第六章 线性空间与欧式空间
§1 线性空间及其同构
一 线性空间得定义
设V 就是一个非空集合,K 就是一个数域,在集合V 得元素之间定义了一种代数运算,
叫做加法;这就就是说,给出了一个法则,对于V 中任意两个元素α与β,在V 中都有唯一得一个元素γ与她们对应,成为α与β得与,记为βαγ+=。在数域K 与集合V 得元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法,即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α,在V 中都有唯一得一个元素δ与她们对应,称为k 与α得数量乘积,记为αδk =,如果加法与数量乘法满足下述规则,那么V 称为数域K 上得线性空间。
加法满足下面四条规则:
1)αββα+=+;交换律
2))()(γβαγβα++=++;结合律
3)在V 中有一个元素0,对于V 中任一元素α都有αα=+0(具有这个性质得元素0
称为V 得零元素); 存在零元
4)对于V 中每一个元素α,都有V 中得元素,使得0=+βα(β称为α得负元素)、存
在负元
数量乘法满足下面两条规则:
5)αα=1; 存在1元
6)αα)()(kl l k =、 数得结合律
数量乘法与加法满足下面两条规则:
7)αααl k l k +=+)(; 数得分配律
8)βαβαk k k +=+)(、 元得分配律
在以上规则中,l k ,表示数域中得任意数;γβα,,等表示集合V 中任意元素。
例1． 元素属于数域K 得n m ?矩阵,按矩阵得加法与矩阵得与数得数量乘法,构成数
域K 上得一个线性空间,记为,()m n M K 。
例2． 全体实函数(连续实函数),按函数得加法与数与函数得数量乘法,构成一个实数
域上得线性空间。
例3． n 维向量空间n K 就是线性空间。
例4． 向量空间得线性映射得集合(,)m n K Hom K K 就是线性空间。
二.简单性质
1.零元素就是唯一得。
2.负元素唯一。
3.00=α,00=k ,αα-=-)1(。
4.若0=αk ,则0=k 或者0=α。
三、同构映射
定义:设,V V '就是数域K 上得线性空间、 (,)K A Hom V V '∈就是一个线性映射、如果A 就
是一一映射,则称A 就是线性空间得同构映射,简称同构。线性空间V 与'V 称为同构
得线性空间。
定理 数域P 上两个有限维线性空间同构得充分必要条件就是她们有相同得维数。
同构映射得逆映射以及两个同构映射得乘积还就是同构映射。
?同构
线性空间分类?维数
§2 线性子空间得与与直与
子空间得与:设12,W W 就是线性空间V 得子空间,则集合121122{}W W W αααα=+∈∈|或
也就是一个线性子空间,称为12,W W 得与,记为12W W +、
两个线性子空间得与12W W +就是包含这两个线性子空间得最小子空间、
满足交换律、结合律
设1,,s αα与1,,t ββ就是V 得两个向量组、则
1111(,,)(,,)(,,,,,)s t s t L L L ααββααββ+=
线性子空间中得线性无关向量组都能被扩充成这个子空间得一个基。
定理:(维数公式)如果12,W W 就是线性空间V 得两个子空间,那么
1dim()W + 2dim()W =12dim()W W ++ 12dim()W W ?
由此可知,与得维数要比维数得与来得小。推广到有限个线性子空间得与空间维数
推论:如果n 维线性空间V 中两个子空间21,V V 得维数之与大于n ,那么21,V V 必含有非零
得公共向量。
直与:设12,W W 就是线性空间V 得子空间,如果12W W +中得每个向量α都能被唯一地表
示成21ααα+= 1122,W W αα∈∈、则称12W W +为直与,记为12W W ⊕。
设12,W W 就是线性空间V 得子空间,则下列结论互相等价:
设W 就是线性空间V 得一个子空间,那么一定存在V 得一个线性子空间U ,使得 V W U =⊕ 满足上述条件得线性子空间U 称为W 得补子空间、
推广到有限多个线性子空间也可以定义它们得直与
.dim dim )dim(3;
0,,1211111m m j i m j j i m W W W W W W m i W W ++=++=?
=++∑≠≤≤ ）（有）对（是直和；）（
§3 欧式空间
定义 设V 就是实数域R 上得有限维线性空间,在V 上定义了一个二元实函数,称为内积,记作),(βα,满足以下四条公理:
1)对称性 ),(),(αββα=;
2)关于标量乘法线性性质 ),(),(βαβαk k =;
3) 关于向量加法得线性性质),(),(),(γβγαγβα+=+;
4)正定性0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα
这里γβα,,就是V 任意得向量,k 就是任意实数,这样得线性空间V 称为欧几里得空间、
12121212(1)(2)0;
(3)dim()dim dim .
