§10.6 圆锥曲线的综合问题

§10.6 圆锥曲线的综合问题

考纲解读

考点 考纲内容

要求

浙江省五年高考统计

2013

2014

2015

2016

2017

圆锥曲线的综合问题

1.了解圆锥曲线的简单应用.

2.理解数形结合的思想.

3.能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题.

掌握

9,5分 21(2),9分

9(文),5分 22(文), 约9分 21,15分 17(文),4分 22(文), 约10分

19,15分 19(文),15分

19(2),7分 19(2)(文), 9分

21(2), 约9分

分析解读 1.圆锥曲线的综合问题是高考的热点之一,主要考查两大问题:一是根据条件求出平面曲线的方程;二是通过方程研究平面曲线的性质.

2.考查点主要有:(1)圆锥曲线的基本概念和性质;(2)与圆锥曲线有关的最值、对称、位置关系等综合问题;(2)有关定点、定值问题,以及存在性等探索性问题.

3.预计2019年高考试题中,圆锥曲线的综合问题仍是压轴题之一,复习时应引起高度重视.

五年高考

考点 圆锥曲线的综合问题

1.(2014福建,9,5分)设P,Q 分别为圆x 2+(y-6)2=2和椭圆x 210

+y 2=1上的点,则P,Q 两点间的最大距离是( ) A.5√2 B.√46+√2 C.7+√2 D.6√2

答案 D

2.(2014湖北,9,5分)已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2=π3

,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.

4√3

3

B.

2√3

3

C.3

D.2

答案 A

3.(2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线x 2=y,点A (-12,14

),B (32,94

),抛物线上的点P(x,y)(-12

).过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q.

(1)求直线AP 斜率的取值范围; (2)求|PA|·|PQ|的最大值.

解析 本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. (1)设直线AP 的斜率为k,k=

x 2-14

x+12

=x-1

2, 因为-12

,所以直线AP 斜率的取值范围是(-1,1). (2)解法一:联立直线AP 与BQ 的方程{kx -y +1

2k +1

4

=0,

x +ky -94

k -3

2=0,

解得点Q 的横坐标是x Q =

-k 2+4k+32(k 2

+1)

.

因为|PA|=√1+k 2(x +12

)=√1+k 2(k+1), |PQ|=√1+k 2(x Q -x)=-2

√k +1

,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3,

令f(k)=-(k-1)(k+1)3.因为f '(k)=-(4k-2)(k+1)2,

所以f(k)在区间(-1,12

)上单调递增,(12

,1)上单调递减,因此当k=12

时,|PA|·|PQ|取得最大值2716

.

解法二:如图,连接BP,|AP|·|PQ|=|AP|·|PB|·cos ∠BPQ=AP ????? ·(AB ????? -AP ????? )=AP ????? ·AB ????? -AP ????? 2. 易知P(x,x 2)(-12

),

则AP ????? ·AB ????? =2x+1+2x 2-12

=2x 2+2x+12

,AP ????? 2=(x +12

)2

+(x 2-14

)2

=x 2+x+14

+x 4-12

x 2+116

=x 4+12

x 2+x+516

.

∴|AP|·|PQ|=-x 4+3

2

x 2+x+316(-12

).

设f(x)=-x 4+32

x 2+x+

316(-12

2

),

则f '(x)=-4x 3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2,

∴f(x)在(-12

,1)上为增函数,在(1,32

)上为减函数, ∴f(x)max =f(1)=2716.

故|AP|·|PQ|的最大值为2716

.

4.(2014浙江,21,15分)如图,设椭圆C:x 2a 2+y 2b

2=1(a>b>0),动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P,且点P 在第一象限. (1)已知直线l 的斜率为k,用a,b,k 表示点P 的坐标;

(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直,证明:点P 到直线l 1的距离的最大值为a-b.

解析 (1)设直线l 的方程为y=kx+m(k<0),由{y =kx +m,

x 2

a

2+

y 2b 2

=1

消去y 得(b 2+a 2k 2)x 2+2a 2kmx+a 2m 2-a 2b 2=0. 由于l 与C 只有一个公共点,故Δ=0,即b 2-m 2+a 2k 2=0,解得点

P 的坐标为(-a 2km

b 2+a 2k 2,

b 2m

b 2+a 2k 2

).

又点P 在第一象限,

故点P 的坐标为P (

-a 2k

√b +a 2k b

2

√b +a 2k ).

(2)证明:由于直线l 1过原点O 且与l 垂直,故直线l 1的方程为x+ky=0,

所以点P 到直线l 1的距离d=

|

-a k b +a k +

b 2

k

b +a k |√1+k ,整理得d=

a 2-

b 2

√b 2+a 2+a 2k 2+b

k

2.因为a 2k 2+b 2k

2≥2ab,所以

a 2-

b 2

√b 2+a 2+a 2k 2+b

k

2≤

a 2-

b 2

√b +a 2+2ab

=a-b,

当且仅当k 2=b a

时等号成立.

所以,点P 到直线l 1的距离的最大值为a-b.

5.(2013浙江,21,15分)如图,点P(0,-1)是椭圆C 1:x 2a 2+y 2b

2=1(a>b>0)的一个顶点,C 1的长轴是圆C 2:x 2+y 2=4的直径.l 1,l 2是过点P 且互相垂直的两条直线,其中l 1交圆C 2于A,B 两点,l 2交椭圆C 1于另一点D. (1)求椭圆C 1的方程;

(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程.

解析 (1)由题意得{

b =1,

a =2.

所以椭圆C 1的方程为x 24

+y 2=1.

(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),D(x 0,y 0).由题意知直线l 1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l 1的方程为y=kx-1. 又圆C 2:x 2+y 2=4,故点O 到直线l 1的距离d=

√k +1

,所以|AB|=2√4-d 2=2√

4k 2+3k 2+1

.

又l 2⊥l 1,故直线l 2的方程为x+ky+k=0. 由{x +ky +k =0,x 2+4y 2=4,

消去y,整理得(4+k 2)x 2+8kx=0, 故x 0=-8k 4+k 2

.

所以|PD|=

8√k 2+14+k 2

.

设△ABD 的面积为S,则

S=1

2|AB|·|PD|=8√4k 2+34+k 2

,

所以S=

√4k +3+

134k +3

≤

32

2√√4k 2+3·

134k 2+3=

16√13

13

, 当且仅当k=±

√10

2

时取等号.

所以所求直线l 1的方程为y=±

√10

2

x-1.

6.(2017课标全国Ⅰ理,20,12分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b

2=1(a>b>0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(-1,√3

2

),P 4(1,

√3

2

)中恰有三点在椭圆C 上.

(1)求C 的方程;

(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点. 解析 本题考查了圆锥曲线的方程以及圆锥曲线与直线位置关系中的定点问题. (1)由于P 3,P 4两点关于y 轴对称,故由题设知C 经过P 3,P 4两点. 又由1a

2+1

b 2>1a

2+

3

4b 2

知,C 不经过点P 1,所以点P 2在C 上.

因此{1

b

2

=1,1a 2

+

34b 2

=1,

解得{a 2=4,b 2=1.

故C 的方程为x 2

4

+y 2=1.

(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2.

如果l 与x 轴垂直,设l:x=t,由题设知t ≠0,且|t|<2,可得A,B 的坐标分别为(t,√4-t 2

2

),(t,-

√4-t 2

2

).

