258＝15
8.
则AD BD ＝35
. 方法指导解直角三角形的问题时，通常都是根据图形将已知条件在图形中表示出来，再根据要求的边或角并结合已知条件，寻找与之对应的边角关系来解题．
重难点2 解直角三角形的实际应用
(2018·广安)据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速．如图，观测点C 到公路的距离CD ＝200 m ，检测路段的起点A 位于点C 的南偏东60°方向，终点B 位于点C 的南偏东45°方向上，一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A 处行驶到B 处的时间为10 s ，问此车是否超过了该路段16 m /s 的限制速度？(观测点C 离地面的距离忽略不计．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
【思路点拨】 根据速度＝路程
时间，而时间已知，故要求速度，则需要求出A 到B 的距离．解Rt △CDA 和Rt △CDB
分别求出DA 和BD ，则AB 即可求出，进而可以求出AB 的速度，与16 m /s 比较大小即可得出结论．
【自主解答】 解：由题意，得∠DCA＝60°，∠DCB＝45°. 在Rt △CDB 中，tan ∠DCB＝DB DC ＝DB
200＝1.
解得DB ＝200.
在Rt △CDA 中，tan ∠DCA＝DA DC ＝DA
200＝3，
解得DA ＝200 3.
∴AB＝DA －DB ＝2003－200≈146(m )．
骑车速度v ＝AB t ＝146
10＝14.6(m /s )＜16(m /s )．
答：此车没有超过该路段16 m /s 的限制速度．
(2018·遂宁)如图，某测量小组为了测量山BC 的高度，在地面A 处测得山顶B 的仰角45°，然后沿着坡度i ＝1∶3的坡面AD 走了200米到达D 处，此时在D 处测得山顶B 的仰角为60°，求山高BC.(结果保留根号)
【思路点拨】 过点D 作DF⊥AC，则DF ＝EC ，∴BC＝BE ＋DF.解Rt △BDE 和Rt △DAF 分别求出BE ，DF 即可求解．
【自主解答】 解：过点D 作DF⊥AC，垂足为F. ∵坡面AD 的坡i ＝1∶3且AD ＝200， ∴tan ∠DAF＝DF AF ＝13＝3
3.
∴∠DAF＝30°.
∴DF＝12AD ＝1
2
×200＝100.
∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC ＝90°，∴四边形DECF 是矩形．
∴EC＝DF ＝100.
又∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°. ∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝90°－∠BDE＝90°－60°＝30°. ∴∠ABD＝∠ABC－∠DBE＝45°－30°＝15°， ∠BAD＝∠BAC－∠DAF＝45°－30°＝15°. ∴∠ABD＝∠BAD. ∴AD＝BD ＝200.
在Rt △BDE 中，sin ∠BDE＝BE
BD
.
∴BE＝BD·sin ∠BDE＝200×sin 60°＝200×3
2
＝100 3. ∴BC＝BE ＋EC ＝100＋100 3. ∴山高BC 为(100＋1003)米． 方法指导
1．对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：
(1)有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，找与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；
(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算．若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．
总的来说，解直角三角形的实际应用问题，关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形或作出辅助线并找准直角三角形．
2．解直角三角形的实际应用题常见图形类型及辅助线作法如图所示：
易错提示在利用锐角三角函数求解变形时，易把分子和分母的位置颠倒，从而产生错误．
考点1 锐角三角函数的定义
1．(2018·云南)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则∠A 的正切值为(A ) A ．3 B .13
C .
1010 D .31010
2．(2018·孝感)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sin A 等于(A )
A .35
B .45
C .34
D .43
3．(2018·滨州)在△ABC 中，∠C＝90°，若tan A ＝12，则sin B 5
考点2 特殊角的三角函数值
4．(2018·大庆)2cos 60°＝(A )
A ．1
B . 3
C . 2
D .12
5．(2018·烟台)计算：(π－3.14)0
＋tan
6．(2018·白银)计算：2sin 30°＋(－1)2 018
－(12
)－1＝0．
考点3 解直角三角形
7．(2018·贵阳)如图，A ，B ，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为(B )
A .12
B ．1
C .
3
3
D . 3
8．(2018·湖州)如图，已知菱形ABCD 对角线AC ，BD 相交于点O.若tan ∠BAC＝1
3
，AC ＝6，则BD 的长是2．
9．(2018·自贡)如图，在△ABC 中，BC ＝12，tan A ＝3
4
，∠B＝30°，求AC 和AB 的长．
解：过点C 作CH⊥AB 于点H. 在Rt △BCH 中，
∵BC＝12，∠B＝30°，
∴CH ＝12
BC ＝6，BH ＝BC 2－CH 2
＝6 3.
在Rt △ACH 中，tan A ＝34＝CH
AH .
∴AH＝8.
∴AB＝AH ＋BH ＝8＋63，AC ＝AH 2
＋CH 2
＝10.
