第五篇 向量代数与空间解析几何
第八章 向量代数与空间解析几何
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.
本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分容.
第1节 空间直角坐标系
1.1 空间直角坐标系
用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.
1.1.1 空间直角坐标系
过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过
2
角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.
图8-1
在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.
y
x
z
O
图8-2
1.1.2 空间点的直角坐标
设M 为空间中的任一点，过点M 分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x 轴、y 轴和z 轴依次交于A 、B 、C 三点，若这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，于是点M 就唯一确定了一个有序数组(, , )x y z ，则称该数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，如图8-3．x ，y ，z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．
图8-3
反之，若任意给定一个有序数组(, , )x y z ，在x 轴、y 轴、z 轴上分别取坐标为x ，y ，
z 的三个点A 、B 、C ，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一
个交点M ，该点就是以有序数组(, , )x y z 为坐标的点，因此空间中的点M 就与有序数组
(, , )x y z 之间建立了一一对应的关系．
注：A 、B 、C 这三点正好是过M 点作三个坐标轴的垂线的垂足．
y
x
z
O
y
x
z
A
B C
(,,)M x y z
1.2 空间中两点之间的距离
设两点111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z ，则M 与N 之间的距离为
212212212)()()(z z y y x x d -+-+-= （8-1-1）
事实上，过点M 和N 作垂直于xOy 平面的直线，分别交xOy 平面于点1M 和1N ，则1MM ∥1NN ，显然，点1M 的坐标为11(, , 0)x y ，点1N 的坐标为22(, , 0)x y （如图8-4）
．
图8-4
由平面解析几何的两点间距离公式知，1M 和1N 的距离为：
21221211)()(||y y x x N M -+-=．
过点M 作平行于xOy 平面的平面，交直线1NN 于2N ，则11M N ∥2MN ，因此2N 的坐标为221(, , )x y z ，且
212212112)()(||||y y x x N M MN -+-==，
在直角三角形N MN 2中，
||||122z z N N -=，
所以点M 与N 间的距离为
2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=．
例1 设(1, 2, 0)A -与(1, 0, 2)B --为空间两点，求A 与B 两点间的距离． 解 由公式（8-1-1）可得，A 与B 两点间的距离为
d ==
例2 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距的点M ．
解 由于所求的点M 在z 轴上，因而M 点的坐标可设为(0, 0, )z ，又由于
MA MB =，
由公式（8-1-1），得
222222)5(1)4()2(53z z -++-=--++．
从而解得7
2
=
z ，即所求的点为2(0, 0, )7M ．
习题8-1
1．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号． 2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？ 3．在空间直角坐标系中，画出以下各点：
(2, 0, 0)A ；(0, 3, 0)B -；(3, 0, 1)C ；(3, 2, 1)D -．
4．求点(1, 2, 3)-关于各坐标平面对称的点的坐标． 5．求点(1, 2, 3)关于各坐标轴对称的点的坐标． 6．求以下各对点间的距离： (1) (0, 1, 3)A -与(2, 1, 4)B ；
(2) (1, 4, 2)C -与D(2, 7, 3)．
7．在坐标平面yOz 上求与三点(3, 1, 2)A 、(4, 2, 2)B --和(0, 5, 1)C 等距的点． 8．求点(12, 3, 4)A -与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离．
9. 证明以()()()A 4,3,1,B 7,1,2,C 5,2,3为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形.
第2节 空间向量的代数运算
2.1 空间向量的概念
在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．
在数学上，我们用有向线段AB 来表示向量，A 称为向量的起点，B 称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母a ，b ，c ，…来表示向量，手写时用带箭头的小写字母, ,,a b c
来记向量.
向量的长度称为向量的模，记作a 或AB ，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．
本章我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作a =b .规定：所有的零向量都相等.
与向量a 大小相等，方向相反的向量叫做a 的负向量(或反向量)，记作 a ． 平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．
平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面.
2.2 向量的线性运算
2.2.1 向量的加法
我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法．
定义1 对向量a ，b ，从同一起点A 作有向线段AB 、AD 分别表示a 与b ，然后以
AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则我们把从起点A 到顶点C 的向量AC 称为向量
a 与
b 的和（图8-5），记作a +b ．这种求和方法称为平行四边形法则．
图8-5 图8-6
若将向量b 平移，使其起点与向量a 的终点重合，则以a 的起点为起点，b 的终点为终
a
b C
a
b
c =a +b
点的向量c 就是a 与b 的和(图8-6），该法则称为三角形法则．
多个向量，如a 、b 、c 、d 首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和a +b +c +d （图8-7）．
图8-7
对于任意向量a ，b ，c ，满足以下运算法则： (1)a +b =b +a (交换律)．
(2)()()a +b +c =a +b +c (结合律)． (3)0a +=a ．
2.2.2 向量的减法
定义2 向量a 与b 的负向量-b 的和，称为向量a 与b 的差，即
()--a b =a +b ．
特别地，当b =a 时，有()-0a +a =.
由向量减法的定义，我们从同一起点O 作有向线段OA ，OB 分别表示a ，b ，则
()OA OB OA OB --=+-a b =OA BO BA =+=．
也就是说，若向量a 与b 的起点放在一起，则a ，b 的差向量就是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量（图8-8）．
图8-8
2.2.3数乘向量
定义3 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，λa 的模是λa ，方向： 当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ0a =．
a
b
c
d
a +
b +
c +d
a
a
b
b -a b
B
A
C
对于任意向量a ，b 以与任意实数λ，μ，有运算法则： (1) ()()λμλμa =a ． (2) ()+λμλμ+a =a a ．
(3) ()+λλλ+a b =a b ．
向量的加法、减法与数乘向量运算统称为向量的线性运算，λμa +b 称为a ，b 的一个线性组合(, )R λμ∈．
特别地，与 a 同方向的单位向量叫做
a 的单位向量，记做a e ，即a
a e a
=.
上式说明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.