则k 1+k 2=

√4-t 2-22t

-

√4-t 2+2

2t

=-1,得t=2,不符合题设.

从而可设l:y=kx+m(m ≠1).将y=kx+m 代入x 24

+y 2=1得 (4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0.

由题设可知Δ=16(4k 2-m 2+1)>0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-8km 4k 2+1

,x 1x 2=

4m 2-4

4k 2+1

.

而k 1+k 2=y 1-1x 1

+

y 2-1x 2

=kx 1+m -1x 1+kx 2+m -1

x 2 =

2kx 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)

x 1x 2

,

由题设k 1+k 2=-1,故(2k+1)x 1x 2+(m-1)(x 1+x 2)=0. 即(2k+1)·4m 2-4

4k 2

+1

+(m-1)·

-8km

4k 2+1

=0.

解得k=-m+1

2

. 当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-

m+1

2

x+m,

即y+1=-m+1

2

(x-2), 所以l 过定点(2,-1).

7.(2017课标全国Ⅰ文,20,12分)设A,B 为曲线C:y=x 24

上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率;

(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM,求直线AB 的方程. 解析 本题考查直线与抛物线的位置关系. (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 12

4

,y 2=x 224

,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k=

y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 2

4

=1. (2)由y=x 24

,得y'=x 2

, 设M(x 3,y 3),由题设知x 32

=1, 解得x 3=2,于是M(2,1).

设直线AB 的方程为y=x+m,

故线段AB 的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|. 将y=x+m 代入y=x 24

得x 2-4x-4m=0.

当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x 1,2=2±2√m +1. 从而|AB|=√2|x 1-x 2|=4√2(m +1). 由题设知|AB|=2|MN|,

即4√2(m +1)=2(m+1),解得m=7. 所以直线AB 的方程为y=x+7.

8.(2017山东理,21,14分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E:x 2a 2+y 2b

2=1(a>b>0)的离心率为√2

2

,焦距为2.

(1)求椭圆E 的方程;

(2)如图,动直线l:y=k 1x-√3

2

交椭圆E 于A,B 两点,C 是椭圆E 上一点,直线OC 的斜率为k 2,且k 1k 2=√2

4

.M 是线段OC 延长线上一点,且

|MC|∶|AB|=2∶3,☉M 的半径为|MC|,OS,OT 是☉M 的两条切线,切点分别为S,T.求∠SOT 的最大值,并求取得最大值时直线l 的斜率.

解析 本题考查椭圆的方程,直线与椭圆、圆的位置关系,考查最值的求解方法和运算求解能力. (1)由题意知e=c a =√22

,2c=2,所以a=√2,b=1, 因此椭圆E 的方程为x 22

+y 2=1. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),

联立{x 22

+y 2=1,

y =k 1x -√3

2

,

消y 整理得(4k 12

+2)x 2-4√3k 1x-1=0,

由题意知Δ>0,且x 1+x 2=2√3k 1

2k 12+1,x 1x 2=-1

2(2k 12

+1)

, 所以|AB|=√1

+k 12|x 1-x 2|=√2

√1+k 12

√1+8k 1

21+2k 1

2

.

由题意可知圆M 的半径

r=23|AB|=2√23·√1+k 12

√1+8k 1

2

2k 12+1

. 由题设知k 1k 2=√24

,所以k 2=

√2

4k 1

,

因此直线OC 的方程为y=

√24k 1

x. 联立{x 2

2

+y 2=1,y =√24k 1

x,

得x 2=8k 121+4k 12,y 2=11+4k 12, 因此|OC|=√x 2+y 2=√

1+8k 121+4k 1

2.

由题意可知sin

∠SOT 2=r r+|OC|=1

1+

|OC|r

, 而

|OC|

r

=√

1+8k 1

21+4k 22√23

·12

1

2

1+2k 1

2=3√241+2k 1

2√

1+4k 1√1+k 1

,令t=1+2k 12

,则t>1,1

t

∈(0,1),

因此

|OC|r =32·t √2=3

2

·1

√2+1t -1

t

2

=32

·

√-(1t -12)+9

4

≥1,

当且仅当1t =12

,即t=2时等号成立,此时k 1=±√2

2

,

所以sin ∠SOT 2≤1

2

, 因此

∠SOT 2≤π6,所以∠SOT 的最大值为π3

. 综上所述:∠SOT 的最大值为π

3

,取得最大值时直线l 的斜率k 1=±√2

2

.

9.(2016北京,19,14分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b

2=1(a>b>0)的离心率为√3

2

,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB 的面积为1.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)设P 是椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M,直线PB 与x 轴交于点N.求证:|AN|·|BM|为定值.

解析 (1)由题意得{ c a =√32,

12

ab =1,a 2=b 2+c 2,

解得a 2=4,b 2=1.

所以椭圆C 的方程为x 2

4

+y 2=1. (2)由(1)知,A(2,0),B(0,1).

设P(x 0,y 0),则x 02+4y 02

=4.

当x 0≠0时,直线PA 的方程为y=y 0

x 0-2

(x-2).

令x=0,得y M =-2y 0

x 0-2

,从而|BM|=|1-y M |=|1+

2y 0x 0-2

|.

直线PB 的方程为y=y 0-1x 0

x+1.

令y=0,得x N =-

x 0y 0-1,从而|AN|=|2-x N |=|2+x

0y 0-1

|. 所以|AN|·|BM|=|2+x 0

y 0-1|·|1+2y 0x 0-2

| =|x 02+4y 02+4x 0y 0-4x 0-8y 0+4

x 0y 0-x 0-2y 0+2

|

=|

4x 0y 0-4x 0-8y 0+8x 0y 0-x 0-2y 0+2

|

=4.

当x 0=0时,y 0=-1,|BM|=2,|AN|=2,

所以|AN|·|BM|=4.

综上,|AN|·|BM|为定值.

10.(2015课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆C:9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M.

(1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;

(2)若l 过点(m

3

,m),延长线段OM 与C 交于点P,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由. 解析 (1)证明:设直线l:y=kx+b(k ≠0,b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ). 将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故 x M =

x 1+x 22=-kb k 2+9,y M =kx M +b=9b

k 2+9

. 于是直线OM 的斜率k OM =

y M x M

=-9k

,即k OM ·k=-9.

所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形OAPB 能为平行四边形.

因为直线l 过点(m 3

,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y=-9k

x. 设点P 的横坐标为x P . 由{y =-9k

x,9x 2+y 2=m 2

得x P 2=

k 2m 2

9k 2

+81

,即x P =

±km

3k +9

.将(m 3

,m)代入l 的方程得b=m(3-k)

3

, 因此x M =

k(k -3)m

3(k 2+9)

.

四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M .

于是

±km

3k +9

=2×

k(k -3)m

3(k 2

+9)

,解得k 1=4-√7,k 2=4+√7.

因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形.

11.(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点A(0,-2),椭圆E:x 2a 2+y 2b

2=1(a>b>0)的离心率为√3

2

,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF 的斜率为

2√3

3

,O 为坐标原点.

(1)求E 的方程;

(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点.当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程.

解析 (1)设F(c,0),由条件知,2c =2√3

3

, 得c=√3.

又c a =√3

2

,所以a=2,b 2=a 2-c 2=1. 故E 的方程为x 24

+y 2=1.

