折叠问题
1.如图,在平面直角坐标系x O y中,O为坐标原点,直线y=－x＋4与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(Ⅰ)求点A,B的坐标;
(Ⅱ)在直线A B上是否存在点P,使△O A P是以O A为底边的等腰三角形？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)若将R t△A O B折叠,使O B边落在A B上,点O与点D
.
重合,折痕为B C,求折痕B C所在直线的解析式
第1题图
解:(Ⅰ)在y=－x＋4中,令x=0可得y=4,令y=0可求得x=4,∴A(4,0),B(0,4);
(Ⅱ)如解图①,作线段O A的垂直平分线,交x轴于点E,交A B于点P,
则O P=P A,即P点即为满足条件的点,
∵O A=4,
∴O E=2,
在y=－x＋4中,当x=2时,可得y=2,
∴P点坐标为(2,2);
(Ⅲ)如解图②,
设C(t,0),则A C=O A－O C=4－t,
∵O A=O B=4,
由折叠的性质可得B D=O B=4,C D=O C=t,∠A D C=∠B O C=90°,
在R t△A C D中,由勾股定理可得A C2=A D2＋C D2,即(4－
设直线B C解析式为y=k x＋b,
图①图②
第1题解图
(Ⅰ)求出∠A B C的度数;
(Ⅱ)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿B A、B C边运动,其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,当运动时间为t秒时,连接M N,
将△B M N沿M N翻折,B点恰好落在A C边上的P处
,求t
的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的情况下,直接写出点P的坐标.
第2题图
∴O B=
1,
B C=60°;
∴∠A
∴BC=2,AB=4,
∴∠B=60°,B M=B N,
∴△B M N是等边三角形,
∴△P M N也是等边三角形,
∴P N=B N=t,∠P N M=∠N M B=60°,
∴P N∥A B,
P D⊥A B,垂足为D,
【解法提示】如解图,过点P作
∴O D=1,
第2题解图
3.如图,在平面直角坐标系中,正方形O B C D的点B的坐标为(2,0),E,F分别为边B C,C D上的点,且B E=C F,连接O E,B F,交点为G,将△B C F沿B F对折,得到△B P F,延长F P交x轴于点Q.
(Ⅰ)求证:O E⊥B F;
(Ⅱ)若E为B C的中点,求点Q的坐标;
(Ⅲ)设点E的坐标为(2,n),点Q的坐标为(－m,0),请写出m关于n的函数关系式
.
第3题图
解:(Ⅰ)在△B E O和△C F B中,
BE CF
EBO FCB BO CB
⎪
∠
⎪
⎩
∠
⎧
⎨
＝
＝
＝
,
∴△B E O≌△C F B,
∴∠B E O=∠C F B,
∵∠C F B＋∠C B F=90°,
∴∠B E O＋∠C B F=90°,
∴∠E G B=180°－90°=90°,
∴O E⊥B F;
(Ⅱ)如解图，由折叠的性质得∠1=∠2,B P=B C=2, F P=F C=B E=1,
∵CD∥OB,
∴∠2=∠FBQ,
∴∠1=∠FBQ,
∴QF=Q B,
设QB=x,则PQ=x－1,
在Rt△B P Q中，QB2=PB2+PQ2,
即x2=22+(x-1)2,
(Ⅲ)如解图，过点F作FH⊥OB于点H, 则四边形BCFH为矩形,即CF=BH,
∵点E的坐标为(2,n),B E=C F,
∴C F=B H=B E=n,
由折叠的性质可得B C=B P=2,B P⊥Q F,
∴Q B=Q F,
∵Q B=O B+O Q=m+2,
在Rt△QFH中,由勾股定理得QF2=FH2+QH2,即+2-n)2+22,
(m+2)2=(m
第3题解图
4.在平面直角坐标系中,一张矩形纸片O B C D按图①所示放置,已知O B=10,B C=6,将这张纸片折叠,使点O落在边C D上,记作点A,折痕与边O D(含端点)交于点E,与边
O B(含端点)或其延长线交于点F.
(Ⅰ)如图①,若点E的坐标为(0,4),求点A的坐标;
(Ⅲ)将矩形沿直线y=k x＋n折叠,点F在边O B上(
含端点),
直接写出k的取值范围.
