圆锥曲线的综合问题
【考纲要求】
1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入 和设而不求的思想．
2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向 量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】
本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 【基础梳理】
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时 为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或 变量y )的一元方程． 即??
?==++0
),(0y x F c By Ax ,消去y 后得02
=++c bx ax
(1)当0≠a 时，设方程02
=++c bx ax 的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C
相交；Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切；Δ＜0?直线与圆锥曲线C 无公共点．
(2)当0=a ，0≠b 时，即得一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点， 此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线， 则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长
(1)定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做 圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |
＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝]4))[(1(212212x x x x k -++=a
k ??
+21=1＋1
k
2·|y 1－y 2|.
(抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p
sin 2
θ
，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． 3、一种方法
点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，
然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数． 4、一条规律
“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”
双基自测
1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4
＝1的位置关系为( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
解：y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，点在椭圆内部，故线与椭圆相交．答案A 2．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )．
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 解析：与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点． 答案 A
3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．
A ．3 2
B ．2 6
C ．27
D ．4 2
解析：根据题意设椭圆方程为x 2
b 2＋4＋y 2
b
2＝1(b ＞0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得
4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2
＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ
＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)·(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2
＝3，
长轴长为2b 2
＋4＝27. 答案 C
4．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )．
A.x 23－y 26＝1
B.x 24－y 25＝1
C.x 26－y 23＝1
D.x 25－y 2
4
＝1
解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2
＝9，设A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2)，则有：???????=-=-112
2222222
12
21b y a x b
y a x ，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2
＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2
＝5，所以双曲线的
标准方程是x 24－y 2
5
＝1. 答案 B
5．y ＝kx ＋2与y 2
＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．
解析:由?
????
y ＝kx ＋2，
y 2
＝8x ，得ky 2
－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64
－64k ＝0，解得k ＝1.故k ＝0或k ＝1.答案 0或1
【考向探究导析】
考向一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】(2011·合肥模拟)设抛物线y 2
＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )． A.]2
1
,21[-
B ．[－2,2]
C ．[－1,1]
D ．[－4,4] [审题视点] 设直线l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得．
解析 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2
＝8x 得k 2x 2
＋4(k 2
－2)x ＋4k
2
＝0，∴当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2
－2)2
－16k 4
≥0，即k 2
≤1，∴－1≤k ≤1，且k ≠0，综上－1≤k ≤1.答案 C
研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成
的方程组解的个数，但对于选择、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解． 【训练1】 若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2
＋y 2
＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆 x 29＋y 2
4
＝1的交点个数是( )．A ．至多为1 B ．2 C ．1 D ．0 解：由题意知：4m 2＋n 2
＞2，即m 2＋n 2
＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求
交点个数是2个．答案 B
考向二 弦长及中点弦问题 【例2】若直线l 与椭圆C ：x 2
3＋y 2
＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32
，
求△AOB 面积的最大值．
[审题视点] 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可．
解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3； (2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知，得
|m |1＋k
2
＝32
，即m 2
＝34
(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2
－3＝0. ∴x 1＋x 2＝－6km 3k ＋1，x 1x 2＝3m 2
－1
3k ＋1
. ∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2
)·????
??36k 2m 23k 2＋12－12m 2－13k 2
＋1＝12k 2＋13k 2＋1－m 23k 2＋12＝3k 2＋19k 2＋13k 2＋12＝3＋12k
2
9k 4＋6k 2
＋1. 当k ≠0时，上式＝3＋129k 2
＋1k
2＋6
≤3＋122×3＋6＝4，当9k 2
＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此
时|AB |＝2；当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.
∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S max ＝12×|AB |max ×32＝3
2
.
当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝1＋k 2
·|x 1
－x 2|＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2，可根据直线方程与圆锥曲线
方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．
【训练2】 椭圆ax 2
＋by 2
＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若 AB ＝22，OC 的斜率为
2
2
，求椭圆的方程． 法一：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程作差a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.
而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k oc ＝22，代入上式可得b ＝2a ，再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝ 2|x 2－x 1|＝22，其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2
－2bx ＋b －1＝0的两根，
故? ??
??2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴椭圆的方程是x 23＋2y 2
3＝1. 法二 由?
??
??
ax 2
＋by 2
＝1，
x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2
－2bx ＋b －1＝0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，
则|AB |＝k 2
＋1
x 1－x 22
＝2·
4b 2
－4a ＋b
b －1
a ＋b
2
.