(2)当l ⊥x 轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 将y=kx-2代入x 24

+y 2=1得(1+4k 2)x 2-16kx+12=0. 当Δ

=16(4k 2-3)>0,即

k 2>

3

4时,x 1,2=8k±2√4k 2-34k 2+1

. 从而|PQ|=√k 2+1|x 1-x 2|=4√k 2+1·√4k 2-3

4k 2+1.

又点O 到直线PQ 的距离d=√k +1

,所以△OPQ 的面积

S △OPQ =1

2d ·|PQ|=4√4k 2-34k 2+1

.

设√4k 2-3=t,则t>0,S △OPQ =

4t t 2+4=4

t+4

t . 因为t+4t

≥4,当且仅当t=2,即k=±√7

2

时等号成立,且满足Δ>0,

所以,当△OPQ 的面积最大时,l 的方程为y=√72

x-2或y=-√7

2

x-2.

教师用书专用(12—23)

12.(2017山东文,21,14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:x 2a 2+y 2b

2=1(a>b>0)的离心率为√2

2

,椭圆C 截直线y=1所得线段的长度

为2√2.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)动直线l:y=kx+m(m ≠0)交椭圆C 于A,B 两点,交y 轴于点M.点N 是M 关于O 的对称点,☉N 的半径为|NO|.设D 为AB 的中点,DE,DF 与☉N 分别相切于点E,F,求∠EDF 的最小值.

解析 本题考查椭圆的标准方程及圆锥曲线的相关最值. (1)由椭圆的离心率为√2

2

,得a 2=2(a 2-b 2),

又当y=1时,x 2=a 2-a 2b

2,得a 2-a 2

b

2=2,

所以a 2=4,b 2=2.

因此椭圆方程为x 24+y 22

=1.

(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立方程{y =kx +m,

x 2+2y 2=4,

得(2k 2+1)x 2+4kmx+2m 2-4=0, 由Δ>0得m 2<4k 2+2,(*) 且x 1+x 2=-4km

2k 2

+1

,因此y 1+y 2=

2m

2k 2+1

,

所以D (-2km

2k 2

+1,m

2k 2+1

),

又N(0,-m),所以|ND|2=(-2km 2k 2+1

)2

+(

m 2k 2+1

+m)2

,

整理得|ND|2=

4m 2(1+3k 2+k 4)

(2k 2+1)2

,

因为|NF|=|m|, 所以

|ND|2|NF|

2=

4(k 4+3k 2+1)(2k 2+1)2

=1+

8k 2+3

(2k 2+1)2.

令t=8k 2+3,t ≥3,故2k 2+1=t+1

4

, 所以

|ND|2|NF|

2=1+

16t

(1+t)

2=1+

16

t+1

t +2

.

令y=t+1t ,所以y'=1-1t

2. 当t ≥3时,y'>0,

从而y=t+1t

在[3,+∞)上单调递增, 因此t+1t

≥103,

等号当且仅当t=3时成立,此时k=0, 所以

|ND|2|NF|2

≤1+3=4,

由(*)得-√2

|NF||ND|≥1

2

.

设∠EDF=2θ, 则sin θ=

|NF||ND|≥1

2

. 所以θ的最小值为π6

,

从而∠EDF 的最小值为π3

,此时直线l 的斜率是0.

综上所述:当k=0,m ∈(-√2,0)∪(0,√2)时,∠EDF 取到最小值π

3

.

13.(2016天津,19,14分)设椭圆x 2a 2+y 2

3=1(a>√3)的右焦点为F,右顶点为A.已知1

|OF|+1

|OA|=3e

|FA|,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程;

(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B(B 不在x 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M,与y 轴交于点H.若BF ⊥HF,且∠MOA ≤∠MAO,求直线l 的斜率的取值范围. 解析 (1)设F(c,0),由

1|OF|+1|OA|=3e |FA|,即1c +1a =3c a(a -c),可得a 2-c 2=3c 2,又a 2-c 2=b 2=3,所以c 2=1,因此a 2=4,所以,椭圆的方程为x 24+y 23

=1. (2)设直线l 的斜率为k(k ≠0),则直线l 的方程为y=k(x-2). 设

B(x B ,y B ),由方程组{x 2

4

+

y 23

=1,

y =k(x -2)

消去y,

整理得(4k 2+3)x 2-16k 2x+16k 2-12=0. 解得x=2或x=8k 2-64k 2+3

,

由题意得x B =

8k 2-6

4k 2

+3

,从而y B =

-12k

4k 2+3

.

由(1)知F(1,0),设H(0,y H ),有FH ????? =(-1,y H ),BF ????? =(9-4k 2

4k 2

+3,

12k

4k 2+3

).

由BF ⊥HF,得BF

????? ·FH ????? =0,所以4k 2-9

4k 2+3+

12ky H

4k 2+3=0,解得y H =

9-4k 2

12k

. 因此直线MH 的方程为y=-1k

x+

9-4k 2

12k

. 设M(x M ,y M ),

由方程组{y =k(x -2),

y =-1k

x +

9-4k

212k

消去y,解得x M =20k 2+9

12(k 2+1). 在△MAO 中,∠MOA ≤∠MAO ?|MA|≤|MO|,即(x M -2)2+y M 2≤x M 2+y M 2

,化简得x M ≥1,即

20k 2+912(k 2

+1)

≥1,解得k ≤-√64

或k ≥√6

4

.

所以,直线l 的斜率的取值范围为(-∞,-

√6

4

]∪[

√6

4

,+∞).

14.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b

2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E 有且只有一个公共点T.

(1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标;

(2)设O 是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E 交于不同的两点A,B,且与直线l 交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值. 解析 (1)由题意得,a=√2b,则椭圆E 的方程为

x 22b

2+y 2b

2=1.

由方程组{x 2

2b 2+

y 2

b 2

=1,

y =-x +3,

得3x 2-12x+(18-2b 2)=0.① 方程①的判别式为Δ=24(b 2-3),由Δ=0,得b 2=3,

此时方程①的解为x=2,所以椭圆E 的方程为x 26+y 23

=1. 点T 的坐标为(2,1).

(2)由已知可设直线l'的方程为y=1

2

x+m(m ≠0),

由方程组{y =12x +m,y =-x +3,可得{x =2-2m 3,y =1+2m 3

.

所以P 点坐标为(2-

2m 3,1+2m 3),|PT|2=8

9

m 2. 设点A,B 的坐标分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).

由方程组{x 2

6

+

y 2

3=1,y =

1

2

x +m,可得3x 2+4mx+(4m 2-12)=0.②

方程②的判别式为Δ=16(9-2m 2), 由Δ>0,解得-3√22

2

. 由②得x 1+x 2=-4m 3,x 1x 2=4m 2-123.所以|PA|=√(2-2m

3

-x 1)2+(1+

2m 3-y 1)2=√52|2-2m

3

-x 1|, 同理|PB|=

√5

2

|2-

2m

3-x 2|. 所以|PA|·|PB|=54

|(2-2m 3-x 1)(2-2m

3

-x 2)| =54

|(2-2m 3)2-(2-2m

3

)(x 1+x 2)+x 1x 2|

=5

4|(2-2m 3)2-(2-2m 3)(-4m 3)+4m 2-123|=109

m 2. 故存在常数λ=4

5

,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.

15.(2015北京,19,14分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b

2=1(a>b>0)的离心率为√2

2

,点P(0,1)和点A(m,n)(m ≠0)都在椭圆C 上,直线PA 交x 轴于点M.

