第十讲余数问题
常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。下面我简单谈谈这四类问题：
㈠带余除法。
一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，
使得α÷b＝q……r
或α＝b×q＋r
当r=0时，我们称α能被b整除。
当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。
带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。
㈡余数周期。
这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。例如，求3130÷13的余数。例如尖子班作业1。
㈢同余问题。
1、什么是“同余”？
整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。
记作：α≡b （mod c）
例如：15÷4＝3 (3)
23÷4＝5 (3)
15和23对于除数4同余。
记作：15 ≡23 （mod4）
可以理解为15和23除以4的余数相同。
2、“同余”的四个常用性质是什么？
同余性质1：如果α≡ b (mod m)，
则m︱（α－b）
若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
例如，73 ≡23 (mod 10)
则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。
同余性质2：如果α≡ b (mod m)，
c ≡
d (mod m),
则α± c ≡ b ± d (mod m)
两数和的余数等于余数的和。
两数差的余数等于余数的差。
例如，73 ≡3 (mod 10)
84 ≡4 (mod 10)
73+84 ≡3+4≡7 (mod 10)
84－73≡4－3≡1 (mod 10)
同余性质3：如果α≡ b (模m)，
c ≡
d (模m),
则α× c ≡b×d (模m)
两数积的余数等于余数的积。
例如，73 ≡3 (模10)
84 ≡4 (模10)
73×84 ≡3×4≡2 (模10)
同余性质4：如果α≡ b (模m)
则αn≡b n (模m)
某数乘方的余数，等于余数的乘方。
例如，40≡1 （mod13）
4031≡131≡1 （mod13）
很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。
4、“物不知其数”。
与同余问题相对应的是“物不知其数”，例如：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。”这种问题有两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。
我们在解决“物不知其数”题目，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：绝招一：减同余。例2、例3
绝招二：加同补。例4、作业4 、学案3
绝招三：中国剩余定理。绝招四：逐级满足法。
例1 （3130＋3031）被13除所得的余数是多少?
分析：⑴31被I3除所得的佘数为5，当n取l，2，3，…时，5n被I3除所得佘数分别是5，12，8，l，5，⒓，8，l，…，以4为周期循环出现，所以530被I3除的余数与52被13除的余数相同，余12。即3130除以13的余数为12。
⑵30被13除所得的余数是4，当n取l，2，3，…时，4n被13除所得的佘数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，……，以6为周期循环出现，所以431被I3除所得的余数等于41被13除所得的佘数，即4，故3031除以13的余数为4。
所以，（3130＋3031）被13除所得的余数是I2＋4－13＝3
解：⑴31≡5 （模13）
3130≡530 ≡52≡12（模13）
⑵30≡4 （模13）
3031≡431≡41≡4 （模13）
⑶3130＋3031≡12＋4≡3 （模13）
答：（3130＋3031）被13除所得的余数是3。
点睛：用到同余的性质“某数乘方的余数等于余数的乘方”“两数和的余数等于余数的和”。
例2 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为α，α十2，α十5，则这个自然数是多少?
分析：根据题意，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数(都为α)。
既然余数相同，根据同余性质“若两数同余，他们的差必是除数的倍数。”可知其中任意两数的差都是除数的倍数。
290－233＝57 233－195＝38 290－195＝95
除数是57、38、95的公约数，
（57，38，95）＝19
答：这个自然数是19。
例3 学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友。余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1︰2︰3，问学前班有多少位小朋友？
分析：⑴设分完后余下苹果χ个，余下饼干2χ个，余下糖3χ粒。
176÷人数＝A个……χ
216÷人数＝B个……2χ
324÷人数＝C个……3χ
⑵ 176×2－216＝136； 176＋216－324＝68； 176×3－324＝204
（136，68，204）＝68
学前班有几十位小朋友，并且人数是68的约数，68的约数中是几十的只有68和34两个。
⑶检验：176÷34＝5个 (6)
216÷34＝6个 (12)
324÷34＝9个……18 34人符合题意。
检验：176÷68＝2个 (40)
216÷68＝3个……12 68人不符合题意。
答：学前班有34位小朋友。
例4 200以内除以3余I，除以4余2，除以5余3的自然数有多少个？分别是多少？分析：⑴通过观察我们发现，除数和余数的差都为2。
被除数补上2之后，除以3、4、5都能整除；也就是说，被除数补上2之后是3、4、5的公倍数。
[3，4，5]＝60，补上2之后是60的倍数。
200以内60的倍数有60、120、180共3个。
相应的，符合要求的自然数也有3个，分别是：58、118、178。
例5 （1998年小学数学奥林匹克预赛）
某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是。分析：⑴观察到11－8＝13－10＝3，某数补上3之后是11和13的公倍数。]
[11，13]＝11×13＝143
设某数为143n－3。
⑵143n≡7n （模17）
3≡3 （模17）
143n－3≡7n－3 （模17）
只有当n＝7时，7×7－3＝46，45÷17余12。
⑶ n最小等于7，那么这个数的最小可能值是143×7－3＝998
答：这个数的最小可能值是998 。
例6 （2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赉试题）
三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是，，。
分析：⑴设所得的商为α，余数为b
（19α＋b）＋（23α＋b）＋（31α＋b）＝2001
73α＋3b＝2001 b＜19
⑵ 2001÷73＝27 (30)
α＝27，b＝10
这三个数分别是19×27＋10＝523；23×27＋10＝631；31×27＋10＝847；
答：这三个数分别是523、631、847。
超常挑战
三个连续自然数依次可以被5整除、被7整除、被11整除，那么这三个自然数最小为多少?
