初中数学中的折叠问题
一、矩形中的折叠
折叠后BG 和BH 在再过点A ′折叠使边与对角线BD 重形中根据勾股定合，然后再沿着则∠DFB 等于的位置，已知重合部分是以折痕为底边的等腰三角形
理清在每一个折叠过程中的变与不变
8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中
①②③④四个三角形的周长之和为
折叠前后对应边相等
9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B
落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积
注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应
角相等 10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边
AD 上 不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B ’C ’与DN 交于P ．
(1)连接BB ’，那么BB ’与MN 的长度相等吗？为什么？
(2)设BM =y ，AB ’=x ，求y 与x 的函数关系式；
(3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形
MNC ’B ’面积最小？
并验证你的猜想． 二、纸片中的折叠
11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ）
C
题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形
12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为
在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC
13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是
注意掌握折叠前后图形的对应关系．
在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ 14．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG
15．将一张长为70 cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是（）
16．一根30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，求MA的长
三、三角形中的折叠
实践与运用：
(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。要抓住折叠前后图形之间的对应关系
(2)将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ （如图④），求∠MNF的大小．
在矩形中的折叠问题，通常会出现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等腰三角形21．直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、点F．
探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形．
先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可
22．下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图2，折痕CD 交AB于点D；打开后，过点D任意折叠，使折痕DE交BC于点E，如图3；打开后，如图4；再沿AE折叠，如图5；打开后，折痕如图6．则折痕DE和AE长度的和的最小值是（）
本题经过了三次折叠，注意理清折叠过程中的对称关系，求两条线段的和的最小值问题可以参见文章
23．小华将一条1（如图1），沿它对称轴折叠1次后得到（如图），再将图沿它对称轴折叠后得到（如图3），则图3中一条腰长；同上操作，若小华连续将图1折叠n次后所得到（如图n+1）一条腰长为多少？
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
24．如图，矩形纸片ABCD中，AB= 6 ，BC=10 ．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；
O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法，第n次折叠后的折痕与BD交于点O n，则BO1= ，BO n=
问题中涉及到的折叠从有限到无限，要明白每一次折叠中的变与不变，充分展示运算的详细过程。在找规律时要把最终的结果写成一样的形式，观察其中的变与不变，特别是变化的数据与折叠次数之间的关系
25．如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设
P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n-1D n-2的中点为D n-1，第n次纸片折叠，使A与点D n-1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6长（）
此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力
26．阅读理解
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
第1题图 第2题图 G 第3 题图第4题图 第5题图第6 题图 折叠问题文稿（不含压轴题） 1.如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 落在边BC 上的F 点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE=___． 2.如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG 的长． 3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°∠A<∠B ，CM 是斜边AB 的中线，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于_ ____． 4.如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，折痕交CD 于点E ，已知AB=8cm, BC=10cm ， 求EC 的长． 5.如图，直角梯形ABCD 中，∠A=90°，将BC 边折叠，使点B 与点D 重合，折痕经过点C ，若AD=2，AB=4，求∠BCE 的正切值． 6.如图，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，将点A 沿过DE 的直线拆叠． （1）说明点A 的对应点A ＇一定落在BC 上； （2）当A ＇在BC 中点处时，求证：AB=AC ．