考点4 解直角三角形的实际应用
10．(2018·宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC ＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA 等于(C )
A ．100sin 35°米
B ．100sin 55°米
C ．100tan 35°米
D ．100tan 55°米
11．(2018·咸宁)如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为45°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为110 m ，那么该建筑物的高度BC 约为300m .(结果保留整数，3≈1.73)
12．(2018·襄阳)为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB 由西向东行驶．在A 处测得岸边一建筑物P 在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B 处时，测得建筑物P 在北偏西60°方向上，如图所示．求建筑物P 到赛道AB 的距离．(结果保留根号)
解：过点P 作PC⊥AB 于点C ，由题意知∠PAC＝60°，∠PBC＝30°. 在Rt △PAC 中，PC
AC ＝tan ∠PAC，
∴AC＝
33
PC. 在Rt △PBC 中，PC
BC ＝tan ∠PBC，∴BC＝3PC.
∵AB＝AC ＋BC ＝
3
3
PC ＋3PC ＝10×40＝400.∴PC＝100 3. 答：建筑物P 到赛道AB 的距离为1003米．
13．(2018·荆州)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D 是⊙P 上的一动点．当点D 到弦OB 的距离最大时，tan ∠BOD 的值是(B )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
14．(2018·娄底)如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，则sin α－cos β＝(D )
A .513
B ．－513
C .713
D ．－713
15．(2018·广西六市)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP ＝OF ，则cos ∠ADF 的值为(C )
A .1113
B .1315
C .1517
D .1719
16．(2018·齐齐哈尔)在四边形ABCD 中，BD 是对角线，∠ABC＝90°，tan ∠ABD＝3
4，AB ＝20，BC ＝10，AD ＝13，
则线段CD
17．(2018·荆门)数学实践活动小组借助载有测角仪的无人机测量象山岚光阁与文明湖湖心亭之间的距离．如图，无人机所在位置P 与岚光阁阁顶A 、湖心亭B 在同一铅垂面内，P 与B 的垂直距离为300米，A 与B 的垂直距离为150米，在P 处测得A ，B 两点的俯角分别为α，β，且tan α＝1
2，tan β＝2－1，试求岚光阁与湖心亭之间的距
离AB.(计算结果若含有根号，请保留根号)
解：过点P 作PD⊥QB 于点D ，过点A 作AE⊥PD 于点E.
由题意得，∠PBD＝β，∠PAE＝α，AC ＝150，PD ＝300.
在Rt △PBD 中，BD ＝PD tan ∠PBD ＝300tan β＝300
2－1＝300(2＋1)．
∵∠AED＝∠BDC＝∠ACD＝90°，
∴四边形EDCA 为矩形． ∴DC＝EA ，ED ＝AC ＝150.
∴PE＝PD －ED ＝300－150＝150. 在Rt △PEA 中，EA ＝
PE tan ∠PAE ＝150tan α＝150
1
2
＝300.
∴BC＝BD －CD ＝BD －EA ＝300(2＋1)－300＝300 2. 在Rt △ACB 中，AB ＝AC 2
＋BC 2
＝1502
＋（3002）2
＝450. 答：岚光阁与湖心亭之间的距离
AB 为450米．
18．(2018·赤峰)阅读下列材料：
如图1，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为
a ，
b ，
c ，可以得到：
图1
S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2bc sin A.
证明：过点A 作AD⊥BC，垂足为D. 在Rt △ABD 中，sin B ＝AD c ，
∴AD＝c·sin B.
∴S △ABC ＝12a·AD＝1
2ac sin B.
同理：S △ABC ＝1
2ab sin C ，
S △ABC ＝1
2
bc sin A.
∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2bc sin A.
(1)通过上述证明： a
sin A ＝b sin B ＝c sin C
； (2)运用(1)中的结论解决问题：
如图2，在△ABC 中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB ＝203，求AC 的长度；
(3)如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A ，B ，C 三个测量点，在B 点测得A 在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18 km 到达C 点，测得A 在北偏西45°方向上．根据以上信息，求A ，B ，C 三点围成的三角形的面积．
(本题参考数值：sin 15°≈0.3，sin 120°≈0.9，2≈1.4，结果保留整数)
图2 图3
解：(1)证明：由题意可知：
12ab sin C ＝12ac sin B ，12ac sin B ＝1
2bc sin A. ∴b
sin B ＝c sin C ，a sin A ＝b
sin B . ∴
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C . (2)由(1)可知：
AC
sin B ＝AB sin C ，∴AC＝AB·sin B sin C ＝203·sin 15°sin 60°≈203×0.33
2＝12. (3)由(1)可知：
AC sin ∠ABC ＝BC sin A ，∴AC＝BC·sin ∠ABC sin A ＝18·sin 15°sin 120°≈18×0.3
0.9
＝6.
∴S △ABC ＝12A C·BC·sin ∠ACB＝12×6×18×sin 45°＝54×2
2＝272≈38.
