2020年高中数学必修三第二章《统计》
2．3.1变量之间的相关关系
2．3.2两个变量的线性相关
学习目标 1.了解变量间的相关关系，会画散点图；2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系；3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程．
知识点一变量间的相关关系
思考1粮食产量与施肥量间的相关关系是正相关还是负相关？
答案在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高，所以是正相关．
思考2怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？
答案画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这两个变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系．
梳理
1．相关关系的定义
变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系．2．散点图
将样本中n个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图．3．正相关与负相关
(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．
(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．
知识点二两个变量的线性相关
思考任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？
答案用最小二乘法求线性回归方程的前提是先判断所给数据是否具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的线性回归方程是无意义的．
梳理 回归直线的方程
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程． (3)最小二乘法：
求线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
⎩⎪
⎨⎪⎧
b ^
＝∑i ＝1
n
(x i
－x )(y i
－y )∑i ＝1
n
(x i
－x )2
＝∑i ＝1
n
x i y i
－n x y ∑i ＝1
n
x 2i
－n x 2
，a ^
＝y －b ^x ，
其中，b ^
是线性回归方程的斜率，a ^
是线性回归方程在y 轴上的截距．
类型一 相关关系的判断与应用 命题角度1 判断两个变量的相关性
例1 为了研究质量对弹簧长度的影响，对6根相同的弹簧进行测量，所得数据如下：
判断它们是否有相关关系，若有，判断是正相关还是负相关． 解 散点图如图：
由散点图可以看出两个变量对应的点大致分布在一条直线附近，因此可以得出结论：质量与
弹簧长度这两个变量具有相关关系，且它们是正相关关系．
反思与感悟在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以作出如下判断：
(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；
(2)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间就有线性相关关系；
(3)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规律，那么这两个变量之间不具有相关关系，即两个变量之间是相互独立的．
跟踪训练1下表是某地的年降雨量与年平均气温的统计表，判断两者是否具有相关关系，求线性回归方程有意义吗？
解以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，可得相应的散点图如图．
因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没必要用回归直线进行拟合，即使用公式法求出线性回归方程也是没有意义的．
命题角度2函数关系与相关关系的区别与联系
例2下列关系中，是相关关系的是________．
①正方形的边长与面积之间的关系；
②农作物的产量与施肥量之间的关系；
③人的身高与年龄之间的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
答案②④
解析①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人达到一定年龄后，身高就不发生明显变化了，所以它们不具
有相关关系；④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． 反思与感悟 相关关系与函数关系的区别与联系如表所示：
跟踪训练2 下列图形中两个变量具有相关关系的是( )
答案 C
解析
A 是一种函数关系；
B 也是一种函数关系；
C 中从散点图中可看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关；
D 中所有的点在散点图中没有显
示任何关系，因此变量间是不相关的． 类型二 回归直线的求解与应用
例3 一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：
(1)画出散点图；
(2)如果y 对x 有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；
(3)在实际生产中，若它们的近似方程为y ＝5170x －6
7，允许每小时生产的产品中有缺点的零件
最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？ 解 (1)散点图如图所示：
(2)近似直线如图所示：
(3)由y ≤10得5170x －6
7≤10，解得x ≤14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内．
引申探究
1．本例(3)中近似方程不变，若每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加多少？ 解 因为y ＝5170x －67，所以当x 增加一个单位时，y 大约增加5170
.
2．本例(3)中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器的转速． 解 因为y ＝5170x －67，所以当y ＝7时，7＝5170x －6
7，
解得x ≈11.
反思与感悟 求线性回归方程的一般步骤
(1)收集样本数据，设为(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )(数据一般由题目给出)． (2)作出散点图，确定x ，y 具有线性相关关系． (3)把数据制成表格x i ，y i ，x 2i ，x i y i . (4)计算x ，y
，∑
i ＝1n
x 2i ，∑
i ＝1
n
x i y i .
(5)代入公式计算b ^
，a ^
，公式为⎩⎪
⎨⎪⎧
b ^
＝∑i ＝1
n
x i y i
－n x y ∑i ＝1
n
x 2i
－n x
2
，
a ^
＝y －b ^
x .
(6)写出线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
.