W W W W W W W W +?=+=+是直和；
12m W W W V 设，，
，是的线性子空间，则下列结论相互等价：
例1 在线性空间n R 中,对于向量
),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,
定义内积
.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)
则内积(1)适合定义中得条件,这样n R 就成为一个欧几里得空间、
3=n 时,(1)式就就是几何空间中得向量得内积在直角坐标系中得坐标表达式、
例2 在n R 里, 对于向量
),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,
定义内积
.2),(2211n n b na b a b a +++= βα
则内积(1)适合定义中得条件,这样n
R 就也成为一个欧几里得空间、
对同一个线性空间可以引入不同得内积,使得它作成欧几里得空间、
例 3 在闭区间],[b a 上得所有实连续函数所成得空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积 ?=b
a dx x g x f x g x f )()())(),((、 (2) 对于内积(2),),(
b a C 构成一个欧几里得空间、
同样地,线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间、
例4 令H 就是一切平方与收敛得实数列
+∞<=∑∞
=1221),,,,(n n n x x x x ξ
所成得集合,则H 就是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间、
定义 非负实数),(αα称为向量α得长度,记为α、
显然,向量得长度一般就是正数,只有零向量得长度才就是零,这样定义得长度符合熟知得性质:
αα||k k = (3)
这里V R k ∈∈α,、
长度为1得向量叫做单位向量、如果,0≠α由(3)式,向量
αα1
就就是一个单位向量、用向量α得长度去除向量α,通常称为把α单位化、
(Cauchy-Buniakowski 不等式)对任意得向量,,αβ有
|(,)|||||,αβαβ≤
而且等号成立当且仅当,,αβ线性相关、(保证向量夹角定义得合理性)
定义 非零向量βα,得夹角><βα,规定为
πβα
βαβαβα≤≤>=<,0,)
,(arccos ,
根据柯西-布涅柯夫斯基不等式,有三角形不等式
βαβα+≤+、
定义 如果向量βα,得内积为零,即
0),(=βα
那么βα,称为正交或互相垂直,记为βα⊥、 两个非零向量正交得充要条件就是它们得夹角为
2
π、只有零向量才与自己正交、 勾股定理:当βα,正交时, .22
2βαβα+=+
推广:如果向量两m ααα,,,21 两两正交,那么 2
2221221m m αααααα+++=+++ 、
(),(,)ij nn ij i j A a a ηη==
称为基n εεε,,,21 得度量矩阵、度量矩阵完全确定了内积、
(,)T X AY αβ=
标准欧式空间(其内积关于自然基得度量矩阵就是n 阶单位阵)
定义 欧氏空间V 得一组非零得向量,如果它们两两正交,就称为一个正交向量组、
由单个非零向量所成得向量组也就是正交向量组、
在n 维欧氏空间中,两两正交得非零向量不能超过n 个、
正交向量组一定就是线性无关得。
若正交向量组中得向量都就是单位向量,则称为规范正交组。
定义 在n 维欧氏空间中,由n 个向量组成得正交向量组称为正交基;由单位向量组成得正交基称为规范正交基组、对一组正交基进行单位化就得到一组规范正交基、
欧式空间得线性子空间必存在规范正交基。
在规范正交基下,向量得内积可以通过坐标简单地表示出来, 1122(,).T n n x y x y x y X Y αβ=+++=
这个表达式正就是几何中向量得内积在直角坐标系中坐标表达式得推广、
把一组线性无关得向量变成一单位正交向量组得方法在一些书与文献中称为格拉姆-施密特(Schimidt)正交化方法、 (P314)
定义 欧氏空间V 与V '称为同构得,如果存在线性空间得同构(,)R A Hom V V '∈,保持内积,即 ((),())(,)A A αβαβ'=,
对任意得,V αβ∈成立,这样得映射A 称为V 到V '得同构映射、
同构得欧氏空间必有相同得维数、
每个n 维得欧氏空间都与n R 同构、
同构作为欧氏空间之间得关系具有反身性、对称性与传递性、
由每个n 维欧氏空间都与n R 同构知,任意两个n 维欧氏空间都同构、
定理 两个有限维欧氏空间同构?它们得维数相等、
这个定理说明,从抽象得观点瞧,欧氏空间得结构完全被它们得维数决定、
§4 欧式空间中得正交补空间与正交投影
S 就是欧式空间V 得一个子集,如果V 中向量α与S 中每个向量都正交,则称α与S 正交,记做S α⊥、
正交投影得定义,正交投影得求法(P321-323) V W W ⊥=⊕,则其中每个向量α都能唯一得表示成1212,,W W ααααα⊥=+∈∈ 1W α∈就是α在W 上得正交投影得充要条件就是1W αα⊥-∈、
令1
:W P V W V αα→?则W P 为V 在W 上得正交投影、在W 中取一个规范正交基1,,m ηη,则α在W 上得正交投影为1()(,)m W i i i P ααηη==
∑、 正交投影得求法:
（1） 用施密特正交化方法求出W 得规范正交基,再用1()(,)m W i i i P ααηη==
∑ （2） 设1i W αη=∈∑,则21W ααα⊥=-∈,2(,)0i αη=解齐次线性方程组
（3） 把(2)写成矩阵形式,解决T A AX AY =,()W P AX α=
V 中任意向量α在子空间W 上得最佳逼近元存在且唯一,就就是α在W 上得正交投 影()W P α、
最小二乘法(偏差总与最小——>偏差平方与最小)(P327-328)
最小二乘法问题:线性方程组
S V ,V ,,{|(,)0}.S S S S V S ααββ⊥⊥=∈=∈定义设是欧几里得空间的一个非空子集中与正交的所有向量组成的集合称为的正交补记作即对所有的.