故A ，B ，C 三点围成的三角积的面积约为38.
第十九讲 解直角三角形 1．在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD ，如图，已知李明距假山的水平距离BD 为12 m ，他的眼睛距地面的高度为1.6 m ，李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为( A ) A ．(43＋1.6)m B ．(123＋1.6)m C ．(42＋1.6)m D ．4 3 m ,(第1题图)) ,(第2题图)) 2．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为( B ) A.12 B.55 C.1010 D.255 3．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( D ) A ．2 B.255 C.55 D.12 ,(第3题图)) ,(第4题图)) 4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( C ) A ．sinB ＝AD AB B ．sinB ＝AC BC C ．sinB ＝A D AC D ．sinB ＝CD AC 5．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1 m ，则旗杆PA 的高度为( A ) A.11－sin α B.11＋sin α C. 11－cos α D.1 1＋cos α 6．计算sin 2 45°＋cos30°·tan60°，其结果是( A )
第19讲 解直角三角形 重难点1 解直角三角形 (2018·眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则tan ∠AOD＝2． 【思路点拨】 设以BC 为顶点的小正方形为EKBC ，连接BE ，BE 与CD 相交于点 F.由题意易得BF ＝CF ，△ACO∽△BKO .由相似三角形的对应边成比例，易得KO∶CO＝1∶3，即可得OF∶CF＝OF∶BF＝1∶2.在Rt △OBF 中，即可求得tan ∠BOF 的值，继而求得答案． 方法指导在网格中求某个角的锐角三角函数值，如果这个角是以格点为顶点的直角三角形的一个内角，可利用锐角三角函数的定义直接求解；若不是，则可利用相等的角转化或通过添加辅助线的方法，使这个角成为直角三角形的内角，再利用勾股定理和相似算出直角三角形的边长或对应边的比值，最后根据锐角三角函数的定义求解． (2018·上海)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，tan ∠ABC＝3 4. (1)求边AC 的长； (2)设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求AD BD 的值． 【思路点拨】 (1)过点A 作AE⊥BC，解Rt △ABE 求出AE ，BE ，再根据勾股定理，即可在Rt △AEC 中求出AC 的长；(2)作DF 垂直平分BC ，则BF ＝12BC ，解Rt △BDF 求出DF ，再利用勾股定理求出BD ，进而求出AD ，则AD BD 的值 即可求出． 【自主解答】 解：(1)过点A 作AE⊥BC 于点E. 在Rt △ABE 中，tan ∠ABC＝AE BE ＝3 4，AB ＝5. ∴AE＝3，BE ＝4， ∴CE＝BC －BE ＝5－4＝1. 在Rt △AEC 中，根据勾股定理，得AC ＝32 ＋12 ＝10. (2)作DF 垂直平分BC ，垂足为F ，则BD ＝CD ，BF ＝CF ＝5 2. ∵tan ∠DBF＝DF BF ＝3 4 ，
2019-2020年中考数学复习第4章图形的认识与三角形试题 命题点分类集训 (时间：90分钟共34题答对______题) 命题点1 三角形的三边关系 1. (长沙)若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是( ) A. 6 B. 3 C. 2 D. 11 2. (岳阳)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( ) A. 2 cm，3 cm，5 cm B. 7 cm，4 cm，2 cm C. 3 cm，4 cm，8 cm D. 3 cm，3 cm，4 cm 3. (南京)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是( ) A. 3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 3，4，7 命题点2 三角形的内角和及内外角关系 4. (贵港)在△ABC中，∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数是 ( ) A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 5. (宁波)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 第5题图 6.(乐山)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝( ) 第6题图 A. 35° B. 95° C. 85° D. 75° 7.( 青海)如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线．若∠B ＝71°，则∠BAC＝________．
第7题图 命题点3 三角形中的重要线段 8. (毕节)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( ) A. 三条高线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 9. (来宾)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF 的周长是( ) A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 第9题图 10.(泉州)如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若BC＝8，则DE的长为________． 第10题图 11. (xx连云港)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD 的面积之比是________． 命题点4 等腰三角形的相关计算 12. (荆门)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠B AC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( ) A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 第12题图 13.(xx内江)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为( ) 第13题图 A. 40° B. 45° C. 60° D. 70°
滚动小专题(六) 与三角形有关的计算与证明 类型1 以全等为基础的有关计算与证明 1．(2018·镇江)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 在边BC 上，BE ＝CF ，点D 在AF 的延长线上，AD ＝AC. (1)求证：△ABE ≌△ACF ； (2)若∠BAE ＝30°，则∠ADC ＝75°. 证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠ACF. 又∵BE ＝CF ， ∴△ABE ≌△ACF(SAS)． 2．在平面内，正方形ABCD 与正方形CEFH 如图放置，连接DE ，BH ，两线相交于点M.求证： (1)BH ＝DE ； (2)BH ⊥DE. 证明：(1)在正方形ABCD 与正方形CEFH 中， BC ＝DC ，CE ＝CH ， ∠BCD ＝∠ECH ＝90°， ∴∠BCD ＋∠DCH ＝∠ECH ＋∠DCH ， 即∠BCH ＝∠DCE. 在△BCH 和△DCE 中， ?????BC ＝DC ， ∠BCH ＝∠DCE ，CH ＝CE ， ∴△BCH ≌△DCE(SAS)． ∴BH ＝DE. (2)令BH 与CD 相交于点O. ∵△BCH ≌△DCE ， ∴∠CBH ＝∠CDE. 又∵∠BOC ＝∠DOM ，