第4题图
解:(Ⅰ)∵点E的坐标为(0,4),∴O E=A E=4,
∵四边形O B C D是矩形,
∴O D=B C=6,
∴D E=2,
∴O E=n,点F的坐标为(2n,0),
连接OA,如解图①，则EF垂直平分OA
,
易得△A O D∽△E F O,
则
∴
点A的坐标为(3,6);
【解法提示】当点F与点B重合时,AB=OB=10,
则AD =2,
当点E 与点D 重合时,如解图②,点F (6,0), 易得直线E F 的
解析式为y =－x ＋6,此时k =-1,
综上所述,
第4题解图
5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B
在x轴的正半轴上,∠AOB=45°,线段OA,AB的长满足|OA
－
＋(AB
－)2=0,点C在OA边上,将△OBC沿x轴折叠,使点C落在点D上,连接BC.
(Ⅰ)求∠A的度数;
(Ⅱ)当OC:OA
,求BD所在直线的解析式;
(Ⅲ)当OC:CA=1:2时,在平面内是否存在点N,使以点N,O,D,M(点M为坐标轴上一点)为顶点的四边形为正方形？
若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由
.
第5题图
解:(Ⅰ)∵|OA
－＋(AB
－)2=0, ∴OA
－AB
－∴OA
=,AB
=如解图①,过点A 作AM ⊥x 轴,垂足为M , 又∵∠AOB =45°,
∴△AOM 为等腰直角三角形, ∴∠OAM =45°, ∴OM =AM
=
2
OA =3, ∴MB
∴MB =1
2AB ,
∴∠MAB =30°,
∴∠OAB =∠OAM ＋∠MAB =75°; (Ⅱ)如解图②,连接CD 交x 轴于点N ,
∵OC :OA
OA
=∴OC
∵∠DON =∠CON =45°, ∴△COD 为等腰直角三角形, ∴CN =ND
ON
∴D
又∵OB =OM ＋BM =3
设直线BD 的解析式为y =kx ＋b ,
将B (3
D
代入得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=++3
30)33(b k b k ,
解得⎪⎩⎪⎨⎧--==133
3
b k , ∴直线BD 的解析式为y
=
3
x
1;
(Ⅲ)满足条件的点N的坐标有4个,N点坐标为N(1,1),N(－1,－10,N(0,－1),N(1,0).
第5题解图
6.如图①,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处. (Ⅰ)直接写出点E、F的坐标;
(Ⅱ)如图②,若点P是线段DA上的一个动点,过P作PH ⊥DB于H点,设OP的长为x,△DPH的面积为S,试用关
于x 的代数式表示S ;
(Ⅲ)如图③,在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ,使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在,求出周长的最小值.(直接写出结果即可
)
第6题图 解:(Ⅰ)由题意可求,AE =1,CF =1, 故:E (3,1),F (1,2);
(Ⅱ)∵将△BDA 沿BD 翻折,使点A 落在BC 边上的点F 处,
∴BF =AB =2, ∴OD =CF =3－2=1,
若设OP的长为x,
则PD=x－1,
在Rt△ABD中,AB=2,AD=2,
∴∠ADB=45°,
(Ⅲ)如解图,作点F关于y轴的对称点F′,点E关于x轴的对称点E′,连接E′F′交y轴于点N,交x轴于点M,此时四边形MNFE的周长最小,
可求,点F(1,2)关于y轴的对称点F′(－1,2),点E(3,1)关于x轴的对称点E′(3,－1),
此时,四边形MNFE 的周长=E ′F ′＋EF
=
∴在x 轴、y 轴上分别存在点M 、N ,使得四边形MNFE
第6题解图
7.如图①,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC ,已知O (0,0),A (8,0),C (0,4),点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合),将△PAB 沿PB 翻折,得到△PDB , (Ⅰ)如图①,当∠BPA =30°时,求点D 的坐标;
2020中考数学 几何培优之图形折叠与拼接问题（含答案） 【例1】 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在D '处，则重叠部分△AFC 的面积为＿＿＿＿＿. 例1题图 例2题图 【例2】如图，直线26y x =-+ 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，把△POQ 沿PQ 翻折，点O 落在R 处，则点R 的坐标是（ ） A .2412 ( ,)55 B .（2,1） C .（6,3） D .（7，3.5） 【例3】 如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在CD 边上点E 处，然后压平折痕FG ，若FG ＝13cm ，求CE 长. 【例4】 将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ， ，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动 2 3 秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）． A