(1)求椭圆C 的方程,并求点M 的坐标(用m,n 表示);

(2)设O 为原点,点B 与点A 关于x 轴对称,直线PB 交x 轴于点N.问:y 轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,说明理由.

解析 (1)由题意得{b =1,

c a

=

√2

2

,

a 2=

b 2+

c 2,

解得a 2=2.

故椭圆C 的方程为x 22

+y 2=1. 设M(x M ,0).

因为m ≠0,所以-1

m 1-n

,即M (

m

1-n

,0). (2)存在.因为点B 与点A 关于x 轴对称,所以B(m,-n). 设N(x N ,0),则x N =

m 1+n

.

“存在点Q(0,y Q)使得∠OQM=∠ONQ”等价于“存在点Q(0,y Q)使得|OM|

|OQ|=|OQ|

|ON|

”,即y Q满足y Q2=|x M||x N|.

因为x M=m

1-n ,x N=m

1+n

,m

2

2

+n2=1,

所以y Q2=|x M||x N|=m2

1-n2

=2.

所以y Q=√2或y Q=-√2.

故在y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ.点Q的坐标为(0,√2)或(0,-√2).

16.(2014湖南,21,13分)如图,O为坐标原点,椭圆C1:x 2

a2+y

2

b2

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为e1;双曲线C2:x2a2-y2

b2

=1的左、

右焦点分别为F3、F4,离心率为e2,已知e1e2=√3

2

,且|F2F4|=√3-1.

(1)求C1,C2的方程;

(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.

解析(1)因为e1e2=√3

2,所以

√a2-b2

a

·

√a2+b2

a

=√3

2

,即a4-b4=3

4

a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),F4(√3b,0),于是√3b-b=|F2F4|=√3-1,所以b=1,所

以a2=2.

故C1,C2的方程分别为x2

2+y2=1,x

2

2

-y2=1.

(2)因为AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1.

由{x=my-1,

x2

2

+y2=1

得(m2+2)y2-2my-1=0,

易知此方程的判别式大于0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=2m

m2+2,y1y2=-1

m2+2

.

因此x1+x2=m(y1+y2)-2=-4

m2+2,于是AB的中点M的坐标为(-2

m2+2

,m

m2+2

).故直线PQ的斜率为-m

2

,则PQ的方程为y=-m

2

x,即

mx+2y=0.

由{y=-m

2

x,

x2

2

-y2=1

得(2-m2)x2=4,所以2-m2>0,且x2=4

2-m2

,y2=m

2

2-m2

,从而|PQ|=2√x2+y2=2√m

2+4

2-m2

.

设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=1122

√2

,

因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,

从而2d=212

√2

.

又因为|y1-y2|=√(y1+y2)2-4y1y2=2√2√1+m2

m2+2

,

所以2d=

2√2 √1+m 2

2.故四边形APBQ 的面积 S=12

|PQ|·2d=

√2√1+m 2

√2

=2√2 √-1+3

2-m 2

.

而0<2-m 2<2,故当m=0时,S 取得最小值2. 综上所述,四边形APBQ 面积的最小值为2.

17.(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B,交x 轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A 的横坐标为3时,△ADF 为正三角形. (1)求C 的方程;

(2)若直线l 1∥l,且l 1和C 有且只有一个公共点E,

(i)证明直线AE 过定点,并求出定点坐标;

(ii)△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.

解析 (1)由题意知F (p 2

,0). 设D(t,0)(t>0),则FD 的中点为(p+2t

4

,0). 因为|FA|=|FD|,

由抛物线的定义知3+p 2

=|t -p 2

|, 解得t=3+p(t=-3舍去). 由

p+2t

4

=3,解得p=2.

所以抛物线C 的方程为y 2=4x. (2)(i)由(1)知F(1,0),

设A(x 0,y 0)(x 0y 0≠0),D(x D ,0)(x D >0), 因为|FA|=|FD|,则|x D -1|=x 0+1, 由x D >0得x D =x 0+2,故D(x 0+2,0). 故直线AB 的斜率k AB =-y

02.

因为直线l 1和直线AB 平行, 设直线l 1的方程为y=-y

02x+b,

代入抛物线方程得y 2+8y 0y-8b y 0

=0, 由题意得Δ=64y 02+

32b

y 0

=0,得b=-2y 0

.

设E(x E ,y E ),则y E =-4y 0

,x E =4y 0

2,

当y 02

≠4时,k AE =y E -y 0

x E -x 0=-4

y 0+y 04y 0

2-y 024=4y 0y 02-4

,可得直线

AE 的方程为y-y 0=

4y 0

y 02-4

(x-x 0),

由y 02

=4x 0,

整理可得y=

4y 0

y 02-4

(x-1),

直线AE 恒过点F(1,0).

当y 02=4时,直线AE 的方程为x=1,过点F(1,0),

所以直线AE 过定点F(1,0).

(ii)由(i)知直线AE 过焦点F(1,0), 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x 0+1)+(1x 0

+1)=x 0+1x 0

+2.

设直线AE 的方程为x=my+1, 因为点A(x 0,y 0)在直线AE 上, 故m=

x 0-1

y 0

, 设B(x 1,y 1),

直线AB 的方程为y-y 0=-y

02(x-x 0),

由于y 0≠0, 可得x=-2y 0

y+2+x 0,

代入抛物线方程得y 2+8y 0

y-8-4x 0=0. 所以y 0+y 1=-8y 0

,

可求得y 1=-y 0-8y 0,x 1=4x 0

+x 0+4, 所以点B 到直线AE 的距离为

d=|

4x 0+x 0+4+m (y 0+8

y 0

)-1|2

=

0x =4(√x 0√x ). 则△ABE 的面积S=12

×4(√x 0√x )(x 0+

1x 0

+2)≥16,

当且仅当1x 0

=x 0,即x 0=1时等号成立. 所以△ABE 的面积的最小值为16.

18.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b

2=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆C 的标准方程;

(2)设F 为椭圆C 的左焦点,T 为直线x=-3上任意一点,过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P,Q. (i)证明:OT 平分线段PQ(其中O 为坐标原点); (ii)当

|TF|

|PQ|

最小时,求点T 的坐标.

解析 (1)由已知可得{√a 2+b 2=2b,

2c =2√a 2-b 2=4,

解得a 2=6,b 2=2,

所以椭圆C 的标准方程是x 26+y 22

=1.

(2)(i)证明:由(1)可得,F 的坐标是(-2,0),设T 点的坐标为(-3,m). 则直线TF 的斜率k TF =

m -0

-3-(-2)

=-m. 当m ≠0时,直线PQ 的斜率k PQ =1m

,直线PQ 的方程是x=my-2.

当m=0时,直线PQ 的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式. 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立,得{x =my -2,x 2

6

+

y 22

=1.