例1 如图8-9，在平行六面体///ABCD B C D /—A 中，设/
=AA ,a AD =b AB =c ,试用
,,a b c 来表示对角线向量//,.AC A C
图8-9
解 ''
AC AB BC CC =++'AB BC AA =++a b c =++；
'''AC A A AB BC AA AB AD =++=-++a b c =++.
由于向量λa 与a 平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有,
定理1 向量a 与非零向量b 平行的充分必要条件是存在一个实数λ，使得λa =b .
2.3 向量的坐标表示
2.3.1向量在坐标轴上的投影
设A 为空间中一点，过点A 作轴u 的垂线，垂足为'A ，则'A 称为点A 在轴u 上的投影(图8-10)．
图8-10
若M 为空间直角坐标系中的一点，则M 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影为A 、B 、C ，如图8-11所示．
图8-11
设向量AB 的始点与终点B 在轴u 的投影分别为A '、B '，那么轴u 上的有向
线段A B ''的值A B ''叫做向量AB 在轴u 上的投影，记作u prj AB A B ''=，轴u 称为投影轴.
图8-12
当A B ''与轴u 同向时，投影取正号，当A B ''与轴u 反向时，投影取负号． 注 (1) 向量在轴上投影是标量．
(2) 设MN 为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(, , )x y z ，点N 的坐标为222(, , )x y z ，显然，向量MN 在三个坐标轴上的投影分别为12x x -，12y y -，12z z -． 2.3.2向量的坐标表示
y
x
z
O
A B C
M
取空间直角坐标系Oxyz ，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作, , i j k ，它们称为坐标向量．
空间中任一向量a ，它都可以唯一地表示为, , i j k 数乘之和． 事实上，设MN a =，过M 、N 作坐标轴的投影，如图8-13所示．
MN =MA+AP +PN =MA+MB +MC a =．
由于MA 与i 平行，MB 与j 平行，MC 与k 平行，所以，存在唯一的实数, , x y z ，使得
MA x =i ，MB y =j ，MC z =k ，
即
x y z a =i +j +k ． (8-2-1)
图 8-13
我们把(8-2-1)式中, , i j k 系数组成的有序数组(, , )x y z 叫做向量a 的直角坐标，记为
{, , }x y z a =，向量的坐标确定了，向量也就确定了．
显然，(8-2-1)中的, , x y z 是向量a 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的投影．
因此，在空间直角坐标系中的向量a 的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．
例2 在空间直角坐标系中设点(3, 1, 5)M -，(2, 3, 1)N -，求向量MN 与NM 的直角坐标．
解 由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差．所以
向量MN 的坐标为{5, 4, 4}--，向量NM 的坐标为{5, 4, 4}-． 例3(定比分点公式) 设111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 为两
已知点，有向线段AB 上的点M 将它分为两条有向线段AM 和MB ，使它们的值的比等于数(1)λλ≠-，即AM
MB
λ=，求分点(,,)M x y z 的坐标.
图8-14 解 如图8-14，因为
AM 与MB 在同一直线上，且同方向，故AM MB λ=⋅，而
122{,,}AM x x y y z z =---， 222{,,}MB x x y y z z =---
222{(),(),()}MB x x y y z z λλλλ=---
所以 12()x x x x λ-=-，12()y y y y λ-=-，12()z z z z λ-=- 解得
121212,,.111x x y y z z x y z λλλλλλ
+⋅+⋅+⋅===+++
当λ=1, 点M 的有向线段→
AB x 2.3.3向量可以用它的模与方向来表示，设空间向量12a M M =分别为,,αβγ，规定： 0,0απ≤≤≤称,,αβγ为向量
a 的方向角因为向量
a 12cos cos x a M M a αα=⋅=⋅
12cos cos y a M M a ββ=⋅=⋅
(8-2-2)
12cos cos z a M M a γγ=⋅=⋅
公式(8.2.2)中出现的cos ,cos ,cos αβγ称为向量
a 的方向余弦.而
{,,}{cos ,cos ,cos }x y z a a a a a a a αβγ==⋅⋅⋅
{cos ,cos ,cos }a a a e αβγ=⋅=⋅
{cos ,cos ,cos }a e αβγ
=是与向量
a 同方向的单位向量.
而 a =M M =12
,,x y z M P a M Q a M R a ===111，
故向量a 的模为 x a a a =+
2
(8-2-3)
从而向量a 的方向余弦为
cos a αβγ=
=
=
(8-2-4)
并且 222cos cos cos 1αβγ++=.
例4 已知两点1
M 和
()21,3,0M ,求向量12M M 的模、方向余弦和方向角.
解12(12,32,0(1,1,M M =--=-
2)2(1
)1(222=-++-=；
11cos ,cos ,cos 22αβγ=-==； 23,,334
πππ
αβγ=
==
. 例5 已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB 同方向的单位向量e . 解 因为{74,10,35}
{3,1,2},AB =---=-
所以
2
3
AB =
= 于是 {}.e =
2.4 向量的数量积
在物理中我们知道，一质点在恒力F 的作用下，由A 点沿直线移到B 点，若力F 与位移向量AB 的夹角为θ，则力F 所作的功为
||||cos W F AB θ=⋅⋅．
类似的情况在其他问题中也经常遇到．由此，我们引入两向量的数量积的概念． 定义1 设a ，b 为空间中的两个向量，则数
cos ,a b a b
叫做向量a 与b 的数量积(也称积或点积)，记作⋅a b ，读作“a 点乘b ”．即
cos ,⋅a b =a b a b （8-2-5）
其中,a b 表示向量a 与b 的夹角，并且规定0, π≤≤a b ．
两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有0⋅a b =.
