课时授课计划
课次序号：07 一、课题：§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性
§1.10 闭区间上连续函数的性质
二、课型：新授课
三、目的要求：1.了解连续函数的和、差、积、商的连续性；
2.了解反函数和复合函数的连续性；
3.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质．
四、教学重点：利用复合函数及初等函数的连续性求函数极限，利用零点定理
证明方程解的存在性.
教学难点：闭区间上连续函数的性质.
五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．
六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，
高等教育出版社；
2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．
七、作业：习题1–9 3（4），4（3）（4），5；习题1–9 1
八、授课记录：
九、授课效果分析：
复习
1.连续的定义：0
0lim ()()x x f x f x →=,三个条件缺一不可；
2.间断点的分类：第一类(可去型、跳跃型)，第二类（无穷型、振荡型）. 下面介绍连续函数的运算法则和闭区间上连续函数的几个性质．
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的四则运算
由连续函数的定义及极限的运算法则和性质，立即可得到连续函数的下列运算法则． 定理1 若函数f （x ），g （x ）均在点x 0处连续，则()
()()()()()
f x f x
g x f x g x g x ±⋅、、 （g （x 0）≠0），均在点x 0处连续．
如多项式函数0
()n
k n k k P x a x ==∑在（-∞，+∞）内连续，正切函数sin tan cos x
x x
=
在其定义区间内连续．
二、反函数的连续性
定理2 若函数()y f x =在区间x I 内单调增加（减少）且连续，则其反函数1()x f y -=在相应区间{(),}y x I y y f x x I ==∈内单调增加（减少）且连续．
从几何上看，该定理是显然的，因为函数()y f x =与其反函数1()x f y -=）在xoy 坐标面上为同一条曲线．
如sin y x =在[,]22
ππ
-上单调增加且连续，其反函数arcsin x y =在[1,1]-单调增加且连续．
三、复合函数的连续性
由连续函数的定义及复合函数的极限定理可以得到下面有关复合函数的连续性定理． 定理3 设函数[()]y f x ϕ=是由函数(),()y f u u x ϕ==复合而成的复合函数，
0()f g U x D ⊆．如果()u x ϕ=在点0x 连续，又()y f u =在相应点00()u x ϕ=处连续，则
[()]y f x ϕ=在点0x 处连续．
推论 若在某极限过程有lim ()x ϕ=A ，且y =f （u ）在u =A 处连续， 则
lim [()]f x ϕ=f （A ）
， 即 lim [()][lim ()]f x f x ϕϕ= 例1 求1
limsin(1)x
x x
→∞
+．
解 1
1lim sin(1)sin lim(1)sin e x
x x x x
x →∞→∞⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭
．
例2 试证0ln(1)
lim
1x x x
→+=．
证 因为ln y u =(u ＞0)连续, 故
1
00ln(1)lim lim ln(1)x x x x x x →→+=+100ln(1)
lim ln lim(1)ln e =1x x x x x x →→⎡⎤+==+=⎢⎥⎣⎦
． 由定理3及其推论,我们可以讨论幂指函数[]
()
()g x f x 的极限问题． 幂指函数的定义域
要求()0f x >．当(),()f x g x 均为连续函数,且()0f x >时, []()
()g x f x 也是连续函数．在
求[]
()
lim ()g x x x f x →时,有以下几种结果:
(1) 如果0
lim ()x x f x →=A ＞0, 0lim ()x x g x →=B ,则[]
()
lim ()g x x x f x →=A B ．
(2) 如果0
lim ()x x f x →=1, 0lim ()x x g x →=∞,则[]
()
lim ()g x x x f x →=[]0
lim ()1()
e
x x f x g x →-.
