正切函数和余切函数的图像与性质(二)(学生版)

年级：高一辅导科目：数学课时数：课题正切函数和余切函数的图像与性质

1、让学生掌握正切函数的图像，性质

教学目的

2、熟练求出正切函数的周期，单调区间等

教学内容

【知识梳理】

正切函数y tan x x R ，且 x k k z 的图象，称“正切曲线”

2

余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的图象（余切曲线）

正切函数的性质：

1．定义域：x | x k , k z ，

2

2．值域： R

3．当xk , k k z 时y0 ，当x k, k k z 时y 0

22

4．周期性：5．奇偶性：T

tan x tan x 奇函数

6．单调性：在开区间k ,k k z内，函数单调递增

22

余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的性质：

1．定义域：x R且x k , k z

2．值域： R，

3．当 xk , k k z 时 y 0 ，当 x k

, k k z 时 y 0

2

2

4．周期： T

5．奇偶性：奇函数

6．单调性：在区间

k , k 1

上函数单调递减

【典型例题分析】

例 1、用图象解不等式

tan x 3 。

变式练习： tan x

1。

例 2、作出函数 y

tan x , x 0,2 且 x ,

3

的简图

1 tan

2 x

2 2

例 3、求下列函数的定义域。

cot x cot x csc x

1、 y

2、 y

tan x

1

变式练习：求下列函数的定义域。

（1）y cos x tan x；

（2）

y log2 (cot x1)

1

（ 3）y

1 tan x

例 4、求函数y tan 3x的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性

3

变式练习：画出函数y cot( x)tan x 的图像，并指出其定义域，值域，最小正周期和单调区间。

2

例5、

（ 1）求y tan2 x 4tan x1的值域；

（ 2）若x,时，y k tan(2x) 的值总不大于零，求实数k 的取值范围。

633

变式练习：求函数 y tan2x tan x 1

的最大值、最小值，并求函数取得最大值最小值时自变量x 的集合。

tan2x tan x1

例 6、判断下列函数的奇偶性。

（ 1）x tan 2 x x4

tan 2x tan x

（ 2）y

tan x

1

【课堂小练】

1、利用单位圆中的三角函数线：

（ 1）证明当0＜ x＜时tanx＞ x，（ 2）解方程tanx＝ x，（－＜ x＜）．

222

2、已知 f(x)=tanx，对于 x1，x2∈（ 0，）且 x1≠ x2试证f (x1)

f ( x2 ) f (

x

1

x

2)

222 3、求函数 y＝ tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π ，π］内的图象

【课堂总结】

1、函数y A tan( x)(0) 的性质小结：

（ 1）函数y A tan(x)(0)的最小正周期是 T；（ 2）函数y A tan(x)(0) 的单调区间的确定：

由k

2x k

2

解得 x 的范围，即为所求单调区间，若0 则由诱导公式转换后再求解。

（ 3）函数y A tan(x)(0)的单调区间由 A 决定。 A>0 则为增区间， A<0 则为减区间。

2、求下列两类函数的值域的求法

（ 1）y A tan( x), x D

先求 x的取值范围，再根据函数y tan x 的单调性求出值域；

（ 2）y f (tan x), x D

令 t tan x, x D 先求出t的范围 D,再求y f (t), t D 的值域。

11

【课后练习】

1、函数 y＝log 1 tan x 的定义域是()

2

A ｛ x｜ 0＜x≤）

B ｛ x｜ 2kπ＜ x≤ 2kπ＋， k∈Z

44

C ｛ x｜ kπ＜ x≤ kπ＋， k∈Z

D ｛ x｜ kπ－＜ x≤ kπ＋， k∈Z

424

2、求函数 y＝cot xsin x 的定义域

3、如果 α 、 β ∈ ( ， π )且 tan α＜ cot β ，那么必有 (

)

2 A α ＜β

C α ＋β ＜

B β ＜ α

3 D α＋ β ＞

3

2

2

4、函数 y ＝ lg(tan x)的增函数区间是 (

)

A (k π －

， k π ＋ )( k ∈ Z )

B (k π ， k π＋

)(k ∈ Z )

2 2

2

C (2k π － ， 2k π ＋ )(k ∈ Z )

D (k π ， k π ＋π )( k ∈Z )

