专题38 正切函数的图像和性质考点1 正切函数的图像
1.如下图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π
2且x≠π
2
)的图象是()
A．B．C．D．【答案】C
【解析】∵y＝cos x|tan x|＝
{sinx,0≤x＜π
2
,
−sinx,π
2
＜x≤π
sinx,π＜x＜3π
2.，
∴函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π
2且x≠π
2
)的图象是C.
2.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间(π
2,3π
2
)内的图象是()
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当π
2
＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；
当x＝π时，y＝0；当π＜x＜3π
2
时，tan x＞sin x，y＝2sin x.故选D.
3.函数f(x)＝tan x＋1
tanx ，x∈{x|−π
2
2 }的图象为() A．B．C．D．【答案】A 【解析】因为y＝tan x是奇函数，所以f(x)＝tan x＋1 tanx ，x∈{x|−π 2 π2}是奇函数，因此B，C不正确，又因为f(x)＝tan x＋1 tanx ，0＜x＜π 2 时函数为正数，所 以D不正确，A正确. 4.函数y＝sin x与y＝tan x的图象在(－π 2，π 2 )上的交点的个数为() A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】∵sin x＜x＜tan x，x∈(0，π 2 )， ∴在(0，π 2 )上无交点， 又它们都是奇函数，故在(－π 2 ，0)上无交点，观察图象知两个函数的图象有1个交点. 5.已知函数f(x)＝A tan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π 2)，y＝f(x)的部分图象如图，则f(π 24 )等于 () A．2＋√3B．√3C．√3 3 D．2－√3【答案】B 【解析】由图象知π ω＝2×(3π 8 −π 8 )＝π 2 ，ω＝2.又由于2×π 8 ＋φ＝kπ＋π 2 (k∈Z)，φ＝kπ＋ π4(k∈Z)，又|φ|＜π 2 ，所以φ＝π 4 .这时f(x)＝A tan(2x+π 4 ).又图象过(0,1)，代入得A＝1， 故f(x)＝tan(2x+π 4).所以f(π 24 )＝tan(2×π 24 +π 4 )＝√3，故选B. 6.下列图象分别是函数①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈(－3π 2 ，3π 2 )内的大致图象.那么图a、b、c、d依次对应的函数关系式应是() A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③ 【答案】D 【解析】y＝tan(－x)在(－π 2，π 2 )内是减函数，故选D. 7.函数y＝tan(π 4x－π 2 )的部分图象如图所示，则△AOB的面积等于() A．1 B．2 C．4 D．9 2【答案】A 【解析】函数的周期T＝π π 4 ＝4，则A(2,0)， ∴△AOB的面积S＝1 2 ×2×1＝1. 8.使不等式tan x≥√3成立的x的集合为() A．(kπ＋π 6，kπ＋π 2 )(k∈Z) B．[kπ＋π 6，kπ＋π 2 )(k∈Z) C．[kπ＋π 3，kπ＋π 2 )(k∈Z) D．(kπ＋π 3，kπ＋π 2 )(k∈Z) 【答案】C 【解析】∵不等式tan x≥√3， 由正切函数的性质可得kπ＋π 3≤x＜kπ＋π 2 ，k∈Z， ∴使不等式成立的x的集合为{x|kπ＋π 3≤x＜kπ＋π 2 ，k∈Z}， 即x∈[kπ＋π 3，kπ＋π 2 )(k∈Z). 考点2 正切函数的定义域、值域 9.函数y＝1 tanx 的定义域为() A．{x|x≠0} B．{x|x≠kπ，k∈Z} C．{x|x≠kπ+π 2 ，k∈Z} D．{x|x≠kπ 2 ，k∈Z} 【答案】D 【解析】函数y＝1 tanx 有意义，则{ x≠kπ，k∈Z， x≠kπ+π 2 ，k∈Z， 可得函数的定义域为{x|x≠kπ 2 ，k∈Z}. 10.函数y＝√sinx＋√tanx的定义域为() A．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π 2 ,k∈Z} B．{x|2kπ＜x≤kπ＋π 2 ,k∈Z} C．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π 2 ,k∈Z}∪{x|x＝2kπ＋π，k∈Z} D．{x|2kπ≤x＜2kπ＋π 2 且x≠2kπ＋π，k∈Z} 【答案】C 【解析】由{sinx≥0 tanx≥0，即{2kπ≤x≤2kπ＋π kπ≤x＜kπ＋π 2 (k∈Z)，得2kπ≤x＜2kπ＋π 2 (k∈Z)或x＝ 2kπ＋π(k∈Z). 所以函数y＝√sinx＋√tanx的定义域是{x|2kπ≤x＜2kπ＋π 2 ,k∈Z}∪{x|x＝2kπ＋π，k∈Z} 11.函数y＝tan x(−π 4≤x≤π 4 且x≠0)的值域是() A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1] C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 【答案】B 【解析】根据正切函数图象，结合函数的单调性可得. 12.函数y＝tan(sin x)的值域为() A．[−π 4,π4 ] B．[−√2 2,√2 2 ] C．[－tan1，tan1] D．以上都不对 【答案】C 【解析】∵sin x∈[－1,1]，结合函数y＝tan x的图象可知，tan(－1)≤tan(sin x)≤tan1，即y∈[－tan1，tan1]. 13.(1)求函数y＝√tanx−√3的定义域； (2)已知f(x)＝tan2x－2tan x(|x|≤π 3 )，求f(x)的值域. 【答案】(1)要使函数有意义，必须使tan x－√3≥0，即tan x≥√3， ∴kπ＋π 3≤x＜kπ＋π 2 ，k∈Z. ∴函数y＝√tanx−√3的定义域为[kπ＋π 3,kπ＋+π 2 )(k∈Z). (2)令u＝tan x，∵|x|≤π 3 ，∴u∈[－√3，√3]， ∴函数化为y＝u2－2u. 对称轴为u＝1∈[－√3，√3]. ∴当u＝1时，y min＝12－2×1＝－1. 当u＝－√3时，y max＝3＋2√3， ∴f(x)的值域为[－1,3＋2√3]. 考点3 正切函数的周期性和对称性 14.函数y＝tanωx的最小正周期为π 2 ，则实数ω的值为() A．1 2 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】因为函数y＝tanωx的最小正周期为π 2，所以 π |ω| ＝π 2 ，考察选项可知，实数ω的 值为2. 15.已知函数y＝tanωx(ω＞0)的图象与直线y＝a相交于A，B两点，若AB长度的最小值为π，则ω的值为() A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】C 【解析】根据函数y＝tanωx(ω＞0)的图象特点可知，两点间的距离必是最小正周期的正整数倍， 又由两点间长度的最小值为π，即函数最小正周期为π，所以 π |ω| ＝π. 又由ω＞0，则ω＝1. 16.函数y＝tan3 5 x是() A．周期为π的偶函数 B．周期为5 3 π的奇函数 C．周期为5 3 π的偶函数D．周期为π的奇函数【答案】B 【解析】正切函数的周期T＝π 3 5 ＝5 3 π，函数y＝tan3 5 x是奇函数. 17.下列函数中，为偶函数的是() A．f(x)＝sin(2015π 2 ＋x) B．f(x)＝cos(2015π 2 ＋x) C．f(x)＝tan(2015π 2 ＋x) D．