三角函数图像4：正切函数图像性质

正切函数的性质与图象

孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题．

那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？ 正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示．

正切函数y ＝tan x 的图象叫做__正切曲线__． (2)性质：如下表所示.

函数

性质

y ＝tan x

定义域 ⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

x ≠ π

2＋k π ，k ∈Z

值域 R 周期 π 奇偶性

__奇函数__

单调性

增区间

⎝⎛⎭

⎫－π2＋k π，π

2＋k π(k ∈Z ) 减区间

无

[拓展](1)正切函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫

k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴．

(2)直线x ＝π

2＋k π(k ∈Z )称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线．

(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)＋b 的周期是T ＝π

|ω|．

[知识点拨]正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性．

(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－π2，π2)，(π2，3

2π)，…上都是

增函数．

(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－π

2，

π2)∪(π2，3π

2

)∪…上是增函数． 1．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π

12，0)，则φ可以是( B )

A ．π6

B ．－π6

C ．－π12

D ．π12

2．函数y ＝2tan(12x －π

4)的最小正周期是( B )

A ．π

B ．2π

C ．3π

D ．4π

3．函数f (x )＝sin x tan x 是( B ) A ．奇函数 B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．既是奇函数又是偶函数 4．比较大小：tan(－4π3)__<__tan(－11π

5)．

命题方向1 ⇨正切函数的奇偶性 典例1 试判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－2cos x ＋|tan x |； (2)f (x )＝x 2tan x －sin 2x ．

[思路分析] 利用函数奇偶性的定义去判断．

[解析] (1)因为该函数的定义域是{x |x ≠π

2＋k π，k ∈Z }，关于原点对称，且f (－x )＝1－

2cos(－x )＋|tan(－x )|＝1－2cos x ＋|tan x |＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数．

(2)因为函数f (x )的定义域是{x |x ≠π

2

＋k π，k ∈Z }，关于原点对称，

又f (－x )＝(－x )2tan(－x )－sin 2(－x )＝－x 2tan x －sin 2x ，f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，所

以函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．

『规律总结』 在利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f (x )的定义域是否关于原点对称，然后再判断f (－x )与f (x )的关系．

〔跟踪练习1〕判断下列函数的奇偶性： (1)y ＝tan x (－π4≤x <π4)；

(2)y ＝x tan2x ＋x 4； (3)y ＝sin x ＋tan x ．

[解析] (1)∵定义域[－π4，π

4)不关于原点对称，

∴它既不是奇函数也不是偶函数．

(2)定义域为{x |x ≠k π2＋π

4

，k ∈Z }，关于原点对称，

∵f (－x )＝(－x )tan2(－x )＋(－x )4＝x tan2x ＋x 4＝f (x )，∴它是偶函数． (3)定义域为{x |x ≠k π＋π

2

，k ∈Z }，关于原点对称，

∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，∴它是奇函数． 命题方向2 ⇨求定义域和单调区间

典例2 求函数y ＝tan ⎝

⎛⎭⎫3x －π

3的定义域，并指出它的单调性． [思路分析] 把3x －π

3看作一个整体，借助于正切函数的定义域和单调区间来解决．

[解析] 要使函数有意义，自变量x 的取值应满足3x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π3＋5π

18(k

∈Z )，

∴函数的定义域为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

x ≠k π3＋5π

18

，k ∈Z ． 令k π－π2<3x －π3

2(k ∈Z )，

即k π3－π18

18

(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z )，不存在单调递减区间．

『规律总结』 (1)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π

2

，k ∈Z ，解得x ．

(2)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 ①若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都

是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ

2，k ∈Z ，解得x 的范围

即可．

②若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．

〔跟踪练习2〕求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫

π6－x 4的定义域，并指出它的单调性． [解析] 要使函数有意义应满足 π6－x 4≠k π＋π2，得x ≠－4k π－4π3

， ∴函数定义域为⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪

⎪

x ≠－4k π－4π

3，k ∈Z ． y ＝3tan(π6－x 4)＝－3tan(x 4－π

6)，

由k π－π2

2，k ∈Z ，

得4k π－4π3

3，k ∈Z ．

∴y ＝3tan(π6－x

4

)的单调递减区间为

(4k π－4π3，4k π＋8π

3)，k ∈Z .不存在增区间．

命题方向3 ⇨单调性的应用

典例3 不通过求值，比较下列每组中两个正切值的大小． (1)tan ⎝⎛⎭⎫－2π7与tan ⎝⎛⎭⎫－π5； (2)tan126°与tan496°．

[思路分析] 不在同一单调区间内的角应该先用诱导公式化到同一个单调区间内． [解析] (1)∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π