S V S V ⊥命题设是欧几里空间的任意一个非空子集，则是的一个线性子空间.W V V W W ⊥=⊕定理设是欧几里得空间的一个线性子空间，则
11,||||,.W V V W W W ααααααββ∈∈-≤-∈定理设是欧几里得空间的子空间，对于是在上的正交投影的充分必要条件为
对所有的.||||,.W V V W W W αδβαδαβδα∈-≤-定义设是欧几里得空间的一个子空间，是中的向量如果中存在一个向量使得对所有的有那么称为在上的最佳逼近元
???????=-+++=-+++=-+++0
,0,022112222212111212111n s ns n n s s s s b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 可能无解、即任何一组数s x x x ,,,21 都可能使
∑=-+++n i i s is i i b x a x a x a
1
22211)( (1) 不等于零、我们设法找00201,,,s x x x 使(1)最小,这样得00201,,,s x x x 称为方程组得最小二乘
解、这种问题就叫最小二乘法问题、
下面利用欧氏空间得概念来表达最小二乘法,并给出最小二乘解所满足得代数条件、
.,,,1121121212122221
11211AX x a x a x a Y x x x X b b b B a a a a a a a a a A s j j nj s j j j s j j j s n ns n n s s =?????????
? ??=??????? ??=??????
? ??=??????? ??=∑∑∑=== (2) 用距离得概念,(1)就就是
2
B Y -
最小二乘法就就是找00201,,,s x x x 使Y 与B 得距离最短、但从(2),知道向量Y 就就是 .21222122121111??????
? ??++??????? ??+??????? ??=ns s s s n n a a a x a a a x a a a x Y 把A 得各列向量分别记成s ααα,,,21 、由它们生成得子空间为),,,(21s L ααα =、Y 就就是),,,(21s L ααα =中得向量、于就是最小二乘法问题可叙述成:
找X 使(1)最小,就就是在),,,(21s L ααα =中找一向量Y ,使得B 到它得距离比到子空间),,,(21s L ααα =中其它向量得距离都短、
应用前面所讲得结论,设
s s x x x AX Y ααα+++== 2211
就是所求得向量,则
AX B Y B C -=-=
必须垂直于子空间),,,(21s L ααα =、为此只须而且必须
0),(),(),(21====s C C C ααα
回忆矩阵乘法规则,上述一串等式可以写成矩阵相乘得式子,即
120,0,
,0.T T T s C C C ααα=== 而12,,,T T T s ααα按行正好排成矩阵T A ,上述一串等式合起来就就是
()0T A B AX -=
或
T T A AX A B =
这就就是最小二乘解所满足得代数方程,它就是一个线性方程组,系数矩阵就是T A A ,常数项就是T
A B 、这种线性方程组总就是有解得、
§5 正交变换与正交矩阵
定义 欧氏空间V 得线性变换A 叫做一个正交变换,如果它保持向量得内积不变,即对任意得,都有V ∈βα,,都有
(A α,A β)=),(βα、
正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画、正交群(,)O n R
设A 就是n 维欧氏空间得一个正交变换,则有以下结论:
（1） 如果n εεε,,,21 就是规范正交基,那么A 1ε, A 2ε,…, A n ε也就是规范正交基;
（2） A 保持向量得长度不变,即对于V ∈α,(A α,A α)=(α,α);
（3） A 在任一组规范正交基下得矩阵就是正交矩阵T A A E =、
（4） 正交变换得乘积与正交矩阵得逆矩阵也就是正交矩阵、
如果A 就是正交矩阵,那么由 T AA E =
可知 12=A 或者1±=A 、
因此,正交变换得行列式等于+1或-1、行列式等于+1得正交矩阵通常称为旋转,或者称为第一类得,特殊正交群(,)SO n R ;行列式等于-1得正交变换称为第二类得、
1123410T T A n A A A AA E A -==推论设是一个阶实数矩阵，那么下列条件是等价的：（）是正交矩阵；（）；
（）；（）的每个列的元素的平方和等于，不同列的对应元素之积和等于，即：510.A （）的每个行的元素的平方和等于，不同行的对应元素之积和等于
线性空间与欧几里得空间 自测题 一、填空题 1、对欧几里得空间V 中的任意向量βα，，有()βαβα≤ ，，而且等号成立当且仅当 。 2、设1W 与2W 是V 的两个线性子空间，如果1W +2W 中的每个向量α都可唯一的被表示成21ααα+=，2211W W ∈∈αα，，则称1W +1W 为这两个子空间的 。 3、两个同构的线性空间的维数 。 4、第二类正交变换的行列式的值等于 。 5、如果A 是正交矩阵。若k 为实数，使kA 为正交矩阵，则k 等于 。 二、选择题 6、下列n R 的子集是n R 的子空间的为（ ） A ：(){}n i Z a a a a a i n ...,3,2,1,.....,,,321=∈ B ：(){}0.....,,,21321=a a a a a a n C ：(){}R a a a a n ∈211,,0,...,0, C ：{} 1..)...,,(2222121≤+++n n a a a a a a 7、全体正实数的集合+R 对于下面定义的加法与标量乘法：k a a k a b b a ==⊕ ,构成R 上的线性空间，则+R 的零元素为（ ） A ：0 B: 1 C: 2 D: 3 8、若A 是正交矩阵，则下列矩阵中仍为正交矩阵的是（多重选择，其中k 是1±≠的整数） A:kA B:k A C:交换A 的任两行所得的矩阵 D ：把A 的某行k 倍加到另一行所得的矩阵 9、设A 是欧几里得空间V 关于基n ααα，，，...21的度量矩阵，则A 满足以下哪个条件时，n ααα，，，...21是规范正交基？ （ ） A: A 是正交矩阵 B ：A 为对称矩阵 C ：1-A 为正交矩阵 D ：A 为单位矩阵 10、以下哪个结论不是两个线性子空间1W 与2W 的和21W W +为直和的等价命题：（ ） A ：dim ()()()()221121dim dim dim dim W W W W W W >+>+且