分析：⑴设这三个自然数分别为χ－1，χ，χ＋1 。
2χ－7既是5的倍数也是7的倍数，是5和7的公倍数。[5，7]＝35，
⑵设2χ－7＝35K，（K为自然数）
当K＝1时，2χ－7＝35
χ＝21
χ－1＝20是5的倍数；χ＝21是7的倍数；χ＋1＝22是11的倍数。
家庭作业
1、著名的裴波那契数列是这样的：l、
2、
3、5、8、13、21、……，这串数列当中第2010个数除以3所得的余数为多少?
分析：⑴斐波那契数列的构成规则是从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。根据“两数和的余数等于余数的和”将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：
I、l、2、0、2、2、1、0、I、l、2、0、2、2、1、0、……
⑵裴波那契数列被3除的余数——每8个余数为一个周期循环出现。
由于2010÷8＝251……2，所以第2010项被3除所得的余数与第2项被3除所得的余数相同，余数为1。
2. 一个数去除70、103所得的余数为α、2α＋2，求α的值。
解：⑴用数学表达式表述题意
70÷n＝A……a ……①
103÷n＝B……2a＋2 ……②
⑵把①式转化为（70×2＋2）÷n＝2A……2a＋2 70×2＋2＝142
142与103除以n的余数相同，根据同余的性质定理（1），n能整除142与103的差。142－103＝39，n能整除39，n是39的约数。
⑶ 39的约数有1、3、13、39，经检验，n＝13。
70÷13＝5 (5)
103÷13＝7……12（12＝2×5＋2）
所以，n＝5
3. 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？
解：设这个大于10的自然数为n。
根据同余的性质定理（二），两数和的余数等于余数的和。用n去除90、164后所得的两个余
数的和等于用n去除220所得的余数，而90＋164＝254。254和220除以n所得的余数相同，于是254－220＝34是n的倍数，n是34的约数。34的约数有1、2、17、34，因为n是大于10的自然数，所以n只能是17或34。
当n＝34时，90÷34＝2......22；164÷34＝4......28；220÷34＝6 (16)
22＋28≠16 所以，n≠34
当n＝17时，90÷17＝5......5；164÷17＝9......11；220÷17＝12 (16)
5＋11＝16 所以，n＝17
答：符合要求的自然数是17。.
4. 一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少?
解：先把已知条件用数学表达式写出来，设所求的自然数为N。
N÷11＝ (8)
N÷13＝ (10)
这两个除法算式的余数与除数的差都是“3”，11－8＝13－10＝3。把被除数N加上3之后除以11和13都能整除，也就是说（N＋3）是11和13的公倍数。[11，13] ＝143，143－3＝140，140就是所求的数。
5. 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余l，求满足条件的最小的自然数。
解：用数学式子表示题意 N÷5＝ (3)
N÷6＝ (4)
N÷7＝ (1)
根据前两个条件，N＋2后除以5和6都能整除，没有余数。N＋2是5和6的公倍数，N比5和6的公倍数少2，符合前两个条件的最小的自然数是5×6－2＝28。
6、（2004年福州市“迎替杯”小学数学竞赉试题）一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是。
解：⑴设这个自然数除以11的商和余数都是A，除以9所得的余数是B。
这个数÷11＝A……A →这个数＝11A＋A＝12 A （A＜11）
这个数÷9＝3B……B →这个数＝27B＋B＝28B （B＜9）
⑵12A＝28B
3A＝7B
A＝7, B＝3
这个数＝12 A＝12×7＝ 84
这个数＝28 A＝28×3＝ 84
答：这个自然数是84。
尖子班学案
【学案1】（2007年实验中学考题）
12＋22＋32＋42＋52＋62＋……＋20012＋20022除以7所得的余数为多少？
解：12＋22＋32＋42＋52＋62＋……＋20012＋20022
＝
＝1001×2003×1335
1001是7的倍数， 1001×2003×1335也是7的倍数。所以12＋22＋32＋42＋52＋62＋……＋20012＋20022除以7所得的余数为0。
【学案2】甲、乙、丙三个数分别为603、939、393。某数A除甲数所得的余数是A除乙数所余数的2倍，A除乙数所得的余数是A除丙数所的余数的2倍。求A等于多少？
……4r
解：⑴603÷A＝B
1
939÷A＝B
……2r
2
……r 把余数处理成相同，再相减
393÷A＝B
3
⑵603÷A＝B1……4r
×2……4r
（939×2）÷A＝B
2
×4……4r
（393×4）÷A＝B