∴∠DMB ＝∠BCD ＝90°. ∴BH ⊥DE. 3．(1)探究：如图1，分别以△ABC 的两边AB 和AC 为边向△ABC 外作正三角形ABD 和正三角形ACE ，连接DC ，BE ，求证：DC ＝BE ； (2)拓展：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝45°，连接AC ，BD ，若∠DAC ＝90°，AC ＝AD ，求BD 的长． 解：(1)证明：∵以AB ，AC 为边分别向外作等边△ABD 和等边△ACE ， ∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠ACE ＝∠AEC ＝60°，∠DAB ＝∠EAC ＝60°. ∴∠DAB ＋∠BAC ＝∠EAC ＋∠BAC. ∴∠DAC ＝∠BAE. ∴△DAC ≌△BAE(SAS)．∴CD ＝BE. (2)以AB 为边向外作等腰直角三角形ABE ，连接CE ，使AE ＝AB ，∠BAE ＝90°. ∴∠BAD ＝∠CAE. ∵AC ＝AD ，∴△ACE ≌△ABD(SAS)． ∴CE ＝BD. ∵BE ＝2AB ＝52，∵∠ABC ＝45°， ∴∠EBC ＝90°.∴CE ＝BE2＋BC2＝5 3. ∴BD ＝5 3. 类型2 以相似为基础的有关计算与证明 4．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点E 在边AC 上，且AD 2＝AE ·AB ，连接DE. (1)求证：△ABD ∽△ADE ； (2)若CD ＝3，CE ＝94，求AC 的长． 解：(1)证明：∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠EAD. ∵AD 2＝AE ·AB ， ∴AD AE ＝AB AD . ∴△ABD ∽△ADE. (2)∵△ABD ∽△ADE ，∴∠ADB ＝∠AED. ∵∠DAE ＋∠ADE ＋∠AED ＝180°，∠ADB ＋∠ADE ＋∠CDE ＝180°， ∴∠CDE ＝∠DAE ，即∠CDE ＝∠CAD.
《图形的初步认识》全章复习与巩固（基础）知识讲解 【学习目标】 1．认识一些简单的几何体的平面展开图及三视图，初步培养空间观念和几何直观； 2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法； 3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题； 4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、立体图形与平面图形 1．几何图形的分类 要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果. 2．立体图形与平面图形的相互转化 （1）立体图形的平面展开图： 把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠
⎧⎨⎩就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来． 要点诠释： ①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的 11种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图. ②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动手实践. （2）三视图： 正视图---------------从正面看 几何体的三视图 左视图---------------从左面看 俯视图---------------从上面看 要点诠释： ①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图. ②三视图的画法原则：高平齐宽相等长对正. ③能根据三视图描述基本几何体或实物原型. （3）几何体的构成元素及关系 几何体是由点、线 、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成. 要点二、直线、射线、线段 1. 直线，射线与线段的区别与联系 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
2013年中考数学专题复习第十九讲解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【赵老师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
阶段测评(四) 图形的初步认识与三角形、四边形(B) (时间：120分钟总分：120分) 一、选择题(每题4分，共40分) 1．(2016毕节中考)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( D) A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．(2016娄底中考)下列命题中，错误的是( D) A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．内错角相等 3．(2015徐州中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于( A) A．3.5 B．4 C．7 D．14 ,(第3题图)) ,(第4题图)) 4．(2015台州中考)如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E、F分别在AB、AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为( C) A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 5．(2016宜宾中考)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A) A．4.8 B．5 C．6 D．7.2 ,(第5题图)) ,(第6题图)) 6．(2015龙东中考)如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为( D)
A ．4 B . 2 C ．2 2 D ．2 7．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC 交DE 于点F ，若BC ＝6，则DF 的长是( B ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 ,(第7题图)) ,(第8题图)) 8．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，∠A ＝60°，BE ＝2.则菱形ABCD 的面积为( C ) A ．8 B ．4 3 C ．8 3 D ．12 3 9．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为( C ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 ,(第9题图)) ,(第10题图)) 10．(2014德州中考)如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，点E 、F 分别在AD 、BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，在以下四个结论中，正确的有( C ) ①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分∠DCH；③线段BF 的取值范围是3≤BF≤4；④当点H 与点A 重合时，EF ＝2 5. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题(每题4分，共16分) 11．(2016临沂中考)如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，DE∥BC ，EF ∥AB.若AB ＝8，BD ＝3，BF ＝4，则FC 的长为__12 5 __． ,(第11题图)) ,(第12题图)) 12．(2016昆明中考)如图，AB ∥CE ，BF 交CE 于点D ，DE ＝DF ，∠F ＝20°，则∠B 的度数为__40°__. 13．(2016茂名中考)已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO ＝1，那么BD ＝__2__． 14．(2014安徽中考)如图， 在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，
