中考数学中的折叠问题
中考数学中的折叠问题：探索概念与解题方法
折叠问题是一种富有挑战性和趣味性的数学问题，近年来在中考数学中频繁出现。这类问题不仅考察了学生的几何知识和推理能力，还增加了考试的趣味性和实用性。本文将详细解析折叠问题的基本概念、类型和解题方法，帮助同学们更好地应对中考数学。
一、折叠问题的基本概念
折叠问题主要是研究图形在折叠前的形状、大小和位置关系，通过折叠后图形的变化以及展开后图形的还原等问题。解决这类问题的关键在于理解折叠前后的对称关系、角度关系、线段关系等。
二、折叠问题的常见类型
1、直尺上的折叠：问题中会给出一把直尺，研究直尺折叠后的线段长度、角度大小以及对称关系等。
2、三角板上的折叠：问题中会给出一把三角板，研究三角板折叠后的角度大小、线段长度以及对称关系等。
3、正方形纸片的折叠：问题中会给出一块正方形纸片，研究纸片折叠后的形状、大小和位置关系等。
4、其他多边形纸片的折叠：问题中会给出一块其他多边形纸片，研
究纸片折叠后的形状、大小和位置关系等。
三、折叠问题的解题方法
1、利用对称关系：在折叠前后的图形中，对称轴两侧的图形往往具有对称关系。我们可以利用这种对称关系，解决与线段长度、角度大小相关的问题。
2、利用全等关系：在折叠前后的图形中，往往存在一些全等的三角形或线段。我们可以利用这些全等关系，解决与三角形或线段长度相关的问题。
3、利用角度关系：在折叠前后的图形中，往往存在一些特殊的角度，如直角、等角等。我们可以利用这些角度关系，解决与角度大小相关的问题。
4、利用参数方程：对于一些较为复杂的折叠问题，我们可以引入参数方程，将问题转化为参数的变化问题，从而方便求解。
四、总结
中考数学中的折叠问题主要考察学生的几何知识和推理能力，掌握基本的解题方法对于解决这类问题至关重要。希望通过本文的解析，同学们能够更好地理解和掌握折叠问题的基本概念和解题方法，为应对中考数学做好充分准备。在平时的学习中，同学们可以多加练习，加深对折叠问题的理解，提高解题速度和准确性。
初中数学中的折叠问题 折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。其实对于折叠问题，我们要明白： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换． 2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系． 4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形 5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解． 一、矩形中的折叠 1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度． BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD 则∠CBD = 90° 折叠前后的对应角相等 2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是． 沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 1 2AA’， 又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24 对称轴垂直平分对应点的连线
折叠问题 一、选择题 1. （2012广东梅州3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】 A ．150° B ．210° C ．105° D ．75° 【答案】A 。 【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。 【分析】∵△A′DE 是△ABC 翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE， ∠A=∠A′=75°。 ∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣ 2×105°=150°。 故选A 。 2. （2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD 中，∠A=600，将纸片折叠，点A 、D 分别落在A’、D’处，且A’D’经过B ，EF 为折痕，当D’F ⊥CD 时，CF FD 的值为【 】 A. 12 B. 6 C. 16 D. 18 【答案】A 。 【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】延长DC 与A′D′，交于点M ， ∵在菱形纸片ABCD 中，∠A=60°， ∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。 ∴∠D=180°-∠A=120°。 根据折叠的性质，可得 ∠A′D′F=∠D=120°， ∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。 ∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。 ∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM -∠M=30°。∴∠CBM=∠M。 ∴BC=CM。 设CF=x ，D′F=DF=y， 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y 。∴FM=CM+CF=2x+y， 在Rt△D′FM 中，tan ∠M=tan30°=D F y FM 2x y '=+x =。 ∴CF x FD y ==。故选A 。 3. （2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】 A 1 B 1 C ．2.5 D 【答案】B 。 【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，勾股定理。 【分析】∵将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处， ∴AB＝BE ，∠AEB＝∠EAB＝45°， ∵还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，
