四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学专题复习：折叠问题
1、如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折
叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，求CE的长？
【解答】解：∵AB=4，AD=3，
∴BD=5，
∵把△EBC沿BC折叠得到△BC′E，
∴C′E=CE，BC′=BC=AD=3，
∵当点C落在矩形ABCD的对角线上，
∴D，C′，B三点共线，
∴C′D=2，∠DC′E=90°，
∵DE=4﹣CE，
∵DE2=DC′2+C′E2，
即（4﹣CE）2=22+CE2，
∴CE=3
2
．
2、如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线
折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长？
【解答】解：①当点A落在如图1所示的位置时，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，
∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，
∴∠BMD=∠NDC，
∴△BMD∽△CDN．
∴得BD
CN
=
DM
DN
=
BM
CD
，
∵DN=AN，
∴得BD
CN
=
DN
AN
=
BM
CD
，
∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=2，CD=8，
设AN=x，则CN=10﹣x，
∴
2
10x
－
=
x
DM
=
8
BM
，
∴DM=
2x
10x
－
，BM=
16
10x
－
，
∵BM+DM=10，
∴
2x
10x
－
+
16
10x
－
=10，
解得x=7，
∴AN=7；
②当A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD∽△CDN．
∴得BD
CN
=
DM
DN
=
BM
CD
，
∵BD：DC=1：4，BC=10，
∴DB=10
3
，CD=
40
3
，
设AN=x，则CN=x﹣10，
∴
10
3
x－10
=
x
DM
=
40
3
BM
，
∴DM=
10x
3x10
（－）
，BM=
400
9x10
（－）
，
∵BM+DM=10，
∴
10x
3x10
（－）
+
400
9x10
（－）
=10，
解得：x=65
3
，
∴AN=65
3
．
3、如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是
直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，求所有满足此条件的点P的坐标？
【解答】解：∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB，
∴直线L的解析式为；y=2x﹣8，
∠BAO+∠PAC=90°，
∵PC⊥x轴，
∴∠PAC+∠APC=90°，
∴∠BAO=∠APC，
∵∠AOB=∠ACP ，
∴△AOB ∽△PCA ， ∴=BO CA AO PC
∴BO AO =AC PC =12
， 设AC=m ，则PC=2m ，
∵△PCA ≌△PDA ，
∴AC=AD ，PC=PD ， ∴AD PD =AC PC =12
， 如图1：当△PAD ∽△PBA 时，
则AD BA =PD PA
则
AD PD =BA PA =12，
∵
∴
∴m 2+（2m ）2=（2，
∴m=±4，
当m=4时，PC=8，OC=8，P 点的坐标为（8，8），
当m=﹣4时，如图2，
PC=8，OC=0，P 点的坐标为（0，﹣8），
如图3，若△PAD ∽△BPA ，
则=PA BA AD PD =1
2，
PA=1
2AB=×1
2，
则m 2+（2m ）2=2，
∴m=±1，
当m=1时，PC=2，OC=5，P 点的坐标为（5，2），
当m=﹣1时，如图4，PC=2，OC=3，P 点的坐标为（3，﹣2）；
则所有满足此条件的点P的坐标是：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后
得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，求旋转角α的度数？，阴影部分的面积？
【解答】解：∵AC=A′C，且∠A=60°，
∴△ACA′是等边三角形．
∴∠ACA′=60°，
∴∠A′CB=90°﹣60°=30°，
∵∠CA′D=∠A=60°，
∴∠CDA′=90°，
∵∠B′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB=90°﹣30°=60°，
∴∠CB′D=30°，
∴CD=1
2
CB′=
1
2
CB=
1
2
×2=1，
∴，
∴S △CDB′=12×CD ×DB′=12
×12， S 扇形B′CB =2××260360π=23
π，
则阴影部分的面积为：
23π
5、如图，P 为正方形ABCD 内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB 绕点B 顺时针旋转90°得到△CP′B ，连接PP′．若BP 的长为整数，求AP 的长？
【解答】解：∵△BP'C 是由△BPA 旋转得到，
∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，
∵∠ABP +∠PBC=90°，
∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，
∴△BPP'是等腰直角三角形，
∴∠BP'P=45°，
∵∠APB=∠CP'B=135°，
∴∠PP'C=90°，
设BP=BP'=a，AP=CP'=b，
则a，
在RT△PP'C中，∵PP'2+P'C2=PC2，且PC=3，
∴
∵BP的长a为整数，
∴满足上式的a为1或2，
当a=1时，
当a=2时，AP=CP'=1，
6、如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A
落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，求AD的长．
【解答】解：Rt△ABC中，BC=AC=2，
∴，∠B=∠A′CB=45°，
①如图1，当A′D∥BC，设AD=x，
∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
∴∠A′=∠A=∠A′CB=45°，A′D=AD=x，
∵∠B=45°，
∴A′C ⊥AB ，
∴BH=2，DH=2A′D=2
x ，
∴x+2
x
∴﹣2，
∴2；
②如图2，当A′D ∥AC ，
∵把△ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A′处， ∴AD=A′D ，AC=A′C ，∠ACD=∠A′CD ，
∵∠A′DC=∠ACD ，
∴∠A′DC=∠A′CD ，
∴A′D=A′C ，
∴AD=AC=2，
综上所述：AD 的长为：2或﹣2．
7、如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB∥MN，将
纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N的长？
【解答】解：∵将纸片的一角沿过点B的直线折叠，A落在MN上，落点记为A′，
∴A′B=AB=1，
∵AB∥MN，M是AD边上距D点最近的n等分点，
∴MD=NC=1
n
，
∴BN=BC﹣NC=1﹣1
n
=
n1
n
－
，
在Rt△A′BN中，根据勾股定理得，A′N2=A′B2﹣BN2=12﹣（n1
n
－
）2=
2
2n1
n
－
，
所以，
n
．
8、如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点
A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围？
【解答】解：如图：
①当F、D重合时，BP的值最小；
根据折叠的性质知：AF=PF=10；
在Rt△PFC中，PF=10，FC=6，则PC=8；
∴BP=x min=10﹣8=2；
②当E、B重合时，BP的值最大；根据折叠的性质即可得到AB=BP=6，即BP的最大值为6．
故答案为：2≤x≤6．
9、如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标？
【解答】解：连接EC．
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE ，
在△BAD 和△ACE 中，
AB AC BAD CAE
AD AE ∠∠===⎧⎪⎨⎪⎩
∴△ABD ≌△ACE ，
∴BD=EC ．∠ABD=∠ACE=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ECD=90°，
∴点E 在过点C 垂直x 轴的直线上，且EC=DB ，
①当DB=DA 时，点D 与O 重合，BD=OB=2，此时E （2，2）．
②当AB=AD 时，BD=CE=4，此时E （2，4）．
③当
时，E （2，
）或（2，﹣
），
故答案为（2，2）或（2，4）或（2，
2，﹣
）．
10、在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，点P 在AB 上．若将△DAP 沿DP 折叠，使点A 落在矩形对角线上的A′处，则AP 的长？
【解答】解：①点A 落在矩形对角线BD 上，如图1，
∵AB=4，BC=3，
∴BD=5，
根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P ，∠A=∠PA′D=90°，
∴BA′=2，
设AP=x ，则BP=4﹣x ，
∵BP 2=BA′2+PA′2，
∴（4﹣x ）2=x 2+22，
解得：x=32
， ∴AP=32
； ②点A 落在矩形对角线AC 上，如图2，
根据折叠的性质可知DP ⊥AC ，
∴△DAP ∽△ABC ， ∴=AD AP AB BC
， ∴AP=AD BC AB ．=3×34=94
．
11、如图，在△ABC 中，BC=6，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是优弧EF 上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积？
【解答】解：连接AD ，
∵BC是切线，点D是切点，∴AD⊥BC，
∴∠EAF=2∠EPF=100°，
∴S扇形AEF=
2
1002×
360
π
=
10
9
π，
S△ABC=1
2
AD•BC=
1
2
×2×6=6，
∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF=6﹣10
9
π．
故答案为：6﹣10
9
π．
12、矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为
AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离．
【解答】解：如图所示，设PF⊥CD，
∵BP=FP，
由翻折变换的性质可得BP=B′P，
∴FP=B′P，
∴FP⊥CD，
∴B′，F，P三点构不成三角形，
∴F，B′重合分别延长AE，CD相交于点G，∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠AGD，
∵∠BAG=∠B′AG，
∴∠AGD=∠B′AG，
∴GB′=AB′=AB=5，
∵PB′（PF）⊥CD，
∴PB′∥AC，
∴△ACG∽△PB′G，
∵Rt△ACB′中，AB′=AB=5，AC=3，
∴，
∴CB′=5﹣4=1，CG=CB′+B′G=4+5=9，
∴△ACG与△PB′G的相似比为9：5，
∴AC：PB′=9：5，
∵AC=3，
∴PB′=5
3
．
13、已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH⊥AP交AP与H，
，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP的长．
【解答】解：①当HD=HC时，过点H作HE⊥CD于点E，延长EH交AB于点F，连接DP，如图1所示．
∵HD=HC，
∴点E为CD的中点，
∵EF∥AD，
∴FH为△ABP的中位线，
∴AH=HP．
∵DH⊥AP，
∴△DAP为等腰三角形，
∴AD=DP．
设BP=a，则CP=4﹣a，
由勾股定理得：DP2=CD2+CP2，即16=8+（4﹣a）2，
解得：a=4﹣，或a=﹣4﹣（舍去）；
②当DH=DC时，如图2所示．
∵，
∴．
在Rt△AHD中，AD=4，，
∴，
∴AH=DH，
∴∠DAH=∠ADH=45°．
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠DAH=45°，
∵∠B=90°，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴；
③当CH=CD时，过点C作CE⊥DH于点E，延长CE交AD于点F，如图3所示．∵CH=CD，CE⊥DH，
∴DE=HE=1
2 DH．
∵DH⊥CF，DH⊥AP，
∴CF∥AP，
∵AF∥CP，
∴四边形AFCP为平行四边形，∴AF=CP．
∵EF∥AH，DE=HE，
∴DF=AF=1
2
AD=2，
∴BP=BC﹣CP=BC﹣AF=4﹣2=2．
综上所述：BP的长度为4﹣、或2．
14、如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE折叠，点D落
在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE的长．
【解答】解：①：CD'=BD'时，如图，
由折叠性质，得AD=AD′，∠DAE=∠D′AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，
∵△BCD′为等腰三角形，
∴D′B=D′C，∠D′BC=∠D′CB，
∴∠DCD′=∠ABD′，
在△DD′C和△AD′B中，
DC AB DCD D CD BD ∠∠AB ='=''='⎧⎪⎨⎪⎩
，
∴△DD′C ≌△AD′B ，
∴DD′=AD′，
∴DD′=AD′=AD ，
∴△ADD′是等边三角形，
∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴DE=12
AE ， 设DE=x ，则AE=2x ，
（2x ）2﹣x 2=42，
解得：x=4
3
即DE=4
3．
②：当CD'=CB 时，如图，连接AC ，
由于AD'=4，CD'=4，
而
4+4；
故这种情况不存在．
③当BD'=BC 时，如图过D'作AB 的垂线，垂足为F ，延长D'F 交CD 于G ， 由于AD'=BD'，D'F=D'F ；易知AF=BF ，
2020中考数学 几何培优之图形折叠与拼接问题（含答案） 【例1】 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在D '处，则重叠部分△AFC 的面积为＿＿＿＿＿. 例1题图 例2题图 【例2】如图，直线26y x =-+ 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，把△POQ 沿PQ 翻折，点O 落在R 处，则点R 的坐标是（ ） A .2412 ( ,)55 B .（2,1） C .（6,3） D .（7，3.5） 【例3】 如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在CD 边上点E 处，然后压平折痕FG ，若FG ＝13cm ，求CE 长. 【例4】 将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ， ，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动 2 3 秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）． A
（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，； （2）当1t 时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标； （3）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由． 【例5】 用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接一个长方形. （1）求这个长方形的长和宽； （2）请画出拼接图. 【例6】 将正方形纸片ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 交于点G. （1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ：DM ：EM ＝3：4：5； （2）如果M 为CD 边上的任意一点，设AB ＝2a ，问△CMG 的周长是否有与点M 的位置关系？若有关，请把△CMG 的周长用含CM 的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由． 图1
四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学专题复习：折叠问题 1、如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折 叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，求CE的长？ 【解答】解：∵AB=4，AD=3， ∴BD=5， ∵把△EBC沿BC折叠得到△BC′E， ∴C′E=CE，BC′=BC=AD=3， ∵当点C落在矩形ABCD的对角线上， ∴D，C′，B三点共线， ∴C′D=2，∠DC′E=90°， ∵DE=4﹣CE， ∵DE2=DC′2+C′E2， 即（4﹣CE）2=22+CE2， ∴CE=3 2 ． 2、如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线
折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长？ 【解答】解：①当点A落在如图1所示的位置时， ∵△ACB是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°， ∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN， ∴∠BMD=∠NDC， ∴△BMD∽△CDN． ∴得BD CN = DM DN = BM CD ， ∵DN=AN， ∴得BD CN = DN AN = BM CD ， ∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=2，CD=8， 设AN=x，则CN=10﹣x， ∴ 2 10x － = x DM = 8 BM ，
∴DM= 2x 10x － ，BM= 16 10x － ， ∵BM+DM=10， ∴ 2x 10x － + 16 10x － =10， 解得x=7， ∴AN=7； ②当A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD∽△CDN． ∴得BD CN = DM DN = BM CD ， ∵BD：DC=1：4，BC=10， ∴DB=10 3 ，CD= 40 3 ， 设AN=x，则CN=x﹣10， ∴ 10 3 x－10 = x DM = 40 3 BM ， ∴DM= 10x 3x10 （－） ，BM= 400 9x10 （－） ， ∵BM+DM=10， ∴ 10x 3x10 （－） + 400 9x10 （－） =10，
专题：折叠类题目中的动点问题 折叠问题是中考的热点也是难点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理、全等三角形性质、相似三角形性质、三角函数等知识进行解答。此类问题立意新颖，充满着变化，要解决此类问题，除了能根据轴对称图形的性质作出要求的图形外，还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。 类型一、求折叠中动点运动距离或线段长度的最值 例1. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 . 图例1-1 【答案】2. 【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求. ①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图例1-2所示. 确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P. 图例1-2 图例1-3 由折叠性质可知，AD= A'D=5，在Rt△A'CD中，由勾股定理得， A C=== '4 ②当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端，如图例1-3所示. 确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'P=AP，所以以点P为圆心，以AP长为半径画弧，与BC的交点即为点