第18讲解直角三角形 1．（2016·亳州模拟)如果一个三角形三个内角的度数比为1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为( C ) A。错误! B.错误! C.错误! D.错误! 2．(2016·芜湖南陵县模拟）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线,已知CD＝2，AC ＝3，则sinB的值是（ A ) A。错误! B。错误! C。错误! D。错误! 3．（2016·乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ C ) A．sinB＝错误! B．sinB＝错误! C．sin B＝错误! D．sinB＝错误! 4．(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝错误!，则tanB的值为（ D ） A.错误! B.错误! C。错误! D。错误! 5．（2016·益阳)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线）,测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（ A ） A。错误!米 B。错误!米 C。错误!米 D。错误!米
6．(2016·白银）如图,点A(3，t）在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α,tanα＝错误!,则t的值是错误!． 7．（2016·岳阳）如图,一山坡的坡度为i＝1∶错误!,小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了100米． 8．（2016·灵璧县模拟）某校加强社会主义核心价值观教育，在清明节期间，为缅怀先烈足迹,组织学生参观滨湖渡江战役纪念馆，渡江战役纪念馆实物如图1所示．某数学兴趣小组同学突发奇想，我们能否测量斜坡的长和馆顶的高度？他们画出渡江战役纪念馆示意图如图2，经查资料，获得以下信息:斜坡AB的坡比i＝1∶3，BC＝50 m，∠ACB＝135°.求AB及过A 点作的高是多少?（结果精确到0。1 m，参考数据:错误!≈1.41,错误!≈1。73) 解：过A点作AD⊥BC交BC的延长线于点D。 ∵∠ACB＝135°， ∴∠ACD＝45°，即△ADC为等腰直角三角形． 设AD＝x，则CD＝x, 在Rt△ADB中，BD＝50＋x， 由斜坡AB的坡比i＝1∶错误!，得x∶(x＋50)＝1∶错误!， 解得x≈68.5，即AD＝68.5 m。
第四单元 三角形 第19课时 直角三角形与勾股定理 (建议答题时间：50分钟) 基础过关 1. (2017某某)一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 2. 在直角三角形中，直角边为a ，b ，且满足a 2＋b 2 ＝2ab ，则此三角形的三边之比为( ) A. 3∶4∶5 B. 1∶2∶1 C. 1∶1∶ 2 D. 1∶1∶1 3. (2017某某)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，则AB 的长为( ) A. 2a B. 22a C. 3a D. 433 a
第3题图 4. (2017某某)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(3，0)，B(0，4)，把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是( ) 第4题图 A. (5，0) B. (8，0) C. (0，5) D. (0，8) 5. (2017宿迁)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝2 cm, 点P在边AC 上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动，若点P、Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是( ) A. 20 cm B. 18 cm C. 2 5 cm D. 3 2 cm 第5题图 6. (2017滨州)如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，
课时训练(十九)锐角三角函数及其应用 (限时:45分钟) |夯实基础| 1.[2018·柳州]如图K19-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则sin B==() 图K19-1 A. B.C. D. 2.[2018·金华]如图K19-2,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为 () 图K19-2 A.B. C.D. 3.[2018·宜昌]如图K19-3,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上一点C,测得PC=100米,∠PCA= °,则小河宽PA等于()
图K19-3 A.100 °米 B.100 °米 C.100 °米 D.100 °米 4.[2018·苏州]如图K19-4,某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西 0°方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为() 图K19-4 A.40海里 B.60海里 C.20 海里 D.40 海里 5.[2018·重庆A卷]如图K19-5,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底面E 处测得旗杆顶端的仰角∠AED= 8°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i=1∶0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度为(参考数据: 8°≈0.8 , 8°≈0. , 8°≈1.6)() 图K19-5 A.12.6米 B.13.1米 C.14.7米 D.16.3米
2019备战中考数学基础必练（华师大版）-第四章-图形的初步认识（含解析） 一、单选题 1.某工程队，在修建兰宁高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（）. A. 直线的公理 B. 直线的公理或线段的公理 C. 线段最短的公理 D. 平行公理 2.在8：30这一时刻，时钟上的时针和分针之间的夹角为（） A. 85° B. 75° C. 70° D. 60° 3.如图是由五个相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（） A. B. C. D. 4.如果一个角等于72°，那么它的补角等于（） A. B. C. D. 5.下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（） A. B. C. D. 6.用六根长度相等的火柴棒搭等边三角形，最多搭成（）个．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.下列说法中正确的是（） A.射线AB和射线BA是同一条射线 B.射线就是直线 C.经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D.延长直线AB 8.52°24＇的余角和补角分别是（） A. 37°36＇，127°36＇ B. 127°36＇，37°36＇ C. 38°24＇，128°24＇ D. 128°24＇，38°24＇ 二、填空题 9.已知∠α=47°30′，则∠α的余角的度数为________°． 10.70°30′的余角为________度． 11.在右边的展开图中，分别填上数字1，2，3，4，5，6，使得折叠成正方体后，相对面上的数字之和相等，则a=________，b=________，c=________． 12.如图，直线与相交于，与、与分别相交成直角.图中与 互补的角是________. 13.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=65°，则∠B=________ 14.如图，将一副直角三角板如图放置，若，则________度． 15.如图，从A到B有多条道路，人们通常会走中间的直路，而不走其他的路，这其中的道 理是________． 16.如图，5个边长相等的小正方形拼成一个平面图形，小丽手中还有一个同样的小正方形，她想将它与图中的平面图形拼接在一起，从而可以构成一个正方体的平面展开图，则小丽总