(3) 如果0
lim ()x x f x →=A ≠1(A ＞0), 0lim ()x x g x →=±∞,则[]
()
lim ()g x x x f x →可根据具体情况直接
求得．
例如，0
lim ()x x f x →=A ＞1，0lim ()x x g x →=+∞，则[]
()
lim ()g x x x f x →=+∞． 又如,0
lim ()x x f x →=A (0＜A ＜1), 0lim ()x x g x →=+∞,则[]
()
lim ()g x x x f x →=0．
上面结果仅对x →x 0时写出,实际上这些结果对x →∞等极限过程仍然成立．
例3 求10
sin 2lim x
x x x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
解 因为10
0sin 2lim 2,lim(1)1x
x x x x x +→→⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭, 所以 110
sin 2lim 22x
x x x +→⎛⎫
== ⎪⎝⎭
．
例4求
2
1
lim
21
x
x
x
x
→∞
+
⎛⎫
⎪
+
⎝⎭
．
解 由于11lim
212x x x →∞+=+，2lim x x →∞=+∞，因此 2
1lim 021x x x x →+∞+⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
． 例5 求1lim 1x
x x x →∞-⎛⎫
⎪+⎝⎭
． 解 由于1lim 11x x x →∞-=+，lim x x →∞=∞，则1
2lim 1lim 2111lim e e e 1x x x
x x x x x x x x →∞→∞-⎛⎫
-- ⎪-+⎝⎭+→∞-⎛⎫=== ⎪+⎝⎭
． 例5也可按下列方法求解：12
111e lim lim e 1e 11x
x x x x x x x x --→∞→∞⎛⎫
- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
． 四、初等函数的连续性
我们遇到的函数大部分为初等函数，它们是由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而成的．由函数极限的讨论以及函数的连续性的定义可知：基本初等函数在其定义域内是连续的．由连续函数的定义及运算法则，我们可得出：初等函数在其定义区间内是连续的．
由上可知，对初等函数在其定义区间内的点求极限时，只需求相应函数值即可．
例6 求21ln(43)
lim arctan x x x x
→+-．
解 初等函数2ln(43)
()arctan x x f x x
+-=在x =1的某邻域内有定义，所以
21ln(43)1ln(43)4lim arctan arctan1x x x x →+-+-==π． 例7 求22041lim 235
x x x x →--+．
解 22
0414011
lim 23520305x x x x →-⨯-==--+⨯-⨯+5
． 第十节 闭区间上连续函数的性质
在闭区间上连续的函数有一些重要性质．它们可作为分析和论证某些问题时的理论根
据．这些性质的几何意义十分明显，我们均不给予证明．
一、最值定理
1.最值的定义
定义1 设函数()y f x =在区间I 上有定义，如果存在点x 0∈I ，使x I ∀∈，有
0()()f x f x ≥（或0()()f x f x ≤），
则称0()f x 为函数()y f x =在区间I 上的最大（小）值，记为
0()max ()x I
f x f x ∈=（或0()min ()x I
f x f x ∈=）
． 2. 最值定理
一般说来，在一个区间上连续的函数，在该区间上不一定存在最大值或最小值． 但是
如果函数在一个闭区间上连续，那么它必定在该闭区间上取得最大值和最小值．
定理1 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则它一定在闭区间［a ，b ］上取得最大值和最小值．
设f (x )∈C ［a ,b ］，
(1) f (x )为［a ,b ］上的单调函数
由图1-40可看出，此时函数f (x )恰好在区间［a ,b ］的端点a 和b 取得最大值和最小值：
图1-40
y =f (x )↑,x ∈［a ,b ］，则[]
,max x a b ∈f (x )=f (b ), []
,min x a b ∈f (x )=f (a )；
y =f (x )↓,x ∈［a ,b ］，则[]
,max x a b ∈f (x )=f (a ), []
,min x a b ∈f (x )=f (b )．
(2) f (x )为［a ,b ］上的一般连续函数
在这种情形下，总可以将［a ,b ］分成有限个小区间，使函数f (x )在每个小区间上保持单调增加或单调减少．于是，这有限个小区间的端点处的函数值中的最大者和最小者即分别为函数f (x )在［a ,b ］上的最大值和最小值，如图1-41所示．最大值为f (b )，而最小值为f (a 4)．
图1-41
3. 有界性定理
定理1表明：若()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，则存在x 1，x 2∈［a ，b ］，使得 12[,]
[,]
()min (),()min ()x a b x a b f x f x f x f x ∈∈==．于是，对任意x ∈［a ，b ］
，有f （x 2）≤ f （x ）≤ f （x 1），若取M =max{12(),()f x f x }，则有()f x ≤M ，从而有下述结论．
定理2 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则f （x ）在［a ，b ］上有界．
二、介值定理
1. 零点定理（根的存在定理）
图1-42
定理3 若函数()y f x =∈C （［a ，b ］），且f （a ）·f （b ）＜0，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ=．
零点定理的几何意义十分明显：若函数()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，且f （a ）与 f （b ）异号，则函数()y f x =对应的曲线至少穿过x 轴一次（见图1-42）．
例1 证明方程x 5
-3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．
证 令f (x )=x 5
-3x -1，[]1,2x ∈，则f (x )∈C （［1,2］），且f (1)=-3,f (2)=25,故由零
点定理，至少存在一点x 0∈(１,２)，使得f (x 0)=0，即方程x 5