2上是增函数， －π2<－2π7<－π5<π

2，∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π7

y ＝tan x 在(90°，270°)上是增函数，270°>136°>126°>90°，∴tan136°>tan126°，即tan496°>tan126°．

『规律总结』 运用正切函数的单调性比较tan α与tan β大小的步骤：

(1)利用诱导公式将角α，β转化到同一单调区间内，通常是转化到区间(－π2，π

2)内；

(2)运用正切函数的单调性比较大小．

〔跟踪练习3〕不求值，比较下列每组中两个正切值的大小，用不等号“<”、“>”连接起

来．

(1)tan32°__<__tan215°． (2)tan 18π

5

__<__tan ⎝⎛⎭⎫－28π9． [解析] (1)∵tan215°＝tan(180°＋35°)＝tan35°， y ＝tan x 在(－90°，90°)上单调增，－90°<32°<35°<90°， ∴tan32°

5＝tan ⎝⎛⎭⎫4π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－28π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－π

9， 而－π2<－2π5<－π9<π2

，

y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π

2上单调增， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π5

5

1．

[思路分析] 先确定在一个周期⎝⎛⎭

⎫－π2，π

2内的x 值的范围，再写出不等式的解集．

[解析] 函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭

⎫－π2，π

2内的图象如图所示． 作直线y ＝1，则在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，当tan x >1时，有π4

2，又函数y ＝tan x 的周期为π， 则tan x >1的解集是

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

π4＋k π

2＋k π，k ∈Z ．

『规律总结』 解形如tan x >a 的不等式的步骤 作图象―→作在(－π2，π

2)上的正切函数图象

↓

求界点―→求在(－π2，π

2)上使tan x ＝a 成立的x 值

↓

求范围―→求在(－π2，π

2)上使tan x >a 成立的x 的范围

↓

写出解集―→根据正切函数的周期性，写出解集 〔跟踪练习4〕解不等式：tan2x ≤－1． [解析] 因为tan(－π

4

)＝－1，

所以不等式tan2x ≤－1的解集由不等式k π－π2<2x ≤k π－π

4(k ∈Z )确定．

确定k π2－π4

8(k ∈Z )，

所以不等式tan2x ≤－1的解集为 {x |k π2－π4

8

，k ∈Z }．如图所示：

将正切曲线的对称中心误认为是(k π，0)

典例5 y ＝tan(2x ＋θ)图象的一个对称中心为(π3，0)，若－π2<θ<π

2，则θ＝____________．

[错解] 函数y ＝tan x 的对称中心是(k π，0)，其中k ∈Z ，故令2x ＋θ＝k π，k ∈Z ，当x ＝π3时，解得θ＝k π－2π3，k ∈Z ，由－π2<θ<π2，得θ＝π

3

． [错因分析] 误认为y ＝tan x 的对称中心是(k π，0)，k ∈Z 而致错． [正解] 函数y ＝tan x 的对称中心是(k π

2，0)，其中k ∈Z ，

故令2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π

3，k ∈Z ．

又－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π

6．

当k ＝2时，θ＝π3，所以θ＝－π6或π3．

答案：－π6或π

3

『点评』 1.对正切函数图象的对称中心要把握准确，是(k π

2，0)而非(k π，0)(k ∈Z )．

2．要特别注意所求参数的范围，注意分情况讨论．

〔跟踪练习5〕函数y ＝2tan(3x －π4)的对称中心是 (π12＋k π

6，0)(k ∈Z ) ．

课堂检测

1．函数y ＝tan(x ＋π)是( A ) A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．非奇非偶函数

2．函数y ＝tan(x ＋π

4)的定义域是( D )

A ．{x |x ≠－π

4}

B ．{x |x ≠π

4

}

C ．{x |x ≠k π－π

4

，k ∈Z }

D ．{x |x ≠k π＋π

4，k ∈Z }

3．函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π

4的最小正周期是( B ) A ．π

6

B ．π

3

C ．π2

D ．2π3

4．下列各式中正确的是( D ) A ．tan735°>tan800° B ．tan1>－tan2 C ．tan 5π7

D ．tan 9π8

[解析] tan 9π8＝tan(π＋π8)＝tan π

8

．

因为0<π8<π7<π2，y ＝tan x 在(0，π2)上是增函数，所以tan π8

7．

5．函数y ＝tan(π2－x )(x ∈[－π4，π

4

]，且x ≠0)的值域为__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__．

A 级 基础巩固

一、选择题

1．当x ∈(－π2，π

2)时，函数y ＝tan|x |的图象( B )

A ．关于原点对称

B ．关于y 轴对称

C ．关于x 轴对称

D ．没有对称轴 2．函数f (x )＝tan2x

tan x

的定义域为( A )

A ．{x |x ∈R 且x ≠k π

4，k ∈Z }

B ．{x |x ∈R 且x ≠k π＋π

2，k ∈Z }

C ．{x |x ∈R 且x ≠k π＋π

4

，k ∈Z }

D ．{x |x ∈R 且x ≠k π－π

4，k ∈Z }

[解析] ⎩⎪⎨

⎪⎧

x ≠k π

x ≠k π＋π

22x ≠k π＋π2

(k ∈Z )得⎩⎨⎧

x ≠k π

2，

x ≠k π2＋π

4，

∴x ≠2k 4π且x ≠2k ＋14π，x ≠k π

4

，k ∈Z ，故选A ．

3．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π

12，0)，则φ可以是( A )

