第十讲余数问题
常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。下面我简单谈谈这四类问题：
㈠带余除法。
一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，
使得α÷b＝q……r
或α＝b×q＋r
当r=0时，我们称α能被b整除。
当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。
带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。
㈡余数周期。
这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。例如，求3130÷13的余数。例如尖子班作业1。
㈢同余问题。
1、什么是“同余”
整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。
记作：α≡b （mod c）
例如：15÷4＝3 (3)
23÷4＝5 (3)
15和23对于除数4同余。
记作：15 ≡23 （mod4）
可以理解为15和23除以4的余数相同。
2、“同余”的四个常用性质是什么
同余性质1：如果α≡ b (mod m)，
则m︱（α－b）
若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
例如，73 ≡23 (mod 10)
则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。
同余性质2：如果α≡ b (mod m)，
c ≡
d (mod m),
则α± c ≡ b ± d (mod m)
两数和的余数等于余数的和。
两数差的余数等于余数的差。
例如，73 ≡3 (mod 10)
84 ≡4 (mod 10)
73+84 ≡3+4≡7 (mod 10)
84－73≡4－3≡1 (mod 10)
同余性质3：如果α≡ b (模m)，
c ≡
d (模m),
则α× c ≡b×d (模m)
两数积的余数等于余数的积。
例如，73 ≡3 (模10)
84 ≡4 (模10)
73×84 ≡3×4≡2 (模10)
同余性质4：如果α≡ b (模m)
则αn≡b n (模m)
某数乘方的余数，等于余数的乘方。
例如，40≡1 （mod13）
4031≡131≡1 （mod13）
很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。
4、“物不知其数”。
与同余问题相对应的是“物不知其数”，例如：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。”这种问题有两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。
我们在解决“物不知其数”题目，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：绝招一：减同余。例2、例3
绝招二：加同补。例4、作业4 、学案3
绝招三：中国剩余定理。绝招四：逐级满足法。
例1 （3130＋3031）被13除所得的余数是多少
分析：⑴31被I3除所得的佘数为5，当n取l，2，3，…时，5n被I3除所得佘数分别是5，12，8，l，5，⒓，8，l，…，以4为周期循环出现，所以530被I3除的余数与52被13除的余数相同，余12。即3130除以13的余数为12。
⑵30被13除所得的余数是4，当n取l，2，3，…时，4n被13除所得的佘数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，……，以6为周期循环出现，所以431被I3除所得的余数等于41被13除所得的佘数，即4，故3031除以13的余数为4。
所以，（3130＋3031）被13除所得的余数是I2＋4－13＝3
解：⑴31≡5 （模13）
3130≡530 ≡52≡12（模13）
⑵30≡4 （模13）
3031≡431≡41≡4 （模13）
⑶3130＋3031≡12＋4≡3 （模13）
答：（3130＋3031）被13除所得的余数是3。
点睛：用到同余的性质“某数乘方的余数等于余数的乘方”“两数和的余数等于余数的和”。
例2 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为α，α十2，α十5，则这个自然数是多少
分析：根据题意，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数(都为α)。
既然余数相同，根据同余性质“若两数同余，他们的差必是除数的倍数。”可知其中任意两数的差都是除数的倍数。
290－233＝57 233－195＝38 290－195＝95
除数是57、38、95的公约数，
（57，38，95）＝19
答：这个自然数是19。
例3 学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友。余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1︰2︰3，问学前班有多少位小朋友