泛函分析题1_2完备化p13 1.2.1 (空间S) 令S为一切实(或复)数列 x = ( ξ1, ξ2, ..., ξn, ... ) 组成的集合，在S中定义距离为 ρ(x, y) = ∑k ≥ 1 (1/2k) · | ξk -ηk |/(1 + | ξk -ηk | )， 其中x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )，y = ( η1, η2, ..., ηk, ... )．求证S为一个完备的距离空间．证明：(1) 首先证明ρ是S上的距离． ρ的非负性和对称性是显然的； 因为实函数f (t) = t /(1 + t ) = 1 - 1/(1 + t )在[0, +∞)严格单调增， 故对任意a, b∈ ，有 | a |/(1 + | a |) + | b |/(1 + | b |) ≥ | a | /(1 + | a | + | b |) + | b |/(1 + | a | + | b |) = ( | a | + | b | )/(1 + | a | + | b |) ≥ ( | a + b | )/(1 + | a + b |)， 由此可立即得知ρ在S上满足三角不等式． 所以，ρ是S上的距离，从而(S, ρ)为距离空间． (2) 设{x n}是S中的一个Cauchy列，记x n = ( ξ1(n), ξ2(n), ..., ξk(n), ... )． 则?k∈ +，(1/2k) · | ξk(n)-ξk(m)|/(1 + | ξk(n)-ξk(m)| ) ≤ρ(x n, x m) → 0 (m, n→∞)．， 因此| ξk(n)-ξk(m)| → 0 (m, n→∞)． 故{ξk(n)}n ≥ 1是 (或 )中的Cauchy列，因此也是收敛列． 设ξk(n)→ξk ( n→∞)，并设x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )，则x∈S． 下面证明ρ(x n, x)→ 0 ( n→∞)． ?ε > 0，存在K∈ +，使得∑k > K (1/2k) < ε /2． 又存在N∈ +，使得?n∈ +，当n > N时，?k≤K都有| ξk(n)-ξk | < ε /2． 此时，ρ(x n, x) = ∑k ≥ 1 (1/2k) · | ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) = ∑k ≤K (1/2k)·| ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) + ∑k > K (1/2k)·| ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) ≤∑k ≤K (1/2k)·| ξk(n)-ξk | + ∑k > K (1/2k) < (ε /2) ·∑k ≤K (1/2k) + ε /2 < ε /2 + ε /2 = ε． 所以，x n→x ( n→∞)． 因此S中的Cauchy列都是收敛列，故S为完备距离空间． 1.2.2 在一个度量空间(X, ρ)上，求证：基本列是收敛列，当且仅当其中存在一串收敛子列． 证明：必要性是显然的，只证明充分性． 设{x n}是X中的一个Cauchy列，且{x n}有一个收敛子列{x n(k)}，记x n(k) →x． ?ε > 0，存在N∈ +，使得?m, n≥N都有ρ(x n, x m) < ε /2．
第六章 线性空间和欧式空间 §1 线性空间及其同构 一 线性空间的定义 设V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算， 叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ与他们对应，成为α与β的和，记为βαγ+=。在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。 加法满足下面四条规则： 1）αββα+=+；交换律 2）)()(γβαγβα++=++；结合律 3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0（具有这个性质的元 素0称为V 的零元素）； 存在零元 4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素，使得0=+βα（β称为α的负元素）. 存在负元 数量乘法满足下面两条规则： 5）αα=1； 存在1元 6）αα)()(kl l k =. 数的结合律 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7）αααl k l k +=+)(； 数的分配律 8）βαβαk k k +=+)(. 元的分配律 在以上规则中，l k ,表示数域中的任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素。 例1． 元素属于数域K 的n m ?矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成 数域K 上的一个线性空间，记为,()m n M K 。 例2． 全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实 数域上的线性空间。 例3． n 维向量空间n K 是线性空间。
1.3度量空间的可分性与完备性 在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间． 1.3.1 度量空间的可分性 定义1.3.1设X是度量空间，,A B X ?，如果B中任意点x B ∈的任何邻域(,) O xδ内都含有A的点，则称A在B中稠密．若A B ?，通常称A是B的稠密子集． 注1：A在B中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数． 定理1.3.1设(,) X d是度量空间，下列命题等价： (1) A在B中稠密； (2) x B ?∈，{} n x A ??，使得lim(,)0 n n d x x →∞ =； (3) B A ?（其中A A A ' =，A为A的闭包，A'为A的导集(聚点集)）； (4) 任取0 δ>，有(,) x A B O xδ ∈ ?．即由以A中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B． 证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理1.3.2稠密集的传递性设X是度量空间，,, A B C X ?，若A在B中稠密，B在C 中稠密，则A在C中稠密． 证明由定理1.1知B A ?，C B ?，而B是包含B的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A在C中稠密．□ 注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass多项式逼近定理) 闭区间[,] a b上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．} (1)多项式函数集[,] P a b在连续函数空间[,] C a b中稠密． 参考其它资料可知：
第2章 赋范线性空间 虽然不允许我们看透自然界本质的秘密, 从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设 足以解释许多现象. Eurler L . (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家) Schmidt E .在1908 年讨论由复数列组成的空间}||: ){(1 2∞<∑∞ =i i i z z 时引入记号 ||||z 来表示2 11 )(∑∞ =i i i z z ,||||z 后来就称为z 的范数.赋范空间的公理出现在Riesz F .在 1918 年关于],[b a C 上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 Banach S .（1892—1945）、Hahn H .（1879—1934）、Helly E .（1884—1943）和 Wiener N .（1894—1964）给出的,其中以Banach S .的工作最具影响. 2.1赋范空间的基本概念 线性空间是Peano Giuseppe 在1888年出版的书Geometrical Calculus 中引进的.Banach S .在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为 Banach 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数, 第三组给出了空间的完备性. 定义 2.1.1 设K 是实数域R 或复数域C ,X 是数域K 上的线性空间,若||||?是X 到R 的映射,且满足下列条件： (1) 0||||≥x 且0||||=x 当且仅当0=x ; (2) ||||||||||x x λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ ;
