同济高等数学教案
教案标题：同济高等数学教案
教案概述：
本教案旨在帮助同济高等数学课程的教师设计一堂富有启发性和互动性的课堂。通过合理的教学安排和教学方法的选择，旨在提高学生的数学思维能力和问题
解决能力。本教案适用于同济高等数学课程的任课教师，可根据具体教学情况
进行调整。
教学目标：
1. 理解和掌握同济高等数学课程的核心概念和基本原理；
2. 培养学生的数学思维能力和问题解决能力；
3. 培养学生的合作与交流能力；
4. 培养学生的自主学习和探究能力。
教学内容：
本节课的教学内容为同济高等数学课程中的某个具体章节或主题，例如微分方
程或多元函数等。根据具体章节或主题的特点，选择相关的教学内容进行展开。教学步骤：
1. 导入环节：通过引入一个生活中的实际问题或一个有趣的数学例子，激发学
生对本节课内容的兴趣和思考。
2. 概念讲解：针对本节课的核心概念和基本原理，通过简洁明了的语言和具体
的例子进行讲解和说明，帮助学生理解和掌握相关知识点。
3. 实例演练：选择一些典型的例题，引导学生运用所学知识解决问题，培养学
生的问题解决能力和数学思维能力。
4. 深化拓展：根据学生的实际情况和掌握程度，设计一些扩展性的问题或思考题，引导学生深入思考和探索，拓展他们的数学思维。
5. 小组合作：组织学生进行小组合作，让他们共同解决一个复杂的问题或进行一个数学实验，培养学生的合作与交流能力。
6. 总结归纳：通过学生的讨论和总结，梳理本节课的重点和难点，帮助学生对所学内容进行归纳和总结。
7. 作业布置：根据本节课的内容，布置适当的作业，巩固学生的知识掌握和能力提升。
教学方法：
1. 讲授法：通过讲解和示范，向学生传授相关知识和技能。
2. 实践法：通过实例演练和问题解决，让学生亲自动手操作和实践，提高他们的问题解决能力。
3. 合作学习法：组织学生进行小组合作，促进他们的合作与交流，培养团队合作精神。
4. 探究式学习法：引导学生主动探索和发现知识，培养他们的自主学习和探究能力。
教学评估：
1. 课堂表现评估：观察学生在课堂上的参与度、回答问题的准确性和深度，评估他们对本节课内容的理解和掌握程度。
2. 作业评估：批改学生的作业，评估他们对所学知识的掌握程度和问题解决能力。
3. 小组合作评估：观察学生在小组合作中的表现，评估他们的合作与交流能力
和团队合作精神。
教学资源：
根据本节课的具体内容，准备相关的教学资源，如教材、课件、实验器材等，以便于教学过程中的展示和使用。
教学反思：
根据学生的学习情况和教学效果，及时进行教学反思，总结教学经验和不足，为今后的教学改进提供参考。
高等数学同济教案教案标题：高等数学同济教案 教案目标： 1. 理解高等数学的基本概念和原理。 2. 掌握高等数学的基本运算和方法。 3. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。 4. 培养学生的数学推理和证明能力。 教案内容： 课时一：导数与微分 1. 导数的定义和性质 2. 导数的计算方法和应用 3. 微分的定义和性质 4. 微分的计算方法和应用 课时二：不定积分与定积分 1. 不定积分的定义和性质 2. 不定积分的计算方法和应用 3. 定积分的定义和性质 4. 定积分的计算方法和应用 课时三：微分方程 1. 微分方程的基本概念和分类 2. 一阶常微分方程的解法 3. 二阶常微分方程的解法
4. 微分方程的应用 课时四：级数与数项级数 1. 级数的概念和性质 2. 数项级数的概念和性质 3. 数项级数的收敛性判定 4. 数项级数的求和方法 教学方法： 1. 讲授结合实例：通过具体的例子引入新的概念和原理，帮助学生理解和记忆。 2. 案例分析：选取一些实际问题，引导学生运用所学知识解决问题，培养学生 的应用能力。 3. 互动讨论：鼓励学生在课堂上提问和讨论，促进学生的思维活跃和合作学习。 4. 课堂练习：安排一定数量的练习题，巩固学生的基本运算和方法。 评估方式： 1. 课堂表现：学生在课堂上的积极参与和回答问题的能力。 2. 作业完成情况：学生按时完成作业并正确计算和解答问题的能力。 3. 小测验：定期进行小测验，检验学生对所学知识的掌握程度。 4. 期末考试：综合考察学生对整个学期所学内容的理解和应用能力。 教学资源： 1. 教材：《高等数学同济版》 2. 多媒体教学资源：投影仪、电脑、PPT等 3. 额外练习题和习题解析：辅助教材、习题集等 教学建议：
课时授课计划 课次序号：05一、课题：§1.6极限存在准则两个重要极限 §1.7 无穷小的比较 二、课型：新授课 三、目的要求：1.了解极限的两个存在准则，并会利用它们求极限； 2.掌握利用两个重要极限求极限的方法； 3.掌握无穷小阶的概念以及利用等价无穷小替换求极限的方法. 四、教学重点：利用两个重要极限以及等价无穷小替换求极限. 教学难点：利用极限的存在准则求极限. 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–6 1（1）（6），2（3）；习题1–7 1，4（3） 八、授课记录： 九、授课效果分析：
复习 1.无穷小与无穷大的概念以及它们之间的关系； 2.极限运算法则：无穷小运算法则、四则运算法则、复合函数极限运算法则. 有些函数的极限不能（或者难以）直接应用极限运算法则求得，往往需要先判定极限存在，再用其他方法求得.下面先介绍判定函数极限存在的两个准则，然后介绍两个重要极限.在此基础上，进一步介绍无穷小的比较与等价无穷小的性质． 第六节 极限存在准则 两个重要极限 一、极限存在准则 1. 夹逼准则 定理1 如果数列{}{}n n y x 、 及{}n z 满足下列条件： （1）()...321，，=≤≤n z x y n n n ， （2），， a z a y n n n n ==∞ →∞ →lim lim 那么数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞ →lim 。 证 ,,a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>?