-3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．
例2 证明方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个不超过a +b 的正根．
证 设f (x )=x -a sin x -b ,[]0,x a b ∈+ ,则f (x )∈C （［0,a +b ］），而
f (0)=0-a sin 0-b =-b ＜0,
f (a +b )=a +b -a sin (a +b )-b ＝a ［1-sin (a +b )］≥0．
1) 如果f (a +b )=0,则x 0=a +b 就是原方程的根．
2) 如果f (a +b )＞０，则由零点定理，至少存在一点0
x '∈(0,a +b ),使得f (0x ')=0． 综上所述，方程x =a sin x +b 在（０，a +b ］上至少有一根，即至少有一个不超过a +b 的
正根．
例3 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=f (b )=0，且存在正常数δ和δ１，使f (x )在(a ,a +δ)及(b -δ１,b )内是严格单调增加的，证明至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)＝０．
证 由于f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=0,且f (x )在(a ,a +δ)上严格单调增加，故至少存在一点a 0∈(a ,a +δ),使得f (a 0)＞f (a )＝０．
同理，至少存在一点b 0∈(b -δ１，b ),使得f (b 0)＜f (b )＝０． 由f (x )∈C （［a 0,b 0］），f (a 0)f (b 0)＜0可知，至少存在一点x 0∈（a 0,b 0）⊂（a ,b ）,使得f (x 0)=0．
图1-43
2. 介值定理
由零点定理并运用坐标平移的方法，可以得到介值定理． 定理4 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=A ,f (b )=B ,且A ≠Ｂ，则对于A ，B 之间的任意一个数C ，至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)=C ．
该定理说明，当x 在［a ,b ］上变动时，［a ,b ］上的连续函数所取得的函数值必完全充满某个区间［A ，Ｂ］(图1-43)．
由介值定理我们还可得出:
推论 设()y f x =∈C ［a ，b ］，[,]
max ()x a b M f x ∈=，[,]
min ()x a b m f x ∈=，则f （x ）必取得介
于M 与m 之间的任何值．
例4 设f (x )∈C (［a ,b ］)，a ＜x 1＜x 2＜…＜x n ＜b ，证明：至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使得 f (x 0)=
12()()()
n f x f x f x n
++
+．
证 因为f (x )∈C （［x 1,x n ］），所以f (x )在［x 1,x n ］上有最大值和最小值存在．设M ＝
1[,]
max n x x x ∈f (x ),m =1[,]
min n x x x ∈f (x )，则 m ≤f (x i )≤M , i =1,2,…,n ．
从而 m ≤
12()()()
n f x f x f x n
+++≤M ．
由介值定理的推论，至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使
f (x 0)＝12()()()
n f x f x f x n
+++．
应该注意，以上四个定理的共同条件“f (x )在闭区间［a ,b ］上连续”不能减弱．将区
间［
a ,
b ］换成(a ,b )，或去掉“连续”的条件，定理的结论都不一定成立．比如，y =
1x
在(0，1)连续，但
1
x 在(0，1)内不能取到最大值，也无上界．又比如，f (x )= ,0,1,0
x x x ≠⎧⎨=⎩ 在［-1,1］上有定义，仅在x =0处不连续，(1)(1)0 f f -⋅<，但不存在x 0∈(-1,1)，使f (x 0)=0．
课堂总结
1.连续函数的运算法则：四则运算,反函数、复合函数、初等函数的连续性；
2.闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界性定理、零点定理、介值定理.
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福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其 分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定 理），并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念
同济大学高等数学知识点总结 高考数学解答题部分主要考查七大主干知识： 第一，函数与导数。主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。 第三，数列及其应用。这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。 第四，不等式。主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。 第七，解析几何。是高考的难点，运算量大，一般含参数。 高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。 对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落
在解题上。考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力 和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要 途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。训练的内容必须根据考纲 的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提 炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。 在临近高考的数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同 步推进。 1.知识层面 也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。数学高 考内容选修加必修，可归纳为12个章节，75个知识点细化为160个小知 识点，而这些知识点又是纵横交错，互相关联，是“你中有我，我中有你”的。考生们在清理这些知识点时，首先是点点必记，不可遗漏。再是建立 相关联的网络，做到取自一点，连成一线，使之横竖纵横都逐个、逐级并 网连遍，从而牢固记忆、灵活运用。 2.能力层面 从知识点的掌握到解题能力的形成，是综合，更是飞跃，将知识点的 内容转化为高强的数学能力，这要通过大量练习，通过大脑思维、再思维，从而沉淀而得到数学思想的精华，就是数学解题能力。我们通常说的解题 能力、计算能力、转化问题的能力、阅读理解题意的能力等等，都来自于 千锤百炼的解题之中。 3.创新层面