A ．－π6

B ．π6

C ．－π12

D ．π12

[解析] ∵函数的象过点(π12，0)，∴tan(π6＋φ)＝0，∴π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－π

6，k

∈Z ，令k ＝0，则φ＝－π

6

，故选A ．

4．函数f (x )＝tan(π

4－x )的单调递减区间为( B )

A ．(k π－3π4，k π＋π

4)，k ∈Z

B ．(k π－π4，k π＋3π

4)，k ∈Z

C ．(k π－π2，k π＋π

2)，k ∈Z

D ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z

[解析] 由f (x )＝－tan(x －π4)，可令k π－π2

4π，k ∈Z ．

5．函数f (x )＝tan ax (a >0)的图象的相邻两支截直线y ＝π

3所得线段长为2，则a 的值为

( A )

A ．π2

B ．12

C ．π

D ．1

[解析] 由题意可得T ＝2，所以πa ＝2，a ＝π

2

．

6．函数f (x )＝tan(ωx －π4)与函数g (x )＝sin(π

4

－2x )的最小正周期相同，则ω＝( A )

A ．±1

B ．1

C ．±2

D ．2

[解析]

π|ω|＝2π

|－2|

，ω＝±1． 二、填空题

7．函数y ＝3tan(2x ＋π3)的对称中心的坐标为 (k π4－π

6，0)(k ∈Z ) ．

[解析] 令2x ＋π3＝k π

2(k ∈Z )，

得x ＝k π4－π

6

(k ∈Z )，

∴对称中心的坐标为(k π4－π

6

，0)(k ∈Z )．

8．求函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调区间是 (2k π－π2，2k π＋3

2π)(k ∈Z ) ．

[解析] y ＝tan(－12x ＋π

4)

＝－tan(12x －π

4

)，

由k π－π2<12x －π4

2(k ∈Z )，

得2k π－π2

2

π，k ∈Z ，

∴函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调递减区间是(2k π－π2，2k π＋3

2π)，k ∈Z ．

三、解答题

9．已知－π3≤x ≤π

4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．

[解析] ∵－π3≤x ≤π

4，∴－3≤tan x ≤1，

f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1， 当tan x ＝－1，即x ＝－π

4时，y min ＝1；

当tan x ＝1，即x ＝π

4

时，y max ＝5．

10．画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图象，并根据图象求出函数的主要性质． [解析] 由y ＝|tan x |＋tan x 知

y ＝⎩⎨⎧

0，x ∈(k π－π

2

，k π]，

2tan x ，x ∈(k π，k π＋π

2

)(k ∈Z )．

其图象如图所示．

函数的主要性质为：

①定义域：{x |x ∈R ，x ≠π

2＋k π，k ∈Z }；

②值域：[0，＋∞)； ③周期性：T ＝π； ④奇偶性：非奇非偶函数；

⑤单调性：单调增区间为[k π，k π＋π

2

)，k ∈Z ．

B 级 素养提升

一、选择题

1．函数f (x )＝tan x

2－cos x 的奇偶性是( A )

A ．是奇函数

B ．是偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数又不是偶函数

[解析] f (x )的定义域为{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，又f (－x )＝tan (－x )2－cos (－x )＝－tan x

2－cos x ＝－f (x )，

所以f (x )为奇函数．

2．若a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 1

2cos25°，则( D )

A ．a

B ．b

C ．c

D ．a

[解析] ∵0log 12cos25°>log 1

2tan70°．

即a

3．若函数y ＝tan ωx 在(－π2，π

2)内是减函数，则( B )

A ．0<ω≤1

B ．－1≤ω<0

C ．ω≥1

D ．ω≤－1

[解析] 若ω使函数在(－π2，π

2

)上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周期，故

－1≤ω<0．

4．函数y ＝|tan(x ＋π4

)|的单调增区间为( D ) A ．(k π－π2，k π＋π2

)(k ∈Z ) B ．(k π－3π4，k π＋π4

)(k ∈Z ) C ．(k π，k π＋π2

)(k ∈Z ) D ．[k π－π4＋k π＋π4

)(k ∈Z ) [解析] 令t ＝x ＋π4，则y ＝|tan t |的单调增区间为[k π，k π＋π2

)(k ∈Z )． 由k π≤x ＋π4

，得 k π－π4≤x

(k ∈Z )． 二、填空题

5．给出下列命题：

(1)函数y ＝tan|x |不是周期函数；

(2)函数y ＝tan x 在定义域内是增函数；

(3)函数y ＝⎪⎪⎪⎪tan (2x ＋π3)的周期是π2

； (4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x 是偶函数．

其中正确命题的序号是__(1)(3)(4)__．

[解析] y ＝tan|x |是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y ＝tan x 在每一个区间⎝⎛⎭

⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y ＝⎪⎪⎪⎪tan (2x ＋π3)的周期是π2

.∴(3)对；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫52π＋x ＝cos x 是偶函数，∴(4)对． 因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．

6．若tan ⎝

⎛⎭⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是 ⎝⎛⎦⎤－π6＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z ) ． [解析] 令z ＝2x －π6，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2

，在整个定义域上有－π2＋k π

，k ∈Z ． 三、解答题

7．若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝1cos 2x

＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值． [解析] y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x

＋2tan x ＋1＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1． ∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]．

∴当tan x ＝－1时，即x ＝－π4时，y 取最小值1；

当tan x ＝1时，即x ＝π4时，y 取最大值5．

8．已知函数f (x )＝3tan(12x －π3)．

(1)求f (x )的定义域、值域；

(2)讨论f (x )的周期性，奇偶性和单调性．

[解析] (1)由12x －π3≠π2＋k π，k ∈Z ，

解得x ≠5π3＋2k π，k ∈Z ．

∴定义域为{x |x ≠5π3＋2k π，k ∈Z }，值域为R ．

(2)f (x )为周期函数，周期T ＝π

12

＝2π．

f (x )为非奇非偶函数．

由－π2＋k π<12x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，

解得－π3＋2k π

∴函数的单调递增区间为(－π3＋2k π，5π3＋2k π)(k ∈Z )．

C 级 能力拔高

函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2，3π2)内的图象大致是(

D )

[解析] ∵π2

时，sin x <0，tan x >0，∴y ＝tan x ＋sin x －(tan x －sin x )＝2sin x ，故选D ．

三角函数图像4：正切函数图像性质

正切函数的性质与图象 孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？ 正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示． 正切函数y ＝tan x 的图象叫做__正切曲线__． (2)性质：如下表所示. 函数 性质 y ＝tan x 定义域 ⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪ x ≠ π 2＋k π ，k ∈Z 值域 R 周期 π 奇偶性 __奇函数__ 单调性 增区间 ⎝⎛⎭ ⎫－π2＋k π，π 2＋k π(k ∈Z ) 减区间 无 [拓展](1)正切函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫ k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴．

(2)直线x ＝π 2＋k π(k ∈Z )称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线． (3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)＋b 的周期是T ＝π |ω|． [知识点拨]正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性． (2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－π2，π2)，(π2，3 2π)，…上都是 增函数． (3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－π 2， π2)∪(π2，3π 2 )∪…上是增函数． 1．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π 12，0)，则φ可以是( B ) A ．π6 B ．－π6 C ．－π12 D ．π12 2．函数y ＝2tan(12x －π 4)的最小正周期是( B ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 3．函数f (x )＝sin x tan x 是( B ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 4．比较大小：tan(－4π3)__<__tan(－11π 5)． 命题方向1 ⇨正切函数的奇偶性 典例1 试判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－2cos x ＋|tan x |； (2)f (x )＝x 2tan x －sin 2x ． [思路分析] 利用函数奇偶性的定义去判断． [解析] (1)因为该函数的定义域是{x |x ≠π 2＋k π，k ∈Z }，关于原点对称，且f (－x )＝1－ 2cos(－x )＋|tan(－x )|＝1－2cos x ＋|tan x |＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数． (2)因为函数f (x )的定义域是{x |x ≠π 2 ＋k π，k ∈Z }，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )2tan(－x )－sin 2(－x )＝－x 2tan x －sin 2x ，f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，所

正切函数的图像与性质

1.4.3 正切函数的性质与图象 整体设计 教学分析 本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法. 通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果. 由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法. 三维目标 1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力. 2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力. 3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心. 重点难点 教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用. 教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课. 思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学

正切函数的性质与图象

1．4.3正切函数的性质与图象 学习目标 1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期. 2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性. 3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．

知识点 正切函数的性质 函数y ＝tan x ⎝⎛⎭ ⎫x ∈R 且x ≠k π＋π 2，k ∈Z 的图象与性质见下表：

1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．( × ) 提示 y ＝tan x 在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π 2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan x 的图象的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )．( × ) 提示 y ＝tan x 图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫12k π，0(k ∈Z )． 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．( √ ) 4．正切函数在区间⎣⎡⎦ ⎤－π2，π 2上单调递增．( × ) 提示 正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，不能写成闭区间，当x ＝±π 2时，y ＝tan x 无意义. 题型一 正切函数的定义域、值域问题

例1 (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫ π6－x 4的定义域为________． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 答案 ⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪ ⎪ x ≠－4π 3－4k π，k ∈Z 解析 由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠－4π 3 －4k π，k ∈Z ， 即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪ x ≠－4π 3－4k π，k ∈Z . (2)求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π 3＋1的定义域和值域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域、值域 解 由3x ＋π3≠k π＋π 2，k ∈Z ， 得x ≠k π3＋π 18 ，k ∈Z ， 所以函数的定义域为⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π3＋π 18 ，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝ ⎛⎭⎫3x ＋π 3， 则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥3 4， 所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 反思感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线． (2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解． 跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ tan x ＋1≥0， 1－tan x >0， 即－1≤tan x <1. 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭ ⎫－π4，π 4.