>?N N ε 1,n n N y a ε>-<当时,恒有 2,n n N z a ε>-<当时,恒有 },,max{21N N N =取上两式同时成立, ,εε+<<-a y a n 即 ,εε+<<-a z a n 所以恒有 时当,N n >,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞ → 例1 求???? ? ? ++ +++ +∞→n n n n n 2 2 2 1 2 11 1lim 解 1 1112 2 2 2 +< ++ ++< +n n n n n n n n ， 而 11 lim lim 2 2 =+=+∞ →∞→n n n n n n n ， 所以原式极限为1. 定理1/ 设在点x 0的某去心邻域有12()()()F x f x F x ≤≤, 且0 lim x x →F 1(x )= 0 lim x x →F 2(x )=A ， 则0 lim ()x x f x →=A .
同济高等数学教案 教案标题：同济高等数学教案 教案概述： 本教案旨在帮助同济高等数学课程的教师设计一堂富有启发性和互动性的课堂。通过合理的教学安排和教学方法的选择，旨在提高学生的数学思维能力和问题 解决能力。本教案适用于同济高等数学课程的任课教师，可根据具体教学情况 进行调整。 教学目标： 1. 理解和掌握同济高等数学课程的核心概念和基本原理； 2. 培养学生的数学思维能力和问题解决能力； 3. 培养学生的合作与交流能力； 4. 培养学生的自主学习和探究能力。 教学内容： 本节课的教学内容为同济高等数学课程中的某个具体章节或主题，例如微分方 程或多元函数等。根据具体章节或主题的特点，选择相关的教学内容进行展开。教学步骤： 1. 导入环节：通过引入一个生活中的实际问题或一个有趣的数学例子，激发学 生对本节课内容的兴趣和思考。 2. 概念讲解：针对本节课的核心概念和基本原理，通过简洁明了的语言和具体 的例子进行讲解和说明，帮助学生理解和掌握相关知识点。 3. 实例演练：选择一些典型的例题，引导学生运用所学知识解决问题，培养学 生的问题解决能力和数学思维能力。
4. 深化拓展：根据学生的实际情况和掌握程度，设计一些扩展性的问题或思考题，引导学生深入思考和探索，拓展他们的数学思维。 5. 小组合作：组织学生进行小组合作，让他们共同解决一个复杂的问题或进行一个数学实验，培养学生的合作与交流能力。 6. 总结归纳：通过学生的讨论和总结，梳理本节课的重点和难点，帮助学生对所学内容进行归纳和总结。 7. 作业布置：根据本节课的内容，布置适当的作业，巩固学生的知识掌握和能力提升。 教学方法： 1. 讲授法：通过讲解和示范，向学生传授相关知识和技能。 2. 实践法：通过实例演练和问题解决，让学生亲自动手操作和实践，提高他们的问题解决能力。 3. 合作学习法：组织学生进行小组合作，促进他们的合作与交流，培养团队合作精神。 4. 探究式学习法：引导学生主动探索和发现知识，培养他们的自主学习和探究能力。 教学评估： 1. 课堂表现评估：观察学生在课堂上的参与度、回答问题的准确性和深度，评估他们对本节课内容的理解和掌握程度。 2. 作业评估：批改学生的作业，评估他们对所学知识的掌握程度和问题解决能力。 3. 小组合作评估：观察学生在小组合作中的表现，评估他们的合作与交流能力
周次日期节次 授课内容 §6.1 定积分的元素法 §6.2 定积分在几何学上的应用 授课学时2学时/每班 教学目的元素法的基本思想；计算平面图形的面积 教学重点计算平面图形的面积 教学难点元素法的基本思想 教具和 媒体使用 黑板+粉笔 教学方法讲授法、类比法、练习法、讨论法、启发式等 教学过程§6.1 定积分的元素法 在实用上，为了简便起见，省略下标，在小区间[,] x x dx +上， 取左端点x为ξ，以() f x为高，d x为底的小矩形的面积()d f x x作为小规则图形的面积，()d f x x叫做面积元素，记为=()d dA f x x.于是， () lim()d=d b a A f x x f x x =∑? 这个方法通常称为微元分析法，简称元素法（微元法） §6.2定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 一般地，根据元素法，由曲线() y f x =，() y g x =(()() ≥ f x g x)以及直线 ,() x a x b a b ==＜所围成的曲边梯形的面积()()d b a A f x g x x =- ?? ?? ? 思考题设2 y x =，[0 , 1] x∈，问t取何值时， 图中阴影部分的面积 1 S与 2 S之和最大？何时最小？
第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 设函数()y f x =在区间[],a b 上连续，且()0f x ≥，求以曲线()y f x =为曲边，以[],a b 为底的曲边梯形面积． 分割：将区间[],a b 分成任意n 个子区间[]1,(1,2,,)i i x x i n -=???， 将所求量（曲边梯形面积A ）分为部分量（小曲边梯形面积i A ?)之和 近似代替：在每个子区间[]1,(1,2,,)i i x x i n -=???上任取一点i ξ， 以()i f ξ和i x ?为边长的小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积i A ?，即 ()i i i A f x ξ?≈? 求和：曲边梯形的面积A 的近似值（各小矩形面积之和）为1 ()n i i i A f x ξ=≈ ?∑ 取极限：令{}12max ,,,n x x x λ=??????，对和式取极限后得所求量的精确值（曲边梯形面积）0 1 lim ()n i i i A f x λξ==?∑→ 以上四个步骤中，主要的是第二步，小规则图形的面积 在实用上，为了简便起见，省略下标，在小区间[,]x x dx +上， 取左端点x 为ξ，以 ()f x 为高，d x 为底的小矩形的面积()d f x x 作为小规则图形的面积， ()d f x x 叫做面积元素，记为=()d dA f x x .于是， ()lim ()d =d b a A f x x f x x =∑? 这个方法通常称为微元分析法，简称元素法（微元法）