由向量数量积的定义易知：
(1)2
⋅a a =a ，因此
=a
(2) 对于两个非零向量a ，b ，a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即
⊥a b ⇔0⋅a b =．
注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用． 数量积的运算满足如下运算性质： 对于任意向量a ，b 与任意实数λ，有 (1) 交换律：⋅⋅a b =b a ．
(2) 分配律：()⋅⋅⋅a b +c =a b +a c ．
(3) 与数乘结合律：()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ． (4)0⋅≥a a 当且仅当0a =时，等号成立．
例6 对坐标向量i ，j ，k ，求⋅i i ，⋅j j ，⋅k k ，⋅i j ，⋅j k ，⋅k i ． 解 由坐标向量的特点与向量积的定义得
1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =．
例7 已知2=a ，3=b ，2
, 3
π=a b ，求a b ⋅，(2)()-+a b a b ⋅，+a b ． 解 由两向量的数量积定义有
2cos , 23cos 3π⋅=⨯⨯a b =a b a b 1
23()=32
=⨯⨯--．
(2)()=22-⋅+⋅⋅-⋅-⋅a b a b a a +a b b a b b
22
=2-⋅-a a b b 222(3)23=11=---⨯-．
2
()()+=⋅+a b a +b a b =⋅⋅+⋅+⋅a a +a b b a b b
2
2
2=+⋅+a a b b 2222(3)3=7=+⨯-+，
因此
+=a b ．
在空间直角坐标系下，设向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，即
111x y z ++a =i j k , 222x y z ++b =i j k ．
则
111222()()x y z x y z ⋅++⋅++a b =i j k i j k
121212()()+()x x x y x z ⋅+⋅⋅=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⋅+⋅⋅+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⋅+⋅⋅+k i k j k k ．
由于
1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =，
所以
121212x x y y z z ⋅++a b =．(8-2-6)
也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和．
同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以与两向量垂直的充要条件，即
设非零向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则
=a (8-2-7)
cos ||||
⋅=
a b
a,b a b
=
． (8-2-8)
⊥a b ⇔1212120x x y y z z ++=． (8-2-9)
例8 在空间直角坐标系中，设三点(5, 4, 1)A -，(3, 2, 1)B ，(2, 5, 0)C -．证明:ABC ∆是直角三角形．
证明 由题意可知
{2, 6, 0}AB =-，={3, 1, 1}AC ---，
则
(2)(3)6(1)0(1)0AB AC ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=，
所以
AB AC ⊥．
即ABC ∆是直角三角形．
2.5向量的向量积
在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念来描述．设一杠杆的一端O 固定，力F 作用于杠杆上的点A 处，F 与OA 的夹角为θ，则杠杆在F 的作用下绕O 点转动，这时，可用力矩M 来描述．力F 对O 的力矩M 是个向量，M 的大小为
||||||sin OA OA =M F ,F ．
M 的方向与OA 与F 都垂直，且OA ，F ，M 成右手系，如图8-16所示．
图8-16
2.5.1向量积的定义
在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们引
入两向量的向量积的概念．
定义2 设a ，b 为空间中的两个向量，若由a ，b 所决定的向量c ，其模为
sin , c =a b a b ． (8-2-10)
其方向与a ，b 均垂直且a ，b ，c 成右手系（如图8-17），则向量c 叫做向量a 与b 的向量积(也称外积或叉积)．记作⨯a b ，读作“a 叉乘b ”．
注 (1) 两向量a 与b 的向量积⨯a b 是一个向量，其模⨯a b 的几何意义是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积． (2)⨯0a a =
这是因为夹角θ=0，所以⨯0a a = 图8-17
(3)对两个非零向量a 与b ，a 与b 平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量．
a ∥
b ⇔⨯0a b =．
向量积的运算满足如下性质：
对任意向量a ，b 与任意实数λ，有 (1) 反交换律：⨯-⨯a b =b a ． (2) 分配律:()⨯⨯⨯a b +c =a b +a c ，
()⨯⨯⨯a +b c =a c +b c ．
(3) 与数乘的结合律：()()()λλλ⨯⨯⨯a b =a b =a b ．
例9 对坐标向量i ，j ，k ，求⨯i i ，⨯j j ，⨯k k ，⨯i j ，⨯j k ，⨯k i ． 解⨯⨯⨯0i i =j j =k k =．
⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ．
2.5.2向量积的直角坐标运算
在空间直角坐标系下，设向量111{, , }x y z a =，向量222{, , }x y z b =，即
111x y z ++a =i j k ，222x y z ++b =i j k ，
因为
⨯⨯⨯0i i =j j =k k =． ⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ， ⨯-j i =k ，⨯-k j =i ，⨯-i k =j ．
则
111222()()x y z x y z ⨯++⨯++a b =i j k i j k
121212()()+()x x x y x z ⨯+⨯⨯=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⨯+⨯⨯+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⨯+⨯⨯+k i k j k k
121212121212()()+()()()()x y y x y z z y x z z x -⨯-⨯--⨯=i j j k k i 121212121212()()+()y z z y x z z x x y y x ----=i j k ．
为了便于记忆，借助于线性代数中的二阶行列式与三阶行列式有
111111
2
2
2
2
2
2
y z x z x y y z x z x y ⨯-
a b =
i j +
k 1112
2
2
x y z x y z =i j k ． 注 设两个非零向量111{, , }x y z a =，222{, , }x y z b =，则
a ∥
b ⇔⨯0a b =，
⇔
2
1
2121z z y y x x ==． 若某个分母为零，则规定相应的分子为零．
例10 设向量{1,2,1}--a =，{2,0,1}b =，求⨯a b 的坐标．
解211112
1
21012120
201
----⨯--=-i j k
a b =i j +k 234=--i j +k ．
因此⨯a b 的直角坐标为{2, 3, 4}--．
例11 在空间直角坐标系中，设向量{3, 0, 2}a =，{1, 1, 1}--b =，求同时垂直于向量a 与b 的单位向量．
解 设向量⨯c =a b ，则c 同时与a ，b 垂直．而
302111
⨯--i j k
c =a b =23=-+i j +k ，
所以向量c 的坐标为{2, 1, 3}-．
再将c 单位化，得
02,1,3}={=
-c ，
即{
与-- 为所求的向量． 例12 在空间直角坐标系中，设点(4, 1, 2)A -，(1, 2, 2)B -，(2, 0, 1)C ，求ABC ∆的面积．
解 由两向量积的模的几何意义知：以AB 、AC 为邻边的平行四边形的面积为
AB AC ⨯，由于
{3, 3, 4}AB =--，{2, 1, 1}AC =--，
因此
33453211
AB AC ⨯=--=++--i j k
i j k ，
所以
21AB AC ⨯=
故ABC ∆的面积为2
35=∆ABC S ．
2.6向量的混合积
定义3 给定空间三个向量,,a b c ，如果先作前两个向量a 与b 的向量积，再作所得的向量与第三个向量c 的数量积，最后得到的这个数叫做三向量,,a b c 的混合积，记做
()a b c ⨯⋅或abc ⎡⎤⎣⎦.