（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，； （2）当1t 时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标； （3）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由． 【例5】 用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接一个长方形. （1）求这个长方形的长和宽； （2）请画出拼接图. 【例6】 将正方形纸片ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 交于点G. （1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ：DM ：EM ＝3：4：5； （2）如果M 为CD 边上的任意一点，设AB ＝2a ，问△CMG 的周长是否有与点M 的位置关系？若有关，请把△CMG 的周长用含CM 的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由． 图1
四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学专题复习：折叠问题 1、如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折 叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，求CE的长？ 【解答】解：∵AB=4，AD=3， ∴BD=5， ∵把△EBC沿BC折叠得到△BC′E， ∴C′E=CE，BC′=BC=AD=3， ∵当点C落在矩形ABCD的对角线上， ∴D，C′，B三点共线， ∴C′D=2，∠DC′E=90°， ∵DE=4﹣CE， ∵DE2=DC′2+C′E2， 即（4﹣CE）2=22+CE2， ∴CE=3 2 ． 2、如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线
折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长？ 【解答】解：①当点A落在如图1所示的位置时， ∵△ACB是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°， ∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN， ∴∠BMD=∠NDC， ∴△BMD∽△CDN． ∴得BD CN = DM DN = BM CD ， ∵DN=AN， ∴得BD CN = DN AN = BM CD ， ∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=2，CD=8， 设AN=x，则CN=10﹣x， ∴ 2 10x － = x DM = 8 BM ，
∴DM= 2x 10x － ，BM= 16 10x － ， ∵BM+DM=10， ∴ 2x 10x － + 16 10x － =10， 解得x=7， ∴AN=7； ②当A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD∽△CDN． ∴得BD CN = DM DN = BM CD ， ∵BD：DC=1：4，BC=10， ∴DB=10 3 ，CD= 40 3 ， 设AN=x，则CN=x﹣10， ∴ 10 3 x－10 = x DM = 40 3 BM ， ∴DM= 10x 3x10 （－） ，BM= 400 9x10 （－） ， ∵BM+DM=10， ∴ 10x 3x10 （－） + 400 9x10 （－） =10，
折叠问题 1.如图,在平面直角坐标系x O y中,O为坐标原点,直线y=－x＋4与x轴交于点A,与y轴交于点B. (Ⅰ)求点A,B的坐标; (Ⅱ)在直线A B上是否存在点P,使△O A P是以O A为底边的等腰三角形？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)若将R t△A O B折叠,使O B边落在A B上,点O与点D . 重合,折痕为B C,求折痕B C所在直线的解析式
第1题图 解:(Ⅰ)在y=－x＋4中,令x=0可得y=4,令y=0可求得x=4,∴A(4,0),B(0,4); (Ⅱ)如解图①,作线段O A的垂直平分线,交x轴于点E,交A B于点P, 则O P=P A,即P点即为满足条件的点, ∵O A=4, ∴O E=2, 在y=－x＋4中,当x=2时,可得y=2, ∴P点坐标为(2,2); (Ⅲ)如解图②, 设C(t,0),则A C=O A－O C=4－t, ∵O A=O B=4,
由折叠的性质可得B D=O B=4,C D=O C=t,∠A D C=∠B O C=90°, 在R t△A C D中,由勾股定理可得A C2=A D2＋C D2,即(4－ 设直线B C解析式为y=k x＋b,
图①图② 第1题解图 (Ⅰ)求出∠A B C的度数; (Ⅱ)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿B A、B C边运动,其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,当运动时间为t秒时,连接M N, 将△B M N沿M N翻折,B点恰好落在A C边上的P处 ,求t 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的情况下,直接写出点P的坐标.