高等数学同济版第八版教材高等数学是大学本科数学专业的一门基础课程，对于培养学生的数学思维和分析问题的能力起着至关重要的作用。而同济大学出版社所出版的《高等数学同济版第八版》教材则是当前广泛应用于高等数学课程中的一本权威教材。本教材准确而全面地介绍了高等数学的各个知识点，旨在帮助学生快速掌握和运用数学方法来解决实际问题。 第一章导数与微分 导数与微分是高等数学的基础概念，也是数学分析的切入点。本书第一章主要从导数的几何意义、导数的定义以及常见函数的导数等几个方面进行讲解。通过对导数的学习，学生可以理解函数局部变化的趋势，并能够求解函数的极值和图像绘制等问题。 第二章不定积分 不定积分是高等数学的又一个重要概念。本章首先介绍了不定积分的定义和基本性质，然后详细讲解了一些常见函数的不定积分运算方法。通过学习不定积分，学生可以求解函数的原函数，从而为后续的定积分和微分方程的学习打下坚实的基础。 第三章定积分 定积分是高等数学中的一大重点。本章首先介绍了定积分的概念和性质，同时还包括了黎曼和与黎曼和的存在性判定等内容。随后，本章着重讲解了定积分的几何与物理意义，以及常见函数在给定区间上的定积分计算方法。学习定积分的过程中，学生可以理解函数在不同
区间上的累积变化，并能够应用定积分解决面积、体积等几何和物理问题。 第四章微分方程 微分方程是高等数学中的一门重要课程，也是实际问题建模与解决的数学工具之一。本章首先介绍了常微分方程的基本概念，然后详细讲解了一阶和二阶常微分方程的求解方法，包括可分离变量法、线性方程和齐次方程等。通过学习微分方程，学生可以掌握利用数学方法解决实际问题的能力，如人口增长、电路分析等领域。 第五章多元函数微分学 多元函数微分学是高等数学中的扩展内容，也是应用数学的基础。本章首先介绍了多元函数的定义、极限和连续性等概念，然后重点讲解了多元函数的偏导数、全微分和方向导数等知识。通过学习多元函数微分学，学生可以理解多元函数在各个方向上的变化规律，并能够利用梯度等工具求解实际问题。 综上所述，《高等数学同济版第八版》教材全面而系统地介绍了高等数学的各个知识点，无论从理论还是应用角度，都具有较高的水平和权威性。它不仅能够帮助学生打下坚实的数学基础，还能够培养学生的数学思维和解决问题的能力。因此，它是高等数学教学中不可或缺的教材资源，也是广大数学学习者的必备工具书。
同济第六高等数学教案版第章无穷级数 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-
第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法； 3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛；
福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念
同济大学高等数学C 教材 高等数学C教材是同济大学为理工科相关专业学生编写的一本重要 教材。它涵盖了许多数学的重要概念、定理和方法，帮助学生建立起 扎实的数学基础，为他们未来的学习和研究打下坚实的基础。 第一章导数与微分 高等数学C教材的第一章主要讲述了导数与微分的概念与性质。在 这一章中，学生将学习如何计算函数的导数，以及导数在几何和物理 问题中的应用。通过学习导数的性质，学生将掌握函数的极值、凹凸 性以及函数图像的性质等重要概念。 第二章不定积分 第二章主要介绍了不定积分的基本概念和计算方法。学生将学习如 何求出函数的不定积分，并了解积分的线性性质和曲线下面积的计算 方法。此外，该章还会讨论反常积分以及更高级的积分方法，如分部 积分和换元积分等。 第三章定积分与其应用 第三章主要讲述了定积分的概念与性质。学生将学习如何计算函数 在给定区间上的定积分，并了解定积分的几何和物理应用。在该章中，学生将遇到求曲线长度、曲线面积和旋转体体积等问题，并学会通过 定积分解决这些实际问题。 第四章微分方程
第四章介绍了微分方程的基本理论和解法。学生将学习如何求解一 阶和二阶常微分方程，并了解微分方程在自然科学和工程科学中的广 泛应用。此外，该章还涵盖了一些重要的高阶微分方程及其特殊解法。 第五章无穷级数 第五章着重讲述了无穷级数的定义和性质。学生将学习如何判断级 数的敛散性，以及如何计算常见级数的和。此外，该章还讨论了幂级 数的性质以及如何利用幂级数求解常微分方程的解。 第六章空间解析几何与向量代数 第六章主要介绍了三维空间解析几何和向量代数的基本概念和方法。学生将学习如何计算向量的模、方向和数量积，并了解向量在平面和 空间几何问题中的应用。此外，该章还会介绍向量的叉乘、混合积以 及直线和平面的方程和性质等内容。 第七章多元函数微分学 第七章讲述了多元函数的导数和微分。学生将学习如何计算多元函 数的偏导数以及全微分，并了解多元函数的极值和条件极值的判定方法。此外，该章还讨论了多元函数的隐函数和参数方程，以及二重积 分的计算方法。 第八章重积分与曲线积分 第八章主要介绍了重积分和曲线积分的概念和计算方法。学生将学 习如何计算二重积分和三重积分，并了解重积分在物理和几何问题中
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第12章-微分方程
内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 第十二章 微分方程 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程： ()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5． 理解线性微分方程解的性质及解 的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解 法 2、 可降阶的高阶微分方程()()n y f x =， (,)y f x y '''+和 (,)y f y y '''= 3、 二阶常系数齐次线性微分方程； 4、 自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及 它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微 分方程； 教学难点： 1、 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、 线性微分方程解的性质及解的结构定理；
