正切函数的性质与图像

正切函数的性质与图像

一、正切函数的性质：

1、定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}。

2、值域：实数集R。

3、奇偶性：奇函数。

二、正切函数的图像：

正切定理：

在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。

正切定理：(a + b) / (a - b) = tan((α+β)/2) / tan((α-β)/2)

证明——由下式开始：

由正弦定理得出

正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值。放在直角坐标系中（如图《定义图》所示）即tanθ=y/x。

也有表示为tgθ=y/x，但一般常用tanθ=y/x。曾简写为tg，现已停用，仅在20世纪90年代以前出版的书籍中使用。

高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质

高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质 一、正弦函数的图象与性质 1、正弦函数图象的作法： （1）描点法：关键是选定一个周期，把这个周期分成四等份，根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点，确定函数图象的大致形状； （2）几何法：一般是用三角函数线来作出图象。 注意：①的图象叫正弦曲线；②作图象时自变量要用弧度制；③在对精确度要求不太高时，作的图象一般使用“五点法”。 2、正弦函数的性质 （1）定义域为，值域为； （2）周期性：正弦函数具有周期性，这可由诱导公式来推导，其最小正周期是。函数 的最小正周期是； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在每一个闭区间，上为增函数，在每一个闭区间，上为减函数。 3、周期函数 函数周期性的定义：对于函数y＝，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数y＝就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数y＝的最小正周期。 4、关于函数的图象和性质 （1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；

（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是函数的半个周期； （3）函数取最值的点与其相邻的与x轴的交点间的距离为函数的个周期。 5、正弦型图象的变换方法 （1）先平移后伸缩 的图象 的图象 的图象 的图象 的图象。 （2）先伸缩后平移 的图象 的图象 的图象 的图象 的图象。 二、余弦函数、正切函数的图象与性质 1、余弦函数的图象和性质 （1）由函数可知，用平移变换法可以得到余弦函数的图象，也可以使用“五点法”得到，同时还要学会用这两种方法画出函数的图象。

正切函数和余切函数的图像和性质

正切函数和余切函数的图像和性质知识点： 1.正切函数和余切函数的概念； 2.正切函数与余切函数的图像和性质； 3.正切函数与余切函数性质的应用； 教学过程： 1.正切函数和余切函数的概念： （1）正切函数---形如tan =的函数称为正切函数； y x 余切函数--形如cot y x =的函数称为余切函数； 2.函数的图像和性质： （1）正切函数的图像： 见正切函数图像课件。 （2）正切函数图像： - （3）与切函数的图像：

例1.求下列函数的周期： （1）tan(3) 3 y x π =-+； （2）2 21tgx y tg x = +； （3）cot tan y x x =-； （4）2 2tan 2 1tan 2 x y x = -； （5）sin 1tan tan 2x y x x ??=+ ?? ? 例2.求下列函数的单调区间： （1）tan(2)24 y x π =++； （2）tan()123 x y π =- + -； （3）12 log cot 3y x ?=- ?? 例3.求下列函数的定义域：

（1）tan 4y x π ?? =- ??? ； （2）y = （3）y = 例4.（1）求函数21)tan tan ]y x x =-+的定义域； （2）解不等式：23tan (2)(3tan(2)0 4 4 x x π π +--+ -≤ 例5.已知2tan tan y x a x =-，当1 [0,],[0,]3 4 x a π∈∈时，函数max y =，求实数a 的值； 例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈，若1212,(0,),2 x x x x π ∈≠。 求证：1212 ()() ( ) 2 2 f x f x x x f ++>。

第8讲 正切函数图像及其性质(讲义)解析版

第8讲 正切函数图像及其性质 知识梳理 1、正切函数的图像： 可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈， 且()2 x k k Z π π≠+ ∈的图像，称“正切曲线”. 由正弦函数图像可知： （1）定义域：{|()}2 x x k k Z π π≠+∈， （2）值域：R 观察：当x 从小于，时，tan x →+∞ 当x 从大于 ，时，tan x →-∞. （3）周期性：T π= （4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数 ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛- 2,2ππ()z k k ∈+ 2 π π2 π +π−→−k x ()z k k ∈+ππ 2 ππ k x +−→ −2 x y y x

（5）单调性：在开区间(,), 22 k k k Z ππ π π -++∈内，函数单调递增. （6）中心对称点：,0, 2 k k Z π ⎛⎫ ∈ ⎪ ⎝⎭ 2、余切函数的图象： ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ - - = ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ - = = 2 tan 2 tan cot π π x x x y 即将x y tan =的图象，向左平移 2 π 个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得x y cot =的图象 由余弦函数图像可知： （1）定义域：{|()} x x k k Z π ≠∈， （2）值域：R （3）周期性：Tπ = （4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数 （5）单调性：在开区间(,), k k k Z πππ +∈内，函数单调递增.