中考数学-----折叠剪切问题 折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题. 一．折叠后求度数 【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ） A ．600 B ．750 C ．900 D ．950 答案：C 【2】如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ） A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° 答案：A 【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平 就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度. 答案：36° 二．折叠后求面积 【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为 AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 图（1 ） 第3题图 C D E B A 图 （2）
答案：C 【5】如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中 的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是 A ．2 B ．4 C ．8 D ．10 答案：B 【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。操 作： （1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c 。则△GFC 的面积是（ ） E A A A B B B C C C G D D D F F F 图a 图b 图c
2020中考数学 压轴专题：图形折叠（含答案） 1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 沿AD 翻折，点B 恰好与点C 重合，点E 在AC 边上，连接BE . (1)如图①，若点F 是BE 的中点，连接DF ，且AF ＝5，AE ＝6，求DF 的长； (2)如图②，若AF ⊥BE 于点F ，并延长AF 交BC 于点G ，当点E 是AC 的中点时，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ； (3)在(2)的条件下，连接DF ，请直接．． 写出∠DFG 的度数． 第1题图 解：(1)由折叠的性质得：AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ， 在Rt △ABE 中，∵点F 是BE 的中点， ∴AF 是Rt △ABE 斜边上的中线，∴AF ＝1 2BE ， ∵AF ＝5，∴BE ＝10， 在Rt △ABE 中，AE ＝6，BE ＝10，∴AB ＝8， 又∵AB ＝AC ，∴AC ＝8， ∴CE ＝AC －AE ＝2，∴DF ＝1 2CE ＝1； (2)证明：如解图①，过点C 作CM ⊥AC ，交AG 的延长线于点M ，则∠ACM ＝90°， 第1题解图①
又∵∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACM ， ∵AF 是△ABE 的高， ∴∠AFB ＝90°，∴∠1＋∠BAF ＝90°， ∵∠BAC ＝90°， ∴∠2＋∠BAF ＝90°，∴∠1＝∠2， 在△ABE 和△CAM 中， ???? ?∠BAE ＝∠ACM AB ＝CA ∠1＝∠2 ， ∴△ABE ≌△CAM (ASA)， ∴AE ＝CM ，BE ＝AM ， 又∵点E 是AC 边的中点， ∴CE ＝AE ＝CM ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°， 又∵∠ACM ＝90°， ∴∠MCG ＝∠ACB ＝45°， 在△CEG 和△CMG 中， ???? ?CE ＝CM ∠ECG ＝∠MCG CG ＝CG ， ∴△CEG ≌△CMG (SAS)，∴EG ＝GM ， 又∵BE ＝AM ， ∴AG ＋EG ＝AG ＋GM ＝AM ＝BE ； (3)∠DFG ＝45°. 【解法提示】如解图②，过点D 作DN ⊥DF ，交AG 的延长线于点N ，则∠NDF ＝90°，
2020年初三数学中考冲刺专题复习训练 圆的折叠专题 1. 如图①是半径为2的半圆，点C 是︵ AB 的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C 与圆心O 重合， 则图中阴影部分的面积是（ ） A ．4π3 B ．4π3 -3 C ．23+π3 D ．23-23 π 2. 如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径，将︵ AB 沿着AB 弦翻折，恰好经过圆心O ．若⊙O 的半径为 6，则图中阴影部分的面积等于（ ） A ．6π B ．93 C ．9π D ．63 3. 如图，将⊙O 的劣弧︵ AB 沿AB 翻折，D 为优弧︵ADB 上一点，连接AD ，交︵ AB 于点C ，连接BC 、BD ； 若BC=5，则BD= ． 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ） A ．3.2 B ．3.6 C ．3.8 D ．4.2 5. ）如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB 沿过点 B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点 C ，则整个阴影部分的面积为（ ） A ．9π-9 B ．9π-63 C ．9π-18 D ．9π-123
6.如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm，点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ 将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O，则OP的最大距离为． 7.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB折叠，折叠后 如右图，则⊙O到所作的圆的切线OC的长为（） A．22B．5 C．3 D．11 8.如图，将半径为12的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB 长为（） A．42B．82 C．6 D．62 9.已知如图：⊙O的半径为8cm，把弧AmB沿AB折叠使弧AmB经过 圆心O，再把弧AOB沿CD折叠，使弧COD经过AB的中点E，则折线CD的长为（） 8cm A．8cm B．3 2cm D．47cm C．7 10.如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰 好经过点O，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（） A．3.2 B．3.6 C．3.8 D．4.2