2019-2020 年中考数学专题复习题型九折叠旋转问题含解析 1.（xx 贵州安顺第7 题）如图，矩形纸片ABCD 中，AD=4cm，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O，若AO=5cm，则AB 的长为（） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C． 2.（xx 湖南张家界第 14 题）如图，在正方形ABCD 中，AD=，把边BC 绕点B 逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP 并延长交CD 于点E，连接P C，则三角形PCE 的面积为． 【答案】． 3.（xx·湖北荆门·3分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点C 按逆时针方向旋转至△DCE 的位置，使点A 恰好落在边DE 上，AB 与CE 相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF= 2 cm． 4.（xx 甘肃兰州第 14 题）如图，在正方形和正方形中，点在上，，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，此时点在上，连接，则( ) A. B. C. D.
【答案】AA 5.（xx 浙江嘉兴第16 题）一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，（如图1），点为边的中点，边与相交于点，此时线段的长是．现将三角板绕点按顺时针方向旋转（如图2），在从到的变化过程中，点相应移动的路径长共为．（结果保留根号） 【答案】12－12．12－18． 6.(xx 辽宁沈阳第16 题)如图，在矩形中，,将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，连接，则的长是. 【答案】. 7.（xx 年重庆A4 分）如图，矩形ABCD 中，连接BD，∠DBC 的角平分线BE 交DC 于点E，现把△BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的△BCE 为，当射线和射线都与线段AD 相交时，设交点分别F，G，若△BFD 为等腰三角形，则线段DG 长为▲ . 【答案】. 8.（xx 年上海4 分）已知在△ABC 中，．将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D
2020中考数学 压轴专题：图形折叠（含答案） 1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 沿AD 翻折，点B 恰好与点C 重合，点E 在AC 边上，连接BE . (1)如图①，若点F 是BE 的中点，连接DF ，且AF ＝5，AE ＝6，求DF 的长； (2)如图②，若AF ⊥BE 于点F ，并延长AF 交BC 于点G ，当点E 是AC 的中点时，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ； (3)在(2)的条件下，连接DF ，请直接．． 写出∠DFG 的度数． 第1题图 解：(1)由折叠的性质得：AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ， 在Rt △ABE 中，∵点F 是BE 的中点， ∴AF 是Rt △ABE 斜边上的中线，∴AF ＝1 2BE ， ∵AF ＝5，∴BE ＝10， 在Rt △ABE 中，AE ＝6，BE ＝10，∴AB ＝8， 又∵AB ＝AC ，∴AC ＝8， ∴CE ＝AC －AE ＝2，∴DF ＝1 2CE ＝1； (2)证明：如解图①，过点C 作CM ⊥AC ，交AG 的延长线于点M ，则∠ACM ＝90°， 第1题解图①
又∵∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACM ， ∵AF 是△ABE 的高， ∴∠AFB ＝90°，∴∠1＋∠BAF ＝90°， ∵∠BAC ＝90°， ∴∠2＋∠BAF ＝90°，∴∠1＝∠2， 在△ABE 和△CAM 中， ???? ?∠BAE ＝∠ACM AB ＝CA ∠1＝∠2 ， ∴△ABE ≌△CAM (ASA)， ∴AE ＝CM ，BE ＝AM ， 又∵点E 是AC 边的中点， ∴CE ＝AE ＝CM ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°， 又∵∠ACM ＝90°， ∴∠MCG ＝∠ACB ＝45°， 在△CEG 和△CMG 中， ???? ?CE ＝CM ∠ECG ＝∠MCG CG ＝CG ， ∴△CEG ≌△CMG (SAS)，∴EG ＝GM ， 又∵BE ＝AM ， ∴AG ＋EG ＝AG ＋GM ＝AM ＝BE ； (3)∠DFG ＝45°. 【解法提示】如解图②，过点D 作DN ⊥DF ，交AG 的延长线于点N ，则∠NDF ＝90°，
2020年九年级数学中考几何图形综合题专题训练 1、如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF=BE ，BE 与CD 交于点G （1）求证：BD ∥EF ；（2）若 =，BE=4，求EC 的长． 2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E .点M 是线段AD 上的动点，连接BM 并延长分别交DE ，AC 于点 F ， G . (1)求CD 的长；(2)若点M 是线段AD 的中点，求EF DF 的值； (3)请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得∠CPG ＝60°？
3、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F． （1）求证：△AC D∽△BFD； （2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长． 4、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由． 5、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF （1）根据题意，补全原形；（2）求证：BE=DF．
6、如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD的内部，延长AF交CD于点G. (1)猜想并证明线段FG与CG的数量关系； (2)若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段FG与CG之间的数量关系是否改变？请证明你的结论； (3)若将图①中的正方形改成平行四边形，其他条件不变，如图③，那么线段FG与CG 之间的数量关系是否会改变？请证明你的结论． 7、如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．