内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室
内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1 时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数. 把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得 2=12+C , 由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1. 例 2 列车在平直线路上以20m/s(相当于
I 授课题目: §2.1 导数概念 II 教学目的与要求: 1. 理解导数的概念，理解导数的几何意义； 2. 会用导数描述一些物理量； 3. 会用导数的定义求函数的导数并会判断函数的可导性。 III 教学重点与难点: 重点：导数的概念 难点：用导数的定义判断函数的可导性 IV 讲授内容: 微分学是微积分的重要组成部分，它的基概念是导数与微分。主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法。先讨论导数的概念，而导数的概念的形成与直线运动的速度，切线问题有密切的关系。 一、直线运动的速度，切线问题 1．直线运动的速度 先建立坐标系： 设某点沿直线运动，在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点，设动点于时刻t 在直线上的位置的坐标为s （简称位置），运动完全由位置函数所确定。 位置函数： )(t f s = （1） 从时刻0t 到t 一个时间间隔，有平均速度为： 000)()(t t t f t f t t s s --=-- （2） 时间间隔较短，比值在实践中可用来说明动点在时刻0t 的速度，但动点在时刻0t 的速度的精确概念还得让0t t →，即： 0)()(lim 0t t t f t f v t t --=→ （3） 极限值叫做动点在时刻0t 的（瞬时）速度，给出了求瞬时速度的方法。 2． 切线斜率问题 建立直角坐标系，函数的图形为曲线，分析切线的定义，就得曲线上任一点的切线的
0)()(lim 0x x x f x f k x x --=→ （4） 割线斜率的极限就是切线的斜率 二、导数的定义 1.函数在一点处的导数与导函数 讨论知，非匀速直线运动的速度和切 线的斜率都归为一数学形式： 0 0)()(lim 0x x x f x f x x --→ （5） 此处的0x x -和)()(0x f x f -的分别是函数)(x f y =的自变量的增量x ∆和函数的增量y ∆ 式（5）写成： 0000()()lim lim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ （6） 由它们在数量关系上的共性，就得出函数的导数的概念。 2.导数的定义 定义 1 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点x x ∆+0仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量y ∆；如果y ∆与x ∆之比当0→∆x 时的极限存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并称这个极限为函数)(x f y =在点0x 处的导数 ，记为)(0x f '， 即 000)(,,)()(lim lim )(00000x x x x x x x x dx x df dx dy y x x f x x f x y x f ===→∆→∆'∆-∆+=∆∆='记 （7） 函数)(x f y =在点0x 处可导有时也说成)(x f y =在点0x 具有导数或导数存在。 导数的定义也可取不同的形式，常见的有： 图2-1
第五章定积分 教学目的： 1、理解定积分的概念。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 §5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1.曲边梯形的面积 曲边梯形:设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形,每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替,每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积,则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是:在区间[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0 第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的.使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础. 教学重点：1。空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3。向量的概念 4.向量的运算 教学难点:1。空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量.