消去x,得(m 2+3)y 2-4my-2=0, 其判别式Δ=16m 2+8(m 2+3)>0. 所以y 1+y 2=

4m m 2+3,y 1y 2=-2

m 2+3

, x 1+x 2=m(y 1+y 2)-4=

-12

m 2+3

. 所以PQ 的中点M 的坐标为(

-6m 2+3,2m

m 2+3

). 所以直线OM 的斜率k OM =-m 3

,

又直线OT 的斜率k OT =-m

3

,所以点M 在直线OT 上, 因此OT 平分线段PQ. (ii)由(i)可得, |TF|=√m 2+1,

|PQ|=√(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2 =√(m 2+1)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2] =√(m 2+1)[(4m m 2+3)2-4·-2m 2+3]=√24(m 2+1)

m 2+3

. 所以

|TF||PQ|=√124·(m 2+3)2m 2+1=√1

24

·(m 2+1+

4m 2+1

+4)≥√

124×(4+4)=√3

3

. 当且仅当m 2+1=4

m 2+1

,即

m=±1时,等号成立,此时

|TF|

|PQ|

取得最小值. 所以当

|TF|

|PQ|

最小时,T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1). 19.(2013山东,22,13分)椭圆C:x 2a 2+y 2b

2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,离心率为√3

2

,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的

线段长为1.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2.若k ≠0,试证明

1kk 1+1

kk 2

为定值,并求出这个定值. 解析 (1)由于c 2=a 2-b 2, 将x=-c 代入椭圆方程x 2a 2+y 2b

2=1, 得y=±b 2a

,

由题意知2b 2

a

=1,

即a=2b 2. 又e=c a =√32

, 所以a=2,b=1.

所以椭圆C 的方程为x 24

+y 2=1.

(2)解法一:设P(x 0,y 0)(y 0≠0). 又F 1(-√3,0),F 2(√3,0),

所以直线PF 1,PF 2的方程分别为 l PF 1:y 0x-(x 0+√3)y+√3y 0=0, l PF 2:y 0x-(x 0-√3)y-√3y 0=0. 由题意知

0√3y 0√y 0

+(x 0+√3)=

0√3y 0√y 0

+(x 0-√3).由于点P 在椭圆上,

所以x 024

+y 02=1.

所以

√3|

√(

√3

2x 0

+2)2

=

√3|

√(

√3

2x 0

-2)2

.因为-√3

√3

2x 0+2=

√3-m

2-√3

2x 0

.所以m=34

x 0. 因此-32

. 解法二:设P(x 0,y 0). 当0≤x 0<2时,

①当x 0=√3时,直线PF 2的斜率不存在, 易知P (√3,12

)或P (√3,-12

).

若P (√3,12),则直线PF 1的方程为x-4√3y+√3=0. 由题意得

|m+√3|

7

=√3-m, 因为-√3

3√3

4. 若P (√3,-12

),同理可得m=

3√3

4

. ②当x 0≠√3时,设直线PF 1,PF 2的方程分别为y=k 1(x+√3),y=k 2(x-√3). 由题意知

1√3k 1√1+k 1=

2√3k 2√1+k 2

,所以

(m+√3)

2

(m -√3)2

=

1+1

k

121+1k 2

2. 因为x 02

4

+y 02

=1,

并且k 1=0

x +3

,k 2=

x -3

,所以(m+√3)2(m -√3)2=0√3)2

24(x -√3)2+4-x 2

=

02√3x 03x 2-8√3x +16=(√3x 0+4)2(√3x -4)

2,

即|m+√3

m-√3|=√3x0+4

√3x-4

.

因为-√3

所以√3+m

√3-m =√3x0 4-√3x

.

整理得m=3x0

4,故0≤m<3

2

且m≠3√3

4

.

综合①②可得0≤m<3

2

.

当-2

2

综上所述,m的取值范围是(-3

2,3 2 ).

(3)设P(x0,y0)(y0≠0),则直线l的方程为y-y0=k(x-x0).

联立得{x2

4

+y2=1,

y-y0=k(x-x0),

整理得(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(y02-2kx0y0+k2x02-1)=0.由题意知Δ=0,

即(4-x02)k2+2x0y0k+1-y02=0.

又x02

4

+y02=1,

所以16y02k2+8x0y0k+x02=0,

故k=-x0

4y0

.

由(2)知1

k1+1

k2

=x0+√3

y0

+x0-√3

y0

=2x0

y0

,

所以1

kk1+1

kk2

=1

k

(1

k1

+1

k2

)=(-4y0

x0

)·2x0

y0

=-8,

因此1

kk1+1

kk2

为定值,这个定值为-8.

20.(2013陕西,20,13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;

(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.

解析(1)如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,知|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,

∴|O1M|=√x2+42,

又|O1A|=√(x-4)2+y2,∴√(x-4)2+y2=√x2+42,

化简得y2=8x(x≠0).

又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.

(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),

将y=kx+b 代入y 2=8x 中, 得k 2x 2+(2bk-8)x+b 2=0. 其中Δ=-32kb+64>0. 由根与系数的关系得,x 1+x 2=8-2bk k 2

,①

x 1x 2=b 2

k 2,②

因为x 轴平分∠PBQ, 所以

y 1x 1+1

=-

y 2x 2+1

,

即y 1(x 2+1)+y 2(x 1+1)=0, (kx 1+b)(x 2+1)+(kx 2+b)(x 1+1)=0, 2kx 1x 2+(b+k)(x 1+x 2)+2b=0,③

将①②代入③得2kb 2+(k+b)(8-2bk)+2k 2b=0, ∴k=-b,此时Δ>0,∴直线l 的方程为y=k(x-1),

即直线l 过定点(1,0).

21.(2013课标全国Ⅰ,20,12分)已知圆M:(x+1)2+y 2=1,圆N:(x-1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程;

(2)l 是与圆P,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.

解析 由已知得圆M 的圆心为M(-1,0),半径r 1=1;圆N 的圆心为N(1,0),半径r 2=3.设圆P 的圆心为P(x,y),半径为R. (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以|PM|+|PN|=(R+r 1)+(r 2-R)=r 1+r 2=4.

由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为√3的椭圆(左顶点除外),其方程为x 24+y 23

=1(x ≠-2). (2)对于曲线C 上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y 2=4.

若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得|AB|=2√3.

若l 的倾斜角不为90°,由r 1≠R 知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q, 则

|QP||QM|=R

r 1

,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l 与圆M 相切得

√1+k =1,解得k=±√2

4

.

当k=√2

4时,将y=√2

4x+√2代入x 24+y 2

3=1,并整理得7x 2+8x-8=0,

解得x 1,2=

-4±6√2

7

. 所以|AB|=√1+k 2|x 2-x 1|=187

.

当k=-√2

4

时,由图形的对称性可知|AB|=187

.

综上,|AB|=2√3或|AB|=187

.

22.(2013广东,20,14分)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为3√2

2

.设P 为直线l 上的点,过点P 作

抛物线C 的两条切线PA,PB,其中A,B 为切点. (1)求抛物线C 的方程;

(2)当点P(x 0,y 0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3)当点P 在直线l 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.

解析 (1)依题意,设抛物线C 的方程为x 2=4cy,由题意知√2

=3√2

2,c>0,解得c=1.

所以抛物线C 的方程为x 2=4y. (2)抛物线C 的方程为x 2=4y,即y=14

x 2, 求导得y'=12

x.

设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(其中y 1=

x 124,y 2=

x 2

24

),则切线PA,PB 的斜率分别为12x 1,12

x 2,

所以切线PA 的方程为y-y 1=x 12

(x-x 1),即y=x 12

x-x 122

+y 1, 即x 1x-2y-2y 1=0.

同理可得切线PB 的方程为x 2x-2y-2y 2=0.