跟踪训练3 (1)变量y 与x 满足线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
，现在将y 的单位由厘米变为米，x
的单位由毫米变为米，则在新的线性回归方程y ^
＝b ^*x ＋a ^*中，b ^*
是b ^的____________倍．
(2)为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地区若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年教育支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年教育支出y 具有相关关系，并由调查数据得到y 对x 的线性回归方程为y ^
＝0.15x ＋0.2.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加________万元． 答案 (1)10 (2)0.15
解析 (1)由回归系数公式知，当y 的值变为原来的10
－2
倍，x 的值变为原来的10
－3
倍时，b
^
*的值应为原来的
10倍．
(2)回归直线的斜率为0.15，所以家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加0.15万元．
1．设有一个线性回归方程为y ^
＝2－1.5x ，则变量x 增加1个单位时，y 平均( ) A ．增加1.5个单位 B ．增加2个单位 C ．减少1.5个单位 D ．减少2个单位
答案 C
2．由三点(3,10)，(7,20)，(11,24)确定的线性回归方程为( ) A.y ^
＝1.75x －5.75 B.y ^
＝1.75x ＋5.75 C.y ^＝－1.75x ＋5.75 D.y ^
＝－1.75x －5.75
答案 B
解析 设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^
， 则b ^
＝x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3－3x y x 21＋x 22＋x 23－3x
2
＝3×10＋7×20＋11×24－3×7×18
9＋49＋121－3×49
＝1.75，
a ^
＝y －b ^
x ＝18－1.75×7＝5.75. 故y ^＝1.75x ＋5.75，故选B.
3．某地区近10年居民的年收入x 与年支出y 之间的关系大致符合y ^
＝0.8x ＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是________亿元． 答案 12.1
解析 将x ＝15代入y ^
＝0.8x ＋0.1，得y ^
＝12.1.
4．某市居民2012～2016年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出y (单位：万元)的统计资料如表所示：
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是__________万元，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系． 答案 13 正
解析 考查中位数的定义，奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数，而偶数个时需取中间两数的平均数．由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．
5．某5名学生的总成绩和数学成绩(单位：分)如表所示：
(1)画出散点图；
(2)求y 对x 的线性回归方程(结果保留到小数点后3位数字)； (3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩． 解 (1)散点图如图所示：
(2)由题中数据计算可得
x ＝391.6，y ＝67.8，∑i ＝1
5
x 2i ＝770 654，∑i ＝1
5
x i y i ＝133 548.代入公式得b ^
＝
133 548－5×391.6×67.8
770 654－5×391.62≈0.204，
a ^
＝67.8－0.204×391.6≈－12.086，
所以y 对x 的线性回归方程为y ^
＝－12.086＋0.204x .
(3)由(2)得当总成绩为450分时，y ^＝－12.086＋0.204×450≈80，即这个学生的数学成绩大约为80分．
1．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关． 2．求线性回归方程时应注意的问题
(1)知道x 与y 成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的． (2)用公式计算a ^
、b ^
的值时，要先计算b ^
，然后才能算出a ^
.
3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为y ^
＝b ^
x ＋a ^
，则x ＝x 0处的估计值为y ^
0＝b ^
x 0＋a ^
.
40分钟课时作业
一、选择题
1．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其线性回归方程可能是( ) A.y ^
＝－10x ＋200 B.y ^
＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200 D.y ^
＝10x －200
答案 A
解析 x 的系数为负数，表示负相关，排除B 、D ，由实际意义可知x ＞0，y ＞0，C 中，散点图在第四象限无意义，故选A.
2．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )
A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 答案 D
解析 由柱形图可知：A 、B 、C 均正确，2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少，所以排放量与年份负相关，所以D 不正确．
3．对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2,3，…，10)，得散点图2，由这两个散点图可以判断( )
A ．y 与x 正相关，v 与u 正相关
B ．y 与x 正相关，v 与u 负相关
C ．y 与x 负相关，v 与u 正相关
D ．y 与x 负相关，v 与u 负相关 答案 C
解析 根据散点图直接进行判断．
4．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A.y ^
＝0.4x ＋2.3 B.y ^
＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^
＝－0.3x ＋4.4
答案 A
解析 由变量x 与y 正相关知C 、D 均错，又回归直线经过样本点的中心(3,3.5)，代入验证得A 正确，B 错误．故选A. 5．已知x 与y 之间的一组数据：
若y 与x 线性相关，则y 与x 的回归直线y ^
＝b ^
x ＋a ^
必过( ) A ．点(2,2) B ．点(1.5,0) C ．点(1,2) D ．点(1.5,4)
答案 D 解析 ∵x ＝
0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋7
4
＝4， ∴回归直线必过点(1.5,4)．故选D. 6．已知x ，y 的取值如表所示：
如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ^
＝b ^
x ＋13
2
，则b ^等于( )
A ．－12
B.12 C ．－110
D.110
答案 A 解析 ∵x ＝
2＋3＋43＝3，y ＝6＋4＋5
3
＝5， ∴回归直线过点(3,5)，
∴5＝3b ^＋13
2，
∴b ^＝－1
2
，故选A.
二、填空题
7．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的数据，计算得回归方程为y ^
＝0.85x －0.25.由以上信息，可得表中c 的值为________.
答案 6
解析 x ＝3＋4＋5＋6＋75＝5，y ＝2.5＋3＋4＋4.5＋c 5＝14＋c 5，代入回归方程中得14＋c
5＝
0.85×5－0.25，解得c ＝6.