分析：⑴设分完后余下苹果χ个，余下饼干2χ个，余下糖3χ粒。
176÷人数＝A个……χ
216÷人数＝B个……2χ
324÷人数＝C个……3χ
⑵176×2－216＝136；176＋216－324＝68；176×3－324＝204
（136，68，204）＝68
学前班有几十位小朋友，并且人数是68的约数，68的约数中是几十的只有68和34两个。
⑶检验：176÷34＝5个 (6)
216÷34＝6个 (12)
324÷34＝9个……18 34人符合题意。
检验：176÷68＝2个 (40)
216÷68＝3个……1268人不符合题意。
答：学前班有34位小朋友。
例4 200以内除以3余I，除以4余2，除以5余3的自然数有多少个分别是多少
分析：⑴通过观察我们发现，除数和余数的差都为2。
被除数补上2之后，除以3、4、5都能整除；也就是说，被除数补上2之后是3、4、5的公倍数。
[3，4，5]＝60，补上2之后是60的倍数。
200以内60的倍数有60、120、180共3个。
相应的，符合要求的自然数也有3个，分别是：58、118、178。
例5 （1998年小学数学奥林匹克预赛）
某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是。分析：⑴观察到11－8＝13－10＝3，某数补上3之后是11和13的公倍数。]
[11，13] ＝11×13＝143
设某数为143n－3。
⑵143n≡7n （模17）
3≡3 （模17）
143n－3≡7n－3 （模17）
只有当n＝7时，7×7－3＝46，45÷17余12。
⑶n最小等于7，那么这个数的最小可能值是143×7－3＝998
答：这个数的最小可能值是998 。
例6 （2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赉试题）
三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是，，。
分析：⑴设所得的商为α，余数为b
（19α＋b）＋（23α＋b）＋（31α＋b）＝2001
73α＋3b＝2001 b＜19
⑵2001÷73＝27 (30)
α＝27，b＝10
这三个数分别是19×27＋10＝523；23×27＋10＝631；31×27＋10＝847；
答：这三个数分别是523、631、847。
超常挑战
三个连续自然数依次可以被5整除、被7整除、被11整除，那么这三个自然数最小为多少
分析：⑴设这三个自然数分别为χ－1，χ，χ＋1 。
2χ－7既是5的倍数也是7的倍数，是5和7的公倍数。[5，7]＝35，
⑵设2χ－7＝35K，（K为自然数）
当K＝1时，2χ－7＝35
χ＝21
χ－1＝20是5的倍数；χ＝21是7的倍数；χ＋1＝22是11的倍数。
家庭作业
1、着名的裴波那契数列是这样的：l、
2、
3、5、8、13、21、……，这串数列当中第2010个数除以3所得的余数为多少
分析：⑴斐波那契数列的构成规则是从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。根据“两数和的余数等于余数的和”将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：
I、l、2、0、2、2、1、0、I、l、2、0、2、2、1、0、……
⑵裴波那契数列被3除的余数——每8个余数为一个周期循环出现。
由于2010÷8＝251……2，所以第2010项被3除所得的余数与第2项被3除所得的余数相同，余数为1。
2. 一个数去除70、103所得的余数为α、2α＋2，求α的值。
解：⑴用数学表达式表述题意
70÷n＝A……a ……①
103÷n＝B……2a＋2 ……②
⑵把①式转化为（70×2＋2）÷n＝2A……2a＋2 70×2＋2＝142
142与103除以n的余数相同，根据同余的性质定理（1），n能整除142与103的差。142－103＝39，n能整除39，n是39的约数。
⑶39的约数有1、3、13、39，经检验，n＝13。
70÷13＝5 (5)
103÷13＝7……12（12＝2×5＋2）
所以，n＝5
3. 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少
解：设这个大于10的自然数为n。
根据同余的性质定理（二），两数和的余数等于余数的和。用n去除90、164后所得的两个余数的和等于用n去除220所得的余数，而90＋164＝254。254和220除以n所得的余数相同，于是254－220＝34是n的倍数，n是34的约数。34的约数有1、2、17、34，因为n是大于10的自然数，所以n只能是17或34。
当n＝34时，90÷34＝2......22；164÷34＝4......28；220÷34＝6 (16)
22＋28≠16 所以，n≠34
当n＝17时，90÷17＝5......5；164÷17＝9......11；220÷17＝12 (16)
5＋11＝16 所以，n＝17
答：符合要求的自然数是17。.