2020年度初三数学专题复习中考 圆的折叠专题 1. 如图①是半径为2的半圆，点C 是︵ AB 的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C 与圆心O 重合， 则图中阴影部分的面积是（ ） A ．4π3 B ．4π3 -3 C ．23+π3 D ．23-23 π 2. 如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径，将︵ AB 沿着AB 弦翻折，恰好经过圆心O ．若⊙O 的半径为 6，则图中阴影部分的面积等于（ ） A ．6π B ．93 C ．9π D ．63 3. 如图，将⊙O 的劣弧︵ AB 沿AB 翻折，D 为优弧︵ADB 上一点，连接AD ，交︵ AB 于点C ，连接BC 、BD ； 若BC=5，则BD= ． 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰 好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ） A ．3.2 B ．3.6 C ．3.8 D ．4.2
5.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在 弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为（） A．9π-9 B．9π-63 C．9π-18 D．9π-123 6.如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm，点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ 将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O，则OP的最大距离为． 7.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB折叠，折叠后如右图，则⊙O到所作的圆的切 线OC的长为（） A．22B．5 C．3 D．11 8.如图，将半径为12的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB 长为（） A．42B．82 C．6 D．62
折叠问题 一、选择题 1.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C 落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（） A. 78° B. 75° C. 60° D. 45° 2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使DA与对角线DB重合，点A落在点A′处，折痕为DE，则A′G的长是 A. 1 B. C. D. 2 3.如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，E为AD边上一点，且AE= AB，连结BE，将△ABE沿BE翻折，若点A恰好落在CE上点F处，则∠CBF 的余弦值为（）
A. B. C. D. 4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=8，折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，则线段EF的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，沿DE所在直线折叠，使点B恰好与点A重合，若CD=2，则AB的值为（） A. B. 4 C. D. 8 二、填空题 6.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点N是线段BC上的一个动点，将△ACN沿AN折叠，使点C落在点C'处，当△NC'B是直角三角形时，CN的长为________． 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2 ，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，
连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号） 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2 ，AC=2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________． 9.如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=6，点E为DC上一个动点，把△ADE 沿AE折叠，点F为CD上一个动点，把△BCF沿BF折叠，当点D的对应点和点C的对应点都落在点D′处时，EF的长为________．
中考数学复习专题之折叠问题 1．如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把BCM ∆沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF EC ⊥，垂足为F ，若1CD =，2CF =，则线段AE 的长为( ) A ．52- B ．31- C ．13 D ．12 2．如图，直线EF 是矩形ABCD 的对称轴，点P 在CD 边上，将BCP ∆沿BP 折叠，点C 恰好落在线段AP 与EF 的交点Q 处，43BC =，则线段AB 的长是( ) A ．8 B ．82 C ．83 D ．10 3．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，折痕为MN ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，点C ，D 的对应点分别为点 E ， F ，且点F 在矩形内部，MF 的延长线交边BC 于点 G ，EF 交边BC 于点 H ．2EN =，4AB =，当点H 为GN 的三等分点时，MD 的长为 ． 4．如图，对折矩形纸片ABCD ，使得AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A 的对应点A '落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，连接MF ，若MF BM ⊥，6AB cm =，则AD 的长是 cm ． 5．如图，正方形ABCD 的边长为10，点G 是边CD 的中点，点E 是边AD 上一动点，连接BE ，将ABE ∆沿BE 翻折得到FBE ∆，连接GF ，当GF 最小时，AE 的长是 ．
6．如图，正方形ABCD 的边长为10，点G 是边CD 的中点，点E 是边AD 上一动点，连接BE ，将ABE ∆沿BE 翻折得到FBE ∆，连接GF ，当GF 最小时，GF 的长是 ． 7．如图，四边形ABCD 为矩形，2,3AB AD ==，点E 为边BC 上一点，将DCE ∆沿DE 翻折，点C 的对应点为点F ，过点F 作DE 的平行线交AD 于点G ，交直线BC 于点H ．若点G 是边AD 的三等分点，则FG 的长是 ． 8．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 为边AD 上一动点，连接OP ，以OP 为折痕，将AOP ∆折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ．若PDF ∆为直角三角形，则DP 的长为 ． 9．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，6BC =，点M ，N 分别在AD ，BC 上，且13 AM AD =，13 BN BC =，E 为直线BC 上一动点，连接DE ，将DCE ∆沿DE 所在直线翻折得到△DC E '，当点C '恰好落在直线MN 上时，CE 的长为 ． 10．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将AMN ∆沿MN 所在直线折叠，得到△A MN '，连接A C '，则A C '的最小值是 ．