第7题图 C'F E D A B C 7. 如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是多少？ 8. 如图是面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边上的中点，将点C 折至MN 上，落在点P 位置，折痕为BQ ，连结PQ ． （1）求MP 的长； （2）求证：以PQ 为边长的正方形面积等于 1 3 ． 9. 把矩形ABCD 对折，设折痕为MN ，再把B 点叠在折痕上，得到Rt △ABE ，延长EB 交AD 于点F ，若矩形的宽CD=4． （1）求证：△AEF 是等边三角形； （2）求△AEF 的面积． 第8题图 第9题图
D E 中考数学中的折叠问题 为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等，对应线段相等。有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。 例1 （成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在'B M 或'B M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ） A 、85° B 、90° C 、95° D 、100° 分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。 由题意可知：∠BME=∠'EMC ，∠CMF=∠'FMC ， ''180BMC CMC ∠+∠=°，又'C M 与'B M 重合， 则∠EMF=∠'EMC +∠'FMC =''11 ()18022 BMC CMC ∠+∠=?°= 90°，故选B 。 例2 （武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE 纸片按如图的方式折叠，折痕为AF, 点E 、D 分别落在'E 、 'D 。已知∠AFC=76°，则'CFD ∠等于（ ） A 、31° B 、28° C 、24° D 、22° 分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。根据题意得：'AFD AFD ∠=∠=180°-76°=104°，则'CFD ∠=104°-76°=28°，故选B 。 例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点'A 的位置，若1 tan 2 BOC ∠=，则点' A 的坐标为 。 分析与解答：本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的能力。
专题八折叠问题 学习要点与方法点拨：出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；-----判断线段之间关系等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、轴对称性质折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。 基本图形：中，将△ABF沿FBE,可得何结论？BE折叠至△在矩形ABCD 2）垂直。结论：（1）全等；（ ）基本图形练习：（1 A上，折痕为AD，展开纸片；再次折叠，使得沿过点如图，将三角形纸片ABCA的直线折叠，使得AC落在AB 是等腰三角形，对吗？则△和D点重合，折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,AEF ）折叠中角的考法与做法：（2的直线）；再沿过点E1FAABCD 将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得落在BC边上的点处，折痕为BE（图的大小。再展开纸片，求图（,3）中角a）（图'，折痕为边上的点落在折叠，使点DBEDEG2
1 专题精讲〗讲8第〖九年级． ）折叠中边的考法与做法：（3 D落在AB边中点E处，如图，将边长为 6cm的正方形ABCD折叠，使点 EBG的周长是多少？交于点G，则△落在折痕为FH，点CQ处，EQ与BC ★解题步骤：第一步：将已知条件标在图上 第二步：设未知数，将未知数标在图上； 第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。 模块精讲1.例点处．落在的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点BCD边上的P 扬州）已知矩形（2014?ABCD O，连结．、OAAP、OP1（）如图1，已知折痕与边BC交于点PDA；△①求证：OCP∽△的
初中数学中的折叠问题 一、矩形中的折叠 1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕， 折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度． 2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处， 再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是． 3．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，求AG的长． 根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角 形中根据勾股定理列方程求解即可 4．把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所示，则∠DFB等于（） 注意折叠前后角的对应关系 5．如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积． 重合部分是以折痕为底边的等腰三角形3 2 1 F E D C B A G A' C A B D
6．将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状三角形． 对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般 情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之 间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF 7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）． （1）求图②中∠BCB′的大小； （2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由． 理清在每一个折叠过程中的变与不变 8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中 ①②③④四个三角形的周长之和为 折叠前后对应边相等 9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B 落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积 注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等 10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D重合．MN 为折痕，折叠后B’C’与DN交于P． (1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？ (2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式； (3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形 MNC’B’面积最小？并验证你的猜想． 5 4 1 32 G D‘ F C‘ D B C A E