f(x)＝sin(2014π 2 ＋x) 【答案】A 【解析】对于A，f(x)＝sin(2015π 2＋x)＝sin(1007π＋π 2 ＋x)＝sin(3π 2 ＋x)＝－cos x，为偶函 数，则A正确； 对于B，f(x)＝cos(2015π 2＋x)＝cos(1007π＋π 2 ＋x)＝cos(3π 2 ＋x)＝sin x，为奇函数，则B错 误； 对于C，f(x)＝tan(2015π 2＋x)＝tan(1007π＋π 2 ＋x)＝tan(π 2 ＋x)＝－cot x，为奇函数，则C 错误； 对于D，f(x)＝sin(1007π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x，为奇函数，故D错误. 故选A. 18.函数y＝tan(x+π 3 )图象的对称中心的坐标是() A．(kπ−π 3 ,0)(k∈Z) B．(k 2π－π 3 ，0)(k∈Z) C．(kπ 2 ，0)(k∈Z) D．(kπ，0)(k∈Z) 【答案】B 【解析】函数y＝tan(x+π 3)的图象由函数y＝tan x的图象向左平移π 3 个单位得到， 又由函数y＝tan x的对称中心的坐标是(kπ 2 ，0)(k∈Z)， ∴函数y＝tan(x＋π 3)的对称中心的坐标是(k 2 π－π 3 ，0)(k∈Z). 19.下列坐标所表示的点不是函数y＝tan(x 2－π 6 )的图象的对称中心的是() A．(π 3,0)B．(−5π 3 ,0)C．(7π 3 ,0)D．(2π 3 ,0) 【答案】D 【解析】将π 3，－5π 3 ，7π 3 代入y＝tan(x 2 －π 6 )均为0，而2π 3 代入y＝tan(x 2 －π 6 )不为0，所以 选D. 20.下列关于函数y＝tan(x+π 3 )的说法正确的是() A．在区间(−π 6+5π 6 )上单调递增 B．最小正周期是π C．图象关于点(π 4 ,0)成中心对称 D．图象关于直线x＝π 6 成轴对称【答案】B 【解析】令kπ－π 2＜x＋π 3 ＜kπ＋π 2 ，解得kπ－5π 6 ＜x＜kπ＋π 6 ，k∈Z，显然(−π 6 ，5π 6 )不 满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋π 3＝kπ 2 ， 解得x＝kπ 2－π 3 ，k∈Z，任取k值不能得到x＝π 4 ，故C错误；正切曲线没有对称轴，因 此函数y＝tan(x+π 3 )的图象也没有对称轴，故D错误.故选B. 21.若函数f(x)＝2cos(4x＋π 7 )－1与函数g(x)＝5tan(ax－1)＋2的最小正周期相同，则实数a＝______. 【答案】±2 【解析】函数f(x)＝2cos(4x＋π 7)－1的周期是π 2 ，函数g(x)＝5tan(ax－1)＋2的最小正周 期是 π |a|， 因为周期相同，所以π |a|＝π 2 ，解得a＝±2. 22.给出下列命题： ①正切函数的图象的对称中心是唯一的； ②y＝|sin x|，y＝|tan x|的周期分别为π，π 2 ； ③若x1＞x2，则sin x1＞sin x2； ④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T 2 )＝0. 其中正确命题的序号是________. 【答案】④ 【解析】①正切函数的图象的对称中心是唯一的，由正切函数的性质可知，①是错误的； ②y＝|sin x|，y＝|tan x|的周期分别为π，π 2 ，前者正确，后者错误，②是错误的； ③若x1＞x2，则sin x1＞sin x2，如果x1＝390°，x2＝90°，sin x1＜sin x2，③是错误的； ④若f(x)是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－T 2 )＝0，f(x＋T)＝f(x)， f(－T 2＋π)＝f(－T 2 )＝－f(T 2 )，f(－T 2 )＝0，④是正确的. 故答案为④. 23.试判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝1－2cos x＋|tan x|； (2)f(x)＝x2tan x－sin2x. 【答案】(1)函数的定义域为{x|x≠π 2 ＋kπ，k∈Z}， f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cos x＋|tan x|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数. (2)函数的定义域为{x|x≠π 2 ＋kπ，k∈Z}， f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tan x－sin2x， ∴函数f(x)是非奇非偶函数. 考点4 正切函数的单调性 24.下列说法正确的是() A．y＝tan x是增函数 B．y＝tan x在第一象限是增函数 C．y＝tan x在某一区间上是减函数 D．y＝tan x在区间(kπ－π 2，kπ＋π 2 )(k∈Z)上是增函数 【答案】D 【解析】由正切函数的图象可知D正确. 25.函数y＝tan(x＋π 5 )的单调递增区间是() A．(−π 2＋kπ，π 2 ＋kπ)(k∈Z) B．(−7π 10＋kπ，3π 10 ＋kπ)(k∈Z) C．(−3π 10＋kπ，7π 10 ＋kπ)(k∈Z) D．(−π 5+kπ，π 5 ＋kπ)(k∈Z) 【答案】B 【解析】∵y＝tan x的单调递增区间为(−π 2＋kπ，π 2 ＋kπ)(k∈Z)， 令kπ－π 2＜x＋π 5 ＜kπ＋π 2 ，解得kπ－7π 10 ＜x＜kπ＋3π 10 ， ∴函数y＝tan(x＋π 5)的单调递增区间是(−7π 10 ＋kπ，3π 10 ＋kπ)(k∈Z). 26.关于函数f(x)＝－tan2x，有下列说法： ①f(x)的定义域是{x∈R|x≠π 2 ＋kπ，k∈Z}；②f(x)是奇函数；③在定义域上是增函数； ④在每一个区间(－π 4＋kπ 2 ，π 4 ＋kπ 2 )(k∈Z)上是减函数；⑤最小正周期是π.其中正确的是 () A．①②③ B．②④⑤ C．②④ D．③④⑤ 【答案】C 【解析】①由正切函数的定义域可得，2x≠π 2 ＋kπ，k∈Z，故①错误； ③由正切函数的定义域可知，函数y＝－tan2x在(－π 4＋kπ 2 ，π 4 ＋kπ 2 )(k∈Z)上是减函数， 故③错误； ⑤根据周期公式可得，T＝π 2 ，故⑤错误. 27.已知函数f(x)＝√3tanπx ω (ω＞0). (1)当ω＝4时，求f(x)的最小正周期及单调区间； (2)若|f(x)|≤3在x∈[－π 3，π 4 ]上恒成立，求ω的取值范围. 【答案】(1)当ω＝4时，f(x)＝√3tanπ 4 x， 则f(x)的最小正周期T＝π π 4 ＝4，由kπ－π 2 ＜π 4 x＜kπ＋π 2 ，k∈Z. 得4k－2＜x＜4k＋2，k∈Z， 即函数的单调递增区间为(4k－2,4k＋2)，k∈Z. (2)∵ω＞0， ∴函数f(x)的周期T＝π π ω ＝ω， ∴若|f(x)|≤3在x∈[－π 3，π 4 ]上恒成立， 则f(x)在x∈[－π 3，π 4 ]上为单调递增函数， 满足－π 3＞－1 2 T＝－ω 2 ， ∴ω＞2π 3，∵|f(－π 3 )|＞f(π 4 )， 此时满足f(－π 3 )≥－3， 即f(－π 3)＝√3tan(－π 3 ×π ω )≥－3， 即tan(－π 3×π ω )≥－√3，则－π 3 ×π ω ≥－π 3 ， 则π ω ≤1，即ω≥π， 综上，ω≥π. 考点5 正切函数的综合应用 28.对于函数y＝tan x 2 ，下列判断正确的是() A．周期为2π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数 【答案】A 【解析】函数y ＝tan x 2的周期T ＝πω＝2π，再由tan(－x 2)＝－tan x 2可得，此函数为奇函数. 29.已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4). (1)求该函数的定义域，周期及单调区间； (2)若f (θ)＝17，求2cos 2θ2−sinθ−1 √2sin(θ＋π4) 的值. 【答案】(1)由题意得，T ＝π2. 