2

2

5、试讨论函数 y ＝log a tanx 的单调性

6、已知函数 y 3tan(

x

) b, x [0, ] 是增函数，值域为 [ 2 3,0] ，求 a,b 的值。 a

3

3

高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质

高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质 一、正弦函数的图象与性质 1、正弦函数图象的作法： （1）描点法：关键是选定一个周期，把这个周期分成四等份，根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点，确定函数图象的大致形状； （2）几何法：一般是用三角函数线来作出图象。 注意：①的图象叫正弦曲线；②作图象时自变量要用弧度制；③在对精确度要求不太高时，作的图象一般使用“五点法”。 2、正弦函数的性质 （1）定义域为，值域为； （2）周期性：正弦函数具有周期性，这可由诱导公式来推导，其最小正周期是。函数 的最小正周期是； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在每一个闭区间，上为增函数，在每一个闭区间，上为减函数。 3、周期函数 函数周期性的定义：对于函数y＝，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数y＝就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数y＝的最小正周期。 4、关于函数的图象和性质 （1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；

（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是函数的半个周期； （3）函数取最值的点与其相邻的与x轴的交点间的距离为函数的个周期。 5、正弦型图象的变换方法 （1）先平移后伸缩 的图象 的图象 的图象 的图象 的图象。 （2）先伸缩后平移 的图象 的图象 的图象 的图象 的图象。 二、余弦函数、正切函数的图象与性质 1、余弦函数的图象和性质 （1）由函数可知，用平移变换法可以得到余弦函数的图象，也可以使用“五点法”得到，同时还要学会用这两种方法画出函数的图象。

6.2正切函数的图像与性质(2)教案

6.2正切函数的图像与性质（2）（教案）教学目的：1、熟练掌握正切函数的图像和性质 2、掌握正切函数的图像与性质的简单应用 教学重点：正切函数的图像和性质的应用 教学过程： （一）、引入 一、双基回顾： 1、正切函数的图像与性质： 2、余切函数的图像与性质：

（二）、新课 一、典型例题 例1、求函数x y tan 11 += 的定义域 解：由?????∈+≠-≠)(21tan Z k k x x π π 得??? ???? ∈+≠-≠)(24 Z k k x k x ππππ 所以定义域为},2 ,4 |{Z k k x k x x ∈+ ≠- ≠π ππ π 例2、求下列函数的最小正周期（1）2tan 12tan 22x x y +=；（2）2 tan 12tan 22 x x y -= 解：（1）x y sin =，定义域},2|{Z k k x x ∈+≠ππ，所以周期π2 （2）x y tan =，定义域},2,2 |{Z k k x k x x ∈+≠+≠πππ π，所以周期π2 例3、已知函数)3 tan(2)(π - =nx x f 的最小正周期T 满足2 31<

6.2 正切函数的图像与性质

6.2 正切函数的图像与性质 正切函数图像 （余切函数的图像）

例1．求函数 tan(2) 3y x π =-的定义域、周期和单调区间。 例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小： （1） 与 ； （2） 与． 例3. 求函数?? ? ? ?+ =4tan πx y 的定义域． 例4 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小： （1） 167tan 与 173tan ； （2）??? ??-π411tan 与?? ? ??-π513tan ．

例5．若tan α＝3 2 ，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。 例6．化简： ()()()()() πααπαπαπαπ---+-+-tan 3tan tan 3tan 2tan 【当堂训练】 一、选择题 1、下列不等式中，正确的是 ( ) A ． tan 74π＞tan 7 3π B ． tan(- 413π)＞tan(-5 12 π) C ． tan 4＜tan3 D ． tan281°＞tan665° 2、下列命题中正确的是 ( ) A ． x y tan =在第一象限单调递增． B ． 在x y tan =中，x 越大，y 也越大 C ． 当x ＞0时，x tan ＞0． D ． x y tan =的图象关于原点对称 3、若βαππβα2 2tan tan ),2 3,(,>∈且，则 （ ） A ．α<β B ．α>β C ．α+β>3π D ．α+β<2π 4、直线y = a （a 为常数）与y = tan ωx （ω>0）的相邻两支的交点距离为 （ ） A ．π B ． ω π C ．ωπ2 D ．与a 有关的值 5、在下列函数中，同时满足的是 （ ） ①在(0， 2 π )上递增 ②以2π为周期 ③是奇函数 A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan 2 1 x D ．y ＝－tan x 6、在区间（－π23，π2 3 ）内，函数x y tan =与函数x y sin =图象交点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 二、填空题 1、使函数y=tanx 和y=sinx 同时为单调递增函数的区间是 ． 2、函数y=3tan( 21x 4 π -)的定义域是 ，值域是 ． 3、函数y=3tan(2x + 3 π )的对称中心的坐标是 ．