正切函数和余切函数的图像和性质

正切函数和余切函数的图像和性质知识点： 1.正切函数和余切函数的概念； 2.正切函数与余切函数的图像和性质； 3.正切函数与余切函数性质的应用； 教学过程： 1.正切函数和余切函数的概念： （1）正切函数---形如tan =的函数称为正切函数； y x 余切函数--形如cot =的函数称为余切函数； y x 2.函数的图像和性质： （1）正切函数的图像： 见正切函数图像课件。 （2）正切函数图像： -

（3）与切函数的图像： 归纳填表格：

例1.求下列函数的周期： （1）tan(3)3y x π =-+； （2）221tgx y tg x = +； （3）cot tan y x x =-； （4）2 2tan 21tan 2 x y x = -； （5）sin 1tan tan 2x y x x ⎛ ⎫=+ ⎪⎝ ⎭ 例2.求下列函数的单调区间： （1）tan(2)24 y x π =++；

（2）tan()123x y π =-+-； （3 ）12log cot y x ⎛= ⎝ ⎭ 例3.求下列函数的定义域： （1）tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ； （2 ）y = （3 ）y = 例4.（1 ）求函数21)tan tan ]y x x =-的定义域； （2 ）解不等式：23tan (2)(3tan(2)044x x ππ +-+≤ 例5.已知2tan tan y x a x =-，当1 [0,],[0,]34x a π∈∈ 时，函数max y =a 的值；

例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈，若1212,(0,),2 x x x x π ∈≠。 求证：1212()()()22f x f x x x f ++>。

正切函数的性质与图象 教案

第五章三角函数 5.4三角函数的图象与性质 5.4.3正切函数的性质与图象 [目标]1.能够作出y ＝tan x 的图象； 2.理解并记住正切函数的性质； 3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题． [重点] 正切函数的性质． [难点]正切函数的图象、性质及其应用． 知识点一正切函数y ＝tan x 的图象 [填一填] 正切函数y ＝tan x 的图象叫做正切曲线. [答一答] 1.正切函数y ＝tan x 的图象与x ＝k π＋π 2 ，k ∈Z 有公共点吗？ 提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝k π＋π 2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成 的． 2.直线y ＝a 与y ＝tan x 的图象相邻两交点之间的距离是多少？ 提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π. 3.观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x 的集合． (1)满足tan x ＝0的集合为．{x |x ＝k π，k ∈Z } (2)满足tan x <0的集合为．{x |k π－π 20的集合为．{x |k π

知识点二正切函数y ＝tan x 的性质 [填一填] (1)定义域是．{x |x ≠k π＋π 2，k ∈Z } (2)值域是R ，即正切函数既无最大值，也无最小值． (3)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π. (4)奇偶性：正切函数是.奇函数 (5)单调性：正切函数在开区间内是增函数．(k π－π2，k π＋π 2)，k ∈Z (6)对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是，正切函数无对称轴．( k π 2 ，0)(k ∈Z ) [答一答] 4.y ＝tan x 在定义域上是增函数吗？ 提示：y ＝tan x 在每个开区间(－π2＋k π，π 2＋k π)，k ∈Z 内都是增函数，但在整个定义域 上不具有单调性． 5.正切函数图象与x 轴有无数个交点，交点的坐标为(k π，0)(k ∈Z )，因此有人说正切函数图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，这种说法对吗？ 提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(k π，0)对称，还关于点(π 2＋k π，0)(k ∈Z )对 称，因此正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π 2 ，0)(k ∈Z )． 类型一利用正切函数图象求定义域及值域 [例1] 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭ ⎫x ＋π 4；(2)y ＝3－tan x . [解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得，x ≠k π＋π 4 ，k ∈Z . 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为{x ⎪ ⎪⎭ ⎬⎫ x ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3. 结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2

三角函数的图象与性质总结

三角函数的图象与性质 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2．三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是????? ? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈， 递减区间是?? ? ?? ?+ + 2322 2πππ πk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈， 递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈， 3．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2=T ，频率是π ω 2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的 交点都是该图象的对称中心。

4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y ＝sin x 的图象向左(?＞0)或向右(?＜0＝平移｜?｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 ω 1 倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω 1 倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(?＞0) 或向右(?＜0＝平移 ω ?| |个单位，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。 5．由y ＝A sin(ωx ＋?)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y =A sin （ωx +?）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ω ? ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．． 第一个零点的位置。 6．对称轴与对称中心： sin y x =的对称轴为2 x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0) k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最 值点联系。 7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9．五点法作y =A sin （ωx +?）的简图： 五点取法是设x =ωx +?，由x 取0、2π、π、2 π 3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。 四．典例解析 题型1：三角函数的图象 例1．函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ） 解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当x ∈（0， 2 π ）时，y ＝－xc os x ＜0。答案为D 。 例2．函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）