由2x ＋π4≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠kπ2＋π8， 由－π2＋k π＜2x ＋π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得kπ2－3π8＜x ＜kπ2＋π8， 综上得，函数的周期是π2，定义域是{x |x ≠kπ2＋π8，k ∈Z }， 单调增区间是(kπ2－3π8，kπ2＋π8)(k ∈Z ). (2)2cos 2θ2−sinθ−1 √2sin(θ＋π4)＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝1－tanθtanθ＋1，① ∵f (θ)＝17，∴tan(2θ＋π4)＝17， 则tan2θ＝tan[(2θ＋π4)－π4]＝ 17−11+17＝－34， 由tan2θ＝2tanθ1－tan 2θ＝－34，得tan θ＝3或－13， 把tan θ＝3代入上式①得，2cos 2θ2−sinθ−1 √2sin(θ＋π4) ＝－12， 把tan θ＝－13代入上式①得， 2cos 2θ 2−sinθ−1√2sin(θ＋π4)＝2. 30.已知函数y ＝tan(12x －π6). (1)作出此函数在一个周期开区间上的简图； (2)求出此函数的定义域、周期和单调区间； (3)写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标. 【答案】(1)作出此函数在一个周期开区间上的简图： 则对应的图象如图： (2)由12x －π6≠k π＋π2，得x ≠2k π＋4π3， 即函数的定义域为{x |x ≠2k π＋4π3，k ∈Z }， 函数的周期T ＝π 12＝2π. 由k π－π2＜12x －π6＜k π＋π 2，k ∈Z ， 得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ， 即函数的单调递增区间为(2k π－2π3，2k π＋4π3)，k ∈Z . (3)由12x －π6＝k π＋π2，得x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ， 即函数图象的渐近线方程为x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ， 由12x －π6＝kπ2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z . 即所有对称中心的坐标为(k π＋π3，0). 31.已知关于实数x 的不等式|x −(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，x 2－3(tan θ＋1)x ＋2(3tan θ＋1)≤0 的解集分别为M ，N ，且M ∩N ＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围. 【答案】假设θ存在.由|x −(tanθ＋1)22|≤(tanθ−1)22，得2tan θ≤x ≤tan 2θ＋1， ∴M ＝{x |2tan θ≤x ≤tan 2θ＋1}.∵x 2－3(tan θ＋1)x ＋2(3tan θ＋1)≤0， ∴当tan θ≥13时，2≤x ≤3tan θ＋1. 当tan θ＜13时，3tan θ＋1≤x ≤2.∵M ∩N ＝∅， ∴当tan θ≥13时，有3tan θ＋1＜2tan θ或tan 2θ＋1＜2， 即tan θ＜－1或－1＜tan θ＜1， ∴13≤tan θ＜1.① 当tan θ＜13时，有2＜2tan θ或3tan θ＋1＞tan 2θ＋1，即tan θ＞1或0＜tan θ＜3， ∴0＜tan θ＜13.② 由①②得0＜tan θ＜1，∴θ的取值范围是(kπ，kπ＋π4)，k ∈Z . 课时学案——正切函数的性质与图象 江苏 韩文美 【课前准备】 1．课时目标 （1）掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性及值域等相关性质；（2）了解利用正切线作出正切函数，并会作简单的正切函数的图象；（3）利用正切函数的图象来研究相关的函数性质． 2．基础预探 （1）正切函数的性质： 正切函数是周期函数，其周期是_______；就奇偶性而言，正切函数是_______； 正切函数在开区间_______（k ∈Z ）内都是增函数；正切函数的值域是_______． （2）正切函数y=tanx 的定义域为_______． 【知识训练】 1．已知函数y =tan （2x +φ）的图象过点（12 π ，0），则φ可以下面中的（ ） A ．－ 6π B ．6 π C ．－12π D ．12π 2．下列函数中，是奇函数的是（ ） A ．y=sinx B ．y=sinx+1 C ．y=cosx D ．y=1－tanx 3．若tanx=1，则x=（ ） A ． 4 π B ．2k π+4π，k ∈Z C ．k π+4π，k ∈Z D ．k π±4π ，k ∈Z 4．函数y=tan （2x －3 π ）的最小正周期是_______． 5．关于函数f （x ）= tan （2x －4 π ），有以下命题： ①函数f （x ）的周期是2π；②函数f （x ）的定义域是{x|x ≠21k π+8π ，k ∈Z }； ③函数f （x ）是奇函数；④函数f （x ）的图象关于点（8 π ，0）对称； ⑤函数f （x ）的一个单调递增区间为（－2π，2 π ）． 其中，正确的命题序号是_______． 6．求函数y=2tan2x 的定义域． 【学习引领】 正切函数的图象是借且于正切线来作的，观察图形的形状，理解并掌握其相关性质．由正切函数的定义域知正切函数的图象被直线x=k π+2 π ，k ∈Z 隔开，所以正切函数的图象是间断的，在每个开区间（－ 2π+k π，2 π +k π），k ∈Z 内，正切函数都是增函数，但不能说正切函数在定义域内是增函数． 由于正切函数定义域不是R ，因此一些性质与正弦函数、余弦函数的性质有了较大的差 正切函数的性质与图象 孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？ 正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示． 正切函数y ＝tan x 的图象叫做__正切曲线__． (2)性质：如下表所示. 函数 性质 y ＝tan x 定义域 ⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪ x ≠ π 2＋k π ，k ∈Z 值域 R 周期 π 奇偶性 __奇函数__ 单调性 增区间 ⎝⎛⎭ ⎫－π2＋k π，π 2＋k π(k ∈Z ) 减区间 无 [拓展](1)正切函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫ k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴． (2)直线x ＝π 2＋k π(k ∈Z )称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近线． (3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)＋b 的周期是T ＝π |ω|． [知识点拨]正切函数单调性的三个关注点 (1)正切函数在定义域上不具有单调性． (2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－π2，π2)，(π2，3 2π)，…上都是 增函数． (3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－π 2， π2)∪(π2，3π 2 )∪…上是增函数． 1．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π 12，0)，则φ可以是( B ) A ．π6 B ．－π6 C ．－π12 D ．π12 2．函数y ＝2tan(12x －π 4)的最小正周期是( B ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 3．函数f (x )＝sin x tan x 是( B ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 4．比较大小：tan(－4π3)__<__tan(－11π 5)． 