高数—10春—07—正切函数图像及其性质—-学生版

高一数学春季班（学生版）

1、角的正切线： 2、正切函数的图像： 可选择⎪⎭⎫ ⎝ ⎛- 2,2ππ的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈， 且()2 x k k Z π π≠+ ∈的图像，称“正切曲线”. 由正弦函数图像可知： （1）定义域：{|()}2 x x k k Z π π≠+∈， （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2 π π，2 π +π−→−k x 时，tan x →+∞ 当x 从大于 ()z k k ∈+ππ 2 ，ππ k x +−→ −2 时，tan x →-∞. x y 2π - 2 πy 2 π- π2 3 π2 3-2 πx 正切函数的图像与性质 知识梳理

（3）周期性：T π= （4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数 （5）单调性：在开区间(, ),2 2 k k k Z π π ππ- ++∈内，函数单调递增. （6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ 3、 余切函数的图象： ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ --=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2tan 2tan cot ππx x x y 即将x y tan =的图象，向左平移 2 π 个单位，再以x 轴为对称轴上下翻折，即得x y cot =的图象 由余弦函数图像可知： （1）定义域：{|()}x x k k Z π≠∈， （2）值域：R （3）周期性：T π= （4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数 （5）单调性：在开区间(,),k k k Z πππ+∈内，函数单调递增. （6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭

三角函数的正切与余切关系解析

三角函数的正切与余切关系解析三角函数是数学中重要的概念之一，其中正切和余切是相互关联的两个函数。在本文中，我们将详细解析正切和余切的关系及其相关性质。 一、正切与余切的定义 正切函数（tangent function）和余切函数（cotangent function）是三角函数中的两个重要函数。在单位圆上，这两个函数与正弦和余弦函数之间存在一定的关系。 正切函数定义如下： tan(x) = sin(x) / cos(x) 余切函数定义如下： cot(x) = 1 / tan(x) = cos(x) / sin(x) 其中，x为角度值或弧度值，sin(x)代表正弦函数值，cos(x)代表余弦函数值。 二、正切与余切的性质 1. 定义域和值域： 正切函数和余切函数的定义域为x ≠ (2k + 1)π/2 (k为整数)，即除去所有以π/2为倍数的点。 正切函数的值域为R，即所有实数。

余切函数的值域也为R，即所有实数。 2. 奇偶性： 正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。 余切函数是奇函数，即cot(-x) = -cot(x)。 3. 周期性： 正切函数和余切函数的周期都是π，即tan(x + π) = tan(x)，cot(x + π) = cot(x)。 4. 正切和余切的关系： 由正弦和余弦函数定义可得，tan(x) = sin(x) / cos(x)，cot(x) = cos(x) / sin(x)。 这意味着正切和余切是正弦和余弦的倒数关系。 5. 正切和余切的图像： 正切函数和余切函数的图像都是无界的，并且在定义域内具有周期性。 三、正切与余切的应用 正切与余切在数学和科学中有广泛的应用，以下是其中一些重要应用： 1. 三角方程的求解：

正切余切函数图像和性质

例1用五点法作下列函数的图象 (1)y=2-sinx，x∈[0，2π] 解 (1)(图2-14) (2)(图2-15) 描点法作图： 例2求下列函数的定义域和值域． 解 (1)要使lgsinx有意义，必须且只须sinx＞0，解之，得 2kπ＜x＜(2k+1)π，k∈Z． 又∵0＜sinx≤1，∴-∞＜lgsinx≤0．

∴定义域为(2kπ，(2k+1)π)(k∈Z)，值域为(-∞，0]． 的取值范围，进而再利用三角函数线或函数图象，求出x的取值范围。利用单位圆(或三角函数图象)解得 (2)由读者自己完成，其结果为 例4 求下列函数的最大值与最小值：

(2)y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2 ∵sinx∈[-1，1]， 例5 求下列函数的值域．

∵|cosx|≤1 ∴cox2x≤1 说明上面解法的实质是从已知关系式中，利用|cosx|≤1消去x，从而求出y的范围． 例6 比较下列各组数的大小． 分析化为同名函数，进而利用增减性来比较函数值的大小． 解 (1)sin194°=sin(180°+14°)=-sin14° cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=-sin70° ∵0＜14°＜70°＜90°，