1.3 度量空间的可分性与完备性 在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间． 1.3.1 度量空间的可分性 定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ?，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ?，通常称A 是B 的稠密子集． 注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数． 定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密； (2) x B ?∈，{}n x A ??，使得lim (,)0n n d x x →∞ =； (3) B A ?（其中A A A '=U ，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）； (4) 任取0δ>，有(,)x A B O x δ∈?U ．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合 覆盖B ． 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ?，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密． 证明 由定理1.1知B A ?，C B ?，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A 在C 中稠密．□ 注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．} (1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知： (2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密． (3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得： (4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ???． 定义1.3.2 设X 是度量空间，A X ?，如果存在点列{}n x A ?，且{}n x 在A 中稠密，则称A 是可分点集(或称可析点集)．当X 本身是可分点集时，称X 是可分的度量空间．
泛函分析主要内容 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 1、度量空间 定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有 （I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y； （II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)； （III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z） 则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 例：实数带有由绝对值给出的距离函数d(x, y) = |y?x|，和更一般的欧几里得n维空间带有欧几里得距离是完备度量空间 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔
伯特空间。 例：任何赋范向量空间通过定义d(x, y) = ||y?x|| 也是度量空间。 (如果这样一个空间是完备的，我们称之为巴拿赫空间)。例：曼哈顿范数引发曼哈顿距离，这里在任何两点或向量之间的距离是在对应的坐标之间距离的总和。 3、希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 4、巴拿赫空间 巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。
第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R )和复数域(记为C )，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有0αα+=； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间．
第7章向量空间与线性变换 7-1.下列向量组中，哪些是向量空间4R 的基，为什么？ （1）T )1,1,1,1(1=α，T )0,1,1,1(2=α，,)0,0,1,1(3T =αT )0,0,0,1(4=α； （2）T )1,0,0,1(1=α，T )0,1,2,0(2-=α，,)0,0,1,0(3T -=αT )1,0,3,1(4--=α； （3）T )1,0,0,1(1=α，T )0,1,1,0(2-=α，,)0,2,0,0(3T =αT )1,1,1,1(4=α； （4）T )0,0,0,1(1=α，T )0,1,1,0(2-=α，,)0,2,0,0(3T =αT )1,0,0,0(4=α.7-2. 把向量组T ),,(1101=α，T )1,0,1(2=α，T )0,1,1(3=α化为3R 的标准正交基.7-3.已知T )1,1,1(1=α，T )0,1,1(2-=α，T )0,0,1(3-=α是向量空间3R 的基，求向 量T )1,3,2(--=η在该基下的坐标． 7-4.已知T )1,0,1(1-=α，T )0,1,1(2-=α，T )0,0,3(3=α与(),0,0,11T =ε(),0,1,02T =ε()T 1,0,03=ε都是向量空间3R 的基，求基321,,ααα到基321,,εεε的过渡矩阵．7-5.在向量空间3R 中取两组基 T )1,2,1(1=α，T )0,1,3(2-=α，T )0,0,1(3=α与 (),3,0,11T =β(),1,1,12T =β()T 4,1,13-=β. （1）求基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵； （2）设ξ在基321,,ααα下的坐标是T )1,3,2(-，求ξ在基321,,βββ下的坐标．7-6.令][3x F 表示数域F 上一切次数3≤的多项式连同零多项式所组成的向量空间. （1）求这个向量空间的一个基和维数； （2）证明微分运算D 是一个线性变换. 7-7.在上一题中，求微分运算D 在所取基下的矩阵.7-8.在3 R 中，T 表示向量投影到xOy 平面的线性变换，即()T xi yj zk xi yj ++=+ .