命题方向1 ⇨正切函数的奇偶性 典例1 试判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－2cos x ＋|tan x |； (2)f (x )＝x 2tan x －sin 2x ． [思路分析] 利用函数奇偶性的定义去判断． [解析] (1)因为该函数的定义域是{x |x ≠π 2＋k π，k ∈Z }，关于原点对称，且f (－x )＝1－ 2cos(－x )＋|tan(－x )|＝1－2cos x ＋|tan x |＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数． (2)因为函数f (x )的定义域是{x |x ≠π 2 ＋k π，k ∈Z }，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )2tan(－x )－sin 2(－x )＝－x 2tan x －sin 2x ，f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，所 1．4.3正切函数的性质与图象 学习目标 1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期. 2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性. 3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法． 知识点 正切函数的性质 函数y ＝tan x ⎝⎛⎭ ⎫x ∈R 且x ≠k π＋π 2，k ∈Z 的图象与性质见下表： 1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．( × ) 提示 y ＝tan x 在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π 2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan x 的图象的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )．( × ) 提示 y ＝tan x 图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫12k π，0(k ∈Z )． 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．( √ ) 4．正切函数在区间⎣⎡⎦ ⎤－π2，π 2上单调递增．( × ) 提示 正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，不能写成闭区间，当x ＝±π 2时，y ＝tan x 无意义. 题型一 正切函数的定义域、值域问题 例1 (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫ π6－x 4的定义域为________． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 答案 ⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪ ⎪ x ≠－4π 3－4k π，k ∈Z 解析 由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠－4π 3 －4k π，k ∈Z ， 即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪ x ≠－4π 3－4k π，k ∈Z . (2)求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π 3＋1的定义域和值域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域、值域 解 由3x ＋π3≠k π＋π 2，k ∈Z ， 得x ≠k π3＋π 18 ，k ∈Z ， 所以函数的定义域为⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π3＋π 18 ，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝ ⎛⎭⎫3x ＋π 3， 则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥3 4， 所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 反思感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线． (2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解． 跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ tan x ＋1≥0， 1－tan x >0， 即－1≤tan x <1. 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭ ⎫－π4，π 4. 正切、余切函数图象和性质反三角函数 [知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图 象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函 数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: 上单减 ，奇函数 注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的. 3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数. 第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（1） 学习目的： 1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象； 2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 学习重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 学习难点：正切函数的性质。 课堂探究： 一、复习引入： 问题：正弦曲线是怎样画的？ 正切线? 练习正切线，画出下列各角的正切线： ． 下面我们来作正切函数和余切函数的图象． 二、讲解新课： 1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ? ?? ??? ∈+≠ z k k x x ,2|ππ 2．正切函数是不是周期函数？ ()t a n t a n ,,2 x x x R x k k z π ππ? ? += ∈≠+ ∈ ??? 且， ∴π是tan ,,2y x x R x k k z π π?? =∈≠+ ∈ ?? ? 且的一个周期。 π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。 3．作tan y x =，x ∈?? ? ?? - 2, 2ππ的图象 说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π； （2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线”。 无穷多支曲线组成的。 4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ??? ∈+≠ z k k x x ,2|ππ ； （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2 ππ，2 π+ π?→?k x 时，tan x ?? →+∞ 当x 从大于 ()z k k ∈+ππ2 ，ππ k x +?→? 2 时，-∞?→?x tan 。 （3）周期性：π=T ； （4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； 正切函数图像及性质 知识点梳理 函数y ＝tan x 的图象与性质 y ＝tan x π 例1、求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )． 练习、求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域. 例3、求下列函数的周期（1）??? ?? +=42tan 3πx y （2）??? ??+=42 1tan 3πx y 例4、求函数区间，对称中心的定义域、周期和单调??? ??-=32tan πx y 练习1、求函数??? ??-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的单调性、周期性； 练习2、求函数的单调区间??? ??+-=421 tan 3πx y 课堂练习 1． 函数y ＝tan ????12x －π 3在一个周期内的图象是 ( ) 2.在区间(－3π2，3π 2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间????π2，3π 2内的图象是 ( ) 4.利用函数图象，解不等式－1≤tan x ≤3 3. 5.下列说法正确的是( ) A.y ＝tan x 是增函数 B.y ＝tan x 在第一象限是增函数 C.y ＝tan x 在每个区间????k π－π 2，k π＋π 2(k ∈Z )内是增函数 D.y ＝tan x 在某一区间上是减函数 6.函数y ＝3tan(2x ＋π 4)的定义域是 ( ) A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z} B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z} C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z} D ．{x |x ≠k 2π，k ∈Z} 7.直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( ) A.π2 B.2π C.π D.与a 值有关 8.下列各式中正确的是( ) A.tan 4π7＞tan 3π7 B.tan ????－13π4＜tan ????－17π5 C.tan 4＞tan 3 D.tan 281°＞tan 665° 9.函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( ) A.????k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) B.????k π－π2，k π＋π4(k ∈Z ) C.????k π－π4，k π＋π2(k ∈Z ) D.????k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 10.已知函数y ＝tan ωx 在????－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为__________. 11.函数y ＝2tan(3x ＋φ)????－π2＜φ＜π2的图象的一个对称中心为????π4，0，则φ＝________. 12.若tan ????2x －π6≤1，则x 的取值范围是________. 13已知函数f (x )＝3tan ????12x －π3. (1)求f (x )的定义域和值域. (2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性. 14.求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈????π4，π3的值域. 专题38 正切函数的图像和性质考点1 正切函数的图像 1.如下图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π 2且x≠π 2 )的图象是() A．B．C．D．【答案】C 【解析】∵y＝cos x|tan x|＝ {sinx,0≤x＜π 2 , −sinx,π 2 ＜x≤π sinx,π＜x＜3π 2.， ∴函数y＝cos x|tan x|(0≤x＜3π 2且x≠π 2 )的图象是C. 2.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间(π 2,3π 2 )内的图象是() A．B．C．D． 【答案】D 【解析】当π 2 ＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0； 当x＝π时，y＝0；当π＜x＜3π 2 时，tan x＞sin x，y＝2sin x.故选D. 3.函数f(x)＝tan x＋1 tanx ，x∈{x|−π 2 A．B．C．D．【答案】A 【解析】因为y＝tan x是奇函数，所以f(x)＝tan x＋1 tanx ，x∈{x|−π 2 5．4.3 正切函数的性质与图象 [目标]y ＝tan x 的图象；2.理解并记住正切函数的性质；3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题． [重点] 正切函数的性质． [难点] 正切函数的图象、性质及其应用． 知识点一 正切函数y ＝tan x 的图象 [填一填] 正切函数y ＝tan x 的图象叫做正切曲线． [答一答] 1．正切函数y ＝tan x 的图象与x ＝k π＋π 2 ，k ∈Z 有公共点吗？ 提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝k π＋π 2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成 的． 2．直线y ＝a 与y ＝tan x 的图象相邻两交点之间的距离是多少？ 提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π. 3．观察正切函数曲线，写出满足以下条件的x 的集合． (1)满足tan x ＝0的集合为{x |x ＝k π，k ∈Z }． (2)满足tan x <0的集合为{x |k π－π 2 知识点二 正切函数y ＝tan x 的性质 [填一填] (1)定义域是{x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z }． (2)值域是R ，即正切函数既无最大值，也无最小值． (3)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π. (4)奇偶性：正切函数是奇函数． (5)单调性：正切函数在开区间(k π－π2，k π＋π 2 )，k ∈Z 内是增函数． (6)对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是(k π 2 ，0)(k ∈Z )，正切函数无对称轴． [答一答] 4．y ＝tan x 在定义域上是增函数吗？ 提示：y ＝tan x 在每个开区间(－π2＋k π，π 2＋k π)，k ∈Z 内都是增函数，但在整个定义域上 不具有单调性． 5．正切函数图象与x 轴有无数个交点，交点的坐标为(k π，0)(k ∈Z )，因此有人说正切函数图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，这种说法对吗？ 提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(k π，0)对称，还关于点(π 2＋k π，0)(k ∈Z )对称， 因此正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π 2 ，0)(k ∈Z )． 类型一 利用正切函数图象求定义域及值域 [例1] 求以下函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭ ⎫x ＋π 4；(2)y ＝3－tan x . [解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得，x ≠k π＋π 4 ，k ∈Z . 