∴sin14°＜sin70°，从而 -sin14°＞-sin70°，即sin194°＞cos160°． 而y=cosx在[0，π]上是减函数， 故由0＜1.39＜1.47＜1.5＜π可得 cos1.5＜cos1.47＜cos1.39 例7 求下列函数的单调区间 解(1)设u=2x 当u∈[(2k-1)π，2kπ](k∈Z)时，cosu递增； 当u∈[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)时，cosu递减．

高中数学 第一章 基本初等函数(II)1.3 三角函数的图象与性质 1.3.2 余弦函数正切函数的图

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 课堂导学 三点剖析 一、图象问题 余弦函数的图象可以由正弦函数的图象平移得到,也可以仿照正弦函数图象的作法,使用“五点法”;正切函数的图象是由单位圆中的正切线作出的,即几何法.正切函数的图象不连续,只在区间(kπ-2π,kπ+2 π )上有图象,正切函数图象关于中心对称,对称中心是( 2 π k ,0),k∈Z . 【例1】 用“五点法”画下列函数的简图. y=-cosx,x∈［0,2π］. 画法一:按五个关键点列表: x 0 2 π 3 π 2 3π 2π Cosx 1 0 -1 0 1 -cosx -1 1 -1 描点画图(如图所示): 画法二:先用五点法画y=cosx 的图象,再作它关于x 轴的对称图形.图象如上图. 温馨提示 类似于正弦函数,也可以由y=cosx 变换为y=Acos(ωx+φ),x∈R ,并讨论其周期性,单调性,奇偶性等. 各个击破 类题演练 1 作出函数y=tan( 3 2π -x )在一个周期内的图象是( )

解析:首先函数的周期为2π,可排除B,D,其次当x=3 π -时,函数无意义,又可排除C. 答案:A 变式提升 1 在区间(23π- ,2 3π)范围内,函数y=tanx 与函数y=sinx 的图象交点的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解法一:在同一坐标系中,首先作出y=sinx 与y=tanx 在(-2π,2 π )内的图象,需明确x∈(0, 2 π )时,有sinx

正切余切图像地性质反三角函数

正切、余切函数图象和性质反三角函数 [知识要点]1．正切函数、余切函数的图象与性质2．反三角函数的图象与性质3．三角函数值求角[目的要求]1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同X围内的角. [重点难点]1．正切函数图象与性质2．三角函数值求角[内容回顾]一、正切函数与余切函数图象由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性〞.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点与两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函 数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法〞. 假如想迅速作出余切函数y=cotx 的图象，如何选择“三点〞与“两线〞呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质由图象可得: y=tanx y=cotx 定义域 值域R R 单调性 在上单减(k∈Z) 在上单增(k∈Z) 周期性T=π T=π

对称性 10对称中心，奇函数(k∈Z) 20对称轴；无10对称中心，奇函数(k∈Z) 20对称轴；无 注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个连续点〔不连续点〕. 2、每个单调区间一定是连续的. 3、由单调性可解决比拟大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的X围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的X围应该〔1〕离原点较近；〔2〕包含所有的锐角；〔3〕能取到所有的函数值；〔4〕最好 是连续区间.从这个原如此出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]， 称为反余弦函数. y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数. y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数. 2．反三角函数的图象由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象.

《余弦函数、正切函数的图像与性质》教案2

《余弦函数、正切函数的图像与性质》教案2 一、教学目标 知识与技能 1.学会利用平移变换的方法和五点作图法作出余弦函数的图象。 2.根据余弦函数图象的特征，结合正弦函数的性质学习余弦函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。 过程与方法 1.让学生进一步学会作图。 2.引导学生利用类比的思想分析同类函数的图象与性质。 3.培养学生独立研究问题，提炼性质的能力。 情感态度与价值观 1.渗透数形结合的数学思想。 2.培养学生静与动的辨证思想。 3.培养学生欣赏数学美的素质。 二、教学重、难点 重点：本节内容旨在利用正弦函数的特征来学习余弦函数的图象、性质，引导学生学会应用旧知解决新问题。 难点：从正弦函数到余弦函数的变换；学生自主探究余弦函数性质。 三、教学方法 结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，让学生自主地去探求知识。适当借助多媒体等教学辅助手段。 四、课时 2课时 五、教学过程 第1课时 教学 教学内容师生互动设计意图 环节