正切函数的图像与性质

课题6.2:(1) 正切函数的图像与性质 教学目标 1.理解利用正切线作出的正切函数图像. 2.通过观察正切函数图像了解和掌握正切函数的性质. 3.会用正切函数图像和性质解答有关的问题. 教学重点及难点 利用正切线作正切函数的图像；正切函数单调性的证明以及周期性的确定. 教学过程 一、 复习引入 1．复习 我们在前几节中学习了正弦函数线、余弦函数线以及正切函数线，我们通过正弦函数线，画出了正弦函数的图像，并研究了函数的性质.今天，我们同样按照这样的方法通过正切线来画出正切函数的图像，并研究和讨论它的性质. 2．引入 当α在第一像限时， 正弦线sin α=MP>0 余弦线cos α=OM>0 正切线tan α=AT>0 那么，当α 的情况呢？请同学们画 出其它三个像限的正切线我们将区间,22ππ?? - ??? 进行八等分，9个点分别为 32 84π ππ- - -，，,0,88 ππ -3,.482πππ ，分别画出其中 384ππ--，，,0,,88ππ-4π正切线，函数的大致图像.tan y = 由正切三角比的诱导公式可知：t a n (παα+= 那么y=tan()tan παα+=，可知π为y=tanx 的一个周期. 由此，我们可以画出y=tanx 在R 上的大致图像如右：

二、学习新课 1. 探究性质 观察正切函数的图像，得到正切函数的性质： 1.定义域：|,2x x k k z π π??≠+∈??? ? ， 2.值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2 π π，2 π+π?→?k x 时，∞?→?x tan 当x 从大于()2 k k z π π+∈，2 x k π π?? →+时，-∞?→? x tan . 3.周期性：π=T 4.奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数. 5.单调性：在开区间,2 2k k k z π πππ? ? - + ∈ ?? ? 内，函数单调递增. 从图像上看出函数y=tanx 的单调区间是,22k k k z ππππ? ?-+∈ ?? ?，但是我们怎样从理 论上去加以证明呢？ 考察0, 2π?? ???? 这个区间内的函数y=tanx 的单调性. 在0, 2π?? ???? 这个区间内任意取12x x 、 ，且12x x <，y 1-y 2=tanx 1-tanx 2 =1212sin sin cos cos x x x x -=1212121212 sin cos cos sin sin()cos cos cos cos x x x x x x x x x x --=. 因为1202x x π≤<<，所以120.2 x x π -<-<则cosx 1、cosx 2>0 sin(12x x -)<0,从而tanx 1-tanx 2<0，y 1

1.43正切函数的性质与图象

1．4.3正切函数的性质与图象 学习目标 1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期. 2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性. 3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．

知识点一、正切函数的性质 思考1：正切函数的定义域是什么？ 思考2：诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π 2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？ 思考3：诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π 2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？ 思考4：从正切线上看，在????0，π 2上正切函数值是增大的吗？ 梳理:函数y ＝tan x ??? ?x ∈R 且x ≠k π＋π 2，k ∈Z 的图象与性质见下表：

思考1：利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？ (1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆． (2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． (3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)． (4)连线，得到如图①所示的图象．

(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π 2＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互 平行的直线x ＝π 2 ＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的． 思考2：我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y ＝tan x ，x ∈????－π2，π 2的简图吗？怎样画？ 梳理：(1)正切函数的图象

正切函数的性质及其应用

正切函数的性质及其应用 正切函数是三角函数中的一种，表示一个角的正切值。在数学和物 理学中，正切函数具有一些重要的性质，并且在各种应用中扮演着关 键角色。本文将探讨正切函数的性质以及一些常见的应用。 一、正切函数的定义和图像特点 正切函数的定义公式为：tan(x) = sin(x) / cos(x)，其中x为角度或弧度。根据定义，我们可以得出正切函数的几个图像特点。 1. 定义域和值域：正切函数的定义域是所有实数除去所有使得 cos(x) = 0的点，通常写作D: x ≠ (2n + 1) * π / 2，其中n为整数。值域 是整个实数集，记作R。 2. 周期性：正切函数的图像在一个周期内呈周期性变化。周期为π，即tan(x) = tan(x + kπ)，其中k为整数。 3. 奇函数性质：正切函数具有奇函数性质，即满足tan(-x) = -tan(x)，这是由于sin(-x) = -sin(x)，cos(-x) = cos(x)。 4. 渐近线：正切函数在x = (n + 1/2) * π，其中n为整数时，有垂直 渐近线。在x = n * π，其中n为整数时，有水平渐近线。 基于这些性质，我们可以画出正切函数的图像。图像在每个周期内 呈现周期性的上升与下降，同时存在垂直和水平渐近线。 二、正切函数的应用 正切函数在各个领域有着广泛的应用。以下是一些常见的应用示例：