说明：三个不共面向量,,a b c 的混合积的绝对值等于以,,a b c 为棱的平行六面体的体积
V .
定理如果111a X i Y j Z k =++，222b X i Y j Z k =++，333c X i Y j Z k =++，
那么 11122
233
3
.X Y Z abc X Y Z X Y Z ⎡⎤=⎣⎦
习题8-2
1.,,,,,().
ABCD AB AD AC DB MA M ==设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点a b.a b
1
2.,().2
M AB O OM OA OB =
+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明 2
2
2
3.?(1)()();(2)();(3)()().==⨯=⨯对于任意三个向量与判断下列各式是否成立a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b
4.:
(1);(2)(3).
利用向量证明三角形的余弦定理正弦定理；勾股定理
5.设,,a b c 为单位向量,且满足0a b c ++=,求.a b b c c a ++
6.1
(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),322
a b c a b + c.求=-==--
7.已知三点(3,0,2),A B AB ==求的坐标、模、方向余弦和方向角.
8.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A 的坐标.
9．设2=a ，4=b ，3
π
a,b =
，求⋅a b ，(2)-⋅a b b ，-a b ． 10．设向量a ，b ，c 两两垂直，且1=a ，2=b ，3=c ，求向量d =a +b +c 的模与d,a ．
11．在空间直角坐标系中，已知{1,2,3}-a = ，{2,2,1}-b = ，求： (1)⋅a b ；
(2) 25⋅a b ；
(3) a ；
(4)cos a,b ．
12.已知向量2332和,,a i j k b i j k c i j =-+=-+=-，计算 （1）()();a b c a c b -（2）()();a b b c +⨯+（3）()a b c ⨯.
13．设向量a ，b 的直角坐标分别为{1, 3, 2}--和{2, 4, }k -，若a b ⊥，求k 的值．
14．设向量{2, 1, 1}-a =，{1, 3, 0}-b =，求以、a b 为邻边构造的平行四边形面积． 15．求同时垂直于向量{3, 2, 4}-a =和纵轴的单位向量．
16．已知三角形三个顶点(4, 1, 2)A -，(3, 0, 1)B -，(5, 1, 2)C ，求ABC ∆的面积．
第3节 空间中的平面与直线方程
在本节我们以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线.
3.1平面与其方程
首先利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将给出几种由不同条件所确定的平面的方程．
3.1.1平面的点法式方程
若一个非零向量n 垂直于平面π，则称向量n 为平面π的一个法向量．
显然，若n 是平面π的一个法向量，则λn (λ为任意非零实数)都是π的法向量，即平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直．
由立体几何知识知道，过一个定点0000(, , )M x y z 且垂直于一个非零向量
{, , }A B C n =有且只有一个平面π．
设(, , )M x y z 为平面π上的任一点，由于π⊥n ，因此0M M ⊥n ．由两向量垂直的充要条件，得
00M M =⋅n ,
而
0000{, , }M M x x y y z z =---，{, , }A B C n =，
所以可得
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ． (8-3-1)
由于平面π上任意一点(, , )M x y z 都满足方程(8-3-1)，而不在平面π上的点都不满足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面π的方程．
由于方程(8-3-1)是给定点0000(, , )M x y z 和法向量{, , }A B C n =所确定的，因而称式(8-3-1)叫做平面π的点法式方程．
图8-18
例1 求通过点0(1, 2, 4)M -且垂直于向量{3, 2, 1}-n =的平面方程．
解 由于{3, 2, 1}-n =为所求平面的一个法向量，平面又过点0(1, 2, 4)M -，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为
3(1)2(2)1(4)=0x y z --⋅++⋅-，
整理，得
32110x y z -+-=．
例2 求过三点()12,1,4M -，()2M 1,3,2--，()3M 0,2,3 的平面π的方程． 解 所求平面π的法向量必定同时垂直于12M M 与13M M ．因此可取12M M 与13
M M 的向量积1213M M M M ⨯为该平面的一个法向量n ．即
1213n =M M M M ⨯．
由于
12{3, 4, 6}M M =--，13{2, 3, 1}M M =--，
因此
1213-631
i j k
n =M M M M =342⨯---
149i j k,=+-,
因此所求平面π的方程为
0419214=--++-)()()(z y x ，
化简得
.015914=--+z y x
一般地，过三点(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =的平面方程为
111
21212131
31
31
0x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 称为平面的三点式方程。
特殊地，过三点(, 0, 0)A a ，(0, , 0)B b ，(0, 0, )C c (0)abc ≠的平面π的方程为
第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形 法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4 2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ=
其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么a a a 0 = 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =，b =，试用a 和b 表示向量、、MC 和，这里M 是平行四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－ 4 解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2． 间直角坐 标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标面分别为xoy 面、 yoz 面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示 图7－2空间直角坐标系图 图7 －3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起 来。 注意：特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点； b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。 若),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点， 则21M M 的距离（见图7－3），利用直角三角形勾股定理为： 而 121x x P M -=
a b a b +=-，则必有（与三个坐标轴夹角均相等的单位向量为（ () 1,1,1(B) 111 ,, ⎛⎫ ⎪ 11 ,, ⎛ (D) 1 , ⎛ --
18. 直线 L通过点)1,2,1(A，且垂直于直线 1 11 : 321 x y z L -+ ==，又与平面 1 :23 y z ∑-=平行，求直线 L的方程． 19. 求过点() 2,3,4 A-与 1:2330 x y z π-+-=及 2:54370 x y z π+--=平行的直线方程. 20. 求过点(2,1,1)，平行于直线 212 321 x y z -+- == - 且垂直于平面2350 x y z +-+=的平面方程．
21. 求过点M （3，-1，2）且平行于直线⎩⎨⎧=++=++923212z y x z y x 和⎩⎨⎧=++=+--0 3032z y x z y x 的平面方程. 22. 求过直线 2 23221-=-+=-z y x 且垂直于平面0523=--+z y x 的平面方程. 23. 求过点)3,4,1(--并与下面两直线 ⎩⎨⎧-=+=+-53142:1y x z y x L 和⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=+=t z t y t x L 23142:2都垂直的直线方程.