∵|AB |＝22，∴a ＋b －ab a ＋b ＝1.① ，设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a
a ＋
b ，
∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22.代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23
y 2
＝1.
考向三 圆锥曲线中的定点定值问题
常见的类型
(1)直线恒过定点问题；(2)动圆恒过定点问题；(3)探求定值问题；(4)证明定值问题．
例3、(2011·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x
2
3
＋y 2
＝1.如图所示，斜率为
k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C
于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．
(1)求m 2＋k 2的最小值； (2)若|OG |2
＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点． (1)解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0.
由方程组?????
y ＝kx ＋t ，x 2
3
＋y 2
＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2
－3＝0.
由题意Δ＞0，所以3k 2
＋1＞t 2
.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系
数的关系得x 1＋x 2＝－6kt
3k 2＋1
，
所以y 1＋y 2＝2t 3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t
3k 2＋1，
此时k OE ＝y E x E ＝－13k .所以OE 所在直线方程为y ＝－1
3k x ，又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，
得m ＝1k
，即mk ＝1，所以m 2＋k 2
≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，
此时由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2
取最小值2.
(2)证明 由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－1
3k
x ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，
解得G ? ????－3k 3k 2＋1，13k 2
＋1.又E ? ????－3kt
3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ? ????－3，1k ，由距离公式及t ＞0得 |OG |2
＝?
????－3k 3k 2＋12＋? ????13k 2
＋12＝9k 2
＋13k 2＋1，|OD |＝ 32
＋? ????1k 2＝9k 2
＋1k ， |OE |＝ ? ????－3kt 3k 2＋12＋? ??
??t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ， 因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，所以直线l 恒过定点(－1,0)．
【训练3】椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当|CD |＝3
2
2时，求直线l 的方程．
(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P →·O Q →
为定值． [审题视点] (1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP →·OQ →为定值．证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化．
(1)解:因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
由已知得b ＝1，c ＝1，所以a ＝2，椭圆方程为y 22
＋x 2
＝1.
直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得
(k 2＋2)x 2
＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k ＋2，x 1·x 2＝－1k ＋2，
|CD |＝k 2
＋1·
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝
22
k 2＋1
k ＋2，由已知得
22
k 2＋1
k ＋2
＝3
2
2， 解得k ＝±2，所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1. (2)证明 直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)，
所以P 点坐标为]0,1[k
-
，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，
直线AC 的方程为y ＝
y 1
x 1＋1(x ＋1)，直线BD 的方程为y ＝y 2
x 2－1
(x －1)，
将两直线方程联立，消去y 得x ＋1x －1＝y 2x 1＋1y 1x 2－1，因为－1＜x 1，x 2＜1，所以x ＋1x －1与y 2
y 1
异号．
? ????x ＋1x －12＝y 22x 1＋12y 21x 2－12＝2－2x 222－2x 21
·x 1＋12
x 2－12＝1＋x 1
1＋x 21－x 11－x 2＝1＋－2k k 2＋2＋－1k 2＋21－－2k k 2＋2＋－1k 2
＋2＝? ??
??k －1k ＋12.又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝21－k
1＋k k 2＋2＝－21＋k 2
k 2
＋2·k －1k ＋1， ∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号，∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1
，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)．O P →·O Q →＝? ??
??－1k ，0·()－k ，y 0＝1.故O P →·O Q →
为定值．
[训练4](2012年高考福建卷)如图，椭圆E ：x 2
a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，
离心率e ＝1
2
.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为
8.
(1)求椭圆E 的方程； (2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
[解析] (1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8.
又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2.又因为e ＝12，即c a ＝1
2，所以c ＝1，
所以b ＝a 2
－c 2
＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由????
?y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23
＝1，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2
－12＝0.
因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0， 即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)所以P (－4k m ，3
m
)．
由?
????x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4，4k ＋m ) 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 设M (x 1，0)，则0MP MQ ?=对满足(*)式的m ，k 恒成立．
因为MP =(－4k m －x 1，3
m
)，MQ =(4－x 1，4k ＋m )，由0MP MQ ?=，得
－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m ＋3＝0，整理，得(4x 1－4)k m
＋x 21－4x 1＋3＝0. (* *)
由于(* *)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以?
????4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.
故存在定点M (1，0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .
【训练5】已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值正确的是( )
A ．等于1
B ．最小值是1
C ．等于4
D ．最大值是4
解析：设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.
设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由抛物线定义AF ＝x 1＋1，DF ＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2， 故|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 22
4＝
（y 1y 2）2
16
，而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1.故选
A.
考向四 最值与范围问题
1．求参数范围的方法：据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． 2．求最值问题的方法
(1)几何法：题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决；
(2)代数法：题目中给出的条件和结论几何特征不明显则可以建立目标函数，再求这个函数 的最值，求最值的常见方法是判别式法、基本不等式法，单调性法等．
例4、已知椭圆x 2
2
＋y 2
＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点． (1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程； (2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点， 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标
的取值范围．
[审题视点] (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程； (2)设直线AB 的点斜式方程，由已知得线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．
解 (1)∵22=a ，12
=b ，∴1=c ，F (－1,0)，∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12
上．
设M ),21(t -
，则圆半径r ＝23
)2()21(=---，由|OM |＝r ，得2
3)21(22=+-t ，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为4
9)2()21(2
2=±++y x
(2)设直线AB 方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 2
2
＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2
－2＝0.
∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴，∴方程有两个不等实根．
如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝1
2
(x 1＋x 2)
＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k 2k 2＋1，∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1
k
(x －x 0)．
令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋1
4k 2＋2
，
∵k ≠0，∴－1
2＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为)0,21(-
【训练6】已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2
＝2py (p ＞0)相交于B 、C 两点．当 直线l 的斜率是12
时，AC →＝4AB →
.
(1)求抛物线G 的方程；
(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．
解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 斜率是12时,l 方程为y ＝1
2
(x ＋4)，即x ＝2y －4.
由?
??
??
x 2
＝2py ，
x ＝2y －4得2y 2
－(8＋p )y ＋8＝0，∴??
???+=+=②①
28421
21p
y y y y 又∵AC →＝4AB →
，∴y 2＝4y 1③,由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，得抛物线G 方程为x 2
＝4y .
(2)设l :y ＝k (x ＋4)，BC 中点为(x 0，y 0)，由?
??
??
x 2
＝4y ，
y ＝k x ＋4得x 2
－4kx －16k ＝0，④
∴x 0＝
x C ＋x B
2
＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 中垂线为y －2k 2
－4k ＝－1k
(x －2k )，
∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2
， 对于方程④，由Δ＝16k 2
＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4.∴b ∈(2，＋∞)．
[训练7]已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为( )
A ．(－23，0)
B ．(0，23)
C ．(－32，0)
D ．(0，32)
解析：设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b .将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x 2＋(2b －2p )x ＋b 2＝0，则x 1＋x 2＝2p －2b ，
y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p )．因为点P 在直线x ＋y ＝1
上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p )2
－4b 2
＝4p 2
－8bp >0，
将b ＝2p －1代入得4p 2－8p (2p －1)>0，即3p 2
－2p <0，解得0
.
考向五 探索性问题
【问题研究】 解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或是计算对结论作出明确的肯定或是否定，因此解决起来具有较大的难度．
【解决方案】 明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．
[例5】已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；
(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有 FA →·FB →
＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)设P (x ，y )是C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：x －1
2
＋y 2
－x ＝1(x ＞0)．
化简得y 2
＝4x (x ＞0)．
(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由?????
x ＝ty ＋m ，
y 2
＝4x ，得y 2
－4ty －4m ＝0，
Δ＝16(t 2
＋m )＞0，于是???
??
y 1＋y 2＝4t ，
y 1y 2＝－4m .
①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →
＝(x 2－1，y 2)．
FA →·FB →
＜0?(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.②
又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 22
4＋y 1y 2－? ??
??y 214＋y 224＋1＜0?
y 1y 22
16＋y 1y 2－14
[(y 1＋y 2)
2
－2y 1y 2]＋1＜0，③，由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2
，④
对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2
－6m ＋1＜0， 即3－22＜m ＜3＋22，由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点
A ，
B 的任一直线，都有FA →·FB →
＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．
【训练8】(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)
的离心率e ＝
2
3
，且椭圆C 上的点到点Q (0，2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程； (2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2
.