正切函数的图像与性质

正切函数与三角函数图像的变换 一、知识梳理 （一）作tan y x =，x ∈??? ? ?- 2,2ππ的图象 y 0 说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π； （2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线”。 （3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2 x k k Z π π=+∈所隔开的 无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：； （2）值域： x 2π- 2ππ2 3 -π-π 2 π - 2 ππ2 3 O y y x x

观察：当x 从小于()z k k ∈+2 π π，2 π+π?→?k x 时，tan x ?? →+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ 2 ，ππ k x +?→? 2 时，-∞?→? x tan 。 （3）周期性：； （4）奇偶性： （5）单调性： （三）、典型例题 例1．求函数 tan(2) 3y x π =-的定义域。 变式训练： ()1 ()3tan f x x = -； ()2 2cos 1 ()tan 1 x f x x -= + 例2、探讨函数()2tan(2)3 f x x π =- 的定义域、周期性及单调区间。 变式训练：求下列函数的定义域和周期，单调区间。 （1） y=tan2x （2）y=5tan 2 x

例3、不通过求值，比较下列各组数的大小. （1） tan135°与tan138°； （2） ??? ??- 413tan π与?? ? ??-517tan π 变式训练： 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小。 （1）tan 0 138 与tan 0 143； （2）tan （—134π）与tan （—175 π ）。 当堂检测： 1、函数tan x y a =的周期是（ ） （A ）a π （B ）a π （C ） a π （D ） a π 2、下列函数中，同时满足①在（0,2 π ）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是（ ） ()tan A y x = ()cos B y x = 1 ()tan 2 C y x = ()sin D y x = 3、以下函数中，不是．．奇函数的是( ) A.y ＝sin x ＋tan x Ｂ．y ＝x tan x －1 Ｃ．y ＝ x x x cos 1tan sin +- Ｄ．y ＝lg x x tan 1tan +- 4、下列命题中正确的是( ) A ．y ＝cos x 在第二象限是减函数 Ｂ．y ＝tan x 在定义域内是增函数 Ｃ．y ＝｜cos （2x ＋ 3 π ）｜的周期是 2 π Ｄ．y ＝sin ｜x ｜是周期为2π的偶函数

正切函数图像与性质

正切函数图像与性质 正切函数图像具有以下特征： 1. 正切函数的图像是一条对称的曲线，其右半部分的负切值的图像与左半部分的正切值的图像是对称的； 2. 正切函数在每个有限点上都是单调递增或单调递减的； 3. 在正切函数的图像上存在许多切线，这些切线都是斜率为1 或-1的直线； 4. 正切函数的图像在有限点处的斜率始终为正无穷或负无穷； 5. 当x=0时，正切函数的y值为0。 正切函数在数学中是一种常用的函数，其定义域是R上的所 有实数，其值域是实数平面上的所有实数。正切函数可以表示为：y = tan(x)，也可以表示为：τ（x）= arcsin(x/r)，其中r> 0。 正切函数的图像具有以上介绍的特征，它的图像是渐近于直线的弧形，其曲线上的有限点处的斜率始终是正无穷或者负无穷，该函数的导数为一个定值，即1。正切函数的应用极其广泛， 可以应用于求反三角函数的值，解决方程，以及求解变化率等问题。 正切函数的作图过程也比较简单，首先可以根据加减性，可以将其分割为正切函数和负切函数两部分，因此可以根据函数的值进行作图。另外，由于正切函数具有特殊的性质，因此可以利用已知的部分信息来求出未知的参数。例如，由于正切函数中每隔π/2就会发生一次拐点，因此我们可以利用已知的拐点 位置，与坐标轴的垂直平分线来求出函数图像的形状。 正切函数的应用也是多种多样的，可以用于对三角形的求解以

及求出变化率等问题。而且，正切函数的应用也不仅局限于几何数学中的绘图，它的应用也是广泛的，例如在自动控制、机械工程、统计学等学科中，都可以看到它的身影。因此，学习和了解正切函数是非常必要的。

最全三角函数的图像与性质知识点总结

三角函数的图像与性质 一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质 二、正切函数的图象与性质 定义域 {|,}2 x x k k Z π π≠ +∈ 值域 R 单调性 递增区间(,)()2 2 k k k Z ππππ-+∈ 奇偶性 奇函数 对称性 对称中心：( ,0)()2 k k Z π ∈（含原点） 最小正周期 π 函数 y ＝sin x y ＝cos x 图 象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 递增区间：2,2() 2 2k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣ ⎦ 递减区间：32,2()2 2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣ ⎦ 递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) 最 值 x ＝2k π＋π 2(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π－π 2 (k ∈Z )时，y min ＝－1 x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 对称性 对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点） 对称轴：x ＝k π＋π 2 ，k ∈Z 对称中心：(k π＋π 2，0)(k ∈Z ) 对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴） 最小正周期 2π 2π