中考数学折叠问题综合训练 1、如图,在矩形纸片ABCD 中,AB=12，BC=5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A′处,则AE 的长为________。 2、如图,在△ABC 中，AB=AC ，BC=8,tan ∠C= 3 2 ，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点处,直线l 与边BC 交于点D,那么BD 的长为_________。 3、如图,在Rt △ABC 纸片中，∠C=90°，AC=BC=4,点P 在AC 上运动,将纸片沿PB 折叠，得到点C 的对应点D （P 在C 点时，点C 的对应点是本身），则折叠过程对应点D 的路径长是________. 4、如图，矩形ABCD 中，AB=1,E 、F 分别为AD 、CD 的中点，沿BE 将△ABE 折叠,若点A 恰好落在BF 上，则AD=_______. 5、如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE,把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时,BE 的长为_______。 6、如图，在三角形纸片ABC 中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C 落在AB 边上的D 点处,折痕BE 与AC 交于点E ，若AD=BD ，则折痕BE 的长为_______． 7、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，沿AD 折叠,使点B 落在斜边AC 上，若AB=3，BC=4,则BD=________ 8、.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A′处，若∠A′BC=15°，则∠A′BD 的度数为_________。 9、如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A ′处,连接A ′C ，则∠BA ′C= _______. 10、如图,在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，将△ABE 沿AE 折叠,使点B 落在AC 上的点B′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB′与AD 的交点C′处．则BC:AB 的值为_________。 11、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D 在AC 上，将△ADB 沿直线BD 翻折后,将点A 落在点E 处，如果AD ⊥ED,那么线段DE 的长为________． 12、把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB=3cm ，BC=5cm, 第1题 第3题 第4题 第2题 第5题 第6题 第7题 第9题 第8题 第10题 第11题
四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学专题复习：折叠问题 1、如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折 叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，求CE的长？ 【解答】解：∵AB=4，AD=3， ∴BD=5， ∵把△EBC沿BC折叠得到△BC′E， ∴C′E=CE，BC′=BC=AD=3， ∵当点C落在矩形ABCD的对角线上， ∴D，C′，B三点共线， ∴C′D=2，∠DC′E=90°， ∵DE=4﹣CE， ∵DE2=DC′2+C′E2， 即（4﹣CE）2=22+CE2， ∴CE=3 2 ． 2、如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线
折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长？ 【解答】解：①当点A落在如图1所示的位置时， ∵△ACB是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°， ∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN， ∴∠BMD=∠NDC， ∴△BMD∽△CDN． ∴得BD CN = DM DN = BM CD ， ∵DN=AN， ∴得BD CN = DN AN = BM CD ， ∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=2，CD=8， 设AN=x，则CN=10﹣x， ∴ 2 10x － = x DM = 8 BM ，
∴DM= 2x 10x － ，BM= 16 10x － ， ∵BM+DM=10， ∴ 2x 10x － + 16 10x － =10， 解得x=7， ∴AN=7； ②当A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD∽△CDN． ∴得BD CN = DM DN = BM CD ， ∵BD：DC=1：4，BC=10， ∴DB=10 3 ，CD= 40 3 ， 设AN=x，则CN=x﹣10， ∴ 10 3 x－10 = x DM = 40 3 BM ， ∴DM= 10x 3x10 （－） ，BM= 400 9x10 （－） ， ∵BM+DM=10， ∴ 10x 3x10 （－） + 400 9x10 （－） =10，
折叠问题 1.如图,在平面直角坐标系x O y中,O为坐标原点,直线y=－x＋4与x轴交于点A,与y轴交于点B. (Ⅰ)求点A,B的坐标; (Ⅱ)在直线A B上是否存在点P,使△O A P是以O A为底边的等腰三角形？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)若将R t△A O B折叠,使O B边落在A B上,点O与点D . 重合,折痕为B C,求折痕B C所在直线的解析式
第1题图 解:(Ⅰ)在y=－x＋4中,令x=0可得y=4,令y=0可求得x=4,∴A(4,0),B(0,4); (Ⅱ)如解图①,作线段O A的垂直平分线,交x轴于点E,交A B于点P, 则O P=P A,即P点即为满足条件的点, ∵O A=4, ∴O E=2, 在y=－x＋4中,当x=2时,可得y=2, ∴P点坐标为(2,2); (Ⅲ)如解图②, 设C(t,0),则A C=O A－O C=4－t, ∵O A=O B=4,
由折叠的性质可得B D=O B=4,C D=O C=t,∠A D C=∠B O C=90°, 在R t△A C D中,由勾股定理可得A C2=A D2＋C D2,即(4－ 设直线B C解析式为y=k x＋b,
图①图② 第1题解图 (Ⅰ)求出∠A B C的度数; (Ⅱ)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿B A、B C边运动,其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,当运动时间为t秒时,连接M N, 将△B M N沿M N翻折,B点恰好落在A C边上的P处 ,求t 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的情况下,直接写出点P的坐标.