设椭圆上的点到点Q (0，2)的距离为d ，则d ＝（x －0）2
＋（y －2）2
＝x 2
＋（y －2）2
＝3b 2－3y 2＋（y －2）2＝－2（y ＋1）2＋3b 2
＋6，∴当y ＝－1时，d 取得最大值，
d max ＝3b 2＋6＝3，解得b 2＝1，∴a 2
＝3.∴椭圆C 的方程为x 2
3
＋y 2＝1.
(2)假设存在点M (m ，n )满足题意，则m 2
3
＋n 2＝1，即m 2＝3－3n 2
.
设圆心到直线l 的距离为d ′，则d ′<1，d ′＝|m ·0＋n ·0－1|m 2＋n 2＝1
m 2＋n 2.
∴|AB |＝212
－d ′2
＝21－
1m 2
＋n 2.∴S △OAB ＝12|AB |d ′＝1
2
·21－
1m 2
＋n 2·
1
m 2＋n 2
＝
1m 2
＋n 2（1－1m 2＋n 2）.∵d ′<1，∴m 2＋n 2
>1，∴0<1m 2＋n 2<1，∴1－1m 2
＋n 2
>0. ∴S △OAB ＝
1m 2＋n 2（1－1
m 2
＋n 2
）≤ ? ??
???1m 2＋n 2＋1－1m 2＋n 222＝1
2
， 当且仅当1m 2＋n 2＝1－1m 2＋n 2，即m 2＋n 2
＝2>1时，S △OAB 取得最大值12.由?
????m 2
＋n 2
＝2，m 2＝3－3n 2得????
?m 2＝3
2
，
n 2
＝12，
∴存在点M 满足题意，M 点坐标为(62，22)，(62，－22)，(－62，22)或(－62，－22
)， 此时△OAB 的面积为1
2
.
圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 一、选择题 1. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的4 1 ，则该椭圆的离心率为 （A ）31 （B ）21（C ）32（D ）4 3 2. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ） 12 （B ）1 （C ）3 2 （D ）2 3.双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2C 的 焦距等于( ) A. 2 B. 4.已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2，离心率为3，过F 2的直线l 交C 与A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( ) A. 22132x y += B. 22 13x y += C. 221128x y += D. 221124 x y += 5. 已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲 线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A.120522=- y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.125 310032 2=-y x 6.已知F 为抛物线2 y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ?=（其中O 为坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C D 7.抛物线2 4 1x y = 的准线方程是（ ） (A) 1-=y (B) 2-=y (C) 1-=x (D) 2-=x
一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄，则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 （C ） I （D ） 2. 设F 为抛物线 c ： y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= （ k>0）与C 交于点P , PF 丄x 轴，则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C ： T a 2 y_ 1(a 0,b 0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 '、3，贝U C 的 焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C ： 0）的左右焦点为 F i ,F 2，离心率为 丄3，过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3，则 C 的方程为（） 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0）的一条渐近线平行于直线 I ： y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为（ 也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， c 3x 2 1 C.— 25 占 八、、 的焦点， uu uuu OA OB A 、2 （其中O 为坐标原点），则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（ ） x 1 (D)
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，
圆锥曲线与方程单元测试（高二高三均适用） 一、选择题 1．方程x = （ ） （A ）双曲线 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一部分 （D ）椭圆的一部分 2．椭圆14222=+a y x 与双曲线122 2=-y a x 有相同的焦点，则a 的值是 （ ） （A ）12 （B ）1或–2 （C ）1或12 （D ）1 3.双曲线22 221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ） 2 3 4、已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5、过抛物线x y 42 =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ） A 、有且仅有一条 B 、有且仅有两条 C 、有无穷多条 D 、不存在 6、一个椭圆中心在原点，焦点12F F 、在x 轴上，P （2）是椭圆上一点，且1122|||||| PF F F PF 、、成等差数列，则椭圆方程为 （ ） A 、22186x y += B 、221166x y += C 、22184x y += D 、22 1164 x y += 7．设0＜k ＜a 2, 那么双曲线x 2a 2–k – y 2b 2 + k = 1与双曲线 x 2a 2 – y 2 b 2 = 1有 （ ） （A ）相同的虚轴 （B ）相同的实轴 （C ）相同的渐近线 （D ）相同的焦点 8．若抛物线y 2= 2p x (p ＞0)上一点P 到准线及对称轴的距离分别为10和6, 则p 的值等于 （ ） （A ）2或18 （B ）4或18 （C ）2或16 （D ）4或16 9、设12F F 、是双曲线2 214 x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且120PF PF ?=u u u r u u u u r ，则12||||PF PF ?u u u r u u u u r 的 值等于 （ ） A 、2 B 、 C 、4 D 、8 10.若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22 =的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为 （ ）
圆锥曲线的综合问题 【考纲要求】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入 和设而不求的思想． 2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向 量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 【基础梳理】 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时 为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或 变量y )的一元方程． 即?? ?==++0 ),(0y x F c By Ax ,消去y 后得02 =++c bx ax (1)当0≠a 时，设方程02 =++c bx ax 的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切；Δ＜0?直线与圆锥曲线C 无公共点． (2)当0=a ，0≠b 时，即得一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点， 此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线， 则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做 圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB | ＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝]4))[(1(212212x x x x k -++=a k ? ? +2 1=1＋1 k 2·|y 1－y 2|. (抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2 θ ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． 3、一种方法 点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，