1. 三角测量：正切函数在三角测量中扮演着重要的角色。例如，在测量一个目标物体的高度时，可以利用正切函数来计算角度并得到正确的高度值。 2. 电工学：在电路分析中，正切函数可以用来计算交流电路中电压和电流的相位差。相位差是指两个波形之间的时间延迟，正切函数可以帮助我们解决相关的计算问题。 3. 工程学：在工程学中，正切函数经常用于解决角度和距离的计算问题。例如，在建筑工程中，可以利用正切函数来计算楼梯的坡度和斜面的角度。 4. 自然科学：正切函数在自然科学中也有着广泛的应用。例如，在物体的弹道运动分析中，可以利用正切函数来计算物体在不同时间点的速度和加速度。 总结： 正切函数作为三角函数中的一种，具有独特的性质和广泛的应用。它的定义和图像特点使我们能够更好地理解和应用它。通过掌握正切函数的性质和运用，我们可以在实际问题中更准确地解决相应的计算和分析。正切函数的应用涉及多个学科领域，在数学、物理学、工程学等方面都有着重要的地位和作用。 正切函数在各学科的实际应用中逐渐被认识和发现，并在解决相关问题中发挥重要作用。无论是三角测量、电工学、工程学还是自然科学，正切函数都有其独特的应用场景。在学习和应用过程中，我们需

正切函数图象

学科: 数学年级：高一 版本：人教版期数：2333 本周教学内容：4.10 正切函数的图像和性质 【基础知识精讲】 1.正切函数的图像 (1)根据tan(x+π)= ) cos( ) sin( π π + + x x =x x cos sin - - =tanx (其中x≠kπ+2 π ,k∈Z)推出正切函数的周期为π. (2)根据tanx=x x cos sin ,要使tanx有意义，必须cosx≠0, 从而正切函数的定义域为{x｜x≠kπ+2 π ,k∈Z} (3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x∈(-2 π ,2 π ).利用单位圆中的正切线，通过平移，作出y=tanx,x∈(-2 π ,2 π )的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x≠kπ+2 π (k ∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示. y=tanx 2.余切函数的图像如下：

y=cotx 3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx 余切函数y=cotx 定义域 {x ｜x ∈R 且x ≠k π+2π ,k ∈Z} {x ｜x ∈R 且x ≠k π,k ∈z} 值域 R R 周期性 π π 奇偶性 奇 奇 单调性 每个区间(k π-2π,k π+2π ) 上递增(k ∈Z) 每个区间(k π,(k+1)π)上 递减(k ∈Z). 注：正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2)(k ∈Z)内是增函数，但不能说成在整个 定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此. 【重点难点解析】 本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切 线作.因y=tanx 定义域是{x ｜x ∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z}，所以它的图像被平行线x=k π+2π (k ∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的. 1.正切函数应注意以下几点： (1)正切函数y=tanx 的定义域是{x ｜x ≠k π+2π ,k ∈Z},而不是R ，这点要特别注意：(2) 正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k π-2π,k π+2π )(k ∈Z)上是连续的；(3) 在每一个区间(k π-2π,k π+2π )(k ∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数. 2.解正切不等式一般有以下两种方法： 图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，

5.4.3 正切函数的性质与图象

5．4.3正切函数的性质与图象 考点学习目标核心素养正切函数的定义域与值域掌握正切函数的定义域、值域数学抽象 正切函数的单调性及应用 会利用正切函数图象研究其单调 性， 并利用单调性解决其相应问题 直观想象、 逻辑推理 正切函数的周期性与奇偶性掌握正切函数的周期性及奇偶性 逻辑推理、 数学运算 问题导学 预习教材P209－P212，并思考以下问题： 1．如何借助单位圆画正切函数图象？ 2．正切函数的性质与正弦函数性质有何不同？ 3．正切函数在定义域内是不是单调函数？ 函数y＝tan x的图象与性质 解析式y＝tan x 图象 定义域 ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ x⎪⎪x≠ π 2＋kπ，k∈Z 值域R 最小正 周期 π 奇偶性奇函数 单调性在开区间 ⎝ ⎛ ⎭ ⎫ － π 2＋kπ， π 2＋kπ(k∈Z)上都是增函数 对称性对称中心 ⎝ ⎛ ⎭ ⎫ kπ 2，0(k∈Z)