初中数学中的折叠问题 一、矩形中的折叠 1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠,其中BC,BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD= 度． 2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处， 再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3,则△ADE 的面积是 ． 3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,得折痕DG ，求AG 的长． 根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角 形中根据勾股定理列方程求解即可 4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合,展开后如图所示,则∠DFB 等于（ ) 注意折叠前后角的对应关系 5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm,AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积． 重合部分是以折痕为底边的等腰三角形 3 2 1 F E D C B A G A' C A B D
6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠,若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度;△EFG 的形状 三角形． 对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF 7．如图，将矩形纸片ABCD 按如下的顺序进行折叠：对折,展平，得折痕EF （如图①）；延CG 折叠，使点B 落在EF 上的点B ′处，(如图②）；展平，得折痕GC （如图③）;沿GH 折叠，使点C 落在DH 上的点C ′处，(如图④）；沿GC ′折叠(如图⑤)；展平，得折痕GC ′，GH(如图 ⑥)． （1）求图 ②中∠BCB ′的大小； （2)图⑥中的△GCC ′是正三角形吗？请说明理由． 理清在每一个折叠过程中的变与不变 8．如图,正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为 折叠前后对应边相等 9．如图,将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积 注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等 10．如图,将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上 不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B ’C'与DN 交于P ． （1)连接BB'，那么BB ’与MN 的长度相等吗？为什么? （2）设BM =y ，AB'=x,求y 与x 的函数关系式； （3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC ’B'面积最小？并验证你的猜想． 54132G D‘ F C‘D B C A E
D E 中考数学中的折叠问题 为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等，对应线段相等。有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。 例1 （成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在'B M 或'B M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ） A 、85° B 、90° C 、95° D 、100° 分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。 由题意可知：∠BME=∠'EMC ，∠CMF=∠'FMC ， ''180BMC CMC ∠+∠=°，又'C M 与'B M 重合， 则∠EMF=∠'EMC +∠'FMC =''11 ()18022 BMC CMC ∠+∠=?°= 90°，故选B 。 例2 （武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE 纸片按如图的方式折叠，折痕为AF, 点E 、D 分别落在'E 、 'D 。已知∠AFC=76°，则'CFD ∠等于（ ） A 、31° B 、28° C 、24° D 、22° 分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。根据题意得：'AFD AFD ∠=∠=180°-76°=104°，则'CFD ∠=104°-76°=28°，故选B 。 例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点'A 的位置，若1 tan 2 BOC ∠=，则点' A 的坐标为 。 分析与解答：本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的能力。
折叠问题 问题1． 的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则(OM = ) A B C D E F M O A ．1 2 B C ．1- D ．1 问题2．将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，BE ，EG ，FG 为折痕，若顶点A ，C ，D 都落在点O 处，且点B ，O ，G 在同一条直线上，同时点E ，O ，F 在另一条直线上，则AD AB 的值为( ) A B C D E F G O A ．65 B C ．3 2 D 问题3．如图，正方形ABCD 中，6AB =，E 为AB 的中点，将ADE ∆沿DE 翻折得到FDE ∆，延长EF 交BC 于G ，FH BC ⊥，垂足为H ，连接BF 、DG ．以下结论：①//BF ED ；②DFG DCG ∆≅∆；③FHB EAD ∆∆∽；④4 tan 3GEB ∠=；⑤ 2.6BFG S ∆=；其中正确的个数是( ) A B C D E F G H A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