复习引入1、正弦函数的图象——解决的方法：用 单位圆中的正弦线（几何画法）。 2、“五点描图法”作图。 3、) 2 sin( cos π + =x x 1、教师提问，学生 回答； 2、学生在草稿纸上 推理。 1、引导学生复 习巩固“五点描 图法”作图； 2、回顾诱导公 式； 3、回顾平移。 概1、利用五点描图法画出 ] 2,0[ ), 2 sin(π π ∈ + =x x y的图 象。 2、图象向两边延伸 于是得到余弦函数的图象。余弦函 数x y cos =的图象叫做余弦曲线。 通过观察图象，我们不难发现，起 着关键作用的点是五个点：(0，1)，( 2 π ， 0)、(π，－1)，( 2 3π ，0)，(2π，1). 3、类比正弦函数的性质及余弦函数的图 象，得余弦函数图象的性质： (1) 定义域：y=cos x的定义域为R 1、学生自己动手 描点作图，请1到 两个学生到黑板上 演排； 2、引导学生观察图 形的特征，并提炼 出特征； 1、培养学生动 手作图的能力； 2、培养学生观 察能力和总结 问题的能力；

三角函数公式图像大全2

初等函数的图形幂函数的图形

指数函数的图形

各三角函数值在各象限的符号 sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα

三角函数的性质函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R ｛x｜x∈R且 x≠kπ+ 2 π ,k∈ Z｝ ｛x｜x∈R且 x≠kπ,k∈Z｝值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时 y max=1 x=2kπ- 2 π 时y min=-1 ［-1,1］ x=2kπ时 y max=1 x=2kπ+π时 y min=-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 单调性 在［2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ］ 上都是增函数；在 ［2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π］ 上都是减函数(k∈Z) 在［2kπ-π， 2kπ］上都是增 函数；在［2kπ， 2kπ+π］上都是 减函数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ， kπ+ 2 π )内都是 增函数(k∈Z) 在(kπ，kπ+π) 内都是减函 数(k∈Z) 反三角函数的图形

反三角函数的性质 名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数 定义y=sinx(x∈ 〔- 2 π , 2 π 〕的反 函数，叫做反正 弦函数，记作 x=arsiny y=cosx(x∈ 〔0,π〕)的反函 数，叫做反余 弦函数，记作 x=arccosy y=tanx(x∈(- 2 π , 2 π )的反函数，叫 做反正切函数，记 作x=arctany y=cotx(x∈ (0,π))的反函 数，叫做反余切 函数，记作 x=arccoty 理解arcsinx表示属于 ［- 2 π , 2 π ］ 且正弦值等于x 的角 arccosx表示 属于［0，π］， 且余弦值等于 x的角 arctanx表示属于 (- 2 π , 2 π )，且正切 值等于x的角 arccotx表示属 于(0，π)且余切 值等于x的角

【自主预习】FY2022寒假高一必修二数学讲义-第8讲 正切函数图像及其性质(学生版)

第8讲 正切函数图像及其性质 1、正切函数的图像： 可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈， 且()2 x k k Z π π≠+ ∈的图像，称“正切曲线”. 由正弦函数图像可知： （1）定义域：{|()}2 x x k k Z π π≠+∈， （2）值域：R 观察：当x 从小于，时，tan x →+∞ 当x 从大于 ，时，tan x →-∞. （3）周期性：T π= （4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数 （5）单调性：在开区间(, ),22 k k k Z π π ππ- ++∈内，函数单调递增. （6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ 2、 余切函数的图象： ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛- 2,2ππ()z k k ∈+2 π π2 π +π−→−k x ()z k k ∈+ππ 2 ππ k x +−→ −2 x y y x

⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ - - = ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ - = = 2 tan 2 tan cot π π x x x y 即将x y tan =的图象，向左平移 2 π 个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得x y cot =的图象 由余弦函数图像可知： （1）定义域：{|()} x x k k Z π ≠∈， （2）值域：R （3）周期性：Tπ = （4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数 （5）单调性：在开区间(,), k k k Z πππ +∈内，函数单调递增. （6）中心对称点：,0, 2 k k Z π ⎛⎫ ∈ ⎪ ⎝⎭ 考点一:正切函数的图像 例1．（2020·全国高一课时练习）设函数()tan 33 x f x π ⎛⎫ =- ⎪ ⎝⎭ . （1）求函数f(x)的最小正周期､对称中心； （2）作出函数f(x)在一个周期内的简图. 例2．（2020·全国高一课时练习）已知函数 ()sin cos x f x x =． （1）求函数() f x的定义域； （2）用定义判断函数() f x的奇偶性； （3）在[],ππ -上作出函数() f x的图象．