24. 直线过点)1,1,1(且与直线12121: -==-z y x L 相交，又平行于平面0522=++-z y x ，求此直线方程. 25. 设直线l 1 : 158121x y z --+==-，直线l 2 : 623 x y y z -=⎧⎨+=⎩求两直线的夹角
第五篇 向量代数与空间解析几何 第八章 向量代数与空间解析几何 解析几何得基本思想就是用代数得方法来研究几何得问题,为了把代数运算引入几何 中来,最根本得做法就就是设法把空间得几何结构有系统得代数化,数量化、 平面解析几何使一元函数微积分有了直观得几何意义,所以为了更好得学习多元函数微积分,空间解析几何得知识就有着非常重要得地位、 本章首先给出空间直角坐标系,然后介绍向量得基础知识,以向量为工具讨论空间得平面与直线,最后介绍空间曲面与空间曲线得部分内容、 第1节 空间直角坐标系 1、1 空间直角坐标系 用代数得方法来研究几何得问题,我们需要建立空间得点与有序数组之间得联系,为此我们通过引进空间直角坐标系来实现、 1、1、1 空间直角坐标系 过定点,作三条互相垂直得数轴,这三条数轴分别叫做x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),它们都以为原点且具有相同得长度单位、 通常把x 轴与y 轴配置在水平面上,而z 轴则就是铅垂线;它们得正方向要符合右手规则:右手握住轴,当右手得四指从x 轴得正向转过角度指向y 轴正向时,大拇指得指向就就是z 轴得正向,这样就建立了一个空间直角坐标系(图81),称为直角坐标系,点叫做坐标原点、 图81 在直角坐标系下,数轴Ox ,,Oz 统称为坐标轴,三条坐标轴中每两条可以确定一个平面,称为坐标面,分别为,,,三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫做一个卦限(图82),分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示、 图 82
1、1、2 空间点得直角坐标 设为空间中得任一点,过点分别作垂直于三个坐标轴得三个平面,与轴、轴与轴依次交于、、三点,若这三点在轴、轴、轴上得坐标分别为,,,于就是点就唯一确定了一个有序数组,则称该数组为点在空间直角坐标系中得坐标,如图83.,,分别称为点得横坐标、纵坐标与竖坐标. 图83 反之,若任意给定一个有序数组,在轴、轴、轴上分别取坐标为,,得三个点、、,过这三个点分别作垂直于三个坐标轴得平面,这三个平面只有一个交点,该点就就是以有序数组为坐标得点,因此空间中得点就与有序数组之间建立了一一对应得关系. 注:、、这三点正好就是过点作三个坐标轴得垂线得垂足. 1、2 空间中两点之间得距离 设两点,,则与之间得距离为 (811) 事实上,过点与作垂直于平面得直线,分别交平面于点与,则∥,显然,点得坐标为,点得坐标为(如图84). 图84 由平面解析几何得两点间距离公式知,与得距离为: . 过点作平行于平面得平面,交直线于,则∥,因此得坐标为,且 , 在直角三角形中, , 所以点与间得距离为
《高等数学上》 （总学时数： 80 学时） 教案 目录 8141 914 1016.. 111112.... 2
第 8 章空间解析几何与向量代数（ 1学时）章节名称第 7 章微分方程计划学时12 学习内容 新课内容 向量及其线性运算 空间直角坐标系 空间平面与直线 曲面与空间曲线 向量的坐标 空间解系几何的产生是数学史上一个划时代的成就。代数学的优越性至于推理方法的程序化，鉴于这种优越性，人们产生了用代数方法研究几何的基本思想。我们可以把数学 学习者 研究的两个基本对象数和形结合起来，于是既可以用代数方法来研究解决几何问题——分析 这是解析几何的基本内容，也可以用几何方法来解决代数问题。 教学目标课程标准 知识与技能 过程与方法 情感与态度 该课程是必修课程，严格按照教学大纲进行教学。 掌握空间几何学的基本概念和空间图形的基本特征及性质 讲解法、演示法、对比法、练习法 培养学生解决数学空间问题的能力。
教学重点 向量的运算（加法、剑法、数量积、向量积）、 两向量夹角余弦及其两向量平行、垂直的充要条件、 教学重点 熟练掌握平面的点法式和直线的点法式方程， 及 掌握平面和直线间的关系， 解决措施 解决措施 由向量的概念引入向量的运算问题。 通过演示法和练习法，让学生掌握解决相应的空间解析几何的知识。 教学难点 两向量夹角余弦及其两向量平行、垂直的充要条件、 教学难点 熟练掌握平面的点法式和直线的点法式方程， 及 解决措施 解决措施 通过演示法和练习法，让学生掌握解决相应的空间解析几何的知识。 根据学生身心发展和高等数学课程学习的特点，积极营造和谐融洽的学习氛围，让学生在听课的过程中生趣，在乐趣中学习，在思考中提高。同时组织有效地自主学习、合作 学习形式，培养学生独立学习的能力，通过多种形式反复再现空间几何图像，巩固 教学设计学习效果，提高学习效率；鼓励学生选择适合自己的方式阅读相关资料，让他们在主动 思路积极的思维和情感活动中，加深理解和体验，有所感悟和思考，促进学生正确情感、态度、价值观的发展，从而真正成为学习的主人。 教学环节教学内容所用时间 讲解—概括引入向量的 5 分钟概念 讲解—练习向量的线性 15 分钟 运算 教学过程 教师活动学生活动设计意图 与老师一 起到知识的承前启 通过温故知新引出向起温习向 后，保证知识的连贯 量的概念量的有关 性 知识 讲解有关向量加法、 调动学生的学习兴 趣、鼓励学生用积极 向量与数的乘法以及听讲，思考 思考，渗透自主学习 满足的各种运算律 意识。