2020年度初三数学专题复习中考 圆的折叠专题 1. 如图①是半径为2的半圆，点C 是︵ AB 的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C 与圆心O 重合， 则图中阴影部分的面积是（ ） A ．4π3 B ．4π3 -3 C ．23+π3 D ．23-23 π 2. 如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径，将︵ AB 沿着AB 弦翻折，恰好经过圆心O ．若⊙O 的半径为 6，则图中阴影部分的面积等于（ ） A ．6π B ．93 C ．9π D ．63 3. 如图，将⊙O 的劣弧︵ AB 沿AB 翻折，D 为优弧︵ADB 上一点，连接AD ，交︵ AB 于点C ，连接BC 、BD ； 若BC=5，则BD= ． 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰 好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ） A ．3.2 B ．3.6 C ．3.8 D ．4.2
5.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在 弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为（） A．9π-9 B．9π-63 C．9π-18 D．9π-123 6.如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm，点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ 将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O，则OP的最大距离为． 7.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB折叠，折叠后如右图，则⊙O到所作的圆的切 线OC的长为（） A．22B．5 C．3 D．11 8.如图，将半径为12的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB 长为（） A．42B．82 C．6 D．62
四川省渠县崇德实验学校2020届中考九年级数学专题：菱形复习测试题 一、选择题 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(B) A.AB∥DC B.OC＝OB C.AC⊥BD D.OA＝OC 2.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为(C) A.8 B.12 C.16 D.32 3.如图，在菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝(D) 4.30° B.25° C.20° D.15° 5.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(C) A.AC⊥BD B.AB＝AD C.AC＝BD D.∠ABD＝∠CBD 6.如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于(C) A. 5 B.4 3 C.4 5 D.20 7.如图，分别以线段AB的两端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是(D) A.正方形 B.矩形 C.梯形 D.菱形 8.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF等于(A) A.60° B.55° C.45° D.30°
9.如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别为AB ，BC 边上的中点，则MP ＋PN 的最小值是(B) A.1 2 B.1 C. 2 D.2 10.如图，已知菱形ABCD ，E ，F 是动点，边长为4，BE ＝AF ，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有(D) ①△BEC≌△AFC；②△ECF 为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF ＝1，则GF EG ＝1 3 . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E 的坐标为(D) A.(2，3) B.(3，2) C.(3，3) D.(3，3) 二、填空题 12.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，OE⊥AD 于点E ，交BC 于点F ，则EF 的长为245 . 13．如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ABE ，则∠BED 为45°
四川省渠县崇德实验学校2020中考九年级数学专题复习：第12讲 反比例函数 教案 反比例函数的概念及解析式的三种形式 1.概念：一般地，形如y ＝k x (k 为常数，k≠①0)的函数叫做反比例函数，自变量x 的取值范围是②x≠0. 2.反比例函数解析式的三种形式(k 为常数，k≠0)：y ＝k x ；y ＝kx －1 ；xy ＝k. 【方法指导】 确定点在反比例函数图象上的方法： (1)把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于纵坐标，则点在函数图象上；若所求值不等于纵坐标，则点不在函数图象上； (2)把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在函数图象上；若乘积不等于k ，则点不在函数图象上. 反比例函数的图象与性质 注意：双曲线不是连续的曲线，而是两支不同的曲线，所以比较函数值的大小时，要注意所判断的点是否在同一象限，当k ＞0时，在两支上，第一象限函数值大于第三象限函数值；当k ＜0时，在两支上，第二象限函数值大于第四象限函数值.解决此类问题的一个有效方法是画出草图，标上各点，再比较大小. 1.已知反比例函数y ＝m －1 x . (1)当m ＝2时，反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，y 随x 的增大而减小(填“增大”或“减
小”)； (2)当反比例函数的图象如图所示时，则m 的取值范围是m<1； (3)若点P(x ，y)在函数的图象上，则点P 1(－x ，－y)在函数的图象上(填“在”或“不在”)； (4)若点C(－2，3)在该函数的图象上. ①反比例函数的解析式是y ＝－6 x ； ②点A(x 1，y 1)和B(x 2，y 2)是反比例函数图象上的两点，且x 1<0
折叠问题 一、选择题 1.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（） A. 78° B. 7 5° C. 60° D. 45° 2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使DA与对角线DB重合，点A落在点A′处，折痕为DE，则A′G的长是 A. 1 B. C. D. 2 3.如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，E为AD边上一点，且AE= AB，连结BE，将△ABE沿BE翻折，若点A 恰好落在CE上点F处，则∠CBF的余弦值为（） A. B. C. D.