■名师点拨 (1)正切函数在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ －π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内是增函数．不能说函数在其定 义域内是单调递增函数，无单调递减区间． (2)画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指(－π4，－1)，(0，0)，(π 4，1)，“两线” 是指x ＝－π2和x ＝π2，大致画出正切函数在(－π2，π 2)上的简图后向左、向右扩展即得正切曲 线． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R .( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( ) (4)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭ ⎫x ＋π 6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π－π 2，k ∈Z B ．{x |x ∈R ，x ≠k π，k ∈Z } C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π 6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π 3，k ∈Z 答案：D 函数y ＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π 4的最小正周期为( ) A.π 2 B ．π C ．2π D ．3π 答案：A 函数f (x )＝tan x 在[－π3，π 4]上的最小值为________． 答案：－ 3

知识讲解_正切函数的性质和图象_提高

正切函数的性质与图象 【学习目标】 1.能画出tan y x =的图象，并能借助图象理解tan y x =在,22ππ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 上的性质； 2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小； 3．理解正切函数的对称性． 【要点梳理】 要点一：正切函数的图象 正切函数R x x y ∈=tan ， 且()z k k x ∈+≠ππ 2 的图象， 称“正切曲线” （1）复习单位圆中的正切线： A T=tan α （2）利用正切线画函数y= tanx ，x ∈)2 ,2(π π- 的图象 步骤是：①作直角坐标系，并在x=2π -的左侧作单位圆 ②把单位圆的右半圆分成8份，（每份8 π ）.分别在单位圆中作出正切线； ③把横坐标从2π-到2 π 也分成8份 ④把正切线的端点移到对应的位置； ⑤把上面的点连成光滑的曲线． 由于tan （x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x ∈)2 ,2(π π-的图象左、右移动k π个单位（k ∈z ）就得到y=tanx （x ∈R 且x ≠k π+2 π ）的图象. 要点二：正切函数的性质 1．定义域：⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ ， 2．值域：R 由正切函数的图象可知，当()2 x k k z π π< +∈且无限接近于 2 k π π+时，tan x 无限增大，记作 tan x →+∞ （tan x 趋向于正无穷大）；当()2 x k k z π π>-+∈，tan x 无限减小， 记作tan x →-∞（tan x 趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线,2 x k k z π π=+ ∈为正切函数的渐进线． 3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-． 要点诠释： 观察正切函数的图象还可得到：点,0()2k k z π⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ 是函数tan ,y x x R =∈，且2x k ππ≠+的对称中心， 正切函数图象没有对称轴

5.4.3 正切函数的性质与图象

5．4.3 正切函数的性质与图象 [目标]y ＝tan x 的图象；2.理解并记住正切函数的性质；3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题． [重点] 正切函数的性质． [难点] 正切函数的图象、性质及其应用． 知识点一 正切函数y ＝tan x 的图象 [填一填] 正切函数y ＝tan x 的图象叫做正切曲线． [答一答] 1．正切函数y ＝tan x 的图象与x ＝k π＋π 2 ，k ∈Z 有公共点吗？ 提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝k π＋π 2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成 的． 2．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图象相邻两交点之间的距离是多少？ 提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π. 3．观察正切函数曲线，写出满足以下条件的x 的集合． (1)满足tan x ＝0的集合为{x |x ＝k π，k ∈Z }． (2)满足tan x <0的集合为{x |k π－π 20的集合为{x |k π

知识点二 正切函数y ＝tan x 的性质 [填一填] (1)定义域是{x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z }． (2)值域是R ，即正切函数既无最大值，也无最小值． (3)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π. (4)奇偶性：正切函数是奇函数． (5)单调性：正切函数在开区间(k π－π2，k π＋π 2 )，k ∈Z 内是增函数． (6)对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是(k π 2 ，0)(k ∈Z )，正切函数无对称轴． [答一答] 4．y ＝tan x 在定义域上是增函数吗？ 提示：y ＝tan x 在每个开区间(－π2＋k π，π 2＋k π)，k ∈Z 内都是增函数，但在整个定义域上 不具有单调性． 5．正切函数图象与x 轴有无数个交点，交点的坐标为(k π，0)(k ∈Z )，因此有人说正切函数图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，这种说法对吗？ 提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(k π，0)对称，还关于点(π 2＋k π，0)(k ∈Z )对称， 因此正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π 2 ，0)(k ∈Z )． 类型一 利用正切函数图象求定义域及值域 [例1] 求以下函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭ ⎫x ＋π 4；(2)y ＝3－tan x . [解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得，x ≠k π＋π 4 ，k ∈Z . 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为{x ⎪ ⎪⎭ ⎬⎫ x ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3. 结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2