《高等数学A2》教学大纲课程名称(英文)：高等数学（同济六版多学时类型） 课程代码： 课程类别：学科基础课程 学时： 160学时 学分：10学分 考核方式：考试 适用对象：理工类本科专业 一、课程简介 高等数学是高等院校理学各专业的一门主课。通过本课程的学习，要使学生获得一元函数微积分学、多元函数微积分学、常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，以培养学生的运算能力、抽象思维能力，逻辑推理能力及建模思想，为后继课程奠定必要的数学基础。 二、教学目的及要求 通过本课程的学习，要求学习者： 1、获得有关微积分、向量代数、空间解析几何、无穷级数和常微分方程的基本知识，掌握必要的基础理论和应用技巧。 2、培养学生的运算能力、综合分析的能力以及抽象思维、逻辑推理能力。 三、教学重点及难点 教学重点：微积分、向量代数、空间解析几何、无穷级数和常微分方程的基本知识。教学难点：微积分、无穷级数和常微分方程。 四、与其它课程的关系 本课程是线性代数，概率与数理统计，复变函数，积分变量等课程的先修课程，是学习后续数学课程与其它专业课的重要基础理论课。 五、教学内容 第一章函数与极限（16学时） 本章主要教学内容：
1.1 映射与函数 1.2 数列的极限 1.3函数的极限 1.4 无穷大与无穷小 1.5 极限运算法则 1.6 极限存在准则、两个重要极限 1.7 无穷小的比较 1.8 函数的连续性与间断点 1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 1.10 闭区间上连续函数的性质 本章教学目的及要求： 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则． 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 本章教学重点及难点：
第八节 连续函数的基本性质 一．初等函数的连续性 （一）连续函数的运算性质 定理１：如果函数)(x f 、)(x g 均在点0x 处连续，则 （1）)()(x g x f βα+在点0x 处连续（βα,为常数）； （2）)()(x g x f 在点0x 处连续； （3）) ()(x g x f 在点0x 处连续（0)(0≠x g ）； x y sin =、x y cos =在区间),(+∞-∞内连续， x x y cos sin +=、x x y cos sin ?=在区间),(+∞-∞内连续， x x x y cos sin tan = =在2 ππ+≠k x 处连续 （二） 反函数和复合函数的连续性 1．定理2：如果函数y ＝)(x f 在区间x I 上单值、单调增加（或单调减少）且连续，那末它的反函数)(y x ?=也在对应的区间{}x y I x x f y y I ∈==),(|上单值、单调增加（或单调减少）且连续。 2．定理3：设函数)(x u ?=当0x x →时的极限存在且等于a ，即a x x x =→)(lim 0?，而函数)(u f y =在点a u =连续，那末复合函数()[]x f y ?=当0x x →时的极限存在且等于)(a f ，即()[]()a f x f x x =→?0 lim 。 注：（1）将定理５中的条件：0x x →换为∞→x 时相应的结论也成立。 （2）如果函数)(x u ?=、)(u f y =满足定理５的条件，则有下式成立： ()[]()())lim (lim 0 0x f a f x f x x x x ??→→==。即在满足定理５的条件下，求复合函数()[]x f y ?=的极限时，函数符号和极限符号可以交换次序。 例1：求下列极限
课时授课计划 课次序号：08 一、课题：第一章函数与极限习题课 二、课型：习题课 三、目的要求：1.加深对函数、极限、连续等基本概念的理解； 2.熟练掌握极限的运算方法. 四、教学重点：极限运算、两个重要极限、无穷小比较、函数的连续性． 教学难点：极限存在准则． 五、教学方法及手段：讲练结合，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学习题课讲义》，同济大学数学教研组主编， 高等教育出版社； 3.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：总复习题一3（2）（3），8（2）（4）（6），10，11，12 八、授课记录： 九、授课效果分析：
第一章 函数与极限习题课 一、 主要内容 1. 函数 函数的概念与特性，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数. 2. 极限 极限定义、运算、性质，两个重要极限，无穷小比较，极限存在准则. 3. 连续 函数连续的概念，间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质，分段函数的连续性. 二、典型例题 1. 求复合函数 例1 设()f x = [()]f f x . 解 [()]f f x = == . 2. 利用函数概念求函数表达式 例2 设(e )1sin x f x x =++，求()f x . 解 令e x t =，则ln x t =，()1ln sin(ln )f t t t =++，()1ln sin(ln )f x x x ∴=++. 例3 设2 ()sin ,[()]1f x x f x x ?==-,求()x ?. 解 2 [()]sin ()1f x x x ??==- ,2 ()arcsin(1),[x x x ?∴=-∈. 3. 求00或∞ ∞型未定式的极限 例4 33 0()lim h x h x h →+-
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次
) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）)() (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式 ∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则； ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→