正切函数图象

正切函数 (1)根据tan(x+π)=)cos()sin(ππ++x x =x x cos sin --=tanx (其中x ≠k π+2π ,k ∈Z)推出正切函数的周期为π. (2)根据tanx=x x cos sin ,要使tanx 有意义，必须cosx ≠0, 从而正切函数的定义域为{x ｜x ≠k π+2π ,k ∈Z} (3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x ∈(-2π,2π ).利用单位圆中的正切线，通 过平移，作出y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x ≠k π+2π (k ∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如下图. y=tanx 2.余切函数的图像如下： y=cotx 3.正切函数、余切函数的性质： 正切函数y=tanx 余切函数y=cotx

注：正切函数在每一个开区间(k π-2,k π+2)(k ∈Z)内是增函数，但不能说成在整个 定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此. 【重点难点解析】 本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切 线作.因y=tanx 定义域是{x ｜x ∈R,x ≠k π+2π,k ∈Z}，所以它的图像被平行线x=k π+2π (k ∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的. 1.正切函数应注意以下几点： (1)正切函数y=tanx 的定义域是{x ｜x ≠k π+2π ,k ∈Z},而不是R ，这点要特别注意：(2) 正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(k π-2π,k π+2π )(k ∈Z)上是连续的；(3) 在每一个区间(k π-2π,k π+2π )(k ∈Z)上都是增函数，但不能说正切函数是增函数. 2.解正切不等式一般有以下两种方法： 图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域. 例1 作出函数y=｜tanx ｜的图像，并根据图像求其单调区间. 分析：要作出函数y=｜tanx ｜的图像，可先作出y=tanx 的图像，然后将它在x 轴上方的图像保留，而将其在x 轴下方的图像向上翻(即作出关于x 轴对称图像)，就可得到y=｜tanx ｜的图像. 解：由于y=｜tanx ｜= tanx,x ∈Z ［k π,k π+2π ］ -tanx,x ∈(k π-2π ,k π)(k ∈Z) 所以其图像如下图，单调增区间为［k π,k π+2π)(k ∈Z);单调减区间为(k π-2π ,k π］ (k ∈Z).

高中第一册(下)数学正切函数的图象和性质(2)

正切函数的图象和性质〔2〕 教学目的：1.掌握正切函数的性质； 2.掌握性质的简单应用； 3.会解决一些实际问题. 教学重点：正切函数的性质的应用. 教学难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题. 教学过程： 一、复习引入： 正切线： 正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线〞 余切函数y ＝cotx ，x 正切函数的性质： 1．定义域：⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ ， 2．值域：R z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0

6.单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++- ππππ2,2内，函数单调递增. 余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k π+π)，k ∈Z 的性质： 1．定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且 2．值域：R ， 3．当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝ ⎛ +∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0

【学生版本】11---正切函数的图像和性质 -

第11课 正切函数的图像和性质 【教学目标】 （1）掌握正切函数的图象和性质； （2）掌握正切函数的图象是中心对称图形等重要的题型、考点、易错点。 【教学重难点】 掌握正切函数的图象和性质、题型。 【学法与考点】 （ 我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。 【知识梳理】 1． 正切函数的定义： 在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠ 2 π ＋kπ(k ∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值a b 是角α的函数，我们把它叫作角 α的正切函数，记作y ＝tanα，其中α∈R ，α≠2 π ＋kπ，k ∈Z. 比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝ααcos sin (α∈R ，α≠2 π ＋kπ，k ∈Z). 由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为 三角函数。 【正切线的简介】 、 下面，我们给出正切函数值的一种几何表示. 如右图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A （1 ,0），任意角α ： 的终边与单位圆交于点P ，过点A （1 ,0）作x 轴的垂线，与角 的终边或终边的延长线相交于T 点。从图中可以看出： T 210 30

当角α位于第一和第三象限时，T 点位于x 轴的上方； 当角α位于第二和第四象限时，T 点位于x 轴的下方。 分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT 的值相等。因此，我们称有向线段AT 为角α的正切线。 2．正切函数的图象： （1）首先考虑定义域：()z k k x ∈+≠2 π π （2）为了研究方便，再考虑一下它的周期： * ()()()⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∈+≠∈=--=++= +z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且 ∴⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛∈+ ≠∈=z k k x R x x y ,2,tan π π且的周期为π=T （最小正周期） （3）因此我们可选择⎪ ⎫ ⎛-,ππ的区间作出它的图象。 ， } 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ， 且x +≠π 2 P