3
393×4＝1572，939×2＝1878，原题转化成“1572、1878、603除以A的余数相同，求A 是多少”。这三个数两两相减的差是1878－1572＝306；1878－603＝1275；1572－603＝969。A是306、1275、969的公约数。（306、1275、969）＝51＝3×17 A是51或17，不会是1和3。经检验，A 等于17。
603÷17＝35 (8)
939÷17＝55 (4)
393÷17＝23……2 答：A等于17。
【学案3】五班同学上体育课，排成3行少l人，排成4行多3人，排成5行少l人，排成6行多5人。问上体育课的同学最少有多少名？
分析：⑴“排成3行少l人”，如果补上1人正好排成3行，补上1人后人数是3的倍数。同理，在五班学生人数的基础上如果补上1个人，总人数是3、4、5、6的公倍数。
⑵ [3，4，5，6] ＝60
60－1＝59
答：上体育课的学生最少59人。
【学案4】一个自然数在1000和1200之问，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数。
分析：⑴“被3除余1”、“被7除余3”可转化为被3和7除都余10。这个数比3和7的公倍数多10。设这个数为21α＋10。
当α＝2时，21α＋10＝52，52除以5余2。52是符合条件的最小的自然数。
⑵ [3，5，7] ＝105，在52的基础上加105的倍数，即（105n＋52）符合条件，当n ＝10时，105n＋52＝1102，1102在1000和1200之问，并且被3除余1，被5除余2，被7除余3。
答：符合条件的数是1102。
越玩越聪明
胆怯的店主
“请给我三股丝线，四股绒线。”小苏茜拿出3I美分(正确的价款)，往柜台上一放。老板去拿商品时，小苏茜喊了起来：“我改变主意了，现在我想要四股丝线，三股绒线。”“那样的话，你的钱就差1美分了。”店主一面把东西放在柜台上，一面田答。“不，不！”苏茜拿起商品，飞快地跑出店外，“你才少我1美分呢！”
试问：一股丝线和一股绒线，各值几美分?
解：设每股丝线χ美分；每股绒线y美分
3χ＋4y＝31
4χ＋3y＝32
解得χ＝5
y＝4
答：丝线每股值5美分，绒线每股值4美分。
第9讲：余数的妙用（教案） 课前知识复习 1.甲乙两堆萝卜，甲堆比乙堆多8个萝卜，如果甲堆拿5个给乙堆，这时哪堆萝卜多？多几个？ 2.小林和小邱带6个小朋友去拿苹果，一共拿了42个，平均每人拿几个？小林、小邱各多拿几个就能一次拿完？ 引入 同学们已经学会了有余数的除法,在有余数的除法里,余数要比除数小.利用有余数的除法里的余数，可以解决许多有趣的实际问题.就看你会不会巧妙地应用了. 要解决除数最小、余数最大的问题.最主要是要掌握除数和余数的关系,余数必须比除数小,即除数必须比余数大,掌握了这一点才能找到正确答案. 要求平均分给几位小朋友.平均每人种多少棵树等这类问题时,应该首先从总数里去掉多余的部分,使其能够除尽,这样就能符合题意.求出问题的答案. 一：精讲精练 【例题1】 是几？ 【思路导航1】根据余数一定要比除数小的道理，如果余数是4，那么除数的范围就比4大。比4大的数有许多，最小的是几呢？答案是5。因为最小的除数只要比余数大1就可以了。 【思路导航2】根据余数一定要比除数小的道理，1、2、3、4、5都可以作为余数，5是最大的余数。最大余数的确定，只要比除数小1就可以了。 练习1 1．（）÷（）=（）……6，除数最小是几？ 2．（）÷（）=6……7，除数取最小时，被除数是几？ 【例题21】（）÷8=3……（），根据余数写出被除数最大是几？最小是几？ 【思路导航】除数是8，根据余数比除数小，余数可以是1，2，3，4，5，6，
7，根据除数×商＋余数=被除数这一等式，当商、除数、余数已知时，可求出最大的被除数为3×8＋7=31；最小的被除数为8×3＋1=25。列式如下：3×8＋7=31……最大1×8＋1=25……最小答：被除数最大是31，最小是25。 练习2 1．下面各题中被除数最大填几，最小填几？ ①（）÷6=8……（） ②（）÷7=5……（） 【例题3】老师拿出15颗小红星，每人奖2颗，还余1颗，老师奖给了几位小朋友？ 【思路导航】老师拿出15颗小红星，最后余1颗，说明老师已奖给小朋友15－1=14（颗），14颗小红星，每人2颗，可奖给14÷2=7（个）小朋友。列式如下：15－1=14（颗）14÷2=7（个）答：老师奖给了7个小朋友。 练习3 1．在括号里填上合适的数。 48÷（）=9 (3) 67÷（）=7 (4) 2．阿姨拿来35块饼干，每个小朋友分得4块，还余3块，阿姨发给了几个小朋友？ 【例题4】有28个梨，最少拿走几个，就使得6个小朋友分得一样多？每个小朋友分几个？ 【思路导航】要求28个梨里最少拿走几个，就使得6个小朋友分得一样多，就是把28个苹果平均分给6个小朋友后，求余下的个数。列式如下：28÷6=4（个）……4（个）答：最少拿走4个，每个小朋友分4个。 练习4 1．有37只气球，最少拿走几只，就使得7个小朋友分得一样多？每个小朋友分几只？ 2．老师做了许多小红花，分给20个小朋友，每人3朵，还剩下2朵，老师共做了多少朵小红花？