专题10.4 圆锥曲线的综合应用试题 文 【三年高考】 1. 【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为 '2222 ( ,)y x P x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题： 若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A. 单元圆上的“伴随点”还在单位圆上. 若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 【答案】②③ 线分别为2222( ,)0y x f x y x y -=++与 2222 (,)0y x f x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x 其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故③正确；对于④，直线 y kx b =+上取点后得其伴随点2222 ( ,)y x x y x y -++消参后轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③. 2．【2016高考山东文数】已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2 . （I ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B . (i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>，由()0,M m ，可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 所以 直线PM 的斜率 002m m m k x x -= = ，直线QM 的斜率0023'm m m k x x --==-.此时'3k k =-，所以' k k 为定值3-. (ii)设()()1122,,,A x y B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+.联立 22142 y kx m x y =+???+ =?? ，整理得()222214240k x mkx m +++-=.由20122421m x x k -=+可得()()212 02221m x k x -=+ ，所以() ()2112 02221k m y kx m m k x -=+= ++，同理() ()() ()22222 2 2262,181181m k m x y m k x k x ---= = +++.所以 () ()() ()() ()()2222212 2 2 2 00 22223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----= - = ++++， ()()()()()()()() 2 2 2 2 21 2 2 2 2 622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ，所以2212161116.44AB y y k k k x x k k -+??===+ ?-?? 由00,0m x >>，可知0k >，所以1626k k +≥，等号当且仅
圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 ， ，代入方程，然 后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点 及 ，求线段 的中点 P 的轨迹方程。 （2 构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 ，为焦点，，。 （1 （2）求 的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
（北师大版）高二数学《圆锥曲线》基础测试试题 一、选择题 1.已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2. 椭圆32x 2+16 y 2 =1的焦距等于（ ）。 A ．4 B 。8 C 。16 D 。123 3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ） A ． 116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 4．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 5．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 6．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ） A ．25 B ．5 C ．2 15 D ．10 7. 抛物线y 2=8x 的准线方程是（ ）。 （A ）x =－2 （B ）x =2 （C ）x =－4 （D ）y =－2 8．已知抛物线的焦点是F (0，4)，则此抛物线的标准方程是( ) （A ）x 2＝16y （B ）x 2＝8y （C ）y 2＝16x （D ）y 2＝8x 9.经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ） （A ）y 2＝4x （B ）x 2＝ 21y (C ) y 2＝4x 或x 2＝2 1 y (D ) y 2＝4x 或x 2＝4y 10．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-±
第三讲圆锥曲线的综合问题 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0 时，直线与双曲线相离． ②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法： 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，用Δ判定，方法同上． ②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2．有关弦的问题 (1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点 弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2 |x2－x1|或|P1P2|＝1＋1 k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： |x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2， |y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2. ②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 3．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 F1、F2为椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有
1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；
（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。
圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: １. 直线方程的形式 （１）直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式： 2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=－１ ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 距离式方程2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程 :|2a = (３)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足 221=-MF MF 则动点Ｍ的轨迹是( ) Ａ、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） （6)、记住焦半径公式:(1） 00 ;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 （6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 １、点差法（中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有