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为{x ⎪ ⎪⎭ ⎬⎫ x ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3. 结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2 正切函数的性质与图象 【学习目标】 1.能画出tan y x =的图象，并能借助图象理解tan y x =在,22ππ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 上的性质； 2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小； 3．理解正切函数的对称性． 【要点梳理】 要点一：正切函数的图象 正切函数R x x y ∈=tan ， 且()z k k x ∈+≠ππ 2 的图象， 称“正切曲线” （1）复习单位圆中的正切线： A T=tan α （2）利用正切线画函数y= tanx ，x ∈)2 ,2(π π- 的图象 步骤是：①作直角坐标系，并在x=2π -的左侧作单位圆 ②把单位圆的右半圆分成8份，（每份8 π ）.分别在单位圆中作出正切线； ③把横坐标从2π-到2 π 也分成8份 ④把正切线的端点移到对应的位置； ⑤把上面的点连成光滑的曲线． 由于tan （x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x ∈)2 ,2(π π-的图象左、右移动k π个单位（k ∈z ）就得到y=tanx （x ∈R 且x ≠k π+2 π ）的图象. 要点二：正切函数的性质 1．定义域：⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ ， 2．值域：R 由正切函数的图象可知，当()2 x k k z π π< +∈且无限接近于 2 k π π+时，tan x 无限增大，记作 tan x →+∞ （tan x 趋向于正无穷大）；当()2 x k k z π π>-+∈，tan x 无限减小， 记作tan x →-∞（tan x 趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线,2 x k k z π π=+ ∈为正切函数的渐进线． 3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-． 要点诠释： 观察正切函数的图象还可得到：点,0()2k k z π⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ 是函数tan ,y x x R =∈，且2x k ππ≠+的对称中心， 正切函数图象没有对称轴 三角函数的解析式与图像 三角函数是数学中重要的一类函数，其解析式与图像揭示了三角函 数的特征和性质。本文将详细介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的 解析式以及它们在坐标系中的图像。 一、正弦函数 正弦函数是三角函数中最基本的一种函数，用符号"sin"表示。其解 析式可以表示为：y = A * sin(Bx + C) + D，其中A、B、C和D为常数。 1. A表示振幅，即正弦函数在垂直方向上的最大值和最小值的差距。它决定了函数图像的波动大小。当A为正数时，图像在x轴之上；当 A为负数时，图像在x轴之下。 2. B称为周期因子，它决定了正弦函数的周期长度。周期指的是函 数图像上连续两个最高点或最低点之间的水平距离。周期T与B的关 系为T = 2π/|B|。 3. C是相位差，它控制了正弦函数图像在水平方向上的平移。当C 为正数时，图像向左平移；当C为负数时，图像向右平移。 4. D是垂直方向上的偏移量，它决定了整个函数图像在y轴上的位置。当D为正数时，图像在y轴之上；当D为负数时，图像在y轴之下。 二、余弦函数 余弦函数是正弦函数的一种变形，用符号"cos"表示。其解析式为： y = A * cos(Bx + C) + D。 余弦函数与正弦函数相比，它的图像在水平方向上发生了平移。当 C为正数时，图像向左平移；当C为负数时，图像向右平移。在其他 方面，余弦函数的性质与正弦函数相似。 三、正切函数 正切函数是三角函数中另一种重要的函数，用符号"tan"表示。其解 析式可以表示为：y = A * tan(Bx + C) + D。 1. A表示正切函数在垂直方向上的放大倍数。它影响函数图像峰值 与谷值之间的距离。当A为正数时，函数图像在x轴之上；当A为负 数时，函数图像在x轴之下。 2. B是周期因子，控制了正切函数的周期长度。 3. C是相位差，决定了正切函数在水平方向上的平移。与正弦函数 和余弦函数不同的是，正切函数图像的平移是关于π/2的整数倍。 4. D是垂直方向上的偏移量，控制了整个函数图像在y轴上的位置。 四、三角函数图像 三角函数的图像在坐标系中呈现周期性、波动性的特点。根据解析 式中的参数，我们可以得出以下结论： 1. 当A的值较大时，函数图像波动幅度较大；当A的值较小时， 函数图像波动幅度较小。 高中数学复习：正切函数的图像和性质练习及答案 1.如下图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x ＜ 3π2 且x ≠π 2)的图象是( ) A ． B ． C ． D ． 2.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2, 3π 2 )内的图象是( ) A ． B ． C ． D ． 3.函数f (x )＝tan x ＋1tanx ，x ∈{x|− π2 A．2＋√3 B．√3 C．√3 3 D．2－√3 6.下列图象分别是函数①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈(－3π 2 ， ?3π 2 )内的大致图象.那么图a、b、c、d依次对应的函数关系式应是( ) A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③ 7.函数y＝tan(π 4x－π 2 )的部分图象如图所示，则△AOB的面积等于( ) A．1 B．2 C．4 D．9 2 8.使不等式tan x≥√3成立的x的集合为( ) A．(kπ＋π 6，kπ＋π 2 )(k∈Z) B．[kπ＋π 6 ，kπ＋π 2 )(k∈Z) C．[kπ＋π 3，kπ＋π 2 )(k∈Z) D．(kπ＋π 3 ，kπ＋π 2 )(k∈Z) 考点2 正切函数的定义域、值域 9.函数y＝1 tanx 的定义域为( ) 高中数学新课程必修第一册《5.4.3正切函数的性质与图象》基础测试答案解析 1.函数y=3tan的定义域是 ( ) A. B. C. D. 解析：要使函数有意义,则2x+≠kπ+,k∈Z, 即x≠+,k∈Z,所以函数的定义域为,故选C. 2.已知x∈[0,2π],则函数y=+的定义域为 ( ) A. B. C. D. 解析：由题意知∴函数的定义域为,故选C. 3.函数y=tan在一个周期内的图象是 ( ) 解析：当x=时,tan=0,故排除C,D;当x=时,tan=tan,无意义,故排除B.故选A. 4.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点,则φ可以是 ( ) A.- B. C.- D. 解析：因为函数y=tan(2x+φ)的图象过点,所以0=tan, 所以tan =0, 所以+φ=kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z),所以φ可以是-,故选A. 5.函数y=tan 是 ( ) A.最小正周期为4π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为4π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数 解析：该函数为奇函数,其最小正周期为2π.故选B. 6.函数2tan(3)4y x π=-的图象的对称中心不可能是 ( ) A. B. C. D. 解析：对于函数y=2tan ,令3x-=,k ∈Z,得x=+,k ∈Z, 所以函数y=2tan 的图象的对称中心为,k ∈Z, 取k=0,得对称中心为; 取k=-20,得对称中心为; 取k=7,得对称中心为.