4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=8，折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，则线段EF的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，沿DE所在直线折叠，使点B恰好与点A重合，若CD=2，则AB的值为（） A. B. 4 C. D. 8 二、填空题 6.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点N是线段BC上的一个动点，将△ACN沿AN折叠，使点C落在点C'处，当△NC'B是直角三角形时，CN的长为________． 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2 ，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有________．（填
四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学：全等三角形复习测试卷 （测试时间120分钟，满分100分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.有下列说法：①形状相同的三角形是全等三角形；②面积相等的三角形是全等三角形；③全等三角形的周长相等；④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是全等三角形.其中正确的有(B) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是(C) A.∠A＝∠D B.∠ACB＝∠DBC C.AC＝DB D.AB ＝DC 3.如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C 是对应点，AF与DE相交于点M，则∠DCE＝(A) A.∠B B.∠A C.∠EMF D.∠AFB 4.在下列各图中，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是(B) A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.只有丙
5.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还须添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是(B) A.BC＝EC，∠B＝∠E B.BC＝DC，∠A＝∠D C.BC＝EC，AC＝DC D.∠B＝∠E，∠A＝∠D 6.如图，在等边△ABC中，M，N分别在BC，AC上移动，且BM＝CN，AM与BN相交于点Q，则∠BAM＋∠ABN的度数是(A) A.60° B.55° C.45° D.不能确定 7.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A 在△ECD的斜边DE上.若AE＝2，AD＝6，则两个三角形重叠部分的面积为(D) A. 2 B.3－ 2 C.3－1 D.3－ 3 8.如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的个数为(B)
热点专题5 操作探究问题 实践操作性问题以趣味性强、思维含量高为特点，在具体的实践操作中主要有以下类型：（1）裁剪、折叠、拼图等问题，往往与面积与对称性相联系；（2）画图、测量、猜想、证明等探究性问题，往往要求答题者在给定的操作规则下，进行探索研究、大胆猜想、发现结论，进而提高个人的创新能力与实践能力. 在2019年的中考中，操作性行问题主要包含几何体的展开与折叠，图案设计、程序框输入，尺规作图、几何图形的探究等题型，分值不一，难度不等. 考向1 几何体的展开与折叠 1. （2019·济宁）如图，一个几何体上半部为正四校锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（） A B C D 【答案】B 【解析】选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项B能折叠成原几何体的形式；选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同． 2．（2019·山西）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与"点"字所在面相对的面上的汉字是( ) A．青B．春C．梦D．想
【答案】B 【解析】根据正方体的展开与折叠中面的关系，可知与"点"字所在面相对的面上的汉字是春，故选B ． 考向2 图案设计与几何变换 1．（2019·烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示的顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），AOB ∠的度数是 ． 【答案】22.5︒ 【解析】在解本题的过程中，可以找一张正方形的纸片进行如题操作，通过测量，来得到答案，也可以利用图形的轴对称的性质，直接得到AOB ∠的度数是22.5︒． 2.（2019·南充）如图，正方形MNCB 在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB 得到折痕AE ，再翻折纸片，使AB 与AD 重合，以下结论错误的是( ) A ．210A B =+B ．CD B C C ．2BC C D EH =g D ．sin AHD ∠【答案】A 【解析】在Rt AEB ∆中，AB == //AB DH Q ，//BH AD ，∴四边形ABHD 是平行四边形， AB AD =Q ，∴四边形ABHD 是菱形，AD AB ∴= 1CD AD AD ∴===，∴ CD BC = ，故选项B 正确， 24BC =Q ，1)4CD EH ==g ，2BC CD EH ∴=g ，故选项C 正确， Q 四边形ABHD 是菱形，AHD AHB ∴∠=∠， sin sin AE AHD AHB AH ∴∠=∠= =D 正确，故选：A ． 3 ．（2019 · 北京）已知30AOB ∠=︒，H 为射线OA 上一定点，1OH =，P 为射线OB 上一点，M 为线
四川省渠县崇德实验学校2020年中考第二轮九年级数学三角形、四边形压轴题专题复习 一、选择题 1、如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（） A．2B．4C D． 2、如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A(4，4)，点C在边AB上，且AC BC ＝ 1 3 ，点D为 OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（） A．(2，2) B．(5 2 ， 5 2 ) C．( 8 3 ， 8 3 ) D．(3，3) 3、如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB＝1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD 于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝1 2 BC，连接GM．有如下结论：①DE＝ AF；②AN＝ 4 AB；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF：S四边形CNFB＝1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A．①②B．①③C．①②③D．②③④ 二、填空题 4、在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）． 对于任意矩形ABCD，下面四个结论中， ①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形． 所有正确结论的序号是______ 5、如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走个小立方块． 6、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD ＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号） 7、如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC 边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．