因为切线PA,PB 均过点P(x 0,y 0),所以x 1x 0-2y 0-2y 1=0,x 2x 0-2y 0-2y 2=0,

所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程x 0x-2y 0-2y=0的两组解.所以直线AB 的方程为x 0x-2y-2y 0=0. (3)由抛物线定义可知|AF|=y 1+1,|BF|=y 2+1, 所以|AF|·|BF|=(y 1+1)(y 2+1)=y 1y 2+(y 1+y 2)+1,

联立方程{x 0x -2y -2y 0=0,x 2=4y,

消去x 整理得y 2+(2y 0-x 02)y+y 02

=0.

由一元二次方程根与系数的关系可得y 1+y 2=x 02-2y 0,y 1y 2=y 02

, 所以|AF|·|BF|=y 1y 2+(y 1+y 2)+1=y 02+x 02-2y 0+1.

又点P(x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=y 0+2,

所以y 02+x 02-2y 0+1=2y 02+2y 0+5=2(y 0+12)2+9

2

.

所以当y 0=-12时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为92

.

23.(2013湖北,21,13分)如图,已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1,C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=m

n

,△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2. (1)当直线l 与y 轴重合时,若S 1=λS 2,求λ的值;

(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2?并说明理由.

解析 依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1:x 2a 2+

y 2m 2=1,C 2

:x 2a 2+y 2

n 2

=1.其中a>m>n>0,λ=m n

>1.

(1)解法一:如图1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为x=0,则S 1=1

2

|BD|·|OM|=12

a|BD|, S 2=12

|AB|·|ON|=12

a|AB|, 所以S 1S 2=

|BD|

|AB|.

在C 1和C 2的方程中分别令x=0,可得y A =m,y B =n,y D =-m, 于是

|BD||AB|=|y B -y D ||y A -y B |=m+n m -n =λ+1

λ-1

. 若S 1S 2

=λ,则λ+1

λ-1

=λ,化简得λ2-2λ-1=0.

由λ>1,可解得λ=√2+1.

故当直线l 与y 轴重合时,若S 1=λS 2,则λ=√2+1. 解法二:如图1,若直线l 与y 轴重合,则

|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n; S 1=12

|BD|·|OM|=12

a|BD|,S 2=12

|AB|·|ON|=

1

2

a|AB|. 所以S 1S 2=

|BD||AB|=m+n m -n =λ+1

λ-1

.

若S 1S 2

=λ,则

λ+1

λ-1

=λ,化简得λ2-2λ-1=0.

由λ>1,可解得λ=√2+1.

故当直线l 与y 轴重合时,若S 1=λS 2,则λ=√2+1.

(2)解法一:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2.

根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),点M(-a,0),N(a,0)到直线l 的距离分别为d 1,d 2,则 d 1=|-ak -0|

√1+k =ak

√1+k ,d 2=

1+k =

1+k ,所以d 1=d 2.

又S 1=12

|BD|d 1,S 2=12

|AB|d 2, 所以S 1S 2=

|BD|

|AB|=λ

,

即|BD|=λ|AB|.

由对称性可知|AB|=|CD|, 所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|, |AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|, 于是

|AD||BC|=λ+1

λ-1

.① 将l 的方程分别与C 1,C 2的方程联立,可求得 x A =

√a 2k +m 2

,x B =

√a 2k +n 2

.根据对称性可知x C =-x B ,x D =-x A ,于是

|AD||BC|=√2

√1+k |x B -x C |

=2x A 2x B =m n √a 2k 2+n 2

a 2k 2+m 2.② 从而由①和②式可得 √a

2k 2+n 2

a 2k 2+m 2=λ+1

λ(λ-1)

.③

令t=

λ+1

λ(λ-1)

,则由m>n,可得t ≠1,

圆锥曲线最值问题及练习

圆锥曲线最值问题及练习 中学数学最值问题遍及代数、三角,立体几何及解析几何各科之中,且与生产实际联系密切，最值 问题有两个特点:①覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程,各元素间关系,对称性，四边形面积,解二元二次方程组，基本不等式等)②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法,判别式法,参数法,不等式,函数的性质等)计算量大，能力要求高。 １、回到定义 例１、已知椭圆 22 1259 x y +=,A （4,０）,B （2,２)是椭圆内的两点,P 是椭圆上任一点，求：(1)求5||||4 PA PB +的最小值; (2)求|ＰA|+|PB|的最小值和最大值。 略解：(1)A 为椭圆的右焦点。作PQ ⊥右准线于点Q,则由椭圆的第二定义 ||4 ||5 PA e PQ ==， ∴ 5 ||||||||4 PA PB PQ PB +=+.问题转化为在椭圆上找一点P ,使其到点B 和右准线的距离之和最小,很明显,点P 应是过B 向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174 。 （2)由椭圆的第一定义,设C 为椭圆的左焦点，则|ＰA|＝2a-|P Ｃ｜ ∴｜P A|+|ＰB|=２a-|PC|+｜ＰＢ|=10+(|PB ｜ -|PC|） 根据三角形中，两边之差小于第三边,当P 运动到与B 、C 成一条直线时,便可取得最大和最小值。即-|BC|≤|ＰB| -|PC|≤｜BC|.当P 到Ｐ"位置时，|PB| －｜PC|=|BC|,｜P A|＋|PB|有最大值,最大值为１0＋|BC| ＝ 10+当P 到P"位置时,|PB| -|PC|=－|B Ｃ|,|P Ａ|＋|PB ｜有最小值，最小值为10-|BC| ＝10- 回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。(2)中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释:从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点,而光线所经过的路程总是最短的。 ２、利用闭区间上二次函数最值的求法 例2、在抛物线2 4x y =上求一点，使它到直线y=4x －5的距离最短。 解:设抛物线上的点)4,(2 t t P ，点P 到直线4x-y －5＝0的距离17 4)21(4175442 2 +-=+-=t t t d

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，

高中数学：圆锥曲线中的最值问题

高中数学：圆锥曲线中的最值问题 在圆锥曲线中常遇到面积最大最小问题，距离的最长最短问题，不定量的最大最小问题等等，应从函数、方程、三角、几何、导数等多个角度思考问题。下面举例说明。 一、利用圆锥曲线的对称性求最值 例1. 设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，则△F1AB的面积最大为（） A. B. C. D. 解析：抓住△F1AB中为定值，以及椭圆是中心对称图形。如图1，由椭圆对称性知道O为AB的中点，则△F1OB的面积为△F1AB面积的一半。又，△F1OB边OF1上的高为，而的最大值是b，所以△F1OB的面积最大值为。所以△F1AB的面积最大值为cb。

图1 二、利用圆锥曲线的参数方程求最值 例2. 已知点P是椭圆上到直线的距离最小的点，则点P的坐标是（） A. B. C. D. 解析：化椭圆，利用三角函数的方法将最值转化为角变量来确定。将化成参数方程，设，则 ， 其中，

当时，。 此时可以取得，从而可得到。故选A。 三、利用重要不等式求最值 例3. 已知圆C过坐标原点，则圆 心C到直线l：距离的最小值等于（） A. B. 2 C. D. 解析：抓住定值，利用重要不等式求最值，但是不要忽视等号成立的条件。圆C过原点，则。圆心C（a，b）到直线l：的距离 所以圆心到直线l距离的最小值为。 四、利用圆锥曲线的定义求最值

例4. 已知双曲线的左右焦点分别为F 1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（） A. B. C. 2 D. 解析：“点P在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系成立的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围。由双曲线的第一定义，得 又， 所以， 从而 由双曲线的第二定义可得， 所以。又， 从而。故选B。