2021备战中考数学〔湘教版〕稳固复习-第四章图形的认识〔含解析〕 一、单项选择题 1.如图，是一个正方体的外表展开图，那么原正方体中与“建〞字所在的面相对的面上标的字是〔〕 A.美 B.丽 C.和 D.县 2.如图，左面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到的立体图形是〔〕 A. B. C. D. 3.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，∠α与∠β互余的是〔〕 A. B. C. D. 4.如图是一个正方体的展开图。这个正方体各对面的式子之积是相等的，那么x的值为〔〕
A. B.2 C.2 D. 5.以下列举的物体中，与乒乓球的形状类似的是〔〕 A.铅笔 B.西瓜 C.音箱 D.茶杯 6.关于直线、射线、线段的有关说法正确的有() (1)、直线AB和直线BA是同一条直线 (2)、射线AB和射线BA是同一条射线 (3)、线段AB和线段BA是同一条线段 (4)、线段一定比直线短 (5)、射线一定比直线短 (6)、线段的长度可以度量，而直线、射线的长度不可能度量。 A.2 B.3 C.4 D.5 7.用一副三角板画角,不能画出的角的度数是〔〕 A.15° B.75° C.145° D.165° 8.如图，那么不含阴影局部的矩形的个数是〔〕 A.15 B.24 C.25 D.26 二、填空题 9.一只小蚂蚁从如下图的正方体的顶点A沿着棱爬向有蜜糖的点B，它只能经过三条棱，请你数一数，小蚂蚁有________种爬行道路． 10.几何学中，有“点动成________，线动成________，________动成体〞的原理． 11.假设∠A=62°48′，那么∠A的余角=________．
中考数学一轮复习第19讲《直角三角形》 【考点解析】 知识点一：直角三角形的性质 【例题】（·青海西宁·2分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= 2 ． 【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形． 【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD． 【解答】解：作PE⊥OA于E， ∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵∠BOP=∠AOP=15°， ∴∠AOB=30°， ∵PC∥OB， ∴∠ACP=∠AOB=30°， ∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）， ∴PD=PE=2， 故答案是：2． 【变式】
（·泰安，23，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是． 【解析】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．根据同角的余角相等、等腰△ABE 的性质推知∠DBE＝30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，FD⊥AB，∴∠∠ACB＝∠FDB＝90°， ∵∠F＝30°，∴∠A＝∠F＝30°（同角的余角相等）． 又AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA＝∠A＝30°， ∴直角△DBE中，BE＝2DE＝2． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA＝30°． 知识点二：直角三角形的判定 【例题】（·潍坊，9，3分）一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B 的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行．20分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（） A．海里/小时 B． 30海里/小时
第四单元《图形的初步认识与三角形》中考知识点梳理 第14讲平面图形与相交线、平行线 一、知识清单梳理
第15讲一般三角形及其性质 知识点一：三角形的分类及性质关键点拨与对应举例 1.三角形的分类（1）按角的关系分类（2）按边的关系分类 ⎧ ⎪ ⎧ ⎨ ⎨ ⎪ ⎩ ⎩ 直角三角形 三角形锐角三角形 斜三角形 钝角三角形 ⎧ ⎪ ⎧ ⎨ ⎨ ⎪ ⎩ ⎩ 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 失分点警示： 在运用分类讨论思想计算等腰 三角形周长时，必须考虑三角形 三边关系. 例：等腰三角形两边长分别是3 和6，则该三角形的周长为15. 2.三边关 系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3.角的关系（1）内角和定理： ①三角形的内角和等180°； ②推论：直角三角形的两锐角互余. （2）外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和. ②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角. 利用三角形的内、外角的性质求 角度时，若所给条件含比例，倍 分关系等，列方程求解会更简 便.有时也会结合平行、折叠、 等腰（边）三角形的性质求解. 4.三角形 中的重 要线段 四线性质 （1）角平分线、高结合求角度 时，注意运用三角形的内角和为 180°这一隐含条件. （2）当同一个三角形中出现两 条高，求长度时，注意运用面积 这个中间量来列方才能够求解. 角平分线 （1）角平线上的点到角两边的距离相等 （2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心） 中线 （1）将三角形的面积等分 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 高 锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高 相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部 中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 5.三角形 中内、外 角与角 平分线 的规律 总结如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α= 1 2 ∠BAC-∠CAE= 1 2 (180°-∠B- ∠C）-（90°-∠C）= 1 2 (∠C-∠B）； 如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O= 1 2 ∠A+90°； 如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O= 1 2 ∠A，∠O’= 1 2 ∠O； 如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°- 1 2 ∠A. 对于解答选择、填空题，可 以直接通过结论解题，会起 到事半功倍的效果.