中考数学中的折叠问题 中考数学中的折叠问题：探索概念与解题方法 折叠问题是一种富有挑战性和趣味性的数学问题，近年来在中考数学中频繁出现。这类问题不仅考察了学生的几何知识和推理能力，还增加了考试的趣味性和实用性。本文将详细解析折叠问题的基本概念、类型和解题方法，帮助同学们更好地应对中考数学。 一、折叠问题的基本概念 折叠问题主要是研究图形在折叠前的形状、大小和位置关系，通过折叠后图形的变化以及展开后图形的还原等问题。解决这类问题的关键在于理解折叠前后的对称关系、角度关系、线段关系等。 二、折叠问题的常见类型 1、直尺上的折叠：问题中会给出一把直尺，研究直尺折叠后的线段长度、角度大小以及对称关系等。 2、三角板上的折叠：问题中会给出一把三角板，研究三角板折叠后的角度大小、线段长度以及对称关系等。 3、正方形纸片的折叠：问题中会给出一块正方形纸片，研究纸片折叠后的形状、大小和位置关系等。 4、其他多边形纸片的折叠：问题中会给出一块其他多边形纸片，研
究纸片折叠后的形状、大小和位置关系等。 三、折叠问题的解题方法 1、利用对称关系：在折叠前后的图形中，对称轴两侧的图形往往具有对称关系。我们可以利用这种对称关系，解决与线段长度、角度大小相关的问题。 2、利用全等关系：在折叠前后的图形中，往往存在一些全等的三角形或线段。我们可以利用这些全等关系，解决与三角形或线段长度相关的问题。 3、利用角度关系：在折叠前后的图形中，往往存在一些特殊的角度，如直角、等角等。我们可以利用这些角度关系，解决与角度大小相关的问题。 4、利用参数方程：对于一些较为复杂的折叠问题，我们可以引入参数方程，将问题转化为参数的变化问题，从而方便求解。 四、总结 中考数学中的折叠问题主要考察学生的几何知识和推理能力，掌握基本的解题方法对于解决这类问题至关重要。希望通过本文的解析，同学们能够更好地理解和掌握折叠问题的基本概念和解题方法，为应对中考数学做好充分准备。在平时的学习中，同学们可以多加练习，加深对折叠问题的理解，提高解题速度和准确性。
折叠问题 1．常见图形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 2．折叠的本质是 ,折叠前后的对就应线段、对应角 。 3.折痕是 ,对应点连线被对称轴 。 练习题 1．如图,ＤE ∥A Ｂ，将此三角形沿DE 折叠,使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等 于 2．如图，R ｔ△AB Ｃ中，∠AC Ｂ=９0°，∠A ＝50°,将其折叠，使点A 落在边C Ｂ上E 处,折痕为CD ,则∠B ＤE 等于 3．在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM .如果将ABM △沿直线AM 翻折后, 点B 恰好落在边AC 的中点处,那么点M 到AC 的距离是 ． 4．如图,将矩形ABCD 沿BE 折叠,若∠CBA ′=30°则∠ＢE Ａ′＝＿＿_＿_ ５.如图,矩形纸片ABCD 中，ＡＢ=4,AD ＝3,折叠纸片使AD 边与对角线ＢＤ重合，折痕为ＤＧ，则AG 的长为 。 6．如图所示，把一个长方形纸片沿ＥF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′,C ′的位置．若∠EFB =65°,则∠A ＥＤ′ 等于 。 7．矩形纸片ABC Ｄ的边长A Ｂ＝4，AD =2.将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点Ｃ重合，折叠后在其一面着色(如图）, 则着色部分的面积为 ８.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，ＡE 、EF 为折痕,∠BAE ＝30°,ＡB ＝3,折叠后,点C 落在ＡＤ边上的 F E D C B A M F E D C B A F E D C B A F E D C B A N M F E D C B A E D C B A N M F E D C B A F E D C B A P E D C B A P E D C B A E D C B A M C B A A B C D E A′G C
与折叠有关的计算问题 一．求角 1.已知，如图,Rt △ABC 中,∠C=90o,沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC,使 C 恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A=________. 2.如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点恰好落在BC 边上的F 处，如果 ∠BAF=70o,那么∠DAE=__________. 3.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，连接AE ，求证:AE ∥BD. 4. 如图2,将正方形纸片ABCD 折叠,使边AB,CB 均落在对角线BD 上 ,得折痕 BE,BF,则 ∠EBF= 5. 如图3,把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个内角为120o的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ） A.15o或30o B.30o或45o C.45o或60o D.30o或60o 6. 如图7，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A 1处，连接A 1C,则∠BA 1C= _________o 7.如图，在Rt △ABC 中,∠C=90o,沿过B 点的一条直线BE 折叠这 个三角形，使C 与AB 边上的一点D 重合,当∠A 满足什么条件时， D 恰好为AB 的中点？写出你认为适当的条件，并利用此条件证明 D 为AB 的中点. A D B E C A B F C E D F A B C D E 图3 图4 C B A M D B C 图2 图 B F E D A B C 图7A E A 1 B C D D C A D B