三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换 1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象 注意：定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。 2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质 （1）定义域、值域、单调性、最值、对称性： 将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性： )sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2 ππϕ±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ω π2=T 3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义 (1) A 称为振幅； (2)2T πω=称为周期； (3)1f T =称为频率； (4)x ωϕ+称为相位； (5)ϕ称为初相 (6)ω称为圆频率. 七年级英语期末考试质量分析 一、试卷分析： 本次试卷的难易程度定位在面向大多数学生。该份试卷紧扣教材，突出重点，注重对基础知

完整版)最全三角函数的图像与性质知识点总结

完整版)最全三角函数的图像与性质知识 点总结 三角函数的图像与性质 一、正弦函数、余弦函数的图像与性质 正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是闭区间[-1,1]。正弦函数在2kπ-π≤x≤2kπ和2kπ+π≤x≤2(k+1)π这两个区间内递增，在其余区间内递减；余弦函数在 2kπ≤x≤2kπ+π和2kπ+π≤x≤2(k+1)π这两个区间内递减，在其余区间内递增。正弦函数是奇函数，对称中心为(kπ,0)(k∈Z)，最大值为1，最小值为-1；余弦函数是偶函数，对称中心为(kπ+,0)(k∈Z)，对称轴为x=kπ，最大值为1，最小值为-1.它们的最小正周期均为2π。 二、正切函数的图像与性质

正切函数的定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域为实数集R。在kπ-π/2

正切函数的性质和图像优秀教案

§1.4正切函数的性质与图像（一） 一、教材分析: ①课时：第1课时 ②课型：探究课 ③教材的地位和作用：正切函数性质、图像是在研究正余弦函数图象、性质的基础上，通过数形结合，由形到数，先研究正切函数的性质，再研究正切函数的图象，在根据图象回到性质，因此是对数形结合思想的完善，也是对三角函数图象性质的完善，在本小节学习中起到总结归纳的作用. 二、教学目标 ① 掌握正切函数的性质，能用三角函数的定义、正切线、诱导公式抽象出正切函数函数的定 义域、奇偶性、 周期性、单调性、值域，体会数学抽象的核心素养； ② 掌握正切函数的图象，能根据正切函数的性质，预测正切函数的图象，体会直观想象的核心素养；能 根据正切函数的图象和性质解决相应问题，体会数学运算的核心素养； ③ 掌握研究函数的基本方法——数形结合、由数到形、由形到数，体会逻辑推理的核心素养； 三、教学重难点 教学重点：①利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质； ②根据性质探究正切函数的图象. 教学难点：利用正切函数的性质画出其图像. 四、教学过程 1．情景引入 视频播放：展示获得2.3万次点赞量的“函数操”. [设计意图：激发学生学习的兴趣，感受学习函数带来的乐趣.] 2．复习回顾 引入新课： 师：根据正弦函数y=sinx 的图象研究了正弦函数y=sinx 的哪些性质？ 生（师）：定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性 思考：①正切函数y=tanx 的定义域、周期、奇偶性、单调性、值域分别是什么？ ②能否根据这些性质绘制正切函数y=tanx 的图象？ 师：定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性（板书） 生：思考、茫然…… 3.新课学习：探究（一） 正切函数的性质 （1）、函数tan y x =的定义域： 定义域：⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧ ∈+ ≠Z k k x x ,2ππ，（即：终边不能在y 轴上）. [说明：坐标系以虚线的形式呈现直线,22 x x ππ = =-……等、即正切函数的渐近线.]

(完整word)必修四正切函数的性质与图象(附答案)

正切函数的性质与图象 ［学习目标］ 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2。能利用正切函数的图象及性质解决有关问题． 知识点一正切函数的图象 1．正切函数的图象: 2．正切函数的图象叫做正切曲线． 3．正切函数的图象特征： 正切曲线是被相互平行的直线x＝错误!＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的． 思考我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图,你能类似地画出函数y＝tan x，x∈［－错误!，错误!]的简图吗？怎样画． 答案能．找三个关键点:(错误!，1），(0,0）,(－错误!，－1)，两条平行线：x＝错误!，x＝－错误!. 知识点二正切函数图象的性质 1．函数y＝tan x（x∈R且x≠kπ＋错误!,k∈Z）的图象与性质见下表： 解析式y＝tan x 图象 定义域{x|x∈R，且x≠kπ＋错误!，k∈Z｝ 值域R