8．如图所示的五组数据(x ，y )中，去掉________后，剩下的四组数据相关性增强．
答案 (4,10)
解析 去掉点(4,10)后，其余四点大致在一条直线附近，相关性增强． 9．在一次试验中测得(x ，y )的四组数据如下：
根据上表可得线性回归方程y ^
＝－5x ＋a ^
，据此模型预报当x ＝20时，y 的值为________． 答案 26.5
解析 x ＝16＋17＋18＋194＝17.5，y ＝50＋34＋41＋31
4＝39，
∴回归直线过点(17.5,39)， ∴39＝－5×17.5＋a ^
， ∴a ^
＝126.5，
∴当x ＝20时，y ＝－5×20＋126.5＝26.5.
10．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
由表中数据得到的线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
中b ^
＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为________万元． 答案 14.5
解析 由表中数据得x ＝4，y ＝9，代入线性回归方程得a ^
＝4.6，∴当x ＝9时，y ^
＝1.1×9＋4.6＝14.5. 三、解答题
11．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
(1)利用所给数据求两变量之间的回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
；
(2)利用(1)中所求出的回归方程预测该地第6年的粮食需求量． 解 (1)由所给数据得 x ＝3，y ＝5.8，
b ^
＝
∑i ＝1
5
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
5
(x i －x )2
＝1.1，
a ^
＝y －b ^
x ＝2.5， ∴y ^
＝1.1x ＋2.5.
故所求的回归方程为y ^
＝1.1x ＋2.5. (2)第6年的粮食需求量约为 y ^
＝1.1×6＋2.5＝9.1(万吨)．
12．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝1
10
x i ＝80，∑i ＝1
10
y i ＝20，∑i ＝1
10
x i y i ＝184，∑i ＝1
10
x 2i ＝720.
(1)求月储蓄y (千元)关于月收入x (千元)的线性回归方程； (2)若该居民区某家庭的月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝110x i ＝1
10×80＝8，
y ＝1n ∑i ＝110y i ＝1
10
×20＝2，
又∑i ＝110
x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， ∑i ＝1
10
x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，
由此得b ^
＝24
80
＝0.3，
a ^＝y －
b ^
x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ^
＝0.3x －0.4.
(2)将x ＝7代入线性回归方程，可以得到该家庭的月储蓄约为y ^
＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 13．为了分析某高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，现对他前7
次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩(单位：分).
(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？并说明理由；
(2)已知该学生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少分，并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．
解 (1)x ＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100，
y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋6
7＝100，
s 2数学＝142，s 2物理＝2507，因为s 2数学＞s 2
物理， 所以他的物理成绩更稳定．
(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系，经计算得b ^
＝0.5，a ^
＝100－0.5×100＝50. 所以线性回归方程为y ^
＝0.5x ＋50. 当y ＝115时，x ＝130. 估计他的数学成绩是130分．
建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．
变量间的相关关系 教学目标 1. 会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 教学重点、难点 重点：会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量的相关关系． 难点：了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．教学过程 一、引入 1.两个变量的线性相关 （1）正相关 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. （2）负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. （3）线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线. 练习1：下列关系中，是相关关系的为（） ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 2．(2009·宁夏、海南)对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)； 对变量u、v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断() A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关
2.回归方程 （1）最小二乘法 求回归直线使得样本数据的点到它的 的方法叫做最小二乘法. （2）回归方程 方程a x b y ???+= 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x 1,y 1）,(x 2,y 2),…,(x n ,y n )的回归方程，其中b ? , a ? 是待定参数. ?? ?? ??? ??==a b ?? 3、设有一个回归方程为 y ?=3-5x , 变量x 增加一个单位时 （ ） A.y 平均增加3个单位 B.y 平均减少5个单位 C.y 平均增加5个单位 D.y 平均减少3个单位 4、对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程a x b y ???+= 中， 回归系数b ? ( ) A ．可能小于0 B ．小于0 C ．能等于0 D ．只能等于0 解析： b ?＝0时，得r ＝0，这时不具有线性相关关系，但b ? 能大于0，也能小于0. 5、已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的回归方程是（ ） A. y ? =1.23x+4 B. y ?=1.23x+5 C. y ?=1.23x+0.08 D. y ?=0.08x+1.23 21 1)() ()(∑∑==---n i i i n i i x x y y x x ∑∑==--= n i i n i i i x n x y x n y x 1 2 21 x b y ?-