在数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同,则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的. 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则 （有时也称三角形 法则）,其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4 2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时,a λ与a 同向,||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率.设0a 表示与非零向量a 同方向的单位向量,那么a a a 0= 定理1：设向量a ≠0,那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是:存在唯一的实数λ，使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试 用a 和b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是 平行四边形对角线的交点。(见图7－5) 图7－4 解:→→==+AM AC 2b a ，于是)(2 1b a +-=→MA 由于→→-=MA MC , 于是)(2 1b a +=→MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴(一维）、平面直角坐标系（二维)进一步推广建立空间直角坐标系（三维)如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以 2 π角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向. 2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称 分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标面分别为xoy 面、yoz 面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示 图7－2空间直角坐标系图 图7－3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数 组一一对应起来。 注意：特殊点的表示 第一章：函数与极限 1.1 初等函数图象及性质 1。1。1 幂函数 函数（m 是常数）叫做幂函数。幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。例如，当m = 3时，y=x3 的定义域是(—∞ ,+∞);当m = 1/2时,y=x1/2的定义域是［0,+∞）；当m = -1/2时,y=x-1/2的定义域是(0，+∞）。但不论m 取什么值，幂函数在(0，+∞）内总有定义。最常见的幂函数图象如下图所示：［如图] 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 函数y=a x（a是常数且a>0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域是区间(—∞ ，+∞)。 因为对于任何实数值x,总有a x >0,又a0=1,所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0，1)。 若a〉1,指数函数a x是单调增加的。若0〈a〈1，指数函数a x是单调减少的。 由于y=（1/a)—x=a—x，所以y=a x的图形与y=(1/a)x的图形是关于y轴对称的(图1—21)。[如图] 2．对数函数 指数函数y=a x的反函数，记作y=log a x（a是常数且a〉0,a≠1），叫做对数函数。 它的定义域是区间(0,+∞).对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1—22）。 y=log a x的图形总在y轴上方，且通过点（1，0)。 若a>1，对数函数log a x是单调增加的,在开区间（0，1)内函数值为负,而在区间（1，+∞)内函数值为正。 若0〈a〈1，对数函数log a x是单调减少的，在开区间（0,1)内函数值为正，而在区间（1，+∞)内函数值为负。[如图] 1。1.3 三角函数与反三角函数 1．三角函数 正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数,它们的定义域都是区间（—∞ ，+∞)，值域都是必区间[-1，1］。正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。 2．反三角函数 反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。 这四个反三角函数都是多值函数。但是，我们可以选取这些函数的单值支。 例如，把Arcsinx的值限制在闭区间[—，］上，称为反正弦函数的主值，并记作arcsinx. 这样，函数y = arcsinx就是定义在闭区间[—1，1］上的单值函数，且有。 1。2 数列极限的概念 设{}是一个数列，a是实数，如果对于任意给定的，总存在一个正整数N，当n〉N时都有，我们就称a是数列｛｝的极限，或者称数列｛｝收敛，且收敛于a，记为，a即为的极限. 数列极限的几何解释：以a为极限就是对任意给定的开区间，第N项以后的一切数全 部落在这个区间内。 1。