问题4．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝3 5 α．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为． 问题5．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为． 问题6．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC′与AB交于点E，连结AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（） A．33 2 B． 321 7 C．7 D．13
中考数学中的折叠问题 中考数学中的折叠问题：探索概念与解题方法 折叠问题是一种富有挑战性和趣味性的数学问题，近年来在中考数学中频繁出现。这类问题不仅考察了学生的几何知识和推理能力，还增加了考试的趣味性和实用性。本文将详细解析折叠问题的基本概念、类型和解题方法，帮助同学们更好地应对中考数学。 一、折叠问题的基本概念 折叠问题主要是研究图形在折叠前的形状、大小和位置关系，通过折叠后图形的变化以及展开后图形的还原等问题。解决这类问题的关键在于理解折叠前后的对称关系、角度关系、线段关系等。 二、折叠问题的常见类型 1、直尺上的折叠：问题中会给出一把直尺，研究直尺折叠后的线段长度、角度大小以及对称关系等。 2、三角板上的折叠：问题中会给出一把三角板，研究三角板折叠后的角度大小、线段长度以及对称关系等。 3、正方形纸片的折叠：问题中会给出一块正方形纸片，研究纸片折叠后的形状、大小和位置关系等。 4、其他多边形纸片的折叠：问题中会给出一块其他多边形纸片，研
究纸片折叠后的形状、大小和位置关系等。 三、折叠问题的解题方法 1、利用对称关系：在折叠前后的图形中，对称轴两侧的图形往往具有对称关系。我们可以利用这种对称关系，解决与线段长度、角度大小相关的问题。 2、利用全等关系：在折叠前后的图形中，往往存在一些全等的三角形或线段。我们可以利用这些全等关系，解决与三角形或线段长度相关的问题。 3、利用角度关系：在折叠前后的图形中，往往存在一些特殊的角度，如直角、等角等。我们可以利用这些角度关系，解决与角度大小相关的问题。 4、利用参数方程：对于一些较为复杂的折叠问题，我们可以引入参数方程，将问题转化为参数的变化问题，从而方便求解。 四、总结 中考数学中的折叠问题主要考察学生的几何知识和推理能力，掌握基本的解题方法对于解决这类问题至关重要。希望通过本文的解析，同学们能够更好地理解和掌握折叠问题的基本概念和解题方法，为应对中考数学做好充分准备。在平时的学习中，同学们可以多加练习，加深对折叠问题的理解，提高解题速度和准确性。
中考数学折叠典型问题
中考数学折叠典型问题 一．解答题（共4小题） 1．（2009?天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D． （Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； （Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围； （Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B″，且使B″D∥OB，求此时点C的坐标． 2．已知一个直角三角形AOB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D． （1）如图1，若折叠后使点B与点O重合，则点D的坐标为_________； （2）如图2，若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； （3）如图3，若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式．
3．（2009?恩施州）如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．设DE=x，以DE为折线将△ADE翻折（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y． （1）用x表示△ADE的面积； （2）求出0＜x≤5时y与x的函数关系式； （3）求出5＜x＜10时y与x的函数关系式； （4）当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？ 4．（2009?长沙）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（﹣3，0）、C（0，），且当x=﹣4和x=2时二次函数的函数值y相等． （1）求实数a，b，c的值； （2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
折叠问题 折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸 边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背 景图形性质。轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、 对应边平行或交点在对称轴上。 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一 道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。 1、（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形 沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 2、（2009湖北省荆门市）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落 在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（ ） A ．40° B ．30° C ．20° D ．10° 3、（2009年日照市） 将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为 EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ． 4、（2009年衢州）在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按 如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为 A ．9.5 B ．10.5 C ．11 D ．15.5 第2题图 A ' B D A C