周期π 奇偶性奇 单调性在开区间错误!(k∈Z)内都是增函数 2.函数y＝tan ωx（ω≠0）的最小正周期是错误!。 思考正切函数图象是否具有对称性？如果具有对称性，请指出其对称特征． 答案具有对称性，为中心对称，对称中心为（错误!，0），k∈Z。 题型一正切函数的定义域 例1 (1）函数y＝tan(sin x)的定义域为 ,值域为．答案R[tan（－1），tan 1］ 解析因为－1≤sin x≤1， 所以tan(－1)≤tan(sin x)≤tan 1， 所以y＝tan（sin x）的定义域为R， 值域为［tan（－1），tan 1]． （2）求函数y＝tan(2x－错误!）的定义域． 解由2x－错误!≠错误!＋kπ,k∈Z得，x≠错误!π＋错误!kπ， 所以y＝tan（2x－错误!)的定义域为｛x|x≠错误!＋错误!kπ，k∈Z｝． 跟踪训练1 求函数y＝错误!＋lg（1－tan x)的定义域． 解由题意得错误! 即－1≤tan x〈1. 在错误!内，满足上述不等式的x的取值范围是错误!. 又y＝tan x的周期为π，

正切函数的图像和性质

学科：数学 教学内容：正切函数的图像和性质 【基础知识精讲】 1.正切函数的图像 (1)根据tan(x+π)= ==tanx (其中x≠kπ+,k∈Z)推出正切函数的周期为π. (2)根据tanx=,要使tanx有意义，必须cosx≠0, 从而正切函数的定义域为{x｜x≠kπ+,k∈Z} (3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x∈(-,).利用单位圆中的正切线，通 过平移，作出y=tanx,x∈(-,)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x≠kπ+ (k ∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示. y=tanx

2.余切函数的图像如下： y=cotx 3.正切函数、余切函数的性质： {x｜x∈R且x≠kπ+,k∈Z} {x R R 每个区间(kπ-,kπ+) 上递增(k∈Z) 每个区间递减 注：正切函数在每一个开区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)内是增函数，但不能说成在整个定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此. 【重点难点解析】 本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切 线作.因y=tanx定义域是{x｜x∈R,x≠kπ+,k∈Z}，所以它的图像被平行线x=kπ+ (k ∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的. 1.正切函数应注意以下几点：

(1)正切函数y=tanx的定义域是{x｜x≠kπ+,k∈Z},而不是R，这点要特别注意：(2)正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(kπ-,kπ+)（k∈Z）上是连续的； (3)在每一个区间(kπ-,kπ+)（k∈Z）上都是增函数，但不能说正切函数是增函数. 2.解正切不等式一般有以下两种方法： 图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域. 例1作出函数y=｜tanx｜的图像，并根据图像求其单调区间. 分析：要作出函数y=｜tanx｜的图像，可先作出y=tanx的图像，然后将它在x轴上方的图像保留，而将其在x轴下方的图像向上翻(即作出关于x轴对称图像)，就可得到y=｜tanx｜的图像. 所以其图像如图所示，单调增区间为［kπ,kπ+(k∈Z);单调减区间为kπ-,k π］(k∈Z). 说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx｜的最小正周期为π.一般地，y=A｜tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期相同，均为. 例2求函数y=lg(tanx-)+的定义域.

第四讲 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(解析版)

第四讲 正弦、余弦和正切函数的图像与性质 知识提要 1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2 ， －1)，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π 2 ， 0)，(2π，1)． 2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 图象 定义域 R R {x |x ∈R 且x ≠π 2＋k π， k ∈Z } 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 [-π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上递增； [π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上递减 [-π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增； [2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减 (-π2＋k π，π 2＋k π) (k ∈Z )上递增 最值 x ＝π 2 ＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝－π 2 ＋2k π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1 x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0)(k ∈Z ) (π 2 ＋k π，0) (k ∈Z ) (k π 2 ，0)(k ∈Z ) 对称轴方程 x ＝π 2 ＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z ) 周期 2π 2π π ※ 学习评价 1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期． ( √ ) (2)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数． ( × ) (3)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数． ( × )

最新人教A版高中数学必修一第五章三角函数第4节三角函数的图象与性质第3课正切函数的性质与图象

5．4.3 正切函数的性质与图象 教材要点 要点 函数y ＝tan x 的图象和性质 y ＝tan x ______________ 如何作正切函数的图象 (1)几何法 就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐． (2)“三点两线”法 “三点”是指⎝⎛⎭⎫－π4，－1 ，(0，0)，⎝⎛⎭⎫π4，1 ；“两线\”是指x ＝－π2 和x ＝π 2 .在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π 2 上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线． 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.( ) (4)函数y ＝tan x 为奇函数，故对任意x ∈R 都有tan (－x )＝－tan x ．( )

2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π 4 的定义域是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4 B ．⎩⎨⎧ ⎭⎬⎫x ⎪ ⎪x ≠π4 C ．⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈Z D ．⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪ ⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z 3．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π 3 ，则函数f (x )的最小正周期为( ) A ．π 4 B ．π 2 C ．π D ．2π 4．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”) 正切函数的定义域、周期性、奇偶性 例1 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ 12x ＋π3 的最小正周期为( ) A ．π4 B ．π2 C ．π D ．2π (2)函数f (x )＝x ·tan x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 (3)函数y ＝tan x －1 tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 的定义域为________________． 方法归纳 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π 2 ＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用正切函数 的图象求解． (2)一般地，函数y ＝A tan (ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝ π |ω| ，常利用此公式来求与正切函