吉林省舒兰市第一中学高中数学《2.3变量间的相关关系》导学案 新人教A 版 必修3 【学习目标】 1．了解相关关系、线性相关、回归直线、最小二乘法的定义． 2．会作散点图，并能利用散点图和定义判断两个变量之间是否具有相关关系． 3．会求回归直线方程，并能用回归直线方程解决有关问题． 【学习重点】变量间的相关性与回归直线方程 课前预习案 【知识链接】 问题1：在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢? 请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）: 好 中 差 你的数学成绩 你的物理成绩 问题2： 某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？ 【知识梳理】 1．相关关系 (1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的______性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系． (2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从______角到 ______角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关． 2．线性相关 (1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条______附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做__________． (2)最小二乘法：求线性回归直线方程y ^ ＝b ^x ＋a ^ 时，使得样本数据的点到它的______________最小的方法叫做最小二乘法，其中a ^，b ^ 的值由以下公式给出： ????? b ^＝ ∑n i ＝1 －x －y ∑n i ＝1 －x ＝∑n i ＝1xiyi －n x y ∑n i ＝ 1x2i －n x 2， a ^＝ ， 其中，b ^是回归方程的____________，a ^ 是回归方程在y 轴上的______． 小结： 线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程中，要重视信息技术的应用．
《两个变量间的相关关系》课例分析 《普通高中数学课程标准》是我们一线教师在新课改试验中的一个方向标。《普通高中数学课程标准》中明确指出了高中数学课程的总目标和具体目标，其中对学生的数学能力提出了基本要求，即提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。而数据处理能力是《普通高中数学课程标准》新提出的一个基本能力。在当前信息社会、数字化时代中，人们经常需要与数字打交道，需要我们具有收集数据、处理数据、从数据中提取信息作出判断的能力，进而具有对数据的感觉能力，这是现代社会公民应具备的一种基本素养。为此，在新课程的“统计”和“统计案例”的内容中，都强调必须通过典型案例的处理，让学生经历收集数据、处理数据、分析数据、从数据中提取信息作出判断的全过程，并在此过程中学会运用所学知识、方法去解决实际问题。 在以上目标和理念的指引下，我在高中数学必修3“统计”内容的教学中进行了一些有益的尝试，取得了很好的效果，在此我将本章《两个变量的相关关系》第三课时的教学设计和教学体会整理如下，与各位同行做一交流。 一、教学内容分析 统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，
它可以为人们制定决策提供依据。在本模块教学中，学生将通过解决实际问题，较为系统地经历数据收集与处理的全过程，体会统计思维，学习数据处理方法，提高数据处理能力。 “两个变量间的相关关系”是高中新课程人教A版必修3第二章2.3节的内容，并在选修1-2第一章1.1中做过研究。本节课是“统计”一章的实习作业汇报课，在本课教学前，我让学生根据实际情况，选取生活中自己感兴趣的两个具有相关关系的变量，在课余时间收集、整理数据，在本课课堂中，利用电脑中的Excel电子表格对数据进行处理分析，完成实习报告，并在课堂上进行交流。 二、学情分析 学生已经学习了收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法，并了解了利用回归分析法研究两个变量间的相关关系。在知识和能力上已初步具备了解决身边简单的两个变量相关关系问题的基础和条件，同时也具备一定的计算机基础。但本班学生的思维水平多限于感性思维层面，理性思维偏弱，且实践能力不够。因此还需要让学生多动手，在自己的亲身实践中体会所学的思想方法，提高解决问题的能力。 三、教学过程 1.课前准备 在本课教学前，我让学生分三组，每组根据实际情况，
§2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相互关系 2.3.2 两个变量的线性相关 【明目标、知重点】 1．理解两个变量的相关关系的概念． 2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系． 3．会求回归直线的方程． 【填要点、记疑点】 1．两个变量的线性相关 (1)散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关： ①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程． (3)回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ ，其中b ^ 是回归方程的斜率，a ^ 是截距． 3．最小二乘法 通过求Q ＝ i ＝1n (y i －bx i －a )2的最小值而得出回归直线的方法，即求出的回归直线使样本 数据中的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． 【探要点、究所然】 [情境导学] 在学校里，老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学 习就不会有什么大问题．”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，显然，这种关系不能用我们熟悉的函数关系来描述，那么这究竟是一种什么关系？下面我们共同来研究. 探究点一 变量之间的相关关系 思考1 当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一确定，则这两个变量之间是怎 样的关系？考察下列问题中两个变量之间是什么关系？为什么？ (1)商品销售收入与广告支出经费；
变量间的相关关系 (1)函数关系与相关关系的区别与联系是什么？ (2)如何判断两个变量之间是否具备相关关系？ (3)什么是正相关、负相关？与散点图有什么关系？ [新知初探] 1．相关关系 如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系． 2．散点图 将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图，利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关． 3．正相关和负相关 (1)正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． (2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． [点睛] 对正相关和负相关的理解 (1)正相关 随自变量的变大(或变小)，因变量也随之变大(或变小)，这种带有随机性的相关关系，我们称为正相关．例如，人年龄由小变大时，体内脂肪含量也由少变多． 预习课本P84～91，思考并完成以下问题