二年级奥数-余数的妙用（一） 王牌例题1 （1） （2 【思路导航1】根据余数一定要比除数小的道理，如果余数是4，那么除数的范围就比4大。比4大的数有许多，最小的是几呢？答案是5。因为最小的除数只要比余数大1就可以了。【思路导航2】根据余数一定要比除数小的道理，1、2、3、4、5都可以作为余数，5是最大的余数。最大余数的确定，只要比除数小1就可以了。 疯狂操练1 1．（）÷（）=（）……6，除数最小是几？ 2．（）÷（）=6……7，除数取最小时，被除数是几？ 3．（）÷8=7……（），余数取最大时，被除数是几？ 王牌例题2 （）÷8=3……（），根据余数写出被除数最大是几？最小是几？ 【思路导航】除数是8，根据余数比除数小，余数可以是1，2，3，4，5，6，7，根据除数×商＋余数=被除数这一等式，当商、除数、余数已知时，可求出最大的被除数为3×8＋7=31；最小的被除数为8×3＋1=25。 列式如下： 3×8＋7=31……最大 1×8＋1=25……最小 答：被除数最大是31，最小是25。 疯狂操练2 1．下面各题中被除数最大填几，最小填几？ ①（）÷6=8……（） ②（）÷7=5……（） 2．下题中要使除数最小，被除数应为几？ ①（）÷（）=6 (8) ②（）÷（）=9 (1)
王牌例题3 老师拿出15颗小红星，每人奖2颗，还余1颗，老师奖给了几位小朋友？【思路导航】老师拿出15颗小红星，最后余1颗，说明老师已奖给小朋友15－1=14（颗），14颗小红星，每人2颗，可奖给14÷2=7（个）小朋友。列式如下： 15－1=14（颗） 14÷2=7（个） 答：老师奖给了7个小朋友。 疯狂操练3 1．在括号里填上合适的数。 48÷（）=9 (3) 67÷（）=7 (4) 2．阿姨拿来35块饼干，每个小朋友分得4块，还余3块，阿姨发给了几个小朋友？ 3．某数（0除外）除以5，当商和余数相同时，这个数可能是哪些数？ 王牌例题4 有28个梨，最少拿走几个，就使得6个小朋友分得一样多？每个小朋友分几个？ 【思路导航】要求28个梨里最少拿走几个，就使得6个小朋友分得一样多，就是把28个苹果平均分给6个小朋友后，求余下的个数。列式如下： 28÷6=4（个）……4（个） 答：最少拿走4个，每个小朋友分4个。 疯狂操练4 1．有37只气球，最少拿走几只，就使得7个小朋友分得一样多？每个小朋友分几只？2．老师做了许多小红花，分给20个小朋友，每人3朵，还剩下2朵，老师共做了多少朵小红花？ 3．学校体育室要给全校20个班级发乒乓球，现在已知每班分到4只，剩下的只数不够分了，体育室里最多有多少只乒乓球？ 王牌例题5 小明带5个小朋友种32棵树，平均每人种多少棵？小明要多种几棵，才能完成任务？ 【思路导航】要求平均每人种多少棵树，可以用总棵数除以总人数。根据题意可知小明带5个小朋友，总人数是5＋1=6（人），用32÷6=5（棵）……2（棵），平均每人种5棵，还余下2棵，这余下的2棵给小明就正好完成任务，也就是小明要比别人多种2棵。列式如下：
数论问题之余数问题:余数问题练习题含答 案 1.数11 1(2007个1),被13除余多少 分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007 6后余3,所以答案为7. 2.求下列各式的余数: (1)2461 135 6047 11 (2)2123 6 分析:(1)5;(2)6443 19=339 2,212=4096 ,4096 19余11 ,所以余数是11 . 3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位
数. 分析:1013-12=1001,1001=7 11 13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真. 4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班 分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17. 5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数. 分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定
能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 6.求下列各式的余数: (1)2461 135 6047 11 (2)2123 6 分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4 ):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4 因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.