高等数学向量代数与空间解析几何总结高等数学是大学数学学科的一门重要基础课程，其中向量代数与空间 解析几何是其重要的内容之一、本文将对向量代数与空间解析几何的主要 内容进行总结，让我们一起来了解一下吧！ 向量代数是研究向量的代数性质和运算法则的数学分支，旨在通过研 究向量的各种运算进行分析与求解问题。空间解析几何则是研究点、线、 面等几何对象在三维空间中的位置关系和几何性质的学科。 首先，我们先来了解一下向量代数的基本概念和运算法则。在向量代 数中，向量是具有大小和方向的量，通常用一个有向线段表示。向量的加 法是指两个向量相加，得到一个新的向量，其结果是由两个向量的平行四 边形法则确定的。向量的乘法有数量乘法和点乘法两种形式。数量乘法是 指数与向量相乘，得到一个新的向量，其长度与原向量的长度相乘，方向 与原向量相同或相反。点乘法是指两个向量进行点乘，得到一个实数结果，其大小等于两个向量的长度相乘再乘以它们的夹角的余弦值，方向与夹角 为锐角的原向量相同，为钝角时与原向量相反。向量代数的运算法则包括 交换律、结合律和分配律。 接下来，我们来了解一下空间解析几何的基本内容。空间解析几何主 要研究三维空间中的点、直线和平面的位置关系和几何性质。其中，点是 空间中没有大小、没有方向的对象，用坐标表示。直线是由无数个点组成 的无限延伸的几何对象，可以通过两点确定一条直线，也可以通过点和方 向向量确定一条直线。平面是由无数个点组成的无限延伸的几何对象，可 以通过三个点确定一个平面，也可以通过点和法向量确定一个平面。空间 解析几何要求我们掌握点与点之间的距离、点与直线之间的关系、直线与
高等数学同济大学第六版第八章单元练习题参考答案
第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题 参考答案： 一、填空题 1.点(),,M x y z 关于x 轴的对称点为1M (),,x y z --;关于xOy 平面的对称点为2M (),,x y z -；关于原点的对称点为3M (),,x y z ---. 2. 平行于a ={1，1，1} 的单位向量为}1,1,1；若向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行，λ为15 . 3.已知两点() 1,2,41M 和()2,0,32M ，则向量21M M 在三个坐标轴上的投影分别是 –1 2- 、 1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i - 、j 2- 、k = 2 , 方向余弦 =αcos 21-、 =βcos 2 2-、=γcos 21 , 方向角=α 0120、 =β 0135、 =γ 060, 与21M M 同方向的单位向量是⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21,22,21 . 4. 已知两向量k j i a 1046+-=，k j i b 943-+=,则=+b a 2k j i 8412-+， =-b a 23k j i 482012+-,b a 23-在oz 轴上的投影为48 . 5．过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-++⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ 垂直的平面方程是340x y z --+= 二、选择题 1. 向量a 与b 的数量积⋅a b =（ C ）. A a rj P b a ； B ⋅a rj P a b ； C a rj P a b ； D b rj P a b ． 2. 非零向量,a b 满足0⋅=a b ，则有（ C ）．
第八章空间解析几何与向量代数（整理解答） 第八章空间解析几何与向量代数 一、空间直角坐标系，坐标面，坐标轴，投影坐标 8.3 点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )； A. )2,4,1(-Q B. )2,0,1(-Q C. )0,4,1(-Q D. )2,4,0(Q 解：在yoz 面上，坐标x 分量必为零，所以选D. 二、向量，方向角，模，向量运算，数量积，向量积 8.5设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321π θθθ≤≤），则 =++322212cos cos cos θθθ（） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，222123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。 8.8 向量)3,1,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，则=?b a ( )； A. 0 B. 1 C. 2 D. )2,11 ,5(--- 解：311(1)232a b ?=-?+?-+?=，所以选C 。 8.12 向量}3,0,1{=a ，}2,1,1{-=b ，则=?b a ( )； A. 6 B. 6- C. }1,1,3{- D. }1,1,3{-- 解：1033112 i j k a b i j k ?==+--，所以选C 。 8.16 a 与b 为两个向量，θ为二者的夹角，则a b ?=( ).