专题：折叠类题目中的动点问题 折叠问题是中考的热点也是难点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠，通过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理、全等三角形性质、相似三角形性质、三角函数等知识进行解答。此类问题立意新颖，充满着变化，要解决此类问题，除了能根据轴对称图形的性质作出要求的图形外，还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。 类型一、求折叠中动点运动距离或线段长度的最值 例1. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 . 图例1-1 【答案】2. 【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求. ①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图例1-2所示. 确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P. 图例1-2 图例1-3 由折叠性质可知，AD= A'D=5，在Rt△A'CD中，由勾股定理得， A C=== '4 ②当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端，如图例1-3所示. 确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'P=AP，所以以点P为圆心，以AP长为半径画弧，与BC的交点即为点
【经典例题1】如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8． （1）求⊙O的半径； （2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积． 【解析】（1）连接AO，如右图1所示， ∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8， ∴AG＝＝4， ∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G， ∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k， ∴（3k）2+42＝（5k）2， 解得，k＝1或k＝﹣1（舍去）， ∴5k＝5， 即⊙O的半径是5； （2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M， ∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S 阴影＝S 弓形CBM ， 连接OM，则∠MOD＝60°， ∴∠MOC＝120°， 过点M作MN⊥CD于点N， ∴MN＝MO•sin60°＝5×， ∴S 阴影＝S 扇形OMC ﹣S△OMC＝＝， 即图中阴影部分的面积是：．
练习1-1如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB 的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（） A．AC＝CD B．+＝C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB 【解析】A、过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'， ∴AC＝CD'＝CD， 故①正确； B、∵AC＝CD'， ∴， 由折叠得：， ∴＝， 故②正确； C、∵D为AB的中点， ∴OD⊥AB， 故③正确； D、延长OD交⊙O于E，连接CE， ∵OD⊥AB， ∴∠ACE＝∠BCE，
∴CD不平分∠ACB， 故④错误； 故选：D． 练习1-2如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将在沿AC 折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是（） A．6B．C．2D．4 【解析】如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB 于H． ∵AD＝DB， ∴OD⊥AB， ∴∠ADO＝90°， ∵OA＝2，AD＝DB＝4， ∴OD＝＝2， ∵BE是直径， ∴∠BAE＝90°， ∵AD＝DB，EO＝OB， ∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，
2020 中考数学结合压轴专题：折叠问题与动点问题 1.如图①，将正方形纸片 ABCD对折，使 AB与 CD重合，折痕为 EF.如图②，展开后再折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折痕为GH， 点B的对应点为点 M，EM交AB于N.若AD=2，则 MN= __ 第 1 题图 1 3 2.边长为 4 的菱形纸片 ABCD 中，∠A＝60°，折叠 菱形纸 片 ABCD，使点 C 落在 DP（P 为 AB 中点）所在 直线上的 C 处，得到经过点 D 的折痕 DE，则 CE＝__ ． 第 2 题图4 3－ 4 3.如图，在矩形 ABCD中，点 E是 AD的中点，连接 BE，将△ABE
沿着 BE 翻折得到△FBE，EF 交 BC 于点 H，延长 BF、 DC 相交于点 G，若 DG＝16，BC＝ 24，则 BH＝．
4. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，将 △ABE 沿 BE 折 叠后得到 △GBE ，延长 BG 交 CD 于点 F ，若 CF ＝1，FD ＝2，则 BC 的长为 26 5. 如图，在 ?ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O ，∠AOB ＝75°，BD ＝4，将△ABC 沿 AC 所在直线翻折，若点 B 的落点记为 E ，连接 BE 与 OA 交于点 F ，则 OF 的长度为 第 4 题图 5 8 第 4 题解
6－ 2 2 6.如图①，已知 AD∥BC，AB∥CD，∠ B＝∠C. (1)求证：四边形 ABCD 为矩形； (2)如图②， M为 AD 的中点，在 AB 上取一点 N，使∠BNC＝2∠DCM . ①若 N 为 AB中点， BN＝ 2，求 CN 的长； ②若 CM ＝ 3，CN＝ 4，求 BC 的长． 第题图 (1)证明：∵AD∥BC，AB∥CD ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∵AB∥CD， ∴∠ B＋∠ C＝180°， ∵∠ B＝∠ C， ∴∠ B＝∠ C＝ 90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形． (2)解：如解图① 中，延长 CM、 BA 交于点 E.