(2)负相关 随自变量的变大(或变小)，因变量却随之变小(或变大)，这种带有随机性的相关关系，我们称为负相关．例如，汽车越重，每消耗1 L 汽油所行驶的平均路程就越短． 4．回归直线方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程：回归直线的方程，简称回归方程． (3)回归方程的推导过程： ①假设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )． ②设所求回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中a ^，b ^ 是待定参数． ③由最小二乘法得 ⎩⎪⎨⎪⎧ b ^＝∑i ＝1 n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1 n (x i －x )2 ＝∑i ＝1 n x i y i －n x y ∑i ＝1 n x 2i －n x 2 a ^＝y － b ^x 其中：b ^是回归方程的斜率，a ^ 是截距． [小试身手] 1．下列命题正确的是( ) ①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系； ③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的； ⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究． A ．①③④ B ．②③④ C ．③④⑤ D ．②④⑤ 解析：选C ①显然不对，②是函数关系，③④⑤正确． 2．对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断( )
2020年高中数学必修三第二章《统计》 2．3.1变量之间的相关关系 2．3.2两个变量的线性相关 学习目标 1.了解变量间的相关关系，会画散点图；2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系；3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程． 知识点一变量间的相关关系 思考1粮食产量与施肥量间的相关关系是正相关还是负相关？ 答案在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高，所以是正相关． 思考2怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？ 答案画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这两个变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系． 梳理 1．相关关系的定义 变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系．2．散点图 将样本中n个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图．3．正相关与负相关 (1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关． (2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关． 知识点二两个变量的线性相关 思考任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？ 答案用最小二乘法求线性回归方程的前提是先判断所给数据是否具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的线性回归方程是无意义的．
梳理 回归直线的方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程． (3)最小二乘法： 求线性回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． ⎩⎪ ⎨⎪⎧ b ^ ＝∑i ＝1 n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1 n (x i －x )2 ＝∑i ＝1 n x i y i －n x y ∑i ＝1 n x 2i －n x 2 ，a ^ ＝y －b ^x ， 其中，b ^ 是线性回归方程的斜率，a ^ 是线性回归方程在y 轴上的截距． 类型一 相关关系的判断与应用 命题角度1 判断两个变量的相关性 例1 为了研究质量对弹簧长度的影响，对6根相同的弹簧进行测量，所得数据如下： 判断它们是否有相关关系，若有，判断是正相关还是负相关． 解 散点图如图： 由散点图可以看出两个变量对应的点大致分布在一条直线附近，因此可以得出结论：质量与
变量的相关性 开篇语 在现实生活中，变量之间的关系除了确定性的函数关系之外，还有一种不确定的关系．例如，降雨量与农作物亩产量之间是有联系的，而这种联系是不确定的．因为一般来说，当降雨量适宜时，常有较高产量；当降雨量不足时，则产量一般较低．然而，即使在降雨量相同的情况下，农作物的产量也不会是一样的．又如人的身高和体重之间的关系，人的年龄和血压之间的关系等．这些变量之间存在着密切的关系，但它不能由一个变量的数值精确地确定另一个变量的值，尽管如此，关系不确定的两个变量之间的关系往往仍有规律可循．如果我们能够掌握它们之间可能存在的某种规律，可用来指导我们作出合理的决策．这就是本节课我们所要探讨的变量间的相关关系． 数学中只有概率统计部分研究不确定的关系．在现实生活中相关关系大量存在．从某种意义上说，函数关系是一种理想化的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况．由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关关系的过程中，我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们的关系作出判断． 重难点易错点解析 题一：下列两个变量之间的关系： ①角度和它的余弦值；②正n边形的边数与内角和； ③家庭的收入与支出；④电价与某户家庭用电量间的关系． 其中是相关关系的有() A．1个B．2个C．3个D．4个 题二：下列图形中两个变量具有相关关系的是() 金题精讲
题二：由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程y ^＝bx ＋a ，那么下 面说法不正确的是( ) A ．直线y ^＝bx ＋a 必经过点(x －，y －) B ．直线y ^＝bx ＋a 至少经过点(x 1， y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点 C ．直线y ^＝bx ＋a 的斜率为∑i =1n x i y i －n x －y －∑i =1n x 2i －n x －2 D ．直线y ^＝bx ＋a 和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差∑i =1 n [y i －(bx i ＋a )]2是该坐标平面 上所有直线与这些点的偏差中最小的直线 题三：设有一个回归方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位 D ．y 平均减少2个单位 题四：如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，去掉哪个点后，剩下的5个点数据的相关系数最大？( ) A ．D B ．E C ．F D ．A 题五：以下关于线性回归的判断，正确的有( )个． ①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线 ②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A ，B ，C 点 ③已知回归直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69 ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势 A ． 0个 B ． 1个 C ．2个 D ．3个