高考数学(精讲+精练+精析)专题10_4 圆锥曲线的综合应用试题 文(含解析)

专题10.4 圆锥曲线的综合应用试题 文 【三年高考】 1. 【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为 '2222 ( ,)y x P x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题： 若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. 单元圆上的“伴随点”还在单位圆上. 若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③ 线分别为2222( ,)0y x f x y x y -=++与 2222 (,)0y x f x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x 其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④，直线 y kx b =+上取点后得其伴随点2222 ( ,)y x x y x y -++消参后轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③. 2．【2016高考山东文数】已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2 . （I ）求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B . (i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>，由()0,M m ，可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 所以 直线PM 的斜率 002m m m k x x -= = ，直线QM 的斜率0023'm m m k x x --==-.此时'3k k =-，所以' k k 为定值3-. (ii)设()()1122,,,A x y B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+.联立 22142 y kx m x y =+???+ =?? ，整理得()222214240k x mkx m +++-=.由20122421m x x k -=+可得()()212 02221m x k x -=+ ，所以() ()2112 02221k m y kx m m k x -=+= ++，同理() ()() ()22222 2 2262,181181m k m x y m k x k x ---= = +++.所以 () ()() ()() ()()2222212 2 2 2 00 22223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----= - = ++++， ()()()()()()()() 2 2 2 2 21 2 2 2 2 622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ，所以2212161116.44AB y y k k k x x k k -+??===+ ?-?? 由00,0m x >>，可知0k >，所以1626k k +≥，等号当且仅

高考圆锥曲线解题技巧和方法综合

圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 ， ，代入方程，然 后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点 及 ，求线段 的中点 P 的轨迹方程。 （2 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 ，为焦点，，。 （1 （2）求 的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

圆锥曲线的综合问题-教案

第三讲圆锥曲线的综合问题 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0 时，直线与双曲线相离． ②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法： 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，用Δ判定，方法同上． ②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2．有关弦的问题 (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点 弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2 |x2－x1|或|P1P2|＝1＋1 k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： |x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2， |y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2. ②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 3．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 F1、F2为椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有

圆锥曲线的定点、定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。 （Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值；

圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: １. 直线方程的形式 （１）直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式： 2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=－１ ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 距离式方程2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程 :|2a = (３)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足 221=-MF MF 则动点Ｍ的轨迹是( ) Ａ、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） （6)、记住焦半径公式:(1） 00 ;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 （6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 １、点差法（中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有

与圆锥曲线有关取值范围与最值问题

与圆锥曲线有关取值围与最值问题 一、利用圆锥曲线定义求最值 . )1,3(,14 5,.122 221的最小值求在双曲线上，为双曲线内一点，点右焦点，的左是双曲线已知AF AP A P y x F F +=- . 19 25)2,2(),0,4(.22 2的最大值和最小值求是椭圆上的动点，内的两个点，是椭圆已知MB MA M y x B A +=+ . )2,3()2(.)2,0()1(. 2.32的最小值，求点和的最小值到抛物线准线的距离之的距离与到点求点为焦点上的一个动点，是抛物线已知PF PA A P P F x y P += .5 3)2,9(1169.42 2值的值最小，并求此最小使，点，在这个双曲线上求一，点的右焦点为已知双曲线MF MA M A F y x +=-

二、单变量最值问题——化为函数最值 .)2(;123),()1(.,,,123)07.(520 200021212 2的面积的最小值求四边形，证明 点的坐标为设，垂足为两点，且的直线交椭圆于过两点，的直线交椭圆于，过的左、右焦点分别为已知椭圆全国ABCD y x y x P P BD AC C A F D B F F F y x <+⊥=+ . 012,,,.62 2 值的面积的最小值与最大，求四边形共线，且与共线，与知轴正半轴上的焦点，已为椭圆在上，四点都在椭圆PMQN MF PF FN MF FQ PF y F y x N M Q P =?=+ .24 3,2tan 12 11. 1)0(1.722 22方程的最小值，并写出椭圆时，求，当）设（的取值范围；，求的夹角为与，向量）若（，且的面积为记△为椭圆上的点，的焦点，为椭圆如图，OQ c c S c OF FQ OF S FQ OF S OFQ Q b a b y a x F ≥==<<=?>>=+θθ

专题圆锥曲线中的最值与范围问题

高三数学专题复习 圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略 最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。 一．求距离的最值或范围： 例1.设AB 为抛物线y=x 2 的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ， 解析：抛物线y=x 2 的焦点为F （0 ， 41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=4 1-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +4 3 ≥ 21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值4 11， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。 练习： 1、(2008海南、宁夏理)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之 和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （ 4 1 ，－1） B. （ 4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 2、（2008安徽文）设椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证：242 2AB COS θ =-; （Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值 解 ：（1）由题意得： 2 22 2222 8 44c a a c b a b c =???=??=??=????=+?∴ ∴椭圆C 的方程为22 184 x y += (2)方法一： 由（1）知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率2 2 e = 设l 为椭圆的左准线。则:4l x =- 作1111,AA l A BB l B ⊥⊥于于，l 与x 轴交于点H(如图) ∵点A 在椭圆上 112 2AF AA =∴ 112 (cos )2 FH AF θ=+ 12 2cos 2AF θ=+ 12cos AF θ =-∴ 同理 12cos BF θ =+

圆锥曲线的综合应用及其求解策略

圆锥曲线的综合应用及其求解策略 有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。 解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。 一、定点、定值问题： 这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。 ★【例题1】（2007年高考〃湖南文科〃19题〃13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的 动直线与双曲线相交于A 、B 两点，又已知点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA 〃CB 为常数；（II ）若动 点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程． ◆解：由条件知(20)F ， ，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可求得点A 、B 的坐标分别为(2 ，(2， ，此时则有 (12)(11CA CB =?=-，． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，则有 2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根， 所以212241k x x k +=-，2122421 k x x k +=-，于是 212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2) CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2 2 2 1212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++22222 22 (1)(42)4(21)4111 k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-． ∴ 综上所述，CA CB 为常数1-． （II ）设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由 CM CA CB CO =++得：121213x x x y y y -=+-??=+?，即1212 2x x x y y y +=+??+=?，于是AB 的中点坐标为222x y +?? ???，．

圆锥曲线的综合问题-教案

第三讲圆锥曲线的综合问题 考点整合 1. 直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 直线与椭圆的位置关系的判定法： 将直线程与椭圆程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次程?若少0,则直线与椭圆相交；若A= 0,则直线与椭圆相切；若A<0,则直线与椭圆相离. (2) 直线与双曲线的位置关系的判定法： 将直线程与双曲线程联立，消去y或x)，得到一个一元程ax2+ bx+ c= 0(或ay2+ by+ c =0) ? ①若a工0，当A>0时，直线与双曲线相交；当A= 0时，直线与双曲线相切；当A<0 时，直线与双曲线相离. ②若a= 0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点. (3) 直线与抛物线的位置关系的判定法： 将直线程与抛物线程联立，消去y(或x)，得到一个一元程ax2+ bx+ c= 0(或ay2+ by+ c =0) ? ①当a z 0时，用△判定，法同上. ②当a= 0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点. 2. 有关弦的问题 (1) 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算. ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P i(x i,y i), P2(x2, y2)，则所得弦长|P i P2|=』1 + k2 |x2- X1或|P1P2= - , 1 +胡2—y1|,其中求|x2- X1|与|y2- y11时通常使用根与系数的关系, 即作如下变形： |x2 —X1 = \/ X1 + X2 2—4X1x2 , ②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式). (2) 弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算. 3. 圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值