4. 一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少
解：先把已知条件用数学表达式写出来，设所求的自然数为N。
N÷11＝ (8)
N÷13＝ (10)
这两个除法算式的余数与除数的差都是“3”，11－8＝13－10＝3。把被除数N加上3之后除以11和13都能整除，也就是说（N＋3）是11和13的公倍数。[11，13] ＝143，143－3＝140，140就是所求的数。
5. 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余l，求满足条件的最小的自然数。
解：用数学式子表示题意N÷5＝ (3)
N÷6＝ (4)
N÷7＝ (1)
根据前两个条件，N＋2后除以5和6都能整除，没有余数。N＋2是5和6的公倍数，N比5和6的公倍数少2，符合前两个条件的最小的自然数是5×6－2＝28。
6、（2004年福州市“迎替杯”小学数学竞赉试题）一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是。
解：⑴设这个自然数除以11的商和余数都是A，除以9所得的余数是B。
这个数÷11＝A……A →这个数＝11A＋A＝12 A （A＜11）
这个数÷9＝3B……B →这个数＝27B＋B＝28B （B＜9）
⑵12A＝28B
3A＝7B
A＝7, B＝3
这个数＝12 A＝12×7＝84
这个数＝28 A＝28×3＝84
答：这个自然数是84。
尖子班学案
【学案1】（2007年实验中学考题）
12＋22＋32＋42＋52＋62＋……＋20012＋20022除以7所得的余数为多少
解：12＋22＋32＋42＋52＋62＋……＋20012＋20022
＝
＝1001×2003×1335
1001是7的倍数，1001×2003×1335也是7的倍数。所以12＋22＋32＋42＋52＋62＋……＋20012＋20022除以7所得的余数为0。
【学案2】甲、乙、丙三个数分别为603、939、393。某数A除甲数所得的余数是A除乙数所余数的2倍，A除乙数所得的余数是A除丙数所的余数的2倍。求A等于多少
解：⑴603÷A＝B1……4r
939÷A＝B2……2r
393÷A＝B3……r 把余数处理成相同，再相减
⑵603÷A＝B1……4r
（939×2）÷A＝B2×2……4r
（393×4）÷A＝B3×4……4r
393×4＝1572，939×2＝1878，原题转化成“1572、1878、603除以A的余数相同，求A 是多少”。这三个数两两相减的差是1878－1572＝306；1878－603＝1275；1572－603＝969。A是306、1275、969的公约数。（306、1275、969）＝51＝3×17 A是51或17，不会是1和3。经检验，A 等于17。
603÷17＝35 (8)
939÷17＝55 (4)
393÷17＝23……2 答：A等于17。
【学案3】五班同学上体育课，排成3行少l人，排成4行多3人，排成5行少l人，排成6行多5人。问上体育课的同学最少有多少名
分析：⑴“排成3行少l人”，如果补上1人正好排成3行，补上1人后人数是3的倍数。同理，在五班学生人数的基础上如果补上1个人，总人数是3、4、5、6的公倍数。
⑵[3，4，5，6] ＝60
60－1＝59
答：上体育课的学生最少59人。
【学案4】一个自然数在1000和1200之问，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数。
分析：⑴“被3除余1”、“被7除余3”可转化为被3和7除都余10。这个数比3和7的公倍数多10。设这个数为21α＋10。
当α＝2时，21α＋10＝52，52除以5余2。52是符合条件的最小的自然数。
⑵[3，5，7] ＝105，在52的基础上加105的倍数，即（105n＋52）符合条件，当n ＝10时，105n＋52＝1102，1102在1000和1200之问，并且被3除余1，被5除余2，被7除余3。
答：符合条件的数是1102。
越玩越聪明
胆怯的店主
“请给我三股丝线，四股绒线。”小苏茜拿出3I美分(正确的价款)，往柜台上一放。老板去拿商品时，小苏茜喊了起来：“我改变主意了，现在我想要四股丝线，三股绒线。”“那样的话，你的钱就差1美分了。”店主一面把东西放在柜台上，一面田答。“不，不！”苏茜拿起商品，飞快地跑出店外，“你才少我1美分呢！”
试问：一股丝线和一股绒线，各值几美分
解：设每股丝线χ美分；每股绒线y美分
3χ＋4y＝31
4χ＋3y＝32
解得χ＝5
y＝4
答：丝线每股值5美分，绒线每股值4美分。