1、变量的相关关系 自变量的取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫相关关系 2、相关关系与函数关系的异同点 相同点：两者均是指两个变量之间的关系 不同点：函数关系是一种确定的关系 相关关系是一种非确定的关系 1、回归直线方程的求法 ①先判断变量是否线性相关（如果散点图中点的分布从总体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系；散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系） ②若线性相关，利用公式计算出a 、b ③利用回归方程对生活实际问题进行分析与预测 1 12 2 2 1 1 ()()() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====---= = --=-∑∑∑∑（其中11n i i x x n ==∑，1 1n i i y y n ==∑） 11n i i x x n == ∑= 1 1 n i i y y n ==∑= 1 n i i i x y =∑= 21 n i i x =∑= 12 2 1 n i i i n i i x y nx y b x nx ==-= =-∑∑ a y bx =-= （所以回归直线一定经过点（_ _,y x ）） 例1：5名学生的数学和物理成绩如下表： ⑴散点图；⑵正负相关；⑶线性相关；⑷回归直线方程 变式练习： 已知两个变量x ，y 之间有如下关系，求出y 关于x 的回归直线方程。
练习1：关于某设备的使用年限（单位：年）和所支出的维修费用（单位：万元）有如下的统计资料： (1)求维修费用对使用年限间的回归直线方程； 回归系数b=0.25的意义是：设备使用时间x每增加一年，维修费用y平均增加0.25万元。 利用回归直线，我们可以预测，当x=10时，y=2.9（万元）. 不过，我们不能说：任何情况，这种设备使用10年，维修费用都一定用去2.9万元。 事实上，有可能因其他某些随机因素，出现极大的误差。 这个2.9万元只是对使用10年，大部分设备需要的维修费用的一个估计值。 统计学中随机性无法避免。而在预测值的计算中，体现了回归直线的应用价值。
高中数学必修三第二章《统计》学案2.3.变量间的相关关系 （学生专用）（A版） 普通高中数学必修3（A版）学案 2.3. 变量间的相关关系 2.3.1变量之间的相关关系 授课时间：年月日 【学习目标】通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系。 【重点难点】1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系。 2. 变量之间相关关系的理解。 【学习过程】 一、学习引导 在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？ 二、合作交流（教师可做点拨） 相关关系的概念：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。 （分析：两个变量→自变量取值一定→因变量带有随机性→相关关系） 三、随堂练习 思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系： （1）商品销售收入与广告支出经费； （2）粮食产量与施肥量； （3）人体内的脂肪含量与年龄.
这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？ 思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高， 那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？ 思考3：商品销售收入与广告支出经费之间的关系。（还与商品质量，居民收入，生活环境等有关） 四、能力提升 1. 上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？ 2. 对于一个变量，可以控制其数量大小的变量称为可控变量，否则称为随机变量，那么相关关系中的两个变量有哪种类型？ 3. 相关关系与函数关系的异同点？ 【小结反思】 1. 变量具有不确定性，需要通过收集大量的数据（通过调查或试验）在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，才能对它们之间的关系做出正确的判断。 2. 现实生活中相关关系的实例。 3. 相关关系的概念。 【自我测评】 1、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系？（） A 、角度和它的余弦值 B 、正方形边长和面积 C 、正n 边形的边数和顶点角度之和 D 、人的年龄和身高 2、下列变量之间的关系是函数关系的是（） 已知二次函数,2c bx ax y ++=其中a,c 是已知常数，取b 为自变量，自变量和这个函数的判别式ac b 42-=? 光照时间和果树亩产量
甘肃省金昌市第一中学2014高中数学2.3.1 变量间的相互关系（一）、 （二）学案新人教A版必修3 1. 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系. 2. 在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？ 3. 这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义. 知识探究（一）：变量之间的相关关系 思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系，想一想这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？ （1）商品销售收入与广告支出经费； （2）粮食产量与施肥量； （3）人体内的脂肪含量与年龄. 思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？ 你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？ 思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？ 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系. 思考4：函数关系与相关关系之间的区别与联系. 1.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系. 2.函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系. 3. 函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以互相转化. 例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？ ①正方形边长与面积之间的关系；
2.3.1变量之间的相关关系 教学目标：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。 教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。 教学过程： 案例分析: 一般说来，一个人的身高越高，他的人就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系。为了对这个问题进行调查，我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的数据如下表。