圆锥曲线中的最值和范围问题方法

专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直 线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)+∞ D.(2,+∞) 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（ B ） A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( A ) A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双 曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（B ） (A) 4 3 (B) 5 3 (C)2 (D) 73 5．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 32 . 6．设椭圆方程为142 2 =+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP uuu r (21=OA +u u u r )OB u u u r ，点N 的坐标为)21 ,21(，当l 绕点M 旋转时， 求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP uuu r 的最小值与最大值. 【专家解答】（1）法1：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1. 记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组 ?? ? ??=++=141 2 2y x kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx -3=0， 所以??? ???? +=++-=+.48,42221221k y y k k x x 于是).44 ,4()2,2()(212 22121 k k k y y x x ++-=++=+= ① ②

圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题 主讲：秦岭老师 9816秦岭数学18届群：307181356 9816秦岭数学19届群：151219471 9816秦岭数学20届群：481591151 一、知识回顾 1．圆锥曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．即：|MF1|＋|MF2|＝2a>2c＝|F1F2|； （2）平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．即：||MF1|－|MF2||＝2a<2c=|F1F2|； （3）平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．即：|MF|=d . 2. 直线与圆锥曲线的位置关系 将直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c＝0)． (1)当a≠0，考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0?直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0?直线与圆锥曲线相离． (2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点， ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 3．圆锥曲线的弦长 设斜率为k (k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

圆锥曲线的综合应用

圆锥曲线的综合 【复习目标】 1、在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上，把握有关圆锥曲线的知识的内在联系，灵活运用解析几何的常用方法解决问题，培养运用各种知识解决问题的能力； 2、通过问题的解决，理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想。 【教学重点、难点】 1.灵活运用圆锥曲线的几何性质解决问题； 2.理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想，通过问题解决的过程中，提高分析问题、解决问题的能力，同时培养运算能力。 【教学过程】 一、圆锥曲线的几何性质在高考中的地位 圆锥曲线的几何性质是在每年的高考中必考的一个知识点，这一类问题的考查大多数出现在填空题中，属于中低档题，有时也会出现在解答题的第一、第二问中，分值大约在4至8分。 【相关知识链接】 1.椭圆、双曲线第一、第二定义各是什么？ 2.圆锥曲线的标准方程形式反应了其怎样的特点？ 3.椭圆、双曲线中c b a ,,存在什么样的等量关系? 4.性质中的不等关系： 对于圆锥曲线标准方程中变量y x ,的范围、离心率的范围等，在求与圆锥曲线有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值，最小值时，经常用到这些不等关系。 5.求椭圆、双曲线的离心率问题的一般思路： 求椭圆、双曲线的离心率时，一般是依据题设得出一个关于c b a ,,的等式（或不等式），利用c b a ,,之间的等量关系消去b ，即可求得离心率（或离心率的范围）。 题型一 活用圆锥曲线的几何性质 1.若椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（, 以点2F 为圆心，半径为c 画圆，圆2F 交椭圆于点M ，直线1MF 与圆2F 相切，则该椭圆离心率为

圆锥曲线的综合问题(答案版)讲课教案

圆锥曲线的综合问题 【考纲要求】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入 和设而不求的思想． 2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向 量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 【基础梳理】 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时 为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或 变量y )的一元方程． 即?? ?==++0 ),(0y x F c By Ax ,消去y 后得02 =++c bx ax (1)当0≠a 时，设方程02 =++c bx ax 的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切；Δ＜0?直线与圆锥曲线C 无公共点． (2)当0=a ，0≠b 时，即得一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点， 此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线， 则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做 圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB | ＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝]4))[(1(212212x x x x k -++=a k ? ? +2 1=1＋1 k 2·|y 1－y 2|. (抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2 θ ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． 3、一种方法 点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，

圆锥曲线中最值问题

圆锥曲线中的最值问题 一、圆锥曲线定义、性质 1.(文)已知F 是椭圆 x225＋y2 9 ＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( ) A ．6 B ．15 C ．20 D ．12 [答案] D [解析] S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤1 2 |OF |·2b ＝12. 2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 解析：设椭圆 x2a2＋y2 b2 ＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝1 2×2c ×b ＝bc ＝1≤b2＋c22＝a22 .∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D. 3、(文)(2011·山东省临沂市质检)设P 是椭圆 x2 25 ＋ y29 ＝1上一点，M 、N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9,12 B ．8,11 C ．8,12 D ．10,12 解析：由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点，且|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴(|PM |＋|PN |)min ＝10－2＝8，(|PM |＋|PN |)max ＝10＋2＝12，故选C. 点评：∵圆外一点P 到圆上所有点中距离的最大值为|PC |＋r ，最小值为|PC |－r ，其中C 为圆心，r 为半径，故只要连接椭圆上的点P 与两圆心M 、N ，直线PM 、PN 与两圆各交于两点处取得最值，最大值为|PM |＋|PN |＋两圆半径和，最小值为|PM |＋|PN |－两圆半径和． 4、(2010·福州市质检)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A ．5 B ．8 C.17－1 D.5＋2 [答案] C [解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF|，∴|PQ|＋d ＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1. 5 、 已知点F 是双曲线 x2 4 － y212 ＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 解析 如图所示，根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝4，即|PF |－4＝|PF ′|.又|P A |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5， 将|PF |－4＝|PF ′|代入，得|P A |＋|PF |－4≥5，即|P A |＋|PF |≥9，等号当且仅当A ，P ，F ′三点共线， 即P 为图中的点P 0时成立，故|PF |＋|P A |的最小值为9.故填9.答案 9 6、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值 是（ ）

第52讲 圆锥曲线的综合应用-定点、定值问题(讲)(解析版)

第52讲 圆锥曲线的综合应用——定点、定值问题 思维导图 知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程． 例：由????? Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0?直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0?直线与圆锥曲线C 相离． (2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．弦长公式 设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 或|AB |＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 3．定点问题 (1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k )；②利用条件找到k 与过定点的曲线F (x ，y )＝0之间的关系，得到关于k 与x ，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点． (2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 4.定值问题

圆锥曲线的综合问题(含答案)

课题：圆锥曲线的综合问题 【要点回顾】 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量 x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|或 1＋1 k 2|y 1－y 2|. 【热身练习】 1．(教材习题改编)与椭圆 x 212＋y 2 16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－ x 2 3 ＝1 B. y 2 3 －x 2＝1 C.34x 2－38 y 2＝1 D. 34 y 2－ 38 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－ x 2 b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2， c a ＝2， c ＝2， 得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2－ x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的位置关系是( )

A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交． 3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 4．过椭圆x 2a 2＋ y 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交 点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________． 解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐 标为? ?? ??－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2，则c 2a 2＝23，故e ＝6 3. 5．已知双曲线方程是x 2－y 2 2＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2 的中点，则此直线方程是________________． 解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由 x 21－ y 21 2 ＝1，x 22－ y 22 2 ＝1，得k ＝ y 2－y 1x 2－x 1 ＝ 2x 2＋x 1y 2＋y 1 ＝ 2×4 2 ＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝0 【方法指导】 1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用． 2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 【直线与圆锥曲线的位置关系】