二．求边 1.(1)如图，沿AE 折叠长方形，使D 点落在BC 边上的F 处，已知AB=8,BC=10.求CE 的长. (2) 如图14所示，折叠长方形的一边AD,使点D 落在BC 边上的F 处，已知AB=8cm,BC=10cm,求折痕AE 的长。 2.(1)如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm.现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长. (2)如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在AB 上 的点E 处.已知BC=12,∠B=30o,则DE=______. 3. 如图，折叠矩形的一边AD,使点D 落在BC 边上的F 处，已知AB=8cm, BC=10cm,则EC=______cm. 4.如图，矩形纸片ABCD 中,AB=6cm,BC=8cm,现将其沿AE 对折， 使得B 点落在AD 上的点B 1处，折痕与BC 交于点E,则CE=_____. 5. 如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=12 cm,EF=16cm,求AD 的长. 6.如图，将一长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在E 的位置上，AE 交DC 于点F,已知AB=8cm,BC=4cm,求线段CF 的长. A B F C E D C B E A F E C D B A B A E B 1 C D 图 21 B F C G E A D H B C A F D E B 30°D C E A 图14 A B F C E D
中考数学折叠问题 1、如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=12，BC=5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A′处，则AE 的长为________. 2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BC=8，tan ∠C=3 2 ，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为_________. 3、如图，在Rt △ABC 纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P 在AC 上运动，将纸片沿PB 折叠，得到点C 的对应点D （P 在C 点时，点C 的对应点是本身），则折叠过程对应点D 的路径长是________. 4、如图，矩形ABCD 中，AB=1，E 、F 分别为AD 、CD 的中点，沿BE 将△ABE 折叠，若点A 恰好落在BF 上，则AD=_______. 5、如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为_______. 6、如图，在三角形纸片ABC 中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C 落在AB 边上的D 点处，折痕BE 与AC 交于点E ，若AD=BD ，则折痕BE 的长为_______． 7、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，沿AD 折叠，使点B 落在斜边AC 上，若AB=3，BC=4，则BD=________ 8、.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A′处，若∠A′BC=15°，则∠A′BD 的度数为_________. 9、如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A ′处，连接A ′C ，则∠BA ′C= _______. 10、如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB′与AD 的交点C′处．则BC ：AB 的值为_________. 11、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D 在AC 上，将△ADB 沿直线BD 翻折后，将点A 落在点E 处，如果AD ⊥ED ，那么线段DE 的长为________． 12、把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB=3cm ，BC=5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是_________cm2． 13、在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x 轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换．如图，已知等边三角形ABC 的顶点B 、C 的坐标分别是（-1，-1）、（-3，-1），把△ABC 经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A 的对应点A′的坐标是________. 14、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是_______. 15、如图，已知正方形ABCD 的对角线长为22，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为________. 第1题 第3题 第4题 第2题 第5题 第6题 第7题 第9题 第8题 第10题 第11题 第12题 第13题 第14题 第15题
初中数学中的折叠问题 折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。其实对于折叠问题，我们要明白： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换． 2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系． 4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形 5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x ，然后根据轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解． 一、矩形中的折叠 1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD= 度． BC 、BD 是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC ，∠EBD = ∠HBD 则∠CBD = 90° 折叠前后的对应角相等 2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是 ． 沿BC 折叠，顶点落在点A ’处，根据对称的性质得到BC 垂直平分AA ’，即AF = 1 2 AA ’， 又DE ∥BC ，得到△ABC ∽ △ADE ，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE 的面积 = 24 对称轴垂直平分对应点的连线
专题八折叠问题 学习要点与方法点拨： 出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题 折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等； 考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；轴对称性质-----折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。 基本图形： 在矩形ABCD中，将△ABF沿BE折叠至△FBE,可得何结论？ （1）基本图形练习： 如图，将三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB上，折痕为AD，展开纸片；再次折叠，使得A 和D点重合，折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,则△AEF是等腰三角形，对吗？ （2）折叠中角的考法与做法： 将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使得A落在BC边上的点F处，折痕为BE（图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE边上的点D’，折痕为EG（图2）,再展开纸片，求图（3）中角a的大小。 结论：（1）全等；（2）垂直。