2021年中考数学一轮复习专题 图形折叠问题综合复习 一选择题： 1.如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=55°，则∠DAF=( ) A．40° B．35° C．20° D．15° 2.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（） A．50° B．55° C．60° D．65° 3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（） A．12 B．24 C．12 D．16 4.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6 5.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（） A．1 B．2 C. D. 6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（） A．12 B．10 C．8 D．6 7.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（） A.7 B.8 C．9 D． 10
8.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（） A．78° B．75° C．60° D．45° 9.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（） A． 10 B． 13 C． 15 D． 12 10.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是 ( ) A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米
2020年达州市渠县崇德实验学校中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共9小题，共20.0分） 1.有一种病毒的直径大约是0.00000068米，则它的直径用科学记数法可表示为()米． A. 0.68×10−7 B. 6.8×10−7 C. 6.8×10−8 D. 6.8×10−9 2.分别由4个大小相同的小立方块搭成的下列4个几何体中，其主视图和左视图为右图的几何体 是() A. B. C. D. 3.若有理数m，n在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是() A. −m<0 B. m+n>0 C. −n<|m| D. mn>0
4.下面的统计图反映了2013−2018年中国城镇居民人均可支配收入与人均消费支出的情况． 根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是() A. 2013−2018年，我国城镇居民人均可支配收入和人均消费支出均逐年增加 B. 2013−2018年，我国城镇居民人均可支配收入平均每年增长超过2400元 C. 从2015年起，我国城镇居民人均消费支出超过20000元 D. 2018年我国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的百分比超过70% 5.下列命题的逆命题是假命题的是()． A. 同位角相等 B. 等腰三角形是等边三角形 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 三边对应相等的两个三角形全等 6.从1，2，−3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是() A. 0 B. 1 3C. 2 3 D. 1 7.如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果 下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估 计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是() A. ① B. ② C. ①② D. ①③ 8.如图①，点E，F，A，B在同一条直线上，AB=EF=2，分别以AB和EF为边在直线的同侧 作正方形ABCD和等腰直角三角形EFG，将△EFG从图②所示的位置出发沿直线AB向右运动，当点E与点B重合时，停止运动．设△EFG与正方形ABED重叠部分的面积为y，线段AF的长为x，则下列函数图象能正确反映y与x的函数关系的是() A. B. C. D. 9.如图是甲、乙两公司近年销售收入情况的折线统计图，根据统计图得出下列结论，其中正确的 是()
专题03 折叠与落点有迹性 【例题】（2018·河师大附中模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =5，BC =8，点P 是射线BC 上一动点，连接AP ，将△ABP 沿AP 折叠，当点B 的对应点B ’落在线段BC 的垂直平分线上时，则BP 的长等于 【变式】（2019·偃师一模）如图，在边长为 3 的等边三角形ABC 中，点D 为AC 上一点，CD =1，点E 为边AB 上不与A ，B 重合的一个动点，连接DE ，以DE 为对称轴折叠△AED ，点 A 的对应点为点 F ，当点 F 落在等边三角形ABC 的边上时，AE 的长为 ． B
1.（2019·洛阳二模）如图，P是边长为3 的等边△ABC的边AB上一动点，沿过点P的直线折叠∠B，使点B落在AC上，对应点为D，折痕交BC于点E，点D是AC的一个三等分点，PB的长为． 2.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=6，E．F分别是线段AD，BC上的点，连接EF，使四边形ABFE 为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为． 3.（2018·信阳一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为． 4.（2019·三门峡二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为． 5.（2019·南阳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为．