圆锥曲线综合测试题 班别 座号 成绩 一、选择题（每小题5分，共60分。） 1.双曲线1322 2=-y x 的离心率为 （ ） A ．13 2 B ．13 3 C ．102 D ．103 2.在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2) 3. 已知1F 、2F 为双曲线C:14x 2 2=-y 的左、右焦点,点P 在曲线C 上,∠21PF F =060, 则P 到x 轴的距离为（ ）A ．55 B ．155 C ．2155 D ．15 20 4. 已知动点(,)M x y 的坐标满足方程2222 558()()x y x y ++--+=，则M 的轨迹 方程是（ ） A.221169x y += B.221169x y -= C. 2210169()x y x -=> D. 22 10169()y x y -=> 5.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1 e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ） Ａ．必在圆 222x y += Ｂ．必在圆 22 2x y +=上 Ｃ．必在圆 22 2x y +=外 Ｄ．以上三种情形都有可能 6. 设双曲线)0,0(122 2 2>>=-b a b y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方 程为（ ）A x y 2±= B x y 2±= C x y 22± = D x y 21 ±= 7.已知等边△ABC 中，D 、E 分别是CA 、CB 的中点，以A 、B 为焦点且过D 、E 的椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则下列关于1e 、2e 的关系式不正确的是( )
) 圆锥曲线 一、填空题 1、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①由线C 不可能表示椭圆； ②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜2 5 其中所有正确命题的序号为_____________. ？ 2、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满 足021=?PF PF ，2tan 21=∠F PF ，则该椭圆的离心率为 3.若0>m ，点?? ? ??25,m P 在双曲线15422=-y x 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为 . 4、已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是 （4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ． 6. 在ABC 中,7 ,cos 18 AB BC B ==- ．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 7.已知ABC ?的顶点B ()-3,0、C ()3,0，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且5|GF |+|GE |=，则点G 的轨迹方程为 8.离心率3 5 = e ，一条准线为x ＝3的椭圆的标准方程是 .
9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________; 10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为 . ^ 11、抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 . 12.已知F 1、F 2是椭圆2 2 22)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10＝的两个焦点，B 是短轴的一个端 点，则△F 1BF 2的面积的最大值是 13.设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 是抛物线上的一点， 与x 轴正向的夹角为60°，则||为 . 14.在ABC △中，AB BC =，7 cos 18 B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率e = ． 二.解答题 15、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值1 2 -. . （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C. （Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=3 2 4时，求直线l 的方程.
圆锥曲线的综合应用及其求解策略 有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。 解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。 一、定点、定值问题： 这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。 ★【例题1】（2007年高考〃湖南文科〃19题〃13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的 动直线与双曲线相交于A 、B 两点，又已知点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA 〃CB 为常数；（II ）若动 点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程． ◆解：由条件知(20)F ， ，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可求得点A 、B 的坐标分别为(2 ，(2， ，此时则有 (12)(11CA CB =?=-，． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，则有 2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根， 所以212241k x x k +=-，2122421 k x x k +=-，于是 212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2) CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2 2 2 1212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++22222 22 (1)(42)4(21)4111 k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-． ∴ 综上所述，CA CB 为常数1-． （II ）设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由 CM CA CB CO =++得：121213x x x y y y -=+-??=+?，即1212 2x x x y y y +=+??+=?，于是AB 的中点坐标为222x y +?? ???，．
第三讲圆锥曲线的综合问题 考点整合 1. 直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 直线与椭圆的位置关系的判定法： 将直线程与椭圆程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次程?若少0,则直线与椭圆相交；若A= 0,则直线与椭圆相切；若A<0,则直线与椭圆相离. (2) 直线与双曲线的位置关系的判定法： 将直线程与双曲线程联立，消去y或x)，得到一个一元程ax2+ bx+ c= 0(或ay2+ by+ c =0) ? ①若a工0，当A>0时，直线与双曲线相交；当A= 0时，直线与双曲线相切；当A<0 时，直线与双曲线相离. ②若a= 0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点. (3) 直线与抛物线的位置关系的判定法： 将直线程与抛物线程联立，消去y(或x)，得到一个一元程ax2+ bx+ c= 0(或ay2+ by+ c =0) ? ①当a z 0时，用△判定，法同上. ②当a= 0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点. 2. 有关弦的问题 (1) 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算. ①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P i(x i,y i), P2(x2, y2)，则所得弦长|P i P2|=』1 + k2 |x2- X1或|P1P2= - , 1 +胡2—y1|,其中求|x2- X1|与|y2- y11时通常使用根与系数的关系, 即作如下变形： |x2 —X1 = \/ X1 + X2 2—4X1x2 , ②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式). (2) 弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算. 3. 圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值