第19课直角三角形与命题 考点一直角三角形的概念 1．有一个角是________的三角形叫做直角三角形． 考点二直角三角形的性质 2．直角三角形的两个锐角________． 3．直角三角形斜边上的________线等于斜边的________． 4．直角三角形两条直角边的________等于斜边的________． 5．等腰直角三角形的一个锐角等于________°. 6．直角三角形中，30°角所对的边等于________的一半． 7．直角三角形中，若一直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角等于________°. 考点三直角三角形的判定 8．有两个角________的三角形是直角三角形． 9．如果三角形中两边的________等于第三边的________，那么这个三角形是直角三角形． 10．一边上的________等于该边________的三角形是直角三角形． 考点四直角三角形全等的判定 11．________和________对应相等的两个直角三角形全等(HL定理)． 考点五直角三角形中的重要拓展 12．若CD是Rt△ABC斜边上的高，则图19－1中有________对锐角相等，________对锐角互余． (图19－1) 13．直角三角形斜边上的高等于________的积除以斜边．
考点六命题的有关概念、反证法及反例 14．正确的命题称为__________，________的命题称为假命题． 15．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的________． 16．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的______________． 17．通常可以通过________的方法，说明一个命题是假命题．命题的反例是满足命题的条件，但不满足命题的________的实例． 18．先假设命题不成立，即结论的反面成立，从而得出矛盾，说明原结论正确，这种证明方法叫做______． 1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，∠B＝___°. 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则AC＝____． 3．在Rt△ABC中，两条直角边分别为3，4，则斜边上的高等于___． 4．用来证明命题“若x2>4，则x>2”是假命题的反例可以是() A．x＝3 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝－3 5．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，AD＝3，则BD＝____． ◆达标一含有特殊角的直角三角形的性质 例1(2019毕节)三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图19－2放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是___． (图19－2) (图D19－1)
山东省2019年、2020年数学中考试题分类（9）——图形初步认识与三角 形 一．选择题（共23小题） 1．（2019•淄博）如图，小明从A处沿北偏东40︒方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20︒方向行走至点C处，则ABC ∠等于() A．130︒B．120︒C．110︒D．100︒ 2．（2020•东营）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分BOD ∠等 ∠=︒，则AOM ∠，若42 AOC 于() A．159︒B．161︒C．169︒D．138︒ 3．（2020•滨州）如图，// ∠的 ∠=︒，则EPD ∠的平分线，若155 AB CD，点P为CD上一点，PF是EPC 大小为() A．60︒B．70︒C．80︒D．100︒ 4．（2020•泰安）将含30︒角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若150 ∠等于() ∠=︒，则2 A．80︒B．100︒C．110︒D．120︒ 5．（2020•枣庄）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，// ∠ ∠=∠=︒，则DBC AB CF，90 F ACB 的度数为() A．10︒B．15︒C．18︒D．30︒
6．（2019•济南）如图，//DE BC ，BE 平分ABC ∠，若170∠=︒，则CBE ∠的度数为( ) A ．20︒ B ．35︒ C ．55︒ D ．70︒ 7．（2019•莱芜区）如图，直线//AB CD ，直线EF 分别与AB ，CD 交于点E ，F ，EG 平分BEF ∠，交CD 于点G ，若165∠=︒，则2∠的度数是( ) A ．122.5︒ B ．123︒ C ．123.5︒ D ．124︒ 8．（2019•日照）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当135∠=︒时，2∠的度数为( ) A ．35︒ B ．45︒ C ．55︒ D ．65︒ 9．（2019•东营）将一副三角板(30,45)A E ∠=︒∠=︒按如图所示方式摆放，使得//BA EF ，则AOF ∠等于( ) A ．75︒ B ．90︒ C ．105︒ D ．115︒ 10．（2020•淄博）如图，若ABC ADE ∆≅∆，则下列结论中一定成立的是( ) A ．AC DE = B ．BAD CAE ∠=∠ C ．AB AE = D ．ABC AED ∠=∠ 11．（2020•淄博）如图，在ABC ∆中，AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，且AD BE ⊥，垂足为点F ，设BC a =，AC b =，AB c =，则下列关系式中成立的是( )
湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（9）——图形初步认识与三角 形 一．选择题（共17小题） 1．（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是( ) A ． B ． C ． D ． 2．（2019•益阳）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( ) A ． B ． C ． D ． 3．（2020•娄底）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果128∠=︒，那么2∠的度数为( ) A ．62︒ B ．56︒ C ．28︒ D ．72︒ 4．（2020•邵阳）将一张矩形纸片ABCD 按如图所示操作： （1）将DA 沿DP 向内折叠，使点A 落在点1A 处， （2）将DP 沿1DA 向内继续折叠，使点P 落在点1P 处，折痕与边AB 交于点M ．若1PM AB ⊥，则1 DPM ∠的大小是( ) A ．135︒ B ．120︒ C ．112.5︒ D ．115︒ 5．（2020•郴州）如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截．下列条件能判定//a b 的是( )
A ．13∠=∠ B ．24180∠+∠=︒ C ．45∠=∠ D ．12∠=∠ 6．（2020•岳阳）如图，DA AB ⊥，CD DA ⊥，56B ∠=︒，则C ∠的度数是( ) A ．154︒ B ．144︒ C ．134︒ D ．124︒ 7．（2020•怀化）如图，已知直线a ，b 被直线c 所截，且//a b ，若40α∠=︒，则β∠的度数为( ) A ．140︒ B ．50︒ C ．60︒ D ．40︒ 8．（2020•常德）如图，已知//AB DE ，130∠=︒，235∠=︒，则BCE ∠的度数为( ) A ．70︒ B ．65︒ C ．35︒ D ．5︒ 9．（2019•岳阳）如图，已知BE 平分ABC ∠，且//BE DC ，若50ABC ∠=︒，则C ∠的度数是( ) A ．20︒ B ．25︒ C ．30︒ D ．50︒ 10．（2019•衡阳）如图，已知//AB CD ，AF 交CD 于点E ，且BE AF ⊥，40BED ∠=︒，则A ∠的度数是( ) A ．40︒ B ．50︒ C ．80︒ D ．90︒ 11．（2019•长沙）如图，平行线AB ，CD 被直线AE 所截，180∠=︒，则2∠的度数是( )
湖北省2019年、2020年数学中考试题分类（9）——图形的初步认识与三 角形 一．选择题（共25小题） 1．（2020•十堰）如图，将一副三角板重叠放在一起，使直角顶点重合于点O ．若130AOC ∠=︒，则(BOD ∠= ) A ．30︒ B ．40︒ C ．50︒ D ．60︒ 2．（2019•襄阳）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是( ) A ．青 B ．来 C ．斗 D ．奋 3．（2020•荆州）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若30CAB ∠=︒，则ACB ∠的度数是( ) A ．45︒ B ．55︒ C ．65︒ D ．75︒ 4．（2020•孝感）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE CD ⊥，垂足为点O ．若40BOE ∠=︒，则AOC ∠的度数为( ) A ．40︒ B ．50︒ C ．60︒ D ．140︒ 5．（2020•随州）如图，直线12//l l ，直线l 与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若160∠=︒，则2∠的度数是( ) A ．60︒ B ．100︒ C ．120︒ D ．140︒
6．（2020•襄阳）如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，EG 平分BEF ∠，若64EFG ∠=︒，则EGD ∠的大小是( ) A ．132︒ B ．128︒ C ．122︒ D ．112︒ 7．（2019•宜昌）如图，将一块含有30︒角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若135α∠=︒，则β∠等于( ) A ．45︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．85︒ 8．（2019•十堰）如图，直线//a b ，直线AB AC ⊥，若150∠=︒，则2(∠= ) A ．50︒ B ．45︒ C ．40︒ D ．30︒ 9．（2019•襄阳）如图，直线//BC AE ，CD AB ⊥于点D ，若40BCD ∠=︒，则1∠的度数是( ) A ．60︒ B ．50︒ C ．40︒ D ．30︒ 10．（2019•随州）如图，直线2//l l l ，直角三角板的直角顶点C 在直线1l 上，一锐角顶点B 在直线2l 上，若135∠=︒，则2∠的度数是( ) A ．65︒ B ．55︒ C ．45︒ D ．35︒ 11．（2019•孝感）如图，直线12//l l ，直线3l 与1l ，2l 分别交于点A ，C ，3BC l ⊥交1l 于点B ，若170∠=︒，则2∠的度数为( )