故对称中心不可能是. 7.函数2tan(2)6y x π =-的一个单调递减区间是 ( ) A. B. C. D. 正切函数的性质与图象 ——基础巩固类—— 一、选择题 1．函数y ＝tan x a 的最小正周期是( ) A ．a π B ．|a |π C.πa D.π|a | 2．下列说法正确的是( ) A ．正切函数在整个定义域内是增函数 B ．正切函数在整个定义域内是减函数 C ．函数y ＝3tan x 2的图象关于y 轴对称 D ．若x 是第一象限角，则y ＝tan x 是增函数 3．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ x ∈⎣ ⎢⎡⎦ ⎥⎤－π4，π4且x ≠0的值域为( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[－1，＋∞) ． 4．函数y ＝tan ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫x ＋π5的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ π5，0 C.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 4π5，0 D ．(π，0) 5．下列各式中正确的是( ) A ．tan735°>tan800° B ．tan1 6．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1 2x －π3在一个周期内的图象是( ) 二、填空题 7．f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝ 8．满足tan ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是 9．方程x －tan x ＝0的实根有 个． 三、解答题 10．作出函数y ＝tan|x |的图象，根据图象判断其周期性，并求出单调区间． 11．已知x ∈⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ －π3，π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最大值和最小值， 并求出f (x )取最大值和最小值时相应的x 值． 5.4.3 正切函数的性质与图像 （基础知识+基本题型） 知识点一 正切函数的性质 1、定义域：⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧∈+≠ Z k k x x ,2ππ 2、值域：R 从单位圆上的正切线可知，当()Z k k x ∈+< ππ 2 且无限接近于 ππ k +2 时，x tan 无限增大，记作 +∞→x tan （x tan 趋向于正无穷大） ；当()Z k k x ∈->ππ 2 且无限接近于时，x tan 无限减 小，记作-∞→x tan （x tan 趋向于负无穷大）.因此x tan 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值.称 Z k k x ∈+- =,2 ππ 为正切函数图像的渐近线. 3、周期性：由诱导公式可知，()Z k k x R x x x ∈+≠∈=+,2 ,,tan tan ππ π.因此正切函数是周期函数， 周期为π. 拓展：函数()()0,0tan ≠≠+=ωϕωA x A y 的最小正周期ω π = T . 4、奇偶性： 正切函数的定义域为⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧∈+≠ Z k k x x ,2ππ ，关于原点对称，由于()()()x x x --= -cos sin tan = x x x tan cos sin -=-，故正切函数是奇函数. 5、单调性单位圆中的正切线如图所示. ππ k +- 2 利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性，可得下表： 故正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2和⎪⎭ ⎫ ⎝⎛2 , 2上均为增函数，由周期性，可知正切函数的单调区间为⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++-ππππk k 2,2()Z k ∈. 6、对称性：正切函数时奇函数，其图像关于原点对称，所以正切函数的图像是中心对称 图形，不是轴对称图形，且其对称中心为().0,2Z k k ∈⎪⎭ ⎫ ⎝⎛π 警示：正切函数x y tan =在⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππk k 2,2()Z k ∈内是单调递增函数，但不能说函数 在其定义域内是单调递增函数. 知识点二 正切函数的图像 类比正弦函数的图像的作法，作正切函数x y tan =，⎪⎭ ⎫ ⎝⎛- ∈2,2ππx 的图像的步骤： 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x （一） 三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性 奇函数：y ＝sinx ，y ＝tanx ； 偶函数：y ＝cosx. （2） 型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g （x ）＝ （x ∈R ） g （x ）为偶函数 由此得 ； 同理， 为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数 ； 为奇函数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期 y ＝sinx ，y ＝cosx 的周期为 ； y ＝tanx ，y ＝cotx 的周期为 . （ⅱ） 型三角函数的周期 的周期为 ； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 （ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为； （ⅱ）的最小正周期为； （ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 . 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象. 4、单调性 （1）基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期； ②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. （2）y＝型三角函数的单调区间 4.3三角函数的图像与性质 一 正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中k ∈Z ). 1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． 2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 考点一 三角函数的定义域与值域 例1、（1）函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π 2上的值域为________． （2）函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －1 2 的定义域为________． （3）①函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________． ②当x ∈⎣⎡⎦ ⎤ π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 考点二 三角函数的单调性 例2、函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π 4的单调递减区间为 _____________． 