余数综合之余数问题解题技巧 4. 同余 （1）若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数， 那么称a、b关于m同余， 用式子表示为：a≡b (modm) 余 数的性质 1. 余数小于除数（2）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 2. 带余除法：被除数＝除数×商+余数用式子表示为：如果有a≡b(modm)， 那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m|a－b 3. 余数的运算： （1）和的余数等于余数的和 5. 中国剩余定理 逐级满足法 【例1】（★）我爱数学少年数学夏令营试题【例2】(★★) （全国小学数学奥林匹克试题） 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果 把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人? 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 1
【例3】（★★★）【例4】(★★★)全国小学数学奥林匹克试题 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？六张卡片上分别标上1193，1258，1842，1866，1912，2494六 个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是________。 【例5】(★★)【例6】(★★) 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三 个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3 除所得的余数是多少？ 今天是星期四，101000天之后将是星期几？ 2
第十七讲余数的妙用（一） 王牌例题1 （1）……4，除数最小是几？ （2 最大的一个是几？ 【思路导航1】根据余数一定要比除数小的道理，如果余数是4，那么除数的范围就比4大。比4大的数有许多，最小的是几呢？答案是5。因为最小的除数只要比余数大1就可以了。 【思路导航2】根据余数一定要比除数小的道理，1、2、3、4、5都可以作为余数，5是最大的余数。最大余数的确定，只要比除数小1就可以了。 疯狂操练1 1．（）÷（）=（）……6，除数最小是几？ 2．（）÷（）=6……7，除数取最小时，被除数是几？3．（）÷8=7……（），余数取最大时，被除数是几？ 王牌例题2 （）÷8=3……（），根据余数写出被除数最大是几？最小是几？ 【思路导航】除数是8，根据余数比除数小，余数可以是1，2，3，4，5，6，7，根据除数×商＋余数=被除数这一等式，当商、除数、余数已知时，可求出最大的被除数为3×8＋7=31；最小的被除数为8×3＋1=25。 列式如下：
3×8＋7=31……最大 1×8＋1=25……最小 答：被除数最大是31，最小是25。 疯狂操练2 1．下面各题中被除数最大填几，最小填几？ ①（）÷6=8……（） ②（）÷7=5……（） 2．下题中要使除数最小，被除数应为几？ ①（）÷（）=6 (8) ②（）÷（）=9 (1) 王牌例题3 老师拿出15颗小红星，每人奖2颗，还余1颗，老师奖给了几位小朋友？ 【思路导航】老师拿出15颗小红星，最后余1颗，说明老师已奖给小朋友15－1=14（颗），14颗小红星，每人2颗，可奖给14÷2=7（个）小朋友。列式如下： 15－1=14（颗） 14÷2=7（个） 答：老师奖给了7个小朋友。 疯狂操练3 1．在括号里填上合适的数。 48÷（）=9 (3) 67÷（）=7 (4) 2．阿姨拿来35块饼干，每个小朋友分得4块，还余3块，阿姨发给
二年级（下）思维训练第十一讲 余数的妙用（一）姓名（） 在有余数的除法里，余数要比除数小，利用这一特点，可以解决许多实际问题。今天 【学一学】1： 45÷9= 35÷5= 24÷6= 49÷7= 27÷6= 29÷5= 35÷6= 79÷9= 【练一练】： 1、把40个苹果，平均分给7个小朋友，每人分得（）个，还剩 （）个。 2、把48本练习本，平均分给5人，每人分得（）本，还多 （）本。 【学一学】2： 1、（）÷（）=（）……4，除数最小是（）。 2、（）÷ 6 =（）……（），余数可以是几？其中最大的一个 是（）。
【练一练】： 1、（）÷（）=（）……6，除数最小是几？ 2、（）÷（）= 6 ……7，除数取最小时，被除数是（）。 3、（）÷8 = 7 ……（），余数取最大时，被除数是（）。 【学一学】3： （）÷ 8 = 3 ……（），被除数最大是（），被除数最小是（） 【练一练】： 1、（）÷ 6 = 8 ……（），被除数最大是（），被除数最小是（）。 2、（）÷ 7 = 5 ……（），被除数最大是（），被除数最小是（）。 3、（）÷（）= 6 …… 8 ，除数最小是（），除数最小时被除数是（）。 4、（）÷（）= 9 …… 1 ，除数最小是（），除数最小时被除数是（）。 【学一学】4：王老师拿出15颗小红星，每人奖2颗，还余1颗，老师奖给了（）位小朋友。
【练一练】： 1、在括号里填上合适的数。 48 ÷（）= 9 (3) 67 ÷（）= 7 (4) 2、阿姨拿来35块饼干，每个小朋友4块，还余3块，阿姨发给了（）个小朋友。 3、某数（0除外）除以5，当商和余数相同时，这个数可能是（）。 【学一学】5：有28个梨，最少拿走（）个，就使得6个小朋友分得一样多，每个小朋友分得（）个。 【练一练】： 1、有37只气球，最少拿走（）只，就使得7个小朋友分得一样多，每个小朋友分得（）只。 2、老师做了许多小红花，分给20个小朋友，每人3朵，还剩下2朵，老师共做了（）朵小红花。 3、学校体育室要给全校20个班级发乒乓球，现在已知每班分到4只，剩下的只数不够分了，体育室里最多有（）只乒乓球。
第十讲：数论之余数问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在 要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了 c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且 可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理
第十讲余数问题 常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。下面我简单谈谈这四类问题： ㈠带余除法。 一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r， 使得α÷b＝q……r 或α＝b×q＋r 当r=0时，我们称α能被b整除。 当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。 带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。 ㈡余数周期。 这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。例如，求3130÷13的余数。例如尖子班作业1。 ㈢同余问题。 1、什么是“同余” 整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。 记作：α≡b （mod c） 例如：15÷4＝3 (3) 23÷4＝5 (3) 15和23对于除数4同余。 记作：15 ≡23 （mod4） 可以理解为15和23除以4的余数相同。 2、“同余”的四个常用性质是什么 同余性质1：如果α≡ b (mod m)， 则m︱（α－b） 若两数同余，他们的差必是除数的倍数。 例如，73 ≡23 (mod 10) 则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。