(A) sin ab θ (B) s i n a b θ (C) cos ab θ (D) cos a b θ 解：由定义，选D 。 8.21 已知1,a b == a 与b 的夹角为4π，则a b +=( ). (A) (B) 1 (C) 2 (D) 1解：222||||2|| ||cos 5θ+=++?=a b a b a b ，所以，+=a b A 。 8.23 设,a b 为非零向量，且⊥a b ，则必有( ). (A) +=+a b a b (B) -=-a b a b (C) +=-a b a b (D) +=-a b a b 解：因为⊥a b ，所以由向量加法和减法平行四边形法则+=-a b a b ，选C 。 8.27 设,a b 为非零向量，则a b ?( )a b ?. (A) = (B) ≤ (C) ≥ (D) ≠ 解：因为||||cos θ?=?a b a b ，所以|||||cos |||||θ?=??≤?a b a b a b ，选B 。 8.29 设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ ; 解：222123cos cos cos 2θθθ++=，所以填2。 8.30 设a = i + j +k ，b =2 i +3 j -4k ，则a ·b = 。 解：12131(4)1a b ?=?+?+?-=，所以填1。 8.31 设a =2 i +2j +2k ，b =3j -4k ，则a ·b = 。 解：23202(4)2a b ?=?+?+?-=-，所以填-2。 8.32 设向量a 与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,，则=++γβα222cos cos cos ; 解：222cos cos cos 1αβγ++=，所以填1。
462 第八章 向量代数与空间解析几何 一、预习导引 第一节 向量及其线性运算 1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处. 2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案. 3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题. 4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式. 5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质. 第二节 数量积 向量积 *混合积 1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规
463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论. 2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案. 3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积() a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论. 第三节 平面及其方程 1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念. 2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量 (),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点， 满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示 式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型. 3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点． 4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式. 第四节 空间直线及其方程
b a b ≤+，向量与数的乘法 a ，方向与、向量与数量乘法的性质(运算律和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。当遇到与起点有关的向量时（例如，谈到某一质点的运动速
向量A B ''在轴上的投影，记为投影 AB 。 向量在轴上的投影性质： 性质1（投影定理） =cos AB ϕ与向量AB 的夹角。)=Prj 1a +Prj 2a 。性质可推广到有限个向量的情形。：向量a 在坐标轴上的投影向量向量a 在三条坐标轴上的投影由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a 量的投影具有与坐标相同的性质。利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、2x a a a = +a
cos a b cos a b (,)a b =为向量之间的夹角并且0θπ≤≤。2 a =，因此我们可以把a a ∙简记为x y z z 由向量的坐标还可以计算两个向量之间的夹角， cos a b θ所以2cos x a b a b a θ∙= = +两个向量垂直的充分必要条件是sin a b θ，它的方向是垂直于。a b ⨯=sin a b b 为两边的平行四边形的面积。如果向量a ={,,a a a }，{,}b b =则a b ⨯=..........x y z i j a a b b b 两向量平行的充分必要条件为也就是说两向量共线，其对应坐标成比例。 决；在求向量，特别是求垂直向量问题时常用向量积。注意向量的平行、垂直关系及角度。利
第八章 空间解析几何与向量代数 第1次课 空间直角坐标系 向量及其线性运算 1．在x 轴上求与点(3,1,7)A -及(7,5,5)B -等距离的点． 解：设所求点为(,0,0)x ，据题意知： 22(3)149(7)2525x x --++=-++ 得2x =，于是所求点为(2,0,0)． 2．把ABC ∆的BC 边三等分，设分点依次为12,D D ，再把各分点与点A 连接起来，试以 ,AB c BC a −−→ →−−→→==表示向量−→ −−→−A D A D 21,． 解：113D A c a −−→ =-- ，2D A −−→23 c a =-- ． 3．已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算向量123M M - 的模、方向角． 解：1236M M -= ,2,,343 πππαβγ===． 4．求平行于向量(3,2,1)a → =-的单位向量． 解：0 (a a →= 5．已知||3a → =，其方向余弦3 1 cos ,32cos ==βα，求向量a → 的坐标表示式．
解：设(,,)x y z a a a a → =，则2 cos 3x a a α== ，1cos 3 y a a β== ，所以2x a =，1y a =. 又222 cos cos cos 1αβγ++=，得24cos 9γ= ，2 cos 3 γ=±． 2 cos 3z a a γ==± ，所以2z a =±，于是，所求向量a →的坐标表示式为(2,1,2)a →=±． 6．一向量的终点为)7,1,2(-B ,它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为4,4-和1，求该向量的起点A 的坐标. 解：设起点A 的坐标为(,,)x y z ，则由24,14,71x y z -=--=--=可得 (,,)(2,3,6)x y z =-． 7．设32a i j k → → → → =--,2b i j k → → → → =+-，求(1)→→ →→⨯⋅b a b a ,；(2) ,3)2(→→⋅-b a → →⨯b a 2； (3) ),cos(→ ∧→b a ；（4） b prj a → ． 解：（1）3,57a b a b i j k →→ → → ⋅=⨯=++ ； （2）(2)318a b → → -⋅=-，210214a b i j k → → ⨯=++ ； （3 ）cos(,)14 a b a b a b →→ →∧→ →→ ⋅= = ； （4 ）cos 14b prj a a ϕ→→ ===． 8．已知)2,1,1(M 1-，)1,3,3(M 2，)3,1,3(M 3，求与−→−21M M 、−→ −32M M 同时垂直的单位向量． 解：设所求单位向量(,,)a x y z → =．12(2,4,1)M M −−→=-，23(0,2,2)M M −−→ =-．
第八章 空间解析几何与向量代数 1．自点()0000,,z y x P 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。 解：按作图规则作出空间直角坐标系，作出如图平行六面体。 xoy D P ⊥0平面，垂足D 的坐标为()0,,00y x ； yoz E P ⊥0平面，垂足E 的坐标为()00,,0z y ； zox F P ⊥0平面，垂足F 的坐标为()00,0,z x ； x A P ⊥0轴， 垂足A 的坐标为()0,0,0x ；y B P ⊥0轴，垂足B 的坐标为()0,,00y ； z C P ⊥0轴，垂足C 的坐标为()0,0,0z 。 2．在yoz 平面上，求与三点()2,1,3A 、()2,2,4--B 和()1,5,0C 等距离的点。 解：设所求点为(),,,0z y P 则 ()()2 222213||-+-+=z y PA ， ()()2222224||++++=z y PB ， ()()2 2215||-+-=z y PC 。 由于P 与A 、B 、C 三点等距，故222||||||PC PB PA ==， 于是有：()()()()()()()() ⎪⎩⎪⎨⎧-+-=++++-+-=-+-+2222222222 1522415213z y z y z y z y ， 解此方程组，得1=y ，2-=z ，故所求的点为()2,1,0-P 。 3．已知() 2,2,21M ，()0,3,12M ，求21M M 的模、方向余弦与方向角。 解：由题设知：{}{} ,2,1,120,23,2121--=---=M M 则 ()() ,22 112 22=- ++-=
第八章 向量代数与空间解析几何及 多元微分学在几何上的应用 第一节 向 量 1．数量积 1）几何表示：αcos ||||b a b a =⋅. 2) 代数表示: z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a . 3) 运算规律: i) 交换律: a b b a ⋅=⋅ ii) 分配律: .)(c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅ 4) 几何应用: i) 求模: a a a ⋅=|| ii) 求夹角: | |||cos b a b a ⋅= α iii) 判定两向量垂直: 0=⋅⇔⊥b a b a 2.向量积 1) 几何表示 b a ⨯是一向量. 模: αsin ||||||b a b a =⨯. 方向: 右手法则. 2) 代数表示: z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯. 3) 运算规律 i) b a ⨯= )(a b ⨯- ii) 分配律: ⨯a (c b +)=b a ⨯+c a ⨯. 4)几何应用: i) 求同时垂直于a 和b 的向量: b a ⨯. ii) 求以a 和b 为邻边的平行四边形面积:=S |b a ⨯|.
