圆锥曲线的综合问题
1.若直线mx ＋ny ＝4
和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24
＝1的交点个数为( )
A ．至多一个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
解析：由直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点得4m 2＋n 2>2，m 2＋n 2<4，点(m ，n )表示的区域在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4
＝1的交点个数为2个． 答案：B
2．抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4,4)是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆共有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．4个
解析：由于圆经过焦点F 且与准线l 相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物
线上的点M ，所以圆心在线段FM 的垂直平分线上，即圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此一共有2个满足条件的圆．
答案：C
3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4＝ _.
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立?????
y 2＝2px ，x ＝my －m ，消去x 得y 2－2mpy ＋2pm ＝0， ∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4p 2m 2－8pm .
又焦点????p 2，0在x －my ＋m ＝0上，∴p ＝－2m ，
∴|y 1－y 2|＝4m 4＋m 2，∴S △OAB ＝12×p 2
|y 1－y 2|＝22， －m m 4＋m 2＝2，平方得m 6＋m 4＝2.
答案：2
4.(2009·全国卷Ⅱ)两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝（ ）
A.13
B.23
C.23
D.223
解析：过A 、B 作拋物线准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1，
由拋物线定义可知，|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，
∵2|BF |＝|AF |，
∴|AA 1|＝2|BB 1|，即B 为AC 的中点．
从而y A ＝2y B ，联立方程组?????
y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ?消去x 得： y 2－8k y ＋16＝0，∴????? y A ＋y B ＝8k ，y A ·y B ＝16?????? 3y B ＝8k ，2y 2B ＝16
?消去y B 得k ＝223. 答案：D
5．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于( )
A ．3
B ．4
C ．3 2
D ．4 2
解析：设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，
由?????
y ＝－x 2＋3y ＝x ＋b ?x 2＋x ＋b －3＝0?x 1＋x 2＝－1， 得AB 的中点M (－12，－12
＋b )， 又M (－12，－12
＋b )在直线x ＋y ＝0上可求出b ＝1， ∴x 2＋x －2＝0， 则|AB |＝1＋12(－1)2－4×(－2)＝3 2.
答案： C
6．(2008·全国卷Ⅱ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．
解析：F (1,0)，∴直线AB 的方程为y ＝x －1.
?????
y ＝x －1，y 2＝4x ?x 2－6x ＋1＝0?x ＝3±2 2. ∵|F A |>|FB |，由抛物线定义知A 点的横坐标为3＋22，B 点的横坐标为3－2 2.
|F A ||FB |＝x A ＋1x B ＋1＝4＋224－22＝2＋22－2＝6＋422
＝3＋2 2. 答案：3＋22 题组三 最值与取值范围问题
7．已知对?k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 5＋y m
＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(0,1) B ．(0,5) C ．()()055∞，，+∪ D ．()[155∞∪，），+ 答案：D