同余性质2：如果α≡ b (mod m)， c ≡ d (mod m), 则α± c ≡ b ± d (mod m) 两数和的余数等于余数的和。 两数差的余数等于余数的差。 例如，73 ≡3 (mod 10) 84 ≡4 (mod 10) 73+84 ≡3+4≡7 (mod 10) 84－73≡4－3≡1 (mod 10) 同余性质3：如果α≡ b (模m)， c ≡ d (模m), 则α× c ≡b×d (模m) 两数积的余数等于余数的积。 例如，73 ≡3 (模10) 84 ≡4 (模10) 73×84 ≡3×4≡2 (模10) 同余性质4：如果α≡ b (模m) 则αn≡b n (模m) 某数乘方的余数，等于余数的乘方。 例如，40≡1 （mod13） 4031≡131≡1 （mod13） 很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。 4、“物不知其数”。 与同余问题相对应的是“物不知其数”，例如：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。”这种问题有两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。 我们在解决“物不知其数”题目，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：绝招一：减同余。例2、例3 绝招二：加同补。例4、作业4 、学案3 绝招三：中国剩余定理。绝招四：逐级满足法。
余数的妙用一 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
余数的妙用一 一、考点，难点回顾 1、知道余数求被除数(最大、最小) 2、知道除数、商，求余数和被除数(最大、最小) 3、利用这种思想解决其他问题(平均分配) 二、知识点回顾 同学们已经学会了有余数的除法,在有余数的除法里,余数要比除数小.利用有余数的除法里的余数，可以解决许多有趣的实际问题.就看你会不会巧妙地应用了. 要解决除数最小、余数最大的问题.最主要是要掌握除数和余 数的关系,余数必须比除数小,即除数必须比余数大,掌握了这一点才能找到正确答案. 要求平均分给几位小朋友.平均每人种多少棵树等这类问题时,应该首先从总数里去掉多余的部分,使其能够除尽,这样就能符合题意.求出问题的答案. 三、典型例题及课堂练习 【思路导航】(1)根据余数一定要比除数小的道理,如果余数是4, 那么除数的范围就比4大.比4大的数有许多,最小的是几呢答案是5.因为最小的除数只要比余数大1就可以了。 (2)根据余数一定要比除数小的道理,1,2,3,4,5都可以作为本题 的余数,5是最大的余数.确定最大的余数,只要比除数小1就可以了.
【思路导航】除数是8,根据余数比除数小,余数可以是1， 2,3,4,5,6,7,根据“除数×商十余数=被除数”这一等式，当商、除数、余数已知时,可求出最大的被除数为3×8+7=31；最小的被除数为8×3+1=25.列式如下: 最大:3×8+7=31 最小:3×8+1=25 答;被除数放大是31,最小是25. 王牌例题3 老师拿出15颗小红星,每人奖2颗,还余1颗,老师奖给了几个同学 【思路导航】老师拿出15颗小红星最后余1颗，师已奖给同学15-1=14(颗).14颗小红星,每人奖2颗,可奖给14÷2=7(个)同学.列式如下; 15-1=14(颗) 14÷2=7( 个 ) 答:老师奖给了7个同学。 王牌例题4 有28个梨,最少拿走几个,就使得6个小朋友分得一样多每个小朋友分几个 【思路导航】要求从28个梨里最少拿走几个,就使得6个小朋友分得一样多,就是把28个梨平均分给6个小朋友后,求余下的个数.列式如下;
【知识点概述】 一、带余除法的定义及性质： 1.带余除法的定义： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有 a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b； (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 2.和余数相关的一些重要性质：(以下a,b,c均为自然数) 性质1：余数小于除数 性质2：=?+ 被除数除数商余数 除数（被除数-余数）商 =÷ =÷ 商（被除数-余数）除数 性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316) ?除以5的余数等于?=。 313 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(2319) ?除以5的余数等于?=除以5的余数，即2. 3412 【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，对于我们求一个数的n次方除以一个数的余数时非常的有用。 二、数的同余 1.同余定义
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用 式子表示为：a≡b ( mod m ) 同余式读作：a同余于b，模m 由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )， 那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。 例如：（1）15365(mod7) ≡，因为36515350750 -==? （2）5620(mod9) ≡，因为56203694 -==? （3）900(mod10) ≡，因为90090910 -==? 由上面的(3)式我们可以得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为0(mod) ≡ a m 例如，我们表示a是一个偶数，可以写为2(mod2) a≡, 表示b为一个奇数，可以写为1(mod2) b≡ 我们在书写同余式的时候，总会想起我们最熟悉的等式，但是两者又不是完全相同，在某些性质上相似。 2.同余式的性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数。） 性质1：a≡a（mod m）（反身性） 性质2：若a≡b ( mod m ),那么b≡a ( mod m ) （对称性） 性质3：若a≡b ( mod m )，b ≡c( mod m )，那么a≡c ( mod m ) （传递性） 性质4：a≡b ( mod m ),c≡d ( mod m ),那么a±c≡b±d ( mod m ) （可加减性） 性质5：若a≡b ( mod m ) ，c≡d ( mod m ),那么ac≡bd ( mod m ) （可乘性） 性质6：若a≡b ( mod m ) ，那么a n≡b n(mod m),（其中n为自然数） 性质7：若ac≡bc ( mod m )，（c，m）＝1,那么a≡b ( mod m ) 三.弃九法 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》， 他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失 而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 ++++= 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8