中考数学折叠专项训练试题（含答案） 中考数学折叠专项训练试题附参考答案 一．选择题（共9小题） 1．（2013?贵港）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE 上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF； ②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（） A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④ 考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定；矩形的性质．专题：压轴题． 分析：由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=DF； 易求得∠BFE=∠BFN，则可得BF⊥EN； 易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形； 易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比， 即可求得答案． 解答：解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF， 由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°， 即FM⊥BE，CF⊥BC， ∵BF平分∠EBC， ∴CF=MF， ∴DF=CF；故①正确； ∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF， ∴∠BFM=∠BFC， ∵∠MFE=∠DFE=∠CFN， ∴∠BFE=∠BFN，
∵∠BFE+∠BFN=180°， ∴∠BFE=90°， 即BF⊥EN，故②正确； ∵在△DEF和△CNF中， ， ∴△DEF≌△CNF（ASA）， ∴EF=FN， ∴BE=BN， 但无法求得△BEN各角的度数， ∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误； ∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF， ∴BM=BC=AD=2DE=2EM， ∴BE=3EM， ∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF； 故④正确． 故选B． 点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 2．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，若EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．下列结论中： ①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF； ④△BEG和△HEG的面积相等； ⑤若，则． 以上命题，正确的有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题． 分析：①根据平角的定义，折叠的性质和角平分线的性质即可作
2021年中考数学考前强化练习 《折叠问题》 一、选择题 1.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（） A.60° B.50° C.75° D.55° 2.如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC 的值为（） A. B. C. D. 3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在边AC上点E处,若∠A=22°，则 ∠BDC的大小为( ) A.44° B.60° C.67° D.77° 4.如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到 一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有（） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5.如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F 点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=( )
A. +1 B. C. D.2 6.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF， 则BE的长为（） A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 7.如图，△ABC是一张纸片，∠C=90°，AC=6，BC=8，现将其折叠．使点B与点A重合，折痕为 DE，则DE的长为（） A．1.75 B．3 C．3.75 D．4 8.如图,正方形纸片ABCD的边长为3,点E、F分别在边BC、CD上,将AB、AD分别沿AE、AF折叠,点B,D 恰好都落在点G处,已知BE=1,则EF的长为（） A.1.5 B.2.5 C.2.25 D.3 二、填空题 9.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC= ． 10.如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为． 11.如图，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF 的周长为3，则矩形ABCD的周长为．
2021年中考数学三轮冲刺 《折叠问题》小题冲刺练习 一、选择题 1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在 对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（） A． B．6 C．4 D．5 2.如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处． 若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为( ) A．12 B．15 C．18 D．21 3.如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落 在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（） A.25° B.30° C.35° D.40° 4.如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处， 且l：l=1：3(l表示的长)，若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为( ) A．1：3 B．1：π C．1：4 D．2：9 5.如图，平面直角坐标系中，A(﹣8，0)，B(﹣8，4)，C(0，4)，反比例函数y=的图象分别与 线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k=( )