性别身高/cm 右手一拃长/cm 女152 18.5 女153 16.0 女156 16.0 女157 20.0 女158 17.3 女159 20.0 女160 15.0 女160 16.0 女160 17.5 女160 17.5 女160 19.0 女160 19.0 女160 19.0 女160 19.5 女161 16.1 女161 18.0 女162 18.2 女162 18.5 女163 20.0 女163 21.5 女164 17.0 女164 18.5 女164 19.0 女164 20.0 女165 15.0 女165 16.0 女165 17.5 女165 19.5 女166 19.0 女167 19.0 女167 19.0 女168 16.0 女168 19.0 女168 19.5 女170 21.0 女170 21.0 女170 21.0 女171 19.0 女171 20.0 女171 21.5 女172 18.5 女173 18.0 性别身高/cm 右手一拃长/cm 女173 22.0 男162 19.0 男164 19.0 男165 21.0 男168 18.0 男168 19.0 男169 17.0 男169 20.0 男170 20.0 男170 21.0 男170 21.5 男170 22.0 男171 21.5 男171 21.5 男171 22.3 男172 21.5 男172 23.0 男173 20.0 男173 20.0 男173 20.0 男173 20.0 男173 21.0 男174 22.0 男174 22.0 男175 16.0 男175 20.0 男175 21.0 男175 21.2 男175 22.0 男176 16.0 男176 19.0 男176 20.0 男176 22.0 男176 22.0 男177 21.0 男178 21.0 男178 21.0 男178 22.5 男178 24.0 男179 21.5 男179 21.5 男179 23.0
2.3变量间的相互关系（一）、（二） 问题提出 1. 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系. 2. 在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？ 3. 这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义. 知识探究（一）：变量之间的相关关系 思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系，想一想这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？ （1）商品销售收入与广告支出经费； （2）粮食产量与施肥量； （3）人体内的脂肪含量与年龄. 思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？ 你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？ 思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？ 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系. 思考4：函数关系与相关关系之间的区别与联系. 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系. 函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系. 3. 函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以互相转化. 例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？ ①正方形边长与面积之间的关系； ②作文水平与课外阅读量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 练习 1.已知下列变量，它们之间的关系是函数关系的有①，是相关关系的有②③ . ①已知二次函数y=ax2+bx+c，其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式△=b2－4ac; ②光照时间和果树亩产量； ③每亩施用肥料量和粮食产量.
变量间的相关关系(线性回归) 一、变量之间的相关关系 1、凭我们的学习经验可知，物理成绩与数学成绩有一定的关系，数学成绩的好坏会对物理成绩造成影响。但除此以外，还存在其他影响物理成绩的因素。例如，是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等。当我们主要考虑数学成绩对物理成绩的影响时，就要考察这两者之间的相关关系。 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 2、相关关系与函数关系的异同点 相同点：两者均是指两个变量的关系。 不同点：（1）函数关系是一种确定的关系。如匀速直线运动中时间t 与路程s 的关系；相关关系是一种非确定的关系。如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系。事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。 （2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系，然而学会新词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素――年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大。 （3）相关关系的分析方向 由于相关关系的不确定性，在寻找变量间相关关系的过程中，统计发挥着非常重要的作用。我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们的关系作出判断。 二、两个变量的线性相关 1、回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。 一般地，对于某个家庭来说，它的年饮食支出不一定随年收入的增加而增加或减少。但如果是大量的个体，可能就会表现出一定的规律来。观察表中数据，大体上来看，随着家庭看收入的增加，年饮食支出也在增加。为了确定这一相关关系的细节，我们需要进行数据分析。与以前一样，我们可以作统计图、表。通过作统计图、表，可以使我们对两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判断。 除我们在前面所学的有关图、表外，我们还可以通过另外一种图――散点图来分析两个变量之间的关系。 2、散点图 将样本中n 个数据点(,) i i x y （1,2,,i n ）描在平面直 角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。 如上例中，为了更清楚地看出两变量是否有相关关系，我们以年收入x 的取值作为横坐标，把年饮食支出y 的相应取值作为纵坐标，可得相应散点图。如图所示。 散点图形象地反映了各对数据的密切程度。由图可见，年 收入越高，年饮食支出超高。图中点的趋势表明两个变量间确实存在一定的关系。 3、正相关、负相关 从散点图可以看到点散布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关。如年龄由小变大时，体内脂肪含量也在由小变大。 反之，如果两个变量的散点图中散布的位置是从左上角到右下角的区域。即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关。如汽车的重量和汽车每消耗1L 汽油所行驶的路程成负相关。汽车越重，每消耗1L 汽油所行驶的平均路程就越短。 4、如果关于两个变量统计数据的散点图呈现如图的形状，则 这两个变量之间不具有相关关系。例如，学生的身高与学生的数学成绩没有相关关系。 利用散点图可以判断变量之间有无相关关系。 三、回归直线方程