第19讲 余数问题 知识梳理 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b； 当r=0时，我们称a能被b整除； 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商 两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数相同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。 同余的性质比较多，主要有以下一些： 性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。 性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。 性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。 性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。 应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。 典型例题 【例1】★求1992×59除以7的余数。 【解析】可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。
根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。因为1992×59≡4×3≡5（mod 7），以1992×59除以7的余数是5。 【小试牛刀】求4217×364除以6的余数。 【解析】2 【例2】★（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。 【解析】将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。 【例3】★★1013除以一个两位数，余数是12。求出符合条件的所有的两位数。 【解析】1013-12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有13、77、91。 【例4】★★已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆节是星期几？ 【解析】2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年，即有“366×2+365×7”天。因为366×2≡2×2≡4（mod 7），365×7≡1×7≡0（mod 7），366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7） 答：2010年的国庆节是星期五。 【小试牛刀】已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期几？ 【解析】星期二 【例5】★★2001的2003次方除以13的余数。 【解析】可知2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一个很大的值，要求它的余数比较困难。这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。经试验可知12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1。所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的2002次方≡1（mod 13），而12的2003次方≡12的2002次方×12。根据同余性质（2）可知12的2002次方×12≡1×12≡12（mod 13） 因为：2001的2003次方≡12的2003次方（mod 13） 12的平方≡1（mod 13），而2003≡2×1001+1
第六讲余数的妙用 欧阳光明（2021.03.07） 基本练习 1.一个星期是7天，30天是几个星期多几天？ 2.有30箱苹果，妈妈一次搬4箱，可以搬几次？还剩几箱？ 3.小红有50元钱，钢笔每支8元，他能买几支钢笔？还剩几元？ 4.20个同学去公园划船，每6人租一条船，这些同学全部参加至少需要租几条船？ 5.用38米布做衣服，每8米做一件，最多可以做多少件？ 6.一根绳子长19米，剪8米做一根长绳，剩下的每2米做一根短绳，最多可以做几根短绳？ 奥赛训练 例1.王老师把1～40号卡片依次发给小亮、小红、小云、小强四个同学，问第26张卡片应该发给谁？ 练习 1.把1～50号卡片依次发给甲、乙、丙、丁四个同学，问第29号 应该发给谁？ 2.小亮练习书法，他把“我爱伟大的祖国”这句话依次反复书写，第 58个字应写什么字？ 3.一组彩灯是按“红红黄绿绿紫”的顺序反复排列的，请问第48个 彩灯是什么颜色？
例2.小明问小刚:“今天是星期五，再过31天是星期几？”同学们，你能帮小刚回答这个问题吗？ 1.今天是星期四，再过20天是星期几？ 2.的6月1日是星期一，你能算出6月30日是星期几吗？ 例3.有一列数312312312……问第20个数是多少？这20个数的和是多少？ 练习 1.有一列数402140214021……问第30个数是多少？这30个数的 和是多少？ 2.有一列数210342103421034……问第38个数是多少？这38个数 的和是多少？ 3.有一字母串共有43个字母，按A B C D E A B C D E A B C D E……排列，最后一个字母是什么字母？这串字母中A、B、C、D、E各有多少个？
小学五年级奥数—数论之同余问题 数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： 1 当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 2 当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理：
1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16 39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19 42除以5的余数等于3+4 7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1 3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b mod m ，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b mod m ，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m| a－b