iii)判定两向量平行: ⇔b a //0=⨯b a . 3.混合积: c b a abc ⋅⨯=)()( 1) 代数表示: z y x z y x z y x c c c b b b a a a =)(abc . 2) 运算规律: i) 轮换对称性: )()()(cab bca abc ==. ii) 交换变号: )()(acb abc -=. 3) 几何应用 i) 平行六面体V =|)(|abc . ii)判定三向量共面: c b a ,,共面⇔(abc )=0. 题型一 向量运算 例8.1 设,2)(=⋅⨯c b a 则=+⋅+⨯+)()]()[(a c c b b a . 解 )()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+ )(][a c c b b b c a b a +⋅⨯+⨯+⨯+⨯= a c b c c b a c a c c a a b a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()()()()( a c b c b a ⋅⨯+⋅⨯=)()( 4)(2=⋅⨯=c b a . 例8.2 已知3||,2||==b a ,则=⋅⋅+⨯⋅⨯))(()()(b a b a b a b a . 解 22 )())(()()(b a b a b a b a b a b a ⋅+⨯=⋅⋅+⨯⋅⨯ ),(c o s ),(s i n 2 2 22 2 2∧ ∧ +=b a b a b a b a 362 2 ==b a . 例8.3 已知2||,2||==b a ,且2=⋅b a ,则=⨯||b a .
第八章 向量代数和空间解析几何第八章 内容概要与重点难点提示 本章由三个部分组成：（1）向量代数 包括向量的二要素（模和方向） 抽象向量和具体向量的线性运算法则 数量积、向量积和混合积的运算；（2）空间曲面（球面，旋转面，锥面，柱面和二次曲面）的图形与方程之间的对应，空间曲线与方程组之间的对应；（3）平面和直线的方程。 重点 向量运算（线性运算、点乘、叉乘） 画出空间曲面曲线的图形 求平面 和直线的方程 本章 无特别难的难点 考试内容要点讲解 一、 向量 1、定义 既有大小又有方向的量称为向量（或者矢量），记为a 或者AB ，比如位移、速度、加速度等，向量的二要素：（1）大小 也叫长度,、模或者范数，记为a 或者AB ；方向 向量箭头的指向或用方向角,,αβγ来刻画。常用的向量有零向量0（模为零，方向任意）、单位向量e （模为1）、向径OM → (其中(,,)M x y z 为空间直角坐标系的一点)、自由向量（与起讫点无关）。一般无特别说明我们都学的向量都是自由向量。向量是不能比较大小的。 抽象的向量用带箭头的线段来表示，具体向量表示为 (,,) x y z a a a a ==+x y z a i a j a k +，x a 叫做a 的横坐标或者a 在x 轴上的投影，x a i 叫做a 在x 轴上的分量。2x a a =+；cos α= ， cos a β=，cos γ= ，与a 同方向的单位向量为 0(cos ,cos ,cos )a a a αβγ= =。 2、向量的运算 对于抽象向量 （1）加减法（平行四边形法则） 做, AB a AD b → → ==，以,AB AD 为邻边做 平行四边形，则对角线构成的向量+,AC a b → =DB a b → =-。 （2）数乘 规定a λ（λ为数量）是向量：模a λa λ=；方向是当0λ>时a λ
第八章：空间解析几何与向量代数 一、重点与难点 1重点 ① 向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ② 数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③ 几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面； ④ 平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程） 的夹角； ⑤ 空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程） 两直线的夹角、直线与平面的夹角； 2、难点 ① 向量积（方向）、混合积（计算）； ② 掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程和二次曲面所对应的图形； ③ 空间曲线在坐标面上的投影； ④ 特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等； ） ⑤ 平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥ 直线方程的几种表示方式之间的转化； 二、基本知识 1、向量和其线性运算 ① 向量的基本概念： 向量 既有大小 又有方向的量； 向量表示方法：用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量有向线段的长度表示向量 的大小 有向线段的方向表示向量的方向 .； 向量的符号 以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作 表示 也可用上加箭头书写体字母表示 例如a 、r 、v 、F 或a 、r 、v 、F ； 向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量a 、a 、AB 的模分别记为|a|、|a|、|AB | 单位向量模等于1的向量叫做单位向量; 向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行 向量a 与b 平行 记作a // b 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共 线 零向量 模等于0的向量叫做零向量 记作0或0 零向量的起点与终点重合 它的方向 可以看作是任意的 共面向量：设有k （k 3）个向量 当把它们的起点放在同一点时 如果k 个终点和公共起点在 一个平面上 就称这k 个向量共面； ，两平面 AB 向量可用粗体字母