变量的相关性 【学习目标】 1.明确两个变量具有相关关系的意义； 2.知道回归分析的意义； 3.知道回归直线、回归直线方程、线性回归分析的意义； 4.掌握对两个变量进行线性回归的方法和步骤，并能借助科学计算器确定实际问题中两个变量间的回归直线方程； 【要点梳理】 【高清课堂：变量的相关关系 400458 知识讲解1】 要点一、变量之间的相关关系 变量与变量之间存在着两种关系：一种是函数关系，另一种是相关关系。 1．函数关系 函数关系是一种确定性关系，如y=kx+b，变量x取的每一个值，y都有唯一确定的值和它相对应。 2．相关关系 变量间确定存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性 相关关系分为两种: 正相关和负相关 要点诠释： 对相关关系的理解应当注意以下几点： （1）相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系. （2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大. （3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化.例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性.而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计. 3．散点图 将收集到的两个变量的统计数据分别作为横、纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图叫做散点图。通过散点图可初步判断两个变量之间是否具有相关关系，她反映了各数据的密切程度。 要点二、正相关、负相关 （1）正相关：在统计数据中的两个变量，一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关。如：家庭年收入越高，年饮食支出越高。反映在散点图上它们散布在从左下角到右上角的区域，按表中所列数据制作散点图如图
2．3 变量间的相关关系 2．3.1 变量之间的相关关系 2．3.2 两个变量的线性相关 考点 学习目标 核心素养 相关关系的概念 理解两个变量的相关关系的概念 数学抽象 散点图 会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系 逻辑推理、数学建模 回归直线方程 会求回归直线方程 数学运算 问题导学 (1)相关关系分为哪两种？ (2)什么叫散点图？ (3)什么叫回归直线？求回归直线的方法及步骤是什么？ 1．两个变量的线性相关 (1)散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)正相关与负相关 ①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域； ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． (3)最小二乘法 求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^ 时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
其中b ^是回归方程的斜率，a ^ 是回归方程在y 轴上的截距． ■名师点拨 (1)散点图的作用 散点图形象地反映了各对数据的密切程度．根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论． (2)回归直线的性质 由a ^＝y －－b ^x －可知回归直线一定经过点(x －，y －)，因此点(x －，y － )通常称为样本点的中心，其中，x －，y － 分别是变量x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 的平均数． (3)线性相关关系强弱的定性分析 线性相关关系的强弱体现在散点图中就是样本点越集中在某条直线附近，两变量的线性相关关系越强；样本点在某条直线附近越分散，两变量的线性相关关系越弱． 判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)线性回归方程必经过点(x －，y － )．( ) (2)对于方程y ^＝b ^x ＋a ^，x 增加一个单位时，y 平均增加b ^ 个单位．( ) (3)样本数据中x ＝0时，可能有y ＝a ^ .( ) (4)样本数据中x ＝0时，一定有y ＝a ^ .( ) 解析：根据回归直线方程的意义知，(1)(2)都正确，而(3)(4)中，样本数据x ＝0时，y 的值可能为a ^，也可能不是a ^ ，故(3)正确． 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 下列各图中所示的两个变量具有相关关系的是( )
2．3.1 & 2.3.2 变量间的相关关系 两个变量的线性相关 习课本P73～78，思考并完成以下问题预 (1)相关关系是函数关系吗？ (2)什么是正相关、负相关？与散点图有什么关系？ (3)回归直线方程是什么？如何求回归系数？ (4)如何判断两个变量之间是否具备相关关系？ [新知初探] 1．两个变量的关系 分类 函数关系 相关关系 特征 两变量关系确定 两变量关系带有随机性 2．散点图 将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． 3．正相关与负相关 (1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关． (2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关． 4．最小二乘法 设x ，Y 的一组观察值为(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ，且回归直线方程为y ^ ＝a ＋bx ，当x 取值x i (i ＝1,2，…，n )时，Y 的观察值为y i ，差y i －y ^ i (i ＝1,2，…，n )刻画了实际观察值 y i 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q ＝ i ＝1 n (y i －a
－bx i)2作为总离差，并使之达到最小．这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一 条．由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法．5．回归直线方程的系数计算公式 回归直线方程回归系数 系数a ^ 的 计算公式 方程或 公式 y ^ ＝a ^ ＋b ^ x b ^ ＝ ∑ i＝1 n xiyi－n x － y － ∑ i＝1 n x2i－n x2 a ^ ＝y－b ^ x － 上方加 记号“^ ” 的意义 区分y的估计值y ^ 与 实际值y a，b上方加“^ ”表示由观察值按最小二乘 法求得的估计值 [小试身手] 1．下列命题正确的是( ) ①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系； ③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的； ⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行 研究． A．①③④ B．②③④ C．③④⑤ D．②④⑤ 解析：选C ①显然不对，②是函数关系，③④⑤正确． v ， u ；对变量 1 ，得散点图图 10) ， … ， 1,2 ＝ i )( i y ， i x( 有观测数据 y ， x ．对变量 2 ) ( 由这两个散点图可以判断 2. ，得散点图图 10) ， … ， 1,2 ＝ i )( i v ， i u( 有观测数据 A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关