完备空间 完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。 例子 ?有理数空间不是完备的，因为的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限不在有理数空间内。 ?实数空间是完备的 ?开区间(0,1)不是完备的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛到任何(0, 1)中的点。 ?令S为任一集合，S N为S中的所有序列，定义S N上序列(x n)和(y n)的距离为1/N，其中若的最小索引存在则N为该索引否则N为0。按此方式定义的度量空间是完备的。该空间同胚于离散空间S的可数个副本的积。 [编辑]直观理解 直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。从这一点上讲，一个空间完备同一个集合的闭包是类似的。这一类似还体现在以下定理中：完备空间的闭子集是完备的。 [编辑]相关定理 ?任一紧致度量空间都是完备的。实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。 ?完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。 ?若X为一集合，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的有界函数f的集合B(X, M)是一个完备度量空间，其中集合B(X, M)中的距离定义为：
?若X为一拓扑空间，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的连续有界函数f的集合C b(X,M)是B(X, M)（按上一条目的定义）中的闭子集，因而也是完备的。 ?贝尔纲定理：任一完备度量空间为一贝尔空间。就是说，该空间的可数个无处稠密子集的并集无内点。 [编辑]完备化 [编辑]定义 对任一度量空间M，我们可以构造相应的完备度量空间M'（或者表示为），使得原度量空间成为新的完备度量空间的稠密子空间。M'具备以下普适性质：若N为任一完备度量空间，f为任一从M到N的一致连续函数，则存在唯一的从M'到N的一致连续函数f'使得该函数为f的扩展。新构造的完备度量空间M'在等距同构意义下由该性质所唯一决定，称为M的完备化空间。 以上定义是基于M是M'的稠密子空间的概念。我们还可以将完备化空间定义为包含M的最小完备度量空间。可以证明，这样定义的完备化空间存在，唯一（在等距同构意义下），且与上述定义等价。 对于交换环及于其上的模，同样可以定义相对于一个理想的完备性及完备化。详见条目完备化 (环论)。 [编辑]构造 类似于从有理数域出发定义无理数的方法，我们可以通过柯西序列给原空间添加元素使其完备。 对M中的任意两个柯西序列x=(x n) 和y=(y n)，我们可以定义它们间的距离： d(x,y) = lim n d(x n,y n)（实数域完备所以该极限存在）。按此方式定义的度量还只是伪度量，这是因为不同的柯西序列均可收敛到0。但我们可以象很多情况中所做的一样（比如从L p到），将新的度量空间定义为所有柯西序列的集合上的等价类的集合，其中等价类是基于距离为0的关系（易于验证该关系是等价 关系）。这样，令ξx= {y是M上的柯西序列：}，M'={ξx：x ∈ M}，原空间M就以xξx的映射方式嵌入到新的完备度量空间M'中。易于验证，M 等距同构于M'的稠密子空间。 康托法构造实数是该完备化方法的一个特例：实数域是有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间。
度量空间的可分性与完备性 在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间． 1.3.1 度量空间的可分性 定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ?，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ?，通常称A 是B 的稠密子集． 注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数． 定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密； (2) x B ?∈，{}n x A ??，使得lim (,)0n n d x x →∞ =； (3) B A ?（其中A A A '=，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）； (4) 任取0δ>，有(,)x A B O x δ∈?．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合 覆盖B ． 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ?，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密． 证明 由定理知B A ?，C B ?，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A 在C 中稠密．□ 注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．} (1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知：
第一章 度量空间 若在实数集 R 中点列n x 的极限是x 时，我们使用||n x x -来表示n x 和x 的接近程度，事实上，||n x x -可表示为数轴上n x 和x 这两 点间的距离，那么实数集R 中点列n x 收敛于x 也就是指n x 和x 之间的距离随着n →∞而趋于0，即lim (,)0n n d x x →∞ =． 于是人们就想， 在一般的点集 X 中如果也有“距离” ，那么在点集X 中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？ 诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？ 远和近 你 一会看我 一会看云 我觉得 你看我时很远 你看云时很近 这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？ 1.1 度量空间的定义与极限 1.1.1 度量空间的定义与举例 定义 1.1.1 设X 为一非空集合．若存在二元映射:d X X ?→R ，使得,,x y z X ?∈，均满足以下三个条件： （1）(,)0,d x y ≥且(,)0d x y =当且仅当x y = (非负性 Positivity )； （2）(,)(,)d x y d y x = (对称性 Symmetry )； （3）(,)(,)(,)d x z d x y d y z ≤+ (三角不等式 Triangle inequality )， 则称d 为 X 上的一个距离函数，称(,)X d 为距离空间或度量空间(Metric Spaces)，(,)d x y 称为x 和y 两点间的距离．□ 注1：在不产生误解时，(,)X d 可简记为X ． 下面我们来看一些具体的例子 例 1.1.1 欧氏空间n R ． 设 n R 12{(,,,)|,1,2, ,}n i x x x x R i n =∈=，定义 (,)d x y 其中 12(,,,),n x x x x = 12(,,,)n y y y y =n R ∈，可以验证(,)n R d 是一个度量空间． 在证明之前，引入两个重要的不等式． 引理1.1.1 (许瓦兹(Schwarz)不等式) 任给 2n 个实数1212,,,,,,,n n a a a b b b ，有 1 12222 1 1 1 ()() n n n i i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑ (1.1) 证明 任取实数 λ，则由
第2章 度量空间与赋范线性空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。 2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念 在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。 【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(??ρ：[)∞→?,0X X 是一个定义在直积X X ?上的二元函数，如果满足如下性质： （1） 非负性 y x y x y x X y x =?=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈ （3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈； 则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。此时，称X 按),(??ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。 注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(??ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。 例2.1 离散的距离空间 设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令 1 (,)0 x y x y x y ρ≠?=?=? 显然，这样定义的),(??ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分
可测函数空间的完备性
可测函数空间的完备性 学生姓名：张权 指导老师：宋儒瑛 （太原师范学院数学系14011班 山西·太原 030012） 【内容提要】 )(X M 是定义在X 上的 Lebesgue 可测 函数全体构成的可测函数空间,若+∞<)(X m ,引入距离 dx x g x f x g x f x g x f d X ? -+-=) ()(1)()())(),((, 则d)(M(X),为度量空间。在本文中，获得一个主要结论：可测函数空间d)(M(X),中,只要每一个Cauchy 函数列 {}∞=1 n n f 依测度收敛于某一可测 函数f ，则这样的空间就是完备的。 【关键词】 可测函数 度量空间 完备性 在定义积分时，对被积函数的一个基本要求是这个函数必须是可测的。所以，可测函数是一类很
广泛的函数。特别是Lebesgue 可测函数更为广泛。我们知道,实数域有一条重要性质,即其中任一满足柯西条件的序列必收敛.这条性质称为实数域的完备性,在数学分析中有重要作用。本文试图对定义在 X 上的 Lebesgue 可测函数全体构成的可测函数空 间M(X)的完备性做进一步的探讨。 一、可测函数空间d)(M(X),与度量空间 设 M(X) 为 X 上实值的可测函数全体， m 为 Lebesgue 测度，若+∞<)(X m 。对任意两个可测函数 f(x)及g(x)，由于1) ()(1) ()(<-+- x g x f x g x f 。故这是X 上的可积函数。 令dx x g x f x g x f x g x f d X ?-+ -=) ()(1)()())(),(( 如果把M(X)中两个几乎 处处相等的函数视为M(X)中同一元；那么d)(M(X),按上述距离))(),((x g x f d 成为度量空间。下面验证一下： ⑴在M(X)中任取f(x)及 g(x)。dx x g x f x g x f x g x f d X ?-+- =) ()(1) ()())(),((≥0显然。若0))(),((=x g x f d ，当且仅当g(x)f(x)=，也是显然的。 ⑵ 因为 ) ()(1)()() ()(1)()(x f x g x f x g x g x f x g x f -+-= -+-，所以
1、3 度量空间的可分性与完备性 在实数空间R 中,有理数处处稠密,且全体有理数就是可列的,我们称此性质为实数空间 R 的可分性.同时,实数空间R 还具有完备性,即R 中任何基本列必收敛于某实数.现在我们将 这些概念推广到一般度量空间. 1.3.1 度量空间的可分性 定义 1.3.1 设X 就是度量空间,,A B X ?,如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点,则称A 在B 中稠密.若A B ?,通常称A 就是B 的稠密子集. 注1:A 在B 中稠密并不意味着有A B ?.例如有理数在无理数中稠密;有理数也在实数中稠密.无理数在有理数中就是稠密的,无理数在实数中也就是稠密的,说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数. 定理1.3.1 设(,)X d 就是度量空间,下列命题等价: (1) A 在B 中稠密; (2) x B ?∈,{}n x A ??,使得lim (,)0n n d x x →∞ =; (3) B A ?(其中A A A '=,A 为A 的闭包,A '为A 的导集(聚点集)); (4) 任取0δ>,有(,)x A B O x δ∈?.即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆 盖B . 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得. 定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 就是度量空间,,,A B C X ?,若A 在B 中稠密,B 在C 中稠密,则A 在C 中稠密. 证明 由定理1、1知B A ?,C B ?,而B 就是包含B 的最小闭集,所以B B A ??,于就是有C A ?,即A 在C 中稠密.□ 注2:利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限.} (1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密. 参考其它资料可知: (2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密. (3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞). 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得: (4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞). 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ???. 定义1.3.2 设X 就是度量空间,A X ?,如果存在点列{}n x A ?,且{}n x 在A 中稠密,则称 A 就是可分点集(或称可析点集).当X 本身就是可分点集时,称X 就是可分的度量空间.