中考数学中的折叠问题 在中考数学中，折叠问题是一种常出现的问题，它主要考察学生的空间想象能力和对几何图形的理解。这种问题通常以一个二维图形经过折叠变为三维图形的方式出现，需要学生运用逻辑推理和空间想象能力来解答。 折叠问题主要分为两类：一类是折叠前后的形状变化问题，另一类是折叠后立体图形的三视图问题。前者主要考察的是学生对于空间图形的变换和对称的理解，而后者则更注重学生的空间想象能力和对立体图形的认知。 解决折叠问题，首先需要理解折痕的含义。折痕是二维图形折叠成三维图形时的痕迹，也是三维图形展开为二维图形时的路径。在解决折叠问题时，需要找出图形中的对称点、线段和角度，并理解它们在折叠后的变化。对于三视图问题，则需要通过观察和分析立体图形的各个面，尝试从不同的角度去看待问题。 例如，一个长方形纸片折叠后可以得到一个正方形纸片，这个过程可以通过平移和旋转来实现。在这个问题中，学生需要理解长方形和正方形的关系，以及折叠过程中哪些元素发生了变化，哪些元素保持不变。又比如，一个三角形纸片折叠后可以得到一个立体图形，这个过
程中需要对三角形的一些基本性质进行深入的理解。 解决折叠问题时，首先需要明确问题的类型，然后针对不同类型的问题采取不同的解题策略。对于形状变化问题，可以通过画图的方式帮助理解；对于三视图问题，可以通过将立体图形转化为平面图形的方式来寻找答案。同时，建议学生在平时的学习中多进行一些类似题目的练习，以增强自己的空间想象能力和逻辑推理能力。 中考数学中的折叠问题是一种考察学生空间想象能力和逻辑推理能 力的问题。解决这类问题需要学生对几何图形的性质有深入的理解，并能够灵活运用这些性质去解决问题。也需要学生有一定的空间感知能力和逻辑推理能力。因此，建议学生在平时的学习中多进行练习，提高自己的解题能力。 折叠最值模型是指将一个平面图形沿着一条直线折叠，使得折叠后的图形在直线的一侧，并且使得折叠后的图形在直线两侧的部分对称。此时，直线被称为“对称轴”，折叠后的图形被称为“对称图形”。对称性：折叠最值模型的对称轴两侧的部分是镜像对称的。 最小性：在给定的条件下，折叠最值模型是使得折叠后的图形在直线两侧的部分对称，且折叠后的图形的面积最小的模型。
专题：漫谈折叠问题（二） 一、折叠问题小技巧 A 要注意折叠前后线段、角的变化，全等图形的构造； B 通常要设求知数； C 利用勾股定理构造方程。 二、折叠问题常见考察点 （一）求角的度数 1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC 沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【】 A．150°B．210°C．105°D．75° 【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。 2. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于【】 A．70° B．40° C．30° D．20° 3. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是__________． 【考点】翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。 4. 如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C=__________度． 5.如图,在△ABC中，D,、E分别是边AB、AC的中点, ∠B=50°o.现将△ADE沿DE折叠，点 A落在三角形所在平面内的点为A 1,则∠BDA 1 的度数为__________°. 【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，三角形中位线定理，平行的性质。（二）求线段长度 1.如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【】 A．3 2 B． 5 2 C． 9 4 D．3 【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。 2.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A 恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是【】 A．7 B．8 C．9 D．10 【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。 3.如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为【】 A. 25 cm 8 B. 25 cm 4 C. 25 cm 2 D. 8cm 【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，矩形的性质，勾股定理。
中考数学折叠问题 1．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在 AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折 痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B F '的长为( ) A ．35 B ． 45 C ． 23 D 2．如图，在O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD ．如果20BAC ∠=︒，则(BDC ∠= ) A ．80︒ B ．70︒ C ．60︒ D ．50︒ 3．如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合(H 不与端点C ，D 重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ．设正方形ABCD 的周长为m ，CHG ∆的周长为n ，则 n m 的值为( ) A B ． 12 C D ．随H 点位置的变化而变化
4．在矩形纸片ABCD 中，3AB =，5AD =．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的 A '处，折痕为PQ ，当点A '在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定 点P 、Q 分别在线段AB 、AD 边上移动，则点A '在BC 边上可移动的最大距离为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．如图，在菱形纸片ABCD 中，60A ∠=︒，将纸片折叠，点A 、D 分别落在点A '、D '处，且A D ''经过点B ，EF 为折痕，当D F CD '⊥时， CF FD 的值为( ) A B C D 6．如图，已知在ABC ∆中，90BAC ∠>︒，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上，将CDE ∆沿 DE 折叠，使得点C 恰好落在BA 的延长线上的点F 处，连结AD ，则下列结论不一定正 确的是( ) A ．AE EF = B ．2AB DE = C ．ADF ∆和A D E ∆的面积相等 D ．AD E ∆和FD E ∆的面积相等