第8讲数论（余数问题） 1、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r， 也就是a＝b×q＋r, 0?r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商； (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。 余数一定要比除数小。 2、三大余数定理： （1）余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 （2）余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 （3）同余定理 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)。 3、弃九法： 任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。 以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。 （思考：有没有求一个整数被11除的余数的快速方法呢？） 4、同余同补问题：
例1：（1）用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。 （2）有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 练习：（1）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数； （2）用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？ 例2：三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 练习：一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。
余数的妙用（一） 认识被除数、除数、商和余数之间的关系，并运用这种关系解决简单的实际问题。被除数=除数×商+余数；除数=（被除数－余数）÷商； 商=（被除数－余数）÷除数；余数=被除数－除数×商。 例题1：（1）□÷□=□……4，除数最小是几 （2）□÷6=□……□，余数可以是几其中最大的一个是几 课堂练习： 1．（）÷（）=（）……6，除数最小是几 2．（）÷（）=6……7，除数取最小时，被除数是几 3．（）÷8=7……（），余数取最大时，被除数是几 例题2：（）÷8=3……（），根据余数写出被除数最大是几最小是几 课堂练习： 1．下面各题中被除数最大填几，最小填几 ①（）÷6=8……（） ②（）÷7=5……（） 2．下题中要使除数最小，被除数应为几 ①（）÷（）=6 (8) ②（）÷（）=9 (1) 例题3：老师拿出15颗小红星，每人奖2颗，还余1颗，老师奖给了几位小朋友 课堂练习：1．在括号里填上合适的数。 48÷（）=9......3； 67÷（）=7 (4) 2．阿姨拿来35块饼干，每个小朋友分得4块，还余3块，阿姨发给了几个小朋友
3．某数（0除外）除以5，当商和余数相同时，这个数可能是哪些数 例题4：有28个梨，最少拿走几个，就使得6个小朋友分得一样多每个小朋友分几个 课堂练习： 1、有37只气球，最少拿走几只，就使得7个小朋友分得一样多每个小朋友分几只 2、老师做了许多小红花，分给20个小朋友，每人3朵，还剩下2朵，老师共做了多少朵小红花 3、学校体育室要给全校20个班级发乒乓球，现在已知每班分到4只，剩下的只数不够分了，体育室里最多有多少只乒乓球 例题5：小明带5个小朋友种32棵树，平均每人种多少棵小明要多种几棵，才能完成任务 课堂练习： 1、小兰带领8个小朋友为图书馆包75本书，平均每人包多少本小兰要多包几本，才能完成
一、带余除法的定义及性质 一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型: 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23， 19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。 知识精讲 余数问题
2.余数的乘法定理 a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a 同余于b ，模m 。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除。 用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ，k 是整数，即m |(a －b ) 【例1】用某自然数a 去除1992，得到商是46，余数是r ，求a 和r ． 【解析】 因为1992是a 的46倍还多r ,得到19924643......14÷=，得1992464314=?+，所以43a =，14r =． 【例2】 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数． 【解析】 (法1)因为 甲=乙1132?+，所以 甲+乙=乙1132?++乙=乙12321088?+=； 【解析】 则乙(108832)1288 =-÷=，甲1088=-乙1000=． 【解析】 (法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以 后，1056就应当是乙数的(111)+倍，所以得到乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=． 经典例题
余数的妙用（一） 知识点： 在有余数的除法里：余数要比除数小；被除数=除数×商+余数。 要求平均分给几个小朋友，平均每人种多少棵树等这类问题时，应该首先从总数里去掉多余的部分，使其能够除尽，这样就能符合题意，求出问题的答案。 例1、（1）□÷□=□……4，除数最小是几？ （2）□÷6=□……□，余数可以是几？其中最大的一个是几？ 练习1： 1．（）÷（）=（）……6，除数最小是几？ 2．（）÷（）=6……7，除数取最小时，被除数是几？ 3．（）÷8=7……（），余数取最大时，被除数是几？ 例2、（）÷8=3……（），根据余数写出被除数最大是几？最小是几？ 练习2： 1．下面各题中被除数最大填几，最小填几？ ①（）÷6=8……（）②（）÷7=5……（） 2．下题中要使除数最小，被除数应为几？ ①（）÷（）=6......8 ②（）÷（）=9 (1) 例3、老师拿出15颗小红星，每人奖2颗，还余1颗，老师奖给了几位小朋友？ 练习3： 1．在括号里填上合适的数。 48÷（）=9......3 67÷（）=7 (4) 2．阿姨拿来35块饼干，每个小朋友分得4块，还余3块，阿姨发给了几个小朋友？ 3．某数（0除外）除以5，当商和余数相同时，这个数可能是哪些数？ 例4、有28个梨，最少拿走几个，就使得6个小朋友分得一样多？每个小朋友分几个？
练习4： 1．有37只气球，最少拿走几只，就使得7个小朋友分得一样多？每个小朋友分几只？ 2．老师做了许多小红花，分给20个小朋友，每人3朵，还剩下2朵，老师共做了多少朵小红花？ 3．学校体育室要给全校20个班级发乒乓球，现在已知每班分到4只，剩下的只数不够分了，体育室里最多有多少只乒乓球？ 例5、有一筐梨,总数不到60个,把这筐梨平均分给8个人,还剩2个,这筐梨最多有多少个? 练习5： 1.一盒饼干，总数不到51块，平均分给8个小朋友，还余下2块，这盒饼干里有多少块？ 2.有一些练习本,不到35本,平均分给4个孩子或平均分给7个孩子,都剩下3本,想一想，有多少本练习本？ 3．学校总务主任到文具店买几盒相同价钱的橡皮，付了50元钱，找回10元，你知道总务主任买了多少盒橡皮吗？？ 课后作业