变式训练1 （1）函数y ＝2⎪⎪⎪ ⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为_____________； （2）函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π 3的单调递减区间为_______________. 考点三 三角函数的对称性与奇偶性 例3、(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1. (1)求f (x )的最小正周期及对称中心； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π 3时，求f (x )的最大值和最小值． 例4 （1）若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫ π3，0中心对称，则φ＝________. （2） 已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______． (3)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三 角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______． 冲刺高考： 1、已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π 2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________． 2、已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π 8)＝1，则实数 b 的值为________． 三角函数的图像与性质 【考纲说明】 1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像，了解三角函数的周期性； 2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最 小值、周期性、图像与x 轴交点等）； 3．结合具体实例，了解)sin(ϕω+=x y 的实际意义； 【知识梳理】 一、三角函数的图像与性质 1 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ⎧⎫ ≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭ 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时，max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ⎡ ⎤ - + ⎢⎥⎣ ⎦ 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上 在,2 2k k π πππ⎛⎫ - + ⎪⎝ ⎭ 函 数 性 质 2、函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的性质 振幅：A ；最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2=T ，频率是π ω 2= f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ； 其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π πϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 二、三角函数图像的变换 1、五点法作y=Asin （ωx+ϕ）的简图： 五点取法是设t=ωx+ϕ，由t 取0、 2 π、π、2π 3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。 五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. 2、三角函数的图像变换 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象。 注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。 三、三角函数中解题常用方法 1、由y ＝sinx 的图象变换出y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 途径一：先平移变换（相位变换），再周期变换(横向伸缩变换)，最后振幅变换（纵向伸缩变换）； 途径二：先周期变换(横向伸缩变换)，再平移变换（相位变换），最后振幅变换（纵向伸缩变换）。 2、由y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：（图像或性质） 确定解析式y=Asin （ωx+ϕ）的题型，通常先通最值确定A ，再有周期确定ω，最后代入某个中心点坐标来完成确定。 3、 由x y sin =变换出x y sin =、x y sin =、)sin(x y -=的图像，并注意变换后周期的变化。 三角函数的图象与性质 一、 考情分析 1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值； 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ －π2，π2上的性质. 二、 知识梳理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ 3π2，－1， (2π，0). (2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 图象 定义域 R R {x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π 2} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ⎣⎢⎡ ⎦ ⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡ ⎦ ⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ k π2，0 对称轴方程 x ＝k π＋π 2 x ＝k π 无 [微点提醒] 1.对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1 4个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛ ⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增 函数. 三、 经典例题 考点一 三角函数的定义域 【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________. (3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π 6(k ∈Z ). (2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－3 2，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－3 2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z . (3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π课时学案——正切函数的性质与图象
三角函数图像4：正切函数图像性质
正切函数的性质与图象
正切 余切图像的性质 反三角函数
正切函数性质与图像1
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