第一章：函数与极限 1.1 初等函数图象及性质 1。1。1 幂函数 函数（m 是常数）叫做幂函数。幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。例如，当m = 3时，y=x3 的定义域是(—∞ ,+∞);当m = 1/2时,y=x1/2的定义域是［0,+∞）；当m = -1/2时,y=x-1/2的定义域是(0，+∞）。但不论m 取什么值，幂函数在(0，+∞）内总有定义。最常见的幂函数图象如下图所示：［如图] 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 函数y=a x（a是常数且a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是区间(—∞ ，+∞)。 因为对于任何实数值x,总有a x >0,又a0=1,所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0，1)。 若a〉1,指数函数a x是单调增加的。若0〈a〈1，指数函数a x是单调减少的。 由于y=（1/a)—x=a—x，所以y=a x的图形与y=(1/a)x的图形是关于y轴对称的(图1—21)。[如图] 2．对数函数 指数函数y=a x的反函数，记作y=log a x（a是常数且a〉0,a≠1），叫做对数函数。 它的定义域是区间(0,+∞).对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1—22）。 y=log a x的图形总在y轴上方，且通过点（1，0)。 若a>1，对数函数log a x是单调增加的,在开区间（0，1)内函数值为负,而在区间（1，+∞)内函数值为正。 若0〈a〈1，对数函数log a x是单调减少的，在开区间（0,1)内函数值为正，而在区间（1，+∞)内函数值为负。[如图] 1。1.3 三角函数与反三角函数 1．三角函数 正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数,它们的定义域都是区间（—∞ ，+∞)，值域都是必区间[-1，1］。正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。 2．反三角函数 反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。 这四个反三角函数都是多值函数。但是，我们可以选取这些函数的单值支。 例如，把Arcsinx的值限制在闭区间[—，］上，称为反正弦函数的主值，并记作arcsinx. 这样，函数y = arcsinx就是定义在闭区间[—1，1］上的单值函数，且有。 1。2 数列极限的概念 设{}是一个数列，a是实数，如果对于任意给定的，总存在一个正整数N，当n〉N时都有，我们就称a是数列｛｝的极限，或者称数列｛｝收敛，且收敛于a，记为，a即为的极限. 数列极限的几何解释：以a为极限就是对任意给定的开区间，第N项以后的一切数全 部落在这个区间内。 1。3 函数极限的概念 设函数f(x）在点附近(但可能除掉点本身）有定义，设A为一个定数，如果对任意各定，一定存在，使得当时，总有，我们就称A是函数f（x)在 点的极限，记作,这时称f（x）在点极限存在，这里我们不要求f(x）在点有定义，
高等数学（一）上教学大纲 课程名称：高等数学（一）课程代码： 英文名称：Advanced Mathematics(I)-1 课程性质：通识教育课程学分/学时：5/90 开课学期：第1学期 适用专业：微电子科学与工程，电子科学与技术等 先修课程： 后续课程：半导体物理与固体物理基础、电路分析等 开课单位：数学科学学院课程负责人： 大纲执笔人：大纲审核人： 一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学 生需掌握知识与能力及其应达到的水平） 课程性质：《高等数学（一）上》是学生进入大学后，学习的第一门重要的数学基础课。高等数学是近代数学的基础，是理工科学生的必修课，也是在现代科学技术，经济管理，人文科学中应用最广泛的一门课程。通过高等数学课程的学习，使学生掌握微积分的基本知识，基本理论和基本计算方法。培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，辩证的思想方法；培养学生空间想象能力，分析问题和解决问题的能力；培养学生的创新意识，提高学生的创造力。为学生学习后继课程打下必要的数学基础。 教学目标：本课程以微积分学为核心内容，目标是 1. 掌握微积分研究的对象—函数及微积分研究的重要基础—极限论；【1.1】 2. 掌握一元函数的连续，导数，微分，不定积分，定积分的概念，理论和应用；【1.1】 3. 掌握微分方程的基本概念和基本解法；【1.1】 二、课程目标与毕业要求的对应关系 三、课程教学内容及学时分配 第一章 1、教学内容
函数与极限 2、教学要求 掌握初等函数。理解数列极限的概念。理解函数左、右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。理解无穷小、无穷大的概念。熟练掌握极限的性质及四则运算法则，掌握计算极限的恒等变形法。了解极限存在的两个准则，会利用他们求极限。熟练掌握利用两个重要极限求极限的方法，会用变量代换法求极限。掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。理解函数连续性的概念（含左连续、右连续），会判别间断点的类型。知道连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质。 第二章 1、教学内容 导数与微分 2、教学要求 理解导数的概念和几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性与连续性之间的关系。熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。掌握隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法，会求它们的二阶导数，会求反函数的导数。理解微分的概念，理解导数和微分的关系。会求函数的微分。 第三章 1、教学内容 微分中值定理与导数的应用 2、教学要求 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解并会用柯西中值定理。 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。了解泰勒公式。理解函数的极值的概念，熟练掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。掌握用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直渐近线，斜渐近线，会描绘函数的图形。掌握弧微分公式。 第四章 1、教学内容 不定积分 2、教学要求 理解原函数和不定积分的概念。熟练掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质。掌握不定积分的两类换元积分法和分部积分法。会求有理函数、三角
高等数学同济教材下册 高等数学是一门对于大多数理工科学生来说必修的课程，旨在培养学生的数学思维和解决问题的能力。同济大学的高等数学下册教材作为许多学校的教学参考书，涵盖了数学分析、微分方程和多元函数等内容。本文将从几个重要的章节出发，对高等数学同济教材下册进行简要介绍和阐述。 第一章：函数极限与连续 函数极限与连续是高等数学的基础，它很好地描述了数学对象在无限接近某个值时的行为。同济教材下册对函数极限与连续进行了详细的解释和讲解，从极限的定义、性质到连续的概念和常见判定方法都进行了全面而系统的介绍。通过学习这一章节，学生可以掌握数学分析的基本思想，为后续的学习打下坚实的基础。 第二章：一元函数的导数与微分 一元函数的导数与微分是高等数学中的重要概念，它们描述了函数的变化率和局部线性近似。同济教材下册对一元函数的导数与微分进行了全面而深入的阐述，包括导数的定义、运算规则、中值定理以及微分的概念与应用等内容。这一章节的学习将帮助学生理解函数的变化规律，为解决实际问题提供数学工具。 第三章：一元函数的积分 一元函数的积分是高等数学中的重要工具，它描述了函数曲线下的面积和变化量。同济教材下册对一元函数的积分进行了详细的介绍，
包括不定积分、定积分以及换元积分法等内容。通过学习这一章节，学生可以掌握积分的基本概念和计算方法，进而应用于面积计算、曲线长度求解等实际问题。 第四章：定积分的应用 定积分的应用是高等数学中的一个重要方向，它将积分与实际问题相结合，解决量的累积、平均和平衡等问题。同济教材下册对定积分的应用进行了深入浅出的讲解，包括对曲线长度、旋转体体积、物体质心以及流量等问题的计算方法。这一章节的学习将培养学生的应用能力和解决实际问题的思维方式。 第五章：无穷级数 无穷级数是高等数学中的一个重要概念，它描述了无限多项的和的特性与行为。同济教材下册对无穷级数进行了系统的介绍，包括级数的概念、正项级数的敛散性以及级数收敛的判别法等内容。通过学习这一章节，学生可以了解无穷级数的基本性质，为进一步研究级数和数列奠定基础。 高等数学同济教材下册的内容远不止这几章，但这几个章节代表了教材的主要内容和重点。在学习过程中，学生可以通过大量的练习和实践掌握数学分析的基本思想和方法，提高数学推理和问题解决的能力。同时，教材也提供了一系列的习题和答案，供学生自我检验和巩固知识。总之，高等数学同济教材下册是一本难得的优秀教材，对于学生深入理解数学原理和方法起到了积极的推动作用。
高等数学教材同济大学版 高等数学是大学数学的重要组成部分，它是培养理工科学生解决实际问题、掌握科学方法和思维方式的基础课程。同济大学编写的高等数学教材是中国高等教育界的经典之作，其内容全面、严谨，质量得到了广大师生的认可。 第一章极限与连续 极限与连续是高等数学的基石，对于学习数学的同学来说，理解和掌握这一章的知识至关重要。同济大学版的教材从极限的定义开始入手，逐步引入极限的性质和运算规则，帮助学生培养抽象思维能力。在连续部分，教材通过实际问题和图像的解释，使学生对连续函数和间断点有一个直观的认识。 第二章导数与微分 导数与微分是高等数学中的重要内容，它们在自然科学、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。同济大学教材对导数与微分进行了详细的介绍，包括导数的定义、导数的性质、高阶导数以及各种微分法则。通过例题和习题的练习，学生在理论与实践中掌握了导数的计算和应用。 第三章微分中值定理与导数的应用 微分中值定理是高等数学中的经典理论之一，它是导数理论的重要应用。同济大学教材通过引入拉格朗日中值定理和柯西中值定理等，
帮助学生深入理解极值问题、曲线的凹凸性以及泰勒展开等概念，为 后续章节的学习做好铺垫。 ...... （以下章节类似，省略） 同济大学版的高等数学教材，除了内容全面详细之外，还注重培养 学生的问题解决能力和创新意识。在每一章节的习题部分，教材不仅 提供了大量的题目进行练习，还设置了一些难题和拓展问题，激发学 生的学习兴趣和求知欲。同时，教材还给出了详细的解答思路和步骤，让学生能够自主学习和巩固知识。 总之，同济大学版的高等数学教材以其严谨的内容、精心设计的习 题和扎实的理论基础，成为了广大高校的首选教材。希望学生们在学 习高等数学的过程中，能够认真阅读教材，理解每一个概念和定理， 并将其应用于实际问题中，提升自己的数学素养和科学素养。
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章-函数与极限
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3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定 性质的事物的总体. 用A, B, C….等表 示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a∈M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出 来. 例如A={a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性 质P的元素x的全体所组成, 则M可表 示为 A={a1, a2, ⋅⋅⋅, a n}, 5 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室
内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 6 M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自 然数集. N ={0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}. N +={1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数 集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数 集. Z ={⋅ ⋅ ⋅, -n , ⋅ ⋅ ⋅, -2, -1, 0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有 理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ⊂B (读作A 包含于B )或 B ⊃A .
高等数学同济大学教材讲解 高等数学是大学阶段的一门重要课程，对于理工科学生来说尤为重要。同济大学作为中国一流的综合性大学，其高等数学教材知名度和 权威性都是非常高的。下面，我将为大家详细解读同济大学高等数学 教材的核心内容。 1. 函数与极限 函数与极限是高等数学的基础，对于理解后续内容具有重要的作用。同济大学的教材从定义、性质、运算等多个方面全面地介绍了函数的 基本概念。对于极限的讲解，同济大学教材注重理论与实际的结合， 通过大量的例题以及应用实例，帮助学生更好地理解与掌握极限的概念。 2. 导数与微分 导数与微分是高等数学中的重要内容，也是数学与科学研究中常用 的工具之一。同济大学的教材通过深入浅出的方式，逐步引入导数与 微分的概念，并通过具体实例来说明其应用领域。同时，教材也涵盖 了求导法则、高阶导数及微分的应用等内容，帮助学生系统地掌握导 数与微分的知识。 3. 微分中值定理与导数应用 微分中值定理是微积分中的重要定理之一，同济大学的教材对其进 行了详细的讲解。通过中值定理的引入，可以帮助学生更好地理解和
应用导数的概念。同时，教材还涵盖了最值问题、曲率与凹凸性等内容，使得学生能够将导数应用于解决实际问题中。 4. 不定积分与定积分 不定积分与定积分是高等数学中的核心内容，也是微积分的基础。同济大学的教材通过引入不定积分的概念，详细介绍了不定积分的性质、运算法则以及具体应用。对于定积分的讲解，教材注重理论与实际问题的结合，通过大量的例题和习题，帮助学生深入理解和掌握定积分的概念和应用。 5. 多元函数微分学 多元函数微分学是高等数学的深入内容，也是应用数学中常用的分析工具。同济大学的教材通过引入多元函数的概念，详细介绍了多元函数的导数、偏导数以及全微分等内容，并通过具体实例对其进行应用展示。同时，教材还涵盖了多元函数的极值、条件极值等内容，帮助学生进一步理解和掌握多元函数微分学的知识。 综上所述，同济大学的高等数学教材以其权威性和系统性成为广大理工科学生学习的重要参考资料。通过对教材核心内容的深入讲解，相信同学们可以更好地理解和掌握高等数学的知识，为今后的学习和科研打下坚实的基础。
高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+=
)()( )(lim 000 + -→=⇔=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=⇔; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -
连续函数的δ导数与性质 杨根尚 (数学与信息学院数学与应用数学专业00级5班) 摘要 文［1］关于连续函数的δ导数的研究表明，在采样点无限增多的情形下，它与有限离散函数概念相一致；在极限情形下，它与常规意义下连续函数导数概念相一致。它具有与常规意义下导数相类似的性质。但不能将常规意义下的导数的性质都平移到连续函数的δ导数中来，本文给出了这样两个连续函数乘积的δ导数的性质定理。 关键词：连续函数；δ导数；最佳平均逼近直线 1 引言 文［3］对有限离散函数导数概念作了研究。文［1］在文［3］的基础上，引入了连续函数的δ导数新概念并研究了δ导数的一些性质。结果表明它与常规意义下的导数有相类似的性质。本文是在文［1］的基础上继续讨论了连续函数的δ导数的性质，给出了两个连续函数乘积的δ导数的性质定理，同时将文［1］中性质3用另一种方法给予了证明。 2 连续函数的δ导数的定义 定义1［1］ 设函数)(x f y =是定义在闭区间],[b a 上的连续函数，0x 为),(b a 内一点， δ为一正数，满足],,[],[0 0b a x x ⊂+-δδ我们称 dx x x dx x f x f x x x x x x 2 000)()]()()[(0000---⎰ ⎰+-+-δ δ δ δ 为) (x f y =在点0x 的δ导数，记为 .0 x x x y =δδ 由于)(x f y =是],[b a 上的连续函数，因此上面引入的δ导数有意义。这说明只要 )(x f y =在],[b a 上连续，则它的δ导数就存在。而在常规意义下，连续函数的导数不一 定存在。 例如，按照本文的定义，函数x y =在0=x 点的δ导数为：
《高等数学A1》教学大纲课程名称(英文)：高等数学（同济六版多学时类型） 课程代码： 课程类别：学科基础课程 学时： 176学时 学分：11学分 考核方式：考试 适用对象：理工类本科专业 一、课程简介 高等数学是高等院校理学各专业的一门主课。通过本课程的学习，要使学生获得一元函数微积分学、多元函数微积分学、常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，以培养学生的运算能力、抽象思维能力，逻辑推理能力及建模思想，为后继课程奠定必要的数学基础。 二、教学目的及要求 通过本课程的学习，要求学习者： 1、获得有关微积分、向量代数、空间解析几何、无穷级数和常微分方程的基本知识，掌握必要的基础理论和应用技巧。 2、培养学生的运算能力、综合分析的能力以及抽象思维、逻辑推理能力。 三、教学重点及难点 教学重点：微积分、向量代数、空间解析几何、无穷级数和常微分方程的基本知识。教学难点：微积分、无穷级数和常微分方程。 四、与其它课程的关系 本课程是线性代数，概率与数理统计，复变函数，积分变量等课程的先修课程，是学习后续数学课程与其它专业课的重要基础理论课。 五、教学内容 第一章函数与极限（20学时） 本章主要教学内容：
1.1 映射与函数 1.2 数列的极限 1.3函数的极限 1.4 无穷大与无穷小 1.5 极限运算法则 1.6 极限存在准则、两个重要极限 1.7 无穷小的比较 1.8 函数的连续性与间断点 1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 1.10 闭区间上连续函数的性质 本章教学目的及要求： 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则． 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 本章教学重点及难点：