2020-2021学年四川省达州市渠县崇德实验学校九年级 （上）第三次月考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.计算(2x3)2的结果是() A. 2x5 B. 2x6 C. 4x5 D. 4x6 2.下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是() A. B. C. D. 3.为了保护环境，美化家园，某校八年级二班的8名团员在“3.12植树节”当天，参 加了校团委组织的植树活动，8名团员的植树量如下(单位：棵)：6，7，4，6，4，6，7，8，则这组数据的() A. 众数是6 B. 中位数是5 C. 极差是2 D. 方差是3.8 4.分式方程3 2x =1 x−1 的解为() A. x=1 B. x=2 C. x=3 D. x=4 5.如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴， 第2个图案需13根火柴，第3个图案需21根火柴，…，依此规律，第6个图案需()根火柴． A. 56 B. 57 C. 58 D. 59 6.函数y=√x+2 x−3 中自变量x的取值范围是() A. x≥−2 B. x≥3 C. x≥3且x≠−2 D. x≥−2且x≠3 7.下列命题是假命题的是() A. 四边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
8.如果关于x的一元二次方程k2x2−(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么 k的取值范围是() A. k>−1 4B. k>−1 4 且k≠0 C. k<−1 4D. k≥−1 4 且k≠0 9.如图，正方形OABC的边OA、OC均在坐标轴上，双曲线 y=k x (x>0)经过OB的中点D，与AB边交于点E，与CB 边交于点F，直线EF与x轴交于G.若S△OAE=4.5，则点G 的坐标是() A. (7,0) B. (7.5,0) C. (8,0) D. (8.5,0) 10.如图，在矩形ABCD中，AD=√2AB，∠BAD的平分 线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD 于点F，连接DE交BF于点O，下列结论： ①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF； ④BC−CF=2HE；⑤AB=HF， 其中正确的有() A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 11.若3a2−a−2=0，则5+2a−6a2=______。 12.已知点P(a−1,a+2)在平面直角坐标系的第二象限内，则a的取值范围是______ ． 13.关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ______． 14.如图，在平行四边形ABCD中，AD=10，BD=12，点 E为BC边上任意一点，连接AE、DE，当AE=5，BE=3 时，平行四边形ABCD的面积是______ ． 15.如图，已知双曲线y=k x (k<0)经过直角三角形OAB斜 边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标 为(−6,4)，则△AOC的面积为______．
四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学：四边形综合专题复习题 1、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE=CD； （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积． 2、如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点． （1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积． 3、如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证： （1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形． 4、如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．
5、如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号） 6、如图，▱ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D 落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E． （1）求证：四边形BCED′是菱形； （2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值． 7、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE∥AC，CE∥BD．（1）求tan∠DBC的值；（2）求证：四边形OBEC是矩形．
四川省渠县崇德实验学校2020年中考第三轮总复习：几何三角形 压轴题综合题练习 1．如图乙，ABC ∆和ADE ∆是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线BD ，CE 的交点． （1）如图甲，将ADE ∆绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，则下列给出的四个结论中，其中正确的是________ ． ①BD CE =②BD CE ⊥③45ACE DBC ∠+∠=︒④2222()BE AD AB =+ （2）若4AB =，2AD =，把ADE ∆绕点A 旋转， ①当90EAC ∠=︒时，求PB 的长； ②求旋转过程中线段PB 长的最大值． 2．在平面直角坐标系中，O 为原点，点(4,0)A ，点(0,3)B ，把ABO ∆绕点B 逆时针旋转，得△A BO ''，点A ，O 旋转后的对应点为A '，O '，记旋转角为α． （Ⅰ）如图①，若90α=︒，求AA '的长；（Ⅱ）如图②，若120α=︒，求点O '的坐标； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA 上 的一点P 旋转后的对应点为P '，当O P BP '+'取得最小值时，求点P '的坐标（直接写出结果即可）
3．观察猜想 （1）如图①，在Rt ABC AB AC ∠=︒，3 ==，点D与点A重合，点E在边BC ∆中，90 BAC 上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90︒得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是BF BE +=； ⊥，BE BF 探究证明 （2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使1 AD=，其余条件不变，如图②，判断BE 与BF的位置关系，并求BE BF +的值，请写出你的理由或计算过程； 拓展延伸 （3）如图③，在ABC =， ∠=，点D在边BA的延长线上，BD n =，BACα ∆中，AB AC 连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角EDFα +的 ∠=，连接BF，则BE BF 值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论． 4．数学活动课上，某学习小组对有一内角为120︒的平行四边形(120) ∠=︒进行探 ABCD BAD 究：将一块含60︒的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60︒角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，