3 函数极限的概念 设函数f(x）在点附近(但可能除掉点本身）有定义，设A为一个定数，如果对任意各定，一定存在，使得当时，总有，我们就称A是函数f（x)在 点的极限，记作,这时称f（x）在点极限存在，这里我们不要求f(x）在点有定义， 高等数学教案第四章不定积分 第四章不定积分 教学目的： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二） 与分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。 §41不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义 1如果在区间 I 上可导函数 F(x)的导函数为 f(x)即对任一 x I 都有 F (x) f(x) 或 dF(x)f(x)dx 那么函数 F(x)就称为 f(x)( 或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数 例如因为 (sin x)cos x所以 sin x 是 cos x 的原函数 又如当 x(1)时 1 的原函数 因为 (x)1所以x 是 2 x2x 提问 : cos x 和1还有其它原函数吗？ 2x 原函数存在定理如果函数 f( x)在区间 I 上连续那么在区间 I 上存在可导函数F(x) 使对 任一 x I都有 F (x) f(x) 简单地说就是连续函数一定有原函数 两点说明 第一如果函数 f(x)在区间 I 上有原函数 F(x) 那么 f(x)就有无限多个原函数 F(x) C 都是 f(x)的原函数其中C 是任意常数 第二f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数即如果(x)和 F(x)都是 f(x)的原函数则 (x) F(x) C (C 为某个常数 ) 高等数学教案 第四章 不定积分 定义 2 在区间 I 上 函数 f(x) 的带有任意常数项的原函数称为 f( x)(或 f(x)dx )在区间 I 上的 不定积分 记作 f ( x)dx 其中记号 称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x) dx 称为被积表达式 x 称为积分变量 根据定义 如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数 那么 F(x) C 就是 f(x)的不定积分 即 f (x)dx F (x) C 因而不定积分 f (x)dx 可以表示 f(x)的任意一个原函数 例 1 因为 sin x 是 cos x 的原函数 所以 cos xdx sin x C 因为 x 是 1 的原函数 所以 2 x 1 x dx x C 2 例 2. 求函数 f (x) 1 的不定积分 x 解：当 x>0 时 (ln x) 1 x 1 dx ln x C (x>0) x 当 x<0 时 [ln( x)] 1 ( 1) 1 x x 1 dx ln( x) C (x<0) x 合并上面两式 得到 1 dx ln | x| C (x 0) x 例 3 设曲线通过点 (1 2) 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的 方程 解 设所求的曲线方程为 y f(x) 按题设 曲线上任一点 (x y)处的切线斜率为 y f (x) 2x, , 即 f(x)是 2x 的一个原函数 因为2xdx x 2 C 同济大学高等数学《导数及其应用》w o r d教案(总35页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 第 9 次课 2 学时 第二章 导数与微分 导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。导数数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。 §2、1 导数的概念 一、 引例 1、 切线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直 线，它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。 设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。我们不难求得PQ 的斜率为： 0) ()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限 存在的话，其值就是k ，即0 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→。 若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。 2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当 t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？ 为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为 00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用0 0) ()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效 果越佳，特别地，当0t t →时，0 0) ()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速 度，此时， 00) ()(lim 0 t t t s t s v t t --=→ 二、 导数的定义 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为(完整版)第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)
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