高等数学（同济大学版）课程讲解1.9-1.10连续函数的性质 课时授课计划 课次序号：07 一、课题：§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 §1.10 闭区间上连续函数的性质 二、课型：新授课 三、目的要求： 1.了解连续函数的和、差、积、商的连续性； 2.了解反函数和复合函数的连续性； 3.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质． 四、教学重点：利用复合函数及初等函数的连续性求函数极限，利用零点定理证 明方程解的存在性. 教学难点：闭区间上连续函数的性质. 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–9 3（4），4（3）（4），5；习题1–9 1 八、授课记录： 九、授课效果分析： 复习 1.连续的定义：0 0lim ()()x x f x f x →=,三个条件缺一不可； 2.间断点的分类：第一类(可去型、跳跃型)，第二类（无穷型、振荡型）. 下面介绍连续函数的运算法则和闭区间上连续函数的几个性质．
第九节连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算 由连续函数的定义及极限的运算法则和性质，立即可得到连续函数的下列运算法则．定理1 若函数f （x ），g （x ）均在点x 0处连续，则() ()()()()() f x f x g x f x g x g x ±?、、（g （x 0）≠0），均在点x 0处连续． 如多项式函数0 ()n k n k k P x a x ==∑在（-∞，+∞）内连续，正切函数sin tan cos x x x = 在其定义区间内连续． 二、反函数的连续性 定理2 若函数()y f x =在区间x I 内单调增加（减少）且连续，则其反函数1()x f y -=在相应区间{(),}y x I y y f x x I ==∈内单调增加（减少）且连续． 从几何上看，该定理是显然的，因为函数()y f x =与其反函数1()x f y -=）在xoy 坐标面上为同一条曲线． 如sin y x =在[,]22 ππ -上单调增加且连续，其反函数arcsin x y =在[1,1]-单调增加且连续． 三、复合函数的连续性 由连续函数的定义及复合函数的极限定理可以得到下面有关复合函数的连续性定理． 定理3 设函数[()]y f x ?=是由函数(),()y f u u x ?==复合而成的复合函数，
课题函数的连续性、闭区间上连续函数的性质课时2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握连续函数的概念。 （2）能够判断函数的间断点，熟悉间断点的分类。 （3）理解初等函数的连续性，能够计算函数的连续区间. （4）理解闭区间上连续函数的性质。 思政育人目标： 通过与实际现象联系，帮助学生理解函数的连续性，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力 教学重难点教学重点：连续函数的概念、函数在某点连续性的判断教学难点：计算函数的连续区间 教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（35 min）→问题讨论（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程主要教学内容及步骤设计意图 第一节课 考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤 ⏹【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组 织纪律性，掌握学 生的出勤情况 知识讲解（35 min） ⏹【教师】讲解连续函数的概念，并通过例题讲解介绍其应用 案例［平面内曲线］在坐标平面内画一连续曲线() y f x =， 如图1-27所示．在坐标平面内画一间断曲线() y g x =，如图 1-28所示． 学习连续函数 的概念、函数间断 点的分类。边做边 讲，及时巩固练 习，实现教学做一 体化
2 图1-27 图1-28 分析 对比两个图形，我们发现：对于()y f x =，当自变量x 的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量0y ∆→，如图1-27所示；对于()y g x =，当自变量x 的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量y ∆不能够无限变小，如图1-28所示．于是我们可以用增量来定义函数的连续性． 定义1 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，如果 000 lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=， 则称函数()f x 在点0x 处连续． 若记0x x x =+∆，则0x x x ∆=-，相应地函数()f x 的增量 0()()y f x f x ∆=-．当0x ∆→，即0x x →时，0y ∆→，0()()0f x f x -→，也即0()()f x f x →． 因此，函数()y f x =在点0x x =处连续的定义也可表述如下： 定义1' 设函数()y f x =在0x 点的某一个邻域内有定义，若 0lim ()()x x f x f x →=，则称函数()f x 在0x 点连续． 由函数()y f x =在0x 点连续的定义可知，函数()f x 在0x 点连续，必须同时满足下面三个条件： （1）()f x 在0x 点有定义； （2）极限值0 lim ()x x f x →存在； （3）极限值0 lim ()x x f x →恰好等于()f x 在该点的函数值，即