第二章测试题 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y 解析 由条件可知p 2＝7，∴p ＝14，抛物线开口向右，故方程为y 2＝28x . 答案 B 2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于1 2，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 2 4＝1 B.x 24＋y 2 3＝1 C.x 24＋y 2 2＝1 D.x 24＋y 2 3＝1 解析 依题意知c ＝1，e ＝c a ＝1 2，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2 3＝1. 答案 D 3．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m >12 B ．m ≥1
C ．m >1 D ．m >2 解析 由e 2 ＝? ?? ??c a 2＝1＋m 1＝1＋m >2，m >1. 答案 C 4．椭圆x 225＋y 2 9＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( ) A ．(5,0)或(－5,0) B ．(52，332)或(52，－332) C ．(0,3)或(0，－3) D ．(532，32)或(－532，32) 解析 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2 )2 ＝25. 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，取得最大值， 此时P 点是短轴端点，故选C. 答案 C 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 236－y 2 108＝1 B.x 29－y 2 27＝1 C.x 2108－y 2 36＝1 D.x 227－y 2 9＝1 解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题．
圆锥曲线综合练习 一、 选择题： 1．已知椭圆221102 x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 2．直线220x y -+=经过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ） A B ．12 C ．2 3 3．设双曲线22 219 x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2 2 1y x m +=的离心率是（ ） A B C D 5．已知双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ， 两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A B 6．已知点12F F ，是椭圆2 2 22x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +u u u r u u u u r 的最小值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．7．双曲线221259 x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ） A ．22或2 B ．7 C ．22 D ．2 8．P 为双曲线22 1916 x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点， 则||||PM PN -的最大值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 9．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =u u u r u u u r ，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ） A B 1 C 1 D 1 11．两个正数a b ，的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2b y x a =-的焦点坐标是（ ） A ．5(0)16- ， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1 (0)5 ， 12．已知12A A ，分别为椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P
圆锥曲线的综合 【复习目标】 1、在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上，把握有关圆锥曲线的知识的内在联系，灵活运用解析几何的常用方法解决问题，培养运用各种知识解决问题的能力； 2、通过问题的解决，理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想。 【教学重点、难点】 1.灵活运用圆锥曲线的几何性质解决问题； 2.理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想，通过问题解决的过程中，提高分析问题、解决问题的能力，同时培养运算能力。 【教学过程】 一、圆锥曲线的几何性质在高考中的地位 圆锥曲线的几何性质是在每年的高考中必考的一个知识点，这一类问题的考查大多数出现在填空题中，属于中低档题，有时也会出现在解答题的第一、第二问中，分值大约在4至8分。 【相关知识链接】 1.椭圆、双曲线第一、第二定义各是什么？ 2.圆锥曲线的标准方程形式反应了其怎样的特点？ 3.椭圆、双曲线中c b a ,,存在什么样的等量关系? 4.性质中的不等关系： 对于圆锥曲线标准方程中变量y x ,的范围、离心率的范围等，在求与圆锥曲线有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值，最小值时，经常用到这些不等关系。 5.求椭圆、双曲线的离心率问题的一般思路： 求椭圆、双曲线的离心率时，一般是依据题设得出一个关于c b a ,,的等式（或不等式），利用c b a ,,之间的等量关系消去b ，即可求得离心率（或离心率的范围）。 题型一 活用圆锥曲线的几何性质 1.若椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（, 以点2F 为圆心，半径为c 画圆，圆2F 交椭圆于点M ，直线1MF 与圆2F 相切，则该椭圆离心率为
圆锥曲线综合测试题 一、选择题 1．如果22 2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0 2．以椭圆116 252 2=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127 92 2=-y x D ．以上都不对 3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π= Q PF ，则双曲线的 离心率e 等于（ ） A ．12- B ．2 C ．12+ D ．22+ 4．21,F F 是椭圆17 92 2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（ ） A ．7 B ．47 C ．2 7 D ．257 5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程（） A ．23x y =或23x y -= B ．23x y = C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92= 6．设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ） A ．2 p B ．p C ．p 2 D ．无法确定 7．若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ） A ．1 (,)44± B ．1(,84± C ．1(,44 D ．1(,84 8．椭圆124 492 2=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为 A ．20 B ．22 C ．28 D ．24 9．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22 =的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ）