第六章线性空间和欧式空间
§ 1线性空间及其同构
一线性空间的定义
设 V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素和，在V中都有
唯一的一个元素与他们对应，成为与的和，记为。在数域K 与集合
V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与 V 中任
一元素，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k 与的数量乘积，记为k，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。
加法满足下面四条规则：
1 ）；交换律
2 ）()() ；结合律
3 ）在 V 中有一个元素0 ，对于 V 中任一元素都有0（具有这个性质的元
素 0 称为 V 的零元素）；存在零元
4 ）对于 V 中每一个元素，都有V中的元素，使得0（称为的负元素）.
存在负元
数量乘法满足下面两条规则：
5 ）1；存在1元
6 ）k (l) (kl ).数的结合律
数量乘法与加法满足下面两条规则：
7 ）( k l )k l；数的分配律
8 ）k () k k. 元的分配律
在以上规则中，k,l 表示数域中的任意数；, ,等表示集合V 中任意元素。
例 1 ．元素属于数域K 的m n 矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成
数域 K 上的一个线性空间，记为M m,n (K ) 。
例 2 ．全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例 3 ．n 维向量空间K n是线性空间。
例 4 ．向量空间的线性映射的集合Hom K (K m , K n ) 是线性空间。
二．简单性质
1 ．零元素是唯一的。
2 ．负元素唯一。
3 ．0 0 ， k0 0 ，( 1) 。
4 ．若 k 0 ，则 k 0 或者0 。
三 .同构映射
定义：设 V ,V 是数域K上的线性空间. A Hom K (V ,V ) 是一个线性映射.如果A是一一映射，则称 A 是线性空间的同构映射，简称同构。线性空间V 与 V ' 称为同构的线性空间。
定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。
同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。
同构
线性空间分类维数
§ 2线性子空间的和与直和
子空间的和：设W1 ,W2是线性空间V的子空间，则集合W {12|1W1或2W2} 也是一个线性子空间，称为W1 ,W2的和，记为 W1W2.
两个线性子空间的和W1W2是包含这两个线性子空间的最小子空间.
满足交换律、结合律
设1 ,L ,s与 1 ,L ,t是V的两个向量组.则
L ( 1 ,L ,s)L ( 1,L ,t )L( 1 ,L ,s,1,L ,t)
线性子空间中的线性无关向量组都能被扩充成这个子空间的一个基。
定理：（维数公式）如果 W1,W2是线性空间V的两个子空间，那么
dim( W1 ) + dim( W2 ) = dim( W1W2 ) + dim( W1W2 )
由此可知，和的维数要比维数的和来得小。推广到有限个线性子空间的和空间维数
推论：如果 n 维线性空间V中两个子空间V1 ,V2的维数之和大于n ，那么 V1 ,V2必含有非零的公共向量。
直和：设 W1,W2是线性空间V的子空间，如果W1W2中的每个向量都能被唯一地表示成121W1 ,2W2.则称 W1 W2为直和，记为 W1W2。
设 W1 ,W2是线性空间V的子空间，则下列结论互相等价：
(1)W1W2是直和；
(2)W1W20;
(3)dim( W1W2 ) dim W1dim W2 .
设 W 是线性空间 V 的一个子空间，那么一定存在V 的一个线性子空间U ，使得
V W U
满足上述条件的线性子空间U 称为 W 的补子空间.
推广到有限多个线性子空间也可以定义它们的直和
设 W1， W2，L ， W m是 V的线性子空间，则下列结论相互等价：
（1） W1W m是直和；
（2）对 i 1, , m有 W i W j 0;
1 j m
i j
（）
W m ) dim W1 dim W m .
3 dim( W1
§ 3 欧式空间
定义设 V 是实数域 R 上的有限维线性空间,在V上定义了一个二元实函数，称为内积,
记作 ( , ) ,满足以下四条公理:
1) 对称性 ( , ) ( , ) ;
2) 关于标量乘法线性性质(k , ) k( , ) ;
3) 关于向量加法的线性性质 ( , ) ( , ) ( , ) ;
4) 正定性 ( , ) 0 ,当且仅当0 时, ( , ) 0
这里, , 是 V 任意的向量 , k 是任意实数,这样的线性空间 V 称为欧几里得空间.
例 1 在线性空间R n中,对于向量
(a1, a2, , a n ) , (b1 ,b2 , , b n ) ,
定义内积
( , ) a1b1 a2 b2 a n b n . (1)
则内积 (1) 适合定义中的条件，这样R n就成为一个欧几里得空间.
n 3 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.
例 2 在 R n里,对于向量
(a1, a2, , a n ) , (b1 ,b2 , , b n ) ,
定义内积
( , ) a1b1 2a2b2 na n b n .
则内积 (1) 适合定义中的条件，这样R n就也成为一个欧几里得空间.
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间 .
例 3 在闭区间[ a, b]上的所有实连续函数所成的空间 C (a, b) 中,对于函数 f ( x), g( x) 定义内积
( f ( x), g( x)) b (2)
f ( x)
g (x)dx .
a
对于内积 (2) ，C (a,b)构成一个欧几里得空间 .
同样地，线性空间R[ x], R[ x] n对于内积(2)也构成欧几里得空间.
例 4 令H是一切平方和收敛的实数列
( x1, x 2 , , x n ), x n2
n 1
所成的集合 ,则H是一个欧几里得空间, 通常称为希尔伯特(Hilbert) 空间 .
定义非负实数( , ) 称为向量的长度，记为.
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：
k| k |(3)
这里 k R,V .
长度为 1 的向量叫做单位向量 .如果 ,0 由(3)式，向量
1
就是一个单位向量 .用向量
的长度去除向量 ，通常称为把 单位化 .
(Cauchy-Buniakowski
不等式 )对任意的向量
, , 有
| ( , ) | | ||
|,
而且等号成立当且仅当
, ,线性相关 .(保证向量夹角定义的合理性 )
定义 非零向量
, 的夹角 ,
规定为
,
arccos
( , )
, 0,
根据柯西 - 布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式
.
定义 如果向量
,
的内积为零，即
( , ) 0
那么
, 称为正交或互相垂直，记为
.
两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为
.只有零向量才与自己正交 .
2
勾股定理 ：当 ,
正交时，
2 2 2
.
推广 ：如果向量两
1 , 2
,
, m 两两正交，那么
2 2
2
2 1
2
m
1 2 m .
A
(a ij )nn , a ij ( i , j )
称为基 1, 2 , , n 的度量矩阵 .度量矩阵完全确定了内积
.
( , )
X T AY
标准欧式空间 (其内积关于自然基的度量矩阵是
n 阶单位阵 )
定义欧氏空间 V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组.
由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.
在 n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n 个.
正交向量组一定是线性无关的。
若正交向量组中的向量都是单位向量，则称为规范正交组。
定义在 n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为规范正交基组.对一组正交基进行单位化就得到一组规范正交基.
欧式空间的线性子空间必存在规范正交基。
在规范正交基下，向量的内积可以通过坐标简单地表示出来，
( , ) x1 y1x2 y2L x n y n X T Y.
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.
把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为格拉姆 -施密特
（S chimidt ）正交化方法 . (P314)
定义欧氏空间 V 与 V 称为同构的,如果存在线性空间的同构A Hom R (V,V ) ，保持内积，即( A( ), A( )) ( ,) ,
对任意的,V 成立，这样的映射 A 称为V到V的同构映射 .
同构的欧氏空间必有相同的维数.
每个 n 维的欧氏空间都与R n同构.
同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性.
由每个 n 维欧氏空间都与R n同构知，任意两个n 维欧氏空间都同构.
定理两个有限维欧氏空间同构它们的维数相等.
这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定.
§ 4 欧式空间中的正交补空间与正交投影
S 是欧式空间 V 的一个子集，如果V 中向量与S中每个向量都正交，则称与S正交，记做S .
定义设 S是欧几里得空间V 的一个非空子集,V 中与 S正交的所有向量组成的集合
称为 S的正交补 ,记作 S ,即
S{V | ( , ) 0对所有的S}.
命题
设 S 是欧几里空间 V 的任意一个非空子集，则 S 是 V 的一个线性子空间 .
定理 设W 是欧几里得空间 V 的一个线性子空间，则
V W W .
正交投影的定义，正交投影的求法
(P321-323)
V W
W ,则其中每个向量 都能唯一的表示成
1
2
,
1
W ,
2
W
1
W 是 在 W 上的正交投影的充要条件是
1
W .
令
P W
:V W V
则 P W 为 V 在 W 上的正交投影 . 在 W 中取一个规范正交基 1 ,L , m ，
a
1
在 W 上的正交投影为 P W ( )
m
则 ( , i )
i
.
i 1
正交投影的求法 :
m
（ 1 ） 用施密特正交化方法求出
W 的规范正交基，再用 P W ( )
( , i ) i
i 1
（ 2 ） 设 1
i
W ，则
2 1
W , (
2 , i )
0 解齐次线性方程组
（ 3 ） 把 (2) 写成矩阵形式，解决
A T AX AY ， P W ( ) AX
定理 设 W 是欧几里得空间 V 的子空间，对于 V , 1
W 是 在W 上的正交投影的
充分必要条件为
|
1 | | |, 对所有的
W .
定义 设 W 是欧几里得空间 V 的一个子空间， 是 V 中的向量 如果 W 中存在一个向量
.
使得对所有的 W 有 | | |
|,那么称 为 在 W 上的最佳逼近元 . V 中任意向量
在子空间 W 上的最佳逼近元存在且唯一，就是
在 W 上的正交投
影 P W ( ) .
最小二乘法（偏差总和最小——
>偏差平方和最小） （ P327-328 ）
最小二乘法问题 ：线性方程组
a 11
x 1
a 12 x
2
a 1 s
x
s
b 1 0 , a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 s x s
b 2 0 ,
a n1 x 1 a n2 x 2
a ns x s
b n
可能无解 .即任何一组数
x 1 , x 2 , , x s 都可能使
n
a is x s
b i )2
(a i1 x 1
a i 2 x
2
(1)
i
1
不等于零 .我们设法找 x 10 , x 20 , , x s 0 使（1 ）最小，这样的 x 10 , x 20 , , x s 0 称为方程组的最小二
乘解 .这种问题就叫最小二乘法问题
.
下面利用欧氏空间的概念来表达最小二乘法，并给出最小二乘解所满足的代数条件
.
a
11
a 12
a 1s
b 1
A
a 21 a 22 a 2 s
, B
b 2 ,
a
n1 a
n2 a
ns
b n
s
x 1
a 1 j x
j
j 1 x 2
s
X
, Y
a 2 j x j
AX .
j 1
x s s
a nj
x
j
j 1
用距离的概念， （ 1 ）就是
2
Y B
最小二乘法就是找 x 10 , x 20
, , x s 0 使 Y 与 B 的距离最短 .但从（ 2 ），知道向量 Y 就是
a
11
a
12
a
1s
Y x 1
a 21
x 2
a
22
x s
a 2s
.
a
n1
a
n 2 a
ns
把 A 的各列向量分别记成 1
, 2
,
, s . 由它们生成的子空间为L ( 1 , 2 , ,
s
是 L ( 1 , 2 , ,
s ) 中的向量 .于是最小二乘法问题可叙述成：
找 X 使（ 1 ）最小，就是在 L ( 1 ,
2
, , s ) 中找一向量 Y ，使得 B 到它的距
到子空间 L ( 1 ,
2 , , s ) 中其它向量的距离都短 .
应用前面所讲的结论，设
Y
AX x 1
1
x 2
2
x s
s
是所求的向量，则
C B Y B AX
必垂直于子空L ( 1 , 2 ,,s ).此只而且必
(C , 1 )(C , 2 )(C ,s )0
回矩乘法，上述一串等式可以写成矩相乘的式子，即
T C 0 ,2T C0 , L ,s T C0.
1
而1T , 2T , L , s T按行正好排成矩A T，上述一串等式合起来就是
A T (
B AX )0
或
A T AX A T B
就是最小二乘解所足的代数方程，它是一个性方程，系数矩是A T A ，常数是
A T
B .种性方程是有解的.
§ 5 正交与正交矩
定欧氏空 V 的性 A 叫做一个正交,如果它保持向量的内不，即
任意的，都有,V ,都有
(A ,A )= ( , ) .
正交可以从几个不同方面公平加以刻画.正交群O(n, R)
A 是 n 欧氏空的一个正交，有以下：
（1 ）如果1 , 2 , , n是范正交基，那么A1, A 2 ,?, A n 也是范正交基；
（2 ） A 保持向量的度不，即于V ,（A ， A ） =（，）;
（3 ） A 在任一范正交基下的矩是正交矩A T A E .
（4 ）正交的乘与正交矩的逆矩也是正交矩.
推论设 A是一个 n阶实数矩阵，那么下列条件是等价的：
（）是正交矩阵；
1 A
（2） A T A 1；
（3） AA T E；
（4） A的每个列的元素的平方和等于1，不同列的对应元素之积和等于0，即：
（5） A的每个行的元素的平方和等于1，不同行的对应元素之积和等于0.
如果 A 是正交矩阵，那么由
AA T E
可知
2
1或者 A 1 .
A
因此，正交变换的行列式等于+1 或 -1. 行列式等于 +1 的正交矩阵通常称为旋转，或者称为第一类的 ,特殊正交群SO(n, R) ；行列式等于-1的正交变换称为第二类的.
第九章内积空间Inner Product Space
§9.1 目的与要求 ?掌握内积、内积空间的概念 ?熟练掌握欧氏空间的度量概念，如长度、距离、夹角、正交等 ?熟练掌握Cauchy-Schwarz不等式、三角不等式的含义及应用 厦门大学数学科学学院 网址: https://www.doczj.com/doc/c815857334.html,
?定义:设V 是R 上线性空间,存在映射( ,):, 使得对任意x , y , z ∈V, c ∈R,有 (1). ( x , y ) = ( y , x ) (2). ( x + y , z ) = ( x ,z ) + (y , z ) (3). ( cx , y ) = c ( x , y ) (4). ( x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.则称在V 上定义内积( , ). V 称为内积空间. 有限维实内积空间称为Euclid 空间(欧氏空间). R V V →?对称线性非负（实）内积空间
?定义:设V 是C 上线性空间,存在映射( , ):使得对任意x , y , z ∈V, c ∈C,有 (1).(2). (x + y , z ) = (x , z ) + ( y , z ) (3). (cx , y ) = c ( x , y ) (4). (x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0. 则称在V 上定义内积( , ). V 称为复内积空间.有限维复内积空间称为酉空间. ?注1:对任意实数a , , 所以复内积空间与实内积空间的定义是一致的, 统称为内积空间. ?注2:在复内积空间中, (,)(,) x y y x =a a =(,)(,) x cy c x y =R V V →?（复）内积空间
第二章 内积空间 目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量概念，深化对线性空间、线性变换等的研究。 §1 内积空间的概念 定义2－1 设V 是实数域R 上的线性空间。如果对于V 中任意两个向量βα,，都有一 个实数（记为()βα,）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数()βα,称为向量βα,的内积。 (1) ()()αββα,,=； （2）),(),(βαβαk k =，（R k ∈） （3）),(),(),(γβγαγβα+=+，（V ∈γ） （4）()0,≥αα，当且仅当θα=时，等号成立。 此时线性空间V 称为实内积空间，简称为内积空间。 例2－1 对于n R 中的任二向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =，定义内积 ()∑==n i i i y x Y X 1 ,，n R 成为一个内积空间。内积空间n R 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称 为欧氏空间。由于n 维实内积空间都与n R 同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。 例2－2 如果对于n n R B A ?∈?,，定义内积为()∑== n j i ij ij b a B A 1 ,,，则n n R ?成为一个内积 空间。 例2－3 ],[b a R 定义dx x g x f x g x f b a ? = )()())(),((，则可以验证))(),((x g x f 满足内积 的条件，从而],[b a R 构成内积空间。 内积()βα,具有下列基本性质 (1) ()()βαβα,,k k =，（R k ∈）；(2) ()()()γαβαγβα,,,+=+； (3) ()()0,,==βθθα。
第九章欧氏空间 ［教学目标］ 1理解欧氏空间、内积、向量的长度、夹角、正交和度量矩阵的概念。2理解正交组、正交基、标准正交基和正交矩阵的概念，理解n维欧氏空间的标准正交基的存在性和标准正交基之间过渡矩阵的性质，重点掌握施密特正交化方法。 3理解欧氏空间同构的定义和同构的充要条件。 4理解正交变换的定义及正交变换与正交矩阵的关系，掌握正交变换的几个等价条件。 5理解子空间的正交和正交补的概念，掌握正交补的结构和存在唯一性。 6理解对称变换的定义和对称变换与对称矩阵之间的关系，掌握实对称矩阵特征值的性质，重点掌握用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。 ［教学重难点］ 欧氏空间的定义，求向量的长度和夹角的方法，施密特正交化方法，正交变换与正交矩阵的关系，用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。 ［教学方法］讲授，讨论和习题相结合。 ［教学时间］18学时。 ［教学内容］
欧氏空间的定义和性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的矩离、最小二乘法*。 [教学过程] §1 定义、性质 定义1：设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，如果它具有以下性质： （1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+ （4）0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。 这里R k V ∈∈,,,γβα，则V 称为欧几里得空间（简称欧氏空间） 例1、例2。 练习：394P 1（1）。 定义2：非负实数),(αα称为α的长度，记为α 性质：ααk k = 单位向量：长度为1的向量。 α单位化： α α -Cauchy Буняковский不等式：βα,?，有 βαβα≤),( 等号成立当且仅当βα,线性相关。 在不同内积中，-Cauchy Буняковский不等式的具体例子： 例1中，2 2221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ
第四章 Hilbert 空间 一 内积空间的基本概念 设H 是域K 上的线性空间，对任意H y ,x ∈，有一个中K 数 ),(y x 与之对应，使得对任意H z ,y ,x ∈；K ∈α满足 1） 0)y ,x (≥；)y ,x (＝0，当且仅当 0x =； 2） )y ,x (＝_ __________)x ,y (； 3） )y ,x ()y ,x (αα=； 4） )z ,y x (+＝)z ,x (＋)z ,y (； 称)(,是H 上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。 定理1.1设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,有： |)y ,x (|2 )y ,y )(x ,x (≤。 设H 是内积空间，对任意H x ∈，命 ),(||||x x x = 则||||?是H 上的一个范数。 例 设H 是区间],[b a 上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意H y x ∈,，定义 dt t y t x y x b a ?=________ )()(),( 则与],[2b a L 类似，), (y x 是一个内积，由内积产生的范数为 2 12 ) |)(|(||||?=b a dt t x x 上一个内积介不是Hilbert 空间。
定理 1.2 设H 是内积空间，则内积),(y x 是y x ,的连续函数，即时x x n →，y y n →，),(),(y x y x n n →。 定理1.3 设H 是内积空间，对任意H y x ∈,，有以下关系式成立， 1） 平行四边形法则： 2 || ||y x +＋2 || ||y x -＝2)||||||(||2 2 y x +； 2） 极化恒等式： ),(y x ＝4 1 （2 || ||y x +－ 2 || ||y x -＋ 2 || ||iy x i +－ )||||2 iy x i - 定理1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数。 二 正交性，正交系 1 正交性 设H 是内积空间，H y x ∈,，如果0),(=y x ，称x 与y 正交，记为y x ⊥。 设M 是H 的任意子集，如果H x ∈与M 中每一元正交，称x 与M 正交，记为M x ⊥；如果N M ,是H 中两个子集， 对于任意 ,M x ∈,N y ∈y x ⊥，称M 与 N 正交，记 N M ⊥。设M 是H 的子集，所有H 中与M 正交的元的全体
线性空间与欧几里得空间 自测题 一、填空题 1、对欧几里得空间V 中的任意向量βα，，有()βαβα≤ ，，而且等号成立当且仅当 。 2、设1W 与2W 是V 的两个线性子空间，如果1W +2W 中的每个向量α都可唯一的被表示成21ααα+=，2211W W ∈∈αα，，则称1W +1W 为这两个子空间的 。 3、两个同构的线性空间的维数 。 4、第二类正交变换的行列式的值等于 。 5、如果A 是正交矩阵。若k 为实数，使kA 为正交矩阵，则k 等于 。 二、选择题 6、下列n R 的子集是n R 的子空间的为（ ） A ：(){}n i Z a a a a a i n ...,3,2,1,.....,,,321=∈ B ：(){}0.....,,,21321=a a a a a a n C ：(){}R a a a a n ∈211,,0,...,0, C ：{} 1..)...,,(2222121≤+++n n a a a a a a 7、全体正实数的集合+R 对于下面定义的加法与标量乘法：k a a k a b b a ==⊕ ,构成R 上的线性空间，则+R 的零元素为（ ） A ：0 B: 1 C: 2 D: 3 8、若A 是正交矩阵，则下列矩阵中仍为正交矩阵的是（多重选择，其中k 是1±≠的整数） A:kA B:k A C:交换A 的任两行所得的矩阵 D ：把A 的某行k 倍加到另一行所得的矩阵 9、设A 是欧几里得空间V 关于基n ααα，，，...21的度量矩阵，则A 满足以下哪个条件时，n ααα，，，...21是规范正交基？ （ ） A: A 是正交矩阵 B ：A 为对称矩阵 C ：1-A 为正交矩阵 D ：A 为单位矩阵 10、以下哪个结论不是两个线性子空间1W 与2W 的和21W W +为直和的等价命题：（ ） A ：dim ()()()()221121dim dim dim dim W W W W W W >+>+且
第二章 内积空间 在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性 质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。 §2.1欧氏空间与酉空间 一、欧氏空间与酉空间 定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x = ),(),(.2y x y x λ=λ，λ?∈R ),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ?∈ 0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ= 则称(,)x y 为V 的内积。称定义了上述内积的有限维线性空间()V R 为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21 ),(x x x =为x 的长度或模。 例1 在[]n P x 中定义1 0((),())()()f x g x f x g x dx =?，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]n P x 构成一个欧氏空间。 例2 在n n ?R 中对,n n A B ??∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ?R 为欧氏空间。 证明 因为,,,n n A B C λ??∈∈R R （1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ=== （3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+
第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R )和复数域(记为C )，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有0αα+=； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间．
第六章 线性空间和欧式空间 §1 线性空间及其同构 一 线性空间的定义 设V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算， 叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ与他们对应，成为α与β的和，记为βαγ+=。在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。 加法满足下面四条规则： 1）αββα+=+；交换律 2）)()(γβαγβα++=++；结合律 3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0（具有这个性质的元 素0称为V 的零元素）； 存在零元 4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素，使得0=+βα（β称为α的负元素）. 存在负元 数量乘法满足下面两条规则： 5）αα=1； 存在1元 6）αα)()(kl l k =. 数的结合律 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7）αααl k l k +=+)(； 数的分配律 8）βαβαk k k +=+)(. 元的分配律 在以上规则中，l k ,表示数域中的任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素。 例1． 元素属于数域K 的n m ?矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成 数域K 上的一个线性空间，记为,()m n M K 。 例2． 全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实 数域上的线性空间。 例3． n 维向量空间n K 是线性空间。
第7章向量空间与线性变换 7-1.下列向量组中，哪些是向量空间4R 的基，为什么？ （1）T )1,1,1,1(1=α，T )0,1,1,1(2=α，,)0,0,1,1(3T =αT )0,0,0,1(4=α； （2）T )1,0,0,1(1=α，T )0,1,2,0(2-=α，,)0,0,1,0(3T -=αT )1,0,3,1(4--=α； （3）T )1,0,0,1(1=α，T )0,1,1,0(2-=α，,)0,2,0,0(3T =αT )1,1,1,1(4=α； （4）T )0,0,0,1(1=α，T )0,1,1,0(2-=α，,)0,2,0,0(3T =αT )1,0,0,0(4=α.7-2. 把向量组T ),,(1101=α，T )1,0,1(2=α，T )0,1,1(3=α化为3R 的标准正交基.7-3.已知T )1,1,1(1=α，T )0,1,1(2-=α，T )0,0,1(3-=α是向量空间3R 的基，求向 量T )1,3,2(--=η在该基下的坐标． 7-4.已知T )1,0,1(1-=α，T )0,1,1(2-=α，T )0,0,3(3=α与(),0,0,11T =ε(),0,1,02T =ε()T 1,0,03=ε都是向量空间3R 的基，求基321,,ααα到基321,,εεε的过渡矩阵．7-5.在向量空间3R 中取两组基 T )1,2,1(1=α，T )0,1,3(2-=α，T )0,0,1(3=α与 (),3,0,11T =β(),1,1,12T =β()T 4,1,13-=β. （1）求基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵； （2）设ξ在基321,,ααα下的坐标是T )1,3,2(-，求ξ在基321,,βββ下的坐标．7-6.令][3x F 表示数域F 上一切次数3≤的多项式连同零多项式所组成的向量空间. （1）求这个向量空间的一个基和维数； （2）证明微分运算D 是一个线性变换. 7-7.在上一题中，求微分运算D 在所取基下的矩阵.7-8.在3 R 中，T 表示向量投影到xOy 平面的线性变换，即()T xi yj zk xi yj ++=+ .
第四章 内积空间 在第三章中，我们把n 维Euclid 空间n R 中的向量的模长推广到一般线性空间中去，得到了赋范线性空间的概念。但在n R 中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。这对仅有模长概念的赋范线性空间是做不到的。我们知道，n R 中向量的夹角是通过向量的内积描述的，因此在本章我们引入了一般的内积空间的概念。 4.1 内积空间的基本概念 首先回忆几何空间3R 中向量内积的概念。设123(,,)x t t t =，123(,,)y s s s R =∈，设x 与y 夹角为?，由解析几何知识可得 112233 cos t s t s t s x y ?++= ? 其中， 13 2 2 1 ()k k x t ==∑，13 22 1 ()k k y s ==∑ 令3 1 ,k k k x y t s ==∑，称为x 与y 的内积，不难证明它有如下性质： （1）3,0,,,0;x y x R x x x θ≥?∈=?=且 （2）3,,,,;x y y x x y R =?∈ （3）3121212,,,,,,;x x y x y x y x x y R +=+?∈ （4）3,,,,,.x y x y R x y R λλλ=?∈?∈ 注：由定义可得x = 内积我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。 现在我们引入一般的内积空间的概念。 【定义 4.1】 设X 为数域F 上线性空间，若对任两个元素（向量）x ，y X ∈，有惟一F 中数与之对应，记为,x y ，并且满足如下性质： （1）,0,,,0;x y x X x x x θ≥?∈=?=且 （2）,,,,;x y y x x y X =?∈
2、4 内积空间中的正交性 Inner Product Spaces and Orthogonality 在三维空间中,如右图1所示任取一平面M ,空间中的每一个矢量x 必能分解成两个直交的向量与,其中一个向量0x 在平面M 上,另一个向量z 与平面M 垂直,即0x x z =+,0x z ⊥.这种向 量的分解形式,在一般的内积空间就是否成立？ 图2.4.1 三维空间向量的分解,向量0x x z =+,其中0x z ⊥ 2.4.1 正交分解 定义2.4.1 正交 设X 就是内积空间,,x y X ∈,如果(,)0x y =,则称x 与y 正交或垂直,记为x y ⊥.如果X 的子集A 中的每一个向量都与子集B 中的每一个向量正交,则称A 与B 正交,记为A B ⊥.特别记x A ⊥,即向量x 与A 中的每一个向量垂直. 定理2.4.1 勾股定理 设X 就是内积空间,,x y X ∈,若x y ⊥,则2 2 2 x y x y +=+. 证明 2 (,)x y x y x y +=++ (,)(,)(,)(,)x x x y y x y y =+++ (,)(,)x x y y =+ 2 2 x y =+.□ 注1: 在内积空间中,就是否存在222 x y x y +=+ ?x y ⊥？显然由 2 x y +(,)(,)(,)(,)x x x y x y y y =+++22 2Re(,)x y x y =++, 可知在实内积空间中2 2 2 x y x y x y +=+?⊥成立. 定义2.4.2 正交补Orthogonal complement
设X 就是内积空间,M X ?,记{|,}M x x M x X ⊥=⊥∈,则称M ⊥为子集M 的正交补.显然有 {0}X ⊥=,{0}X ⊥=以及{0}M M ⊥ =. 性质2.4.1 设X 就是内积空间,M X ?,则M ⊥就是X 的闭线性子空间. 证明 (1) M ⊥就是X 的线性子空间 ,x y M ⊥?∈,,αβ∈K ,z M ?∈,有 (,)(,)(,)(,)(,)0x y z x z y z x z y z αβαβαβ+=+=+=, 于就是x y M αβ⊥+∈,因此M ⊥就是X 的线性子空间. (2) M ⊥就是X 的闭子空间 设{}n x M ⊥?,且依范数0n x x →()n →∞,于就是z M ?∈,有 0(,)(lim ,)lim(,)0n n n n x z x z x z →∞ →∞ ===. 因此0x M ⊥∈,即M ⊥就是X 的闭子空间.□ 注2: 由于完备度量空间中的子空间完备的充要条件就是子空间闭,因此在Hilbert 空间中(完备的内积空间),任意子集M 的正交补M ⊥就是完备的子空间,即Hilbert 空间的正交补M ⊥也就是Hilbert 空间. 定义2.4.3 正交分解 设M 就是内积空间X 的子空间,x X ∈,如果存在0,x M z M ⊥∈∈,使得0x x z =+,则称0x 为x 在M 上的正交投影或正交分解. 引理 2.4.1 设X 就是内积空间,M 就是X 的线性子空间,x X ∈,若存在y M ∈,使得 (,)x y d x M -=,那么x y M -⊥. 证明 令z x y =-,若z 不垂直于M ,则存在1y M ∈,使得1(,)0z y ≠,显然10y ≠. 因为α?∈K ,有 2 1 11(,)z y z y z y ααα-=-- 2 1111(,)(,)(,)z y z z y y y αααα=--+ 21111(,)[(,)(,)]z z y y z y y ααα=--- 特别取111(,) (,) y z y y α= ,则可得
欧氏空间中线性变换和正交变换的关系 摘要 对欧式空间中的线性变换与正交变换之间的关系进行讨论 关键词：欧式空间 线性变换 正交变换 线性变换和正交变换是欧氏空间的两种重要变换。本文首先引入线性变换和正交变换在欧氏空间中的定义，然后讨论两者之间的关系。为了阅读方便，本文从最基本的概念谈起，即先定义线性空间、内积、欧氏空间、线性变换和正交变换。 定义1 设V 不是空集，P 为一个数域，在V 中定义加法和数量乘法（简称数乘），若对P l k V ∈?∈?,,,,γβα，满足： （1）V ∈+βα，（关于加法封闭） （2）αββα+=+，（交换律） （3）） （）（γβαγβα++=++，（结合律） （4）V V ∈?=+∈?ααα，使0,0，（零元） （5）0=-+∈-?∈?）（，使）（，ααααV V ，（负元） （6）V k ∈?α（关于数乘封闭） （7）αα=?1 （8）αα）（）（kl l k = （9）αααl k l k +=+）（ （10）βαβαk k k +=+）（ 则称V 为数域P 上的线性空间。 定义2 设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，它具有以下性质（R k V ∈∈,,,γβα）： （1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+ （4）0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。 定义3 定义2中的线性空间V 就称为欧几里得空间，简称欧氏空间。 定义4 设V 是一个线性空间，P 为一个数域，对于P k V ∈?∈?,,βα，有 （1）()()()A A A αβαβ+=+ （2）()()A k kA αα?= 则称A 为V 上的线性变换。 定义5 设A 是欧氏空间V 的一个变换，如果对于任意的,,V ∈βα即保持内积不变，
泛函分析题1_6内积空间p75 1.6.1 (极化恒等式) 设a是复线性空间X上的共轭双线性函数，q是由a诱导的二次型，求证：?x, y∈X，有 a(x, y) = (1/4) · ( q(x + y) -q(x-y) + i q(x + i y) -i q(x-i y))． 证明：?x, y∈X， q(x + y) -q(x-y) = a(x + y, x + y) -a(x-y, x-y) = (a(x, x) + a(x, y) + a(y, x) + a(y, y)) - (a(x, x) -a(x, y) -a(y, x) + a(y, y)) = 2 (a(x, y) + a(y, x))， 将i y代替上式中的y，有 q(x + i y) -q(x-i y) = 2 (a(x, i y) + a(i y, x)) = 2 (-i a(x, y) + i a( y, x))， 将上式两边乘以i，得到 i q(x + i y) -i q(x-i y) = 2 ( a(x, y) -a( y, x))， 将它与第一式相加即可得到极化恒等式． 1.6.2 求证在C[a, b]中不可能引进一种内积( · , · )，使其满足 ( f, f )1/2 = max a ≤x≤b| f (x) |(?f∈C[a, b] )． 证明：若C[a, b]中范数|| · ||是可由某内积( · , · )诱导出的， 则范数|| · ||应满足平行四边形等式． 而事实上，C[a, b]中范数|| · ||是不满足平行四边形等式的， 因此，不能引进内积( · , · )使其适合上述关系． 范数|| · ||是不满足平行四边形等式的具体例子如下： 设f(x) = (x–a)/(b–a)，g(x) = (b–x)/(b–a)， 则|| f || = || g || = || f + g || = || f –g || = 1， 显然不满足平行四边形等式． 1.6.3 在L2[0, T]中，求证函数x# | ?[0, T]e- ( T-τ)x(τ) dτ| ( ?x∈L2[0, T] )在单位球面上达到最大值，并求出此最大值和达到最大值的元素x． 证明：?x∈L2[0, T]，若|| x || = 1，由Cauchy-Schwarz不等式，有 | ?[0, T]e- ( T-τ)x(τ) dτ|2≤ (?[0, T] (e- ( T-τ))2dτ) (?[0, T] ( x(τ))2dτ) = ?[0, T] (e- ( T-τ))2dτ = e- 2T ?[0, T]e 2τdτ= (1-e- 2T )/2． 因此，该函数的函数值不超过M = ((1-e- 2T )/2)1/2． 前面的不等号成为等号的充要条件是存在λ∈ ，使得x(τ) = λ e- ( T-τ)． 再注意|| x || = 1，就有?[0, T] (λ e- ( T-τ))2dτ= 1． 解出λ= ±((1-e- 2T )/2)- 1/2． 故当单位球面上的点x(τ) = ±((1-e- 2T )/2)- 1/2 ·e- ( T-τ)时， 该函数达到其在单位球面上的最大值((1-e- 2T )/2)1/2． 1.6.4 设M, N是内积空间中的两个子集，求证：M?N ?N⊥?M⊥． 证明：若x∈N⊥，则?y∈N，(x, y) = 0． 而M?N，故?y∈M，也有(x, y) = 0． 因此x∈M⊥．所以，N⊥?M⊥．
2.3 内积空间与希尔伯特空间 通过前面的学习，知道n 维欧氏空间就是n 维线性赋范空间的“模型”，范数相当于向量的模，表明了线性赋范空间的代数结构．对于三维向量空间，我们知道向量不仅有模，而且两个向量有夹角，例如θ为向量α和β的夹角时有：cos αβ θαβ ?= 或者cos αβαβθ?=，其中αβ?表示两个向量的数量积(或点积或内积)，α表示向量的模．于是便有了直交性、直交投影以及向量的分解等概念，这些均反映了空间的“几何结构”．通过在线性空间上定义内积，可得到内积空间，由内积可导出范数，若完备则为Hilbert 空间． 2.3.1 内积空间 定义1.1 设U 是数域K 上的线性空间，若存在映射( , )??：U U ?→K ，使得,,x y z U ?∈， α∈K ，它满足以下内积公理： (1) (,)0x x ≥；(,)00x x x =?=； 正定性(或非负性) (2) (,)(,)x y y x =； 共轭对称性 (3) (,)(,)(,)x z y x y z y αβαβ+=+， 线性性 则称在U 上定义了内积( , )??，称(,)x y 为x 与y 的内积，U 为K 上的内积空间(Inner product spaces )．当=K R 时，称U 为实内积空间；当=K C 时，称U 为复内积空间．称有限维的实内积空间为欧几里德(Euclid spaces )空间,即为欧氏空间；称有限维的复内积空间为酉(Unitary spaces )空间． 注1：关于复数：设z a bi =+∈C ，那么z oz =；(cos sin )z r i θθ=+其中θ为辐射角、r z =；2 z z z ?=；z z =；对于12,z z ∈C ，有1212z z z z ?=?． 注2：在实内积空间中，第二条内积公理共轭对称性变为对称性． 注3：在复内积空间中，第三条内积公理为第一变元是线性的，第二变元是共轭线性的． 因为(,)(,)(,)(,)(,)x y y x y x y x x y ααααα===?=，所以有 (,)(,)(,)x y z x y x z αβαβ+=+， 即对于第二变元是共轭线性的．在实内积空间中，第三条内积公理为第一变元、第二变元均为
第3讲 实内积空间 内容：1. 实内积空间 2. 正交基及正交补与正交投影 3. 内积空间的同构 4. 正交变换与对称变换 在线性空间中，元素（向量）之间的运算仅限于元素（向量）的线性运算．但是，如果以向量作为线性空间的一个模型，则会发现向量的度量(即长度)与向量间的位置关系在线性空间的理论中没有得到反映，而这些性质在许多实际问题中却是很关键的．因此，将在抽象的线性空间中引进内积运算，导出内积空间，并讨论正交变换与正交矩阵及对称变换与对称矩阵． §1 内积空间 在解析几何中，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的数量积来表示，而向量的数量积具有以下的代数性质：对称性),(),(αββα=；可加性 ),(),(),(γβγαγβα+=+；齐次性R k k k ∈?=),,(),(βαβα；非负性0),(≥αα，当且仅当0=α时,0),(=αα．以数量积为基础,向量的长度与夹角可表示为： ),(ααα=，β αβαβα?>=<),(,cos ．可见数量积的概念蕴涵着长度与夹角的概念，将该概念推广至抽象的线性空间．
定义1.1 设V 是实线性空间，若对于V 中任意两个元素（向量）α和β，总能对应唯一的实数，记作),(βα，且满足以下的性质： (1) 对称性 ),(),(αββα= (2) 可加性 ),(),(),(γβγαγβα+=+ (3) 齐次性 R k k k ∈?=),,(),(βαβα (4) 非负性 0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα． 则称该实数是V 中向量α和β的内积． 称内积为实数的实线性空间V 为欧几里得(Euclid)空间，简称为欧氏空间．称定义了内积的线性空间为内积空间． 例 1.1 在n 维向量空间n R 中,任意两个向量：T n x x x ),,,(21 =α，T n y y y ),,,(21 =β，若规定： βαβαT n k k k n n y x y x y x y x ==+++=∑=12211),( ， 则容易验证,这符合内积的定义，是n R 中向量α和β的内积．另外，若规定:∑==n k k k y kx 1),(βα，0>k ，同样可验证，这也 是n R 中向量α和β的内积． 由此可见，在同一个实线性空间的元素之间，可以定义不同的内积，即内积不是唯一的．从而，同一个实线性空间在不同内积下构成不同的欧氏空间． 例 1.2 在[]b a ,上连续的实函数的实线性空间[]b a C ,中，
第七章 线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n .
内积空间 (2012-06-17 20:13:58) ▼ 内积空间 内积的几何解释 在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。这个额外的结构叫做内积或标量积。这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。 关于内积空间的例子，请参看希尔伯特空间。 内积空间有时也叫做准希尔伯特空间(pre-Hilbert Space)，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。 在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数／不可数）的欧几里德空间。 定义 下文中的数量域F是实数域或复数域。 域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式，称作内积（F是[[实数域]]时，内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式）： 满足以下公理： 共轭对称； 这个设定蕴含着对于所有, 因为. (共轭也写成加星号：，如同共轭转臵。)
?对第一个元素是线性算子； 由前两条可以得到： 因此实际上是一个半双线性形式。 ?非负性： (这样就定义了对于所有。说明内积是从点积抽象而来。) ?非退化： 从V到对偶空间V*的映射：是同构映射。 在有限维的矢量空间中，只需要验证它是单射。 当且仅当。 因此，内积空间是一个Hermitian形式。 V满足可加性： 对所有的，， 如果F是实数域R那么共轭对称性质就是对称性。 共轭双线性变成了一般的双线性。 备注。多数数学家要求内积在第一个参数上是线性的而在第二个参数上是共轭线性的，本文接受这种约定。很多物理学家接受相反的约定。这种改变是非实质性的，但是相反的定义提供了与量子力学中的狄拉克符号更平滑的连接，现在也偶尔被数学家使用。某些作者接受约定 < , > 在第一个分量是线性的而 < | > 在第二个分量上是线性的，尽管不普遍。 选择R或C作为内积空间的基域是有原因的。首先，这个域要包含一个有序关系的子域，否则就无法谈论“非负性”，因此它的特征必须是零。这样就排除了所有的有限域。基础域必须有额外的结构，比如有显著的自同构。 在某些情况下，必须考虑非负半定半双线性形式。这意味着
第六章线性空间与线性变换 1.验证: (1)2阶矩阵的全体S i ； ⑵主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2； (3)2阶对称矩阵的全体S 「 对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 解(1)设A,B 分别为二阶矩阵，则A,B S i 显然 (A B) S i ,k A S i ,从而对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. 0 0 1 是S 1的一个基. a b de A B ⑵设 c a , f d A,B S 2 (a d) c b ka kb A B S 2 kA S 2 c a a d kc ka 1 0 0 1 0 0 1 2 3 0 1 0 0 1 0 是 ?个 基. ⑶设A, B S 3 ，则 T A A,B T B (A B)T A T B T A B ，从而(A B) S 3 (kA) kA 从，故kA S 3，所以对于加法和乘数运算构成线性空 间. 2.验证：与向量(0,0,1) 不平行的全体3维数组向量，对于数组向量 的 加法和乘数运算不构成线性空间. 解 设V 与向量(0,0,1)不平行的全体三维向量，设「1 (1,1,0) r 2 ( 1,0,1)，则「1,「2 V .但「1 「2 (0,0,1) V 即 V 不是线性空间. 1 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 3 0 1 是S 3的一个基. 1 并写出各个空间的一个基.
3 .设U 是线性空间V 的一个子空间，试证：若U 与V 的维数相等，则 U V . 证明设1 2 r 为U 的一组基，它可扩充为整个空间 V 的一个基， 由 于dim(U) dim(V)从而i 2 r 也为V 的一个基，贝卩：对于x V 可 以表示为x ki 1 k 2 2 kr r .显然，x U ，故V U ，而由 已知知U V ，有U V . 4 .设V r 是n 维线性空间V n 的一个子空间，a 1, a r 是V r 的一个基.试 证：V n 中存在元素a r 1, a n ，使印， a 2, a r 冃仆，a n 成为V n 的一个 基. 证明 设r n ,则在V n 中必存在一向量a r 1 V r ,它不能被ai ，a 2, a r 线性表示，将 a r 1 添加进来，则a i ，a 2，a 3， a r 1是线性无关的.若 r 1 n ,则命题得证，否则存在a r 2 L(a 1,a 2, ,a r 1)则 a 1,a 2, ,a r 2线性无关，依此类推，可找到n 个线性无关 的向量 a 1，a 2， ，a n ，它们是V n 的一个基. 5 .在 R 3 中求向量 (3,7,1) 在基 1 (1,3,5) , 2 (6,3,2), 3 (3,1,0/ 下的坐标. 解 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0O1) 1 6 3 A 3 3 1 ( T T (1 , 2 , T )(:, T 2 , ；)A 5 2 0 X 1‘ X 1 2 6 3 x 1 X 2' A 1 X 2 5 15 8 x 2 坐标变换公式： X 3‘ X 3 9 28 15 X 3 X 1' 2 6 3 3 33 X 2‘ 5 15 8 7 82 故所求为X 3' 9 28 15 1 154 ? 所求坐标为33, 82,154
向量空间 典型例题： 1 设12,,,n V ααα∈L 线性无关，问12231,,,n αααααα+++L 是否线性无关？ 解：设()()11210n n k k αααα+++=L 即()()11122n k k k k αα+++++L ()1n n k k -+0n α= 由12,,,n αααL 是线性无关知， 110 0n n n k k k k -+=?? ? ?+=?M 由()1 1001110 0 2 110 000 1n n A n +?? ?? ?==+-=? ?? ??? L L L L L L L L 为奇数为奇数，知 当12231,,,n n αααααα+++L 为奇数时，线性无关。 2 在n V 维线性空间中，设()1212,,,,0n n i a a a a αααα≠L L 关于基的坐标为，试求()100V αL 的一组基，使得关于这组基的坐标为，，，。 解：由()112,,n n a a a ααα?? ?= ? ??? L M ，设12,n βββL 为另一组基，则 ()111,0,,0n βαββ?? ? == ? ??? L M ，所以111n n a a βααα==++L 取22,,n n βαβα==L ，则12,n βββL 线性无关且满足题意。 3 证明：设n V n 维向量空间可以表示为个一维子空间的直和。 证明：设12,n αααL ， 是V 的一组基，令(),1,2,,i i w L i n α==L 则12n w w w V +++?L 显然成立，设11n n V k k αααα∈=++L ，则 又111,,n n n k w k w αα∈∈L ，所以12n w w w α∈+++L ，即12n w w w V +++?L