（3）折叠中边的考法与做法： 如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处， 折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是多少？ ★解题步骤： 第一步：将已知条件标在图上； 第二步：设未知数，将未知数标在图上； 第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。 模块精讲 例1.（2014•扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处． （1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． ①求证：△OCP∽△PDA； ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数； （3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重 合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
专题八折叠问题 学习要点及方法点拨： 出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题 折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等； 考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；轴对称性质-----折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。 基本图形： 在矩形ABCD中，将△ABF沿BE折叠至△FBE,可得何结论？ 结论：（1）全等；（2）垂直。 （1）基本图形练习： 如图，将三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB上，折痕为AD，展开纸片；再次折叠，使得A和D点重合，折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,则△AEF是等腰三角形，对吗？
（2）折叠中角的考法及做法： 将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使得A落在BC边上的点F处，折痕为BE（图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE边上的点D’，折痕为EG（图2）,再展开纸片，求图（3）中角a的大小。 （3）折叠中边的考法及做法： 如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处， 折痕为FH，点C落在Q处，EQ及BC交于点G，则△EBG的周长是多少？ ★解题步骤： 第一步：将已知条件标在图上； 第二步：设未知数，将未知数标在图上； 第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。 模块精讲 例1.（2014•扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
初中几何折叠问题的三种解法 初中几何折叠问题的三种解法 初中几何是数学中的一个重要分支，而折叠问题则是初中几何中常见的一种问题。在这里，我们将介绍三种不同的方法来解决初中几何折叠问题。 方法一：手工模拟法 手工模拟法是一种简单直观的方法。它通过将纸张折叠成所需形状来解决问题。 步骤： 1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。 2. 将纸张按照比例剪成相应大小。 3. 按照题目要求，将纸张进行折叠，直到得到所需形状。 4. 计算所需参数并得出答案。
优点： 手工模拟法操作简单易懂，适合初学者使用。同时也能够帮助学生更好地理解折叠问题的本质。 缺点： 手工模拟法需要较长时间完成，并且需要精确测量和折叠。同时也容易出现误差和偏差。 方法二：平面几何法 平面几何法是一种基于平面几何知识来解决问题的方法。它通过利用图形相似性和对称性来计算所需参数。 步骤： 1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。 2. 根据平面几何知识，计算所需参数，如角度、长度等。 3. 得出答案。
优点： 平面几何法具有计算速度快、精度高等特点。同时也能够帮助学生更好地理解平面几何知识的应用。 缺点： 平面几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对图形相似性和对称性有深入理解。同时也容易出现计算错误和漏算情况。 方法三：三维几何法 三维几何法是一种基于立体几何知识来解决问题的方法。它通过利用立体图形的投影和相似性来计算所需参数。 步骤： 1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。 2. 利用三维几何知识，将立体图形投影到二维平面上，并计算所需参数，如角度、长度等。
初中数学折叠问题模型 （最新版） 目录 1.折叠问题的概念 2.折叠问题的模型 3.折叠问题的解法 4.折叠问题的应用 正文 一、折叠问题的概念 折叠问题是初中数学中的一个重要题型，它主要涉及到几何变换和空间想象能力的运用。在折叠问题中，我们需要将一个平面图形通过折叠，使得它与另一个平面图形重合，从而解决实际问题。这类问题不仅能够锻炼学生的思维能力，还能够提高学生的动手操作能力。 二、折叠问题的模型 在解决折叠问题时，我们需要掌握折叠问题的模型。一般来说，折叠问题的模型主要包括以下几个方面： 1.折叠线：折叠线是指将一个平面图形折叠成另一个平面图形时，所需要折叠的线段。折叠线通常是两个平面图形的公共边。 2.折叠角：折叠角是指折叠线两侧的相邻角，它们的度数相等。 3.折叠距离：折叠距离是指折叠前后两个平面图形之间的距离。在折叠过程中，折叠距离保持不变。 三、折叠问题的解法 解决折叠问题的方法主要有以下几种： 1.观察法：通过观察折叠前后两个平面图形的形状，找出折叠线、折
叠角和折叠距离，从而解决问题。 2.测量法：通过测量折叠前后两个平面图形的相关尺寸，如长度、角度等，找出折叠线、折叠角和折叠距离，从而解决问题。 3.构造法：通过构造辅助线，将折叠问题转化为一个较为简单的几何问题，从而解决问题。 4.反演法：通过将折叠问题反向思考，即将折叠后的图形还原为折叠前的图形，从而找出折叠线、折叠角和折叠距离，从而解决问题。 四、折叠问题的应用 折叠问题在实际生活中应用广泛，如制作纸盒、设计立体装饰品等。通过解决折叠问题，我们可以提高自己的动手操作能力和空间想象能力，从而更好地应对生活中的各种挑战。