第七章 线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n .
度量空间和线性赋范空间
1 第六章 度量空间和线性赋范空间 第1次课 教学内容(或课题)： §6.1 度量空间的进一步例子 目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程： 一 复习第二章度量空间的概念 设X 是个集合，若对于∈?y x ,X ，都有唯一确定的实数()y x d ,与之对应，且满足01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =?;02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈?z y x ,,X 都成立， 则称(X ，d )为度量 空间或距离空间，X 中的元素称为点，条件02称为三点不等式. 欧氏空间n R 对n R 中任意两点()n x x x x ,,,21Λ=和 ()n y y y y ,,,21Λ=，规定距离为 ()y x d ,=()2 1 12??? ??-∑=n i i i y x . []b a C ,空间 []b a C ,表闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,，定义()y x d ,=()()t y t x b t a -≤≤max . 2 l 空间 记2l ={}? ??? ??∞<=∑∞ =∞ =12 1 k k k k x x x .设{}∞==1k k x x ，{}∞==1k k y y ∈2l ，定义 ()y x d ,=()2 112?? ? ??-∑∞ =i i i y x . 二 度量空间的进一步例子 例1 设X 是任意非空集合，对于∈?y x ,X ，令
距离空间、线性赋范空间、内积空间的理解 及其区别 从初中开始，我们就接触到了绝对值的概念。在以往学习过的实数域中，绝对值为一个非负的标量，表示某个数到0的长度。而在学完向量的计算后我们知道，绝对值为向量的模，即向量的长度。扩展到现代数学，绝对值不止应用于实数域、向量计算，还适用于点列、函数等，由此也就引出了距离的概念。 设X 是任一集合, ,x y X ?∈，按照一定的法则确定一个函数(),d x y ，这个函数满足定义域X X ?，且满足： 1. 非负性：(),0d x y ≥，且(),=0d x y 的充要条件是x y =； 2. 对称性：()(),=,d x y d y x ； 3. 三角不等式：()()(),,,d x y d x z d z y ≤+，()z X ?∈。 则称X 为一个距离空间，(),d x y 为空间中,x y 之间的距离。 有距离空间的定义可以发现，距离空间中的距离是一个二元函数，他可以简单地理解为x 与y 之间的长度，即(),=d x y x y -。 我们定义距离空间实际上是为了在空间这个概念上定义收敛。若点列{}n x X ∈，x X ∈，则{}n x 收敛于X 可以定义为(),0n d x x →，()n →+∞。 线性空间是具有线性结构的空间，他在空间上定义了加法和数乘运算。这就表示空间中的所有点都可以用一组基通过加法和数乘线性表示出来。转化到图像上就是线性空间可以表示某一点的位置。有一种特殊的线性空间叫做向量空间，向量空间可以表示起始点在原点的向量。若想知道两个向量相加的和向量或者向量数乘之后的向量长度，则需要引入范数的概念。范数可以近似理解为向量的长或者确定点到原点的距离，引入范数的线性空间称作线性赋范空间。定义为： X 为一线性空间，x X ?∈，定义实值函数x 满足： 1. 非负性：0x ≥，且=0=0x x ?； 2. 齐次性：=x x λλ； 3. 三角函数：+x y x y ≤+。 则称x 为X 的范数，X 为线性赋范空间。 对比距离空间和线性赋范空间的定义可以发现，线性赋范空间是在距离空间的基础上增
1.3 度量空间的可分性与完备性 在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间． 1.3.1 度量空间的可分性 定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ?，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ?，通常称A 是B 的稠密子集． 注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数． 定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密； (2) x B ?∈，{}n x A ??，使得lim (,)0n n d x x →∞ =； (3) B A ?（其中A A A '=U ，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）； (4) 任取0δ>，有(,)x A B O x δ∈?U ．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合 覆盖B ． 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ?，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密． 证明 由定理1.1知B A ?，C B ?，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A 在C 中稠密．□ 注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．} (1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知： (2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密． (3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得： (4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ???． 定义1.3.2 设X 是度量空间，A X ?，如果存在点列{}n x A ?，且{}n x 在A 中稠密，则