A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8 6.如图，以矩形ABOD的两边OD、OB为坐标轴建立直角坐标系，若E是AD的中点，将△ABE沿 BE折叠后得到△GBE，延长BG交OD于F点.若OF=I，FD=2，则G点的坐标为（） A.（，） B.（，） C.（，） D.（，） 7.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点 F处，连接CF，则CF的长为（） A.1.8 B.2.4 C.3.2 D.3.6 8.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现 将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E.设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（） 9.如图矩形ABCD中，AB=3，BC=3，点P是BC边上的动点，现将△PCD沿直线PD折叠，使点
中考前压轴题专项训练3——折叠专题 中考数学中的折叠问题 为了考查学生的数形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折 叠问题几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等，对应线段相等有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。 例1、(成都市中考题) 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在B ’M 或B ’M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ） A 、85度 B 、90度 C 、95度 D 、100度 例2、(武汉市实验区中考题) 将五边形ABCDE 纸片按如图的方式折叠，折痕为AF ，点E 、D 分别落在E ’、D ’。已知∠AFC=76°，则∠CFD ’等于( ) A 、31° B 、28° C 、24° D 、20° 例3、(河南省实验区中考题) 如图把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、 y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点A ’的 位置，若0B=5，tan ∠BOC=2 1 。则点A ’的坐标为________。
例4、(南京市中考题) 已知矩形纸片，AB=2，AD=1。将纸片折叠后，使顶点A 与边CD 上的点E 重合。 (1) 如果折痕FG 分别与AD 、AB 交于点F 、G(如图1)，AF= 3 2 ，求DE 的长; (2)如果折痕FG 分别与CD 、AB 交于点F 、G(如图2)，△AED 的外接圆与直线BC 相切，求折痕FG 的长。 中考实战： 一、选择题 1 (德州市) 如图，四边形ABCD 为矩形纸片，把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为 AF 。若 CD=6，则 AF 等于（ ） A. 34 B.33 C.24 D.8 2 (江西省) 如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C’处，BC’交AD 于E ，若∠DBC=22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角(虚线也视为角的边)有( )
中考数学冲刺难点突破 图形折叠问题 专题一 正方形的折叠问题（原卷） 1、如图，将一张正方形纸片ABCD 对折，使CD 与AB 重合，得到折痕MN 后展开，E 为CN 上一点，将△CDE 沿DE 所在的直线折叠，使得点C 落在折痕MN 上的点F 处，连接AF ，BF ，BD .则下列结论中：△△ADF 是等边三角形；△tan△EBF ＝2－√3；△S △ADF ＝13S 正方形ABCD ；△BF 2＝DF ·EF .其中正确的是( ) A ．△△△ B ．△△△ C ．△△△ D ．△△△ 2、如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 是BC 上一点，Q 是CD 上一动点，将△CEQ 沿直线EQ 折叠后，点C 落在点P 处，连接PA ．点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动，当PA 的长度最小时，CQ 的长为（ ） A ．3 B ．3 C ．32 D ．3 3、如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，3AE =，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF ∆沿EF 折叠，点B 落在'B 处，若'CDB ∆恰为等腰三角形，则'DB 的长为______.
4、如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后， 再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N （1）若CM=x，则CH=（用含x的代数式表示）； （2）求折痕GH的长． 5、在正方形ABCD中， （1）如图1，若点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，且△AOF=90°．求证：AE=BF． （2）如图2，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC=5，CM=2，求EF的长． 6、如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，△BFC=90°， 求的值．
2020年度初三数学专题复习中考 圆的折叠专题 1. 如图①是半径为2的半圆，点C 是︵ AB 的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C 与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．4π3 B ．4π3 -3 C ．23+π3 D ．23-23π 2. 如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径，将︵ AB 沿着AB 弦翻折，恰好经过圆心O ．若⊙O 的半径为 6，则图中阴影部分的面积等于（ ） A ．6π B ．93 C ．9π D ．63 3. 如图，将⊙O 的劣弧︵ AB 沿AB 翻折，D 为优弧︵ADB 上一点，连接AD ，交︵ AB 于点C ，连接BC 、BD ；若BC=5，则BD= ． 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ） A ．3.2 B ．3.6 C ．3.8 D ．4.2
5.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在 弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为（） A．9π-9 B．9π-63 C．9π-18 D．9π-123 6.如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm，点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ 将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O，则OP的最大距离为． 7.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB折叠，折叠后如右图，则⊙O到所作的圆的切 线OC的长为（） A．22B．5 C．3 D．11 8.如图，将半径为12的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB 长为（） A．42B．82 C．6 D．62