正切函数图象与性质

1.4.3 正切函数的性质与图像 编者: 审核：学生： 学习目标 会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。 学习重难点：正切函数的图象及其主要性质。 自学导引 正切函数的图象和性质 (1)图象：如下图所示． (2)性质：如下表所示 函数 性质 y＝tan x 定义域 值域 周期 奇偶性________函数 单调性增区间______________(k∈Z) 减区间无 仔细观察正切函数的图象，完成下列问题． (1)正切函数的图象有________条渐近线，它们的方程为x＝__________(k∈Z)．相邻两条渐 近线之间都有一支正切曲线，且单调递增． (2)正切函数的图象是中心对称图形，对称中心有________个，它们的坐标是__________ (k∈Z)；正切函数的图象不是轴对称图形，不存在对称轴． (3)函数y＝A tan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________. 典例剖析 与正切函数有关的定义域问题 例1求函数y＝tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． 规律方法求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线． 变式训练1求下列函数的定义域．

(1)y ＝1 1＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )． 正切函数的单调性及周期性 例2 求函数y ＝tan 1()24 x π - +的单调区间及周期． 规律方法 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法即是把ωx ＋φ看成一个整体，解－ π 2 ＋k π<ωx ＋φ<π 2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 变式训练2 求函数y ＝tan 23x π⎛⎫ - ⎪⎝ ⎭ 的单调区间及周期． 比较正切函数值的大小 例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小． (1)tan 65π⎛⎫- ⎪⎝⎭与tan 137 π ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ ；(2)tan 2与tan 9. 规律方法 比较两个函数值的大小， 只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可．正切函数的单调递增区间为, 2 2k k π π ππ⎛⎫ -++ ⎪⎝⎭ ，k ∈Z .故在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭和3,22ππ ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上都是增函数． 变式训练3 比较下列两组函数值的大小． (1)tan(－1 280°)与tan 1 680°；(2)tan 1，tan 2，tan 3.

正切函数的性质与图象基础梳理

《正切函数的性质与图象》基础梳理 一、 正切函数的性质 1．正切函数的定义域和值域：定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪ ⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值 域为R ． 2．正切函数的周期性：y ＝tan x 的周期是k π(k ∈Z，k ≠0)，最小正周期是π． 3．正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇函数，其图象关于原点中心对称． 4．正切函数的单调性：正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ －π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)内 都是增函数． 练习：正切函数y ＝tan x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －π4，π4上的值域为[－1，1]． 思考应用 1．能否说正切函数在整个定义域上是增函数？ 解析：不能．正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数．举反例：x 1＝ π4，x 2＝5π 4 ，x 1

2．将正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ －π2，π2上的图象向左、右扩展，就可以 得到正切函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π 2 (k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝k π＋ π 2 (k ∈Z)叫做正切曲线各支的渐近线． 3．结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数y ＝tan x 在一个单调区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ －π2 ，π2上的简图．

完整版)最全三角函数的图像与性质知识点总结

完整版)最全三角函数的图像与性质知识 点总结 三角函数的图像与性质 一、正弦函数、余弦函数的图像与性质 正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是闭区间[-1,1]。正弦函数在2kπ-π≤x≤2kπ和2kπ+π≤x≤2(k+1)π这两个区间内递增，在其余区间内递减；余弦函数在 2kπ≤x≤2kπ+π和2kπ+π≤x≤2(k+1)π这两个区间内递减，在其余区间内递增。正弦函数是奇函数，对称中心为(kπ,0)(k∈Z)，最大值为1，最小值为-1；余弦函数是偶函数，对称中心为(kπ+,0)(k∈Z)，对称轴为x=kπ，最大值为1，最小值为-1.它们的最小正周期均为2π。 二、正切函数的图像与性质

正切函数的定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域为实数集R。在kπ-π/2

正切-余切图像的性质-反三角函数

正切-余切图像的性质-反三角函数 LT

正切、余切函数图象和性质反三角函数 [知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法.

与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: y=tanx y=cotx 定义域 值域R R 单调性 在上单增(k∈Z) 在上单减(k∈Z) 周期性T=π T=π 对称性 10对称中心，奇函数(k∈Z) 20对称轴；无10对称中心，奇函数(k∈Z) 20对称轴；无 注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的. 3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下